2015-2016学年江苏省丹阳高级中学高一下学期期末考试数学试题A卷

江苏省丹阳高级中学2015～2016学年度第二学期期末考试高一数学试题（A 卷）（考试时间120分钟，试卷满分160分)【注意事项】1．答题前，请您务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上规定的地方．2．答题时，请使用0.5毫米的黑色中性（签字）笔或碳素笔书写，字迹工整，笔迹清楚． 3．请按照题号在答题卡上各题的答题区域（黑色线框）内作答，超出答题区域书写的答案无效．一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，满分70分.不需写出解题过程，请把答案写在答题纸的指定位置上.1．已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，公差0d ≠，若42S a =，则1a d= ▲ . 2. 在ABC ∆中，已知1a =，30A =，105C =，则b = ▲ . 3．不等式(0x -的解集为 ▲ ．4．若过),1(m A ，)3,2(B 两点的直线倾斜角是45，则实数m 的值为 ▲ ． 5. 圆22240x y x +--=与圆22260x y y ++-=的公共弦的长为 ▲ ．6. 已知直线1l ，2l 分别经过点(0,0)，(3,4)，若它们的斜率都为1，则直线1l 和2l 之间的距离 为 ▲ ．7．已知数列}{n a 是等差数列，若11+a ，33+a ，55+a 构成公比为q 的等比数列， 则=q ▲ ．8．过点(2,1)P -且倾斜角的正弦值为513的直线方程为 ▲ ． 9．已知直线1l ：310ax y ++=，2l ：2(1)10x a y +++=，若1l ∥2l ，则实数a 的值是 ▲ ． 10. 若方程2224380x y kx y k +++++=表示圆心在第三象限的圆，则k 的取值范围为 ▲ ．11．在△ABC 中，若22()()c a c a a b +-=+，则角A 的最大值为 ▲ ．12．已知y x ,满足⎪⎩⎪⎨⎧≤++≤+≥041c by x y x x ，记目标函数y x z +=2的最大值为7，最小值为1，则则=+c b ▲ ．13．已知正数数列}{n a 的前n 项和为n S ，12-=n n S a ，设c 为实数，对任意的三个成等差数列的不等的正整数m ，k ，n ，不等式k n m cS S S >+恒成立，则实数c 的取值范围是 ▲ ．14．已知圆1)4()3(:22=-+-y x C 和两点(,0)A m -，(,0)(0)B m m >，若圆C 上存在点P ，使得90=∠APB ，则m 的取值范围为 ▲ ．二、解答题：本大题共6小题，满分90分.解答时应写出必要的文字说明，证明过程或演算步 骤，请把答案写在答题纸的指定区域内. 15.（本小题满分14分）在△ABC 中，内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，且22a b -=，sin C B =. （1）求A 的大小；（2）若1b =，求△ABC 的面积. 16.（本小题满分14分）在平面直角坐标系中，已知射线():00OM x y x -=≥，():00ON x y x +=≥，过点()21P ，作直线分别交射线OM ON ,于点,A B ．（1）当AB 中点为P 时，求直线AB 的方程； （2）当OAB ∆的面积为4时，求直线AB 的方程．17.（本小题满分14分）设不等式452-≤x x 的解集为A . （1）求集合A ；（2）设关于x 的不等式02)2(2≤++-a x a x 的解集为M ，若A M ⊆，求实数a 的取值范围.18.（本小题满分16分）如图，景点A 在景点B 的正北方向2千米处，景点C 在景点B的正东方向. （1）游客甲沿CA 从景点C 出发行至与景点BP 处, 记=PBC α∠，求sin α的值； （2）游客甲沿CA 从景点C 出发前往目的地景点A ，游客乙沿AB 从景点A 出发前往目的地景点B ，甲乙同时出发，甲的速度为1千米/小时，乙的速度为2千米/小时. 若甲乙两人之间通过对讲机联系，对讲机在该景区内的最大通话距离为3千米，问有多长时间两人不能通话？ （精确到0.13.9≈≈）19.（本小题满分16分）已知圆C 的圆心在直线310x y +-=上，且x 轴，y 轴被圆C截得的弦长分别为，若圆心C 位于第四象限.（1）求圆C 的方程；（2）设x 轴被圆C 截得的弦AB 的中点为N ，圆C 内的点P 使,,PA PN PB 成等比数列，求PA PB ⋅的取值范围. 