九年级数学下册 第1章直角三角形的边角关系讲学稿(无答案) 北师大版
北师大版九年级下册第一章直角三角形的边角关系说课稿.4直角三角形公开课
3.使用多媒体工具展示生动的几何图形和动画，帮助学生直观理解直角三角形的边角关系。
4.给予学生成功的体验，通过设计难度适中的练习题，让学生在解决问题中获得成就感，增强学习信心。
5.鼓励学生提出问题和自己的想法，培养他们的探究精神和批判性思维。
4.最后介绍直角三角形的判定与证明方法，通过一系列例题，让学生掌握如何运用这些方法解决实际问题。
（三）巩固练习
为了帮助学生巩固所学知识并提升应用能力，我计划设计以下巩固练习或实践活动：
1.设计一些填空题和选择题，让学生独立完成，以检验他们对基本概念和定理的理解。
2.安排一些证明题，要求学生在小组内合作完成，培养他们的合作能力和逻辑推理能力。
（二）教学反思
在教学过程中，可能遇到的问题包括学生对直角三角形性质的误解、对勾股定理证明过程的困惑以及实际问题解决能力的不足。为应对这些问题，我将采取以下措施：及时澄清误解，通过实例和图示解释概念；分步骤讲解勾股定理的证明，强调每一步的逻辑；设计更多实际问题练习，培养学生的应用能力。课后，我将通过学生的课堂表现、作业完成情况和测验成绩来评估教学效果。具体的反思和改进措施包括：根据学生反馈调整教学方法和进度，针对学生的弱点提供额外的辅导，以及不断更新教学资源，以提高教学质量和学生的学习效果。
2.提供一个自我评价表，让学生根据自己在课堂上的表现和作业完成情况进行自我评价。
3.对学生的表现给予积极的反馈，针对他们的不足提出建设性的建议，帮助他们改进学习方法。
4.鼓励学生相互评价，通过同伴互助，共同提高。
（五）作业布置
课后作业的布置如下：
1.设计一些与直角三角形相关的练习题，包括基本概念的理解题、定理的证明题以及实际问题的应用题。
九年级数学下册(北师大版)配套教学教案： 第一章 直角三角形的边角关系
全新修订版教学设计
（教案）
九年级数学下册
老师的必备资料
家长的帮教助手
学生的课堂再现
北师大版
第一章直角三角形的边角关系
一、本章知识要点：
1、锐角三角函数的概念；
2、解直角三角形。
二、本章教材分析：
（一）.使学生正确理解和掌握三角函数的定义，才能正确理解和掌握直角三角
形中边与角的相互关系，进而才能利用直角三角形的边与角的相互关系去解直角
三角形，因此三角形函数定义既是本章的重点又是理解本章知识的关键,而且也
是本章知识的难点。
如何解决这一关键问题，教材采取了以下的教学步骤：
1.从实际中提出问题，如修建扬水站的实例，这一实例可归结为已知RtΔ
的一个锐角和斜边求已知角的对边的问题。
显然用勾股定理和直角三角形两个锐角互余中的边与边或角与角的关系无法解出了，因此需要进一步来研究直角三角形中边与角的相互关系。
2.教材又采取了从特殊到一般的研究方法利用学生的旧知识，以含30°、45°的直角三角形为例：揭示了直角三角形中一个锐角确定为30°时，那么这角的对边与斜边之比就确定比值为1：2，接着以等腰直角三角形为例，说明当一个锐角确定为45°时，其对边与斜边之比就确定为,同时也说明了锐角的度数变化了,由30°变为45°后,其对边与斜边的比值也随之变化了,由到。
这样就
突出了直角三角形中边与角之间的相互关系。
3.从特殊角的例子得到的结论是否也适用于一般角度的情况呢？教材中应
用了相似三角形的性质证明了:当直角三角形的一个锐角取任意一个固定值时，。
九年级数学下册第一章直角三角形的边角关系 北师大版
九年级数学下册第一章直角三角形的边角关系 北师大版【本讲教育信息】一. 教学内容：直角三角形的边角关系二. 教学目标：1. 理解锐角三角函数的概念，熟练掌握直角三角形的边角之间的关系。
2. 会计算含30°，45°，60°角的三角函数值的问题。
3. 能运用三角函数解决与直角三角形有关的实际问题。
三、重点及难点：重点：1. 会计算含30°，45°，60°角的三角函数值的问题。
2. 能运用三角函数解决与直角三角形有关的实际问题。
难点：能运用三角函数解决与直角三角形有关的实际问题。
四. 课堂教学 ［知识要点］1. 如图，在Rt △ABC 中，如果锐角A 确定，那么∠A 的对边与邻边的比便随之确定，这个比叫做∠A 的正切，记作tanA ，即的邻边的对边A A A tan ∠∠=∠A 的对边A ∠A 的邻边 C2. A tan 的值越大，梯子越陡。
3. 正切也经常用来描述山坡的坡度（坡面的铅直高度与水平宽度的比称为坡度（或坡比））4. ∠A 的对边与斜边的比叫做∠A 的正弦，记作sinA ，即斜边的对边A A sin ∠=5. ∠A 的邻边与斜边的比叫做∠A 的余弦，记作cosA ，即斜边的邻边A A cos ∠=6. sinA 的值越大，梯子越陡； cosA 的值越小，梯子越陡。
7. 锐角A 的正弦、余弦和正切都是∠A 的三角函数。
8.9. 测量底部可以到达的物体的高度。
所谓“底部可以到达”，就是在地面上可以无障碍地直接测得测点与被测物体的底部之间的距离。
如图，要测量物体MN 的高度，可按下列步骤进行：（1）在测点A 处安置测倾器，测得M 的仰角∠MCE=α。
（2）量出测点A 到物体底部N 的水平距离AN=l 。
（3）量出测倾器的高度AC=a （即顶线成水平位置时，它与地面的距离）。
则物体MN=ME+EN=l tan α+a10. 测量底部不可以到达的物体的高度。
北师大版九年级第一章《直角三角形的边角关系》说课稿
说课稿各位老师，大家好，我说课的内容是北师大版义务教育课程标准实验教科书九年级下册第一章《直角三角形的边角关系》第一节从梯子的倾斜度谈起的第二课时，下面我从几个方面给大家汇报我是如何钻研教材和设计教学程序的。
一、说教材本章是在学习了勾股定理和相似三角形的知识后学习的。
在初中阶段起着承前启后的作用。
直角三角形中边角之间的关系是现实世界中应用广泛之一，锐角三角函数在解决现实问题中有着重要作用。
（如在测量建筑、工程、物理学中）我认为在本节的教学中，应在具体情景中，理解三角函数的意义，并会用正弦、余弦来表示直角三角形的两边之比及会进行简单的计算。
二、说教法学生在前一节中已经学习了三角函数中的正切，已经对三角函数有了初步的认识，结合这种情况，我采用引导——探索——交流的方法，在具体情境中，让学生自己体会正弦余弦的意义，并能用之进行简单的计算。
三、说学法本节课要求积极地参与到教学活动中，发展合作交流的意识和独立思考的习惯。
让学生在原有的知识体系下理解并掌握本节知识点。
四、说教学程序1、温故知新（1）提问三角函数——正切，∠A对边定义：t anA=∠A邻边（2）怎样从正切来判断梯子的倾斜程度。
2、通过具体情景引入正弦、余弦概念，以及三角函数的定义。
∠A的对边（1）正弦：SinA=斜边∠A的邻边（2）余弦：CosA=斜边（3）锐角的A正弦、余弦、正切都是∠A的三角函数。
3、想一想：（1）教师提出问题：梯子的倾斜程度与∠A的正弦、余弦的什么关系。
（2）鼓励学生对照图形，先独立思考，在同桌之间进讨论。
说出想法。
4、出示例2：如果直角三角形中任意告诉一个三角函数的值，那么利用直角三角形的边角关系可以求出未知量。
5、做一做：对例2中得出的结论的直接应用。
6、随堂练习：P41、27、小结8、作业：P4 1 、2。
九年级数学下册第一章直角三角形的边角关系教案新版北师大版
ACBa cb第一章 直角三角形的边角关系一、教学目标：1、以问题的形式梳理本章的内容，使学生进一步会运用三角函数解直角三角形，并解决与直角三角形有关的实际问题。
2、通过实例进一步掌握锐角三角函数的定义，并能熟练掌握特殊角的三角函数值。
3、已知锐角求出它的三角函数值；由已知三角函数值求出它对应的锐角。
4、使学生进一步体会数形之间的联系，逐步学习利用数形结合的思想分析问题和解决问题。
二、基本技能1、定义：在Rt △ABC 中，如果锐角∠A 确定，那么锐角∠A 的对边与邻边的比、对边与斜边的比、邻边与斜边的比也随之确定。
这个比叫做∠A 的正切、∠A 的正弦、∠A 的余弦。
记作：的邻边的对边A A A ∠∠=tan ；sinA 斜边的对边A ∠= ； co sA 斜边的邻边A ∠=。
其中：锐角∠A 的正弦、余弦、正切都是∠A 的三角函数。
注意：（1）比值大小只与∠A 的大小有关，而与直角三角形的边长无关.（2）梯子的倾斜程度：梯子AB 越陡，tanA 、sinA 的值越大 , cosA 的值越小 2、解直角三角形的基本理论依据：在Rt △ABC 中，∠C=90°，∠A 、∠B 、∠C 所对的边分别为a 、b 、c 。
（1）三边的关系：a 2+b 2=c 2(勾股定理)； （2）两锐角的关系：∠A+∠B=90°（互余） （3）边与角之间的关系sinA=c a ， cosA=c b ， ta nA=b a ； sinB ＝c b ， cosB ＝c a ， tanB=ab。
例1、在Rt △ABC 中，∠C= 90° ，a 、b 、c 分别为△ ABC 的对边， 根据下列条件求出直角三角形的其他元素。
