二元一次方程组与函数

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二元一次方程组与一次函数知识点总结

二元一次方程组与一次函数一、交点坐标的求法：1、直线与坐标轴交点：直线b kx y +=与y 轴的交点（0，b ），与x 轴的交点（kb -，0）直线b kx y +=与x 轴的交点的横坐标方程0=+b kx 的解2、一次函数的直线与直线的交点坐标的求法：将两直线的解析式联立方程组求解。

两直线的交点的横纵坐标两直线解析式联立方程组的解例题：1、y=2x+30与x 轴的交点是（-15，0），则方程x+30=0的解是x=-15。

2、方程组的解，就是直线y=x －1）和y=－2x+5的交点坐标（2，1）。

二、一次函数图像的平移与应用1、一次函数直线的平移规律：系数k 不变。

上加下减；左加右减。

2、一次函数直线平行（k 值相等）两直线解析式联立方程组无解。

例题：1、将函数32+=x y 的图象平移后过点(2,1-)，则平移后的直线解析式为 4-2x y = ；2、在同一直角坐标系内分别作出一次函数y=2x-2与2y=4x-6的图像,这两个图像的关系是___平行__,由此可知方程组⎩⎨⎧=+=064x -2y 0y -2-2x 的解的情况是_无解_。

三、与函数图像有关的图像面积计算---割补法转化，充分运用已知点的坐标求解；已知面积反求高时注意分类讨论。

割补法——铅垂法求面积：转化法——借助平行线转化：在l 2上找一点D ，S ∆ABD =S ∆ABC例题：1、直线434+-=x y 与y 轴交于点A ，与直线5454+=x y 交于点B ，且直线5454+=x y 与x 轴交于点C ，求ABC ∆的面积；2、如图直线121y +-=x 与x 轴、y 轴分别交于点A 、B ，点C 的坐标为（1，2），点P 为坐标轴上的一点，若S ∆ABP =S ∆ABC ，则点P 的坐标为___________.（提示：4种答案)O xy A BC四、图像理解与应用注意拐点、与坐标轴的交点、两直线的交点坐标，与坐标轴平行的线及自变量的取值范围。

