第四章 刚体的转动(4课时)1
第四章 刚体的转动
m r
2 i i
2
用转动惯量表示
1 2 E k＝ J 2
四、刚体绕定轴转动的动能定理 设在合外力矩M的作用下，刚体绕定轴转过的角 位移为dθ，合外力矩对刚体所作的元功为 d dW =M dθ,由转动定律 M J J dt 得 d d
M＝r F r Fi r Fi M i
M F1 r1 sin 1 F2 r2 sin 2 F3 r3 sin 3
单位： N.m 注意：力矩的单位和功的单位不是一回事，力矩的 单位不能写成焦耳。 与转动垂直但通过转轴的力对转动不产生力矩； 与转轴平行的力对转轴不产生力矩； 刚体内各质点间内力对转轴不产生力矩。 对于刚体的定轴转动，不同的力作用于刚体上的 不同位置（或不同作用方向）可以产生相同的效 果。
§4－2 力矩
转动定律
转动惯量
一、力矩 从转轴与截面的交点到力的作用线的垂直距离叫做力对 转轴的力臂。力的大小和力臂的乘积，就叫做力对转 轴的力矩。用M表示。 用矢量表示 M rF 或：
M＝Fr sin
若力F不在垂直与转轴的平面内，则可把该力分解为两个 力，一个与转轴平行的分力，一个在垂直与转轴平面 内的分力，只有后者才对刚体的转动状态有影响。 合力矩对于每个分力的力矩之和。
第四章 刚体的转动
§4－1 刚体的定轴转动 一、刚体
定义:在外力作用下形状和大小保持不变的物体称为刚体。 说明: 刚体和质点一样是一个理想化的力学模型； 刚体内任何两点之间的距离在运动过程中保持不变； 刚体可以看成一个包含由大量质点、而各个质点间距 离保持不变的质点系。
第四章 刚体转动
第四章 刚体的转动 问题4-1 以恒定角速度转动的飞轮上有两个点，一个点在飞轮的边缘，另一个点在转轴与边缘之间的一半处。
试问：在t ∆时间内，哪一个点运动的路程较长？哪一个点转过的角度较大？哪一个点具有较大的线速度、角速度、线加速度和角加速度？ 解 在一定时间内，处于边缘的点，运动的路程较长，线速度较大；它们转动的角度、角速度都相等；线加速度、角加速度都为零。
考虑飞轮上任一点P ，它随飞轮绕转轴转动，设角速度为ω，飞轮半径为r 。
在t ∆内，点P 运动的路程为P P l r t ω=∆，对于任意点的角速度ω恒定，所以离轴越远的点（P r 越大）运动的路程越长。
又因为点P 的线速度P P v r ω=，即离轴越远，线速度也越大。
同理，点P 转动的角度P t θω=∆，对于飞轮上任一个点绕轴转动的角速度ω都相等，即在相等的时间内，飞轮上的点转动的角度都相等。
又角速度ω恒定，即线加速度0P Pd a r dtω==，角加速度0P d dtωα==.4-2 如果一个刚体所受合外力为零，其合力矩是否也一定为零？如果刚体所受合外力矩为零，其合外力是否也一定为零？解 不一定。
如图（a ）轻杆（杆长为l ）在水平面内受力1F 与2F 大小相等方向相反，合力为零，但它们相对垂直平面内通过O 点的固定轴的力矩1M F l =不为零。
如图（b ），一小球在绳拉力作用下在水平面内绕固定轴作圆周运动，小球所受的合外力通过O 点，它所受的力矩为零。
4-3 有两个飞轮，一个是木制的，周围镶上铁制的轮缘，另一个是铁制的，周围镶上木制的轮缘，若这两个飞轮的半径相同，总质量相等，以相同的角速度绕通过飞轮中心的轴转动，哪一个飞轮的动能较大。
1F（a ） （b ）解 两飞轮的半径、质量都相同，但木制飞轮的质量重心靠近轮缘，其转动惯量要大于铁制轮缘。
飞轮的动能212k E J ω=，ω相同，转动惯量J 越大，动能越大。
即木制飞轮动能较大。
第四章 刚体的转动
矢量式
M J
外力矩 内力矩
刚体定轴转动第二定律
20
对所有质元求和：
(1)定轴转动时M.J均为代 Firi sini firi sini
数量.式中M、J、β必
须对同一定轴而言。
i
mi
ri2
i
i
（2）定律具有矢量性和
内力力矩和为零，则有
瞬时性。
∑ Fi risini =（∑mi ri2）
t3
450
在0~300s内,转过的转数
N 3002 2 2 450
= 3104 转
12
二 刚体定轴转动动力学
1、力对转轴的力矩
（1）
外力在转动平面内
Z
M
M
z
z
r
f
Or d
P
f
方向：
转动 平面
满足右手法则.