（1）62,66a b == （2）c=20，∠A= 45°例2、如图，在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，CD ⊥AB 于D ， tan ∠B ＝31，且BC ＝9 cm ， ABC∠A 的对边∠A 的邻边斜边求：AC 、CD 和sin A 、tan ∠BCD 的值 3、习题精选1、在 Rt △ABC 中，∠C=90°。
九年级数学下册第1章直角三角形的边角关系教案(新版)北师大版
第一章直角三角形的边角关系1.经历探索直角三角形中边角之间关系,以及30°,45°,60°角的三角函数值的过程,发展观察、分析、发现问题的能力.2.理解锐角三角函数的意义,并能够通过实例进行说明.3.会求解含30°,45°,60°角的三角函数值的问题.4.能够借助计算器由已知锐角求出它的三角函数值,或由已知三角函数值求出相应的锐角.5.能够用锐角三角函数解直角三角形,发展推理能力和运算能力.6.能够解决与直角三角形有关的实际问题,培养分析问题和解决问题的能力.7.体会数形之间的关系,逐步学习利用数形结合思想分析问题和解决问题.1.能够用锐角三角函数解直角三角形,发展推理能力和运算能力.2.能够解决与直角三角形有关的实际问题,培养分析问题和解决问题的能力.3.通过探索学习,使学生经历“观察——分析——发现——运用”的过程,掌握直角三角形边角之间的关系,进一步体会数形之间的联系.1.通过对直角三角形中边角之间关系的探究,进一步激发学生学习图形中各个元素之间关系的兴趣.2.能够运用锐角三角函数解直角三角形,进一步养成分析问题、解决问题的良好学习习惯.本章是在学习直角三角形的边、角知识的基础上,进一步探究直角三角形的边和角之间的关系.同时也是正比例函数、一次函数、反比例函数等函数知识的延续.直角三角形中边角之间的关系在现实生活中应用广泛.锐角三角函数在解决现实问题中有着重要的作用.如在测量、建筑、工程技术和物理学中,人们常常遇到距离、高度、角度的计算问题,一般来说,这些实际问题的数量关系往往归结为直角三角形中边和角之间关系的问题.通过直角三角形中边角之间的关系的学习,学生将进一步体会数学知识之间的联系(边和角之间的关系),把这种关系用数量的形式表示出来,是分析问题和解决问题过程中常用的方法.通过学习也将为其他数学知识奠定基础.通过研究图形之中各个元素之间的关系,进一步感受数形结合思想,体会数形结合的方法.【重点】1.三角函数及其有关的概念.2.特殊角的三角函数值的探究及应用.3.利用计算器求三角函数值或锐角的度数.4.能够用锐角三角函数解直角三角形.5.能够运用三角函数解决与直角三角形有关的简单的实际问题.【难点】1.探索直角三角形中边角之间关系和30°,45°,60°角的三角函数值的过程.2.解决与直角三角形有关的实际问题.3.体会数、形之间的关系,掌握用数形结合思想分析问题和解决问题.1.注重问题情境的创设.在引入锐角三角函数时,要创设符合学生实际生活的情境,激发学生的学习兴趣,使学生感受到数学与现实世界的联系.如通过梯子的情境问题,引出第一个三角函数——正切.对于这个问题,学生比较熟悉,而且属于开放性问题,直观上又容易判断.又如,在学习特殊角的三角函数时,用学生熟悉的三角尺引入,使学生较快进入30°,45°,60°角的三角函数值的探索.2.鼓励学生有条理地进行思考和表达.引导学生观察、分析、发现直角三角形中边角之间的关系,让他们学会有条理地思考和表达.例如,利用相似的直角三角形,如何获得正切的概念?如何建立直角三角形中角和边之间的关系?如何类比正切的概念获得正弦和余弦的概念?3.重视渗透数学思想方法,促进学生思维水平的提高.教学中应注重渗透数形结合的思想方法,引导学生逐步从对具体问题的研究中提炼出数学思想方法.在形成正切概念的过程中,教师要给学生留有充分的时间,让学生利用前面学过的相似三角形的知识去探索对边和邻边之比与角的大小的关系,进而获得正切的概念.在引出正弦和余弦的概念时,可以类比正切概念获得的过程,从数学的角度直接引入.这样可以使学生从已学知识进行联想,加深对概念的理解,提升学生的思想水平.在解直角三角形的过程中,要让学生体会计算过程所依据的算理,以及如何根据已知条件去探求结论的思考过程.4.关注问题解决的教学过程.对于实际问题,首先要引导学生弄清实际问题的意义,然后逐步把实际问题转化为数学问题,帮助学生形成模型思想.另外,教师要注意为学生的问题解决过程搭建“脚手架”:一是对一些术语(如仰角、俯角、坡度、零部件截面图等)进行说明;二是对解决问题的策略、问题的发现和提出等,都要提供一定的帮助与支持.5.精心设计实践活动的教学流程.对于第6节“利用三角函数测高”这样的实践活动,建议首先将学生分组,各组分头准备测量所需的仪器;其次,由学生自己设计活动报告,教师给予必要的指导;再次,尽量安排那些学生比较熟悉,且易于开展的小组活动,并能保证任务完成的质量;最后,在活动期间,教师应在现场观察、指导各组的活动,同时应做必要的记录.6.根据《标准》要求,把握好三角函数的定位.教学中要把握好三角函数的定位.教科书上虽然称“锐角A的正弦、余弦和正切都是∠A的三角函数”,但实际上并没有特别明确地从函数的角度研究它们,也就是说没有研究随着角的变化,其三角函数值的变化规律;而是研究当锐角一定时,直角三角形中相应边的比值是什么.教学中要把握好这个定位,切莫提高要求.1锐角三角函数1.经历探索直角三角形中边角之间关系的过程.2.理解锐角三角函数(正切、正弦、余弦)的意义,并能够举例说明.3.能够运用tan A,sin A,cos A表示直角三角形中两边的比.4.能够根据直角三角形中的边角关系进行简单的计算.1.经历三个锐角三角函数的探索过程,确信三角函数的合理性,体会数形结合的数学思想.2.在探索锐角三角函数的过程中,初步体验探索、讨论、验证对学习数学的重要性.1.通过锐角三角函数概念的建立,使学生经历从特殊到一般的认识过程.2.让学生在探索、分析、论证、总结获取新知识的过程中体验成功的喜悦,从解决实际问题中感悟数学的实用性,培养学生学习数学的兴趣.【重点】1.理解锐角三角函数的意义.2.能利用三角函数解三角形的边角关系.【难点】能根据直角三角形的边角关系进行简单的计算.第课时1.经历探索直角三角形中边角关系的过程.理解正切的意义和与现实生活的联系.2.能够用tan A表示直角三角形中两直角边的比,表示生活中物体的倾斜程度、坡度等,能够用正切进行简单的计算.3.理解正切、倾斜程度、坡度的数学意义,加强数学与生活的联系.1.体验数形之间的联系,逐步学习利用数形结合思想分析问题和解决问题.提高解决实际问题的能力.2.体会解决问题的策略多样性,发展实践能力和创新精神.1.积极参与数学活动,对数学产生好奇心和求知欲.2.形成实事求是的态度以及独立思考的习惯.【重点】1.从现实情境中探索直角三角形的边角关系.2.理解正切、倾斜程度、坡度的数学意义,加强数学与生活的联系.【难点】理解正切的意义,并用它来表示生活中物体的倾斜程度、坡度等.【教师准备】多媒体课件.【学生准备】1.自制4个直角三角形纸板.2.复习直角三角形相似的判定和直角三角形的性质.导入一:课件出示:你知道图中建筑物的名字吗?是的,它就是意大利著名的比萨斜塔,是世界著名建筑奇观,位于意大利托斯卡纳省比萨城北面的奇迹广场上,是奇迹广场三大建筑之一,也是意大利著名的标志之一,它从建成之日起便由于土层松软而倾斜.【引入】应该如何来描述它的倾斜程度呢?学完本节课的知识我们就能解决这个问题了.[设计意图]创设新颖、有趣的问题情境,以比萨斜塔的倾斜程度激发学生的学习兴趣,从而自然引出课题,并且为学生探究梯子的倾斜程度埋下伏笔.导入二:课件出示:四个规模不同的滑梯A,B,C,D,它们的滑板长(平直的)分别为300 cm,250 cm,200 cm,200 cm;滑板与地面所成的角度分别为30°,45°,45°,60°.【问题】四个滑梯中哪个滑梯的高度最高?[设计意图]利用学生所熟悉的滑梯进行引导,使学生有亲切感,滑梯与课本中引用梯子比较类似,学生的探究思路会比较顺畅.(一)探究新知请同学们看下图,并回答问题.探究一:问题1课件出示:在下图中,梯子AB和EF哪个更陡?你是怎样判断的?你有几种判断方法?小组讨论后展示结果:1组:梯子AB较陡.我们组是借助量角器量倾斜角,发现∠ABC>∠EFD,根据倾斜角越大,梯子就越陡,可以得到梯子AB较陡.师:哪组还有不同的判定方法?2组:我们也是认为梯子AB较陡.我们组是分别计算AC与BC的比,ED与FD的比,发现前者的比值大,根据铅直高度与水平宽度的比越大,梯子就越陡,可以得到梯子AB较陡.3组:我们组的方法和1组的大致相同,借助倾斜角来判断,不过不是测量,我们是过E 作EG∥AB交FD于G,就可以清晰比较∠ABC与∠EFD的大小了.4组:我们组发现这两架梯子的高度相同,水平宽度越小,梯子就越陡,所以我们也认为梯子AB较陡.探究二:问题2课件出示:在下图中,梯子AB和EF哪个更陡?你是怎样判断的?学生会类比问题1给出的四种判断方法,只要说得合理即可.