4.1数系的扩充和复数引入 教学设计
《数系的扩充和复数的概念》教案及说明
《数系的扩充和复数的概念》教案及说明教学目标：1.了解数系的扩充，并能够理解自然数、整数、有理数、无理数、实数和复数之间的关系。
2.掌握复数的定义、运算规则和表示方法。
3.能够应用复数解决实际问题。
教学重点：1.数系的扩充和复数的定义。
2.复数的运算规则和表示方法。
教学难点：1.理解数系的扩充对于数学的意义。
2.掌握复数的运算规则和应用技巧。
教学内容：一、数系的扩充1.自然数：正整数，用于计数。
2.整数：包括正整数、负整数和0。
3.有理数：可表示为两个整数之比的数。
4.无理数：不可表示为两个整数之比的数。
5.实数：包括有理数和无理数。
6. 复数：形如a+bi的数，其中a和b为实数，i为虚数单位。
二、复数的定义和表示1. 复数的定义：形如a+bi的数称为复数，其中a为实部，b为虚部，i为虚数单位。
2.复数的表示：复数可以用平面直角坐标系中的点表示，a为横坐标，b为纵坐标。
3.复数的运算：复数的加减乘除法规则同实数运算，注意i的平方为-1三、复数的应用1.解方程：复数可以解决一些实数无解的方程。
2.代数表达式：复数可以简化代数表达式，并且在求根过程中十分有用。
3.物理问题：在电路、波动等问题中，复数有着广泛的应用。
教学步骤：一、引入复数的概念2.解释为什么需要引入复数。
3.引导学生构建复数概念。
二、复数的定义和表示1.讲解复数的定义和表示方法。
2.给出几个例子，让学生练习表示复数。
3.带领学生画出复数在平面直角坐标系中的位置。
三、复数的运算1.讲解复数的加减乘除法规则。
2.演示如何计算复数的运算。
3.给出一些练习题，让学生巩固运算技巧。
四、复数的应用1.解方程：举例说明复数如何解决一些实数无解的方程。
2.代数表达式：展示复数简化代数表达式的过程。
3.物理问题：讲解复数在物理问题中的应用实例。
五、综合练习和实践1.设计一些综合性的练习题，包括复数的定义、表示和运算。
2.提供一些实际问题，让学生尝试用复数解决。
数系的扩充和复数的引入教学设计
《数系的扩充与复数的引入》第1课时教案设计学校：江西省抚州市临川二中姓名：黄志彬联系方式：学情分析：“数系的扩充与复数的引入”是北师大版选修2-2第五章第一节内容，是在学生已经学习了x+=没有实数解，但实际需要要求此方程的解，实数以及实数有关的运算，知道方程210所以有必要引出复数的概念以及复数的有关运算，建立新的数系。
●教学理念：本着“以学生为主体，教师为主导”的理念，采用探究式教学方法，按照提出问题，思考、交流进而分析得出结论的方法进行启发式教学。
教学目标：知识技能： 1．了解数系发展原因，数集的扩展过程；2．理解复数的有关概念以及符号表示；过程与方法：经历了数系的扩充过程，体验了复数引入的必要，探究了复数相等的概念，领悟了类比的思想方法．情感态度与价值观：在问题情境中了解数系的扩充过程，体会实际需求；在数系扩充过程中的作用，感受人类理性思维的作用以及数与现实世界的联系．●教学重难点：重点：对引入复数的必要性的认识，理解复数的基本概念难点：虚数单位的引入以及复数概念的生成.●设计思路：本节课主要采用“问题发现”与“讨论探究”等方式组织教学，凸显学生的主体地位，让教师成为活动的组织者、引导者、合作者，课堂展示学生的研究过程来激发学生的探索勇气。
并灵活运用多媒体辅助教学，增强教学的直观性，激发学生的学习兴趣。
教学过程：以问题为载体，以学生思考为主线创设情境→建构知识→知识运用→归纳总结→作业布置→课后探究1.提出问题，探究新知：以一分四十秒数学史录音视频开始，提出问题：自然数集，整数集，有理数集，实数集的关系，继续提出问题：数集扩充到实数集之后,是不是所有的方程都有解了呢?写出几个在实数范围内没有解的方程，然后学生共同探讨这些无解方程可归为21x =-求解，从而引出课题。
【设计意图】以录音视频作为情境，既可以使学生了解数学的发展史，又能让学生全身心投入课堂，从而激发学生的学习热情。
感悟知识的发生、发展过程。
数系的扩充和复数的概念教学设计
数系的扩充和复数的概念教学设计1. 引言在数学的世界里，数系就像是一条漫长的河流，我们每个人都是这条河流上的小船。
今天，我们要聊的是这条河流的扩展，尤其是复数的概念。
让我们一起“扬帆起航”，探寻数系的奥秘吧！2. 数系的扩充2.1 从自然数到整数首先，我们来回顾一下，数系的起点是自然数，也就是大家熟悉的1、2、3、4……这就是我们平时用来计数的基本数字。
可是，当我们遇到像1、2这种情况时，自然数就显得有些“力不从心”了。
这时，整数登场啦！整数包括了自然数和它们的负数，比如1、0、1、2、3等等。
这样一来，我们的数系就更加全面了。
2.2 从整数到有理数接下来，我们来看看有理数。
有理数的概念其实不难理解，它就是可以表示成两个整数之比的数。
举个例子，1/2、3/4这些都是有理数。
有理数的出现，让我们不仅可以处理整数量，还可以处理分数。
它就像是为我们的数系加上了一层新色彩。
2.3 从有理数到无理数不过，有时候我们还会遇到一些数，它们不能用两个整数之比来表示，比如√2、π。
这些数叫做无理数。
无理数的出现，就像给我们的数系带来了些许“神秘感”，它们让我们感受到数学的无限与奇妙。
3. 复数的引入3.1 复数的由来现在，我们进入了今天的重头戏：复数。
复数的诞生，是为了应对一些我们无法用实数解决的问题。
比如，方程x² + 1 = 0就没有实数解。
于是，复数的“英雄”——虚数单位i登场啦！i的平方等于1，这个看似“疯狂”的设定，让我们能够解决更多数学难题。
3.2 复数的基本概念复数其实很简单，它由两个部分组成：实数部分和虚数部分。
比如，3 + 4i就是一个复数，它的实数部分是3，虚数部分是4i。
这样一来，我们就可以用复数处理更多复杂的数学问题了。
复数的引入，犹如为数学的“工具箱”增加了新工具，让它变得更加全面。
4. 教学设计建议4.1 形象化教学为了让学生们更好地理解复数，可以使用一些形象化的教学方法。
比如，使用图像将复数表示在平面上，直观地展示复数的实部和虚部。
数系的扩充与复数的概念》教案
数系的扩充与复数的概念》教案教案：数系的扩充与复数的概念一、教学目标：1.理解数系的扩充是为了解决方程$x^2=a$(a<0)而引入复数的概念；2.掌握复数的定义与基本运算；3.了解复数在平面直角坐标系中的表示方式；4.掌握解一元二次方程及其应用。
二、教学重难点：1.复数的定义与基本运算；2.复数在平面直角坐标系中的表示；3.解一元二次方程及其应用。
三、教学过程：Step 1: 引入教师在黑板上写下方程$x^2=-1$，并询问学生这个方程有没有实数解。
引导学生思考并让他们发表自己的观点。
Step 2: 数系的扩充1.教师讲解当a<0时，方程$x^2=a$没有实数解的情况。
为了解决这个问题，数学家们引入了复数的概念，即数系从实数扩充为复数。
2.教师简要介绍复数的历史背景和意义，以增加学生对复数概念的兴趣。
Step 3: 复数的定义与表示1. 教师引导学生理解复数的定义：复数表示为 a + bi，其中 a 和b 都是实数，i 是虚数单位，满足 $i^2 = -1$。
2. 通过例子引导学生掌握复数的表示方式，如 2 + 3i、-5i、$\sqrt{2} + \sqrt{3}i$。
Step 4: 复数的基本运算1.教师简要介绍复数的基本运算法则：加法、减法、乘法和除法。
2.通过例子分别演示复数的加减乘除运算，并指导学生进行练习。
Step 5: 复数的图示表示1. 教师引导学生理解复数在平面直角坐标系中的表示方法。
将实部和虚部分别看作是复平面上的横坐标和纵坐标，复数 a + bi 对应复平面上的一个点。
2.通过例子和练习让学生熟悉复数在复平面上的图示表示。
Step 6: 一元二次方程的解及其应用1. 教师复习一下一元二次方程的一般形式：$ax^2 + bx + c = 0$，其中 a、b 和 c 都是实数，且 $a \neq 0$。
2.教师讲解如何用复数解一元二次方程，通过例题引导学生理解。
四、课堂练习与讨论五、作业布置1.练习册上的相关习题；2.解一些一元二次方程。
《数系的扩充和复数的概念》教学设计
