关于二元一次方程组的应用教学总结
二元一次方程组的应用总结
二元一次方程组的应用总结引言二元一次方程组是初等代数中的一种重要概念。
它由两个未知数和两个方程组成，具有广泛的应用。
本文将总结二元一次方程组的应用，并探讨其在实际问题中的解决方法。
二元一次方程组的应用二元一次方程组在许多领域中得到应用，特别是在经济学、物理学和工程学等科学领域。
以下是一些常见的应用场景。
经济学在经济学中，二元一次方程组常被用于描述市场供求关系。
例如，可以通过一个二元一次方程组来分析市场中的价格和需求的关系，从而预测市场的发展趋势。
物理学物理学中的一些问题也可以通过二元一次方程组进行建模和求解。
例如，可以利用二元一次方程组来描述两个运动物体之间的相对运动关系，从而计算它们的位置和速度。
工程学在工程学中，二元一次方程组被广泛用于解决各种实际问题。
例如，在电路分析中，可以利用二元一次方程组来确定电路中电流和电压的分布情况，从而优化电路设计。
二元一次方程组的解决方法解决二元一次方程组的方法有多种，包括代入法、消元法和矩阵法等。
下面将介绍其中两种常用的方法。
代入法代入法是解决二元一次方程组的一种简单直接的方法。
它的基本思路是将一个方程中的一个未知数用另一个方程中的已知数表示，然后代入到另一个方程中，从而得出一个只包含一个未知数的方程，进而求解未知数的值。
消元法消元法是另一种常用的解决二元一次方程组的方法。
它的基本思路是通过将两个方程相减或相加来消去一个未知数，从而得到一个只包含一个未知数的方程，进而求解未知数的值。
结论二元一次方程组在实际问题中有着广泛的应用。
了解二元一次方程组的应用场景和解决方法，可以帮助我们更好地理解和解决实际问题。
以上是对二元一次方程组的应用的总结，希望对读者有所帮助。
参考文献- 张宇.《高中数学竞赛培训系列·数学学科基础教程》. 清华大学出版社, 2016.- 熊朝海, 张宏法, 张立洪.《解题指南数学》(电阻电路分析部分). 清华大学出版社, 2012.- 王波.《大学物理学》(运动学部分). 高等教育出版社, 2017.- 陈同启.《工程数学-线性代数与场论教程》. 高等教育出版社, 2015.。
总结解二元一次方程组的方法与技巧
总结解二元一次方程组的方法与技巧解二元一次方程组是初中数学课程中的重要内容，它在实际问题中有着广泛的应用。
在学习解二元一次方程组的过程中，我们需要熟练掌握一系列的解题方法和技巧。
本文将总结解二元一次方程组的方法与技巧，并带你深入了解解题过程。
一、方法一：代入法代入法是解二元一次方程组中最常用的方法之一。
其基本思路是将一个方程中的一个变量表示出来，然后带入另一个方程中进行求解。
以下是一个例子：例题：解方程组{ 2x + y = 7{ x - y = 1解法：首先，将第二个方程稍微变形，得到x = y + 1。
然后，将这一表达式代入第一个方程中，得到2(y + 1) + y = 7。
化简后得到3y = 5，进而解得y = 5/3。
将y的值代入x = y + 1中，可求得x = 8/3。
因此，方程组的解为{x = 8/3，y = 5/3}。
二、方法二：消元法消元法是解二元一次方程组的另一种常见方法。
它的核心思想是通过加减乘除操作，将方程组化成较简单的形式，进而求解未知数。
以下是一个例子：例题：解方程组{ 2x - 3y = 8{ 3x + 2y = 17解法：首先，将两个方程的系数对应乘上合适的常数，使得两个方程的x的系数相等或者y的系数相等。
这里我们可以将第一个方程乘以2，将第二个方程乘以3，得到如下方程组：{ 4x - 6y = 16{ 9x + 6y = 51然后，将第二个方程减去第一个方程，得到13x = 35。
进而解得x = 35/13。
将x的值代入第一个方程中，可求得y = -4/13。
因此，方程组的解为{x = 35/13，y = -4/13}。
三、技巧一：消元法的选择在应用消元法解题时，我们可以通过合理的选择消元顺序，简化计算过程。
一般来说，我们应选择将系数较小的方程乘以合适的常数，使其与系数较大的方程的系数相等。
这样可以避免出现过大的计算结果，提高解题效率。
四、技巧二：检验解的合理性在解二元一次方程组后，我们需要检验解的合理性，以验证求得的解是否正确。
二元一次方程组及其应用教学总结
二元一次方程组及其应用教学总结
教学总结：
1. 二元一次方程组的基础概念：二元一次方程组是由两个含有两个未知数的方程组成的。
其一般形式为：
a₁x + b₁y = c₁
a₂x + b₂y = c₂
2. 解二元一次方程组的方法：
a) 消元法：通过变换方程组的形式，使得其中一个未知数的系数相等，然后相减消去该未知数，从而求解另一个未知数。
b) 代入法：将一个方程的一个未知数用另一个方程的未知数表示，然后代入另一个方程中，从而求解未知数。
3. 二元一次方程组的应用：
a) 几何应用：可以用来求解交点的坐标，例如求两条直线的交点。
b) 商业应用：可以用来解决一些涉及价格、成本、利润等的问题，例如求解两种商品的价格。
c) 工程应用：可以用来解决一些涉及速度、时间、距离等的问题，例如求解两个物体相遇的时间。
总而言之，二元一次方程组是数学中的重要概念，其在几何、商业、工程等领域的应用广泛。
教学中，要注重培养学生的解方程能力和应用能力，通过实际例子和问题，引导学生理解并掌握解二元一次方程组的方法和应用。
二元一次方程总结(优选9篇)
二元一次方程总结（优选9篇）【第1篇】二元一次方程组及其应用教学总结在2月21日的xx区教学常规互检协调会上，作为课改核心校的我们，向其他兄弟学校的教务主任和分管教学的副校长提出：教学开放周举行校际间同课异构的设想，这一个设想得到了大家的一致赞同，并在xx中学的课堂开放周中开始实行，在这次活动中，我校两个xx 市校际组成员安排到xx中学进行授课，我是其中之一。
在接到这个任务时，我就先向xx中学的同课异构教师——叶xx老师了解他们的教学进度及学生的学习情况，得知该校学生的整体数学基础比较低。
针对这一种情况，我采取导学案的形式来进行总复习，围绕着二元一次方程组解法及其应用展开，首先，我通过二元一次方程、二元一次方程组、方程组的解、二元一次方程组的解题方法的类型、解应用题的步骤等概念入手，帮助学生回顾旧知识。
然后，通过两道二元一次方程组的解法让学生进行练习，再来，利用方程组的`同解原理，了解二元一次方程组解的意义，最后，我引出20xx年中考的那道数学应用题，让学生及时与中考题目进行对接，提高学生的实际解题能力。
在上完课之后，我与xx中学的数学教研组一起进行教研交流，首先，xx中学的同行们非常赞同我的教学设计及教学思路，觉得这样的教学设计学生很容易掌握，思路很清晰。
但是，在帮助学生回顾旧知识的时间花得太多，导致后面的综合题没办法展开，应该淡化概念的教学，强调学生的实际应用能力，同时，也应该通过二元一次方程组的一题多解的形式让学生选择方程组两种解法来比较出方法的优劣，提高学生对于“代入消元法”和“加减消元法”的选择依据。
听了xx中学同行们的建议之后，我也自己反思了一下，觉得现在作为初三年的总复习，应该重视的是学生的理解能力和综合应用能力的提升，而不是纠结于概念的记忆，作为概念的东西只要让学生了解就可以了，重点应放在应用题的分析以及对于二元一次方程组与一次函数之间的关系上，提高学生的综合水平和应用能力。
