人教版九年级上册22.1.4二次函数一般式的图像和性质课件

x
c a
a
x2
b a
x
b 2a
2
b 2a
2
c
a
a
x
b 2a
2
4ac b2 4a2
a
x
b 2a
2
4ac b2 4a
所以抛物线 y ax2 bx c 的顶点坐标是
b 2a
,
4ac 4a
b2
，对称轴是直线 x b 。
2a
例2 用公式法把 y 1 x2 x 5 化为
b2
;
（5）增减性：
①若a＞0，当
x
b 2a
时，y随x的增大而增大；
当
x
b 2a
时，y随x的增大而减小。
②若a＜0，当
x
b 2a
时，y随x的增大而减小；
当
x
b 2a
时，y随x的增大而增大。
例4 已知抛物线 y x2 k 4 x k 7,
①k取何值时，抛物线经过原点； ②k取何值时，抛物线顶点在y轴上； ③k取何值时，抛物线顶点在x轴上； ④k取何值时，抛物线顶点在坐标轴上。
x2
3x
5 2
1 2
x2
6x
5
1 x2
2
6x
9 9 5
1 2
x
32
4
1 x 32 2
2

顶点坐标为（－3，－2），对称轴为x＝－3
练习1 用配方法把 y 2x2 4x 7 化为
y a x h2 k 的形式，求出顶点坐标
和对称轴。
答案：y 2 x 12 5 ，顶点坐标是(1，5)，
3x
( 3 )a b 2
-0.5
1-1
( 4 )a 1其 中 正 确
-1.5
的 个 数 为( )
2-2
-2.5
A.1 B.2 C .3
D-3 .4
-3.5
5.二次函数y ax2 bx c的图象开口向上，
图象经过点( 1,2 )(1,0 )且与y轴相交于负半轴
( a )问：给出四个结论(：1 )a 0( 2 )b 0( 3 )c 0
y 2x2 8x 1 2 x2 4x 1 2 x2 4x 4 4 1
2 x 22 7 7
所以当x＝2时，y最小值＝－7 。
解法二（公式法）：
因为a＝2＞0，抛物线 y 2x2 8x 1有最低点， 所以y有最小值，
因为－ b
8
4ac b2 2,
4 21 82
7
2
2
y a x h2 k 的形式，求出对称轴和顶点
坐标．
解：在 y 1 x2 x 5 中，a 1 ,b 1, c 5
2
2
2
2
b
1
1,
4ac b2
4
1 2
5 2
12
4
2
2a
y
21
1 2
x
1
2
4a
2
，
4
1 2
2
2
∴顶点为（1，－2），对称轴为直线 x＝1。
2．确定抛物线的开口方向、对称轴 及顶点坐标。 3．在对称轴的两侧以顶点为中心左 右对称描点画图。
例3 画出 y 2x2 8x 6 的图像，利用函 数图像回答：
(1)x取什么值时，y＝0？ (2)x取什么值时，y＞0？ (3)x取什么值时，y＜0？ (4)x取什么值时，y有最大值或最小值？
解：列表 y 2x2 8x 6 0 x …0 1 2 3 4 … y … －6 0 2 0 －6 …
4ac b2 4a
0，且a＜0，所以4ac b2
0，故
b2 4ac 0 。
判断2a＋b的符号
(5)因为顶点横坐标小于1，即
b 2a
1
，
且a＜0，所以－b＞2a，故2a＋b＜0；
判断a＋b＋c的符号
(6)因为图象上的点的横坐标为1时，点 的纵坐标为正值，即a·12＋b·1＋c＞0， 故a＋b＋c＞0；
4a
4 1
k2 4k 12 0 ，解得：k1 2, k2 6 ，所 以当k＝2或k＝－6时，抛物线顶点在x轴 上。 ④由②、③知，当k＝－4或k＝2或k＝－6 时，抛物线的顶点在坐标轴上。
例5 当x取何值时，二次函数 y 2x2 8x 1 有最大值 或最小值，最大值或最小值是多少？
解法一（配方法）：
练习2 用公式法把y 2x2 8x 6 化成
y a x h2 k 的形式，并求出顶点坐标和
对称轴。
答案：y 2 x 22 2 ，顶点坐标为
（2，2）对称轴是直线 x＝2
3． y ax2 bx c 图象的画法．
步骤：1．利用配方法或公式法把y ax2 bx c
化为y a x h2 k 的形式。
y
·（2,2）y 2x2 8x 6
由图像知：
· · （1,0）
