数学建模的基本思想

Shannon提出的四条基本性质（假设不妨称它们为公理 ） 提出的四条基本性质（假设不妨称它们为公理 提出的四条基本性质 公理1 公理 信息量是该事件发生概率的连续函数 公理2 如果事件A发生必有事件 发生 则得知事件A发生 公理 如果事件 发生必有事件B发生，则得知事件 发生 发生必有事件 发生， 的信息量大于或等于得知事件B发生的信息量 发生的信息量。 的信息量大于或等于得知事件 发生的信息量。 公理3 如果事件 和事件B的发生是相互独立的 公理 如果事件A和事件 的发生是相互独立的，则获知 和事件 的发生是相互独立的， A、B事件将同时发生的信息量应为单独获知两事件 、 事件将同时发生的信息量应为单独获知两事件 发生的信息量之和。 发生的信息量之和。 公理4 任何信息的信息量均是有限的。 公理 任何信息的信息量均是有限的。 上述公理怎样推出信息量的计算公式呢 将某事件发生的信息记为M，该事件发生的概率记为 ， 将某事件发生的信息记为 ，该事件发生的概率记为p，记 M的信息量为 （M）。 的信息量为I（ ）。 的信息量为
定理11.3 若实验仅有有限结果 1,…,Sn，其发生的概率分别为 若实验仅有有限结果S
P1,…,Pn，则当
1 p1 =L= pn = 时，此实验具有最大熵。 此实验具有最大熵。 n
定理9.4 若实验是连续型随机试验，其概率分布 若实验是连续型随机试验，其概率分布P(x)在[a,b] 在
区间以外均为零， 平均分布时具有最大熵。 区间以外均为零，则当 P(x)平均分布时具有最大熵。 平均分布时具有最大熵
定理11.2
满足公理1—公理 的信息量计算公式为 (M)=－Clogap， 公理4的信息量计算公式为 满足公理 公理 的信息量计算公式为I( ) － ， 其中C是任意正常数 对数之底a可取任意为不为 是任意正常数， 可取任意为不为1的正实 其中 是任意正常数，对数之底 可取任意为不为 的正实 数。 由公理1 ( ) 连续。 由公理 I(M)=f(p)，函数 连续。 ，函数f连续 由公理2 发生必有B发生 由公理 若A发生必有 发生，则pA≤pB， 发生必有 发生， 有f(pA)≥f(PB) ，故函数f是单调不增的。 故函数 是单调不增的。 是单调不增的 由公理3 是两个独立事件， 由公理 若A、B是两个独立事件，则A、B同时发生 、 是两个独立事件 、 同时发生 的概率为p 。 的概率为 ApB，有f(PAPB)=f(pA)+f(pB)。 先作变量替换 令p=a-q，即q=－logaP 记 －
于是对一切正有理数 m/n，g(m/n) =(m/n) g + L+ = ng 。 n n n ，可得 n n
由连续性可知：对一切非负实数x，有g(x)=Cx 连续性可知：对一切非负实数 ， 可知 取负实数时， 当x取负实数时，由g(x)+g(－x)=g(0)=0，可得 取负实数时 － ， 对一切实数x， 也成立， 出g(x)=―g(―x)=cx也成立，从而对一切实数 ，g(x)=Cx, 也成立 从而对一切实数 故g(q)=Cq。 。 现作逆变换q=－ 现作逆变换 －logap， ， 得I(M)=f(P)=－ClogaP （11.3） － ） 证毕。 证毕。
证明: 证明:
f ( p ) = f ( e − q ) = g ( q ) ，又 p A p B = e − ( q A + q B ) 有： g (q A + q B ) = g (q A ) + g (q B ) ，g亦为连续函数。 亦为连续函数。 亦为连续函数
g(x+y)=g(x)+g(y)的连续函数有怎样的性质 的连续函数有怎样的性质 首先， 得出g(0)=0或g(0)=∞。 首先，由g(0)=g(0+0)=2g(0)得出 得出 或 。 但由公理4，后式不能成立，故必有g(0)=0。 但由公理 ，后式不能成立，故必有 。 一般地， 记g(1)=C，容易求得 ，容易求得g(2)=2C,g(3)=3C,…,一般地， 一般地 有g(n)=nC。进而 。
数学建模的基本思想
从信息的度量谈起
信息的度量与应用
怎么度量信息 对于系统， 对于系统，可以利用守恒 关系有 A+I=B，得I=B-A。 ， 。
首先分析一下问题的认识过程 1.对一问题毫无了解，对它的认识是不确定的 对一问题毫无了解， 对一问题毫无了解 2. 通过各种途径获得信息，逐渐消除不确定性 通过各种途径获得信息， 3. 对这一问题非常的了解，不确定性很小 对这一问题非常的了解， 可否用消除不确定性的多少来度量信息！ 可否用消除不确定性的多少来度量信息！ 黑箱 信息I 信息 灰箱 信息II 信息 白箱
平均信息量（ 平均信息量（熵）问题
设某一实验可能有N种结果，它们出现的概率分别为 设某一实验可能有 种结果，它们出现的概率分别为p1,…,pN,则 种结果 则 事先告诉你将出现第i种结果的信息 其信息量为－ 种结果的信息， 事先告诉你将出现第 种结果的信息，其信息量为－log2pi，而该 实验的不确定性则可用这组信息的平均信息量（或熵） 实验的不确定性则可用这组信息的平均信息量（或熵）
