湖北省武汉市部分学校2020届高三5月摸底检测理科数学试题(含答案)

2020年武汉市部分学校高三在线学习摸底检测
理科数学
武汉市教育科学研究院命制2020.5.8
本试卷共5 页，23题（含选考题）．全卷满分150分．考试用时120分钟．
＊祝考试顺利＊
注意事项：
1.答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置．
2.选择题的作答：每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂
黑写在试卷草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效
3.非选择题的作答：用黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内．写在试卷、草
稿纸和答题卡上的非答题区域均无效．
4.选考题的作答：先把所选题目的题号在答题卡指定的位置用2B 铅笔涂黑．答案写在答题卡上对应的答题区域内，写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效．
5.考试结束后，请将本试卷和答题卡一并上交．
一、选择题：本题共12 小题，每小题5 分，共60 分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符
合题目要求的．
1.复数z =
i
12i
-
＝
A .2i
+
55
B.
2i
+
55
- C.
12i
+
55
D.
12i
55
-
2.已知全集U=R,集合A={x| x2≤4},那么C U A=
A. (-∞,-2)
B. (2, + ∞)
C. (-2,2)
D. (-∞,-2)∪(2, + ∞)
3.若等差数列{a n}前9项的和等于前4项的和，a111=1,则a4=
A. -1
2
B.
3
2
C.
1
2
D.2
4.如图，某几何体的正视图，侧视图和俯视图分别是等边三角形、等
腰三角形和菱形，则该几何体的体积为
A.
B.4
C.
D.2
5. 已知某篮球队员在比赛中每次罚球的命中率相同，且在两次罚球中至多命中一次的概率 为925
，则该队员每次罚球的命中率 p 为 A ．35 Ｂ．25 Ｃ．15 Ｄ．45
6. 已知F 1，F 2是双曲线 C :22
221(0,0)x y a b a b
-=>> 的两个焦点，P 是 C 上一点，满足 ｜PF 1｜＋｜PF 2｜＝6a ，且∠F 1PF 2=
3π，则C 的离心率为
C.2
7. 函数f (x )=e |ln |2x x -的零点个数为 A.1 B. 2 C. 3 D.4
8. 已知函数f (x
)cos()(0,0)x x ωϕωϕϕπω+-+<<>为偶函数，且 y =f ( x ) 图象 的两相邻对称轴间的距离为
2π ，则f (6π)的值为 A. -1 B. 1
.
9. 已知三棱柱 A B C - A 1B 1C 1，A B = 3 , A C = 4 , A B ⊥A C , AA I 1=12, 如果三棱柱 A B C - A 1B 1C 1的 6 个顶点都在球 O 的球面上．则球的半径为
B. 13
2 D. 10. 已知单位向量,,PA PB PC u u u r u u u r u u u r 满足2330PA PB PC ++=u u u r u u u r u u u r r ，则AB AC ⋅u u u r u u u r 的值为
A. 89
B.23
C. 59
D.1 11. 在数学中有这样形状的曲线： x 2 + y 2 = |x | + | y |. 关于这种曲线，有以下结论：
①曲线C 恰 好 经 过 9 个整点（即横 、纵坐标均为整数的点）；
②曲线 C 上任意两点之间的距离都不超过 2 ;
③曲线 C 所围成的“花瓣”形状区域的面积大于 5.
其中正确的结论有：
A. ①③
B.②③
C. ①②
D.①②③
12. 已知关于 x 不等式 e x a x b ≥+对任意x ∈R 和正数 b 恒成立，则b a
的最小值为 A.
12 B. 1 D.2
二、填空题：本题共 4 小题，每小题5 分，共 20 分
13. 已知实数 x , y 满足约束条件21,1y x x y y ≤⎧⎪+≤⎨⎪≥-⎩
则 z =x + 2y 的最小值为
14. 若函数f (x )=ax + ln x 在点(1 , a ) 处的切线平行于 x 轴，则f ( x ) 的最大值为 ．
15. 从3 名骨科、3 名脑外科和 3 名内科医生中选派 5 人组成一个医疗小组，则骨科、脑外科
和内科医生都 至少有1 人的概率为
． 16. 设S n 为数列 {a n } 的前 n 项和，1(1),N *2n n n n S a n =--∈ , 则 a 9 = .
