人教版九年级上册22.1.4二次函数一般式的图像和性质课件

二次函数（一般式）图象和性质
复习提问
1．y a x h2 k 的顶点坐标是_（__h_，__k_）_，
对称轴是__直__线__x_＝__h_ 2．怎样把 y 3x2的图象移动，便可得到
y 3 x 22 5 的图象？
3．y 3 x 22 5 的顶点坐标是(－2，－5)，
对称轴是直线 x＝－2 ． 4．在上述移动中图象的开口方向、形状、 顶点坐标、对称轴，哪些有变化？哪些没 有变化？
2
2
y a x h2 k 的形式，求出对称轴和顶点
坐标．
解：在 y 1 x2 x 5 中，a 1 ,b 1, c 5
2
2
2
2
b
1
1,
4ac b2
4
1 2
5 2
12
4
2
2a
y
21
1 2
x
1
2
4a
2
，
4
1 2
2
2
∴顶点为（1，－2），对称轴为直线 x＝1。
b2
;
（5）增减性：
①若a＞0，当
x
b 2a
时，y随x的增大而增大；
当
x
b 2a
时，y随x的增大而减小。
②若a＜0，当
x
b 2a
时，y随x的增大而减小；
当
x
b 2a
时，y随x的增大而增大。
例4 已知抛物线 y x2 k 4 x k 7,
①k取何值时，抛物线经过原点； ②k取何值时，抛物线顶点在y轴上； ③k取何值时，抛物线顶点在x轴上； ④k取何值时，抛物线顶点在坐标轴上。
2
22
2
1 x 32 9 1
2
22
1 x 32
2
5
∴ 对称轴是直线x＝－3，当 x＞－3时，y
随x的增大而减小。
解法二：
a 1 0 ，∴抛物线开口向下，
2
b 3 3
2a
2
1 2
∴ 对称轴是直线x＝－3，当 x＞－3时，y 随x的增大而减小。
例7 已知二次函数
y 2x2 8x 1 2 x2 4x 1 2 x2 4x 4 4 1
2 x 22 7 7
所以当x＝2时，y最小值＝－7 。
解法二（公式法）：
因为a＝2＞0，抛物线 y 2x2 8x 1有最低点， 所以y有最小值，
因为－ b
8
4ac b2 2,
4 21 82
7
4a
4 1
k2 4k 12 0 ，解得：k1 2, k2 6 ，所 以当k＝2或k＝－6时，抛物线顶点在x轴 上。 ④由②、③知，当k＝－4或k＝2或k＝－6 时，抛物线的顶点在坐标轴上。
例5 当x取何值时，二次函数 y 2x2 8x 1 有最大值 或最小值，最大值或最小值是多少？
解法一（配方法）：
y m 1 x2 2mx 3m 2m 1
的最大值是0，求此函数的解析式．
解：此函数图象开口应向下，且顶点纵坐
标的值为0．所以应满足以下的条件组．
m 1 0， ①
4
m
1
3m
2
2m
2
4m 1
0
②
由②解方程得 m1
1 2
, m2
2 不合题意，舍去
所求函数解析式为
y
1 2
1
x2
2
1 2
x
x2
3x
5 2
1 2
x2
6x
5
1 x2
2
6x
9 9 5
1 2
x
32
4
1 x 32 2
2
顶点坐标为（－3，－2），对称轴为x＝－3
练习1 用配方法把 y 2x2 4x 7 化为
y a x h2 k 的形式，求出顶点坐标
和对称轴。
答案：y 2 x 12 5 ，顶点坐标是(1，5)，
例8 已知如图是二次函数y＝ax2＋bx＋c的图 象，判断以下各式的值是正值还是负值． (1)a；(2)b；(3)c；(4)b2－4ac；(5)2a＋b； (6)a＋b＋c；(7)a－b＋c．
分析：已知的是几何关系(图形的位置、 形状)，需要求出的是数量关系，所以应 发挥数形结合的作用．
判断a的符号
有变化的：抛物线的顶点坐标、对称轴， 没有变化的：抛物线的开口方向、形状
新课
我们复习了将抛物线 y 3x2向左平移2个单位
再向下平移5个单位就得到y 3 x 22 5 的图 象，将 y 3 x 22 5 化为一般式为
y 3x2 12x 7 ，那么如何将抛物线 y 3x2的图 像移动，得到的 y 3x2 12x 7 图像呢？
2a
①若b＝0对称轴为y轴，