二元一次方程组与一次函数

二元一次方程组与一次函数一、定义和性质：ax + by = cdx + ey = f其中a、b、c、d、e、f是已知的实数，且a和d不同时为0。

在二元一次方程组中，有以下性质：1.若方程组中的两个方程的系数比例相同，则这个方程组无解或有无数多个解。

2.三个线性方程的组合也仍然是满足二元一次方程组性质的。

二、解法：1.消元法：通过将一个方程的任意倍数加到另一个方程上，消去一个未知数的项，从而得到一个关于另一个未知数的一次方程。

根据得到的方程解出一个未知数的值，再带入到另一个方程中求得另一个未知数的值。

2.代入法：将一个方程的一个未知数表达式代入到另一个方程中，从而得到一个只含有一个未知数的方程。

根据这个方程解出一个未知数的值，再带入到另一个方程中求得另一个未知数的值。

3.矩阵法：将方程组的系数和常数项构成矩阵，然后通过矩阵的运算方法（如行列式、逆矩阵等）求解未知数。

解方程组的关键是找到合适的方法和技巧。

对于一些特殊的方程组，还可以利用几何方法进行解答。

三、二元一次方程组与一次函数的关系：从形式上看，二元一次方程组和一次函数都是关于未知数的一次方程。

一次函数是变量的对应关系，而二元一次方程组是未知数之间的关系。

将二元一次方程组写成矩阵形式为：..[ab][x]=[c][de][y][f]可以将这个方程组解释为从二维平面上的两条直线的交点。

其中x和y分别是直线的横坐标和纵坐标，a、b、c、d、e、f是直线的特征系数。

而一次函数可以看作是二维平面上一条直线，其斜率m和常数项c与二元一次方程组的系数有关。

对于方程组中的第一个方程ax + by = c，其可以表示为 y = (-a/b)x + c/b，其中(-a/b)表达了直线的斜率m，c/b表达了直线的截距c。

因此，一次函数和二元一次方程组在形式上和几何意义上都有相似之处，但是在概念上有明显的区别。

总结：本文从定义、性质、解法以及与一次函数的关系等几个方面进行了对二元一次方程组的介绍。

二元一次方程组和一次函数的关系

二元一次方程组和一次函数的关系一次函数和二元一次方程组都是数学中常见的概念，它们之间存在着紧密的联系。

在本文中，我们将探讨二元一次方程组和一次函数之间的关系，并了解它们在数学中的应用。

首先，让我们回顾一下一次函数的定义。

一次函数也被称为线性函数，它的一般形式可以表示为y=mx+b，其中m和b分别代表斜率和截距。

一次函数的图像是一条直线，它具有恒定的斜率和截距。

与一次函数相似，二元一次方程组也是由线性关系构成的。

二元一次方程组由两个方程组成，每个方程都包含两个变量，并且变量的最高次数为1。

一般形式可以表示为：a1x+b1y=c1a2x+b2y=c2在这里，a1、b1、c1、a2、b2和c2都是已知的常数。

解二元一次方程组的目标是找到一对解(x,y)，满足方程组中的两个方程。

现在让我们来看一下一次函数和二元一次方程组之间的关系。

事实上，一次函数可以看作是只有一个方程的二元一次方程组。

回想一下一次函数的一般形式y=mx+b，我们可以将它重写为：mx+(-1)y=b这里，我们可以看到a=m，b=-1，c=b。

因此，可以将一次函数转化为二元一次方程组的形式。

同样地，我们可以将二元一次方程组转化为一次函数的形式。

假设我们已经解得方程组的解(x,y)，那么我们可以将其中一个方程重写为y=mx+b的形式，其中斜率m为a1/b1，截距b为c1/b1。

这种转化的过程为我们提供了一种方法来理解和解决二元一次方程组和一次函数之间的问题。

通过将方程组转化为一次函数，我们可以更直观地看到方程组的解代表了什么，以及如何将其表示在坐标系中的直线上。

除了上述关系，二元一次方程组和一次函数在数学中还有许多应用。

它们可以用于建模现实世界的问题，如经济学、物理学和工程学等领域。

通过将实际问题转化为方程组或一次函数，我们可以利用数学工具和技巧来解决这些问题，从而得出有关变量之间关系的重要信息。

综上所述，二元一次方程组和一次函数之间存在着密切的联系。

初二-第16讲-二元一次方程组与一次函数的关系

二元一次方程与一次函数的关系1.掌握二元一次方程组与一次函数的关系。

2.利用二元一次方程组确定一次函数的解析式。

教学建议：教师演变如何将一次函数变为二元一次方程。

分析二元一次方程组与一次函数的关系。

知识概述1、二元一次方程与一次函数的关系任何一个二元一次方程都可化成一次函数表达式的形式.一个二元一次方程的解有无数个，以一个二元一次方程的所有的解为坐标的点组成的图象与这个二元一次方程化成的一次函数的图象相同，是一条直线，如二元一次方程x－y＝2有无数个解，以这无数个解为坐标的点组成的图象就是一次函数y＝x－2的图象．一般地，以二元一次方程ax＋by＝c的解为坐标的点组成的图象与一次函数的图象相同.2、二元一次方程组与一次函数的关系一般地，从图形的角度看，确定两条直线交点的坐标，相当于求相应的二元一次方程组的解；解一个二元一次方程组相当于确定相应两条直线交点的坐标．即二元一次方程组的解可以看作是两个一次函数的图象的交点；反之两个一次函数的图象的交点坐标可以当作二元一次方程组的解.3、利用二元一次方程组确定一次函数的表达式（1）待定系数法：先设出函数表达式，再根据所给条件确定表达式中未知的系数，从而得到函数表达式的方法，叫做待定系数法．（2）利用二元一次方程组确定一次函数的表达式是求一次函数表达式的主要方法，其一般步骤如下：①设出函数表达式：y＝kx＋b；②把已知条件代入，得到关于k，b的方程组；③解方程组，求出k，b的值；④写出其表达式．注意：待定系数法的步骤可总结为“设、代、解、写”．二、典型例题讲解例1、已知直线y＝x与y＝－2x＋1相交，则其交点坐标为__________．解析：由题意可知两条直线的交点坐标是方程组的解，解此方程组，得所以两条直线的交点坐标为．答案：规律总结：（1）每个二元一次方程组都对应两个一次函数，两个一次函数图象的交点坐标就是相应的二元一次方程组的解．（2）如果方程组无解，那么两图象无交点，反之，如果两图象无交点，那么方程组无解．例2、如图所示，一次函数的图象经过A（2，4）和B（0，2）两点，且与x轴交于C点．（1）求这个一次函数的表达式；（2）求三角形AOC的面积．分析：设定表达式，将A，B两点的坐标代入得方程组可求解．在直角坐标系中求三角形的面积，一般选择比较特殊的线段作为底，如x轴、y轴上的线段或平行于x轴、y轴的线段．解：（1）设一次函数表达式为y＝kx＋b，因为函数图象经过点A（2，4），B（0，2），则有解得所以该一次函数的表达式为y＝x＋2．（2）令y＝0，则由y＝x＋2，得x＝－2，则点C的坐标为（－2，0），所以OC＝|－2|＝2．过点A作AD⊥x轴于点D，则AD＝4，所以三角形AOC的面积为．方法归纳：确定一次函数y＝kx＋b（k≠0）的表达式，只要确定k，b的值即可．一般需要两个点的坐标，把两个点的坐标分别代入y＝kx＋b中，列出关于k，b的二元一次方程组，使问题得到解决．此法对于正比例函数y＝kx（k≠0）仍适用，不同的是确定正比例函数表达式只需一个点的坐标就可以解决．例3、用作图象的方法解方程组分析：用图象法解二元一次方程组的关键是要作出两个二元一次方程表示的函数的图象，找出它们的交点.解：由2x－3y＋3＝0得由5x－3y－6＝0得.在同一直角坐标系中作出直线和的图象，如图所示，得交点（3，3）所以方程组例4、一次函数y＝kx＋b的自变量x的取值范围是－3≤x≤6，相应函数值的取值范围是－5≤y≤－2，则这个函数的解析式为____________.分析：本题分两种情况讨论：①当k＞0时，y随x的增大而增大，则有：当x＝－3，y＝－5；当x＝6时，y＝－2，把它们代入y＝kx＋b中可得∴∴函数解析式为y＝x－4．②当k<O时则随x的增大而减小，则有：当x＝－3时，y＝－2；当x＝6时，y＝－5，把它们代入y ＝kx＋b中可得∴∴函数解析式为y＝－x－3.∴函数解析式为y＝x－4，或y＝－x－3.答案：y＝x－4或y＝－x－3.说明：本题充分体现了分类讨论思想，方程思想在一次函数中的应用，切忌考虑问题不全面.1、直线y＝2x＋b与x轴的交点坐标是（2，0），则关于x的方程2x＋b＝0的解是（）A．x＝2 B．x＝4C．x＝8 D．x＝102、如图，过点Q（0，3.5）的一次函数的图象与正比例函数y＝2x的图象相交于点P，能表示这个一次函数图象的方程是（）A．3x－2y＋3.5＝0 B．3x－2y－3.5＝0C．3x－2y＋7＝0 D．3x＋2y－7＝03、已知一次函数的图象都经过A（－2，0），且与y轴分别交于B、C两点，那么△ABC的面积是（）A．2 B．3C．4 D．64、小艳用作图象的方法解二元一次方程组时，在同一直角坐标系内作出了相应的两个一次函数的图象l1，l2，如图所示，她解的这个方程组是（）A．B．C． D．5、如图是甲、乙两家商店销售同一种产品的销售价y（元）与销售量x（件）之间的函数图象，下列说法：①买2件时，甲、乙两家售价一样；②买1件时买乙家合算；③买3件时，买甲家的合算；④买乙家的1件售价约为2元，其中正确的说法是（）A．①②B．②③④C．②③D．①②③6、已知方程组没有解，则一次函数y＝2－x与的图象必定（）A．重合B．平行C．相交D．无法判断7、如图，若点P（m，n）的坐标可以通过解关于x、y的方程组求得，则m和n的值最可能为（）A．m＝－，n＝0 B．m＝－3，n＝－2C．m＝－3，n＝4 D．m＝－，n＝28、在同一直角坐标系中，直线l1：y＝（k－2）x＋k和l2：y＝kx的位置可能是（）A．B．C．D．答案：ADCAD BCB9、如图，在同一直角坐标系内作出的一次函数y1，y2的图象l1，l2，则两条直线l1，l2的交点坐标可以看做方程组_________的解．答案：解：由图可知：直线l1过（2，3），（0，－1），因此直线l1的函数解析式为：y＝2x－1；直线l2过（2，3），（0，1），因此直线l2的函数解析式为：y＝x＋1；因此所求的二元一次方程组为．10、已知y是x的一次函数，下表给出了部分对应值，则m的值是_____________.x －1 2 5y 5 －1 m答案：－7解：设该一次函数的解析式为y＝kx＋b．由题意得解得故m的值是－7．【巩固练习】1、已知一次函数y＝3x－2k与y＝x＋k交点的纵坐标为6，求这两个函数图象与x轴、y轴的交点坐标．解：根据题意可列方程组解得所以其中一个一次函数表达式为，当x ＝0时，，所以与y轴的交点坐标为；当y＝0时，，所以与x轴的交点坐标为．另一个一次函数表达式为，所以与y轴交点坐标为；当y＝0时，，所以与x轴交点坐标为．所以一次函数与x轴的交点坐标为，与y轴的交点坐标为．一次函数与x轴的交点坐标为，与y轴的交点坐标为．2、如图，直线l1：y＝x＋1与直线l2：y＝mx＋n相交于点P（1，b）．（1）求b的值；（2）不解关于x，y的方程组请你直接写出它的解；（3）直线l2：y＝nx＋m是否也经过点P？请说明理由．解：（1）∵P（1，b）在直线y＝x＋1上，∴当x＝1时，b＝1＋1＝2．（2）（3）直线y＝nx＋m也经过点P．理由：因为点P（1，2）在直线y＝mx＋n上，所以m＋n＝2，即2＝n×1＋m，这说明直线y＝nx＋m也经过点P．3、请你根据图中图象所提供的信息解答下面问题：（1）分别写出a1、a2中变量y随x变化而变化的情况：（2）求出一个二元一次方程组，使它满足图象中的条件．解：（1）a1：y随x的增大而增大，a2：y随x的增大而减小；（2）直线a1经过点（0，－1）与（1，1），设它的解析式为：y＝kx＋b；得：解得：k＝2，b＝－1即它的解析式是：y＝2x－1．同理可求直线a2的解析式是，则所求的方程组是4、（南通）用图象法解某二元一次方程组时，在同一直角坐标系中作出相应的两个一次函数的图象（如图所示），则所解的二元一次方程组是（）A、B、C、D、分析：由于函数图象交点坐标为两函数解析式组成的方程组的解．因此本题应先用待定系数法求出两条直线的解析式，联立两个函数解析式所组成的方程组即为所求的方程组．解：设经过图象上的点的坐标（0，－1）和（1，1）的解析式为y＝kx＋b，将（0，－1）和（1，1）坐标代入得方程组解得所以经过（0，－1）和（1，1）的直线的解析式为y＝2x－1，同理求得另一条直线的解析式是y＝－x＋2，因此所解的二元一次方程组是．故选D．点评：方程组的解就是使方程组中两个方程同时成立的一对未知数的值，而这一对未知数的值也同时满足两个相应的一次函数式，因此方程组的解就是两个相应的一次函数图象的交点坐标．5、（上海中考节选并改编）某工厂生产一种产品，当生产数量至少为10吨，但不超过50吨时，每吨的成本y（万元/吨）与生产数量x（吨）的函数关系如图所示．求y关于x的函数表达式，并写出它的自变量的取值范围．解：设y与x的函数表达式为y＝kx＋b（k≠0），由图象过点（10，10），（50，6），得所以y关于x的函数表达式为．6、通过电脑拨号上“因特网”的费用是由电话费和上网费两部分组成.以前我市通过“黄冈热线”上“因特网”的费用为电话费0.18元/3min，上网费为7.2元/小时.后根据信息产业部调整“因特网”资费的要求，自1999年3月1日起，我市上“因特网”的费用调整为电话费0.22元/3min，上网费为每月不超过60h，按4元/小时计算，超过60h部分，按8元/小时计算.（1）根据调整后的规定，将每月上“因特网”的费用y（元）表示为上网时间x(h)的函数；（2）资费调整前，网民晓刚在其家庭经济预算中，一直有一笔70h的上网费用支出，“因特网”资费调整后，晓刚要想不超过其家庭经济预算中的上网费用支出，他现在每月至多可上网多少小时？（3）从资费调整前后的角度分析，比较我市网民上网费用的支出情况.解：（1）当0≤x≤60时，当x＞60时，y＝60×4＋4.4x＋(x－60)×8＝12.4x－240.即调整后，每月上“因特网”的费用y与上网时间t的函数关系是：（2）资费调整前，上网70h所需费用为(3.6＋7.2)×70＝756(元).资费调整后，若上网60h，则所需费用为8.4×60＝504(元).因为756>504元，所以晓刚现在上网时间超过60h.由12.4x－240≤756，解得x≤80.32所以现在晓刚每月至多可上网约80.32h.（3）设调整前所需费用为y1(元)，调整后所需费用为y2(元).则y1＝10.8x，当0≤x≤60时，y2＝8.4x，10.8x＞8.4x，故y1＞y2；当x＞60时，y2＝12.4x－240，当y1＝y2时，11/ 11。