20．（本小题满分16分）已知数列{}n a ，{}n b 满足11a =，11b =，12n n a a +-=，1n n b q b +=，其中*n ∈N ，设数列{}{},n n a b 的前n 项和分别为,n n S T .（1）若1n n a a +>对任意的正整数n 恒成立，求n S ；（2）若常数1q >且对任意的*n N ∈，恒有1231||||||||4n n b b b b b +++++≤，求q 的值；B（第18题图）（3）在（2）的条件下且同时满足以下两个条件：（ⅰ）若存在唯一p 的值满足1p p a a -<； （ⅱ）0n T >恒成立，问：是否存在正整数m ，使得14m m S b +=，若存在，求m 的值；若不存在，说明理由.高一数学试题（A 卷）参考答案一、填空题1．53-3．(1,2) 4．2 5.6 7．1 8. 51222051220x y x y --=++=或 9．3- 10．4k > 11．π6 12．3-13．(,2]-∞ 14．64≤≤m 二、解答题15.【解】（1）因为sin C B =，由正弦定理知c =，代入22a b -=，得到a =. ……………………………………3分由余弦定理知2222cos 2b c a A bc +-===， 又0180A <<，故30A =. ……………………………………7分（2）∵1b =， ∴c == ……………………………………10分111sin 12222ABC S bc A ∆==⨯⨯=，即△ABC 的面积为2. ……………………………………14分16.【解】（1）设()()()(),0,0A a a a B b b b ≥-≥，，因为AB 的中点为P ，所以4,2,a b a b +=⎧⎨-=⎩解得3,1,a b =⎧⎨=⎩ ………………………………………… 4分故2AB k =，所以直线AB 的方程为230x y --=. ………………………………6分（2）当直线AB 垂直于x 轴时，2a b ==，OA OB ==，此时4OAB S ∆=，满足题意， 直线AB 的方程是2x =， ………………………………………………8分 当直线AB 不垂直于x 轴时，设直线AB 的方程是()12y k x -=-， 将它和直线0x y -=联立，解得点A 的坐标是2121(,)11k k k k ----，故211k OA k -=-，同理211k OB k -=+， 又OA OB ⊥，故()22211421OAB k S OA OB k ∆-=⋅==-，解得54k =， 所以直线AB 的方程是5460x y --=．综上可知，当OAB ∆的面积为4时，直线AB 的方程为2x =或5460x y --=. ………14分 17.【解】（1）原不等式即为0)4)(1(452≤--=+-x x x x ， 所以41≤≤x ---------------------------4分所以不等式的解集}41|{≤≤=x x A -----------------------6分 （2）不等式等价于0)2)((≤--x a x ---------------------------7分若2<a ，则]2,[a M =，要A M ⊆，只需21<≤a -----------------------------------9分若2>a ，则],2[a M =，要A M ⊆，只需42≤<a ----------------------------11分 若2=a ，则}2{=M ，符合A M ⊆ ---------------------------------13分 综上所述，a 的取值范围为]4,1[． ------------------------14分 18.【解】（1）在Rt ABC ∆中，2,AB BC ===30C ∠在PBC ∆中，由余弦定理得222+2cos30=BC PC BC PC BP -⋅⋅，即212+2PC PC -⨯ 化简得26+5=0PC PC -，解得=1PC 或5PC =（舍去）在PBC ∆中，由正弦定理得sin sin30PC PBα=，即1sinα=，∴sin α= …………6分 （2）Rt ABC ∆中，2,4BA BC AC ==== 设甲出发后的时间为t 小时，则由题意可知04t ≤≤， 设甲在线段CA 上的位置为点M ，4AM t =-①当01t ≤≤时，设乙在线段AB 上的位置为点Q ，则2AQ t =在AMQ ∆中，由余弦定理得，()()()222242224cos6071616MQ t t t tt t ︒=-+-⨯⨯-⨯=-+令3MQ >即29MQ >，得271670t t -+>，解得t <t > ∴ 0t ≤<……………………10分 ②当14t <≤时，乙在景点B 处在ABM ∆中，由余弦定理得，()()22244224cos60612MB t t tt ︒=-+-⨯⨯-⨯=-+令3BM >即29BM >，得2630t t -+>，解得3t <t >，不合题意 ……………………14分综上，当0t ≤<3米.0.6≈，故两人不能通话的时间大约为0.6小时. ……………………16分19.