②若a，b同号对称轴在y轴左侧，
③若a，b异号对称轴在y轴右侧。
5．抛物线y＝ax2＋bx＋c中a，b，c的作用。 (3)c的大小决定抛物线y＝ax2＋bx＋c与y轴 交点的位置。 当x＝0时，y＝c，∴抛物线y＝ax2＋bx＋c 与y轴有且只有一个交点(0，c)， ①c＝0抛物线经过原点； ②c＞0与y轴交于正半轴； ③c＜0与y轴交于负半轴。
4.已 知 二 次 函 数y ax2 bx c的 图 象 与
x轴 交 于( x1 ,0 )( x2 ,0 )两 点 ，2.5 且0 x1 1,
1
x2
2
,与
y轴
交
于
点(
0
,
2
2y1.5
).下 列 结 论 ：
( 1 )2a b 1
1
0.5
( 2 )3a b 0
-4
-3
-2
-1
11
22
解： (1)因为抛物线开口向下，所以a＜0；
判断b的符号
(2)因为对称轴在y轴右侧，所以 b 0 ，而a＜0，故b＞0；
2a
判断c的符号
(3)因为x＝0时，y＝c，即图象与y轴交点 的坐标是(0，c)，而图中这一点在y轴正 半轴，即c＞0；
判断b2－4ac的符号
(4)因为顶点在第一象限，其纵坐标
（1）顶点坐标
b 2a
,
4ac 4a
b2
;
（2）对称轴是直线 x b
2a
（3）开口方向：当 a＞0时，抛物线开
口向上；当 a＜0时，抛物线开口向下。
（4）最值：
如果a＞0，当 x
b 2a
时，函数有最小值，
y最小＝
4ac 4a
b2
,
如果a＜0，当
x
b 2a
时，函数有最大值，
y最大＝
4ac 4a
对称轴是直线 x＝1．
2．用公式法把抛物线 y ax2 bx c 化为
y a x h2 k 的形式。
把 y ax2 bx c 变形为 y a x h2 k的方法
和我们前面学过的用配方法解二次方程 “ax2 bx c 0 ”类似．具体演算如下：
y
ax2
bx
c
a
x2
b a
判断a－b＋c的符号
(7)因为图象上的点的横坐标为－1时， 点的纵坐标为负值，即a(－1)2＋b(－1) ＋c＜0，故a－b＋c＜0．
结束
例9.用 总 长 为60m的 篱 笆 围 成 矩 形 场 地 ， 矩 形 面 积S随 矩 形 一 边 长l的 变 化 而 变 化 ， 当l是 多 少 时 场 地 面 积S最 大 ？
3x
( 3 )a b 2
-0.5
1-1
( 4 )a 1其 中 正 确
-1.5
的 个 数 为( )
2-2
-2.5
A.1 B.2 C .3
D-3 .4
-3.5
5.二次函数y ax2 bx c的图象开口向上，
图象经过点( 1,2 )(1,0 )且与y轴相交于负半轴
( a )问：给出四个结论(：1 )a 0( 2 )b 0( 3 )c 0
2．确定抛物线的开口方向、对称轴 及顶点坐标。 3．在对称轴的两侧以顶点为中心左 右对称描点画图。
例3 画出 y 2x2 8x 6 的图像，利用函 数图像回答：
(1)x取什么值时，y＝0？ (2)x取什么值时，y＞0？ (3)x取什么值时，y＜0？ (4)x取什么值时，y有最大值或最小值？
解：列表 y 2x2 8x 6 0 x …0 1 2 3 4 … y … －6 0 2 0 －6 …
Байду номын сангаас
y
·（2,2）y 2x2 8x 6
由图像知：
· · （1,0）
（3,0）
x
(1)当x＝1或x＝3时， y＝0；
(2)当1＜x＜3时，
y＞0；
(3)当x＜1或x＞3时，
y＜0；
x=2
(4)当x＝2时，
· · （0,－6）
（4,－6）
y有最大值2。
4．二次函数 y ax2 bx c 的性质：
( 4 )a b c 0其中正确结论的序号是______
(b)问 ： 给 出 四 个 结 论 ：
y
(1)abc 0(2)2a b 0
2
(3)a c 1(4)a 1
其中正确结论的序号
是 ______
1
x
1
6.已 知 抛 物 线y ax2 bx c的 顶 点 在
抛 物 线y 3 x2上 ， 并 且 它 与 抛 物 8
