复数教学设计(省优质课)

§数系的扩充与复数的引入

江西省永新县任弼时中学文辉

【教学目标】

（1）了解引进复数的必要性，理解复数的基本概念，了解复数的代数法表示，理解虚数单位，理解复数相等的充要条件.

（2）了解复数的几何意义，理解复数模的概念，了解复数与复平面内的点的对应关系.

（3）体会实际需求与数学内部的矛盾在数学扩充过程中的作用，感受人类理性思维在数系的扩充过程的作用以及数与现实世界的联系。

（4）通过复数与复平面内的点的对应关系，体会二维空间中数与形之间的内在联系.

【教学重难点】

重点：引进虚数单位i的必要性，对i的规定，复数的有关概念.

难点：实数系扩充到复数系的过程的理解，复数的概念的理解.

教学方法：1.启发式教学法.

2.激励---探索---讨论---发现.

教具准备：多媒体，投影仪.

教学过程

Ⅰ.课题导入

㈠引导学生回顾数的变化发展过程

数的概念是从实践中产生和发展起来的.早在人类社会初期，人们在狩猎、采集果实等劳动中，由于计数的需要，就产生了1，2，3，4等数以及表示“没有”的数0.自然数的全体构成自然数集N.

随着生产和科学的发展，数的概念也得到发展.

为了解决测量、分配中遇到的将某些量进行等分的问题，人们引进了分数；为了表示各种具有相反意义的量以及满足记数的需要，人们又引进了负数.这样

就把数集扩充到有理数集Q.显然N Q.如果把自然数集(含正整数和零)与负整数集合并在一起，构成整数集Z，则有Z Q、N Z.如果把整数看作分母为1的分数，那么﹛有理数﹜=﹛分数﹜=﹛循环小数﹜.

有些量与量之间的比值，例如用正方形的边长去度量它的对角线所得的结果，无法用有理数表示，为了解决这个矛盾，人们又引进了无理数.所谓无理数，就是无限不循环小数.有理数集与无理数集合并在一起，构成实数集R.因为有理数都可看作循环小数(包括整数、有限小数)，无理数都是无限不循环小数，所以﹛实数﹜=﹛小数﹜.

㈡设置问题情境，探究实践

问题①：请类比引进2，就可以解决方程0

-在有理数集中无解的问

x2=

2

题，怎么解决方程0

+在实数集中无解的问题

1

x2=

意图通过类比，使学生了解扩充数系要从引入新数开始.

问题②：引入的新数i是个什么数呢它有什么特征

引入虚数单位的概念及性质 i2 =－1 ，强调i不同于任何实数，它是一种新的数。此时学生解决了方程无解问题.

Ⅱ.新课讲授

研习点（1）

1.请同学们阅读课本相关内容，自主完成填空题.

⑴虚数单位：数____________叫做虚数单位，具有下面的性质：

①_______________________,

②实数可以与i进行四则运算，进行四则运算时，原有的加、乘运算律_______.（填成立或不成立）

⑵复数：形如______________________________叫做复数，常用字母________表示，即复数的代数形式为___________________，其中______叫做复数的实部,

___叫做复数的虚部，复数的实部和虚部都___数．全体复数构成的集合叫做________，常用字母____表示．

2.探讨

⑴复数集C 与数集N 、Z 、Q 、R 之间有什么关系

⑵如何对复数a+bi(a,b∈R)进行分类

⑶复数集、实数集、虚数集、纯虚数集之间的关系，可以用图表示出来吗

⑷你认为两个复数a+bi 与c+di 相等的充要条件是什么

a+bi=c+di (a,b,c,d ∈R)当且仅当a=c 且b=d.

特别地，a+bi=0 (a,b ∈R)当且仅当a=b=0.

两个不全是实数的复数不可以比较大小，只有相等与不相等之分.

3.巩固练习：说出下列三个复数的实部与虚部，并指出它们是实数还是虚数，如果是虚数指出是否为纯虚数： (1)4+3i; (2)-5i (3)

()()()()1

11231x x x i ++- 、当实数分别取什么值时，复数z=是实数;虚数;纯虚数.

例a bi ⎧⎪+⎧⎨≠⎨⎪≠⎩⎩实数（b=0）复数纯虚数（a=0）虚数(b 0)非纯虚数（a 0）2

2i

1-1.x x x x ∈+ 分析与探究：因为R ，所以、都是实数，由复数z=a+bi 是实数、虚数、纯虚数的条件可以确定实数 解：

练习

.0 C 或1

答案：A

.

∈ 、设x,ｙR ，并且(x+2)-2xi=-3y+(y-1)i ，求x,y 的值例2 分析与探究：根据复数相等的充要条件

a+bi=c+di(a,b,c,d ∈R)当且仅当a=c,b=d

巩固练习：求适合下列方程中实数x,y 的值：

(1)(-2x+3)+(y-4)i=0;

(2)(3x-2y)-(x+2y)i=3-6i.

研习点(2)（目的：掌握复数的几何意义）

1、复平面的概念

()()()1-1=0=1.

2-10 1.

3+1=0-10=-1.

x x x x x x x x x x ≠≠≠要使z 是实数，需满足，解得要使z 是虚数，需满足，解得要使z 是纯虚数，需满足且，解得

21(1)(1)z x x i x =-+-、若复数为纯虚数，则实数的值为 ( )232111.x y x y x y +=-⎧⎨-=-⎩=⎧⎨=-⎩解 由复数相等的充要条件，得，解这个方程组，得

把建立的直角坐标系来表示复

数的平面叫做复平面，x轴称为实

轴，y轴称为虚轴。实轴上的点都

表示实数；虚轴上的点除原点外都

表示纯虚数。

2练习：在复平面内表示下列复数，并分别求出它们的模：

()()()()

1234

13

12323412

22

z i z i

=-=-+

；z=+i; z=-3-i ;

()

22

2

,.

(3)

OZ

z z a bi a b

=+=+

点Z(a,b)到原点的距离叫作复数z的模或绝对值，

记作

两个复数一般不能比较大小，但可以比较它们的模的大小.

y

x

10

8

6

4

2

2

4

6

105510