问题3课件出示:在下图中,梯子AB和EF哪个更陡?你是怎么判断的?多给学生思考和讨论的时间.代表发言:AB和EF的倾斜度一样.由于两个直角三角形的两直角边的比值相等,再加上夹角相等,可以判定两个直角三角形相似,根据相似三角形的对应角相等,可以证明两个倾斜角相等,所以AB和EF的倾斜度一样.教师引导:我们发现当直角三角形的两直角边的比值相等时,梯子的倾斜度一样,请大家判断一下在问题2与问题3中,两直角边的比值与倾斜度有什么关系?请继续探究下面的问题.问题4课件出示:在下图中,梯子AB和EF哪个更陡?你是怎样判断的?教师引导:我们观察上图直观判断梯子的倾斜程度,即哪一个更陡,可能就比较困难了.能不能从上面的探究中得到什么启示呢?生讨论后得出:思路1:梯子EF较陡,因为∠EFD>∠ABC,根据倾斜角越大,梯子就越陡.思路2:梯子EF较陡,因为>,根据铅直高度与水平宽度的比越大,梯子就越陡.师生共同总结:在日常的生活中,我们判断哪个梯子更陡,应该从梯子AB和EF的倾斜角大小,或垂直高度和水平宽度的比的大小来判断.做一做:请通过计算说明梯子AB和EF哪一个更陡呢?生独立解答,代表展示:∵==,==,<,∴梯子EF比梯子AB更陡.[设计意图]通过探究逐层深入的问题,让学生经历由简单到复杂、由特殊到一般的探究过程,既对已学知识和生活经验进行了回味和运用,也让学生的思想逐步向本节课的中心“两直角边之比”靠近.[知识拓展]梯子的倾斜程度的判定方法:(1)梯子的倾斜程度和倾斜角有关系,倾斜角越大,梯子就越陡.(2)梯子的倾斜程度和铅直高度与水平宽度的比有关系,铅直高度与水平宽度的比越大,梯子就越陡.【想一想】如图所示,小明想通过测量B1C1及AC1,算出它们的比,来说明梯子的倾斜程度;而小亮则认为,通过测量B2C2及AC2,算出它们的比,也能说明梯子的倾斜程度.你同意小亮的看法吗?(1)直角三角形AB1C1和直角三角形AB2C2有什么关系?生很容易得出两个三角形相似.由生说明理由:∵∠B2AC2=∠B1AC1,∠B2C2A=∠B1C1A=90°,∴Rt△AB1C1∽Rt△AB2C2.(2)和有什么关系?由于Rt△AB1C1∽Rt△AB2C2,所以有=.(3)如果改变B2在梯子上的位置呢?由此你得出什么结论?生先独立思考后分组讨论.生得出结论:改变B2在梯子上的位置,铅直高度与水平宽度的比始终相等.想一想:现在如果改变∠A的大小,∠A的对边与邻边的比值会改变吗?生讨论得出:∠A的大小改变,∠A的对边与邻边的比值会改变.∠A的对边与邻边的比只与∠A的大小有关系,而与它所在直角三角形的大小无关.【总结提升】由于直角三角形中的锐角A确定以后,它的对边与邻边的比也随之确定,因此我们有如下定义:如图所示,在Rt△ABC中,如果锐角A确定,那么∠A的对边与邻边之比便随之确定,这个比叫做∠A的正切(tangent),记作tan A,即tan A=.当锐角A变化时,tan A的值也随之变化.能力提升:如果∠A+∠B=90°,那么tan A与tan B有什么关系?生讨论得出结论:tan A=,即任意锐角的正切值与它的余角的正切值互为倒数.【议一议】前面我们讨论了梯子的倾斜程度,在课本图1-3中,梯子的倾斜程度与tan A有关系吗?学生思考后,统一答案:tan A的值越大,梯子越陡.(反之,梯子越陡,tan A的值越大)[设计意图]此环节的设计是为了突出概念的形成过程,帮助学生理解概念.通过让学生参与、动手操作,让学生学会由特殊到一般、数形结合及函数的思想方法,提高学生分析问题和解决问题的能力.[知识拓展]正切的注意事项:(1)tan A是一个完整的符号,它表示∠A的正切,记号里习惯省去角的符号“∠”.(2)tan A没有单位,它表示一个比值,即直角三角形中∠A的对边与邻边的比.(3)tan A不表示“tan”乘以“A”.(4)初中阶段,我们只学习直角三角形中锐角的正切.(教材例1)如图所示表示甲、乙两个自动扶梯,哪一个自动扶梯比较陡?想一想:要判断哪个自动扶梯比较陡,只需求出什么即可?生思考后得出:比较甲、乙两个自动扶梯哪一个陡,只需分别求出tan α,tan β的值进行比较大小即可,正切值越大,扶梯就越陡.要求学生独立解答,代表展示:解:甲梯中,tan α==.乙梯中,tan β==.因为tan α>tan β,所以甲梯更陡.[设计意图]通过对例题的解答让学生初步学会运用“正切”这一数学工具判断梯子的倾斜程度,同时规范学生的解题步骤,培养良好的解题习惯.课件出示:如图所示,有一山坡在水平方向上每前进100 m就升高60 m,那么山坡的坡度 (即tan α)就是: i=tan α==.结论:坡面与水平面的夹角(α)称为坡角,坡面的铅直高度与水平宽度的比称为坡度(或坡比),tan α=,即坡度等于坡角的正切.[设计意图]正切在日常生活中的应用很广泛,通过正切刻画梯子的倾斜程度及坡度的数学意义,密切数学与生活的联系,使学生明白学习数学就是为了更好地应用数学,为生活服务.[知识拓展]坡度与坡面的关系:坡度越大,坡面越陡.(1)正切的定义:tan A=.(2)梯子的倾斜程度与tan A的关系(∠A和tan A之间的关系):tan A的值越大,梯子越陡.(3)坡度(或坡比)的定义:i=tan α=.1.在Rt△ABC中,∠C=90°,AB=13,AC=12,则tan A等于()A. B. C. D.解析:∵在Rt△ABC中,∠C=90°,AB=13,AC=12,∴BC=5,∴tan A=.故选B.2.如图所示,将∠AOB放置在5×5的正方形网格中,则tan∠AOB的值是()A. B.C. D.解析:认真读图,在以∠AOB的O为顶点的直角三角形里求tan∠AOB的值,由图可得tan∠AOB=.故选B.3.(2014·温州中考)如图所示,在△ABC中,∠C=90°,AC=2,BC=1,则tan A的值是.解析:tan A==.故填.4.河堤横断面如图所示,堤高BC=5 m,迎水坡AB的坡度是1∶(坡度是坡面的铅直高度BC与水平宽度AC之比),则AB的长是.解析:在Rt△ABC中,BC=5,tan A=1∶,∴AC=5,∴AB==10(m).故填10 m.第1课时(1)正切的定义:tan A=.(2)梯子的倾斜程度与tan A的关系(∠A和tan A之间的关系):tan A的值越大,梯子越陡.(3)坡度(或坡比)的定义:i=tan α=.一、教材作业【必做题】1.教材第4页随堂练习第1,2题.2.教材第4页习题1.1第1,2题.【选做题】教材第4页习题1.1第3,4题.二、课后作业【基础巩固】1.如图所示,在Rt△ABC中,∠C=90°,AC=6,BC=8,则tan A的值为()A. B.C. D.2.小明沿着坡度为1∶2的山坡向上走了1000 m,则他升高了()A.500 mB.200 mC.500 mD.1000 m3.已知斜坡的坡度为i=1∶5,如果这一斜坡的高度为2 m,那么这一斜坡的水平距离为m.【能力提升】4.(2015·山西中考)如图所示,在网格中,小正方形的边长均为1,点A,B,C都在格点上,则∠ABC的正切值是()A.2B.C. D.5.如图所示,将以A为直角顶点的等腰直角三角形ABC沿直线BC平移得到△A'B'C',使点B'与C重合,连接A'B,则tan∠A'BC'的值为.6.如图所示,在锐角三角形ABC中,AB=10 cm,BC=9 cm,△ABC的面积为27 cm2.求tan B的值.7.某商场为方便顾客使用购物车,准备将滚动电梯的坡面坡度由1∶1.8改为1∶2.4(如图所示).如果改动后电梯的坡面长为13 m,求改动后电梯水平宽度增加部分BC的长.【拓展探究】8.如图所示,在△ABC中,AB=AC,BD是AC边上的中线,若AB=13,BC=10,试求tan∠DBC的值.【答案与解析】1.D(解析:∵在Rt△ABC中,∠C=90°,AC=6,BC=8,∴tan A===.故选D.)2.B(解析:设铅直高度为x m,∵坡度为1∶2,∴水平宽度为2x m,由勾股定理得x2+(2x)2=10002,解得x=200.∴他升高了200 m.故选B.)3.10(解析:∵斜坡的坡比是1∶5,∴=.∴=,∴斜坡的水平距离为=10 m.故填10.)4.D(解析:如图所示,连接AC,由勾股定理,得AC=,AB=2,BC=,∴△ABC为直角三角形,∴tan B==.故选D.)5.(解析:如图所示,过A'作A'D⊥BC',垂足为D.在等腰直角三角形A'B'C'中,易知A'D是底边上的中线,∴A'D=B'D=.∵BC=B'C',∴tan∠A'BC'===.故填.)6.解:如图所示,过点A作AH⊥BC于H,∵S△ABC=27,∴×9×AH=27,∴AH=6.∵AB=10,∴BH===8,∴tan B===.7.解:在Rt△ADC中,AD∶DC=1∶2.4,AC=13,由AD2+DC2=AC2,得AD2+(2.4AD)2=132,∴AD=±5(负值不合题意,舍去),∴DC=12.在Rt△ABD中,∵AD∶BD=1∶1.8,∴BD=5×1.8=9,∴BC=DC-BD=12-9=3(m).答:改动后电梯水平宽度增加部分BC的长为3 m.8.