新版高中数学北师大版必修1习题：第三章指数函数和对数函数 3.3.1 含解析

§3指数函数
第1课时指数函数的图像和性质
课时过关·能力提升1若函数y=(2a2-5a+4)a x是指数函数,则a的值为()
A.1或3
2
B.1
C.3
2
D.以上均不正确
解析:由2a2-5a+4=1,解得a=3
2
(a=1舍去).
答案:C
2若函数y=a x-(b+1)(a>0,a≠1)的图像在第一、三、四象限,则有()
A.a>1且b<0
B.a>1且b>0
C.0<a<1且b>0
D.0<a<1且b<0
答案:B
3已知集合M={-1,1},N={x|1
2
<2x+1<4,x∈Z},则M∩N=()
A.{-1,1}
B.{-1}
C.{0}
D.{-1,0}
解析:N={x|2-1<2x+1<22,x∈Z},又y=2x在R上为增函数,所以N={x|-1<x+1<2,x∈Z}={x|-2<x<1,x∈Z}={-1,0},所以M∩N={-1,1}∩{-1,0}={-1}.故选B.
答案:B
4函数f(x)=a x(a>0,且a≠1)对于任意的实数x,y都有()
A.f(xy)=f(x)f(y)
B.f(xy)=f(x)+f(y)
C.f(x+y)=f(x)f(y)
D.f(x+y)=f(x)+f(y)
解析:由同底数指数幂的运算性质可知选C.
答案:C
5设1
2016<(1
2016
)
b
<(1
2016
)
a
<1,那么()
A.a a <b b <b a
B.a a <b b <a
C.a b <b a <a a
D.a b <a a <b a
解析:∵函数f (x )=(12 016)x 为减函数,且12 016<(12 016)b <(12 016)a <1,
∴0<a<b<1.
∴函数g (x )=a x 为减函数,即a b <a a ,函数h (x )=x a 为增函数,即a a <b a ,故a b <a a <b a ,故选
D .
答案:D
6三个数a=(-0.3)0,b=0.32,c=20.3的大小关系为( )
A.a<b<c
B.a<c<b
C.b<a<c
D.b<c<a
解析:因为a=(-0.3)0=1,而c=20.3>20=1,b=0.32<0.30=1,所以c>a>b.
答案:C
7已知指数函数y=f (x )的图像过点(1,3),则f (f (1))= .
答案:27
8已知函数f (x )={f (x +2),x <2,2-x ,x ≥2,
则f (-3)的值为 . 解析:f (-3)=f (-1)=f (1)=f (3)=2-3=1
8.
答案:18
9当x ∈[-2,0]时,函数y=3x+1-2的值域为 .
解析:∵x ∈[-2,0]时,y=3x+1-2是增加的, ∴3-2+1-2≤y ≤30+1-2,即-5
3≤y ≤1.
答案:[-53,1]
10若函数f (x )=a x -1(a>0,a ≠1)的定义域和值域都是[0,2],求实数a 的值.
分析:解答本题的关键是根据函数f (x )的定义域[0,2],确定f (x )的最大值与最小值,要注意底数a 的取值(a>1还是0<a<1)对f (x )最值的影响,然后根据f (x )的最值列出关于a 的方程求解.
解当a>1时,函数f (x )=a x -1在[0,2]上是增加的,
由题意可知,{a 0-1=0,a 2-1=2,
解得a=√3(a=-√3舍去).
当0<a<1时,函数f(x)=a x-1在[0,2]上是减少的,由题意可知,{a0-1=2,
a2-1=0,
此时a无解.
综上所述,a=√3.
★11已知函数f(x)=x2-bx+c满足f(1+x)=f(1-x),且f(0)=3,试判断f(b x)与f(c x)的大小关
系.
解由f(1+x)=f(1-x),可得函数f(x)的对称轴是直线x=1,所以b=2.
所以函数f(x)在(-∞,1]上是减少的,在[1,+∞)上是增加的.
又f(0)=3,所以c=3.
若x≥0,则3x≥2x≥1,所以f(3x)≥f(2x);
若x<0,则3x<2x<1,所以f(3x)>f(2x).
综上所述,f(3x)≥f(2x),
即f(c x)≥f(b x).
★12已知函数f(x)=1
a x-1+1
2
(a>0,a≠1).
(1)求函数f(x)的定义域;
(2)判断函数f(x)的奇偶性;
(3)求a的取值范围,使xf(x)>0在定义域上恒成立.解(1)由a x-1≠0,解得x≠0.
∴函数f(x)的定义域为{x|x≠0}.
(2)f(-x)=1
a-x-1+1
2
=a x
1-a x
+1
2
=a x-1+1
1-a x
+1
2
=-(1
a x-1
+1
2
)=-f(x),
∴函数f(x)为奇函数.
(3)∵f(x)为奇函数,
∴xf(x)为偶函数.
∴xf(x)>0在定义域上恒成立等价于f(x)>0在(0,+∞)上恒成立,
即1
a x-1+1
2
>0恒成立,即a
x+1
2(a x-1)
>0.
∴a x-1>0即a x>1在(0,+∞)上恒成立, ∴a>1.
故实数a的取值范围是(1,+∞).。