二元一次方程组和一次函数的关系

二元一次方程组和一次函数的关系
在数学中，二元一次方程组和一次函数有着密切的关系。它们都是描述线性关系的工具，而方程组是由多个方程组成的系统。
什么是二元一次方程组？
二元一次方程组是由两个方程组成的系统，其中每个方程都是二元变量的一次函数，例如： 2x + 3y = 7 4x - y = -2
什么是一次函数？
方程组的解的意义
方程组的解表示了使得所有方程都成立ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ数值对。它可以用来解决实际问题，如找到两个变量之间的关系或计算未知变量的值。
方程组和函数的图像
方程组和一次函数都可以用图像来表示。方程组的图像是表示所有方程成立的点的集合，而一次函数的图像是表示线性关系的线。
实际问题的应用举例
二元一次方程组和一次函数在各个领域中都有广泛的应用。例如，它们可以用于解决经济学中的供求关系、物理学中的运动问题以及工程学中的优化问题。
一次函数是一种线性函数，其表达式为y = mx + b，其中m和b是常数，x是自变量，y是因变量。
二元一次方程组和一次函数的关系
二元一次方程组可以看作是由两个一次函数组成的系统，通过求解方程组，可以得到使得两个函数的交点坐标成立的值。
方程组求解的方法
有多种方法可以求解二元一次方程组，例如代入法、消元法和图像法。每种方法都有其特定的应用场景和适用性。

二元一次方程与一次函数

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达标4：
八年级数学
第五章二元一次方程组二元一次方程与一次函数
综合建模
1.请概括本节所学知识，尝试画出本节所学知识的结构图。
2.通过本节课的学习，你有哪些疑问？
八年级数学
第五章二元一次方程组二元一次方程与一次函数
数
二元一次方程（无数个解）二元一次方程组唯一解
形
一次函数（一条直线）（无数个点）两条直线一个交点
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达标2： 1、已知一次函数 y =2x-1 与 y =3x+4图象如图所示，则方程组的解为（）。的解为 2、方程组
，则直线y=-x+15和y=x-7的交点坐标是（）。
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第五章二元一次方程组二元一次方程与一次函数
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例题：直线l1：y=x+2和直线l2：y=2x-2的图象如图所示，则直线l1与l2 的交点坐标是．
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第五章二元一次方程组二元一次方程与一次函数
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小结2：（1）求二元一次方程组的解可以转化为求两条直线的交点的横纵坐标．（2）求两条直线的交点坐标可以转化为求这两条直线对应的函数表达式联立的二元一次方程组的解．
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第五章二元一次方程组二元一次方程与一次函数
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活动一：二元一次方程和一次函数的关系
1．方程x+y=5的解有无数个
个；
是这个方程的解吗？ 2．画出一次函数 y=-x+5的图像。
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第五章二元一次方程组二元一次方程与一次函数
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3.（0，5），（5，0），（2，3）在一次函数y＝的图像上吗？ 4.在一次函数y=的图像上任取一点，它的坐标适合方程x+y=5吗？