数系的扩充和复数的概念一、内容和内容解析1.内容从实数系扩充到复数系的过程与方法，复数的概念.2.内容解析复数的引入是数系的又一次扩充，也是中学阶段数系的最后一次扩充，通过复数的学习，可以使学生对数的概念有一个更加完整的认识．复数与平面向量、平面解析几何、三角函数等都有密切的联系，也是进一步学习数学的基础. 复数在力学、电学及其他学科中都有广泛的应用.在数学中，数系的扩充必须遵循有关的“规则”，即扩充后的数系中规定的加法运算、乘法运算，与原数系中的加法运算、乘法运算协调一致，并且加法和乘法都满足交换律和结合律，乘法对加法满足分配律. 从实数系向复数系扩充，同样要符合这样的规则．复数概念的引入，从实系数一元二次方程当判别式小于0时没有实数根出发，回顾从自然数系逐步扩充到实数系、特别是有理数系扩充到实数系的过程，发现数系扩充中体现出的“规则”；进而在“规则”的引导下，考虑为使方程有解，引入新数i，从而可以像实数一样进行加法、乘法运算并保持运算律的角度，将实数集扩充到复数集．这一过程，通过数系扩充“规则”的归纳，提升学生的数学抽象素养；通过实数系向复数系的扩充，让学生体会类比的数学思想，提升学生的逻辑推理素养，并感受人类理性思维在数系扩充中的作用.复数的概念是整个复数内容的基础.复数的有关概念都是围绕复数的代数表示形式展开的，虚数单位、实部、虚部的命名，复数相等的含义，以及虚数、纯虚数等概念的提出，都是在促进对复数实质的理解，即复数a+bi实质上是有序实数对(a,b). 通过对复数实质的揭示，为后续复数的几何意义、复数的四则运算以及复数的三角表示的学习作准备. 因此，复数的概念，对本章具有奠基性的作用.基于以上分析，确定本节课的教学重点：从实数系扩充到复数系的过程与方法，复数的概念.二、目标和目标解析1. 目标（1）了解引入复数的必要性；（2）了解数系扩充的一般“规则”，了解从实数系扩充到复数系的过程，感受数系扩充过程中人类理性思维的作用，提升数学抽象、逻辑推理素养；（3）理解复数的代数表示式，理解复数的有关概念，理解复数相等的含义.2. 目标解析达成目标（1）的标志是：能够通过方程的解，感受引入复数的必要性，体会实际需求与数学内部的矛盾(数的运算规则、方程求根)在数系扩充过程中的作用.达成目标（2）的标志是：学生能够从自然数系逐步扩充到实数系的过程中，归纳出数系扩充的一般“规则”，体会扩充的合理性及人类理性思维在数系扩充中的作用.达成目标（3）的标志是：学生能说明虚数i的由来，能够明晰复数代数表示式的基本结构，会对复数进行分类，会用Venn图表示复数集、实数集、虚数集、纯虚数集之间的关系；知道两个复数相等的含义，能利用复数概念和复数相等的含义解决相关的简单问题.三、教学问题诊断分析学生在学习本节课内容之前，在义务教育阶段已经经历了从自然数到实数的扩充过程，对数系的扩充有了一定的认识，知道数系扩充后，新的数系能够解决在原有数系中无法解决的一些解方程问题（如引入无理数，把有理数系扩充到实数系后，可以解决方程的解这样的问题等），因此当遇到像这样的方程的解的问题时，通过引导启发，学生能够联想到对现有的实数系进行进一步扩充，从而使方程有解.学生在前面的学习中，也已多次利用过类比的方法来研究数学问题，这为本节课类比有理数系扩充到实数系的过程和方法，将实数系扩充到复数系提供了可能.学生在学习时可能出现的障碍为：（1）因为现实生活中没有任何事物支持虚数，学生可能会怀疑引入复数的必要性，在教学中,如果单纯地讲解或介绍复数的概念会显得枯燥无味,学生不易接受.（2）由于知识储备和认知能力的限制，学生对数系扩充的一般规则并不熟悉，对虚数单位的引入，以及虚数单位和实数进行形式化运算的理解会出现一定困难.（3）学生以前学习过的数都是单纯的一个数，而复数的代数形式是两项和的形式，学生比较陌生，因此理解上会存在一定困难.基于以上分析，确定本节课的教学难点是：复数系扩充过程的数学基本思想，复数的代数表示.突破难点的策略：（1）适当介绍数的发展简史，增强学生学习的趣味性和生动性.（2）通过解方程问题引导，借助已有的数系扩充的经验，特别是从有理数系扩充到实数系的经验，从特殊到一般，帮助学生梳理出数系扩充过程中体现的“规则”，进而在“规则”的引导下进行从实数系到复数系的扩充，感受引入复数的必要性和合理性.（3）引导学生按照“规则”自主探究出复数集中可能存在的各种数，并归纳总结出复数的一般表示方法，经历复数形式化的过程.四、教学过程设计（一）创设情境，引出研究内容创设情境：我们知道，对于实系数一元二次方程时没有实数根. 因此，在研究代数方程的过程中，如果限于实数集，有些问题就无法解决. 事实上，数学家在研究解方程问题时早就遇到了负实数的开平方问题，但他们一直在回避. 直到1545年，数学家在研究实系数一元三次方程的求根公式时，用求根公式、因式分解法两种方法同时求解一些特殊的一元三次方程时，得到了无法理解的结果，于是再也无法回避这个问题.例如，求解时，利用三次方程的求根公式可以得出三个根或；而通过因式分解，得，因此方程的三个根为这个在当时无法理解的等式，数学家们就去尝试研究诸如的问题.在解决这些问题的过程中，他们遇到的最大困扰就是，负实数到底能不能开平方？如何开平方？负实数开平方的意义是什么？师生活动：以教师引导为主，主要介绍历史上，数学家们经过了反复的研究探索，将实数系进一步扩充，引入了一种新的数——复数，从而将实数系扩充到复数系，解决了负数开平方的问题，本章我们就来研究复数. 本节课我们先类比自然数集逐步扩充到实数集的过程和方法，研究如何把实数集扩充到复数集，学习复数的有关概念，后续我们还要继续研究复数的几何意义，复数的四则运算以及复数的三角表示等.设计意图：通过对复数发展历史的简要介绍，特别是三次方程根的问题的介绍，引发学生的认知冲突，激发学生对数系扩充过程的兴趣，并点出本节课的主要内容，进而简要介绍本章的学习内容，使学生对本章的知识脉络有大致认识.（二）归结为方程求解问题，梳理数系扩充的“规则”问题1从方程的角度看，负实数能不能开平方，就是方程是否有解，也就是是否有解的问题．思考一下，能不能把这类问题再进一步简化，最终转化为最简单的方程是否有解的问题呢？追问我们知道，在实数集中无解，联系从自然数集到实数集的扩充过程，是否能引入新数，适当扩充实数集，使这个方程在新数集中有解呢？师生活动：教师进一步引导：下面，我们就类比从自然数集到实数集的扩充过程，尝试引入新数，适当扩充实数集，使这个方程在新数集中有解．引入什么数，如何扩充实数集？这就是我们今天所要研究的问题.设计意图：通过问题1，将历史上的负数能否开平方的问题转化为方程是否有解的问题，为后续从解方程的角度研究数系的扩充做好铺垫，同时也让学生认识到数学中的复杂问题都可以通过转化与化归的方法，转化为基本问题.通过追问，点出本节课的主要任务，以及研究的思路和方法．问题2 我们把一个数集连同规定的运算以及满足的运算律叫做一个数系. 回顾从自然数系逐步到实数系的扩充过程，每一次数系扩充的主要原因是什么？分别解决了什么实际问题和数学问题？你能借助下面的方程，从解方程的角度加以说明吗？（1）在自然数集中求方程x+1=0的解；（2）在整数集中求方程2x-1=0的解；（3）在有理数集中求方程的解；师生活动：教师提出问题，学生分组讨论，从两个角度思考问题，可让一半学生侧重讨论解决的实际问题，另一半学生侧重讨论解决的数学问题，教师参加到讨论之中，对学生讨论中的不足之处教师补充说明，讨论后，学生交流互动，师生共同归纳总结出结论.预设答案：（1）从社会实践来看，数系的扩充是为了满足生活和生产实践的需要.计数的需要产生了自然数，有了自然数系；自然数系中不能刻画具有相反意义的量，于是引入了负整数，将自然数系扩充到了整数系；整数系中不能解决测量中的一些等分等问题，于是引入了分数，将整数系扩充到了有理数系；有理数系中无法解决正方形对角线长的度量等问题，于是引入了无理数，这样便将有理数系扩充到了实数系.（2）从数学发展本身来看，数系的扩充也是数学本身发展的需要．方程x+1=0在自然数集N内无解，引入负整数后，它在整数集Z 内便有解x=-1；方程2x-1=0在整数集Z内无解，引入分数后，它在有理数集Q内便有解在有理数集Q内无解，引入无理数后，它在实数集R内便有解.教师板书：设计意图：通过数的发展历史，抓住知识的“生长点”和学生的“最近发展区”，使学生了解数的产生以及数系的不断扩充是基于两方面原因：社会生产实践的需要和数学自身发展的需要.问题3可以看出，数集的每一次扩充，都是在原来数集的基础上添加“新数”得到的，引入新数就要引入新运算，如果没有运算，数集中的数只是一个个孤立的符号. 加法和乘法运算是上述数系中最基本的运算（减法、除法运算分别可以转化成加法、乘法运算）．梳理从自然数系逐步扩充到实数系的过程，数系的每一次扩充，加法和乘法运算满足的＂性质＂有一致性吗？