大小：Mz fr sin
对定轴转动的刚体可选取
垂直于转轴的一个平面进
行研究.
转动平面
o
r
•P
x
点P(r,)的转动可代表整 个刚体的转动.
描述点P转动的物理量为:
(1). 角坐标 (t)
一般规定逆时针转动
为正.
(2).角速度
定义:
d
dt
单位: rad/s
逆时针转动时， > 0
顺时针转动时 ， < 0
i 转动平衡 ◆转动第二定律：
z
fi
i
O ri
mi
Fi
i
18
设刚体中质元mi受外 力Fi ,内力fi 作用 法向力的力矩为零.
4-刚体的转动
r
y
v
m
33
二. 刚体对定轴的角动量
L Li mi v i ri mi ri J
2 i i
vi
Z
O
L J
L J
i
ri
mi
角动量 L 是矢量，定轴转动中 L 的方向沿 的方向， 即
34
三. 刚体定轴转动的的角动量定理和角动量守恒定律
代入数据：
9.8 3 2 J ( 1) 1 0.2 2 1.5
2
1.14 kg m 2
此为一种用实验测转动惯量的方法。
19
例4-4 解：
如图，m1、m2、M和R都已知，绳子与滑
RR
轮间无相对滑动，求m1(m2)的加速度。
M
m1 g T1 m1a T2 m 2 g1 m 2 a T1 R T2 R J a R , J MR 2 / 2
1
§4-1
刚体的平动、转动和定轴转动
§4-2
§4-3 §4-4
转动动能 转动惯量
力矩 刚体定轴转动定律 定轴转动的动能定理
§4-5
角动量定理 角动量守恒定律
2
（Rigid Body） 物体在外力的作用，其大小和形状保持不变的物 体。即内部任意两点的距离在运动过程中始终保持不 变的物体。 刚体是实际物体的一种理想的模型。
转动的规律。
5
▲ 定轴转动：运动中各质元均做圆周运动， 且各圆心都在同一条固定的直线(转轴)上。 ▲ 定点转动： 运动中刚体上只有一点固定不动， 整个刚体绕过该定点的某一瞬时轴线转动。 3.平面运动： 刚体上各点的运动都平行于某一 固定平面的运动。 4.一般运动： 刚体不受任何限制的的任意运动。 它可分解为以下两种刚体的基本运动： ▲ 随基点O（可任选）的平动 ▲ 绕通过基点O的瞬时轴的定点转动
04第四章 刚体的转动_1
---------------------------------------------------------------最新资料推荐------------------------------------------------------1 / 1404第四章 刚体的转动第 第4章 章 刚体的运动 4-1 刚体的运动 1. 刚体 物体是有形状和大小的，物体的运动有平动、转动和形变等多种形式，质点的运动只能描述物体的平动，不能描述物体的转动和形变等运动，为了研究物体的平动和转动，我们引入刚体的概念。
刚体：物体内任意两质点之间的距离，都不因外力而改变，这样的物体叫做刚体，刚体考虑了物体的形状和大小，但不考虑形变，是一个理想模型。
处于固态的物质，有一定的形状和大小，但任何固体在外力作用下，其形状和大小都要发生变化，刚体是在外力作用下形变并不显著的物体的一种近似。
以刚体为对象，我们可研究它的平动、转动、平动与转动的复合运动等。
刚体是一种特殊的质点系统，无论它在多大外力的作用下，系统内任意两质点间的距离始终保持不变。
( ) ( ) 不变或 ( )( )0或 ( ) ( ) 0 = j i j iv一个刚体的运动，就是一个特殊质点系统的运动，因此，对刚体运动的研究，可以用质点系统的运动定律来加以研究。
2. 刚体的平动刚体的平动：当刚体运动时，如果刚体内任何一条给定的直线，在运动中始终保持它的方向不变，这种运动叫做刚体的平动。
刚体平动的例子：升降机的运动、汽缸中活塞的运动、刨床上刨刀的运动、车床上车刀的运动等等。
刚体平动时，在任意一段时间内，刚体中所有质点的位移都是相同的，而且在任何时刻，各个质点的速度和加速度也都是相同的，所以刚体内任何一个质点的运动，都可代表整个刚体的运动。
3. 刚体的转动刚体运动时，如果刚体的各个质点在运动中都绕同一直线作圆周运动，这种运动便叫做刚体的转动，这一直线叫做转轴，转轴还可以绕某一点转动，这一点叫基点。