人教版八年级数学下册_【例题与讲解】用二元一次方程组确定一次函数表达式

7 用二元一次方程组确定一次函数表达式1．二元一次方程与一次函数的关系若k ，b 表示常数且k ≠0，则y －kx ＝b 为二元一次方程，有无数个解；将其变形可得y ＝kx ＋b ，将x ，y 看作自变量、因变量，则y ＝kx ＋b 是一次函数．事实上，以方程y －kx ＝b 的解为坐标的点组成的图象与一次函数y ＝kx ＋b 的图象相同．【例1】 (1)方程x ＋y ＝5的解有多少个？写出其中的几个．(2)在直角坐标系中分别描出以这些解为坐标的点，它们在一次函数y ＝5－x 的图象上吗？(3)在一次函数y ＝5－x 的图象上任取一点，它的坐标适合x ＋y ＝5吗？(4)以方程x ＋y ＝5的解为坐标的所有点所组成的图象与一次函数y ＝5－x 的图象相同吗？分析：方程x ＋y ＝5的解有无数个，以这些解为坐标的点组成的图象与一次函数y ＝5－x 的图象相同，二者是相同的．解：(1)有无数个．⎩⎨⎧ x ＝1，y ＝4；⎩⎨⎧ x ＝2，y ＝3；⎩⎨⎧ x ＝3，y ＝2；⎩⎨⎧x ＝0，y ＝5.(2)以这些解为坐标的点，都在一次函数y ＝5－x 的图象上．(3)适合．(4)相同．2．用图象法求二元一次方程组的近似解用图象法求二元一次方程组的近似解的一般步骤：(1)先把方程组中两个二元一次方程转化为一次函数的形式：y 1＝k 1x ＋b 1和y 2＝k 2x ＋b 2；(2)建立平面直角坐标系，画出两个一次函数的图象；(3)写出这两条直线的交点的横纵坐标，这两个数的值就是二元一次方程组的解中的两个数值，横坐标是x ，纵坐标是y .【例2】用作图象的方法解方程组：⎩⎨⎧x －y ＝3， ①x ＋2y ＝－3. ②分析：先把两个方程化成一次函数的形式；再在同一直角坐标系中画出它们的图象，交点的坐标就是方程组的解．解：由①，得y ＝x －3；由②，得y ＝－12x －32.在同一直角坐标系内作出一次函数y ＝x －3的图象l 1和一次函数y ＝－12x －32的图象l 2，如图所示．观察图象，得l 1和l 2交点的坐标为M (1，－2)．故方程组⎩⎨⎧ x －y ＝3，x ＋2y ＝－3的解为⎩⎨⎧ x ＝1，y ＝－2.3．利用二元一次方程组确定一次函数的表达式每个二元一次方程组都对应两个一次函数，于是也对应两条直线，从“数”的角度看，解方程组相当于考虑自变量为何值时两个函数的值相等，以及这个函数值是何值；从“形”的角度看，解方程组相当于确定两条直线交点的坐标．因此一次函数与二元一次方程组有密切联系．利用二元一次方程组确定一次函数的表达式的一般步骤如下：(1)写出函数表达式：一次函数y ＝kx ＋b ；(2)把已知条件代入，得到关于k ，b 的方程组；(3)解方程组，求出k ，b 的值，写出其表达式．【例3】已知一次函数y ＝ax ＋2与y ＝kx ＋b 的图象如图所示，且方程组⎩⎨⎧ ax －y ＝－2，kx －y ＝－b 的解为⎩⎨⎧x ＝2，y ＝1点B 坐标为(0，－1)．你能确定两个一次函数的表达式吗？分析：根据方程组与一次函数图象的关系，先确定两图象的交点A 的坐标，再代入表达式，求出字母a ，k ，b 的值．解：∵方程组⎩⎨⎧ ax －y ＝－2，kx －y ＝－b 的解是⎩⎨⎧ x ＝2，y ＝1， ∴交点A 的坐标为(2,1)．∴点A 在函数y ＝ax ＋2的图象上，2a ＋2＝1.[来源:zz^@step.&com*%]∴a ＝－12.∵点A (2,1)，点B (0，－1)在函数y ＝kx ＋b 图象上，∴⎩⎨⎧ 2k ＋b ＝1，b ＝－1.解得⎩⎨⎧k ＝1，b ＝－1. ∴两个一次函数的表达式为y ＝－12x ＋2，y ＝x －1.析规律方程组的解与交点坐标方程组的解就是两个一次函数图象的交点的坐标．4．用待定系数法求一次函数的表达式用待定系数法求一次函数的表达式的方法可归纳为“一设，二列，三解，四还原”．具体的说明如下：一设：设出一次函数表达式的一般形式y ＝kx ＋b (k ≠0)；二列：根据已知两点或已知图象上的两个点坐标列出关于k ，b 的二元一次方程组；三解：解这个方程组，求出k ，b 的值；四还原：将已求得的k ，b 的值再代入y ＝kx ＋b (k ≠0)中，从而得到所要求的一次函数的表达式．确定二元一次方程(组)中字母的取值，是一类常见的题目，解这类问题的基本方法是利用方程(组)的有关知识，得到含有字母系数的方程(组)，然后解这个方程(组)，求出待定字母．析规律求与坐标轴的交点坐标解答这类问题要切记，函数图象与x 轴的交点的纵坐标是0，函数图象与y 轴的交点的横坐标是0.【例4】某出版社出版一种适合中学生阅读的科普读物，若该读物首次出版印刷的印数不少于5 000册时，投入的成本与印数间的相应数据如下：印数x (册)5 000 8 000 10 000 15 000 … 成本y (元) 28 500 36 000 41 000 53 500 …(1)经过对上表中数据的探究，发现这种读物的投入成本y (元)是印数x (册)的一次函数，求这个一次函数的解析式(不要求写出x 的取值范围)；(2)如果出版社投入成本48 000元，那么能印该读物多少册？[来源:~@中国解：(1)设所求一次函数的解析式为y ＝kx ＋b (k ≠0)，由题意，得⎩⎨⎧ 5 000k ＋b ＝28 500，8 000k ＋b ＝36 000.解得⎩⎪⎨⎪⎧k ＝52，b ＝16 000.所以所求的函数关系式为y ＝52x ＋16 000. (2)将y ＝48 000代入y ＝52x ＋16 000中，得48 000＝52x ＋16 000.解得x ＝12 800.所以能印该读物12 800册．5．利用数形结合法理解二元一次方程组解的三种情况(1)方程组有唯一一组解：即方程组中的两个二元一次方程有唯一公共解，如方程组⎩⎨⎧ x －y ＝3，x ＋y ＝5有唯一一组解⎩⎨⎧ x ＝4，y ＝1.函数y ＝x －3和y ＝5－x 的图象是两条相交的直线，只有一个交点．(2)方程组无解：即方程组中的两个二元一次方程没有公共解，如方程组⎩⎨⎧ x ＋y ＝5，3x ＋3y ＝5无解，这类方程组也叫做矛盾方程组．函数y ＝5－x 和y ＝13(5－3x )的图象是两条平行直线，无交点．(3)方程组有无数组解：即方程组中的两个二元一次方程有无数个解，如方程组⎩⎨⎧x ＋y ＝2，2x ＋2y ＝4有无数组解．函数y ＝2－x 和y ＝12(4－2x )的图象是同一条直线．【例5】如图表示两辆汽车行驶路程与时间的关系(汽车B 在汽车A 后出发)，试回答下列问题：(1)图中l 1，l 2分别表示哪一辆汽车的路程与时间的关系？(2)写出汽车A 和汽车B 的路程与时间的函数关系式，汽车A 和汽车B 的速度各是多少？(3)图中交点是什么意思？分析：图中l 1，l 2表示的是一次函数的图象．由图象可知，直线l 1经过点(0,0)和(3,100)，直线l 2经过点(2,0)和(3,100)，由待定系数法求表达式．解：(1)l 1表示A 车的路程与时间的关系，l 2表示B 车的路程与时间的关系．(2)汽车A 的函数关系式是s ＝1003t ，汽车B 的函数关系式是s ＝100t －200；汽车A的速度是1003km/h，汽车B的速度是100 km/h.(3)汽车A出发3 h(或汽车B出发1 h)两车相遇，此时两车行驶路程都是100 km.。