（3,0）
x
(1)当x＝1或x＝3时， y＝0；
(2)当1＜x＜3时，
y＞0；
(3)当x＜1或x＞3时，
y＜0；
x=2
(4)当x＝2时，
· · （0,－6）
（4,－6）
y有最大值2。
4．二次函数 y ax2 bx c 的性质：
对称轴是直线 x＝1．
2．用公式法把抛物线 y ax2 bx c 化为
y a x h2 k 的形式。
把 y ax2 bx c 变形为 y a x h2 k的方法
和我们前面学过的用配方法解二次方程 “ax2 bx c 0 ”类似．具体演算如下：
y
ax2
bx
c
a
x2
b a
2a 2 2
4a
42
所以当x＝2时，y最小值＝－7 。
总结：求二次函数最值，有两个方法． (1)用配方法；(2)用公式法．
例6已知函数 y 1 x2 3x 1 ，当x为何值
2
2
时，函数值y随自变量的值的增大而减小。
解法一： a 1 0 ，∴抛物线开口向下，
2
又y 1 x2 3x 1 1 x2 6x 9 9 1
y m 1 x2 2mx 3m 2m 1
的最大值是0，求此函数的解析式．
解：此函数图象开口应向下，且顶点纵坐
标的值为0．所以应满足以下的条件组．
m 1 0， ①
4
m
1
3m
2
2m
2
4m 1
0
②
由②解方程得 m1
1 2
, m2
2 不合题意，舍去
所求函数解析式为
y
1 2
1
x2
2
1 2
x
( 4 )a b c 0其中正确结论的序号是______
(b)问 ： 给 出 四 个 结 论 ：
y
(1)abc 0(2)2a b 0
2
(3)a c 1(4)a 1
其中正确结论的序号
是 ______
1
x
1
6.已 知 抛 物 线y ax2 bx c的 顶 点 在
抛 物 线y 3 x2上 ， 并 且 它 与 抛 物 8
那么一般地，函数y ax2 的图象怎样平 移就得到 y ax2 bx c 的图象呢？
1．用配方法把 y ax2 bx c 化为
y a x h2 k 的形式。
例1 用配方法把 y 1 x2 3x 5 化为
2
2
y a x h2 k 的形式，求出顶点坐标和对称轴。
解：y
1 2
（1）顶点坐标
b 2a
,
4ac 4a
b2
;
（2）对称轴是直线 x b
2a
（3）开口方向：当 a＞0时，抛物线开
口向上；当 a＜0时，抛物线开口向下。
（4）最值：
如果a＞0，当 x
b 2a
时，函数有最小值，
y最小＝
4ac 4a
b2
,
如果a＜0，当
x
b 2a
时，函数有最大值，
y最大＝
4ac 4a
2
22
2
1 x 32 9 1
2
22
1 x 32
2
5
∴ 对称轴是直线x＝－3，当 x＞－3时，y
随x的增大而减小。
解法二：
a 1 0 ，∴抛物线开口向下，
2
b 3 3
2a
2
1 2
∴ 对称轴是直线x＝－3，当 x＞－3时，y 随x的增大而减小。
例7 已知二次函数
解：①抛物线经过原点，则当x＝0时，y
＝0，所以 0 02 k 4 0 k 7，所以k＝
－7，所以当k＝－7时，抛物线经过原点；
②抛物线顶点在y轴上，则顶点横坐标为0，
即
b
k 4
0
，所以k＝－4，所
2a
21
以当k＝－4时，抛物线顶点在y轴上。
③抛物线顶点在x轴上，则顶点纵坐标为0，
即 4ac b2 4 1 k 7 k 42 0 ，整理得
例8 已知如图是二次函数y＝ax2＋bx＋c的图 象，判断以下各式的值是正值还是负值． (1)a；(2)b；(3)c；(4)b2－4ac；(5)2a＋b； (6)a＋b＋c；(7)a－b＋c．
分析：已知的是几何关系(图形的位置、 形状)，需要求出的是数量关系，所以应 发挥数形结合的作用．
判断a的符号
判断a－b＋c的符号
(7)因为图象上的点的横坐标为－1时， 点的纵坐标为负值，即a(－1)2＋b(－1) ＋c＜0，故a－b＋c＜0．
结束
例9.用 总 长 为60m的 篱 笆 围 成 矩 形 场 地 ， 矩 形 面 积S随 矩 形 一 边 长l的 变 化 而 变 化 ， 当l是 多 少 时 场 地 面 积S最 大 ？