【第3篇】2023年二元一次方程组及其应用教学总结范文在2月21日的xx区教学常规互检协调会上，作为课改核心校的我们，向其他兄弟学校的教务主任和分管教学的副校长提出：教学开放周举行校际间同课异构的设想，这一个设想得到了大家的一致赞同，并在xx中学的课堂开放周中开始实行，在这次活动中，我校两个xx 市校际组成员安排到xx中学进行授课，我是其中之一。
初中数学教学课例《认识二元一次方程组》教学设计及总结反思
ห้องสมุดไป่ตู้
在问题与问题的联系中，进行知识的碰撞，同时，问题 与情景化是紧密联系的。所以，情景是学生核心素养培 育的途径和方法。是核心素养实现的基础。
教学过程 一、复习 1、是什么方程是什么一元一次方程一元一次方程 的标准形式是什么它的解如何表达如何检验 x=3 是不 是方程 5x+3(9-x)=33 的解 2、列方程解应用题:香蕉的售价为 5 元千克，苹果 的售价为 3 元千克，小华共买了 9 千克，付款 33 元。 香蕉和苹果各买了多少千克 (先要求学生按以前的常规方法解，即设一个未知 教学过程 数，表示出另一个未知数，再列出方程。) 既然求两种水果各买多少那么能不能设两个未知 数呢学生尝试设两个未知数，设买香蕉 x 千克，买苹果 y 千克，列出下列两个方程: x+y=9 5x+3y=33 这里 x 与 y 必须满足这两个方程，那么又该如何表 达呢数学里大括号表示“不仅……而且……”，因此用 大括号把两个方程联立起来:这又成了什么呢里面的是 不是一元一次方程呢这就是我们今天要学习的内容。板
学的各个层次要做到趣味化、情感化、活动化、自主化、
生活化和开放化，切实改革原有的教学方式，明确学生
是数学学习的主人，教师是数学活动的组织者、引导者
与合作者。教师设计“游乐场”的情境
(2)给出二元一次方程组的定义。(见 P5)式子: 表示一个二元一次方程组，它由方程①、②构成。 当某两个未知数相同的二元一次方程组成一个二元一 次方程组时应加上大括号。 (3)给出二元一次方程组的解的定义及表示法。 三、练习 P6 练习:1，2。 四、小结 1、什么是二元一次方程什么是二元一次方程组 2、什么是二元一次方程组的解如何检验一对数是 不是某个方程组的解
二元一次方程组应用反思
二元一次方程组应用反思
引言
二元一次方程组是初中数学中的一个重要知识点，它在实际生
活中有着广泛的应用。
本文旨在对二元一次方程组的应用进行反思
和总结。
主体
1. 解决实际问题
二元一次方程组可以用来解决很多实际问题，如物体运动问题、生产过程中的相关性问题等。
通过将问题抽象成数学方程组，我们
可以利用方程组的解来求解实际情况中的未知数值，从而解决问题。
2. 推广应用
除了直接解决实际问题外，二元一次方程组还可以应用于其他
数学知识的推广。
通过研究方程组的性质和解的特点，我们可以深
入理解线性方程组和一次函数的关系，进一步拓展到更高级的代数
知识。
3. 算法优化
在求解二元一次方程组时，我们可以利用一些算法进行优化。
例如，通过高斯消元法或克拉默法则，我们可以简化方程组的解法，提高求解效率。
这对于大规模方程组的求解尤为重要。
结论
二元一次方程组是数学中一种重要的工具，它能解决很多实际
生活中的问题。
在应用二元一次方程组时，我们还可以推广其他数
学知识，并通过优化算法提高解的效率。
通过对二元一次方程组应
用的反思，我们可以更好地理解和应用这一概念。
参考文献
- 张三. (2018). 《初中数学教程》. 北京出版社.
注意：以上内容仅供参考，不可复制引用。
初中数学教学课例《实际问题与二元一次方程组》教学设计及总结反思
学信息，并转化成数学语言，对初一学生来说是个难点。
本节课涉及的实际问题都含有两个未知数，包含两个等
量关系，需要列出两个二元一次方程组。数量关系比一
元问题复杂，需要学生更好地分析问题，抓住关键词，
发现等量关系，列出方程组。
本课的实际问题比前面更加接近现实，分析解决的
难度也更大，根据学生的实际情况，我估计学生学习的
系？），师生共同分析讨论，教师适时引导，学生独立
完成；（2）通过对解决问题过程的反思，获得解决问
题的经验。
通过这些策略，加强学生的审题意识和分析问题的
能力，进而找到解决问题的方法。
教学过程
一、创设问题情境，导入新课：
在这节课的开始，我想来考考大家的眼力，同学们 能不能通过观察老师的体貌特征，猜测一下我的年龄？
情感态度与价值观：
1、在用方程组解决实际问题的过程中，体验数学
的实用性，提高学习数学的兴趣；
2、通过“自主探究”与“合作交流”，培养学生
勤于思考，勇于探索的精神和合作精神。
学生学习能
本课是在学生掌握了二元一次方程组解法且初步
力分析 经历了列二元一次方程组解应用题的过程上开展的。受
阅读能力，分析能力的制约，如何从实际背景中提取数
难点可能是：（1）如何将实际问题转化成方程组的知
识来解答；（2）题目中有哪些等量关系。
针对以上学习难点，本课提出了以下解决策略：（1）
提出一系列的问题（如：题目要求解决什么问题？哪些
教学策略选 语句为我们提供了解决问题的线索？线索中有哪些
择与设计 量？哪些是已知量，哪些是未知量？这些量和量之间存
在哪些等量关系？能否用数学式子表示出这些关
史上的一大进步，让古代的许多数学难题得以很快很好 的解答，那么这一方法对于我们现代问题适用吗请大家 自主探究这样一题：
初中数学教学课例《应用二元一次方程组——鸡兔同笼》教学设计及总结反思
什么？ 第六环节：布置作业 A 组： 1.用一根绳子环绕一棵大树。若环绕大树三周，则
绳子还多 4 尺；若环绕大树 4 周，则绳子又少了 3 尺。 这根绳子有多长？环绕大树一周需要多少尺？
2.《九章算术》中记载了一个问题，大意是：有几 个人一起去买一件物品，每人出 8 元，多 3 元；每人出 7 元，少 4 元。问有多少人？该物品价值多少元？
-y=1.② ①-②，得-=4, =4, x=48, 将 x=48 代入①，得 y=11. 答：绳长 48 尺，井深 11 尺. 第三环节：议一议 从上面的两个问题的解决中，你得到了什么感悟， 有什么收获？请与同学们交流。根据上面几例，总结列 二元一次方程组解应用题的步骤： 1）审清题意，设未知数; 2）弄清各个量之间的关系，找出等量关系; 3）列出方程，联立方程，得二元一次方程组; 4）解二元一次方程组; 5）作答. 并指出：列二元一次方程组解决实际问题的关键 是，找出等量关系列方程. 第四环节：练一练 1、古有一捕快，一天晚上他在野外的一个茅屋里， 听到外边来了一群人，在分赃，在吵闹，他隐隐约约地 听到几个声音，下面有这一古诗为证： 隔壁听到人分银，
问题 2、你能根据问题 1 中的的数量关系列出方程 吗？并能解决这个有趣的问题吗？
1.用一元一次方程求解 解：设有鸡 x 只，则有兔（35-x）只,得 答：鸡有 23 只，兔有 12 只. 2.用二元一次方程求解： 解：设有鸡 x 只，兔 y 只，则 x+y=35,① 2x+4y=94.② ①×2,得 2x+2y=70,③ ②－③,得 2y=24, y=12, 把 y=12 代入①，得 x=23.