一次函数与二元一次方程组

2x－y＋3=0 x－2y－3=0
的解有关系吗?
如果有关系，请说明有怎样的关系？如果没有关系。请说明理由？
一般地，如果两个一次函数的图象有一个交点，那么交点的坐标就是相应的二元一次方程组的一个解。
一次函数与二元一次方程可以相互转化，从形式到内容它们都是统一的。
二元一次方程组的解与以这两个方程所对应的一次函数图象的交点坐标相对应。
解：由①得: y x 1 由②得: y 2x 1
作出图象：观察图象得：交点(0,-1) ∴方程组的解为 x=0
y=-1
y
y=x+1
O
x
y=-2x+4
巩固练习
1、以方程2x-y=1的解为坐标的点都在一次函数
_y_=_2_x_-1_的图像上。
2、方程组
x-y=4 3x-y=16
的解是
yx==2，6 由此可知一
解：由①得: y 2x 4
由②得: y 2 x 4 3
o
作出图象：
观察图象得：交点为(3,-2)
∴方程组的解为 x=3 y=-2
y=2/3x - 4 y
y=-2x+4
你能说一说用图像解二元一次方程组的一般步骤吗？
写函数，作图象，找交点，下结论
练习：利用图象法解方程组：
x-y=-1 ① 2x+y=1 ②
什么？
1 (0,1)
-5 -4 -3 -2 -1 0 -1
x+y=1
y=-x+1
-x+y=1 y=x+1
1 2 3 4 5x (0,1)
参与讨论
两个一次函数关系式可以写成两个二元一次方程的形式.一次函数y=2x＋3和y=1/2x－3/2 的图象,与相应的二元一次方程组

北师版八年级数学 5.6 二元一次方程与一次函数(学习、上课课件)

确，可以将得到的解代入方程组中进行检验，如果方程
组中的两个方程同时成立，则得到的解是准确的.
感悟新知
知2－练
例2 [中考·济宁] [母题教材P124习题T3]数形结合是解决数学问题常用的思想方法. 如图5-6-1，直线y＝x＋5和直线y＝ax＋b相交于点P，根据图象可知，方程组
ቊyy＝＝axx＋＋5b，的解中x的值是(
第五章二元一次方程组
5.6 二元一次方程与一次函数
学习目标
1 课时讲解二元一次方程与一次函数
二元一次方程组与一次函数
2 课时流程
逐点导讲练
课堂小结
作业提升
感悟新知
知识点 1 二元一次方程与一次函数
知1－讲
1. 二元一次方程与一次函数的联系一般地，以二元一次方程 kx－y+b=0 的解为坐标的
图象 ( 即直线 ) 上有无数个点
联系
一般地，以一个二元一次方程的解为坐标的点组成的图象与相应的一次函数的图象相同，是一条直线
感悟新知
知1－讲
ห้องสมุดไป่ตู้
感悟新知
例1 下列四条直线，其中直线上每个点的坐标都是二元一次方程x－2y＝2 的解的是( )
知1－练
感悟新知
解题秘方：根据两点确定一条直线，对于方程x－ 2y＝2 ，令x=0，求出 y 的值，再令 y=0，求出 x 的值，即可得出与之相对应的一次函数图象与坐标轴的交点，即可得出图象 .
ቊxy＝＝12，，点B为直线y＝kx＋b与y轴的交点，点B的坐标为(0，－1)，请你确定这两个一次函数的表达式.
感悟新知
知2－练
解题秘方：把点 A 的坐标代入 y=ax+2，把点 A， B 的坐标代入 y=kx+b，运用待定系数法即可求出两个一次函数的表达式 .

