第四节 抽样分布

其中, 通过如下积分来定义: 其中 伽玛函数 Γ(x)通过如下积分来定义 通过如下积分来定义
Γ( x) = ∫
+∞
0
e−t t x−1dt,
x > 0.
数理统计
Probability density function
Cumulative distribution function
χ2分布的性质
则: χ =
= P{T > 1.059}
X −µ ~ N(0,1) σ n
24 查自由度为 的t分布表, t0.15(24) = 1.059,即
P{T > 1.059} = 0.15. 故有 {X > 12.5} = 0.15. P
2 例2: 从正态总体N(µ,0.5 )中抽取样本X1 ,L , X10 .
数理统计
2 2 S1 σ1 (1) 2 2 ~ F(n1 − 1, n2 − 1); S2 σ2 X − Y − (µ1 − µ2 ) (2) ~ t(n1 + n2 − 2). 2 (n1 − 1)S12 + (n2 − 1)S2 1 1 + n1 + n2 − 2 n1 n2
例1: 设总体X服从正态分布N(12,σ 2 ),
U n 1 则称随机变量: 则称随机变量 F = V n2
数理统计
自由度为n 分布, 服从自由度为 服从自由度为 1及 n2 的F分布 分布 n1称为第自由度 n2称为第二自由度 称为第自由度 称为第二自由度 第自由度, 第二自由度. 记作: 记作 F~F(n1, n2) .
V n2 1 : F(n2 , n ). = 由定义可知: 由定义可知 1 F U n 1
1 F −α(n1, n2 ) = 1 Fα(n2 , n1 )
α
Fα(n1, n2 )
F分布的上α分位点可查表求得. 1 1 , 例 F0.95 (12,9) = = = 0.357. F0.05 (9,12) 2.80
二、正态总体统计量的分布
设总体X的均值为µ，方差为σ 2， X1 , X2 ,L , Xn是来自总体的一个样本， 则样本均值X和样本方差S2有:
12.5 抽取容量为25的样本, 求样本均值X大于 的概率.
数理统计
(1) 如果 已知σ = 2； (2) σ未知，但已知样本方差S2 = 5.57.
X − 12 12.5 − 12 > 解: (1) P{ X > 12.5} = P 2 25 2 25
X − 12 = P > 1.25 = 1 − Φ(1.25) = 0.1063 0.4 X −µ X − 12 12.5 ~ t(n −1) (2) P{ X > 12.5} = P > S n S 25 S 25
Probability density function
Cumulative distribution function
F分 的 质 分 布 性 :
1) F分布的数学期望为 E(F) = 分布的数学期望为: 分布的数学期望为
n2 , 若n2>2. n2 − 2 即它的数学期望并不依赖于第一自由度n 即它的数学期望并不依赖于第一自由度 1.
2
数理统计
1) 设 X1, X2,L, Xn 相互独立 都服从正态分布 N(µ,σ 2 ), 相互独立,
1
σ
2
2
∑( X − µ)
i=1 i
n
2
~ χ (n)
2
2) 设 X1 ~ χ (n1), X2 ~ χ (n2 ),且X1, X2相互独立， 相互独立，
2
这个性质叫 χ 分布的可加性.
2
则: X1 + X2 ~ χ (n1 + n2 ).
