人教版九年级(下册)二次函数(共21张PPT)
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人教版数学九年级下第26章二次函数复习课件 (共23张PPT)
各种形式的二次函数的关系
左 y = a( x – h )2 + k 上
右
下
平
平
移
移
y = ax2 + k
y = a(x – h )2
上下平移 y = ax2 左右平移
结论: 一般地,抛物线 y = a(x-h)2+k与 y = ax2形状相同,位置不同。
练习：
1.抛物线y=x2向上平移 2 个单位，再向右平移 3 个单位可得到抛物线 yx26x11 。
课堂小结：
1、二次函数的概念：
二次函数的概念：函数y= ax2+bx+c (a、b、
c为常数，其中a ≠０ )叫做二次函数。 2、二次函数的图象：
二次函数的图象是一条抛物线。 3、二次函数的性质：
包括抛物线的三要素，最值，增减性。 4、二次函数的实践应用（数形结合）
具体体现在解决一些实际应用题中。
(4)若抛物线与x轴有两个交点，则m_＞__－__1_。
练习：
2.将函数y= x2+6x+7进行配方正确的结果应为 （C）
Ay.(x3)22 By.(x3)22 Cy.(x3)22 Dy.(x3)22
练习：
3.抛物线的图像如下，则满足条件a＞0, b＜0, c＜0的是（ D ）
A
B
D C
练习：
A.
B.
C.
D.
中考链接：
2. 如图，抛物线的顶点P的坐标是（1，－ 3），则此抛物线对应的二次函数有（ B ） （A）最大值1 （B）最小值－3 （C）最大值－3 （D）最小值1
中考链接：
3. 已知抛物线的部分图象如图,则抛物线的对称轴为
直线x= 3 ,满足y＜0的x的取值范围是 1＜X＜5 ,
九年级数学人教版第二十二章二次函数22.1.1二次函数定义(同步课本知识图文结合例题详解)
九年级数学第22章二次函数
问题3: 某工厂一种产品现在的年产量是20件，计划今后两
年增加产量.如果每年都比上一年的产量增加x倍，那么两
年后这种产品的产量y将随计划所定的x的值而确定，y与x
之间的关系应怎样表示？
这种产品的原产量是20件，一年后的产量是_2_0_(_1_+_x_)件，
再经过一年后的产量是_____2_0_(_1_+_x_)_(_1件+x，) 即两年后的
2
是二次函数关系.
九年级数学第22章二次函数
4.某工厂计划为一批长方体形状的产品涂上油漆,长方体的长 和宽相等,高比长多0.5m. (1)长方体的长和宽用x(m)表示,长方体需要涂漆的表面积 S(m2)如何表示? (2)如果涂漆每平米所需要的费用是5元,涂漆每个长方体所需 要费用用y(元)表示,那么y的表达式是什么? 解析：（1）S=2x2+x(x+0.5)×4=6x2+2x （2）y=5S=5×(6x2+2x)
2.如果函数y=(k-3)xk2 3k 2 +kx+1是二次函数,则k的值
一定是__0____.
九年级数学第22章二次函数
3.用总长为60m的篱笆围成矩形场地，场地面积S(m²)与矩 形一边长a(m)之间的关系是什么？是函数关系吗？是哪一 种函数？ 解析：S=a( 60 -a)=a(30-a)=30a-a²=-a²+30a.
函 数
关系Leabharlann 一次函数y=kx+b(k≠0)
正比例函数 y=kx(k≠0)
反比例函数
y= k (k≠0)
x
二次函数
九年级数学第22章二次函数
问题1：
正方体六个面是全等的正方形，设正方体棱长为 x ，表 面积为 y ，则 y 关于x 的关系式为＿y＿=6＿x2＿＿＿＿.
新课标人教版初中数学九年级下册第二十六章二次函数-精品课件
2020/4/15
小结
在解二次函数问题时，要善于用表格、图象、 函数表达式表示变量之间的二次函数关系，能 根据具体情况选取适当的方法，表示变量之间 的二次函数关系；要充分利用二次函数图象去 把握其性质；在解决实际问题时，二次函数也 是一个有效的数学模型，它能对变量的变化趋 势进行预测.