二元一次方程(组)与一次函数(基础)知识讲解

二元一次方程（组）与一次函数（基础）【学习目标】1.理解二元一次方程与一次函数的关系；2.能根据一次函数的图象求二元一次方程组的近似解；3.能利用二元一次方程组确定一次函数的表达式.【要点梳理】要点一、二元一次方程与一次函数的关系1.任何一个二元一次方程(0,)ax by c a b c +=≠、为常数都可以变形为-(0,)a c y x a b c b b=+≠、为常数即为一个一次函数，所以每个二元一次方程都对应一个一次函数.2.我们知道每个二元一次方程都有无数组解，例如：方程5x y +=我们列举出它的几组整数解有0,5;x y =⎧⎨=⎩5,0;x y =⎧⎨=⎩2,3x y =⎧⎨=⎩，我们发现以这些整数解为坐标的点（0，5），（5，0），（2，3）恰好在一次函数y ＝5+-x 的图像上，反过来，在一次函数x y -=5的图像上任取一点，它的坐标也适合方程5x y +=.要点诠释：1.以二元一次方程的解为坐标的点都在相应的函数图像上；2.一次函数图像上的点的坐标都适合相应的二元一次方程；3.以二元一次方程的解为坐标的所有点组成的图像与相应一次函数的图像相同. 要点二、二元一次方程组与一次函数1. 二元一次方程组与一次函数每个二元一次方程组都对应两个一次函数，于是也对应两条直线.从“数”的角度看，解方程组相当于考虑自变量为何值时两个函数的值相等，以及这时的函数为何值；从“形”的角度看，解方程组相当于确定两条直线交点的坐标.要点诠释：1.两个一次函数图象的交点与二元一次方程组的解的联系是：在同一直角坐标系中，两个一次函数图象的交点坐标就是相应的二元一次方程组的解.反过来，以二元一次方程组的解为坐标的点一定是相应的两个一次函数的图象的交点.如一次函数5y x =-与21y x =-图象的交点为(2，3)，则23x y =⎧⎨=⎩就是二元一次方程组521x y x y +=⎧⎨-=⎩的解. 2.当二元一次方程组无解时，方程组中两方程未知数的系数对应成比例，相应的两个一次函数在直角坐标系中的直线就没有交点，则两个一次函数的直线就平行.反过来，当两个一次函数直线平行时，相应的二元一次方程组就无解.如二元一次方程组无解，则一次函数35y x =-与31y x =+的图象就平行，反之也成立.3.当二元一次方程组有无数解时，则相应的两个一次函数在直角坐标系中的直线重合，反之也成立.2. 图像法解二元一次方程组求二元一次方程组的解，可以转化为求两条直线的交点的横纵坐标（即二元一次方程组的图像解法.）所以，解二元一次方程组的方法有：代入消元法、加减消元法和图像法三种.要点诠释：利用图像法求二元一次方程组的解是近似解，要得到准确解，一般还是用代入消元法和加减消元法解方程组.相反，求两条直线的交点坐标可以转化为求这两条直线对应的函数表达式联立的二元一次方程组的解.要点三、用二元一次方程组确定一次函数表达式待定系数法：先设出函数表达式，再根据所给的条件确定表达式中未知数的系数，从而得到函数表达式的方法，叫做待定系数法.利用待定系数法解决问题的步骤：1.确定所求问题含有待定系数解析式.2.根据所给条件, 列出一组含有待定系数的方程.3.解方程组或者消去待定系数，从而使问题得到解决.【典型例题】类型一、二元一次方程与一次函数1、一次函数的图象如图所示，则与此一次函数对应的二元一次方程为（）A．x﹣3y=3 B．x+3y=3 C．3x﹣y=1 D．3x+y=1【答案】A【解析】直线过点（3，0），（0，﹣1）．代入y=kx+b，得到二元一次方程组解方程组得到．∴一次函数解析式为，移向，并将系数化为1得到所对应的二元一次方程x ﹣3y=3．【总结升华】每个二元一次方程都对应一个一次函数，因此当求出一次函数的解析式时即也就求出了相应二元一次方程.举一反三：【变式】已知3=x ，2-=y 和0=x ，1=y 是二元一次方程03=++by ax 的两个解，则一次函数b ax y +=的解析式为（）A.、32--=x y B 、x y = C.、3+-=x y D 、 33--=x y【答案】D类型二、二元一次方程组与一次函数2、（2016•临清市二模）如图，已知函数y=ax+b 和y=kx 的图象交于点P ，则根据图象可得，关于x 、y 的二元一次方程组的解是（）A ．B ．C ．D ．【思路点拨】由图可知：两个一次函数的交点坐标为（﹣3，1）；那么交点坐标同时满足两个函数的解析式，而所求的方程组正好是由两个函数的解析式所构成，因此两函数的交点坐标即为方程组的解．【答案】C.【解析】解：函数y=ax+b 和y=kx 的图象交于点P （﹣3，1），即x=﹣3，y=1同时满足两个一次函数的解析式．所以关于x，y的方程组的解是．【总结升华】本题考查了一次函数与二元一次方程组，方程组的解就是使方程组中两个方程同时成立的一对未知数的值，而这一对未知数的值也同时满足两个相应的一次函数式，因此方程组的解就是两个相应的一次函数图象的交点坐标．举一反三：【变式】（2015春•昌乐）在教学活动中我们知道，任何一个二元一次方程的图象都是一条直线，如图，已知直线y=ax﹣6过点P（﹣4，﹣2），则关于x、y的方程组的解是．【答案与解析】解：∵x=﹣4时，y=x=﹣2，∴点P（﹣4，﹣2）在直线y=x上，∴方程组的解为．故答案为．3、（2014•东莞模拟）在同一坐标系中画出函数y=2x+1和y=﹣2x+1的图象，并利用图象写出二元一次方程组的解．【思路点拨】利用两点法作出两直线的图象，交点坐标即为方程组的解．【答案与解析】解：如图，两直线的交点坐标为（0，1），所以，方程组的解是．【总结升华】用一次函数图象解方程是解二元一次方程组的又一解法，反映了一次函数与二元一次方程组之间的联系，能直观地看到怎样用图形来表示方程组的解.类型三、用二元一次方程组确定一次函数表达式4、某游泳池内现存水1890（m3），已知该游泳池的排水速度是灌水速度的2倍．假设在换水时需要经历“排水﹣﹣清洗﹣﹣灌水”的过程，其中游泳池内剩余的水量y（m3）与换水时间t（h）之间的函数关系如图所示．根据图象解答下列问题：（1）根据图中提供的信息，求排水的速度及清洗该游泳池所用的时间；（2）求灌水过程中的y（m3）与换水时间t（h）之间的函数关系式，写出函数的定义域．【思路点拨】（1）由图象可知，该游泳池5个小时排水1890（m3），根据速度公式求出即可，求出灌水的速度和时间即可求出清洗该游泳池所用的时间；（2）设灌水过程中的y（m3）与换水时间t（h）之间的函数关系式是y=kt+b．将（11，0），（21，1890）代入y=kt+b求出即可．【答案与解析】解：（1）∵由图象可知，该游泳池5个小时排水1890（m3），∴该游泳池排水的速度是1890÷5=378（m3/h），由题意得该游泳池灌水的速度是378×=189（m3/h），由此得灌水1890m3需要的时间是1890÷189=10（h），∴清洗该游泳池所用的时间是21﹣5﹣10=6（h），（2）设灌水过程中的y（m3）与换水时间t（h）之间的函数关系式是y=kt+b．将（11，0），（21，1890）代入y=kt+b，得，解得：k=189，b=﹣2079，即灌水过程中的y（m3）与时间t（h）之间的函数关系式是y=189t﹣2079，（11＜t≤21）．【总结升华】本题考查了一次函数的应用，主要考查学生能否把实际问题转化成数学问题，题目比较典型，是一道比较好的题目．举一反三：【变式】为保护学生视力，课桌椅的高度都是按一定的关系配套设计的，研究表明：假设课桌的高度为ycm，椅子的高度为xcm，则y应是x的一次函数，下表列出两套符合条件的课桌椅的高度：第一套第二套椅子高度xcm 40.0 37.0桌子高度ycm 75.0 70.2（1）请确定y与x的函数关系式？（2）现有一把高39cm的椅子和一张高为78.2的课桌，它们是否配套？为什么？【答案】解：（1）设y=kx+b．根据题意得．解得．∴y=1.6x+11；（2）椅子和课桌不配套．∵当x=39时，y=1.6×39+11=73.4≠78.2，∴椅子和课桌不配套．。