解:如图所示,过点A,D分别作AH⊥BC,DF⊥BC,垂足分别为点H,F.∵BC=10,AH⊥BC,AB=AC,∴BH=5.∵AB=13,∴AH==12,在Rt△ACH中,AH=12,易知AH∥DF,且D为AC中点,∴DF=AH=6,∴BF=BC=,∴在Rt△DBF中,tan∠DBC==.本节课是三角函数部分的第一节概念教学,教学内容比较抽象,学生不易理解.为此结合初中学生身心发展的特点,运用实验教学、直观教学,唤起和加深学生对教学内容的体会和了解,并培养和发展学生的观察、思维能力,这是贯彻“从生动的直观到抽象的思维,并从抽象的思维到实践”的认识规律,能使学生学习数学的过程成为积极的、愉快的和富有想象的过程,使学习数学的过程不再是令人生畏的过程.概念教学由学生熟悉的实例入手,引导学生观察、分析、动手、动脑、动口多种感官参与,并组织学生积极参与小组成员间合作交流.通过由特殊到一般、具体到抽象的探索过程,紧紧围绕着函数概念,引出正切概念,再通过相应的典型题组练习巩固概念.并且在教学过程中,注重了阶段性的反思小结,使学生能够及时总结知识和方法.本节课的开放性还不够,探究梯子倾斜程度时,学生的一些奇思妙想没有给予展示机会.第一个环节内容设计多了一些,所以导致后面的教学处理上稍显仓促.对第一个环节的处理力求更加简洁,并大胆放手让学生去探索、去发现,真正让学生成为学习的主人.随堂练习(教材第4页)1.解:能.tan C====.2.解:根据题意,得AB=200,BC=55,则AC===5,所以山的坡度为=≈0.286.习题1.1(教材第4页)1.解:∵BC===12,∴tan A==,tan B==.2.解:∵tan A==,BC=3,∴AC=BC=.4.tan A=.学生学习时首先通过情境题了解本节课学习的主要任务,做到有的放矢,然后利用“由一般到特殊”的数学思想,通过三个探究活动逐步得出梯子的倾斜程度与tan A的关系(∠A和tan A之间的关系),在探究的过程中可以通过自主探究与合作交流的方式抓住重点,突破难点.学生在运用正切解决问题时,一定要注意其前提条件——在直角三角形中,找准直角是解题的关键.而有些题目需要作辅助线构造直角三角形,也可以通过角度的转化进行求解,同时还要注意数形结合思想的运用.如图所示,设计建造一条道路,路基的横断面为梯形ABCD,设路基高为h,两侧的坡角分别为α,β.已知h=2 m,α=45°,tanβ=,CD=10 m.求路基底部AB的宽.〔解析〕如图所示,过D,C分别作下底AB的垂线,垂足分别为E,F.在Rt△ADE和Rt △BCF中,可根据h的长以及坡角的度数或坡比的值,求出AE,BF的长,进而可求得AB的值.解:如图所示,过D作DE⊥AB于E,过C作CF⊥AB于F,∴DE∥CF.∵四边形ABCD为梯形,∴AB∥CD,∴EF=CD=10 m.∴四边形DCFE为矩形.在Rt△ADE中,α=45°,DE=h=2 m,∴CF=DE=h=2 m.在Rt△BCF中,tan β=,CF=2 m,∴BF=2CF=4(m).故AB=AE+EF+BF=AE+CD+BF=2+10+4=16(m).答:路基底部AB的宽为16 m.[解题策略]此题主要考查了坡度问题的应用,求坡度、坡角问题通常要转换为解直角三角形的问题,必要时应添加辅助线,构造出直角三角形.第课时1.经历探索直角三角形中边角关系的过程.理解正弦、余弦及三角函数的意义和与现实生活的联系.2.能够用sin A,cos A表示直角三角形中直角边与斜边的比,能够用正弦、余弦进行简单的计算.1.体验数形之间的联系,逐步学习利用数形结合的思想分析问题和解决问题.提高解决实际问题的能力.2.体会数学来源于生活又服务于生活的理念.1.在探究新知的过程中,培养与他人合作的意识.2.激发学生探究新知的兴趣,让他们体会学习数学的快乐,培养应用数学的意识.【重点】1.理解锐角三角函数正弦、余弦的意义,并能举例说明.2.能用sin A,cos A表示直角三角形两边的比.3.能根据直角三角形的边角关系进行简单的计算.【难点】类比正切,用函数思想理解正弦和余弦.【教师准备】多媒体课件.【学生准备】复习tan A的定义以及利用tan A表示直角三角形两边比的方法.导入一:如图所示,AC是旗杆AB的一根拉线,测得AB=6 m,∠ACB=α,同学们,你能用α表示出拉线AC的长度吗?【问题】边AB和AC分别是∠ACB的什么边?和我们上节课学习的正切一样吗?[设计意图]通过与正切的对比,引出本节课要探究的问题,让学生体会类比思想的重要性.导入二:课件出示:如图所示,我们在上一节课学习了直角三角形中的一种边与角之间的关系——正切.由正切定义我们知道正切是一个比值,并且得出了当Rt△ABC中的一个锐角A确定时,其对边与邻边的比值便随之确定.【问题】此时,其他边之间的比值也确定吗?[设计意图]引导学生回忆上节课学的正切后,开门见山,直入正题,让学生的思维很快进入今天的学习内容.一、正弦、余弦、三角函数的定义问题1课件出示:如图所示,在直角三角形中,除了两直角边的比值外还有其他边之间的比值吗?生观察后思考得出:还可以用直角边比斜边或斜边比直角边.(这里学生可能会提到多种情况,只要学生回答的有道理就予以肯定和表扬)教师引导:如果以∠A为例,总结一下共有几种情况.【学生活动】同伴交流,总结归纳出两种类型:对边与斜边的比、邻边与斜边的比.【教师点评】在Rt△ABC中,如果锐角A确定,那么∠A的对边与斜边的比和邻边与斜边的比也随之确定.【师生活动】共同总结:∠A的对边与斜边的比叫做∠A的正弦(sine),记作sin A,即sin A=.∠A的邻边与斜边的比叫做∠A的余弦(cosine),记作cos A,即cos A=.锐角A的正弦、余弦和正切都是∠A的三角函数.提示:当锐角A变化时,相应的正弦、余弦和正切值也随之变化.[设计意图]通过探究,引导学生类比正切的概念总结出正弦、余弦及三角函数的概念,为下面的学习打下良好的基础.【想一想】在教材图1-3中,梯子的倾斜程度与sin A和cos A有关系吗?。
北师大版九年级数学下册第一章直角三角形的边角关系学案：锐角三角函数讲义(无答案)-2019年精选学习文档
直角三角形的边角关系讲义【基础知识精讲】一、互余两角之间的函数关系：二、同角三角函数：1cos sin 22=+A A 1cot tan =⋅A A三、坡比（坡度）：坡面的铅直高度h 与水平宽度L 的比叫做坡角的正切或坡比. 用字母i 表示，即i= tana = lh 【例题巧解点拨】 例1.计算：（1）2020*******sin 88sin 3sin 2sin 1sin+++++（2）︒⋅︒⋅︒⋅︒⋅︒⋅︒⋅︒⋅︒80tan 70tan 60tan 50tan 40tan 30tan 20tan 10tan .（3）计算：例3 如图，△ABC 中，cosB ＝22，sinC ＝53，则△ABC 的面积是（ ） A ．221 B ．12 C ．14 D ．21 变式训练：1. 如图，在四边形ABCD 中，E 、F 分别是AB 、AD 的中点，若EF=2，BC=5，CD=3，则tanC 等于（ ）A.43B.34C.53D. 54 2．如图，两条宽度都是1的纸条，交叉重叠放在一起，且它们的夹角为α，则它们的重叠部分的面积为_________.【名书、名校、中考、竞赛在线】一、选择题：1.如图，从热气球C 处测得地面A 、B 两点的俯角分别为30°、45°，如果此时热气球C 处的高度CD 为100米， 点A 、D 、B 在同一直线上，则AB 两点的距离是（ ）A ．200米 B. C. D. 1)米2．小明想测一棵树的高度，他发现树的影子恰好落在地面和一斜坡上，如图，此时测得地面上的影长为8米，坡面上的影长为4米，已知斜坡的坡角为300，同一时刻，一根长为1米、垂直于地面放置的标杆在地面上的影长为2米，则树的高度为（ ）A. (6米B. 12米 C ．(+4米 D. 10米1题图 2二、填空题:3. 在阳光下，一名同学测得一根长为1米的竹竿的影子长为一颗树的高度时，发现影子不全落在地面上，有一部分影子落在墙壁上，其影长为落在地面上的影子长为2.4米，则树高为_____米。
北师大版九年级数学下册第一章直角三角形的边角关系单元说课稿
4.课堂评价：学生互评、教师评价，激发学生的学习积极性，促进教学相长。
四、教学过程设计
（一）导入新课
为了快速吸引学生的注意力和兴趣，我将采用以下方式导入新课：
1.创设情境：通过展示一张斜拉桥的图片，让学生观察并思考：为什么斜拉桥的形状是三角形？直角三角形在生活中的应用有哪些？
这些媒体资源在教学中的作用是：直观展示抽象的数学知识，降低学生的学习难度；激发学生的学习兴趣，提高课堂参与度；辅助教师讲解，提高教学效果。
（三）互动方式
为促进学生的参与和合作，我计划设计以下师生互动和生生互动环节：
1.师生互动：教师提问，学生回答，引导学生积极参与课堂讨论，巩固所学知识；
2.生生互动：小组合作，共同探究问题，鼓励学生互相交流、互相学习，提高团队协作能力；
（1）激发学生对数学学科的兴趣，培养良好的学习习惯；