2020/4/15
。
-1
2020/4/15
• （3）写出一个图象经过原点的二次函数解析
式： 如： y=x²-2x
。
2020/4/15
（ 4 ） 抛 物 线 y=-x²-2x+3 与 x 轴 交 于 点 A（
）、B1（，0
）-，3，与0y 轴 交 于 点 C（
），0且，△3ABC的面积为
。6
2020/4/15
2.求抛物线y=2x²-4x+1的对称轴和顶点坐标。 解： y=2x²-4x+1 = 2(x²-2x+1-1)+1 =2(x-1)²-2+1 =2(x-1)²-1 ∴ 对称轴是x=1,顶点坐标为（1，-1）
2020/4/15
（二）、解决问题：
3.在墙边（足够长）的空地上，准备用36m长的篱笆围一块矩形花圃 ，问长是多少时，才能使围成的面积最大，最大面积是多少？
解： 设长为xm时 ，面积为y m2 由已知条件得 ： y=½(36-x)x
y=- ½(x-18)2+162 ∴ 当x=18m时 y 的最大面积是162m2
• （4）利用（3）的结论直接写出y= -x2+4x+2的伴随抛物线和伴随 直线。
2020/4/15
解: （3）∵伴随抛物线的顶点是（0，c）， ∴设它的解析式为y=m（x-0）2+c（m≠0）. ∵此抛物线过点P（-b/2a，4ac-b2/4a）， ∴4ac-b2/4a=m（-b/2a）2+c.解得m=-a. ∴伴随抛物线的解析式为y=-ax2+c. 设伴随直线的解析式为y=kx+c. ∵点P在此直线上, ∴k=-b/2. 伴随直线的解析式为y=bx/2+c (4)y=x2 +2 , y=2x+2 .
小结
在解二次函数问题时，要善于用表格、图象、 函数表达式表示变量之间的二次函数关系，能 根据具体情况选取适当的方法，表示变量之间 的二次函数关系；要充分利用二次函数图象去 把握其性质；在解决实际问题时，二次函数也 是一个有效的数学模型，它能对变量的变化趋 势进行预测.
2020/4/15
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• （3）写出一个图象经过原点的二次函数解析
式： 如： y=x²-2x
。
2020/4/15
（ 4 ） 抛 物 线 y=-x²-2x+3 与 x 轴 交 于 点 A（
）、B1（，0
）-，3，与0y 轴 交 于 点 C（
），0且，△3ABC的面积为
。6
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2.求抛物线y=2x²-4x+1的对称轴和顶点坐标。 解： y=2x²-4x+1 = 2(x²-2x+1-1)+1 =2(x-1)²-2+1 =2(x-1)²-1 ∴ 对称轴是x=1,顶点坐标为（1，-1）
2020/4/15
（二）、解决问题：
3.在墙边（足够长）的空地上，准备用36m长的篱笆围一块矩形花圃 ，问长是多少时，才能使围成的面积最大，最大面积是多少？
解： 设长为xm时 ，面积为y m2 由已知条件得 ： y=½(36-x)x
y=- ½(x-18)2+162 ∴ 当x=18m时 y 的最大面积是162m2
• （4）利用（3）的结论直接写出y= -x2+4x+2的伴随抛物线和伴随 直线。
2020/4/15
解: （3）∵伴随抛物线的顶点是（0，c）， ∴设它的解析式为y=m（x-0）2+c（m≠0）. ∵此抛物线过点P（-b/2a，4ac-b2/4a）， ∴4ac-b2/4a=m（-b/2a）2+c.解得m=-a. ∴伴随抛物线的解析式为y=-ax2+c. 设伴随直线的解析式为y=kx+c. ∵点P在此直线上, ∴k=-b/2. 伴随直线的解析式为y=bx/2+c (4)y=x2 +2 , y=2x+2 .
二次函数的图像和性质PPT课件(共21张PPT)
相同点
相同点：开口都向下，顶点是
原点而且是抛物线的最高点，
对称轴是 y 轴.
不同点
不同点：|a|越大，抛物线的
开口越小．
x
O
y
－4 －2
2
4
－2
－4
－6
y 1 x2 2
－8
y x2
y 2x2
尝试应用
1、函数y=2x2的图象的开向口上 ,对称轴y轴 ,顶点是(0,0;)
2、函数y=－3x2的图象的开口向下 ,对称轴y轴 ,顶点是(0,0;) 3、已知抛物线y＝ax2经过点A(-2，-8).
不在此抛物线上。
小结
1. 二次函数的图像都是什么图形？
2. 抛物线y=ax2的图像性质: (1) 抛物线y=ax2的对称轴是y轴,顶点是原点.