用二元一次方程组确定一次函数表达式

用方程解行程问题
A、B 两地相距150千米，
1 时后乙距A地
甲、乙两人骑自行车分别从A
120千米,即乙的
、B 两地同时相向而行。假设小彬速度是 30千米/时,
他们都保持匀速行驶，则他们
各自到A地的距离s(千米)都是骑车时间t(时)的一次函数.
1 时后乙距A地120千米, 2 时后甲距A地 40千米.
4 3
,
2 3
).
( , )
33
教学目标
1.理解作函数图像的方法与代数方法各自的特点.
2.掌握利用二元一次方程组确定一次函数的表达式.
3.进一步理解方程与函数的联系，体会知识之间的普遍联系和知识之间的相互转化.
１、二元一次方程组与一次函数有何联系?
二元一次方程组的解是它们对应的两个一次函数图象的交点坐标；反之，两个一次函数图象的交点也是它们所对应的二元一次方程组的解。
1 2
x
1
点拨：由图象知，l1、l2 的 x 的系数都应为负数，排除 A、
C.又 l1、l2的交点为(2，－2)，代入验证可知只有 D 符合．
【跟踪训练】
如图，直线
l的1与交l点2 坐标是____.
l1
y
l2
3
2
1
-2 -1 -01 1 2 3
x
-2
设直线l2为y k2 x b2 , 因为直线l2过点(1, 0), (0, 2),
归纳:
任意一个二元一次方程都可以转化成y=kx+b的形式,所以每个二元一次方程都对应一个一次函数.
每个二元一次方程都可转化为一次函数
方程 ax+by=c 的解

二元一次方程和一次函数的区别

二元一次方程和一次函数的区别二元一次方程和一次函数的区别一、二元一次方程和一次函数的定义1. 二元一次方程二元一次方程是指形式为Ax + By = C的方程，其中A、B、C是已知数，x和y是未知数，且A和B不全为零。

2. 一次函数一次函数是指形式为y = kx + b的函数，其中k和b是已知数，x 和y分别表示自变量和因变量。

二、二元一次方程和一次函数的关系1. 形式上的相似从形式上看，二元一次方程和一次函数都含有未知数x和y，并且都是以一次幂的方式出现，所以在外表上二者有相似之处。

2. 直观上的区别二元一次方程更强调两个未知数之间的关系，通常用来描述平面直角坐标系中的直线关系；而一次函数更侧重于自变量和因变量之间的函数关系，以直线图像呈现。

三、深入探讨二元一次方程和一次函数的区别1. 解的不同二元一次方程求解的目的是求出使方程成立的未知数的值，即确定直线在坐标系中的位置；而一次函数求解的目的是得出自变量和因变量的关系，从而描绘出整个函数的图像和特性。

2. 表达方式不同二元一次方程是用等式的形式来表达，描述了两个变量之间的线性关系；一次函数是用函数的显式表达式来描述自变量和因变量之间的函数规律，通常以图像的形式展现。

3. 应用领域不同二元一次方程主要用于解决平面几何中的交点问题、物理问题中的速度、加速度等关系问题；一次函数则广泛应用于经济学、物理学、工程学等领域，用来描述实际问题中的线性关系。

四、总结与回顾二元一次方程和一次函数在形式上有相似之处，但在实际应用和解释上有着明显的区别。

通过学习和理解二者的差别，我们能更清晰地应用于实际问题，并且能更深入地理解数学和函数的内涵。

个人观点对于学习者来说，理解二元一次方程和一次函数的区别有助于拓展数学思维，更好地理解函数的本质和意义。

在教学中，也应该注重强调二者之间的联系和区别，帮助学生建立正确的数学观念。

以上就是关于二元一次方程和一次函数的深度和广度兼具的描述和解释，希望能帮助您更好地理解这两个重要的数学概念。

二元一次方程组和一次函数问题

二元一次方程组（3）教学目标利用二元一次方程组求解一次函数，掌握一次函数与二元一次方程组的关系。

重难点分析：重点：1、利用二元一次方程组求解一次函数表达式；2、二元一次方程组的解与一次函数的关系；难点：1、二元一次方程组与一次函数的关系；2、方案选择问题。

知识点梳理1、二元一次方程与一次函数的关系若k ，b 表示常数且0≠k ，则b kx y =-为二元一次方程，有无数个解；将其变形可得b kx y +=，将x ，y 看作自变量、因变量，则b kx y +=是一次函数．事实上，以方程b kx y =-的解为坐标的点组成的图象与一次函数b kx y +=的图象相同。

结论：（1）以二元一次方程的解为坐标的点都在对应的函数图象上；（2）一次函数的图象上的点的坐标都适合对应的二元一次方程。

2、二元一次方程与对应两条直线的关系（1）方程组的解是对应的两条直线的交点坐标（2）两条直线的交点坐标是对应的方程组的解特别的：（1）两平行直线的k 相等；（2）方程组中两方程未知数的系数对应成比例方程组无解，对应的两直线平行。

3、三元一次方程组的基本概念知识点1：二元一次方程（组）与一次函数的基本关系【例1】图中两直线1l ，2l 的交点坐标可以看作方程组【】的解。

A ．121x y x y -=⎧⎨-=-⎩ B. 121x y x y -=-⎧⎨-=⎩C ．321x y x y -=⎧⎨-=⎩ D. 321x y x y -=-⎧⎨-=-⎩【例2】（1）在同一直角坐标系中作出一次函数2+=x y ，3-=x y 的图像。

（2）两者的图像有何关系?（3）你能找出一组数适合方程2-=-y x ，3=-y x 吗?_________________，•这说明方程组2,3,x y x y -=-⎧⎨-=⎩________。

【随堂练习】1、直线83=-y kx ，452-=+y x 交点的纵坐标为0，则k 的值为【】A ．4B ．-4C ．2D ．-22、把方程341x y x +=+化为b kx y +=的形式是________________。

二元一次方程组与线性函数的关系

二元一次方程组与线性函数的关系。

让我们来看看二元一次方程组的基本形式：ax + by = c和dx + ey = f。

在这种等式中，x和y是未知数，而a、b、c、d、e和f是给定的系数。

这种方程组的解可以表示为(x, y)，使得它同时满足两个等式。

而线性函数，则是以y = mx + b的形式给出，其中m和b是已知的常数。

在这种函数中，x和y分别是自变量和因变量。

那么，这两个数学概念之间有什么联系呢？实际上，我们可以将任何一个二元一次方程组转化为一个线性函数，并且反之亦然。

具体来说，我们可以将一个二元一次方程组表示为：y = (-a/b)x + (c/b)或者：y = (-d/e)x + (f/e)这两个等式分别表示与原二元方程组等价的两个线性函数。