【解】（1）设圆C 的方程为222()()x a y b r -+-=，根据题意，有22225831000b r a r a b a b ⎧+=⎪+=⎪⎪+-=⎨⎪>⎪⎪<⎩①②③，①—②得223b a =+，由③得2431(1)(41)0a a a a --=-+=，∵0a >，∴取1a =，此时132b a =-=-，29r =，AB CMQAB CM则圆C 的方程为22(1)(2)9x y -++=. ……………………6分 （2）在圆C 方程中，令0y =，得点,A B坐标为(1，(1+，AB 中点(1,0)N ， ……………………8分∵点(,)P x y 在圆C 内，∴22(1)(2)9x y -++<，①又,,PA PN PB 成等比数列，∴2PN PA PB =⋅，则22(1)x y -+=化简得225(1)2x y --=，② ……………………12分而22(1,)(1,)(1)5PA PB x y x y x y ⋅=-⋅+-=-+-③将②代入①得5122y -<<，21504y ≤< ……………………14分将②代入③得，2522PA PB y ⋅=-，故PA PB ⋅的取值范围为5[,10)2-. ……………………16分20．（1）由题设可知数列{}n a 构成以11a =为首项，2为公差的等差数列，故2(1)22n n n S n n -=+= ………………………………………2分 （2）因为1n n b q b +=， 所以1n n b q -=，11111n n k k q b q ++=-=-∑故11141n n q q q+--≤-得12(2)1n q q --≤所以211(2)()n q q --≤因为1q >，所以11()0n q ->，所以2(2)0q -≤，故2q =………………8分（3）因为1||2m m b -=，所以12m m b -=或者12m m b -=-当12m m b -=-时，12112(1242)21012m m m m m T b ----≤+++++=-+=-<-舍去当12m m b -=时，12112(1242)221012m m m m m m T b ----≥-++++=-=->-故12m m b -=方法一、2113(21)(1)m S m m +≤++++=+因为14m m S b +=所以122(1)m m +≤+令122(1)m m d m +=+，则21221(1)m m d m d m +=≤+，得2,3m = 故满足122(1)m m +≤+的m 值为1,2,3当3m =，若5p ≥，则数列{}n a 前4项为：1,3,5,7满足若4p =，则数列{}n a 前4项为：1,3,5,3不满足舍去； 若3p =，则数列{}n a 前4项为：1,3,1,3不满足舍去； 若2p =，则数列{}n a 前4项为：1,1,1,3-不满足舍去；当2m =，若4p ≥，则数列{}n a 前3项为：1,3,5不满足舍去；若3p =，则数列{}n a 前3项为：1,3,1不满足舍去；若2p =，则数列{}n a 前3项为：1,1,1-不满足舍去；当1m =，若3p ≥，则数列{}n a 前2项为：1,3满足；若2p =，则数列{}n a 前2项为：1,1-不满足舍去；所以存在正整数m ，使得14m m S b +=， 此时35m p =⎧⎨≥⎩，或者13m p =⎧⎨≥⎩………………16分 解法二、当2p m ≥+时，21(1)m S m +=+，由21(1)2m m ++=得13m p =⎧⎨≥⎩或者35m p =⎧⎨≥⎩当1p m ≤+时，21(1)m S m +<+，此时122(1)m m +<+,得3m = 当3m =，若4p =，则数列{}n a 前4项为：1,3,5,3不满足舍去；若3p =，则数列{}n a 前4项为：1,3,1,3不满足舍去； 若2p =，则数列{}n a 前4项为：1,1,1,3-不满足舍去；综上所述：存在正整数m ，使得14m m S b +=， 此时35m p =⎧⎨≥⎩，或者13m p =⎧⎨≥⎩.。