（ห้องสมุดไป่ตู้）培养学生的空间想象力和逻辑思维能力；
（3）增强学生的自信心，培养勇于探索、积极进取的精神。
（三）教学重难点
根据对学生的了解和教学内容的分析，本节课的教学重点和难点如下：
1.教学重点：
（1）直角三角形的定义、性质及其判定；
（2）勾股定理及其逆定理的应用；
-通过举例和练习，加强对勾股定理逆定理的解释和应用；
-设计更多贴近生活的实际问题，帮助学生建立数学模型；
-课后提供辅导和答疑，满足不同学生的学习需求。
课后，我将通过以下方式评估教学效果：
-收集学生的课堂练习和作业，分析掌握程度；
-与学生进行交流，了解他们的学习感受和建议；
-观察学生的课堂参与度和互动情况。
九年级数学下册 第一章直角三角形的边角关系复习教案 北师大版
第一章直角三角形的边角关系
回顾与思考
（一）教学核心
1．经历回顾与思考，建立本章的知识框架图；
2．利用计算器，发现同角的正弦、余弦、正切之间的关系；
3．进一步体会直角三角形边角关系在现实生活中的广泛应用；
4．体会数形之间的联系，逐步学会利用数形结合的思想分析问题和解决问题；
（二）课时安排
1课时
（三）教学内容
回顾与思考中共设计有四个问题，帮助大家回顾、思考直角三角形中反映边角关系的三角函数的概念，直角三角形中边角关系在现实生活中的广泛应用，体现数形之间的联系。
以及把实际问题数学化的过程，更进一步了解知识间的联系和综合应用。
使三角函数的意义从现实生活中来，而又服务于现实生活中，从现实生活中抽象出数学问题，然后数形结合，用三角函数解决问题。
（四）教学建议
1.教师可以通过一系列的练习题的解答，逐步呈现本章知识点，然后要求学生自己对本章的内容进行小结，随后进行交流，形成知识框架图。
2．可以让学生说一说他们利用三角函数的知识解决了什么实际问题，或利用三角函数解决问题的体会。
3．可以让学生说一说他们在使用计算器解决问题的过程中有什么发现等。
用心爱心专心 1。
北师大版九年级下册第一章直角三角形的边角关系(教案)..4直角三角形公开课
最后，我反思自己的教学方式和方法，是否足够生动有趣，能否吸引所有学生的学习兴趣。我意识到，作为一名教师，我需要不断更新自己的教学策略，寻找更多激发学生学习热情和兴趣的方法。
五、教学反思
在上完这节关于直角三角形边角关系的公开课后，我有一些深刻的体会和思考。首先，我发现学生们对于正弦、余弦、正切的概念掌握程度参差不齐。在讲授过程中，我尽量用简单明了的语言和具体实例来解释这些概念，但仍有部分学生显得有些困惑。我意识到，可能需要通过更多的实际操作和直观演示来帮助他们更好地理解这些抽象的数学概念。
3.成果分享：每个小组将选择பைடு நூலகம்名代表来分享他们的讨论成果。这些成果将被记录在黑板上或投影仪上，以便全班都能看到。
（五）总结回顾（用时5分钟）
今天的学习，我们了解了正弦、余弦、正切的基本概念、重要性和应用。同时，我们也通过实践活动和小组讨论加深了对直角三角形边角关系的理解。我希望大家能够掌握这些知识点，并在日常生活中灵活运用。最后，如果有任何疑问或不明白的地方，请随时向我提问。
（二）新课讲授（用时10分钟）
1.理论介绍：首先，我们要了解正弦、余弦、正切的基本概念。正弦是对边与斜边的比值，余弦是邻边与斜边的比值，正切是对边与邻边的比值。它们在解决直角三角形相关问题中起着关键作用。
2.案例分析：接下来，我们来看一个具体的案例。通过计算一个直角三角形中某一角度的正弦、余弦、正切值，展示这些概念在实际中的应用，以及如何帮助我们解决问题。
4.培养学生的观察能力、逻辑思维能力和团队协作能力。
九年级数学下册第一章直角三角形的边角关系复习教案(北师大版)
第1章直角三角形的边角关系课题回顾与思考教具目标(一)教学知识点1．经历回顾与思考，建立本章的知识框架图．2．利用计算器，发现同角的正弦、余弦、正切之间的关系。
3．进一步体会直角三角形边角关系在现实生活中的广泛应用．(二)能力训练要求1．体会数形之间的联系，逐步学会利用数形结合的思想分析问题和解决问题．2．进一步体会三角函数在现实生活中的广泛应用，增强应用数学的意识．(三)情感与价值观要求1．在独立思考问题的基础上，积极参与对数学问题的讨论，敢于发表自己的观点．并尊重与理解他人的见解，在交流中获益．2．认识到数学是解决现实问题的重要工具，提高学习数学的自信心．教学重点1．建立本章的知识结构框架图．2．应用三角函数解决现实生活中的问题，进一步理解三角函数的意义．教学难点应用三角函数解决问题教学方法探索——发现法教具准备多媒体演示、计算器教学过程Ⅰ．回顾、思考下列问题，建立本章的知识框架图[师]直角三角形的边角关系，是现实世界中应用广泛的关系之一．通过本章的学习，我们知道了锐角三角函数在解决现实问题中有着重要的作用．如在测量、建筑、工程技术和物理学中，人们常常遇到距离、高度、角度的计算问题，—般来说，这些实际问题的数量关系往往归结为直角三角形中边和角的关系．利用锐角三角函数解决实际问题是本章的重要内容，很多实际问题穿插于各节内容之中．[问题门举例说明，三角函数在现实生活中的应用．[生]例如：甲、乙两楼相距30 m ，甲楼高40 m ，自甲楼楼顶看乙楼楼顶．仰角为30°，乙楼有多高?(结果精确到1 m)解：根据题意可知：乙楼的高度为30tn30°=40+30×33 =40+103≈57(m)，即乙楼的高度约为57 m ．[生]例如，为了测量一条河流的宽度，一测量员在河岸边相距180 m 的P 和Q两点分别测定对岸一棵树T的位置，T 在P 的正南方向，在Q 南偏西50°的方向，求河宽(结果精确到1 m)．解：根据题意，∠TPQ＝90°，∠PQT=90°-50°＝40°，PQ＝180 m．则：PT就是所求的河宽．在Rt△TPQ中，PT=180×tan40°=180×0．839≈151 m，即河宽为151 m．[师]三角函数在现实生活中的应用很广泛，下面我们来看一个例子．多媒体演示如图．MN表示某引水工程的一段设计路线从M到N的走向为南偏东30°，在M的南偏东60°的方向上有一点A，以A为圆心，500 m为半径的圆形区域为居民区，取MN上的另一点B，测得BA 的方向为南偏东75°，已知MB＝400 m，通过计算回答，如果不改变方向，输水路线是否会穿过居民区?[师生共析]解：根据题意可知∠CMB=30°，∠CMA＝60°，∠EBA＝75°，MB=400 m，输水路线是否会穿过居民区，关键看A到MN的最短距离大于400 m还是等于400 m，于是过A作AD⊥MN．垂足为D．∵BE//MC．∴∠EBD＝∠CMB＝30°．∴∠ABN=45°．∠AMD＝∠CMA-∠CMB＝60°-30°=30°．在Rt △ADB 中，∠ABD ＝45°，∴tan45°＝BD AD ，BD ＝︒45tan AD ＝AD ， 在Rt △AMD 中．∠AMD=30°，tan30° =MDAD ，MD ＝︒30tan AD =3AD ， ∵MD=MD-BD ，即 3AD-AD ＝400， AD-200(3+1)m>400m ．所以输水路线不会穿过居民区．[师]我们再来看[问题2]任意给定一个角，用计算器探索这个角的正弦、余弦、正切之间的关系．例如∠α＝25°，sin α、cos α、tan α的值是多少?它们有何关系呢?[生]sin25°≈0．4226，cos25°≈0．9063，tan25°≈0．4663． 而︒︒25cos 25sin ≈0．4663． 我们可以发现ααcos sin ＝tan α． [师]这个关系是否对任意锐角都成立呢?我们不妨从三角函数的定义出发来推证一下．[师生共析]如图，在Rt △ABC 中．∠C ＝90°，∵sinA ＝AB BC cosA ＝AB AC tanA ＝ACBC ，∴ACBC AC AB AB BC AB AC AB BC A A =⋅=÷=cos sin =tanA, tanA=A A cos sin . 这就是说，对于任意锐角A ，∠A 的正弦与余弦的商等于∠A 的正切．[师]下面请同学们继续用计算器探索sin α，cos α之间的关系．[生]sin 225°≈0．1787,cos 225°≈0．8213，可以发现：sin 225°+cos 225°≈0．1787+0．8213＝1．[师]我们可以猜想任意锐角都有关系：sin 2α+cos 2α＝1，你能证明吗?[师生共析]如上图．sinA= AB BC ，cosA=ABAC sin 2A+cos 2A ＝2222222AB AC BC AB AC AB BC +=+， 根据勾股定理，得BC 2+AC 2＝AB 2，∴sin 2A+cos 2A ＝1，这就是说,对于任意锐角A ，∠A 的正弦与余弦的平方和等于1．[师]我们来看一个例题，看是否可以应用上面的tanA 、sinA 、cosA 之间的关系．已知cosA=53，求sinA ．tanA ． [生]解：根据sin 2A+cos 2A ＝1．得sinA ＝.54)53(1cos 122=-=-A tanA=345354cos sin ==A A .