由此你能梳理数系扩充遵循的“规则”吗？师生活动：教师引导分析，从自然数集扩充到整数集时，原来在自然数集中规定的加法和乘法运算法则和运算律在整数集中仍然成立；进而学生小组讨论，探求从整数集到有理数集以及从有理数集到实数集的扩充中，加法和乘法满足的“性质”，教师要特别强调从有理数集扩充到实数集满足的“性质”.师生共同总结这些性质的一致性，得出数系扩充的＂规则＂：数集扩充后，在新数集中规定的加法运算和乘法运算，与原来数集中规定的加法和乘法运算协调一致，并且加法和乘法都满足交换律和结合律，乘法对加法满足分配律.教师继续板书：设计意图：梳理数系扩充过程和方法的“一致性”，总结数系扩充的一般“规则”，为后续实数系的进一步扩充提供方法，进而突破本节课的难点.（三）依据规则，扩充实数集，引入复数问题4方程在实数系中无解，类比从自然数系扩充到实数系的扩充过程，特别是从有理数系扩充到实数系的过程，你能设想一种方法，使这个方程有解吗？师生活动：学生思考回答：可以添加新数，对实数集进行扩充，并且添加新数后的新的数集中的加法和乘法运算，与实数集中加法和乘法运算协调一致，并且运算律保持不变.追问：引入一个什么样的数呢？师生活动：教师通过信息技术制作的课件介绍虚数的引入历史，并给出虚数的概念. 我们可以引入一个数“i”，使，这样x=i就是方程的解. 因为历史上，新数i是瑞士著名数学家欧拉在1777年首次提出的，他用了“imaginary”一词的首字母，本意是这个数是虚幻的.所以，我们把这个数称为“虚数单位”.设计意图：教师介绍与虚数单位i有关的历史，激发学生的学习兴趣，强化对i的认识．问题5把新引进的数i添加到实数集中后，我们希望按照前面总结的数系扩充的“规则”，对实数系进行进一步扩充．那么，实数系经过扩充后，得到的新数系由哪些数组成呢？师生活动：教师引导，可以类比有理数系扩充到实数系的过程与方法，以及实数系新数的形式，如等具体的数.教师引导学生归纳：新数集中的数是由原来的实数和新引入的虚数i经过适当“组合”而成的，构成的方法就是将实数和i进行运算，组成新数，这里主要进行的是i和实数之间的加法、乘法运算，因为按照我们前面总结的规则：新数集中规定的加法和乘法运算，与原来数集中规定的加法和乘法运算协调一致，并且运算律仍然成立. 这样我们就可以把实数a与新引入的数i相加，得到a+i；把实数b与i相乘，得到bi；把实数a与实数b和i相乘的结果相加，得到a+bi. 因为我们是要得到新数集中所有数的基本表示形式（即a+bi的形式），所以这里都只进行最基本的形式上的运算即可，至于等形式，它们不是最基本的形式，在后续的复数运算中再去研究，它们也能化为a+bi的形式.追问1你能写出一个形式，把刚才大家所说的数都包含在内，并说明理由吗？师生活动：学生思考回答，所有新数集中的数都可以写成a+bi（a，b∈R）的形式，因为.追问2 你能写出新数集的集合吗？师生活动：学生口述，教师板书：C={a+bi|a，b∈R}.设计意图：通过问题5和追问1，2，引导学生类比自然数到实数不断扩充过程中所遵循的规则，根据“运算”和“运算律”，由特殊到一般，抽象概括出复数的代数形式和复数集，让学生体会数系扩充过程中理性思维的作用，以及数学形式化、符号化的过程，突破本节课的难点，提升学生逻辑推理、抽象概括素养．问题6阅读教科书，回答以下问题：（1）复数a+bi（a，b∈R）的虚数单位、实部、虚部分别是指什么？（2）什么是虚数和纯虚数？试举出具体例子．师生活动：教师提出问题，学生独立阅读教科书，阅读之后回答问题．（1）学生口答：a是复数的实部，b是复数的虚部．教师强调应注意限制条件a，b∈R，另外复数a+bi的虚部是b而不是bi．（2）学生口答，当.设计意图：通过问题引导，指导学生阅读教科书，思考并回答问题，明确复数的基本概念，培养阅读教科书的习惯和阅读理解能力.问题7 我们知道复数集是由形如a+bi（a，b∈R）的数组成的，为了保证集合中元素的互异性（确定性），我们需要明确集合中两个元素相等的含义，请阅读教科书，说说两个复数a+bi和c+di(a，b,c,d∈R)相等的含义．师生活动：学生阅读教科书后作答．教师引导：一个复数由实部和虚部唯一确定，所以判断两个复数是否相等，就要考虑它们的实部和虚部是否分别相等.进而教师给出两个复数相等的定义并板书. 复数a+bi与c+di相等当且仅当a=c 且b=d.追问1 由复数相等的含义知，两个复数相等当且仅当它们的实部和虚部都分别相等，也就是：复数由它的实部和虚部唯一确定．回忆一下，复数的这个特征与你以前遇到过什么数学对象类似？由此，你能进一步刻画复数的特征吗？师生活动：教师引导，学生思考、讨论，得出：复数的这个特征与平面上点的坐标，平面向量的坐标等类似，因此复数a+bi（a，b∈R），可以看成是一个有序实数对(a,b).追问2 复数是实数的充要条件是什么？a+bi的充要条件是什么？师生活动：学生思考回答，教师补充完善. 对于复数a+bi（a，b∈R），易得当且仅当b=0时，它是实数；a+bi=0即a+bi=0+0i，由复数相等的含义，推导可得：当且仅当a=0,b=0时，复数a+bi=0.教师总结：实际上，复数相等的含义，不仅是判断两个复数相等的依据，也是求某些复数值的依据，即利用复数相等的定义，可以得到关于实数的方程（组），通过解方程（组）得到a,b的值. 教师在此处也可以指出：一般来说，两个复数只能说相等或不相等，而不能比较大小，只有当两个复数都是实数时才能比较大小.设计意图：从保证集合中元素的互异性（确定性）出发，引出在实数集中引入新对象后，要研究两个新数相等的含义，进而给出两个复数相等的含义，并由复数相等的定义出发，得到复数实质上是一个有序实数对，为研究复数的几何意义以及复数的三角表示奠定基础.问题8 我们已经将实数集扩充到复数集，那么复数集C和实数集R之间有什么关系？你能对复数a+bi（a，b∈R）进行分类，并用Venn图表示吗？师生活动：学生思考并写在练习本上，教师巡视指导，用多媒体等设备交流展示学生作品.教师指出实数集R是复数集C的真子集，也体现了数系扩充的规律之一：新数集包含原来的数集.设计意图：引导学生弄清楚复数集和实数集之间的关系以及复数的分类，深化学生对复数集是实数集的“扩充”以及对复数的理解．（四）精选例题，强化理解应用例1请你说出下列集合之间的关系：N，Z，Q，R，C．例2写出下列复数的实部与虚部，并指出哪些是实数，哪些是虚数，哪些是纯虚数．例3当实数m取什么值时，复数是下列各数？（1）实数；（2）虚数；（3）纯虚数.例4已知(x+y)+(y-1)i=(2x+3y)+(2y+1)i，求实数x,y的值．师生活动：教师用PPT展示例题. 例1，例2学生思考、口答，教师点评.例3，例4，学生思考，独立完成后用多媒体交流展示，教师点评并规范解题步骤.设计意图：例1主要让学生巩固数集之间的关系，完善认知结构；例2，例3主要是帮助学生巩固复数的分类标准，加深对复数概念的理解；例4主要是强化复数相等的含义，让学生在解决问题的过程中内化复数有关概念，起到及时反馈、学以致用的功效．（五）反思总结，提炼学习收获问题10通过本节课的学习，你有哪些收获？试着从知识、方法、数学思想、经验等方面谈一谈.师生活动：学生思考回答，教师补充完善.预设答案：知识方面：了解了数系扩充的基本“规则”，复数的基本概念（复数、实部、虚部、虚数、纯虚数等）、两个复数相等的含义、复数的分类等；思想方法方面：实数系扩充到复数系运用了类比的研究方法，解决复数相等问题运用了转化的数学思想等；经验：研究新的数学问题可以类比已学过的问题.设计意图：通过对数系扩充规则、扩充过程以及复数相关概念等知识和方法的总结，使学生对本节课的学习有一个全面、系统的认识，一方面深化对复数知识的理解，另一方面总结研究方法，积累研究数学问题的经验.（六）布置作业教科书习题7.1第1，2，3题.五、目标检测设计1.a=0是复数（a，b∈R）为纯虚数的（）.（A）充分非必要条件（B）必要非充分条件（C）充要条件（D）既非充分条件也非必要条件设计意图：考查学生对复数概念的理解.2.当实数m取什么值时，复数是下列数？（1）实数；（2）纯虚数；（3）0.设计意图：考查学生对复数基本概念和复数相等含义的理解.3.求适合下列方程的实数x与y的值：（1）(x+y-3)+(x-4)i=0；（2）(x+y)+(x-2y)i=(2x-5)+(3x+y)i．设计意图：考查学生利用两个复数相等的含义解决简单数学问题的能力．。
数系的扩充与复数的引入 (2).