B 组： 3.《孙子算经》中记载了一道题，大意是：100 匹 马恰好拉了 100 片瓦，已知 1 匹大马能拉 3 片瓦，3 匹 小马能拉 1 片瓦，问有多少匹大马、多少匹小马？
《二元一次方程组的应用》数学教学反思
《二元一次方程组的应用》数学教学反思《二元一次方程组的应用》数学教学反思本节课是在学生学会用方程组表示问题中的条件以及能运用代入法、加减法解二元一次方程组的基础上，探究如何用二元一次方程组解决实际问题。
本节课的教学重点是让学生经历和体验用方程组解决实际问题的过程，抓住实际问题的.等量关系建立方程组模型。
教学难点是在探究过程中分析题意，由相等关系正确地建立方程组，从而把实际问题转化为数学问题。
教学中，为了突破重难点，我主要让学生通过独立思考、自主探索、合作交流、估算验证等学习方式，在思考，交流等数学活动中，养成学生严谨的思维方式和良好的学习习惯，在解决这些实际问题当中，我充分体现了以学生发展为本，让学生积极参与并且有效参与的新课程理念，在这样的理念指导下，我充分让时间留给学生，让讲台留给学生，让发现留给学生，注重学生情感价值观的培养，发扬教学民主，发挥了学生的主动意识，因此在学生解决某校环保小组成员收集废电池问题当中，学生能想出列方程组的方法，这是我意想不到的收获，这是我实施新课程理念中的最大成功，学生能用多种方法解题，扩展了学生的思维，让学生体验解题时有方法，方法多，方法好。
从而树立了学生学习的信心，激发了学生学习的积极性，让学生真正成为课堂的主人。
教学中，我还通过创设情境，使教学内容更加生活化，采用引发指导、多样评价、鼓励肯定等多种教学方法，增强学生的学习兴趣，让学生体验成功，从而培养学生分析问题、解决问题的能力。
同时，我能改变传统教学的方法，跳出文本，活用教材。
如：在探究1使学生明确把实际问题转化为数学问题，也就是用二元一次方程组解决，从而让学生体验方程组的实用性。
同时，在这一过程中，让学生对估算与精确计算进行比较，从而明确估算有时会有误差，要想得到正确数据，需要通过用数学知识精算，让学生体会数学的应用价值，从而鼓励学生更好地学好数学。
总之，从整节课来看，学生的情绪比较饱满，思维比较活跃。
我能较好地完成了教学目标，但还有一些有待探索与需要改进的地方，如：时间把握得不够好，使得“感悟与反思”这一教学环节没有得以实施。
二元一次方程组应用问题归纳
二元一次方程组应用问题归纳知识要点分析一：列二元一次方程组解应用题的步骤：( 审设列解答 )(1) 审：审题，把实际问题抽象成数学问题，分析已知数和未知数，并用字母表示其中的两个未知数；(2) 设：找出能够表示题意的两个相等关系并设出方程；(3) 列：根据这两个相等关系列出必需的代数式，从而列出方程组；(4) 解：解方程组，求出两个未知数的值；(5) 答：写出答案（包括单位名称），注意求出的方程组的解要合理符合实际。
二：常见问题中的数量关系（重点、难点）㈠鸡兔同笼问题等量关系：鸡头+兔头=头数鸡脚+兔脚=足数㈡增收节支问题增（减）后的数量=基数×（1±增加（减少）后的百分数）；百分率问题：百分率=×100％；折扣问题：打折后的价格=原价×打折数；存（贷）款问题：利息=本金×利率×时间，本息和=本金+利息；盈利问题：销售额=售价×数量；总利润=销售额－总成本=每件的利润×数量=（售价－进价）×数量。
㈢里程碑上的数（1）数字问题1、用字母表示两位或两位以上的数．一个两位数，个位数字是a，十位数字是b，那么这个数可表示为10b+a；如果交换个位和十位上的数字，得到一个新的两位数可表示为10a+b．2、数的位置变换后怎样表示多位数．（1）两位数x 放在两位数y 的左边，组成一个四位数，这时，x 的个位数就变成了百位，十位数就变成了千位，而两位数y 在四位数中数位没有变化．因此用x 、y 表示这个四位数为100x+y ．同理，如果将x 放在y 的右边，得到一个新的四位数为100y+x ．（2）一个两位数，个位上的数是m ，十位上的数是n ，如果在它们之间添上零，十位上的n 便成了百位上的数．因此这个三位数是由n 个100，0个10，m 个1组成的，用代数式表示这个三位数即为100n+m ．3、年龄问题：遇年龄问题时，注意两人年龄同时增长相同岁数．（2）行程问题行驶路程 = 行驶速度•行驶时间①相遇问题：甲乙相向而行，则甲走的路程+乙走的路程 = 总路程；②追及问题：甲乙同向不同地而行，则追者走的路程 = 被追者走的路程 + 两人最初相距的距离；小结：设总路程为S ，甲路程为甲S ，乙路程为乙S ，则相遇问题中的等量关系：甲S +乙S =S. 若甲、乙两人相距S ，甲速度快，在后面追乙，追及问题中的等量关系：甲S =乙S +S.③环形跑道问题：同时同地同向而行，首次相遇，路程差等于一圈；同时同地相背而行，首次相遇，路程和等于一圈；④飞行问题：顺风速度 = 无风速度 + 风速； 逆风速度 = 无风速度 — 风速；⑤航行问题：顺水速度 = 静水速度+水速；逆水速度 = 静水速度—水速；顺水速度—逆水速度 = 2水速.【典型例题】考点一：二元一次方程组与鸡兔同笼问题例 1. 鸡鸭共一栏，鸡为鸭之半.八鸭展翅飞，六鸡在下蛋，再点鸡鸭数，鸭为鸡倍三，请你算一算，鸡鸭各多少 如果设有鸡x 只，鸭有y 只，则由诗意可列二元一次方程组：_________________.例2.（2014辽宁）八年级学生开会，若每条长凳坐5人，则少10条长凳，若每条长凳坐6人，则多两条长凳，问学生多少长凳多少例3.（2013吉林）吉林人参是保健佳品，某特产商店销售甲、乙两种保鲜人参，甲种人参每棵100元，乙种人参每棵70元.王叔叔用1200元在此特产商店购买这两种人参共15棵，求王叔叔购买每种人参的棵树.考点二：二元一次方程组与增收节支问题例1.（2013•乌鲁木齐）在水果店里，小李买了5kg苹果，3kg梨，老板少要2元，收了50元；老王买了11kg苹果，5kg梨，老板按九折收钱，收了90元，该店的苹果和梨的单价各是多少元例2.（2014•泰州）今年“五一”小长假期间，某市外来与外出旅游的总人数为226万人，分别比去年同期增长30%和20%，去年同期外来旅游比外出旅游的人数多20万人．求该市今年外来和外出旅游的人数．例3.某城市规定：出租车起步价允许行驶的最远路程为3千米，超过3千米的部分按每千米另行收费，甲说：我乘这种出租车走了11千米，付了17元；乙说：我乘这种出租车走了23千米，付了35元.请你算一算这种出租车的起步价是多少元以及超过3千米后，每千米的车费是多少元考点三：用二元一次方程组解决数字问题—里程碑上的数例1.有一个三位数，现将最左边的数字移到最右边，则得到的数比原来的数小45；又已知百位数字的9倍比由十位数字和个位数字组成的两位数小3，试求原来的三位数.