[生]我还有另外一种解法,用三角函数的定义来解．解：∵cosA ＝.53=∠斜边的邻边A 设∠A 的邻边＝3k ．斜边＝5k ．则∠A 的对边＝.4)3()5(22k k k =-∴sinA=.5454==∠k k A 斜边的邻边 tanA=.3434==∠∠k k A A 的邻边的对边 [师]问题3：你能应用三角函数解决哪些问题?[生]锐角三角函数反映了直角三角形的边角关系．凡是属于直角三角形的问题或可以转化为直角三角形的问题，都可以用三角函数来解决．[师]我们知道在直角三角形中，除直角外，有两个锐角．两条直角边以及斜边共5个元素，它们之间的关系很丰富．如图：在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，∠A 、∠B 、∠C 所对的边分别为a 、b 、c ．(1)边的关系：a 2+b 2=c 2(勾股定理)：(2)角的关系：∠A+∠B ＝90； (3)sinA=c a ，cosA=c b ，tanA=b a ；sinB=c b ，cosB=c a ，tanB=ab ． 利用三角形的全等和直角三角形全等，以及作图，我们知道：当一直角边和斜边确定时，直角三角形唯一确定，即直角三角形的一直角边和斜边已知，则直角三角形中其他元素都可以求出．同学们不妨试一试．[生]例如Rt △ABC 中，∠C ＝90°．a ＝4，c=8求b ，∠A 及∠B解：∵a ＝4，c ＝8，根据勾股定理可得 b=3422=-a c .∵sinA=c a =2184=， ∴∠A ＝30°．又∵∠A+∠B ＝90°，∴∠B ＝60°．[师]很好，是不是只要知道直角三角形除直角外的两个元素，其余元素就都可以求出呢?[生甲]可以．[生乙]不可以．例如Rt △ABC 中，∠c ＝90°，∠A ＝25°．∠B=65°．这样的直角三角形有无数多个，是不唯一确定的，所以其余的元素无法确定．[生丙]我认为已知直角三角形中除直角外的两个元素．其中至少有一个边，就可以求出其余元素．[师]很好，我们来做一个练习．多媒体演示：在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，a 、b 、c 分别是∠A ，∠B 、∠C 的对边．(1)已知a ＝3，b ＝3，求C ，∠A ，∠B ．(2)已知b ＝5，c ＝10，求a ，∠A ，∠B ．(3)已知∠A=45°，c ＝8，求a ，b ，∠B ．[生]解：(1)根据勾股定理c ．=23332222=+=+b a .又∵tanA ∴∠A=b a =33=1, ∴∠A=45°． 又∵∠A+∠B ＝90，∴∠B ＝45°．(2)根据勾股定理，得a=355102222=-=-b c ,又∵sinB ＝21105==c b ∴∠B=30°． 又∵∠A+∠B=90°∴∠A=60°.(3) ∵sinA=ca ∴=csinA=8×sin45°=42, 又∵cosA ＝cb ∴b=c ·cosA ＝8×cos45°=42， 又∵∠A+∠B ＝90°，∴∠B=45°．[师]实践证明，在直角三角形中，已知除直角外的两个元素(至少有一个是边)，利用直角三角形中特殊的边的关系、角的关系、边角关系，就可求出其余所有元素．因此，在现实生活中，如测量、建筑、工程技术和物理学中，常遇到的距离、高度、角度都可以转化到直角三角形中，这些实际问题的数量关系往往就归结为直角三角形中边和角的关系问题．接下来，我们看问题4：如何测量一座楼的高度?你能想出几种办法?[生]有四种方法：第一种：用太阳光下的影子来测量．因为在同一时刻，物体的高度与它的影子的比值是一个定值．测量出物体的高度和它的影子的长度，再测出高楼在同一时刻的影子的长度．利用物体的高度：物体影子的长度＝高楼的高度，高楼影子的长度．便可求出高楼的高．第二种：在地面上放一面镜子，利用三角形相似，也可以测量出楼的高度．第三种：用标杆的方法．第四种：利用直角三角形的边角关系求楼的高度．[师]下面就请同学们对本章的内容小结，建立本章内容框架图．[师生共析]本章内容框架如下：Ⅱ．随堂练习1．计算 (1)︒-︒︒-︒45cos 60sin 45sin 30cos (2)sin 230°+2sin60°+tan45°-tan60°+cos 230°；(3)原式＝.60tan 60tan 60tan 212︒-︒+︒-解：（1）原式=22232223--=1； （2）原式=（21）2+2×23+1-3+（23）2； =4331341+-++ =1+1=2（3）原式=︒-︒-60tan )60tan 1(2＝｜1-tan60°｜-tan60°＝tan60°-1-tan60°＝-1．2．如图，大楼高30 m ，远处有一塔BC ，某人在楼底A 处测得塔顶的仰角为60°，爬到楼顶D 测得塔顶的仰角为30°，求塔高BC 及楼与塔之间的距离AC(结果19确到0．0l m)．解：没AC=x ，BC ＝y ，在Rt △ABC 中，tan60°=xy ，① 在Rt △BDE 中．tan30°=x y 30-，② 由①得y ＝3x ，代入②得33=xx 303-. x=153≈25．98(m)．将x ＝153代入y=3x=3×153 ＝45(m)．所以塔高BC 为45 m ，大楼与塔之间的距离为25．98 m ．Ⅲ．课时小结本节课针对回顾与思考中的四个问题作了研讨，并以此为基础，建立本章的知识框植架结构图．进一步体验三角函数在现实生活中的广泛应用．Ⅳ．课后作业复习题A 组1，2，5，6，8B 组2．3，4，5，6Ⅴ．活动与探究如图．AC 表示一幢楼，它的各楼层都可到达；BD 表示一个建筑物，但不能到达．已知AC 与BD 地平高度相同，AC 周围没有开阔地带，仅有的测量工具为皮尺(可测量长度)和测角器(可测量仰角、俯角和两视线间的夹角)．(1)请你设计一个测量建筑物BD 高度的方案，要求写出测量步骤和必要的测量数据(用字母表示)，并画出测量示意图：(2)写出计算BD 高度的表达式．[过程]利用测量工具和直角三角形的边角关系来解决．这里的答案不唯一，下面只写出一种方法供参考．[结果]测量步骤(如图)：①用测角器在A 处测得D 的俯角α；②用测角器在A 处测得B 的仰角β③用皮尺测得AC=am ． (2)CD=αtan a ,BE=αtan a ·tan β, BD=a+αβtan tan a . 板书设计回顾与思考本章内容结构框架图:。
九年级数学下册第一章直角三角形的边角关系1_3三角函数的计算学案新版北师大版
1．3 三角函数的计算1.能利用计算器求锐角三角函数值.2.已知锐角三角函数值，能用计算器求相应的锐角.3.能用计算器辅助解决含三角函数的实际问题.自学指导阅读讲义P12~14，完成以下问题.自学反馈学生独立完成后集体订正1.用计算器求sin28°、cos27°、tan26°的值，它们的大小关系是sin28°<tan26°<cos27° .2.用计算器求sin24°37′18″的值，以下按键顺序正确的选项是( A )3.已知tanα=0.3249，那么α约为（ B ）A．17° B．18° C．19° D．20°运用计算器求出已知角的锐角三角函数，或求出已知锐角三角函数值的角的度数.活动1 小组讨论例1升国旗时，某同窗站在离国旗20 m处行注目礼，当国旗升至顶端时，该同窗视线的仰角为42°,假设双眼离地面1.6 m，求旗杆AB的高度.(精准到0.01 m)解:过D作DC⊥AB于C，DC=EB=20 m.∵tan∠ADC=AC DC,∴AC=DC·tan∠ADC=20×tan42°≈18(m),∴AB=AC+CB=18+1.6=19.6(m).即旗杆AB的高度为19.6 m.利用矩形的概念和三角函数的有关知识求AB，其中42°角的三角函数值需要用计算器来算.例2 如图，一名患者体内某器官后面有一肿瘤，在同意放射性医治时，为了最大限度地保证疗效，而且避免损害器官，射线必需从侧面照射肿瘤，已知肿瘤在皮下6.3 cm的A处，射线从肿瘤右边9.8 cm的B处进入躯体，求∠CBA的度数.在直角三角形ABC中，直接用正切函数描述∠CBA的关系式，再用计算器求出它的度数.活动2 跟踪训练1.用计算器计算：（结果精准到0.0001）（1）sin 36°；（2）cos 30.7°；（3）；（4）sin25°+2cos61°-tan71°.解：（1）0.5876；（2）0.8599；（3）0.3739,；（4）-1.5120.2.在 Rt△ABC中，假设∠C=90°，BC=20，AC=12.5，求两个锐角的度数（精准到1°）.解：∵∠C=90°, BC=20，AC=12.5，∴tanB=12.520ACBC=0.625,用计算器计算，得∠B≈32°，∴∠A=90°-32°=58°.3.如图，小明以3米/ 秒的速度从山脚A点爬到山顶B点，已知点B到山脚的垂直距离BC为24米，且山坡坡角∠A的度数为28°，问小明从山脚爬上山顶需要多长时刻？（结果精准到0.1）（参考数据：sin28°≈0.47, cos28°≈0.88, tan28°≈0.53）.解：∵∠C=90°，∠A=28°，sin BC A AB =,BC=24, ∴sin BC AB A == 2452.17sin 280.46BC =≈. ∵小明以3米/秒的速度从山脚A 点爬到山顶B ，∴小明从山脚爬上山顶，需要52.17÷3=17.4（s ）.活动3 课堂小结1.本节学习的数学知识:利用计算器求锐角的三角函数值或锐角的度数.2.本节学习的数学方式:培育学生一样化意识，熟悉特殊和一样都是事物属性的一个方面.3.求锐角的三角函数时，不同计算器的按键顺序是不同的，大体分两种情形:先按三角函数键，再按数字键；或先输入数字后，再按三角函数键，因此利用计算器时必然先要弄清楚输入顺序.。