i =1
N
离散型概率分布的随机试验， 离散型概率分布的随机试验，熵的定义为 ：
H = −∑ pi log2 pi
i =1
N
（11.5） ）
连续型概率分布的随机试验， 连续型概率分布的随机试验，熵的定义为 : 此定理既可化为条件极值问 题证明之， 题证明之，也可以利用凸函 +∞ H ( p) =数性质来证明，请大家自己 − ∫ p( x) log 2 p( ） 数性质来证明， x)dx（11.6） −∞ 去完成 熵具有哪些有趣的性质
1 − log2 ≈ 5.32 比特） （比特） 40
（iii）“某人在第十排第 座”包含的信息量为 ） 某人在第十排第15座
1 − log2 = 10.32 比特） （比特） 1280
至此，我们已经引入了信息度量的定量公式。如前 至此，我们已经引入了信息度量的定量公式。 所述，它是信息对消除问题的不确定性的度量。 所述，它是信息对消除问题的不确定性的度量。这种讲 法似乎有点难以为人们所接受，其实， 法似乎有点难以为人们所接受，其实，这只是人们的习 惯在起作用。这里，我们不妨来作一比较。 惯在起作用。这里，我们不妨来作一比较。在人们搞清 热的奥秘以前，温度也是一个较为抽象的概念， 热的奥秘以前，温度也是一个较为抽象的概念，因它实 质上是物体分子运动平均速度的一种映。人们天生就知 质上是物体分子运动平均速度的一种映。 道冷和热，但如何来度量它却曾经是一个难题。 道冷和热，但如何来度量它却曾经是一个难题。只有在 解决了这一问题以后， 解决了这一问题以后，以定量分析为主的热力学才能得 到飞速的发展。信息问题也是这样， 到飞速的发展。信息问题也是这样，人们对各种信息包 含的实质“内容”究竟有多少往往也有一个直观的感觉， 含的实质“内容”究竟有多少往往也有一个直观的感觉， 但用什么方法来度量它，却比“今天15度 但用什么方法来度量它，却比“今天 度”这样的讲法 更不易理解，因为它是通过较为抽象的概率来计算的。 更不易理解，因为它是通过较为抽象的概率来计算的。
H = −∑ pi log 2 pi 来表示
投掷一枚骼子的结果有六种，即出现1—6点 例15 投掷一枚骼子的结果有六种，即出现1—6点、出现每 种情况的概率均为1/6， 种情况的概率均为 ，故熵 H=log26≈2.585（比特）。 （比特）。 投掷一枚硬币的结果为正、反面两种， 投掷一枚硬币的结果为正、反面两种，出现的概率均 为1/2，故熵 H=log22=1（比特）。 ， （比特）。 向石块上猛摔一只鸡蛋，其结果必然是将鸡蛋摔破， 向石块上猛摔一只鸡蛋，其结果必然是将鸡蛋摔破，出 现的概率为1，故熵H=log21=0 现的概率为 ，故熵 从例子可以看出，熵实质上反映的是问题的“模糊度” 从例子可以看出，熵实质上反映的是问题的“模糊度”，熵为 零时问题是完全清楚的， 零时问题是完全清楚的，熵越大则问题的模糊程度也越大
例13 假如在盛夏季节气象台突然预报“明天无雪”的消 假如在盛夏季节气象台突然预报“明天无雪”
息。在明天是否下雪的问题上，根本不存在不确定性，所 在明天是否下雪的问题上，根本不存在不确定性， 以这条消息包含的信息量为零。 以这条消息包含的信息量为零。
是否存在信息量的度量公式
基于前面的观点，美国贝尔实验室的学者香农（ 基于前面的观点，美国贝尔实验室的学者香农（Shannon） ） 应用概率论知识和逻辑方法 概率论知识和逻辑方法推导出了信息量的计算公式 应用概率论知识和逻辑方法推导出了信息量的计算公式
In his words "I just wondered how things were put together."
Claude Elwood Shannon (April 30, 1916 - February 24, 2001) has been called "the father of information theory".
定理9.5 对于一般连续型随机试验，在方差一定的前提下，正 对于一般连续型随机试验，在方差一定的前提下，
态分布具有最大的熵。 态分布具有最大的熵。
定理9.6 最大熵原理，即受到相互独立且均匀而小的随机因素 最大熵原理，
影响的系统，其状态的概率分布将使系统的熵最大。 影响的系统，其状态的概率分布将使系统的熵最大。 上述结果并非某种巧合。根据概率论里的中心极限定理，若试 上述结果并非某种巧合。根据概率论里的中心极限定理， 验结果受到大量相互独立的随机因素的影响， 验结果受到大量相互独立的随机因素的影响，且每一因素的影 响均不突出时，试验结果服从正态分布。最大熵原理则说明， 响均不突出时，试验结果服从正态分布。最大熵原理则说明， 自然现象总是不均匀逐步趋于均匀的， 自然现象总是不均匀逐步趋于均匀的，在不加任何限止的情况 系统将处于熵最大的均匀状态。 下，系统将处于熵最大的均匀状态。