「精品」八年级数学上册第11章数的开方小结与复习课件新版华东师大版

考点四 实数的运算与大小比较
例5 估计 6 1的值在（ B ） A.2到3之间 B.3到4之间 C.4到5之间 D.5到6之间 【解析】∵4<6<9∴ 4 6 9,即2 6 3,3 6 1 4, 因此 6 的1值在3到4之间.故选B.
方法总结 像这类估算无理数的大小的问题，可以将带有根号
性质4： 3 a 3 a
三、用计算器求算术平方根、立方根
1. 用计算器求一个正数的算术平方根 用计算器求一个正数a的算术平方根，只需要按书写
顺序在计算器上依次键入
a=
2. 用计算器求立方根 用计算器求一个数a的立方根，只需要按书写顺序在
计算器上依次键入
SHIFT
（3 ）a =
四、实数 1.实数的分类 (1)按定义分：
方法总结 初中阶段主要涉及三种非负数：a ≥0，|a|≥0，a2≥0.如
果若干个非负数的和为0，那么这若干个非负数都必为0.
针对训练
3.若 a 8与(b-27)2 互为相反数，则 3 a 3 b -11 .
考点二 无理数的识别
例3
在实数
3， 2 42
，π 2
中，无理数有
（
B）
A.3个 B.2个 C.1个 D.0个
(2)按符号分：
实
有 理 数
整数 （有限小数及 分数 无限循环小数）
正实数
数无 理 （无限不循环小数）
实 数
0
数
负实数
2.实数与数轴
(1)实数和数轴上的点是一一对应的关系；
正有理数 正无理数
负有理数 负无理数
(2)在数轴上表示的两个数，右边的数总比左边的数大.
3.在实数范围内，有理数的有关概念、大小比较法则、运 算法则以及运算律同样适用.
数形结合思想 例8 如图，数轴上A，B两点对应的实数分别是1和 3 ，若点
A关于B点的对称点为点C，则点C所对应的实数为 2 3 1 ．
【解析】设点C所对应的实数是x．根据对称的性质，即对称点 到对称中心的距离相等，即可列方程求解即可．设点C所对应的
实数是x，则有x-3 = 3 -1，解得x=2 3 -1．故答案为2 3-1．
考点讲练
考点一 平方根、算术平方根及立方根
例1 已知一个正数的两个平方根分别是a+3和2a-18， 求这个正数. 【解析】根据一个正数的平方根有两个，它们互为相反 数，可以得到关于a的一元一次方程，解之求得a的值， 从而可求出这个正数.
解：根据平方根的性质，有a+3+2a-18=0，解得a=5， a+3=8，82=64，所以这个正数是64.
A
B
a0 b
A.a>b B.|a|>|b| C.-a<b D.a+b<0
【解析】数轴上的点表示的数，右边的总比左边的大， 故A不正确；根据点A，B与原点的距离知|a|<|b|，B不正 确；-a>0，根据|a|<|b|，知-a<b，C正确.故选C.
针对训练
5. 若|a|=-a，则实数a在数轴上的对应点一定在（ B ） A.原点左侧 B.原点或原点左侧 C.原点右侧 D.原点或原点右侧
D.4个
2. 16的平方根是 （ C ） A.4 B.2 C.±2 D.±4
例2 若a，b为实数且 a 1 +|b-1|=0，则(ab)2016 = 1 . 【解析】先根据非负数的性质求出a，b的值，再根据乘 方的定义求出(ab)2016的值.∵ a +1|b-1|=0，∴a+1=0，且 b-1 =0，∴a =-1 ，b =1.∴(ab)2016 = (-1×1)2016= (-1)2016=1 ， 故填1.
强调：数的开方的几个重要性质
性质1： a ≥0 (a≥0) （双重非负性）
[点拨]算术平方根的双重非负性：算术平方根的符号“ ” 不仅是一个运算符号(对被开方数实施开平方运算)，另一方面 也是一个性质符号，即表示非负数a的正的平方根．
性质2： ( a )2 = a (a ≥0) a （a≥0）
性质 3： a2 = |a| = -a （a＜0）
方法总结 一个正数的平方根有两个，它们互为相反数．而一
个非负数的算术平方根只有一个.另外，一个数的立方 根也只有一个，且与它本身的符号相同.
针对训练
1.下列说法正确的有（ B ）
-64的立方根是-4；
49的算术平方根是±7；
1 的立方根是 1 ；
27
3
④ 1 的平方根是 1 .
16
4
A.1个 B.2个 C.3 个
方法总结 对于该类问题，在求解时，按一定的标准进行分类，并考
虑到所有可能的情况，避免漏解或重复.