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第四章 刚体的转动 问题与习题解答问题：4-2、4-5、4-94-2如果一个刚体所受合外力为零，其合力矩是否也一定为零？如果刚体所受合外力矩为零，其合外力是否也一定为零？答：一个刚体所受合外力为零，其合力矩不一定为零，如图a 所示。
刚体所受合外力矩为零，其合外力不一定为零，例如图b 所示情形。
4-5为什么质点系动能的改变不仅与外力有关，而且也与内力有关，而刚体绕定轴转动动能的改变只与外力矩有关，而与内力矩无关？答：因为合外力对质点所作的功，等于质点动能的增量；而质点系中内力一般也做功，故内力对质点系的动能的增量有贡献。
而在刚体作定轴转动时，任何一对内力对转轴的力矩皆为一对大小相等、方向相反的力矩，且因定轴转动时刚体转过的角度d θ都一样，故其一对内力矩所作的功()0inij ij ji ij ji W M d M d M M d θθθ=+=+=，其内力功总和也为零，因而根据刚体定轴转动的动能定理可知：内力矩对其转动动能的增量无贡献。
4-9一人坐在角速度为0ω的转台上，手持一个旋转的飞轮，其转轴垂直地面，角速度为ω'。
如果突然使飞轮的转轴倒转，将会发生什么情况？设转台和人的转动惯量为J ，飞轮的转动惯量为J '。
答：（假设人坐在转台中央，且飞轮的转轴与转台的转轴重合）视转台、人和飞轮为同一系统。
（1）如开始时飞轮的转向与转台相同，则系统相对于中心轴的角动量为：10L J J ωω''=+飞轮转轴快速倒转后，飞轮的角速度大小还是ω'，但方向与原来相反；如设转台此时的角速度为1ω，则系统的角动量为：21L J J ωω''=-在以上过程中，外力矩为零，系统的角动量守恒，所以有：10J J J J ωωωω''''-=+即 102J Jωωω''=+，转台的转速变大了。
（2）如开始时飞轮的转向与转台相反，则系统相对于中心轴的角动量为：10L J J ωω''=-飞轮转轴快速倒转后，飞轮的角速度大小还是ω'，但方向与原来相反；如设转台此时的角速度为1ω，则系统的F 1F 3ab角动量为：21L J J ωω''=+在以上过程中，外力矩为零，系统的角动量守恒，所以有：10J J J J ωωωω''''+=-即 102J Jωωω''=-，转台的转速变慢了。
第四章刚体的转动_12008
预 习：
4-2，4-3 ，
武警学院教学课件
大学物理学电子教案
刚体的转动(1) 第七讲 刚体的转动
4－1 刚体的定轴转动 － 4－2 力矩 转动定律 转动惯量（上） 转动惯量（ －
第四章
刚体的转动 刚体的转动
在外力的作用下， 在外力的作用下，物体的形状和大小不发生变化 的模型就叫做刚体。
说明 1) 任何两点之间的距离在运动过程中保持不变； 2) 理想化模型；
情况3： 情况 ：
若力F不在垂直与转轴的平面内 若力 不在垂直与转轴的平面内 只有分力F 只有分力 2才对刚体的转动状态有 影响。 影响。
z
F
F1
4、合力矩 、
o
M＝∑ M i
结论： 结论：合力矩对于每个分力的力矩
之和。 之和。
p p r
F2
Pபைடு நூலகம்
二、转动定律
1、一个质点的情况 、
Fn=man， Ft=mat=mrα M= Ft r= mr2α
z ω,α v r •P
θ
r 刚体 O× 定轴
二、刚体转动的角速度和角加速度
角坐标： 大小θ 角坐标： 大小 、方向逆时针 角位移： 角位移：∆θ= θ2- θ1
o
转动平面
ω
r
·
θ
p
∆ θ dθ ω＝lim = dt ∆t → 0 ∆ t
∆ω dω d 2θ α＝lim = = 2 dt dt ∆t → 0 ∆ t
dr r
3
R
dm = ρ ⋅ 2πrdr ⋅ l
dJ = r dm = ρ ⋅ 2πlr dr
2
J =
∫ dJ
=
∫
R 0
刚体的转动
解 以m1 ， m2 ， m 为研究对象
m1g T1 m1a
T2 m2 g m2a
T1r
T2r
J
1 mr2
2
a r
T2
T2
m2
m2 g
(m1 m2 )g
(m1
m2
1 2