例年前父亲的年龄是儿子年龄的4倍，从现在起8年后父亲的年龄成为儿子年龄的2倍，求父亲和儿子现在的年龄．例3.(2014山西)甲、乙两个两位数，若把甲数放在乙数的左边，组成的四位数是乙数的201倍；若把乙数放在甲数的左边，组成的四位数比上面的四位数小1188，求这两个数（列出方程组即可）例4.（2014陕西）有一个两位数和一个一位数，如果在这个一位数后面多写一个0，则它与这个两位数的和是146，如果用这个两位数除以这个一位数，则商6余2，求这个两位数和一位数.考点四：二元一次方程组与行程问题—里程碑上的数例1.(2011恩施州)小明的爸爸骑着摩托车带着小明在公路上匀速行驶，小明每隔一段时间看到的里程碑上的数如下：时刻12:0013:0014:30碑上的数是一个两位数，数字之和为6十位与个位数字与12:00时所看到的正好颠倒了比12:00时看到的两位数中间多了个0则12:00时看到的两位数是：A、24B、 42C、51D、15例2. (2013四川) 甲、乙二人在一环形场地上从A 点同时同向匀速跑步，甲的速度是乙的倍，4分钟两人首次相遇，此时乙还需要跑300米才跑完第一圈，求甲、乙二人的速度及环形场地的周长．（列方程组求解）例3.某体育场的一条环形跑道长400米，甲、乙两人从跑道上同一地点出发，分别以不同的速度练习长跑和自行车，如果背向而行，每隔21分钟他们相遇一次，如果同向而行，每隔321分钟甲追上乙一次，问甲、乙每分钟各行多少米。
代入消元法解二元一次方程组教学心得及反思
《代入消元法解二元一次方程组》教学心得及反思通过这节课的教学，使我深刻认识到学生的理性思维的发展还很有限，抽象思维能力比较薄弱。
为了达到教学目标，实现我的设计效果，我采用学校研发的五环节教学模式，应用多媒体课件辅助教学。
在这节课的教学过程中，对学生的学习积极性调动不太好，整个课堂气氛较和谐。
由于课前已经做好了充分准备，所以整节课教学过程流畅，讲解例题时由简到繁，由易到难，逐步加深。
解二元一次方程组的基本思想是消元，学生能较好地用含未知数的代数式表示另一个未知数，较好地体悟用代入法解方程组的步骤和方法。
通过这节课的教学，主要有以下几点反思：1、课堂上，应尽可能多地给学生创造合作交流的机会。
由于本节课的内容是纯计算问题，学习解方程组的方法，似乎没什么可让学生交流的机会，但是做为教师应尽可能地给学生创造交流机会，例如：让学生上黑板板演。
由此让我感受到：学生在学习的过程中，需要不断地启发，但启发的人不一定一直都是老师，而且学生的思路往往比老师们的更好！因此，在教学过程中一定要有意识地多为学生创造这种合作交流的学习机会。
2、课堂教学中每一个学生的学习速度与接受能力是不同的，尤其在问题情景教学中，学生必然有一个摸索的过程，在这个过程中有难免遇到许多困难，或多或少会走一些弯路，在这个时候，教师的态度非常重要，教师若以亲切和蔼的话语鼓励赞许的目光面对学生，就能创设一个平等和谐的学习氛围，从而给予学生无穷的探究热情，激活整个探究过程，否则就会扼杀学生的探究意愿。
因此，今后在课堂还要善于关注学生的个体差异，尊重不同学生在知识，能力，兴趣等方面的需要有针对性的设计不同层次、不同类型的问题，使学生都有机会参与到教学活动和实验活动中去，让他们自己有主人翁的感觉，切实与同学真诚合作，体验完成一项活动任务的成功喜悦。
让他们都能在学习过程中有所收获。
总之，以后还是要加强自身业务能力，力求做到更好。
基于经历教学的“二元一次方程组的应用”教学及其分析
• 34 •理科考试研究•数学版2020年6月10日解决数学问题的关键，所以渗透数学思想，训练学生 思维是数学课堂教学的重点.数学思想蕴含在数学知 识和习题之中.教师在平常的教学中，要向学生介绍 一些常见的数学思想，并通过多种方式和渠道有意无 意地不断渗透和强化，从而提高学生的数学思维和能 力,发展学生的数学素养.与此同时，教师还要化解学 生面对难题的恐惧心理，树立信心，培养学生勤奋学 习、善于思考、不畏艰难和勇于挑战困难的品质.有人说，影响人生的三大要素是知识、能力和素 养，影响最多的是能力和素养•因此，教师要以培养学生的能力和素养为出发点和落脚点，为学生的终身成长着想.参考文献：[1] 中华人民共和国教育部.义务教育数学课程标准(2011年版）[M].北京:北京师范大学出版社,2012.[2] 罗强华.巧审长文字题的“锦囊三计”[J].中小学数学(初中版），2016( 11 ):42 -43.[3] 褚杰新.网格“跳”出新意精彩源于简约[J].中学数学教学参考，2017(26) :39 -41.(收稿日期：2020 - 03 -15)1于经屬教学的“二元一次方程组的及用”教学及其分祈金明阳(绍兴市袍江中学浙江绍兴312000)摘要:课堂教学过程是学生主动经历的教学活动.学生一步步经历教材预习、知识探索、问题解决、结论概括、体 系构建.体现课堂是培养学生核心素养的活动.学生的经历不仅在认知上提升知识构建，而且在过程与方法上提升处理问题的能力，甚至在情感与价值观上建立实践与坚持的品质.关键词：经历教学；教学分析；学生经历1背景介绍在课堂改革的教学实践中，经历教学是学生能亲 历亲为、亲自感受一些现象、事情、活动、情感等一种 教育理念及其教育行为方式.在课堂中教师通过丰富 的情境设置，多样的教学活动，不同的教学手段引导 学生主动参与课堂，经历知识的发生、发展、延伸、拓 展的过程，并在此过程中不仅获得知识的掌握与运 用，而且还可培养学生的数学素养.本文以浙教版《数学（七下）》“2.4二元一次方程 的应用”第一课时为载体，以课堂教学中存在学生对题 目束手无策，课后做题不知所措等一系列问题为思考，从而反思到教学中学生的“经历”知识的认知不到位，对运用知识的能力不够.鉴于此,笔者在反复深究学生 思维层次与教学目标中，基于经历教学的方式,对这堂 课再次设计与改进.以下是简录部分教学过程.2教学实录2.1 新知探究中经历知识的产生问题I一水坝的横截面是梯形，它的面积为 42m2,高为6m,下底比上底的2倍少l m，则上底和下 底的长各是多少米？生1:设上底为*米，则下底为(2x-1)米.根据题意，可知3* + 3 (2* - 1) = 42.解得；c=5,下底=2x-l =9米.答:上底为5米,下底为9米.师:这是很好的方法，谁来给大家解？生2:如果设上底为x米，从“下底比上底的2倍 少l m”找到突破口，下底为（2% - 1)m,然后根据面积 列出方程.师:好，我们继续思考这有几个未知量？有没有 其他方法？生3:两个，所以可以设两个未知数.设上底为；c 米,下底为7米.一^ [3% + 3y =42.= 5 ,根据题意，可知,,解得 n[y=2x- l.[y= y.答:上底为5米，下底为9米.师:我们来比较一下这两种方程•生4:第一种思维方式很容易想到.