课堂教学单元教案科目：高二数学课题：数系的扩充与复数的引入一．数学分析：（1）复数系是在实数系的基础上扩充儿得到的，为了帮助学生了解学习复数的必要性，了解实际需求和数学内部的矛盾在数系扩充中的作用，本章从一个思考问题开始，在问题情境中简单介绍了由实数系扩到复数系的过程，这样不仅可以激发学生的学习复数的欲望，而且也可以比较自然的引入复数的学习之中。
复数的概念是整个复数内容的基础，复数的有关概念都是围绕复数的代数形式展开的，虚数单位、实部、虚部、复数相等的充要条件、以及虚数，纯虚数等概念的理解都应促进对复数实质的理解，即复数实际上一有序的实数对。
类比实数可以用数轴上的点表示，把复数在直角坐标系中表示出来，就得到了复数的集合表示。
用复平面内的点或平面向量表示复数，不仅使抽象的复数得到直观形象的表示，而且也使数和形得到了有机的结合。
（2）复数代数形式的四个运算，及复数代数形式的加法，减法，乘法和除法，重点是加法和乘法。
复数加法和乘法的法则是规定的，是具有其合理性的；这种规定与实数的加法，乘法的法则是一致的，而且实数的加法，乘法的有关运算仍然成立的。
二．学情分析：1.知识掌握上，高二年级的学生已经学过实数的扩充，已经有一定基础，但是扩充的过程可能会有所遗忘，所以首先应该进行适当的引入复习，同时高二的学生已经掌握了一些分析思考的能力，所以教学中通过问题的提出到解决过程有意识地进一步应用、提高学生的这些能力；2.心理上，多数学生感觉到数学过于枯燥繁琐，而且刚刚学的一章内容“推理与证明”又是数学中的难点，所以学生对新的一块内容可能也带有异样情绪，因此在引入、学习时要能让学生们能够感兴趣并且愿意去了解；3.学生学习本节内容可能存在的知识障碍：学生学习本节内容可能会遇到一些障碍，如对复数的理解，复数的引入是否具有实际意义，复数的引入是否具有实际应用，复数相等条件的理解等。
所以教学中对复数概念的讲解中尽量以简单明白、深入浅出的分析为主，在引入后花少许时间对复数的实际意义、复数的实际应用作以解释。
高中数学《数系的扩充和复数的概念》教案
高中数学《数系的扩充和复数的概念》教案一、教学目标1. 让学生理解实数和虚数的概念，了解复数的基本形式。
2. 让学生掌握复数的运算规则，包括加、减、乘、除以及共轭复数的概念。
3. 培养学生运用复数解决实际问题的能力。
二、教学内容1. 实数和虚数的概念：介绍实数和虚数的定义，举例说明实数和虚数的区别。
2. 复数的基本形式：介绍复数的一般形式，解释实部和虚部的意义。
3. 复数的运算规则：讲解复数的加、减、乘、除运算方法，并通过例题演示。
4. 共轭复数的概念：介绍共轭复数的定义，讲解共轭复数的性质和运用。
三、教学重点与难点1. 教学重点：实数和虚数的概念，复数的基本形式，复数的运算规则，共轭复数的概念。
2. 教学难点：复数的运算规则，共轭复数的性质和运用。
四、教学方法1. 采用讲授法，讲解实数、虚数和复数的概念，复数的运算规则，共轭复数的性质和运用。
2. 利用例题演示，让学生直观地理解复数的运算方法。
3. 设计练习题，让学生巩固所学知识。
五、教学步骤1. 引入实数和虚数的概念，举例说明实数和虚数的区别。
2. 讲解复数的一般形式，解释实部和虚部的意义。
3. 讲解复数的加、减、乘、除运算方法，并通过例题演示。
4. 介绍共轭复数的定义，讲解共轭复数的性质和运用。
5. 设计练习题，让学生运用所学知识解决问题。
教案仅供参考，具体教学过程中请根据学生的实际情况进行调整。
六、教学评价1. 通过课堂讲解、例题分析和练习题，评价学生对实数、虚数和复数的概念的理解程度。
2. 通过复数运算的练习题，评价学生对复数运算规则的掌握情况。
3. 通过共轭复数相关练习题，评价学生对共轭复数性质和运用的理解程度。
七、教学拓展1. 介绍复数在工程、物理等领域的应用，激发学生学习复数的兴趣。
2. 引导学生思考复数运算的规律，培养学生的逻辑思维能力。
八、教学资源1. PPT课件：实数、虚数和复数的概念，复数的运算规则，共轭复数的性质和运用。
数系的扩充与复数的引入教案
《数系的扩充与复数的引入》复习课教案【教学目标】一、知识与技能1、理解复数的基本概念以及复数相等的充要条件，了解复数的代数表示及其几何意义。
2、能进行复数代数形式的四则运算，了解复数形式的加减运算的几何意义。
二、过程与方法培养学生转化问题的能力及计算能力。
三、情感态度与价值观培养学生严谨治学的态度。
【教学重点】复数的概念、及复数的代数形式的四则运算。
【教学难点】复数及复数运算的几何意义及四则运算【教学手段】多媒体【教学方法】精讲精炼【教学过程】一.复数的有关概念1.（1）若i为虚数单位，规定①i2= ;②实数可以与i进行四则运算，进行四则运算时，原有的加、乘法运算律仍然成立.2.形如a+bi(a,b∈R)的数叫做复数，a ,b 分别叫做复数的.若b=0,则复数a+bi为；若b≠0，则复数a+bi为；3.若a,b,c,d∈R，a+bi=c+di的充要条件是（）.4.a,b,c,d∈R，则a+bi与c+di为共轭复数的充要条件是.【问题1】复数z= +(m2-2m-15)i，求实数m，使得（1）z是实数；（2）z是纯虚数【巩固提升1】设复数z=lg(m2–2m–2)+(m2+3m+2)i，试求实数m取何值时。
（1）z是纯虚数；（2）z是实数；【问题2】设x，y∈R，并且(2x–1)+xi=y–(3–y)i，求x，y。
【巩固提升2】已知x,y为共轭复数，且(x+y) 2-3xyi=4-6i，求x,y.二.复数的运算：1.运算法则设z1=a+bi,z2=c+di(a,b,c,d∈R).（1）z1±z2= (a+bi)±(c+di)= .（2）z1·z2= (a+bi)(c+di)= .3m6-m-m2（3） = .【问题3】 1．复数 =( ) A.1－i B.1+iC.－1+ iD.－1－i2. ( )A ．B ．C ．D ． 【巩固提升3】三、复数的几何意义问题4 已知复数z=(m 2+m-6)+(m 2+m-2)i 在复平面内所对应的点位于第二象限， 求实数m 的取值范围。
数系的扩充与复数的概念教案
3.1.1数系的扩充与复数的概念教案(总6页)--本页仅作为文档封面，使用时请直接删除即可----内页可以根据需求调整合适字体及大小--数系的扩充与复数的概念刘经纬教学目标知识与技能：了解引进复数的必要性；理解并掌握虚数的单位i，理解并掌握复数的有关概念(复数集、代数形式、虚数、纯虚数、实部、虚部) 理解并掌握复数相等的有关概念。
过程与方法：通过回顾从自然数系逐步扩充到实数系的过程，采用类比的思想方法，把实数系进一步扩充。
情感态度与价值观：体会数系的每一次扩充都与实际需求密切相关，激发数学学习热情。
重点与难点重点：复数的有关概念；难点：虚数单位i的引进及复数的概念。
教学过程一、知识回顾及问题提出数的概念是从实践中产生和发展起来的.早在人类社会初期，人们在狩猎、采集果实等劳动中，由于计数的需要，就产生了1，2，3，4等数以及表示“没有”的数0.自然数的全体构成自然数集N随着生产和科学的发展，数的概念也得到发展为了解决测量、分配中遇到的将某些量进行等分的问题，人们引进了分数；为了表示各种具有相反意义的量以及满足记数的需要，人们又引进了负数.这样就把数集扩充到有理数集Q.显然N Q.如果把自然数集(含正整数和0与负整数集合并在一起，构成整数集Z，则有Z⊆Q、N⊆Z.如果把整数看作分母为1的分数，那么有理数集实际上就是分数集有些量与量之间的比值，例如用正方形的边长去度量它的对角线所得的结果，无法用有理数表示，为了解决这个矛盾，人们又引进了无理数.所谓无理数，就是无限不循环小数.有理数集与无理数集合并在一起，构成实数集R.因为有理数都可看作循环小数(包括整数、有限小数)，无理数都是无限不循环小数，所以实数集实际上就是小数集, 因生产和科学发展的需要而逐步扩充，数集的每一次扩充，对数学学科本身来说，也解决了在原有数集中某种运算不是永远可以实施的矛盾，分数解决了在整数集中不能整除的矛盾，负数解决了在正有理数集中不够减的矛盾，无理数解决了开方开不尽的矛盾但是，数集扩到实数集R以后，是否就够用了呢？下面来看这样一个问题。
数系的扩充和复数的概念_教学设计
《数系的扩充和复数的概念》教学设计一、教学设计背景1．课题：数系的扩充和复数的概念2．学科：数学3．授课年级：高中二年级4．学时数：1课时二、教材分析《数系的扩充和复数的概念》是高中课程里数的概念的最后一次扩展。
引入复数后，不仅可以使学生对数的概念有一个初步完整的认识，也为进一步学习数学奠定基础。
而本节则是该章的基础课、起始课，具有承上启下的作用。
三、学情分析在之前的学习中学生对数的概念已经扩充到实数，也已清楚各种数集之间的包含关系等内容。
同时学生在本章之前已经学习了《推理与证明》的内容，有了一定的推理与证明能力，有利于本节课运用类比思想对实数集进行扩充。
四、教学目标（1）知识与技能1、了解数系扩充的过程及引入复数的需要。
2、掌握复数的有关概念和代数符号形式、复数的分类方法及复数相等的充要条件。
（2）过程与方法1、通过数系扩充的介绍，让学生体会数系扩充的一般规律。