m)r
0
t
(m1 m2 )gt
(m1
m2
1 2
m)r
mr
T1
T1
m1
m1 g
17
例4-3:一长为l 质量为m 匀质细杆竖直放置,其下端与一固
0
3
平行轴定理 J z' J z Md2
J z' 刚体绕任意轴的转动惯量
J z 刚体绕通过质心的轴
d 两轴间垂直距离
z
x M,L
O dx
x
L
J
2 L
x2dx
1 12
ML2
2
z' z
M
d C
13
例如圆环绕中心轴旋转的转动惯量
J L R2dm m R2 0
例如圆盘绕中心轴旋转的转动惯量
dl m
R
O
ds 2 rdr
dm ds
dJ r2dm
J
R
dJ
1
mR2
0
2
m
R2
Rm dr
r O
14
例4-1:一轻绳绕在半径r =20 cm的飞轮边缘,在绳端施以F=98 N的拉力, 飞轮的转动惯量 J=0.5 kg·m2,飞轮与转轴间的摩擦不计,求(1)飞轮的 角加速度 (2)如以重量P =98 N的物体挂在绳端,计算飞轮的角加速度
需将力分别向垂直于轴以及平行于轴方向 做正交分解，如图所示
第4章 刚体的转动
d2t
v rω
at r
at r
an
ra
an rω2
a r 2 rω2 2
et
at v
(3) 角速度矢量
O’
O
简化 加速
减速 转动平面
4.2 刚体的定轴转动定律
4.2.1 力对转轴的力矩
v M
rv
v F
大小: M rF sin
自然界中存在多种守恒定律
动量守恒定律 能量守恒定律 角动量守恒定律
电荷守恒定律 质量守恒定律 宇称守恒定律等
例1 如图所示，一竖直悬挂的木杆，可绕杆端O处的水平
固定轴转动. 开始时，木杆竖直下垂. 质量m1=50g的小球 以v0=30m·s-1的水平速度与木杆的下端相碰，碰后小球以 v1=10m·s-1的速度向反方向弹回. 杆长l=40cm ，木杆质量 m2=600g. 设碰撞时间极短，求碰撞后木杆获得的角速度.
4.2.3 转动惯量
J miri2 i
J r2dm
转动惯量的单位：kg·m2
转动惯量的物理意义：转动惯性的量度
(1) 转动惯量的计算
质量离散体
i3
J miri2 m1r12 m2r22 m3r32 i 1
质量连续体 J r2dm
线分布 质量为线分布
面分布
体分布
——质量线密度
质量为面分布 质量为体分布
——质量面密度 ——质量体密度
(2) 转动惯量与下列因素有关：
A 刚体的质量；B 刚体的质量分布；C 定轴的位置。
(3) 计算转动惯量的两个定理
平行轴定理
物体绕某一转轴的转动惯量 J 等于绕过质心并与该轴平行的
第四章刚体的定轴转动
L 2
x2dx
1
ML2
L L2
12
z
(2) 由平行轴定理：
zc L/2
C
I
I C M (
L 2
)2
1 12
ML2
1 4
ML2
1 3
ML2
例题4-2： 求密度均匀的圆盘对通过中心并与盘面垂直的转轴 的转动惯量。设圆盘的半径为R，质量为M。
在圆盘上取一半径为r、宽度为dr的圆环，环的面积为2rdr，
环的质量为：
dm
2rdr
M
R2
2rdr
2M R2
rdr
转动惯量：
M
dr
I
r 2dm
2M R2
R r 3dr 1 MR 2
0
2
r p
§4-4 刚体的转动定理
1、力矩：
外力在平行于转轴方向的分力对刚体定轴转动不起作用，
所以只需考虑外力在垂直于轴的平面内的分力。
M
f
定义：外力相对于某固定轴的力矩为：
开始运动时的角速度；
(1)棒和子弹的转动惯量：
IM
1 3
Ml 2
,
Im
m(
3 4
l
)2
9 16
ml 2
由角动量守恒：
o θ0
3l
4C
mv 3 l ( 1 Ml 2 9 ml 2 )
A
43
16
求得：
36 mv
8.88 ( rad / s )
( 16 M 27 m )l
习题4-23 一匀质木棒l = 0.40m，M=1.00kg，可绕轴o在竖直面内 无摩擦转动，开始棒处于竖直位置，一质量m=8g，
第4章 刚体的转动01
o
d
C
Jc—对通过质心C的轴的转动惯量 d—两平行轴间的距离
m
推论：平行轴中对质心的转动惯量最小。
1.垂直轴定理（perpendicular axis theorem）