九年级数学下册第一章直角三角形的边角关系1.3三角函数的计算学案(无答案)北师大版(new)
1.3三角函数的计算 编制教师总序号 审核人 学生姓名班级 小组序号课题内容 1。
3 三角函数的计算 学习目标 1、 熟练运用计算器，求出锐角的三角函数值，或是根据三角函数值求出相应的锐角。
2、 能够进行简单的三角函数式的运算，理解正弦值与余弦值都在0与1之间。
学习重点学会应用计算器求三角函数值 学习难点 能够进行简单的三角函数式的运算。
学法指导 在30分钟内独立完成预习学案，相信自己,锻炼自己！通过预习，把自己的疑惑记录下来，向小组同学请教，如果还是存在疑惑,课堂上认真听同学或老师讲解，把不懂的问题及时解决。
1、若sinA=,则锐角A=；若tanB=；,则锐角B=. 2、计算：(1)、0045cos 360sin 2+ ; (2）、︒30sin 22·︒+︒60cos 30tan tan60°1、如图，当登山缆车的吊箱经过点A 到达点B 时，它走过了200米，已知缆车行驶的路线与水平面的夹角为∠a ＝16°，那么缆车垂直上升的距离是多少?（结果精确到0.01）一、预习案当缆车继续由点B到达点D时，它又走过了200 m,缆车由点B到点D的行驶路线与水平面的夹角是∠β＝42°，由此你能想到还能计算什么？2、用科学计算器求三角函数值,sin16° cos72°38′25″ tan85°3、随着人民生活水平的提高，私家小轿车越来越多，为了交通安全及方便行人推车过天桥，某市政府要在10 m高的天桥两端修建40m长的斜道.请问这条斜道的倾斜角是多少？（如下图所示)3、练习掌握已知三角函数值求角度，①已知sinA＝0。
9816，求锐角A。
②已知cosA＝0.8607,求锐角A.③已知tanA＝56.78，求锐角A。
1、用计算器计算：si n35°＝________．2、用计算器计算：sin52°18′＝________．3、计算：tan46°＝________．（精确到0.01）4、已知sin ＝0.565 7；则锐角＝．5、已知cos ＝0。
北师大版九年级下册数学第一章直角三角形边角关系4解直角三角形学案(无答案)
北师大版九年级下册数学第一章直角三角形的边角关系4解直角三角形〔1〕学案〔无答案〕解直角三角形〔一〕教学目标：学生掌握解直角三角形的根本模型教具重点：分类思想，模型思想教学难点：学生对模型的理解教学过程一、引入：生活中，我们常常遇到与直角三角形有关的问题。
为了解决这些问题，往往需要确定直角三角形的边和角。
直角三角形中有6个元素，分别是三条边和三个角，那么至少知道几个元素，就可以求其他的元素呢？由直角三角形中的元素，求出所有未知元素的过程，叫做解三角形。
二、探究：探究一：除直角外，知道一个元素可以解直角三角形吗？探究二：除直角外，知道两个元素可以解直角三角形吗？情形一：____________________________情形二：____________________________情形三：____________________________A A AC B C B C B结论：模型1：_______________________________________________________ 模型2：_______________________________________________________三、应用：1．市政府要修建10m高的天桥，为了方便行人推车过天桥，需在天桥两端修建40m 长的斜道.这条斜道的倾斜角是多少?〔老师可在几何画板里计算非特殊角的三角函数值，或利用计算器，辅助学生计算。
〕2．如图，工件上有-V形槽.测得它的上口宽加20mm深。
求V形角(∠ACB)的大小.(结果精确到1°)1/53．如图，一名患者体内某重要器官后面有一肿瘤.在接受放射性治疗时，为了最大限度地保证疗效，并且防止伤害器官，射线必须从侧面照射肿瘤.肿瘤在皮下cm的A处，射线从肿瘤右侧的B处进入身体，求射线的入射角度注：这三例都是实际应用问题，确实需要知道角度，而且角度又不易测量，这时我们根据直角三角形边的关系.即可用计算器计算出角度，用以解决实际问题.反思：以上三例用了哪个根本模型？〔〕4．如图，当登山缆车的吊箱经过点A到达点B时，它走过了 200米，缆车行驶的路程与小平面的夹角为∠＝16°，那么缆车垂直上升的距离是多少？DB EAC5.一个人从山底爬到山顶，需先爬40°的山坡300米，再爬30°的山坡100米，求山高.〔结果精确到0.01米〕AB30°C40°DE反思：以上两例用了哪个根本模型？〔〕能力提升：1．如图，某货船以20海里／时的速度将一批重要物资由A处运往正西方向的B处，经16小时的航行到达，到达后必须立即卸货.此时.接到气象部门通知，一台风中心正以40海里／时的速度由A向北偏西60°方向移动，距台风中心200海里的圆形区域(包括边界)均受到影响.(1)问：B处是否会受到台风的影响?请说明理由.(2)为防止受到台风的影响，该船应在多少小时内卸完货物?(供选用数据：2≈，3≈1.7)2/5解直角三角形〔二〕教学目标：学生掌握解直角三角形的根本模型教具重点：分类思想，模型思想教学难点：学生对模型的理解教学过程：一、仰角：俯角：方位角：二、模型3：_________________________________________________________1．如图，小明想测量塔CD的高度.他在A处仰望塔顶，测得仰角为30°，再往塔的方向前进50m至B处.测得仰角为 60°.那么该塔有多高 ?(小明的身高忽略不计，结果精确到1m)变式1：如果设小明测量时，眼睛离地面的距离为m，其他数据不变，此时塔的高度为多少?你能画出示意图吗?变式2：海中有一个小岛A，该岛四周10海里内有暗礁.今有货轮由西向东航行，开始在A 岛南偏西55°的B处，往东行驶20海里后，到达该岛的南偏西25°的C处，之后，货轮继续往东航行，你认为货轮继续向东航行途中会有触礁的危险吗?你是如何想的?与同伴进行交流.3/5三、根本模型的组合 1．如图，美国侦察机 B 飞抵我国近海搞侦察活动， 我战斗机 A 奋起拦截，地面雷达 C 测得： 当两机都处在雷达的正东方向，且在同一高度时，它们的仰角分别为∠ DCA=16°，∠DCB ＝ 15°，它们与雷达的距离分别为 AC ＝80千米，BC=81千米时，求此时两机的距离是多少千 米?(精确到千米)2.求图中避雷针 CD 的长度.(精确到米)DC50°56BA3．某商场准备改善原来楼梯的平安性能，把倾角由 20m4m ，40°减至35°，原楼梯长为 调整后的楼梯会加长多少？楼梯多占多长一段地面?(结果精确到m)4.如图，一灯柱 AB 被一钢缆 CD 固定，CD 与地面成 40°夹角，且 DB ＝5m ，现再在 C 点上方2m 处加固另一条钢缆 ED ，那么钢缆 ED 的长度为多少 ?如图，水库大坝的截面是梯形ABCD ，坝顶AD ＝6m ，坡长CD ＝8m.坡底BC ＝30m ，ADC=135°.求∠ABC 的大小：(2) 如果坝长 100m.那么建筑这个大坝共需多少土石料?(结果精确到 m 3)4/5北师大版九年级下册数学第一章直角三角形的边角关系4解直角三角形〔1〕学案〔无答案〕5/5。
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第一章 直角三角形的边角关系第1节 从梯子的倾斜程度谈起本节内容：正切的定义 坡度的定义及表示（难点） 正弦、余弦的定义 三角函数的定义（重点）在确定，那么A 的对边与邻边的比便随之确定，这个比叫做∠A 的正切，记作tanA 。
即tanA=baA =∠∠的邻边的对边A■例1已知在Rt △ABC 中，∠C=90°，CD ⊥AB ，AD=8，BD=4，求tanA 的值。
我们通常把坡面的铅直高度h 和水平宽度l 的比叫做坡度（或坡比）。
坡度常用字母i 表示。
斜坡的坡度和坡角的正切值关系是：lh a =tan 注意：（1）坡度一般写成1：m 的形式（比例的前项为1，后项可以是小数）； （2）若坡角为a ，坡度为a lhi tan ==，坡度越大，则a 角越大，坡面越陡。
■例2拦水坝的横断面为梯形ABCD ，坝顶宽BC 为6m ，坝高为3.2m ，为了提高拦水坝的拦水能力，需要将水坝加高2m ，并且保持坝顶宽度不变，迎水坡CD 的坡度不变，但是背水坡的坡度由原来的i=1：2变成i’=1：2.5（有关数据在图上已标明）。