2、在不断练习中让学生理解和掌握复数的基本概念以及复数相等的充要条件（3）情感态度价值观1、体会数系的扩充过程中蕴含的创新精神与实践精神，感受人类理性思维在数系扩充中的作用。
2、体会类比、分类讨论、等价转化的数学思想方法。
五、教学重难点1、教学重点：引入复数的必要性与复数的相关概念、复数的分类和复数相等的充要条件。
2、教学难点：虚数单位i的引进和复数的概念及其应用。
六、教学过程（一）、情境导入一、问题引入师：请大家看幻灯片上这个方程，动手试试看它的解是多少?问题：解方程 x 2+1=0生（独立完成）：x 2=－1是不存在的，这个方程在实数集中无解。
师：事实上在实数范围内这样的x 确实不存在，为什么会这样呢？假设x是存在的，那么就肯定是一些不是实数的数，那么，这些数是什么？我们能不能解决这个问题呢？这就是我们今天要学习的内容《数系的扩充和复数的概念》。
二、回顾数系的扩充历程 师：其实对于这种“数不够用”的情况，我们并不陌生。
大家记得吗？从小学到现在，我们一直在经历着数的不断扩充。
数系的扩充和复数的概念教学设计--朱晓娜
数系的扩充和复数的概念教学设计长岛中学朱晓娜教学目标：1. 知识目标：了解数系扩充的实际性；理解虚数单位i的产生及意义。
2. 能力目标：掌握复数的概念、代数形式及其分类。
3. 情感目标：体会实际需求与数学内部的矛盾在数系扩充过程中的作用，感受人类理性思维的作用以及数与现实世界的联系。
教学重点：对引入复数的必要性的认识，理解复数的基本概念以及复数相等的充要条件。
教学难点：由于学生对数系扩充的知识不熟悉，对了解实数系扩充到复数系的过程有困难。
由于理解复数是一对有序实数并不习惯，对于复数概念理解也有一定困难。
学情分析：在学习复数之前，学生对数的概念已经扩充到实数，也已清楚各种数集之间的包含关系等内容，但知识是零碎、分散的，对数的生成发展的历史和规律缺乏整体认识与理性思考，知识体系还未形成。
另一方面学生对方程解的问题会默认为在实数集中进行，缺乏严谨的思维习惯。
因此在介绍新知识之前，可以先回顾一下以前是如何进行扩充的，然后给出新的问题，为什么现在又要进行扩充。
教学过程：一、数系的扩充及问题的引入我们最早接触到的数---自然数，第一次扩充是在初中，向东走八米与向西走八米，虽然都是八米但是有着不同的含义，为解决这个问题我们引入了正负将自然数扩充到了整数。
然而整数还是不够用，如向东走八米半、将一个苹果四等分等等，为此我们又引入了分数将整数扩充到了有理数。
紧接着我们又将有理数扩充到目前最大的数系—实数，这一次的扩充也是为了解决实际生活中存在的问题：边长为1的正方形的对角线的长度，我们引入了无理数，将有理数扩充到了实数。
由此可见每一次的扩充都有着实际的需求，那么又是因为要解决什么问题，我们又将实数进行扩充？引进的是什么数？数集的每一次扩充，都是因为生产和科学发展的需要而逐步扩充，对数学学科本身来说，也解决了在原有数集中某种运算不是永远可以实施的矛盾，分数解决了在整数集中不能整除的矛盾，负数解决了在正有理数集中不够减的矛盾，无理数解决了开方开不尽的矛盾.但是，数集扩到实数集R以后，像x2=－1这样的方程还是无解的，因为没有一个实数的平方等于－1.由于解方程的需要，人们引入了一个新数i，叫做虚数单位.并由此产生的了复数二、基本概念1、i的含义(1) 它的平方等于-1，即21i=-（2）实数可以与它进行四则运算，进行四则运算时，原有加、乘运算律仍然成立（3）i与－1的关系: i就是－1的一个平方根，即方程x2=－1的一个根，方程x2=－1的另一个根是－i（4）i的周期性：i4n+1=i, i4n+2=-1, i4n+3=-i, i4n=12、复数的定义：形如(,)+∈的数叫复数，a叫复数的实部，b叫复a bi ab R数的虚部全体复数所成的集合叫做复数集，用字母C表示复数的代数形式: 复数通常用字母z表示，即(,)=+∈，把复数表z a bi a b R示成a+bi的形式，叫做复数的代数形式3、复数的分类：复数与实数、虚数、纯虚数及0的关系：对于复数+∈，当且仅当b=0时，复数a+bi(a、b∈R)是实数a；当b≠0时，(,)a bi ab R复数z=a+bi叫做虚数；当a=0且b≠0时，z=bi叫做纯虚数；当且仅当a=b=0时，z就是实数0.三、质疑问题设置：复数能不能比较大小？是任何的复数都不能比较大小？由学生思考总结给出具体的答案，进而继续提出问题：那是否可以说两个复数相等？如何给出复数相等的充要条件？6. 两个复数相等的定义：如果两个复数的实部和虚部分别相等，那么我们就说这两个复数相等这就是说，如果a，b，c，d∈R，那么a+bi=c+di⇔a=c，b=d复数相等的定义是求复数值，在复数集中解方程的重要依据四、典型例题实数m 取什么数值时，复数z =m +1+(m －1)i 是:(1)实数？ (2)虚数？ (3)纯虚数？分析：因为m 是实数，所以m-1，m+1都是实数。
北师大版选修1-2：4.1数系的扩充与复数的概念--教学设计一、二、三
4.1数系的扩充和复数的引入教学设计一【教学目标】依照课程标准对本节课的要求，本节课的教学目标如下：（1）通过回忆数系的扩充过程，观察所列举的复数能简述复数的定义，并能说出复数的实部与虚部.（2）通过小组讨论能将复数归类，并能用语言或图形表达复数的分类，会解决含有字母的复数的分类问题.（3）通过比较给出的两个复数能归纳出复数相等的充要条件，并能解决与例题相似的题目. 【教学重点】复数的概念【教学难点】虚数单位i的引进及复数的概念【教学过程】一、问题情境(多媒体)问题1:同学们,从小到大，我们认识了各种各样的数.进入高中，我们学习了集合，你知道的数集有哪些？分别用什么记号表示？问题2:你能用集合关系符号将这些数集“串”起来吗？设计意图：一方面从学生已有的认知入手，便于学生快速进入学习状态，激发他们的学习热情，培养学生的归纳、概括与表达能力；另一方面为引入虚数单位“i”埋下伏笔，引入课题.恩格斯曾经说过：“各种数集是数学的两大基本柱石之一，整个数学都是由此提炼、演变与发展起来的.”如此高的评价，看来我们要好好体会其中的奥秘，最熟悉的地方往往也能发现亮丽的风景.这些数并不是从来就有，也不是从天而降的，任何事物的发生发展总是有原因的.远古的人类，为了统计捕获的野兽和采集的野果，创造了自然数，那么其它数呢？它们产生的原因是什么呢？（归纳学生的回答：原因之一——客观需求）从数学内部看，我们研究数，与数的运算是分不开的，数集只是包含了运算的对象，那么运算的规则呢？一代代数学家们追求的不仅仅是数集的扩充，更是运算规则的完善. 二、学生活动问题3:我们常说的运算，是指加、减、乘、除、乘方、开方等运算，思考一下，这些运算在各个数集中总能实施吗？（学生回答）追问：这些问题是怎么解决的呢？——添加新数通过添加新数，解决了某些运算在原来的数集中不是总可以实施的矛盾.正是数学家们追求完美的理性精神，促使他们不断发现问题，解决问题，从而推动数学的发展.（原因之二——数学内因）设计意图：让学生思考数集扩充的原因，在此基础之上，帮助学生重新建构数集的扩充过程，这是本节课的生长点.问题4:那么在实数范围内加、减、乘、除、乘方、开方这些运算总能实施了吗？ 问题5:需要解决什么问题？（负数开偶次方的问题）我们知道，非负数可以开平方，负数只能开奇次方？现实的问题摆在眼前，如何才能解决？——添加新数学生讨论：尝试添加新数，求解方程2221,2,(1)1x x x =-=--=-.设计意图：教师引领学生采用类比的思想，将问题转化为找一个数的平方为－1，从而让“引入新数”水到渠成．第一个正视这类问题的是意大利数学家卡尔丹.16世纪，意大利数学家卡尔丹遇到问题“将10分成两部分，使两者的乘积等于40”时，出现了困惑.他认为把答案写成“155-+和155--”就可以满足条件，但是却无法解释.面对这些矛盾，笛卡尔、欧拉、高斯等一个又一个数学家们加入了研究的队伍，经过他们严密的论证，最后终于确定了它的合理地位.但是这类数与之前得到的实实在在的实数相比，似乎缺少有力的现实基础，所以法国数学家笛卡尔就将其命名为“虚数”，表示与实数相对应.从此虚数也加入了数的行列，与实数“平起平坐，和平共处”. 1777年，瑞士数学家欧拉首次提出用i 表示平方等于-1的新数. 1801年，德国数学家高斯系统地使用了这个符号，使i 通行于世. 三、建构数学实数集的扩充就从引入平方等于－1的“新数”i 开始的.（一）我们引入新数i ，叫做“虚数单位”，并规定：（1）i 2=-1;（2）实数可以与i 进行四则运算，进行四则运算时，原有的加法、乘法运算律仍然成立.由这两个规定，我们得到：i 代表一个数，；另外规定（2）保证了虚数加入后，能与实数“和平共处，互帮互助”.根据以上两项规定，请同学们思考 问题6：添加的新数仅仅是i 吗？ 问题7：你还能写出其他含有i 的数吗？问题8：你能写出一个形式，把刚才所写出来的数都包含在内吗？设计意图：学生通过问题6、7的铺垫，引导学生由特殊到一般，抽象概括出复数的代数形式z=(,)a bi a b +∈R ，帮助学生主动建构复数的代数形式．