定义: 相互独立, 定义 设X～N(0, 1), Y～χ2(n), 且X与Y相互独立 ～ ～ ) 与 相互独立
X 则称变量: 则称变量 T = Yn
数理统计
所服从的分布为自由度为 的 分布. 所服从的分布为自由度为 n的 t 分布
记为: T ~ t(n). t分布又称为学生氏分布. 分
t(n)分布的概率密度函数为： 分布的概率密度函数为： 分布的概率密度函数为
n 取不同值时样本均值的分布
定理2 样本方差的分布 样本方差的分布) 定理 (样本方差的分布 数理统计 的样本, 设X1, X2, …, Xn是来自正态总体 N(µ, σ2) 的样本 X和 2 分别为样本均值和样本方差 则有 S 分别为样本均值和样本方差, 则有:
(1) (n − 1)S2
σ2
=
( Xi − X )2 ∑
10 2 1 （ ）已知µ = 0，求概率P ∑Xi ≥ 4; i =1 10 2 2 （ ）µ未知，求概率P ∑( Xi − X) ≥ 2.85 . i =1 2 10 Xi 有 解: (1) 由µ = 0， Xi 0.5 ~ N(0,1)，则： ~ χ2 (10). ∑ 0.5 i= i =1
4 10 2 1 10 2 P ∑Xi ≥ 4 = P 2 ∑Xi ≥ 2 = P{Y 2 ≥ 16} 0.5 i =1 0.5 i=1
10 2 2 查表求χ0.10 (10) = 16. 由此可得:P ∑Xi ≥ 4 = 0.10. i =1
数理统计
第四节 抽样分布
三个重要分布 正态总体统计量的分布
一、三个重要分布 1. χ2分布(chi-square distribution)
数理统计
χ2分布是由正态分布派生出来的一种分布. 分布是由正态分布派生出来的一种分布. 正态分布派生出来的一种分布
定义: 互独立, 定义 设 X1, X2, …, Xn互独立 都服从正态分布 N(0, 1), 则称随机变量： 则称随机变量：χ 记为: 记为:
若F~F(n1,n2), F的概率密度为 的概率密度为: 的概率密度为
Γ( n1 +n2 ) n1 n1 n21 −1 n 2 ( n2 ) 2 ( y) 1 + n1 y n1 2 ψ ( y) = Γ( 2 ) Γ( n2 ) 2 0.
(
)
−
n1 +n2 2
, y>0 y≤0
数理统计
2
3) 若χ 2 ~ χ 2 (n), χ 2分布的数学期望与方差,
数理统计
E(χ2)=n, D(χ2)=2n. χ χ
Q Xi ~ N(0,1), ∴ E( Xi 2 ) = D( Xi ) = 1
D( Xi2 ) = E( Xi4 ) − [E( Xi2 )]2 = 3 − 1 = 2
E(χ ) = ∑ E( Xi ) = n, D(χ ) = ∑ D( Xi ) = 2n.
近似
即:当n足够大时,T ~ N(0,1).
3) t分 的分位点: 分布
数理统计
+∞
0 对于给定的α，< α < 1, 称满足条件:
P{t > tα (n)} = ∫
tα ( n)
h(t )dt = α
. 的点tα (n)为t(n)分布的上α分位点
α
tα(n)
t分布的上α分位点的性质： 分位点的性质： t1−α(n) = −tα(n)
P{ χ > χα (n)} = ∫
2 2 +∞
2 χα ( n)
f ( y)dy = α
2 的点χα (n)为χ 2 (n)分布的 α分位点 上 . 2 2 如图所示,χα (n)可通过查表求，例: χ0.1 (25) = 34.382.
α
2 χα(n)
2. t 分布(t-distribution)
(2) 由定理2, 9S 1 10 ( Xi − X)2 ~ χ 2 (9) = ∑ 0.52 0.52 i =1
2
数理统计
(n − 1)S2
σ2
~ χ 2 (n − 1)
2.85 10 1 10 2 2 P ∑( Xi − X) ≥ 2.85 = P 2 ∑( Xi − X) ≥ 2 0.5 i=1 0.5 i=1
S
X −µ
n
~ t(n −1)
1 2和 证:由定理 、 t分布的定义可得：
σ
则:
n ~ N(0,1), (n − 1)S2
σ2
~ χ 2 (n − 1), 且相互独立，
X −µ
σ
(n − 1)S
2
n (n − 1)
~ t(n − 1).
σ
2
定理4 两总体样本均值差 样本方差比的分布) 两总体样本均值差、 定理 (两总体样本均值差、样本方差比的分布
数理统计
2) F分布的分位点 分布的分位点: 分布的分位点
0 对于给定的α，< α < 1, 称满足条件:
P{ F > F (n1 , n2 )} = ∫ α
+∞ F ( n1 ,n2 ) α
ψ ( y)dy = α
. 的点F (n1 , n2 )为F(n1 , n2 )分布的上α分位点 α
F分布的上α分位点的性质： 分布的上α分位点的性质：
= P{Z2 ≥ 11.4}
查表得 χ
2 0.25
(9) = 11.4,由此可求得
10 2 P ∑( Xi − X) ≥ 2.85 = 0.25. i=1
t分布的上α分位点tα (n)可查表求得,例t0.025 (15) = 2.1315.
当n > 45时,对于常用的α的值,可用正态近似tα (n) ≈ zα .
3. F分布(F-distribution) 分布
定义: 相互独立, 定义 设 U～χ2(n1), V～χ2(n2), U 与V 相互独立 ～ ～