求加高后的坝底HD 的宽为多少？■例3在△ABC中，∠C=90°，BC=1，AC=2，求sinA、sinB、cosA、cosB的值。
通过计算你有什么发现？请加以证明。
■例4方方和圆圆分别将两根木棒AB=10cm，CD=6cm斜立在墙上，其中BE=6cm，DE=2cm，你能判断谁的木棒更陡吗？说明理由。
本节作业：1、∠C=90°，点D 在BC 上，BD=6，AD=BC ，cos ∠ADC=53，求CD 的长。
2、P 是a 的边OA 上一点，且P 点的坐标为（3，4），求sina 、tana 的值。
3、在△ABC 中，D 是AB 的中点，DC ⊥AC ，且tan ∠BCD=31，求tanA 的值。
4、在Rt △ABC 中，∠C=90°，tanA=125，周长为30，求△ABC 的面积。
5、在Rt △ABC 中，CD 是斜边AB 上的中线，已知CD=2，AC=3，则sinB 的值是多少？第2节 30°，45°，60°角的三角函数值本节内容：30°，45°，60°角的三角函数值（重点）根据正弦、余弦和正切的定义，可以得到如下几个常用的特殊角的正弦、余弦和正切值。
■例1求下列各式的值。
（1）︒︒-︒60tan 30sin 60sin ；（2）︒-+︒-︒45sin 22460tan 460tan 2。
本节作业：1、 求下列各式的值。
（1）︒+︒+︒45tan 30tan 330sin 2； （2）︒⋅︒+︒30cos 60tan 45cos 2。
2、 已知a 为锐角，且tana=5，求aa aa sin cos 2cos 3sin +-的值。
3、 △ABC 表示光华中学的一块三角形空地，为美化校园环境，准备在空地内种植草皮，已知某种草皮每平方米售价为a 元，则购买这种草皮至少花费多少元？4、2︒45cos 的值等于________。
5、计算3845cos 260sin 3+︒-︒。
第3节 三角函数的有关计算本节内容：利用计算器求任意锐角的三角函数值（重点） 锐角三角函数计算的实际应用（难点） 计算三角函数的具体步骤大体分两种情形： （1）先按三角函数键，再按数字键； （2）或先按数字键，再按三角函数键。
■例1利用计算器求下列锐角的三角函数值。
（1）︒35sin ； （2）︒85tan ；（3）''25'3872sin ︒； （4）'1547cos ︒。
■例2小刚面对黑板坐在椅子上。
若把黑板看做矩形，其上的一个字看作点E ，过点E 的该矩形的高为BC ，把小刚眼睛看做点A 。
现测得BC=1.41米，视线AC 恰与水平线平行,视线AB 与AC 的夹角为25°,视线AE 与AC 的夹角为20°，求AC 与AE 的长（精确到0.1米）。
典型例题：例1用计算器求下列三角函数值。
（精确到0.001） （1）︒35sin （2）︒42cos（3）︒75tan例2已知下列锐角的三角函数值，利用计算器求锐角。
（精确到1’） （1）5276.0sin =α （2）5276.0cos =α （3）5276.0tan =α例3某校教学楼后面紧邻着一个土坡，坡上面是一块平地，如图。
BC//AD ，斜坡AB 长22m ，坡角∠BAD=68°，为了防止山体滑坡，保障安全，学校决定对土坡进行改造，经地质人员勘测，当坡角不超过50°时，可确保山体不滑坡。
（1） 求改造前坡顶与地面的距离BE 的长；（精确到0.1m ）（2） 为确保安全，学校计划改造时，保持坡脚A 不动，坡顶B 沿BC 前进到F 点处，问BF 至少是多少？（精确到0.1m ） （参考数据：,4751.268tan ,3746.068cos ,9272.068sin ≈︒≈︒≈︒,7660.050sin ≈︒,6428.050cos ≈︒ 1918.150tan ≈︒）例4如图，矩形ABCD 是供一辆机动车停放的车位示意图，请你参考图中数据，计算车位所占街道的宽度EF 。
（参考数据：,84.040tan ,77.0cos ,64.040sin ≈︒≈︒≈︒结果精确到0.1m ）例5要求︒45tan 的值，可构造如图所示直角三角形,作Rt △ABC,使∠C=90°,两直角边AC=BC=a ，则∠ABC=45°,所以145tan ===︒aaBC AC 。
你能否在此基础上，求出'︒3022tan 的值？例6在学习实践科学发展观的活动中，某单位在如图所示的办公楼迎街的墙面上垂直挂了一长为30米的宣传条幅AE ，张明同学站在离办公楼的地面C 处测得条幅顶端A 的仰角为50°，测得条幅底端E 的仰角为30°。
问张明同学是在离该单位办公楼水平距离多远的地方进行测量？（精确到整数米）例7某轮船自西向东航行，在A 处测得某岛C 在其北偏东60°方向上，前进8千米到达B ，测得该岛在轮船的北偏东30°方向上，问轮船继续前进多少千米与小岛的距离最近？第4节船有触礁的危险吗本节内容：方向角的定义解直角三角形（重点）解直角三角形的实际应用（难点）方向角：方向角是以观察点为中心（方向角的顶点），以正北或正南为始边，旋转到观察目标所形成的锐角，方向角也称象限角。
如图，目标方向线0A、0B、0C的方向角分别为北偏东15°、南偏东20°、北偏西60°。
其中南偏东45°习惯上又叫东南方向，同样北偏西45°又叫西北方向。
如OE的方向角为南偏东45°，OG的方向角为南偏西45°，那么，G、E可以说在O的哪个方向呢？由方向角的定义可知，G在O的西南方向，E在O的东南方向。
■例1某次台风袭击了我国南部海域。
如图，台风来临前，我们海上搜救中心A 接到一越南籍渔船遇险的报警，于是指令位于A 的正南方向180海里的救援队B 立即前往施救。
已知渔船所处位置C 在A 的南偏东34°方向，在B 的南偏东63°方向，此时离台风来到C 处还有12小时，如果救援船每小时行驶20海里，试问能否在台风来到之前赶到C 处对其施救？（参考数据：3234tan ,5334sin ,263tan ,10963sin ≈︒≈︒≈︒≈︒）■例2某公园“六一”亲新增设一台滑梯，如图。
滑梯高度AC=2m，滑梯着地点B与梯架之间的距离BC=4m。
（1）求滑梯AB的长；（结果精确到0.1m）（2）若规定滑梯的倾斜角（∠ABC）不超过45°属于安全范围，请通过计算说明这架滑梯的倾斜角是否符合要求？■例3台风是一种自然灾害，它以台风中心为圆心在周围数千米范围内形成旋风暴，有极强的破坏力。
根据气象观测，距沿海某城市A的正南方向220千米的B处有一台风中心，其中心的最大风力为12级，每远离台风中心20千米，台风就会弱一级。
台风中心现正以15千米/时的速度沿北偏东30°方向往C移动，且台风中心风力不变，若城市风力达到或超过4级，则称为受台风影响。
（1）该城市是否会受到这次台风的影响？请说明理由。
（2）若会受到台风影响，那么台风影响该市的持续时间有多长？典型例题：例1在△ABC中，已知AB=1，AC=2，∠ABC=45°，求BC的长。
例2如图，甲、乙两只捕捞船同时从A 港出海捕鱼。
甲船以每小时152千米的速度沿北偏西60°方向前进，乙船以每小时15千米的速度沿东北方向前进。
甲船航行2小时到达C 处，此时甲船发现鱼具丢在了乙船上，于是甲船快速（匀速）沿北偏东75°的方向追赶，结果两船在B 处相遇。
（1） 甲船从C 处追赶乙船用了多长时间？ （2） 甲船追赶乙船的速度是每小时多少千米？例3某年入夏以来，松花江哈尔滨段水位不断下降，一条船在松花江某段自西向东沿直线航行，在A 处测得航标C 在北偏东60°防西哪个上。
前进100m 到达B 处，又测得航标C 在北偏东45°方向上（如图），在以航标C 为圆心，120m 为半径的圆形区域内有浅滩，如果这条船继续前进，是否有被浅滩阻碍的危险？（73.13 ）第5节 测量物体的高度本节内容：测量底部可以到达的物体的高度（重点） 测量底部不可以到达的物体的高度（难点）简单的测倾器由度盘、铅锤和支杆组成。
如图。
使用测倾器测量倾斜角的步骤如下：（1） 把支杆竖直插入地面,使支杆的中心线、铅垂线和度盘的0°刻度线重合,这时 度盘的顶线PQ 在水平位置。
（2） 转动转盘,使度盘的直径对准目标M,记下此时铅垂线所指的度数。
此度数就是 测点相对于被测点的仰角或俯角。
说明：（1）所谓“底部可以到达“，就是在地面上可以无真纳干碍地直接测得测点与被测物体的底部之间的距离。
（2）测量步骤如图（测量物体MN 的高度）：①在测点A 处安置测倾器，测得M 的仰角∠MCE=α；②量出测点A 到物体底部N 的水平距离AN=l ；③量出测倾器的高度AC=a （即顶线PQ 成水平位置时，它与地面的距离）。
（3）物体MN 的高度 = a l +αtan 。
■例1升国旗时，沈杰同学站在离旗杆底部24m 处行注目礼，当国旗升到旗杆顶部时，测得该同学视线的仰角为30°，若双眼离地面1.5m ，则旗杆有多高？（结果精确到0.1m ）米，求山高AB。
（精确到0.1米，3≈1.732）典型例题：例1如图，两建筑物的水平距离为36m，从A点测得D点的俯角α为36°，测得C点的俯角β为45°，求这两座建筑物的高度。