我们构造的数都可以用bi a +来表示.bi a +是由实数与虚数单位i “复合”运作而成，我们把它们称为复数，由所有的复数组成的集合称为复数集，记作C ，我们常用字母z 表示复数. （二）bi a z +=（R b a ∈,），也称bi a +为复数的代数形式，其中a 叫复数的实部，b 叫复数的虚部（是实数）.由此，追问： (,)a bi a b +∈R 能表示实数吗？ 问题9： 实数集与扩充后的复数集是什么关系呢？问题10： 复数集、实数集、虚数集、纯虚数集它们之间是什么关系呢？你能用图表的形式画出来吗？设计意图：学生通过讨论自然而然地想到要对复数进行分类，从而深化对复数概念的理解.问题10是让学生直观地感受复数的分类，进一步深化复数的概念.从而攻克本节制定的第二个教学目标.问题11：两个二项式相等的充要条件是什么？你能类比得出两个复数相等的充要条件吗？ 设计意图：引导学生类比两个二项式相等的条件，归纳出复数相等的充要条件，即实部与实部相等并且虚部与虚部相等.并在此时告诉学生两个复数只能说相等或者不相等，除非它们都是实数时才可以比较大小.伴随着此问题的解决使得本节最后一个教学目标顺利呈现. (三)复数的相等如果两个复数的实部与虚部分别相等,则称两个复数相等,即： a+bi =c+d i (a,b,c,d ∈R) ⇔ a= c 且b =d.例1、 指出下列复数的实部和虚部(1)4;(2)23;(3)56;(6)2i i i -- 注意:复数的实部与虚部都是实数.例2．实数m 分别取什么值时，复数z =m (m -1)+(m -1)i 是：(1)实数？(2)虚数？(3)纯虚数？分析：因为m ∈R ，所以11--m ),m (m 都是实数，由复数z=a +bi (a,b ∈R)是实数、虚数、纯虚数与零的条件可以确定实数m 的值．.00101310121011为纯虚数时，即）当（为虚数；时，即）当（为实数；时，，即）当解（z m ,m )m (m z m ,m z m m =⎩⎨⎧≠-=-≠≠-==-练习1：已知z=m 2(1+i )−(m +i ),m 为实数，当m 为何值时，复数z 是 (1)实数 (2)虚数 (3)纯虚数设计意图：例题1主要是前后照应，采用概念同化的方式完善认知结构；实现对目标1的巩固.例题2及练习1主要是巩固复设定的目标2中数的分类标准．让学生在解决问题的过程中内化复数有关概念，起到及时反馈、学以致用的功效.设计意图：强化复数相等的充要条件，并让学生感受到复数问题可以化归为实数问题来求解.例3： 已知（2x -1)+i =y -(3-y )i ,其中x ,y ∈R,求x ,y 的值. 【解析】根据复数相等的定义，得方程组设计意图：强化复数相等的充要条件，并让学生感受到复数问题可以化归为实数问题来求解.【解析】由题意得 2x −1=y 1=− 3−y 解得 x =52y =4设计意图：强化复数相等的充要条件，并让学生感受到复数问题可以化归为实数问题来求解.的值求，小于且已知复数求实数）若（（：练习k z R k i k k k k z y x i x i y i 0),()65(3)2(,,9-1)2(-)10-31222∈+-+-==++（1） x =1,y =1 (2) k =2设计意图：此题主要是为了及时巩固、检查课堂效果；从而进一步提升学生分析问题和解决问题的能力.（四）课堂小结通过本节课的学习，你有哪些收获？还存在哪些疑问？并抛出问题：实数能用数轴上的点来表示，所有的复数也能用数轴上的点来表示吗？设计意图：通过学生总结、教师提炼，深化内容，让学生体会数系扩充过程中蕴含的创新精神和实践能力.提出问题激发学生对复数的后续学习的欲望,为下节课学习埋下伏笔.（五）作业布置1、书面作业：课后习题A组第1、2题.2、知识拓展作业：小组成员交流合作，写一篇与数系扩充和发展有关的小论文；这节课，我们共同感受了数的概念发展的过程，虚数的出现与很多新生事物一样，刚开始并不为人所接受.对于“虚数”的研究，经历了漫长的过程，最终人们发现复数在物理学，空气动力学等很多领域的实际作用后，虚数才被大家所接受，正所谓实践才是检验真理的唯一标准.“数系发展到复数之后还能不能继续扩充？随着数学领域的不断扩展，或许有一天数系会冲破复数集的约束，迈向更广的数系空间.建议有兴趣的同学课下了解章末阅读材料中“四元数”的内容.教学设计二一、教学背景分析1.本课时在教材中的地位与作用本节课在教材中起着承上启下的作用，能够让学生了解数系扩充的历史，感受数学的理性精神及数学在解决生产生活问题中的价值，渗透数学文化.2.学情分析高二学生的理性思维已经得到发展，能够较为理性的分析和解决问题，但是对虚数单位i的理解以及复数的分类是难点也是重点，需要给学生足够的时间去经历知识的生成，而不是灌输式的将结论直接告诉学生、而后通过大量练习进行强化.3.教学目标的确定及依据知识与技能目标：了解数系扩充的过程，理解复数的基本概念，掌握复数相等的充要条件.过程与方法目标：经历理性分析数系扩充的过程，运用类比推理的方法实现从实数系向复数系的扩充.情感态度与价值观目标：强化理性思维的价值，渗透数学文化.4.教学重点、难点及处理办法教学重点：了解引入复数的必要性，理解复数的基本概念.教学难点：了解数系扩充的过程，理解并接受虚数单位i.二、教法与学法分析教学方法：诱思探究法合作交流法学法分析：建构-探究-归纳-应用.三、教学过程根据以上分析，教学过程从精设问题、引发冲突；引入新数、生成概念；应用举例、强化新知；课堂小结、回顾归纳；布置作业、课外拓展五个环节进行设计：归纳其代数表用韦恩图将复数的分类进行表为虚数单位i的引入做好铺垫.感悟数学文化，为虚数单位i的理解和接受做准备.体会两项规定合理性的同时积极主动探究复数的代数表达形式.经历知识的生成过程强化复数分类的基础上检测集合之间关系的掌握情况.学生活动四、教学效果预测学生了解了数系扩充的必要性与合理性，能够类比从自然数系一步步扩充到实数系的过程完成从实数系向复数系的扩充.经历了概念的生成过程，理解复数的代数表达形式，掌握实部、虚部的概念，能够清晰的掌握复数的分类，体会并掌握复数相等的充要条件.享受解决问题的愉悦，感悟数系扩充的历史.i的理解和接受是重点也是难点，学生掌握的情况仍需通过课后的作业、但是对虚数单位练习进行检测和反馈.教学设计三【教材分析】教材地位和作用：数系扩充的过程体现了数学的发现和创造过程，体现了数学发生发展的客观需求.通过学习，学生在问题情景中了解数系扩充的过程以及引入虚数的必要性，体会人类理性思维在数系扩充中的作用，有助于提高学生的数学素养.复数的引入是中学阶段数系的最后一次扩充.学习复数的一些基本知识，为学习复数的四则运算和几何意义做好知识储备.教材处理办法：精心设计制作教学课件，直观形象地展示数系扩充的过程.化抽象为具体，使学生真实体验数系扩充的必要性及数系扩充要遵循的法则.在这个过程中了解复数、虚数、纯虚数、复数的实部、虚部等相关概念就水到渠成了.重点：数系扩充的过程和方法，复数的相关概念.难点：数系扩充的过程和方法，虚数的引入.【教学目标】知识目标：了解数系的扩充过程，感受人类理性思维的作用以及数与现实世界的联系；了解复数的相关概念.能力目标：发展学生独立获取数学知识的能力和创新意识.情感目标：初步认识数学的应用价值、科学价值和人文价值，崇尚数学具有的理性精神和科学态度，树立辩证唯物主义世界观.【教学方法】教学模式：“4+1”教学模式教学方法：开放式探究，启发式引导，互动式讨论，反馈式评价.学习方法：自主探究，观察发现，合作交流，归纳总结。
高中数学《数系的扩充和复数的概念》教案
高中数学《数系的扩充和复数的概念》教案一、教学目标1. 让学生理解实数和复数的概念，掌握实数和复数的关系。
2. 让学生掌握复数的代数表示法，了解复数的几何表示。
3. 让学生学会运用复数的概念和性质解决实际问题。
二、教学内容1. 实数和复数的概念2. 复数的代数表示法3. 复数的几何表示4. 复数的运算5. 复数的应用三、教学重点与难点1. 重点：实数和复数的概念，复数的代数表示法，复数的几何表示，复数的运算。
2. 难点：复数的几何表示，复数的运算。
四、教学方法采用问题驱动法、案例分析法、小组讨论法、讲授法等，引导学生主动探究，提高学生分析问题、解决问题的能力。
五、教学过程1. 实数和复数的概念（2）引入复数的概念，解释复数的概念。
（3）通过实例让学生理解实数和复数的关系。
2. 复数的代数表示法（1）介绍复数的代数表示法，让学生掌握复数的标准形式。
（2）讲解复数的实部和虚部的含义。
（3）通过实例让学生学会写出复数的标准形式。
3. 复数的几何表示（1）介绍复数的几何表示，让学生了解复平面的概念。
（2）讲解复数在复平面上的位置与实部和虚部的关系。
（3）通过实例让学生学会在复平面上表示复数。
4. 复数的运算（1）讲解复数的加减乘除运算规则。
（2）通过实例让学生掌握复数的运算方法。
5. 复数的应用（1）讲解复数在实际问题中的应用，如电路分析、信号处理等。
（2）通过实例让学生学会运用复数解决实际问题。
（3）引导学生思考复数的在其他领域中的应用。
六、课后作业2. 练习复数的代数表示法，写出给定复数的标准形式。
3. 学习复数的几何表示，画出给定复数在复平面上的位置。