(2)当a>0时,抛物线的开口向上,顶点是抛物 线的最低点;
当a<0时,抛物线的开口向下,顶点是抛物 线的最高点;
（3）抛物线的增减性
（4）|a|越大,抛物线的开口越小;
得到y=-x2的图像.
y 1
-5 -4 -3 -2 -1-1 o 1 2 3 4 5 x
-2
-3 -4
-5
-6
y=－x2
-7
-8 -9
-10
二次函数的图像
从图像可以看出,二次函数y=x2和y=－x2的图像都是一条
曲线,它的形状类似于投篮球或投掷ห้องสมุดไป่ตู้球时球在空中所经过
的路线.
这样的曲线叫做抛物线.
y=x2的图像叫做抛物线y=x2.
解：分别填表，再画出它们的图象，如图 当a<0时,抛物线的开口向下,顶点是抛物线的最高点;
在同一直角坐标系中画出函数y=-x2、y=-2x2、y=- x2的图象，有什么共同点和不同点? -8=a(-2)2,解出a= -2,所求函数解析式为y= -2x2.
人教版九年级数学下册第26章《二次函数》二次函数ya(xh)^2的图象与性质课件(21张)
y a ( x-h )2的 图 象 与 性 质
2020/3/23
在同一直角坐标系中，
画出函 y2 1数 x2与y2 1(x-22)的图象
2020/3/23
2020/3/23
2020/3/23
2020/3/23
2020/3/23
2020/3/23
2020/3/23
函数y=-(x+3)2的图 象可由y=-x2的图象 沿x轴向左平移3个
单位长度得到.
函数y=-(x-2)2的图 象可由y=-x2的图象 沿x轴向右平移2个
单位长度得到.
y=-(x+3)2
y=-x2 y=-(x-2)2
图象向左移还是向右移,移多少个 单位长度,有什么规律吗?
2020/3/23Leabharlann 这两个函数的图象有什么关系？
y
1 2
x2
y
1( 2
x2
)2
但是对称轴和 顶点坐标不同
的图象向右 平移 h个单位得到，当h<0时，
函数y=a(x-h)2的图象可由y=ax2的图象向
平移左个单位得到h 。
(1)函数y=4(x+5)2的图象可由y=4x2的图象 向左 平移5 个单位得到；y=4(x-11)2的图象 可由 y=4x2的图象向右平移11个单位得到。
(2)将函数y=-3(x+4)2的图象向 右 平移4 个单位可得 y=-3x2的图象；将y=2(x-7)2的图象向左平移 7 个 单位得到y=2x2的图象。将y=(x-7)2的图象
向左平移 9 个单位可得到 y=x2+2的图象。
（3）将抛物线y=4x2向左平移3个单位，所得的 抛物线的函数式是 y=4(x+3)2。
2020/3/23
在同一直角坐标系中，
画出函 y2 1数 x2与y2 1(x-22)的图象
2020/3/23
2020/3/23
2020/3/23
2020/3/23
2020/3/23
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2020/3/23
函数y=-(x+3)2的图 象可由y=-x2的图象 沿x轴向左平移3个
单位长度得到.
函数y=-(x-2)2的图 象可由y=-x2的图象 沿x轴向右平移2个
单位长度得到.
y=-(x+3)2
y=-x2 y=-(x-2)2
图象向左移还是向右移,移多少个 单位长度,有什么规律吗?