生5:第二种好，思维比较简洁，列方程组不用考虑哪个未知量设兀.生6:通过计算说明，二元一次方程组的解决是作者简介：金明阳（1987 -),男，浙江绍兴人，本科，中学一级教师，研究方向：中学数学课程教育教学研究.2020年6月10日理科考试研究•数学版• 35 •“走向”一元一次方程来解决，各有各的优势.师:总结，另外提出思考:设下底为*米，又该怎 么做？设计意图（1)让学生经历“用”—学生随着题目的思维而调动，看到“下底比上底的2倍少l m ”， 学生直接是一元一次方程的方式解决，这需要肯定. 数学的教学就是复杂问题简单化.本节教学点是用二 元一次方程组的应用经历来解决问题，产生了学生思 维与教学设计的“矛盾”，这时需要去引导，便设置：问 题中有几个未知量？也可以设几个未知数？从而恰 到好处地引出新知主题.(2) 让学生经历“解”—二元一次方程组的解 决是转化到一元一次方程，转化中包含着两种方式， 即代入消元与加减消元.注重过程的经历是让学生明 白本质，从而更好运用.(3) 让学生经历“思”—教师设置的问题的导 向基于学生经历与教学目标相结合，对“ 一题一总结” 的方式，有利于学生在经历中加深感受，在总结中回 味无穷.(4)让学生经历“再思考”—教师总结与提出另一种思路，让学生体会多种方法解决这类问题，拓展学生思维.2. 2 新知历练中经历知识的发展问题2游泳池中有一群小朋友，男孩戴蓝色游泳帽，女孩戴红色游泳帽.如果每位男孩看到蓝色与 红色的游泳帽一样多，而每位女孩看到蓝色的游泳帽 比红色的多1倍，问男孩与女孩各有多少人？部分学生一看问题已开始做题，另外部分学生仍 在积极思考，前者经历了方程组列出与解答，初步已 有了处理问题的经历，这时让学生总结这“经历”的过 程，得出解决问题的步骤.对于还无法解答的学生，教 师及时干预学生思维，产生“经历”过程，从而解答问 题.设置下列问题.思考：（1)问题中所求的未知数有几个？(2) 有哪些等量关系？(3) 怎样设未知数？可以列出几个方程？(4)可否仅设一个未知数？用一元一次方程来解决？效果怎样？(5) 想一想，上面整个思考过程中,你经历了哪些 问题解决的基本步骤？师:谁来回到问题（1)?生7:有2个，男孩人数、女孩人数.师:好，精准“定位”了，那么，问题(2)呢?生8:①男孩人数-1 =女孩人数；②男孩人数=2(女孩人数-1).师:这是最关键一步，在问题中提炼等量关系.那问题(3)呢？生9:可设男孩；c 人，女孩y 人，则由题意得师:那冋题(4)呢？生10:可设男生有X 人，则女生的人数有b - 1) 人，则由题意得3=2U -1),解出X 的值即可.生10:在列出方程组时有点不确定，在算出答案后与刚才的方法算出的答案一样，才肯定.师:这的确是解决问题的最好“经历”，有时候寻找解问题的路很多不确定，甚至迷茫中潜行，但在“未知” 中寻找正确之路，这种“坚持”值得学习，此类问题，反 而觉得“二元一次方程组解决问题”比“一元一次方程解决问题”简单多.能否归纳出解决问题的步骤？生12:列方程组解应用题的一般步骤：审—设— 找—列一> 解—答.师:非常好，总结的板书如下：厂2.列方程组的基本思想方法丨表示的是同^置；2. 同类*的单位要统一；3. 方程两边的数值要相等.图1设计意图（1)让学生经历“模仿”—当问题所求的未知数有两个时，用字母来表示未知数往往比 较容易列出方程.要注意的是必须寻找两个等量关 系，列出两个不同的方程，组成二元一次方程组.(2)让学生经历“充实”—学生对问题（4) (5)的讨论最激烈.学生的思维从单一的方法解决问题转 向多维度、多方法解决问题.2. 3 题型演练中经历知识的拓展问题3用如图2中的长方形和正方形纸板作侧面和底面，做成如图3的竖式和横式两种无盖纸盒.现在仓库里有1000张正方形纸板和2000张长方形|i .列方程组解a 用■的-般步骤1I 设丨 r ^n图2图3• 36 •理科考试研究•数学版2020年6月10日纸板，问两种纸盒各做多少个，恰好将库存的纸板用完？师:做一个竖式纸盒需要几张长方形纸板和正方形纸板？做一个横式纸盒呢？请填写下表.表1X只竖式纸盒中y只竖式盒中合计正方形纸板的张数X2y1000长方形纸板的张数4x3y2000生一起:设做竖式纸盒x个，横式纸盒y个.根据题意得+ 2y = 1000,解得<：200,经检验，这个解[4尤+ 3y = 2000，[y=400.满足方程组，且符合题意.答：做竖式纸盒200个，横式纸盒400个,恰好纸 板用完.变式1如果上题中的条件改为仓库里有正方形 纸板500张，长方形纸板1001张，那么能否在做成若 干支所说的两种纸盒后，恰好把库存的纸板用完？说 明你的理由.变式2对于变式1的纸板张数，不能完全恰好 用完,那么在节约的前提下，如何组合可以做出更多 的盒子？说说你的理由.变式3将问题3中的条件改为：正方形纸板有 «张，长方形纸板有6张，若恰好把这些纸板用完，请 问应满足怎样的关系？变式4将问题3中的条件改为:库存长方形纸 板2000张，正方形纸板若干张，那么，要做成竖式纸 盒和横式纸盒共600支，且恰好把库存纸板用完，需 要正方形纸板多少张？变式5将问题3中的条件“无盖”改为“有盖其他条件不变，此题是否有解？如果无解，怎么处理？说说你的想法.设计意图（1)这环节的问题3的设置让学生经 历知识的延伸与拓展，问题的演变本质是不变的，问题3采用列表的方式，让学生的“经历”更加充实与明 了，这样往往比较容易列出方程.要注意的是必须寻 找两个等量关系，列出两个不同的方程，组成二元一 次方程组.(2)以“问题串”的形式开展合作交流解决问题，让学生经历更加充实、具体，把课堂真正地还给学生，在“经历”中，提升学生的思维能力和合作交流能力.3教学分析3. 1教学过程分析本节课的教学重点是让学生经历和体验用方程组解决实际问题的过程，抓住实际问题的等量关系建 立方程组模型•教学难点是在探究过程中分析题意，由相等关系正确地建立方程组，从而把实际问题转化 为数学问题.教学中，为了突破重难点，主要让学生经 历独立思考、自主探索、合作交流、估算验证等学习方 式，在思考、交流等数学活动中，养成严谨的思维方式 和良好的学习习惯，在解决这些实际问题中，体现了 以学生发展为本，让学生积极参与并且有效参与.3.2 教学后续思考3.2.1 “例题经历”分析学生解一系列的“变式”题“经历”体验，即学即 用，能想出列方程组的方法，甚至学生之间相互出题，这是实施方案中的最大成功.“经历”体会方法多，方 法好，扩展了学生的思维,从而树立学习的信心，激发 学习的积极性，让学生真正成为课堂的主人.数学是一门精确的学问，也是一门发散的学问，如在“变式”的最后一问中，对这些孩子具有跳跃性与 开放性，促使学生深度思考.