4. 练习复数的运算，掌握加减乘除运算规则。
5. 思考复数在实际问题中的应用，举例说明。
七、教学评价1. 课堂表现：观察学生在课堂上的参与程度、提问回答等情况，了解学生的学习状态。
2. 课后作业：检查学生的作业完成情况，评估学生对知识点的掌握程度。
3. 小组讨论：评估学生在小组讨论中的表现，了解学生的合作能力和解决问题的能力。
数系的扩充与复数的概念教案
3.1.1数系的扩充与复数的概念【教学目标】（1）在问题情境中了解数系的扩充过程，体会实际需求在数系扩充过程中的作用理解复数的基本概念（2）理解复数的基本概念以及复数相等的充要条件（3）了解复数的代数表示方法【教学重难点】重点：引进虚数单位i的必要性、对i的规定、复数的有关概念难点：实数系扩充到复数系的过程的理解，复数概念的理解【教学过程】一、创设情景、提出问题问题1：我们知道，对于实系数一元二次方程，没有实数根．我们能否将实数集进行扩充，使得在新的数集中，该问题能得到圆满解决呢？问题2：类比引进，就可以解决方程在有理数集中无解的问题，怎么解决在实数集中无解的问题呢？问题3：把实数和新引进的数i 像实数那样进行运算，并希望运算时有关的运算律仍成立，你得到什么样的数？二、学生活动1.复数的概念：⑴虚数单位：数＿＿叫做虚数单位，具有下面的性质：①＿＿＿＿＿＿＿＿＿②＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿⑵复数：形如＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿叫做复数，常用字母＿＿＿表示，全体复数构成的集合叫做＿＿＿＿＿＿，常用字母＿＿＿表示．⑶复数的代数形式：＿＿＿＿＿＿＿＿＿，其中＿＿＿＿叫做复数的实部，＿＿＿叫做复数的虚部，复数的实部和虚部都是＿＿＿数．(4)对于复数a+bi(a,b∈R),当且仅当＿＿＿＿＿时,它是实数;当且仅当＿＿＿＿＿时,它是实数0;当＿＿＿＿＿＿＿时, 叫做虚数;当＿＿＿＿＿＿＿时, 叫做纯虚数;2.学生分组讨论⑴复数集C和实数集R之间有什么关系?⑵如何对复数a+bi(a,b∈R)进行分类?⑶复数集、实数集、虚数集、纯虚数集之间的关系，可以用韦恩图表示出来吗？3.练习：(1).下列数中，哪些是实数，哪些是虚数，哪些是纯虚数？并分别指出这些复数的实部与虚部各是什么？2+ 2i , 0.618, 2i/7 , 0,5 i +8, 3-9 i(2)、判断下列命题是否正确：（1）若a、b为实数，则Z=a+bi为虚数（2）若b为实数，则Z=bi必为纯虚数（3）若a为实数，则Z= a一定不是虚数三、归纳总结、提升拓展例1 实数m分别取什么值时，复数z＝m+1＋(m-1)i是(1)实数？(2)虚数？(3)纯虚数？解：归纳总结：确定复数z＝a＋bi是实数、虚数、纯虚数的条件是：练习：实数m分别取什么值时，复数z＝m2+m-2＋(m2-1)i是(1)实数？(2)虚数？(3)纯虚数？两个复数相等，即两个复数相等的充要条件是它们的实部与虚部分别对应相等．也就是a+bi=c+di _______________________（a、b、c、d为实数）由此容易出：a+bi=0 _______________________例2已知x +2y +(2x+6)i=3x-2 ,其中，x,y为实数，求x与y．四、反馈训练、巩固落实1、若x,y为实数，且 2x -2y+(x+ y)i=x-2 i求x与y.2、若x为实数，且(2x2-3x-2)+(x2-5x+6)i=0，求x的值.。
数系的扩充和复数的概念教案
数系的扩充和复数的概念教案一、教学目标1. 了解数系的扩充，掌握实数集、有理数集、无理数集和复数集的概念；2. 掌握复数的定义和表示方法；3. 理解复数加法和乘法的几何意义；4. 能够计算复数的模、共轭和商。
二、教学重难点1. 数系的扩充，包括实数集、有理数集、无理数集和复数集的概念；2. 复数的定义和表示方法；3. 复数加法和乘法的几何意义。
三、教学内容1. 数系的扩充（1）实数集：包括有理数和无理数两部分，用符号“R”表示。
（2）有理数集：可以表示为两个整数之比（分母不为0），用符号“Q”表示。
（3）无理数集：不能表示为两个整数之比，用符号“Q'”表示。
（4）复数集：由实部和虚部构成，形如a+bi，其中a和b均为实数，i是虚单位，用符号“C”表示。
2. 复数的定义与表示方法（1）定义：由一个实部a和一个虚部b构成的有序数组(a,b)称为一个复数z，即z=a+bi。
其中a称为z的实部，b称为z的虚部。
（2）表示方法：用复平面上的点表示。
3. 复数加法和乘法的几何意义（1）复数加法：设z1=a1+b1i，z2=a2+b2i，则z1+z2=(a1+a2)+(b1+b2)i。
即把两个复数看作向量，在复平面上用平行四边形法则相加。
（2）复数乘法：设z1=a1+b1i，z2=a2+b2i，则z1×z2=(a1a2-b1b2)+(a1b2+a2b1)i。
即把两个复数看作向量，在复平面上用角度叠加原理相乘。
4. 计算方法（1）模：|a+bi|=√(a²+b²)。
（2）共轭：若z=a+bi，则其共轭为z*=a-bi。
（3）商：设z1=a+bi，z2=c+di，则它们的商为(z1/z2)=(ac+bd)/(c²+d²)+((bc-ad)/(c²+d²))i。
四、教学过程Step 1 引入新知识介绍实数集、有理数集和无理数集，并引入复数集的概念。
数系的扩充与复数的引入教案
数系的扩充与复数的引入教案教案标题：数系的扩充与复数的引入教学目标：1. 理解数系的扩充概念，包括自然数、整数、有理数和实数等。
2. 了解复数的引入背景和意义。
3. 掌握复数的基本概念，包括实部、虚部、共轭复数和复数平面。
4. 能够在复数平面上表示和操作复数。
教学准备：教学工具：教材、电子白板、投影仪、复数平面图示。
学生材料：教科书、练习册。
教学过程：Step 1: 引入a. 利用教材或投影仪展示数系的扩充图，引导学生回顾自然数、整数和有理数等数系的概念。
b. 提出一个问题：“有理数集合是否能满足所有的数运算需求？”引导学生思考。
Step 2: 数系的扩充a. 解释实数的概念，包括无限循环小数的引入和实数集合的特性。
b. 引导学生探索开方运算的限制，例如√2是否为有理数。
c. 通过实例和练习，让学生感受实数在数轴上的分布情况。
Step 3: 复数的引入a. 引导学生思考开方运算的限制，了解负数在求平方根时的问题。
b. 展示负数平方根无法在实数范围内得到解的情况，引出复数的引入。
c. 解释复数的概念，包括实部和虚部的定义，学生可以通过发现i 的特性来理解虚数单位。
Step 4: 复数的基本概念a. 展示复数的表示方式，包括用实部和虚部表示的形式和复数平面的表示方式。
b. 引导学生理解共轭复数的概念，例如a+bi的共轭复数为a-bi。
c. 基于复数平面，教授如何表示和操作复数，例如加减法、乘法和除法。
Step 5: 实践练习a. 提供一些实践练习题，让学生应用所学知识解决问题。
b. 可以通过个人练习和小组合作的方式完成练习，鼓励学生互相讨论和分享答案。
Step 6: 总结和反思a. 复习教学内容，澄清学生的疑惑。
b. 鼓励学生总结数系的扩充及复数的引入过程，以及复数平面的应用。
教学延伸：1. 引导学生探索复数在实际问题中的应用，例如复数在电路中的应用。
2. 鼓励学生自主探索复数的性质，如模长和幅角等，进一步扩充对复数的理解。
高中数学 第四章 数系的扩充与复数的引入 4.1 数系的扩充与复数的引入教案 北师大选修12
4.1数系的扩充与复数的引入教学目标（1）了解数的概念发展和数系扩充的过程，了解引进虚数单位i 的必要性和作用，体会数学发现和创造的过程，以及数学发生、发展的客观需求；（2）理解复数的基本概念以及复数相等的充要条件．教学重点，难点：复数的基本概念以及复数相等的充要条件．教学过程一．问题情境1．情境：1)数的概念的发展从正整数扩充到整数，从整数扩充到有理数，从有理数扩充到实数，数的概念是不断发展的，其发展的动力来自两个方面．①解决实际问题的需要．由于计数的需要产生了自然数；为了刻画具有相反意义的量的需要产生了负数；由于测量等需要产生了分数；为了解决度量正方形对角线长的问题产生了无理数(即无限不循环小数)．②解方程的需要．为了使方程40x +=有解，就引进了负数，数系扩充到了整数集；为了使方程320x -=有解，就要引进分数，数系扩充到了有理数集；为了使方程22x =有解，就要引进无理数，数系扩充到了实数集．引进无理数以后，我们已经能使方程2x a =(0)a >永远有解．但是，这并没有彻底解决问题，当0a <时，方程2x a =在实数范围内无解．为了使方程2x a =(0)a <有解，就必须把实数概念进一步扩大，这就必须引进新的数．（可以以分解因式：44x -为例）2．问题：实数集应怎样扩充呢？二．建构数学1．为了使方程2x a =(0)a <有解，使实数的开方运算总可以实施，实数集的扩充就从引入平方等于1-的“新数”开始．为此，我们引入一个新数i ，叫做虚数单位．并作如下规定：①21i =-；②实数可以与i 进行四则运算，进行四则运算时，原有的加法、乘法运算律仍然成立． 