若平面型物体（如薄板、圆盘等）绕与平 面垂直的轴的转动惯量为Jz，轴与平面的交点为 O，物体绕平面内通过0点相互垂直的两轴的转 动惯量分别为Jx和Jy，则有： Z
特点：1.刚体平动时各质点的轨迹相同。
2.任一时刻刚体上各质点的速度和加速 度都相同。故可用质心的运动代表；
2.定轴转动：刚体运动时各质元绕同一条固定的直 线作圆周运动。这条直线叫固定转轴。
特点：1.描述各质元的角量（角位移、角速度、 角加速度）都相同。 2.各质元运动的线速度、加速度一般不同。 3.刚体一般运动：可看成是随质心的平动和绕 通过质心轴转动的合成。
一、力矩 1.刚体对定轴的力矩
z
F
P r
MZ r F
大小:
M rF sin
方向:右手定则
刚体对定轴的合力矩:
M Z r1 F1 r2 F2
二、转动惯量 1.定义 DEF： 刚体对定轴的转动惯量等于每个 质元的质量与该质元到定轴距离平方的 乘积之总和。 刚体对定轴的转动惯量为
dm dmg
X
在角时，整个棒的重力矩为：
M＝ xgdm g xdm
据质心定义: xC
xdm
m
xc
O
M＝g xdm mgx C
＝ xdm mx C
C mg
dm
X
dmg
重力对整个棒的合力矩与全部重力 集中作用在质心所产生的力矩一样。
刚体的转动
F 0 .5t
( SI )( 方向如图），初始静止
解：
。求 t 1秒时 ？
M FR 0 . 5 Rt
M J J
d dt
o
得
t
M J
dt
0
d
F
0
1
50 t dt 25 rad/s
0
例4 质量为 m A 的物体 A 静止在光滑水平面上， 和一质量不计的绳索相连接，绳索跨过一半径为 R、质 mB mC 量为 的圆柱形滑轮 C，并系在另一质量为 的物 体 B 上. 滑轮与绳索间没有滑动， 且滑轮与轴承间的摩 擦力可略去不计. 问：（1） 两物体的线加速度为多少？ 水平和竖直两段绳索的张力各为多少？（2） 物体 B 从
z
(t )
>0 <0
参考平面
x
参考轴
角速度矢量
lim
t
t 0
d dt
方向: 右手螺旋方向
刚体定轴转动（一 维转动）的转动方向可 以用角速度的正负来表 示. d 角加速度 dt 定轴转动的特点
z
z
>0
< 0
1） 每一质点均作圆周运动，圆面为转动平面； 2） 任一质点运动 , , 均相同，但 v , a 不同；
mB B
F T2
O
F T1 m A a
m B g FT2 m B a
RF T2 RF T1 J
FC
F T2
mB
PB y
a R
第4章刚体转动-精选
对质量连续分布的刚体
∑
所有质点都以其垂轴 距离为半径作圆周运动
2019/11/17
35
长江大学物理教程
刚体的角动量定理
质点的角动量定理
（微分形式） （积分形式）
1.刚体的
合外力矩
冲量矩
2019/11/17
（微分形式）
角动量的时间变化率
（积分形式）
角动量的增量
36
长江大学物理教程
（微分形式） （积分形式）
刚体平动 质点运动
刚体平动的运动规律与质点的运动规律相同。
2019/11/17
7
长江大学物理教程
转动：分定轴转动和非定轴转动
刚体的平面运动
2019/11/17
8
长江大学物理教程
刚体的一般运动可看作：
随质心的平动 + 绕质心的转动 的合成
2019/11/17
9
长江大学物理教程
定轴转动参量
1. 角位置
解 细杆受重力和 铰链对细杆的约束力FN
作用，由转动定律得
1mgslinq J
2
m,l FN
θ mg
O
式中 J 1 ml 2 3
得 3g sinq
2l
2019/11/17
31
长江大学物理教程
由角加速度的定义
dωdωdθ ω d ω
m,l FN
dt dθ dt d θ
∑
∑
∑
是矢量式
与质点平动对比
2019/11/17
37
长江大学物理教程
3 刚体定轴转动的角动量守恒定律 由
若
刚体所受合外力矩
则
即
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d 解 令 ct，即 ct ，积分 dt 1 2 t 得 ct d c t d t 0 0 2
4-1 刚体的定轴转动
1 2 ct 2