2020/3/23Leabharlann 这两个函数的图象有什么关系？
y
1 2
x2
y
1( 2
x2
)2
但是对称轴和 顶点坐标不同
的图象向右 平移 h个单位得到，当h<0时，
函数y=a(x-h)2的图象可由y=ax2的图象向
平移左个单位得到h 。
(1)函数y=4(x+5)2的图象可由y=4x2的图象 向左 平移5 个单位得到；y=4(x-11)2的图象 可由 y=4x2的图象向右平移11个单位得到。
(2)将函数y=-3(x+4)2的图象向 右 平移4 个单位可得 y=-3x2的图象；将y=2(x-7)2的图象向左平移 7 个 单位得到y=2x2的图象。将y=(x-7)2的图象
向左平移 9 个单位可得到 y=x2+2的图象。
（3）将抛物线y=4x2向左平移3个单位，所得的 抛物线的函数式是 y=4(x+3)2。
初三二次函数ppt课件ppt课件ppt课件
03
二次函数的图像变换
平移变换
总结词
平移变换是指二次函数的图像在平面坐标系 中沿x轴或y轴方向进行移动。
详细描述
平移变换包括沿x轴方向的左移和右移，以 及沿y轴方向的上移和下移。对于一般形式 的二次函数y=ax^2+bx+c，当b≠0时，图 像为抛物线。当b>0时，图像向右平移b/2a个单位；当b<0时，图像向左平移 |b|/2a个单位。
总结词
顶点式二次函数解析式是y=a(xh)^2+k，其中(h,k)为函数的顶点。
详细描述
顶点式二次函数解析式表示的是一个 开口向上或向下的抛物线，其顶点为 (h,k)。该形式简化了函数的对称轴和 顶点，便于分析函数的性质。
交点式二次函数解析式
总结词
交点式二次函数解析式是y=a(x-x1)(x-x2)，其中x1、x2为函数与x轴的交点。
02
二次函数的解析式
一般二次函数解析式
总结词
一般二次函数解析式是y=ax^2+bx+c，其中a、b、c为常数 ，且a≠0。
详细描述
一般二次函数解析式是二次函数的基本形式，它可以表示任 意二次函数。其中a控制函数的开口方向和开口大小，b控制 函数的对称轴，c为函数与y轴的交点。
顶点式二次函数解析式
值的变化。
04
二次函数的实际应用
最大利润问题
总结词
通过建立二次函数模型，解决最大利润问题。
详细描述
在生产和经营过程中，常常需要寻求最大利润。通过将实际问题转化为数学模型，利用二次函数求导 数的方法，可以找到获得最大利润的条件和对应的最大利润值。
抛物线形拱桥问题
总结词
利用二次函数解析式表示抛物线形拱桥的形 状，进而解决相关问题。
新人教九年级下第二十六章二次函数全章精品课件-10.ppt
x … -2 -1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5 2 … y=－2x2 … -8 -4.5 -2 -0.5 0 -0.5 -2 -4.5 -8 …
(3) 连线
1 函数y=－2
1
y 2 3 4 5 x
o1 x2,y=－2x2的 -5 -4 -3 -2 -1 -1 -2 图像与函数y=－x2(图中虚线图 -3 形)的图像相比,有什么共同点和 -4 -5 不同点? -6 共同点: 开口向下; -7 -8 除顶点外,图像都在x轴下方 -9 需要更完整的资源请到 新世纪教 不同点: 开口大小不同 ; - -10 育网
o x
需要更完整的资源请到 新世纪教 育网 -
2+m m 例2.已知 y =(m+1)x 是二次函数且其图象开口
根据表中x,y的数 值在坐标平面中描点 (x,y),再用平滑曲线顺 次连接各点,就得到 y=x2的图像.
需要更完整的资源请到 新世纪教 育网 -
从图像可以看出,二次函数y=x2和y=－x2的图像 都是一条曲线,它的形状类似于投篮球或投掷铅球时球 y y 在空中所经过的路线. o x 这样的曲线叫做抛物线.
在同一坐标系内,抛物线 y=ax2与抛物线y=－ax2是关于轴 需要更完整的资源请到 新世纪教 对称的. 育网 -
a<0
y 1 o1 2 3 4 5 x -5-4 -3 -2-1 -1 -2 -3 -4 -5 -6 -7 -8 -轴 ,顶点是 (0,0) ; y轴
当a>0时,抛物线的 开口向上,顶点是抛物线 的最低点, a越大,抛 物线的开口越小;
一般地,抛物线y=ax2的对称轴是y轴,顶点是原点. a>0
y 10 9 8 7 6 5 4 3 2 1 -5-4 -3 -2-1 o1 2 3 4 5 x
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1 y x2 2
1 y ( x 1) 2 1 2
1 y ( x 1) 2 1 2
结合抛物线
1 2 与 y x 2
1 y ( x 1) 2 1 2
的关系，能否说说抛物线 和 y a( x 的关系？ h) 2 k
y ax 2
形状相同，位置不同
1 y ( x 1) 2 1 2
y
描点、连线
o
X=-1
x
注意顶点（-1，-1） 附近图像的大致走向！
当x<-1 (在对称轴的 左侧)时,y随着x的增大而 增大. 当x>-1 (在对称轴的 左侧)时,y随着x的增大而 减小.
1 y ( x 1) 2 1 2
1 y ( x 1) 2 1 2
1 y ( x 1) 2 1 2
问题：画出函数
1 y ( x 1) 2 1 的图像，指出 2
它的开口方向、对称轴和顶点.
画 -2 -1.5 -1
中心 值 0 1 2
…
y
…
-5.5
-3
-1
-1.5
-3
-5.5
…
由对称性可 直接填入
2
形状不同，因为前二次函数中的 a=2，而后二次函数中的a=4.