针对训练
10.若a是16的平方根，b是-27的立方根，c的绝对值为2，
求a-b+c的值.
解：由题意可知a=4或-4，b=-3，c=2或-2.有以下四种情况： （1）当a=4，b=-3，c=2时，a-b+c=4-（-3）+2=9； （2）当a=-4，b=-3，c=2时，a-b+c=-4-（-3）+2=1； （3）当a=4，b=-3，c=-2时，a-b+c=4-（-3）+（-2）=5； （4）当a=-4，b=-3，c=-2时，a-b+c=-4-（-3）+（-2）=-3. 综上所述，a-b+c的值为9或1或5或-3.
方法总结 数的范围由有理数扩大到实数，实数与数轴上的点建立了
一一对应的关系，这样可以通过观察“形”的特点（借助数 轴），解答一些关于实数的比较抽象的问题.对于该类问题，运 用数形结合思想，先利用数轴表示出三个点的位置，再根据对 称的性质解答.
针对训练
11.数轴上A，B两点对应的实数分别是 2和2，若点A关 于点B的对称点为点C，则点C所对应的实数为 4 2 .
【解析】3 是分数； 2虽然含有分母2，但它的分子是无理
4
数 2，所以
是2无理2数；同理 也π是无理数. 故选B.
2
2
针对训练
4 .在实数 π，1 ，0，-1 中，无理数是（ A ） 5
A.π
B. 1
C.0
D.-1
5
考点三 实数与数轴上的点的关系
例4 如图，数轴上的点A，B分别对应
实数a，b，下列结论正确的是（ C ）
非负性：当a ≥0时， a≥0.
若 x3 a，则x
立方根 叫做的立方根.
3a
正数的立方根是一个正数； 负数的立方根是一个负数； 0的立方根是0.
平方根与算术平方根：(1)具有包含关系：平方
根包含算术平方根，算术平方根是平方根中的一种；
(2)存在条件相同：平方根和算术平方根都只有 非负数 才有；(3)0的平方根、算术平方根均为
故填
3 2
.
针对训练
7
9.计算 3 27
0
1 3 0.125+
1 63
2 8
.
4
64
考点五 本章数学思想和解题方法
分类讨论思想
例7 a的算术平方根是3，b是16的平方根，则a+b= 13或5 ．
【解析】a的算术平方根是3，可知a=9；16的平方根有两个， 为±4.由此可以确定a，b的值，然后代入计算即可.当a=9， b=4时，a+b=13；当a=9，b=-4时，a+b=5.故答案为13或5.
中a叫做 被开方数 . 求一个数a的 立方根 的运算，叫做开立方．其中a
叫做 被开方数 . 开平方与 平方 、开立方与 立方 都分别互为逆
运算． [点拨] (1)求正数的平方根时，往往先求出其算术
平方根，再在求出的数前面加上“±”号；(2)根据平 方(立方)运算与开平方(开立方)运算互为逆运算的关 系，我们可以通过平方(立方)运算来求一个数的平方 根(立方根)．
课堂小结
数的开方
平方根 立方根 实数
平方根 a
算术平方根 a
性质
立方根 3 a
性质 有理数 无理数Biblioteka 整数 分数第11章 数的开方
小结与复习
要点梳理
考点讲练
课堂小结
课后作业
要点梳理
一、平方根、算术平方根和立方根的概念与性质
概念
表示
主要性质
若 x2 a(a 0) ，
平方根 则x叫做a的平方 a
根.
若 x2 a(a 0)
算术 则x的非负数值 平方根 叫做a的算术平
a
方根.
正数有两个平方根，互为相反数 0的平方根是0. 负数没有平方根.
联 系
0. 平方根与立方根：(1)都与相应的乘方运算互为
逆 运算；(2)都可归结为非负数的非负方根来研
究．平方根主要通过算术平方根来研究，而负数的立
方根也可通过转化为正数的立方根来研究，即 3 a ＝－ 3 a；
(3)0的平方根和立方根都是0.
二、开平方与开立方 求一个非负数a的 平方根 的运算，叫做开平方．其
的无理数的被开方数与已知的平方数作比较，一般的， 一个非负数越大，它的算术平方根也越大；也可以利用 平方法，将无理数平方后，与已知的平方数作比较.
针对训练
6. 满足 2 x 3 的整数x是 1, 0,1 .
7. 比较大小: 1 ＜ 2
51 . 2
8. 规定用符号[x]表示一个实数x的整数部分，例如：
[3.14]=3，
2 3

=0.按此规定[
10 1]的值为
4.
3
例6 计算 36 2 1 3 27
2
.
4
【解析】对于被开方数是带分数的，通常需要先将带分