在这种规定下，i 可以与实数b 相乘，再同实数a 相加得i b a ⋅+．由于满足乘法交换律和加法交换律，上述结果可以写成a bi + (,a b R ∈)的形式．2．复数概念及复数集C形如a bi +(,a b R ∈)的数叫做复数．全体复数构成的集合叫做复数集，一般用字母C 来表示，即{},,C z z a bi a b R ==+∈．显然有N*N Z Q R C ．3．复数的有关概念1) 复数的表示：通常用字母z 表示，即z a bi =+(,a b R ∈)，其中,a b 分别叫做复数的实部与虚部；2）虚数和纯虚数①复数z a bi =+(,a b R ∈)，当0b =时，z 就是实数a ．②复数z a bi =+(,a b R ∈)，当0b ≠时，z 叫做虚数．特别的，当0a =，0b ≠时，z bi =叫做纯虚数．3)复数集的分类分类要求不重复、不遗漏，同一级分类标准要统一．根据上述原则，复数集的分类如下：4)两复数相等如果两个复数a bi +与c di +（,,,a b c d R ∈）的实部与虚部分别相等，我们就说这两个复数相等．即a c a bi c di b d =⎧+=+⇔⎨=⎩，（复数相等的充要条件），特别地：aa bib=⎧+=⇔⎨=⎩（复数为0的充要条件）．复数相等的充要条件，提供了将复数问题化归为实数问题来解决的途径．5）两个复数不能比较大小：两个实数可以比较大小，但两个复数，如果不全是实数，只有相等与不等关系，不能比较它们的大小．6）复平面的概念复平面、实轴、虚轴：复数z=a+bi(a、b∈R)与有序实数对(a，b)是一一对应关系这是因为对于任何一个复数z=a+bi(a、b∈R)，由复数相等的定义可知，可以由一个有序实数对(a，b)惟一确定，如z=3+2i可以由有序实数对(3，2)确定，又如z=－2+i可以由有序实数对(－2，1)来确定；又因为有序实数对(a，b)与平面直角坐标系中的点是一一对应的，如有序实数对(3，2)它与平面直角坐标系中的点A，横坐标为3，纵坐标为2，建立了一一对应的关系由此可知，复数集与平面直角坐标系中的点集之间可以建立一一对应的关系.点Z的横坐标是a，纵坐标是b，复数z=a+bi(a、b∈R)可用点Z(a，b)表示，这个建立了直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面，也叫高斯平面，x轴叫做实轴，y轴叫做虚轴，实轴上的点都表示实数，对于虚轴上的点要除原点外，因为原点对应的有序实数对为(0，0)，它所确定的复数是z=0+0i=0表示是实数.故除了原点外，虚轴上的点都表示纯虚数，在复平面内的原点(0，0)表示实数0，实轴上的点(2，0)表示实数2，虚轴上的点(0，－1)表示纯虚数－i，虚轴上的点(0，5)表示纯虚数5i，非纯虚数对应的点在四个象限，例如点(－2，3)表示的复数是－2+3i，z=－5－3i对应的点(－5，－3)在第三象限等等.复数集C和复平面内所有的点所成的集合是一一对应关系，即这是因为，每一个复数有复平面内惟一的一个点和它对应；反过来，复平面内的每一个点，有惟一的一个复数和它对应.这就是复数的一种几何意义.也就是复数的另一种表示方法，即几何表示方法.7）共轭复数：当两个复数的实部相等，虚部互为相反数时，这两个复数叫做互为共轭复数虚部不等于0的两个共轭复数也叫做共轭虚数8）复数的几何意义①复数a+bi ，即点Z （a,b ）（复数的几何形式）、即向量OZ （复数的向量形式。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
4.1数系的扩充和复数的概念
【学习目标】
1. 了解数的概念的发展过程和数集扩充到复数的必要性；
2. 理解复数的有关概念以及符号表示；
3. 掌握复数的代数表示形式及复数相等的充要条件；
4. 掌握复平面与复数的几何意义；
5 掌握复数的模或绝对值
6. 在问题情境中了解数系得扩充过程，体会实际需求与数学内部的矛盾（数的运算规则、方程求根）在数系扩充过程中的作用，感受人类理性思维的作用以及数与现实世界的联系．
【教学重点】引进虚数单位i的必要性、对i的规定以及复数的有关概念．【教学难点】复数概念的理解．
【学情分析】
在学习本节前，学生对数的概念已经扩充到实数，也已清除各种数集之间的包含关系等内容，但知识是零碎、分散的，对数的生成发展的历史和规律缺乏正题认识与理性思考，知识体系还未形成。
另一方面，学生对方程解的问题会默认在实数集中进行，缺乏严谨的思维习惯。
基于以上分析，本节课的学习目标如下：
（1）通过回忆数系的扩充过程，观察所列举的复数能简述复数的定义，并能说出复数的实部与虚部；
（2）通过小组讨论将复数分类，并能用语言或图形表达复数的分类，会解决含有字母的复数的分类问题；
（3）通过比较给出的两个复数能归纳出复数相等的充要条件，并能解决与例题相似的题目；
（4）通过类比平面直角坐标系的点，总结出复平面及复平面的几何意义；（5）通过点到原点的距离公式，进一步得出复数的模或绝对值的公式，并能解决例题类似题目
知识形成过程：
1． 数系的扩充
对数集因生产和科学发展的需要而逐步扩充的过程进行概括（教师引导学生进行简明扼要的概括和总结）
自然数→分数→负数→整数→有理数→无理数→实数
2．问题引入
我们知道，对于实系数一元二次方程012=+x ，没有实数根．我们能否将
实数集进行扩充，使得在新的数集中，该问题能得到圆满解决呢？
3．组织讨论，研究问题
我们说，实系数一元二次方程012=+x 没有实数根．实际上，就是在实数
范围内，没有一个实数的平方会等于负数．解决这一问题，其本质就是解决一个什么问题呢？
组织学生讨论，引导学生研究，最后得出结论：最根本的问题是要解决－1的开平方问题．即一个什么样的数，它的平方会等于－1．
4．引入新数i ，并给出它的两条性质
根据前面讨论结果，我们引入一个新数i ，i 叫做虚数单位，并规定：
（1）12
-=i ；
（2）实数可以与它进行四则运算，进行四则运算时，原有的加、乘运算律仍然成立．
有了前面的讨论，引入新数i ，可以说是水到渠成的事．这样，就可以解决前面提出的问题（－1可以开平方，而且－1的平方根是i ±）．
5．提出复数的概念
根据虚数单位i 的第（2）条性质，i 可以与实数b 相乘，再与实数a 相加．由于满足乘法交换律及加法交换律，从而可以把结果写成bi a +这样，数的范围又扩充了，出现了形如 ),(R b a bi a ∈+的数，我们把它们叫做复数．
全体复数所形成的集合叫做复数集，一般用字母C 表示，显然有：
N*N Z Q R C ．
6.复数的分类
【巩固练习】
1.说明下列数中，哪些是复数，哪些是实数，哪些是虚数，哪些是纯虚数？并分别指出这些复数的实部与虚部各是什么？
,72+ 618.0，i 7
2，0 ，i 2 ，31(-i ），i 293-，85+i ，
例1.实数m 分别取什么值时，复数z ＝m+1＋(m-1)i 是
(1)实数？(2)虚数？(3)纯虚数？
7.复数相等
根据复数的概念，提出问题，对任取两个复数a+bi 与c+di ，如果这两个复数相等相等，你能得出怎样的结论？教师引导，回忆两个多项式相等的充要条件，通过类比，得出两个复数相等的充要条件
a=c,b=d,特别地，6
cos 6sin ππi -
这里需要注意的是，两个实数可以比较大小，一个实数与一个虚数或两个虚数是不可以比较大小的.
例2、 已知i y y i x )3()12(--=+-,其中，x,y ∈R ，求x 与y ．
例3、 下列命题中正确的有_____
（A ）若 ,则 （B ） 若 (x,y 为实数)的充要条件是
（C ）1＋ai 是一个虚数
（D ）若a ＝0，则a ＋bi 为纯虚数
8.复平面与复数的几何意义
类比平面直角坐标系，提出复平面的概念，进而引出每一个复数在复平面内都有唯一的一个点与它对应,复数集C 和复平面内的所有点构成的集合是一一对应的，即任一个复数z=a+bi 与复平面内的点Z （a,b ）是一一对应.
9.复数的模或绝对值
设复数z=a+bi 在复平面内对应的点是Z （a,b ）,点Z 到原点O 的距离|OZ|叫做复数z 的模或绝对值，记作|z|. 显然，
C z ∈0
2≥z i yi x +=+11==y x
例4、 在复平面内表示下列复数，并分别求出他们的模：
（1）-2+3i (2)
(3)3-4i (4)-1-3i
练习： 1、若x ，y 为实数，且 ，求y x ,. 2、0)65()232(22=+-+--i x x x x 求x 的值.
3、.),(023)21(2的值求实数已知m R m i mi x i x ∈=--++
4、求下列复数的模：（1）-5+2i （2）4i-5 (3)
【课堂小结】
一、数系的扩充；
二、复数有关的概念：
1、复数的代数形式；
2、复数的实部、虚部。
3、虚数、纯虚数；
4、复平面与复数的几何意义
5、复数的模或绝对值
三、复数相等
【课后作业】
()
i yi x y x 4222+=+++12+i
1.课本P11276，A组1、4
2.优化设计：P29~P32。