1 y ( x 1) 2 1 2
练一 练
y 2( x 1) 1 的图象可以看成是将函数 y 2( x 1) 2 的图象向上平移了1个单位得到的，也可以看 y 成是将函数 的图象向上2x 2 平移 1 个单位再向 左 平移 1 个 单位得到的.当x＜1时，函数值y随x的增大 而 减小 ，当x＞1时，函数值y随x的增大 1 而 增大 ；当x= 时，函数取得 最 小 值，最小值y= 1 .
当x=0时，y=2.25，也就是说，水管应长2.25m.
谢谢大家， 谢谢！
2 1 y ( x 1) 2 1 以得到 抛物线？ 2
抛物线
1 2 经过怎样的变换可 y x
y
o
x
1 y x2 2
1 y ( x 1) 2 1 2
1 2 y x 1 2
1 y ( x 1) 2 1 2
y
o
x
1 2 y x 1 2
开口 向上 X=-3
开口 向下 X=1
开口 向上 X=3
开口 向下 X=-2
开口 向上 X=-a
开口 向上 X=a
称
轴 顶 点
(-3,5)
(1,-2)
(3,7)
(-2,-6)
(-a,b)
(a,-b)
1 y ( x 1) 2 1 2
抛物线 y 2( x 3) 5 与
2
y (2 x 3) 5 形状是否相同？为什么？
抛物线 y a( x有什么特点？ h) 2 k 一般地，抛物线 有如下特点：（1）当 a>0时，开口向上；当a<0时，开口向下； （2）对称轴是直线x=h；（3）顶点坐标 是（h , k）.
1 y ( x 1) 2 1 2
填写下列表格
二 次 y 2( x 3) 2 5 y 3( x 1) 2 2 y 4( x 3) 2 7 y 5( x 2) 2 6 y 2( x a) 2 b y 2( x a) 2 b 函 数 开 口 方 向 对
点
y ax 2 k
当a>0时，开口向上. 当a<0时，开口向下.
y轴 x=h
(0,k)
y a( x h) 2
当a>0时，开口向上.
当a<0时，开口向下.
(h,0)
2.说出下列二次函数的开口方向、对 称轴和顶点坐标.
二次函数
1 y x2 2
开口方向 开口向 开口向下 开口向下
人教版九年级（下册）
26.1 二次函数
y a( x h) 2 k的图像 二次函数
1.前几节课，我们都学习了形如什么样的二次 函数的图像？你能说说它们的开口方向、对称轴和 顶点坐标吗？
二次函数
y ax 2
开口方向
当a>0时，开口向上. 当a<0时，开口向下.
对 称 轴 y轴
顶 (0,0)
2
1 y ( x 1) 2 1 2
问题情景：要修建一个圆形喷水池，在池中心竖直安装一根 水管，在水管的顶端安一个喷水头，使喷出的抛物线形水柱在 与池中心的水平距离为1m处达到最高，高度为3m,水柱落地处离 池中心3m，水管应多长？
观察图片
展示问题： （1）如何建立最合适的直角坐标系？ （2）你将通过什么函数来解决这个实际问 题？ （3）“喷出的抛物线形水柱在与池中心的 水平距离为1m处达到最高，高度为3m”这段文 1 字是什么意思？ ) 2 1 y (x 1 2 （4）“水柱落地处离池中心3m” 是什么 意思？ （5）此问题最终要求什么？
对 称 轴 y轴 y轴 x=-1
顶
点
(0,0)
(0,-1) (-1,0)
1 y x2 1 2
1 y ( x 1) 2 2
1 y ( x 1) 2 1 2
3.你能说出
1 y ( x 1) 2 1 2
的开口方向下、对称轴和顶点坐标吗？大家 想想看！
1 y ( x 1) 2 1 2
y
画二次 函数草图应 注意哪几个 方面 ？
解：设这段抛物线所对应的函数是
y a( x 1) 2 3 （0≤x≤3）,
由于这段抛物线经过点（0，3）则
0 a(3 1) 3
2
x
3 ∴ a 4 3 即， y ( x 1) 2 3 （0≤x≤3） 4
1 y ( x 1) 2 1 2
1 y ( x 1) 2 1 2
y ax 2
h、k的 值怎样 决定抛 y a( x h) 2 物线平 移的方 向、距 离？
向上（下）平移|k|
y ax 2 k
y a ( x h) 2 k
1 y ( x 1) 2 1 2