教师应该更多地引导与 积极鼓励学生发散思维，抛开固有模式，充分体现学 生个性化能力•3.2.2 “变式题经历”思考对于变式的拓展也可从方程组出发，让学生编写 应用题，反角度去思考与拓展，让知识经历从“形”到‘体’，又经历从“体”到“形这样设计是不是更完美一些，学生编题不是一件轻而易举的事情，编写的有 层次、有深度、有思考，更加可以体现学生的思维深度 与广度，精心构思更是一种高级的思维能力.学习即经历，学生面对数学问题，学会用简单的 方式解决就是最好的学习效果.数学课标中要求发展 人人学有价值的数学，学生“经历”活动即是一种“价 值”的教学.这样的经历教学，让学生真正实现自我价 值，真正地培养学生解决问题的能力，不仅是知识上 的螺旋式提升，而且更是思维提升与能力上的价值 体现参考文献：[1]中华人民共和国教育部.全日制义务教育数学课程标 准（实验稿〉[M].北京:北京师范大学出版社,2001.[2]林霖.基于过程教育的“代数式的值”的教学及其分 析[J].中小学数学（初中版），2018(06) :59 -62.[3 ]丁义国.“经历教学”：教给学生“带得走”的知识[J].教育研究与评论（中学教育教学）；2017( 12) :44 -47.[4]蔡正华.聚焦数学素养：让学生拥有带得走的能力[J].数学教学通讯,2017(35) :22 -23.(收稿日期：2020 - 02 - 04)。
二元一次方程组及其应用教学总结
二元一次方程组及其应用教学一、引言二元一次方程组是初中数学学习的重要内容，也是应用数学的基础，本文主要二元一次方程组及其应用的教学情况，包括教学目标、教学内容、教学方法以及教学效果等方面的和评价。
二、教学目标本章所涉及的二元一次方程组的教学目标主要包括：1.熟练掌握解二元一次方程组的方法和步骤；2.熟悉二元一次方程组的应用及解题方法；3.理解解二元一次方程组的几何意义。
达到以上目标后，学生应能通过运用数学知识解决实际问题，同时能够理解方程与几何图形之间的关系。
三、教学内容1. 解二元一次方程组教学内容主要包括：•二元一次方程组的定义：ax+by=c和dx+ey=f。
•解二元一次方程组的方法：等式相消法、代入法和消元法等。
•解二元一次方程组应用题的解法。
2. 二元一次方程组的应用教学内容主要包括：•二元一次方程组的解析几何应用；•二元一次方程组的实际应用，如买卖、旅行等问题。
四、教学方法1. 教学方法•创设情境，通过实际问题引入知识点；•通过小组合作、小组展示等方式鼓励学生合作学习；•通过提问、讲解等方式，引导学生梳理思路，掌握解题方法；•引导学生自主学习解题思路和方法，提高自我解决问题的能力；•通过应用问题让学生发掘方程的实际意义和几何意义。
2. 教学评价•以学生为中心，引导学生参与课堂活动，让学生主动地学习；•通过讲解、示范、梳理思路等方式，引导学生掌握基本知识；•通过小组讨论、展示等方式，让学生互相学习、讨论和交流。
五、教学效果通过本章的教学，学生已经掌握了解二元一次方程组的方法和步骤，熟悉了二元一次方程组的应用及解题方法，并能够理解解二元一次方程组的几何意义。
教学效果主要表现在以下方面：•学生对二元一次方程组有了更深入的理解，能够准确地应用二元一次方程组解决实际问题；•学生能够分享自己的解题思路和方法，增强了彼此之间的学习和交流；•学生学习兴趣提高，学习成果得到提高。
六、本文了二元一次方程组及其应用的教学情况，包括教学目标、教学内容、教学方法、教学评价以及教学效果等方面的和评价。
二元一次方程组及其应用教学总结.doc
二元一次方程组及其应用教学总结在2月21日旳xx区教学常规互检协调会上，作为课改核心校旳我们，向其他兄弟学校旳教务主任和分管教学旳副校长提出：教学开放周进行校际间同课异构旳设想，这一个设想得到了大伙旳一致赞同，并在xx中学旳课堂开放周中开始实行，在这次活动中，我校两个xx 市校际组成员安排到xx中学进行授课，我是其中之一。
在接到那个任务时，我就先向xx中学旳同课异构教师——叶xx老师了解他们旳教学进度及学生旳学习情况，得知该校学生旳整体数学基础比较低。
针对这一种情况，我采取导学案旳形式来进行总复习，围绕着二元一次方程组解法及其应用展开，首先，我通过二元一次方程、二元一次方程组、方程组旳解、二元一次方程组旳解题方法旳类型、解应用题旳步骤等概念入手，关心学生回忆旧知识。
然后，通过两道二元一次方程组旳解法让学生进行练习，再来，利用方程组旳同解原理，了解二元一次方程组解旳意义，最后，我引出XX年中考旳那道数学应用题，让学生及时与中考题目进行对接，提高学生旳实际解题能力。
在上完课之后，我与xx中学旳数学教研组一起进行教研交流，首先，xx中学旳同行们专门赞同我旳教学设计及教学思路，觉得如此旳教学设计学生专门容易掌握，思路专门清晰。
然而，在关心学生回忆旧知识旳时刻花得太多，导致后面旳综合题没方法展开，应该淡化概念旳教学，强调学生旳实际应用能力，同时，也应该通过二元一次方程组旳一题多解旳形式让学生选择方程组两种解法来比较出方法旳优劣，提高学生关于“代入消元法”和“加减消元法”旳选择依据。
听了xx中学同行们旳建议之后，我也自己反思了一下，觉得现在作为初三年旳总复习，应该重视旳是学生旳理解能力和综合应用能力旳提升，而不是纠结于概念旳经历，作为概念旳东西只要让学生了解就能够了，重点应放在应用题旳分析以及关于二元一次方程组与一次函数之间旳关系上，提高学生旳综合水平和应用能力。
二元一次方程组及其应用教学总结
二元一次方程组及其应用教学总结
二元一次方程组是初中数学中的重要内容，其教学总结如下：
1. 知识点梳理：教学前需要对二元一次方程组的定义、解的概念、解的存在唯一性以及解的判定条件等进行梳理。
这样有助于学生对知识点进行整体理解，为后续教学打下基础。
2. 解题方法：二元一次方程组的解题方法主要包括代入法、消元法和等量代换法。
教师在讲解时先给出一些基本的解题思路，在解题过程中逐步引导学生运用所学的解题方法进行解答。
3. 实际问题应用：二元一次方程组的实际问题应用是教学中的重点。
通过给学生提供一些生活中的实际问题，让学生将问题转化成二元一次方程组，使用所学的解题方法解答问题。
这样能够增强学生对知识的运用能力，提高解题的实际性。
4. 强化练习：教学过程中要适时开展相关的强化练习，帮助学生巩固所学的知识。
可以设计一些综合性的题目，要求学生运用多种解题方法进行解答，从而提高学生的综合运用能力。
5. 思维拓展：在教学的最后一部分可以给学生展示一些拓展性的问题，引导学生思考和探索。
这样不仅可以激发学生的数学思维，还能够培养学生的创新精神。
总的来说，二元一次方程组及其应用的教学需要充分理解基本概念，熟练掌握解题方法，注重实际问题应用，进行强化练习，拓展思维，提高学生的数学运用能力和创新精神。
二元一次方程组总结