当 t =300 s 时
18 000 r min 600π rad s
1
1
2 2 600 π π 3 c 2 rad s 2 t 300 75 1 2 π 2 ct t 2 150
M y[ p0 g (h y)]Ldy
0
h
y
h
dF
1 1 2 3 p0 Lh gLh 2 6
dy
y O Q
代入数据，得：
M 2.1410 N m
12
物理学
第五版
4-2
力矩
转动定律
转动惯量
作 业第144页
4- 6
4- 9
4-7
物理学
第五版
4-2
力矩
转动定律
1 2 2
1 2 2
v v0 at
0 t
4-1 刚体的定轴转动
三 角量与线量的关系 dq ω dt 2 dω d q 2 dt dt v rωet
an
a r
et v a
t
at r an rω
2
2 a ret rω en
iF ri
Mij M ji
4-2
力矩 转动定律
转动惯量
例1 有一大型水坝高110 m、长1 000 m , 水深100m，水面与大坝表面垂直，如图所示. 求作用在大坝上的力，以及这个力对通过大坝 基点 Q 且与 x 轴平行的力矩 .
y
y
x
h
O Q O x
L
4-2
力矩 转动定律
转动惯量
转动惯量
二
转动定律
（1）单个质点 m 与转轴刚性连接
z
M
O
Ft
Ft mat mr
M rF sin θ
r
F
q m Fn
M rFt mr 2 M mr
2
4-2
力矩 转动定律
转动惯量
（2）刚体
瞬时 角加速度
瞬时 角速度
某质元
Fi 受内力 fi ai Fi + f i =
M = F1 d 1
F 2 r2 F2 d 2 = F 1 r1 叉乘右螺旋
r
4-2
力矩 转动定律
转动惯量
合力矩等于各分力矩的矢量和
M M1 M 2 M 3
（3）刚体内作用力和反作用力的力矩 互相抵消．
M ij
rj
j
Fji
ij
O
M ji
d
j
物理意义：转动惯性的量度.
转动惯性的计算方法
质量离散分布刚体的转动惯量
2 j j 2 11 j
J m r m r m r
2 2 2
2 j j 2
质量连续分布刚体的转动惯量
J m r r dm
j
dm
：质量元
物理学
第五版
4-2
力矩
转动定律
转动惯量
4-1 刚体的定轴转动
dq π 2 t 由 dt 150 q π t 2 t dt 得 dq 0 150 0 π 3 q t rad 450
在 300 s 内转子转过的转数
π 3 4 N (300 ) 3 10 2π 2π 450
q
4-1 刚体的定轴转动 第一节
4-1 刚体的定轴转动
解 (1) 将 t=6 s 代入 ω m (1 e
t /
)
ω 0.95ωm 513r s
1
(2) 电动机在6 s内转过的圈数为
1 6 1 6 t / N ωdt ωm (1 e )dt 2π 0 2π 0 3 2.2110 r
F
4-2
力矩 转动定律
转动惯量
讨论
（1）若力 F 不在转动平面内，把力分
解为平行和垂直于转轴方向的两个分量
力矩为零，故 F 对转 轴的力矩
其中 Fz 对转轴的
F Fz F
z
k
O
F
M z k r F M z rF sin q
r
刚体的运动形式：平动、转动．
4-1 刚体的定轴转动
平动：刚体中所 有点的运动轨迹都保 持完全相同． 特点：各点运动 状态一样，如： v、 a 等都相同． 刚体平动 质点运动
4-1 刚体的定轴转动
转动：分定轴转动和非定轴转动
刚体的平面运动
4-1 刚体的定轴转动
刚体的一般运动可看作： 随质心的平动
解 设水深h，坝长L，在坝面上取面积 元 dA Ldy ，作用在此面积元上的力
dF pdA pLdy
y
y
x
h y O Q
dA
dy
O
x
L
4-2
力矩 转动定律
转动惯量
令大气压为 p0 ，则 p p0 g (h y)
dF PdA [ p0 g (h y)]Ldy
l/2 2
如转轴过端点垂直于棒
1 2 J r dr ml 0 3
l 2
物理学
第五版
4-2
力矩
转动定律
转动惯量
例3 一质量为 m 、半径为 R 的均匀圆盘，求通 过盘中心 O 并与盘面垂直的轴的转动惯量.