3
1 2
2
,
即y 1 x2 x 1
2
2
。
5．抛物线y＝ax2＋bx＋c中a，b，c的作用。
(1)a决定抛物线形状及开口方向，若 a 相 等，则形状相同。 ①a＞0开口向上； ②a＜0开口向下。
5．抛物线y＝ax2＋bx＋c中a，b，c的作用。
(2)a和b共同决定抛物线对称轴的位置，由 于抛物线y＝ax2＋bx＋c的对称轴是直线 x b ，故
x
c a
a
x2
b a
x
b 2a
2
b 2a
2
c
a
a
x
b 2a
2
4ac b2 4a2
a
x
b 2a
2
4ac b2 4a
所以抛物线 y ax2 bx c 的顶点坐标是
b 2a
,
4ac 4a
b2
，对称轴是直线 x b 。
2a
例2 用公式法把 y 1 x2 x 5 化为
练 习1
已知抛物线y ax2 bx c过点A(2,0), B(3,0), C (0,6),求 抛 物 线 解 析 式
一般式 交点式 顶点式
2.分别 在下列 范围 内求函数y x2 2x 3 的最大值和最小值 ( 1 )0 x 2 ( 2 )2 x 3
3.抛 物 线y ax2 bx c( a 0 )的 对 称 轴 是x 2,且 经 过 点P( 3,0 ),则a b c的 值 为( )
练习2 用公式法把y 2x2 8x 6 化成
y a x h2 k 的形式，并求出顶点坐标和
对称轴。
答案：y 2 x 22 2 ，顶点坐标为
（2，2）对称轴是直线 x＝2
3． y ax2 bx c 图象的画法．
步骤：1．利用配方法或公式法把y ax2 bx c
化为y a x h2 k 的形式。
线y 1 x2的 开 口 方 向 和 开 口 大 小完 2
全 相 同 ， 又 抛 物 线 过 点M ( 0,2 )， 求 此抛物线的解析式
7.二 次 函 数y m x2 4m的 顶 点 坐 标 为( 0,2 )， 矩 形ABCD的 顶 点B,C在x轴 上 ，A, D在 抛 物 线 上 ， 矩 形ABCD在 抛 物 线 与x轴 所 围 成 的 图形内 ( 1 )求 二 次 函 数 的 解 析 式 ( 2 )设 点A的 坐 标 为( x , y )， 试 求 矩 形ABCD的 周 长P关 于 自 变 量x的 函 数 解 析 式 ， 并 求 出x 的取值范围 ( 3 )是 否 存 在 这 样 的 矩 形ABCD， 使 它 的 周 长 为9？ 试 证 明 你 的 结 论
解：①抛物线经过原点，则当x＝0时，y
＝0，所以 0 02 k 4 0 k 7，所以k＝
－7，所以当k＝－7时，抛物线经过原点；
②抛物线顶点在y轴上，则顶点横坐标为0，
即
b
k 4
0
，所以k＝－4，所
2a
21
以当k＝－4时，抛物线顶点在y轴上。
③抛物线顶点在x轴上，则顶点纵坐标为0，
即 4ac b2 4 1 k 7 k 42 0 ，整理得
那么一般地，函数y ax2 的图象怎样平 移就得到 y ax2 bx c 的图象呢？
1．用配方法把 y ax2 bx c 化为
y a x h2 k 的形式。
例1 用配方法把 y 1 x2 3x 5 化为
2
2
y a x h2 k 的形式，求出顶点坐标和对称轴。
解：y
1 2
4ac b2 4a
0，且a＜0，所以4ac b2
0，故
b2 4ac 0 。
判断2a＋b的符号
(5)因为顶点横坐标小于1，即
b 2a
1
，
且a＜0，所以－b＞2a，故2a＋b＜0；
判断a＋b＋c的符号
(6)因为图象上的点的横坐标为1时，点 的纵坐标为正值，即a·12＋b·1＋c＞0， 故a＋b＋c＞0；
2a 2 2
4a
42
所以当x＝2时，y最小值＝－7 。
总结：求二次函数最值，有两个方法． (1)用配方法；(2)用公式法．
例6已知函数 y 1 x2 3x 1 ，当x为何值
2
2
时，函数值y随自变量的值的增大而减小。
解法一： a 1 0 ，∴抛物线开口向下，
2
又y 1 x2 3x 1 1 x2 6x 9 9 1