这意味着，可以通过解一个方程组来求得它对应的线性函数，反之亦然。

那么，这种转化有什么实际意义呢？实际上，将一个方程组转化为一个线性函数可以帮助我们更好地理解它的解的性质。

具体而言，我们可以通过分析这个函数的斜率和y-intercept来判断方程组的解的性质。

例如，当斜率是正数时，我们可以得出这个方程组有一个正的解，当斜率是负数时，我们可以得出这个方程组有一个负的解。

而当y-intercept为零时，我们可以得出这个方程组有一个零解。

这种分析可以帮助我们更好地理解实际问题中遇到的方程组，从而更好地解决这些问题。

除此之外，线性函数的重要性还体现在它与数学中其他概念的联系上，例如函数图像和相关性。

通过控制斜率和y-intercept，我们可以绘制出各种不同形状的函数图像，并通过比较两个函数的相关性来确定它们之间的关系。

这种能力在数学、经济学和统计学等许多领域中都是至关重要的。

那么，我们如何应用这种知识呢？实际上，在现今科技日益发达的时代，人们需要越来越多地使用数学知识来解决各种实际问题。

例如，在2023年，已经成为了人类生活中不可缺少的一部分。

在这个时代中，人们需要使用数学知识来开发各种AI算法，例如机器学习和人工神经网络。

二元一次方程组与一次函数综合

二元一次方程组与一次函数综合【课前热身】 1、一次函数y=2x+3与y=2x-3的图像的位置关系是_________，即______交点。

（填“有”或“没有”），所以方程组⎩⎨⎧=--=+-032032y x y x 的解的情况是___________。

2、在同一直角坐标系内一次函数y=2x-2和y=24x 4-的图像显然是同一条直线。

那么方程组⎪⎩⎪⎨⎧=--=--0121022y x y x 的解的情况是________________.【知识讲解】一、二元一次方程组与一次函数的关系【例1】如右图，点P(1，3)，A(3，0)，B(-2，0).(1) 写出一个以⎩⎨⎧==31y x 为解的二元一次方程组。

(2) 用图像法解方程组。

⎩⎨⎧-=-=+292x 3y x y【练习1-1】如下图，两直线l 1,l 2的交点坐标可以看成方程组A B P 4 321 y_____________的解。

【练习1-2】利用图像法解方程组⎩⎨⎧=+=-.122,42y x y x【例2-1】已知方程组⎩⎨⎧=+=-.12,53by x y ax 所对应的一次函数的图像如右图，试求出a-b的值。

二、二元一次方程组的解是两个一次函数图像交点的横纵坐标【例2-2】若一次函数y=3x-4与y=-x+3的交点为p，它们与x轴的交点分别为A点，B点，试求△ABP的面积。

【练习2-2】直线y=x+6和直线y=-x+6与x轴所围成的三角形的面积是__________。

三、利用一次函数与二元一次方程组的关系解决实际问题【例3-1】在直角坐标系中，直线l1经过点（2，3）和（-1，-3），直线l2经过原点，且与直线l1交于P（-2，a）。

（1）试求a的值；（2）（-2，a）可以看做是哪个二元一次方程组的解？（3）直线l1与y轴交于A，你能求出△APO的面积吗？【例3-2】如右图，直线PA是一次函数y=x+n(n>0)的图像，直线PB是一次函数的y=-2x+m(m>n) 的图像；（1）用n、m表示点A,B,P的坐标；（2）若点Q是PA与Y轴的交点，且四边形QOBP的面积10，AB=4.试求点P的坐标，并写出直线PA与是3PB的解析式。

二元一次方程与函数

{
x=0 y=5
{
x=-1 y=6
{
x=1 y=4
{
x=2 y=3
{
x=3 等 y=2
Байду номын сангаас
问2、在直角坐标系中分别描出以这些解为坐标、的点，她们在一次函数y=5—x的图象上吗？的图象上吗？的点，她们在一次函数的图象上吗问3、在一次函数、在一次函数y=5—x的图象上的图象上任取一点，任取一点，它的坐标适合方程 x+y=5吗？吗
二元一次方程组无解一次函数图象平行无交点二元一次方程组一组解一次函数图象有一个交点二元一次方程组无数解一次函数图象重合无数交点练习21已知是方程组的解那么一次函数y和一次函数7x3y22xy8y1ab两地相距100千米甲乙两人骑车同时分别从ab两地相向而行假设他们都保持匀速行使则他们各自带a地的距离s千米都是骑车时间t时的一次函数1时后乙距离a地80千米2时后甲距离a地30千米
三、做一做
在同一直角坐标系中作出一次函数y=5—x与与在同一直角坐标系中作出一次函数 y=2x—1的图象，这两个图象有交点吗？交的图象，的图象这两个图象有交点吗？的解有什么关系？点的坐标与方程 x+y=5 的解有什么关系？ 2x—y=1
{
一次函数y=5—x和y=2x—1的图象的交点为和一次函数的图象的交点为），因此（2，3），因此 x=2 就是方程 x+y=5 ，）， y=3 2x—y=1 的解。的解。
{
{
{
你从上题中能得到用图象的方法解方程组步骤吗？的步骤吗？ 1）把二元一次方程化成一次函数的形式） 2）在直角坐标系中画出两个一次函数的）图象，并标出其交点。图象，并标出其交点。 y L2 L 3）交点坐标就是方程组的解） 1 3 如下图中两条L 如下图中两条 1、L2，的交点坐标可以看作方程 -2 的解。组的解。 3x—2y=2 3x—y=3

【初中数学知识点解析】二元一次方程与函数的综合

所以方程组 2x－y＝0，的解是 x＋y－b＝0
x＝1， y＝2.
将(1，2)代入y＝－x＋b，得2＝－1＋b，解得b＝3.

同类变式
3．在平面直角坐标系中，一次函数y＝－x＋4的图象如图所示．
(1)在同一坐标系中，作出一次函数y＝2x－5的图象； x＋y＝4，
(2)用作图象的方法解方程组 2x－y＝5； (3)求直线y＝－x＋4，y＝2x－5与x轴所围成的三角形的面积．
角度2 利用方程组求两条直线的交点
4．已知－ ex＋mxy＋＝yf＝n，的解为的交点坐标为( A )
xy ＝＝46，，则直线y＝mx＋n与y＝－ex＋f
A．(4，6)
B．(－4，6)
C．(4，－6)
D．(－4，－6)
同类变式
5．已知
x＝3， y＝－2 和
xy＝＝12，是二元一次方程ax＋by ＝－3的两个解，
则一次函数y＝ax＋b的图象与y轴的交点坐标是( )
A．(0，－7)
3 C. (0，－ 7)
B．(0，4)
3 D.(－ 7 ，0)
角度2 方程组的解与一次函数图像的关系
6．若方程组
x＋y＝2， 2x＋2y＝3
没有解，则一次函数y＝2－x与y＝
3 2
－x
的图象必定( B )
A．重合
B．平行
C．相交
D．无法确定
y＝－x＋4， y＝x＋2 的解为( B )
A.
x＝3， y＝1
x＝1，
x＝0，
B. y＝3
C. y＝4
D.
x＝4， y＝0
同类变式
2．已知直线y＝2x与y＝－x＋b的交点坐标为(1，a)，试确定方程组

二元一次方程组与函数

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