一、二元一次方程定义：方程中含有两个未知数，并且含未知数项的次数都是1的等式一般形式：()00,0ax by c a b ++==≠，任何一个二元一次方程经过处理都可以化成一般形式。
满足3个条件：1、“二元”含有两个未知数.2、“一次”未知数项的最高次数都是1.3、“方程”是整式方程.注意：（1）未知数的指数都是1，即不含两个未知数乘积的形式的单个未知数的指数，10xy +=，其中xy 的指数为2，所以它不是二元一次次方程（2）方程中出现分数形式时，分母中不能含有未知数，如10y x +=，1x是分式，所以10y x+=是分式方程，二不是整式方程 1. 下列方程中，哪些是二元一次方程，哪些不是，请说明理由？23x y z += 290x y -=173y x += 284x +=- 0xy = 32x y π+=-2. 已知()32340x y a xy +--=，当a 为何值时，它是二元一次方程3. 若2380m n x y -+-=是关于,x y 的二元一次方程，求m n +4. 若()2131mx m y m ++=-是关于,x y 的二元一次方程，则m 为何值？二元一次方程的解含义：使二元一次方程两边的值相等的两个未知数的值，叫做二元一次方程的解 1. 方程27x y +=的正整数解有_________ 2. 二元一次方程321x y -=的解是（ ）A. 任何一个有理数对B. 无数多个数对，但不是任意一个有理数对C. 仅有一个有理数对D.有限个有数对3. 如果121x y ⎧=⎪⎨⎪=-⎩是方程35ax y -=的解，也是方程21x by +=的解，试求a b -的值二、二元一次方程组方程组含有两个未知数，并且含有每个未知数的项的次数都是1，像这样的方程组叫做二元一次方程组特点：1、方程组中每一个方程都是一次方程2、方程组中含有两个未知数，而不是每一个方程都必须含有两个未知数3、整个方程组中含有两个且只含有两个未知数如2116\\245123612x y x x y x y y x x y +=⎧=+=⎧⎧⎪+=⎨⎨⎨=+=⎩⎩⎪+=⎩是方程组，但62x y y z +=⎧⎨+=⎩就不是二元一次方程组4、方程组中相同的未知数在各个方程中所表示的意义是相同的我们把二元一次方程组中两个方程的公共解，叫做二元一次方程组的解.即方程组中的解满足方程组中的任何一个方程。
二元一次方程组小结教案新人教版
“ ⎧课题：第八章 二元一次方程组小结课程目标一、知识与技能目标1.通过举例使学生准确理解二元一次方程、二元一次方程组解的概念，并熟练地运用代 入消元法、加减消元法解二元一次方程组。
2.举出生活中用二元一次方程组解决问题的实例，抓住列二元一次方程组解决实际问题 中的关键，找到相等关系，熟练地建模。
3.通过列方程组解决实际问题，提高分析和综合的能力。
二、过程与方法目标1.通过复习巩固解二元一次方程组的方法，进一步体会解二元一次方程组的基本思想─ ─消元，体会化归思想。
2.通过列方程组解决实际问题，培养学生分析问题、解决问题的能力，传授数学思想、 数学方法。
三、情感态度与价值观目标1.通过实际问题，对学生进行思想教育，提高学习数学的积极性、培养学生合作交流的 意识。
2.在交流和反思的过程中建立知识体系，体验学习数学的成就感。
教材解读本节课主要是举例说明怎样用代入法和加减法解二元一次方程组，并用二元一次方程组 解决一些具体的实际问题。
学情分析本章内容是初中数学中对于培养价值观要求极为理想的教学内容──既有知识、技能， 又可培养学生分析问题、解决问题的能力，还有几种重要的数学思想──化归思想、方程思 想等，难点在于列方程组解决实际生活中的问题，应多鼓励学生独立思考。
一、创设情境，导入新课我们与现实生活中一些实际问题打交道这么久，用二元一次方程组解决了许多问题，今 天我们对这段时间所接触的内容一起来回顾一下。
二、师生互动，课堂探究 (一)提出问题,引发讨论1.举例说明怎样用代入法和加减法解二元一次方程组,• 代入”与“加减”的目标是什 么？2.用二元一次方程组解决一个实际问题，你能说说用方程组解决实际问题的基本思路 吗？(二)导入知识，解释疑难1.举列说明怎样用代入法和加减法解二元一次方程组:例 1:解方程组 ⎨2 x + 3 y = 16 ⎩ x + 4 y = 12① ②⎧⎧⎩(80%y-x)⨯5=200化简方程组,得⎨⎧0.7y-x=10⎧⎧分析:对于方程组中的②中,有一个未知数的系数为1,因此可以把②变形为x=•13-4y,用代入法消去方程①中的未知数x,从而求出y的值.解:由②,得x=13-4y③把③代入①,得2(13-4y)+3y=16-5y=-10y=2把y=2代入③,得x=5所以原方程组的解是⎨x=5⎩y=2例2:解方程组⎨2x+3y=12⎩3x+4y=17①②分析:未知数的系数没有绝对值为1的,也没有哪一个未知数的系数相同或相反,我们观察可以发现,x的系数绝对值较小,因此,我们找到2和3的最小公倍数6,•然后把①×3,②×2,便可将①②的x的系数化为相同,这样通过相减就可以把未知数x•消去.解:①×3,得6x+9y=36③②×2,得6x+8y=34④③-④,得y=2将y=2代入①,得x=3所以原方程组的解是⎨x=3⎩y=2用代入法和加减法解二元一次方程组时,•“代入”与“加减”的目的就是“消元”，化“二元”为“一元”。
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关于二元一次方程组的应用教学总结
一、对应用题的观察和分析
利用二元一次方程组解有关的应用题时，对应用题进行观察和分析，要着重注意如下三点：
（1）题中有哪几个未知数(包括明显的未知数和隐含的未知数)？
（2）题中的未知数与已知内容之间有哪几个相等关系(包括明显的相等关系和隐含的相等关系)？——题中有几个未知数，一般就要找出几个相等关系.
（3）设立哪几个未知数，利用哪几个相等关系，可以较方便地把其余未知数用所设未知数的代数式表示出来？(利用剩下的等量关系列方程组.)
二、常见几类应用题及其基本数量关系
明确各类应用题中的基本数量关系，是正确列出方程的关键.常遇到的几类应用题及其基本关系如下：
1.行程问题：基本关系式为:速度×时间=距离
2.工程问题：基本关系式为:工作效率×工作时间=工作总量
计划数量×超额百分数=超额数量
计划数量×实际完成百分数=实际数量
3.百分比浓度问题：基本关系式为:溶液×百分比浓度=溶质
4.混合物问题：基本关系式为:各种混合物重量之和=混合后的总重量
混合前纯物重量=混合后纯物重量
混合物重量×含纯物的百分数=纯物的重量
5.航行问题：基本关系式为:静水速度+水速=顺水速度
静水速度-水速=逆水速度
6.数字问题要注意各数位上的数字与数位的关系.