(3) 电动机转动的角加速度为
d m t / t / 2 2 e 540 πe rad s dt
4-1 刚体的定轴转动
例2 在高速旋转圆柱形转子可绕垂直 其横截面通过中心的轴转动．开始时，它的 角速度 ω0 0 ，经300 s 后，其转速达到 18 000 r· min-1 ．转子的角加速度与时间成正 比．问在这段时间内，转子转过多少转？
4-1 刚体的定轴转动
例1 在高速旋转的微型电动机里，有一 圆柱形转子可绕垂直其横截面并通过中心的 转轴旋转．开始起动时，角速度为零．起动 t / 后其转速随时间变化关系为： m (1 e ) 式中 m 540 r s1， 2.0 s ．求： (1)t=6 s时电动机的转速．(2)起动后，电动 机在 t=6 s时间内转过的圈数．(3)角加速度 随时间变化的规律．
Fz
q
F
4-2
（2）
力矩 转动定律
转动惯量
M1
外力在转动平面上对转 轴的力矩使刚体发生转动
F2
F 2
j2
r2
P2
O
r1
F 1
P1
F1
j1
d2 d1
力矩 M1 = r1 × F1 大小 M1 = r1 F1 sin j1
M2
合外力矩 大小
M = M1 + M 2
= F1 d 1 = F 1 r1 方向 M M 2 = r 2 × F2 大小 M 2 = r 2F 2 sin F j2 = F2 d 2 = F 2 r2
4-2
力矩 转动定律
转动惯量
一
力矩
z
O
M
用来描述力对刚体 的转动作用． F 对转轴 z 的力矩
F
M Fr sin q Fd d : 力臂 M r F
r
d
*
P
q
F F Fi 0, M i 0 i i
F Fi 0, M i 0 i i
(2) 任一质点运动 q , , 均相同，但 v, a 不同；
(3) 运动描述仅需一个坐标．
4-1 刚体的定轴转动
二
匀变速转动公式
当刚体绕定轴转动的 =常量时，刚体 做匀变速转动．
质点匀变速直线运动
刚体绕定轴作匀变速转动
x x0 v0t at q q0 0t t 2 2 v v0 2a( x x0 ) 2 02 2 (q q 0 )
复杂 的运动 与平动 的混合。
一
4-1 刚体的定轴转动 刚体转动的角速度和角加速度
刚体定轴转动 的运动方程 沿逆时针方向转动 q > 0 沿顺时针方向转动 q < 0
刚体中任 一点 (t+△t) (t) 参考 方向
1. 角坐标
刚体
2. 角位移 3. 角速度
静止
转动平面（包含p并与转轴垂直） 转轴
方向: 右手螺旋方向
受外力
其切向 投影式为
Fi
qi
n
fi
∑ Fi ri sin j i + ∑ f i ri cosq i = ∑
合外力矩 M 内力矩成对抵消= 0
其法向 n 分量均通过转轴 不产生转动力矩。
O
ji
ri
Fi sin j i + f i cosq i = a i = ri
等式两边乘以
ri
并对所有质元及其所受力矩求和
质量连续分布刚体的转动惯量
J m r r dm
2 j j 2 j
dm
：质量元
对质量线分布的刚体： dm
dl
：质量线密度
对质量面分布的刚体： dm
：质量面密度
：质量体密度
dS
dV
对质量体分布的刚体：dm
物理学
第五版
4-2
力矩
转动定律
转动惯量
常量