三、解答题：共 70 分 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 第 17 - 21 题为必考题，每
个试题考生都必须作答．第22、23 题为选考题，考生根据要求作答
（ 一）必考题：共 60 分．
17. ( 本小题满分 12 分）
在△ABC 中，角 A , B , C 所对的边分别为a , b , c , 且满足c sin A =a cos C ,c =4.
(I ) 求角 C 的大小 ；
( 2 ) cos()24
A B π=++,求△ABC 的面积
18. ( 本题满分 12 分）
,. 如图，在四棱锥 P — ABC D 中 ，P D ⊥平面 ABCD , PD = 2, DC = BC =1 , AB =2 ,AB //DC ,
∠BCD =90°.
(I ) 求证：AD ⊥ P B ;
( 2 ) 求平面 DAP 与平面 BPC 所成锐二面角的余弦值．
19. ( 本题满分12 分）
已知 F ( 0 ,1) 为平面上一点，H 为直线 l :y =-1 上任意一点，过点 H 作直线 l 的垂线 m , 设线段 FH 的中垂线与直线 m 交于点 P , 记点 P 的轨迹为Г
(1 ) 求轨迹Г的方程；
( 2 ) 过点 F 作互相垂直的直线AB 与 CD , 其中直线AB 与轨迹Г交千点A 、B , 直线 CD 与轨迹 Г交于点 C 、D , 设点 M, N 分别是 AB 和 CD 的中点，求△ FMN 的面积的最小值．
20. ( 本题满分12 分）
根据某地区气象水文部门长期统计，可知该地区每年夏季有小洪水的概率为0. 25, 有大
2
洪水的概率为0. 05.
( 1 ) 从该地区抽取的n 年水文资料中发现，恰好3 年无洪水事件的概率与恰好 4 年有洪水事件的概率相等，求 n 的值；
( 2 ) 今年夏季该地区某工地有许多大型设备，遇到大洪水时要损失 60000 元，遇到小洪 水时要损失20000 元。

为保护设备 ，有以下 3 种方案：
方案1 : 修建保护围墙，建设费为3000 元，但围墙只能防小洪水
方案2 : 修建保护大坝，建设费为7000元，能够防大洪水
方案 3 :不采取措施
试比较哪一种方案好，请说明理由
21. ( 本题满分 12 分）
已知函数2()(1)ln ,R f x a x x a =--∈
(1 ) 讨论 f ( x ) 的单调性 ；
（2）求实数 a 的取值范围，使得11()sin(1)e x f x a x x
-≥-+-在区间( l , + ∞ ) 内 恒成立. (e =2. 71828…为自然对数的底数 ）
（二 ）选考题：共 10 分 请考生从第 22、23 题中任选一题做答 井用 2B 铅笔将答题卡上所选
题目对应的题号右侧方框涂黑，按所涂题号进行评分；多涂、多答，按所涂的首题进行评分；不涂，按本选考题的首题进行评分
22. [ 选修 4 - 4 : 坐标系与参数方程］（本小题满分10分）
在直角坐标系 xOy 中，直线 C 1:x =-2 以坐标原点为极点 ，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，C 2极坐标方程为：22cos 4sin 0ρρθρθ--=
(1)求C 1的极坐标方程和C 2 的普通方程；
( 2 ) 若 直线 C 3 的极坐标方程为()4πθρ=
∈R ,设 C 2 与 C 3 的交点为 M , N , 又 C 1:x = -2
与 x 轴交点为 H , 求△HMN 的面积.
23. [选修 4 -5: 不等式选讲］（本小题满分10
分） 已知函数()|||5|f x x a x =---.
(1 ) 当 a =2 时，求证：3()3f x -≤≤;
( 2 ) 若关于x 的不等式2()820f x x x ≤-+在R 恒成立，求实数 a 的取值范围。