7.倍比问题，要注意一些基本关系术语，如：倍、分、大、小等.
三、例题精析
如何分析应用题：
例1：某单位外出参观.若每辆汽车坐45人，那么15人没有座位；若每辆汽车坐60人，则恰好空出一辆汽车，问共需几辆汽车，该单位有多少人？
思考如下：
（1）题目中的已知条件是什么？
（2）“有人没有座位”是指什么意思？“有空座位”是指什么意思？3.基于上述分析，那么已知条件“每辆车坐45人，15人没有座位”可理解成什么？“每辆车坐60人，恰好空出一辆车”又可理解成什么？
例2：汽车从甲地到乙地，若每小时行驶45千米，就要延误小时到达；若每小时行驶50千米，就可以提前小时到达.求甲、乙两地间的距离及原计划行驶的时间.
思考问题：
（1）路程、速度、时间三者关系是什么？
（2）本题中的“延误”和“提前”都是以什么为标准的？
（3）基于上述分析，那么已知条件“汽车每小时行使45千米，则要延误小时到达目的地”可理解成什么？已知条件“若每小时行使50千米，就可以提前小时到达目的地”又可理解成什么？
例3：甲、乙两人从相距36千米的两地同时相向出发，经过4小时30分钟相遇，如果乙先走2小时，然后甲再出发，这样甲经过3小时40分钟与乙相遇，求甲、乙两人的速度.
分析：此题是行程问题中的相遇问题.题中有两个未知量：甲、乙两人的速度.
有两个等量关系：
（1）甲、乙二人4 小时所走的路程=36千米；
（2）甲3 小时所走的路程+乙(2+3 )小时走的路程=36千米.
解：设甲、乙二人的速度分别为x千米/时，y千米/时.
例4：甲、乙两人在周长是400米的环形跑道上散步.若两人从同地同时背道而行，则经过2分钟就相遇.若两人从同地同时同向而行，则经过20分钟后两人相遇.已知甲的速度较快，求二人散步时的速度.(只列方程，不求出)
分析：这个问题是环形线上的相遇、追及问题.其中有两个未知数：甲、乙二人各自的速度.有两个相等关系，即
（1）背向而行：两次相遇间甲、乙的行程之和=400米；
（2）同向而行：两次相遇间甲、乙的行程之差=400米.
解：设甲人速度为每分钟x米，乙人速度为每分钟行走y米.
例5：某纸品厂加工甲、乙二种无盖的长方体小盒如图（1），利用边角料裁出正方形和长方形两种硬纸片，长方形的宽与正方形的边长相等，如图（2）.现将150张正方形硬纸片和300张长方形硬纸片全部用于制作这两种小盒，可以做成甲、乙两种小盒各多少个？
解:法（一）
设可以制作甲种小盒x个，乙种小盒y个
根据题意列出方程组
解：法（二）
设制作甲种小盒用去x张正方形硬纸片，制作乙种小盒用去y张正方形硬纸片，那么可制作甲种小盒x个，乙种小盒y
四、如何设未知数
列方程解应用题的第一步是设未知数，设未知数的方法很多，有时可直接设所求量为未知数，有时应间接地设未知数，还有的时候需要增设辅助未知数.那么，如何巧设未知数，以达到迅速解题的目的呢？
1、直接设所求量为未知数
例1：A，B两地相距20千米.甲、乙两人分别从A，B两地同时相向而行，两小时后在途中相遇，然后甲返回A地，乙仍继续前进，当甲回到A地时，乙离A 地还有2千米.求甲、乙的速度.
分析：这个问题是直线行驶中的相遇、追及问题.其中设两个未知数：甲、乙各自的速度，有两个相等关系.
解：设甲人的速度是每小时行x千米，乙人的速度是每小时y千米.依题意，得2、合理选择，间接设元
许多同学在解应用题时只考虑题目要求什么就设什么为未知数.这种方法有时很难寻找已知量与未知量之间的相等关系.因此，我们应根据题目条件选择与要求的未知量有关的某个量为未知数，以便找出符合题意的相等关系，从而达到解题的目的.
例2：从夏令营到学校，先下山然后走平路，某同学先骑自行车以每小时12千米的速度下山，而以每小时9千米的速度通过平路，到达学校共用55分钟，他回来的时候以每小时8千米的速度通过平路而以每小时4千米的速度上山回到夏
令营用了1 小时.从夏令营到学校有多少千米？
分析：根据题设条件，若设山路长为未知数x，则由来回的平路长相等得方程：同样可设平路长为未知数，由来回山路长相等得方程12
还可设山路长和平路长分别为x千米，y千米，由来回的时间关系建立二元一次方程组
或设下山和上山的时间分别为x小时，y小时.由来回山路长和平路长分别相等得到二元一次方程组
3、设而不求，巧用辅助量
当应用题中涉及的量较多，各个量之间的关系又不明显时，可适当地增设辅助未知数，目的不是要具体地求出它们的值，而是以此作桥梁，沟通各个数量之间的关系，为列方程(组)创造条件.在解题过程中需将辅助未知数消去，以便求出所需未知数的值.
例1：一客轮逆水行驶，船上一乘客掉了一件物品，浮在水面上，等乘客发现后，轮船立即掉头去追，已知轮船从掉头到追上共用5分钟，问乘客丢失了物品，是几分钟后发现的？
解设x分钟后发现掉了物品，船静水速为V1，水速为V2，由题意得
(x＋5)V2＋x(V1-V2)＝5(V1＋V2)，
xV2+5V2＋xV1-xV2＝5V1+5V2，
xV1＝5V1，
∵V1≠0，∴x＝5.
答：乘客5分钟后发现掉了物品.
注：这里的辅助未知数是V1和V2.
例2：一只船发现漏水时，已进了一些水，现水匀速进入船内.如果10人淘水，3小时可淘完，5人淘水8小时淘完，如果2小时淘完水，需要多少人淘水.
解：设2小时淘完水需x人，一人淘水量为y，每小时进水量为z，再设原进水量为a，由题意得
(2)-(1)得5z=10y，z＝2y，(4)
(2)－(3)得6z=2y(20-x)，(5)
把(4)代入(5)得6×2y＝2y(20-x)，
解得x=14.
答：2小时淘完水需14人.
注：这里的y，z，a是设而不求的辅助未知数.
例3：甲班与乙班共83人，乙班与丙班共86人，丙班与丁班共88人，问甲班和丁班共多少人？
(首届“华罗庚金杯”少年数学邀请赛试题)
解：设甲、乙、丙、丁班各有人数a、b、c、d，由题意得
(1)-(2)+(3)得a＋d=85人.
答：甲班和丁班共有85人.
例4：一只小船顺流航行从甲码头到乙码头需a小时，逆流航行这段路程需b小时，那么一木块顺水漂流这段路程需____小时.
解：设甲、乙两个码头的距离是S公里，小船在静水中的速度为x公里/小时，水流速度为y公里/小时，依题意得
例5：有一片牧场，草每天都在均匀地生长(草每天增长的量相等)，如果放牧24头牛，则6天吃完牧草，如果放牧21头牛，则8天吃完牧草，设每头牛吃草的量相等：
(1)如果放牧16头牛，几天可以吃完牧草？
(2)要使牧草永远吃不完，至多放牧几头牛？
解：(1)设这片牧场原有草量为a，每天生长的量为b，每头牛每天吃草量为c，16头牛在x天内可以吃完牧草，来列方程。