几类非线性振动系统的广义剩余谐波平衡方法研究及应用
振动问题的发展简史
实验观测到弦线振动发出 的声音与弦线长度、直径 和张力的关系 记载了共振现象 发现了单摆的等时性并利 用其自由落体公式计算单 摆的周期 注意到单摆大幅摆动对等 时性的偏离 两只频率接近时钟的同步 化两类非线性现象
《庄子》 公元16世纪 公元16世纪 16
伽利略 （Galilei,G）
公元17世纪 公元17世纪 17
1746年 1746年
达朗贝尔 (d’Alembert,J.le R)
采用偏微分方程描述弦线振动而 得到波动方程并求出行波解
1759年 1759年
伯努利 （Bernoulli,D.I)
采用无穷阶模态叠加方法得到弦 线振动的驻波解 ☆ 从驻波解推得行波解(严格的数 学证明在1811年Fourier提出函 数的级数展开理论后完成) ☆ 建立了离散系统振动一般理论 研究梁的横向振动，导出不同边 界条件量的频率方程和模态函数
0-1 振动力学发展简史
振动现象的“ 振动现象的“利”与“害” 人类对振动现象的了解和利用有着漫长的历史 远古时期的先民们就有了利用振动发声的各种乐器。 音乐是成为人类展示情感的最佳表达方式之一。
Tacoma 吊桥
探险者一号卫星
振动落砂机
振动理论的发展简况
毕达哥拉斯 （Pythagoras）
公元前6 公元前6世纪
系统
响应 输出
系统的物理参数（质量、刚度、阻尼等） 系统的物理参数（质量、刚度、阻尼等） 系统的动态特性参数（固有频率、模态等） 系统的动态特性参数（固有频率、模态等）
环境预测 系统和响应 激励 振动问题的反问题 振动问题的反问题
系统
确定性系统 随机性系统
常参量系统 变参量系统
振动系统
模型
有限自由度系统） 离散系统 （有限自由度系统） 连续系统 （无限自由度系统） 无限自由度系统）
非线性振动学习报告
《非线性振动》学习报告2010年3月至6月在北京学习期间，中科院并没有开设相同或者类似的课程，所以我只能以自学的方式完成课程。
我每周的学习时间保持在3小时左右，使用的课本是《非线性振动》（刘延柱陈立群编），根据绪论的内容，以及今后可能遇到的实际问题，我重点阅读的章节为前四章。
本文内容，尤其是前几章的内容，主要以我在看书时的勾画和笔记。
本文全部由我自己输入，在完成过程中，没有十分注意排版的问题，所以板式可能比较混乱希望老师谅解。
第一章非线性振动的定性分析方法1.1 稳定性理论的基本概念特定的运动成为系统的未受干扰的运动，简称为稳态运动，而受扰运动则是偏离稳态运动的系统的运动。
李雅普诺夫关于稳定性的定义有：稳定的、渐进稳定、不稳定李雅普诺夫直接方法的理论基础由三个定理组成：（1）若能够早可谓征订函数V(x)，使得沿扰动方程解曲线计算的全导数V为半负定或等于零，则系统的未扰运动稳定。
（2）若能构造可微正定函数V(x)，使得沿扰动方程解曲线计算的全导数V为负定，则系统的未扰运动渐进稳定。
（3）若能构造可微正定、半正定函数V(x)，使得沿扰动方程解曲线计算的全导数V为正定，则系统的未扰运动不稳定。
定理：若保守系统的势能在平衡状态处有孤立极小值，则平衡状态稳定。
对于复杂的非线性系统，可以以近似的线性系统代替可以根据一次近似方程的稳定性，判断原方程的稳定性：（1）若一次方程的所有本征实部均为负，则原方程的零解渐进稳定（2）若一次近似方程至少有一本征实部为正，则原方程的零解不稳定（3）若一次近似方程存在零实部的本征值，其余根的实部为负，则不能判断原方程的零解的稳定性1.2相平面、相轨迹和奇点与系统的运动状态一一对应的像平面上的点称为系统的相点，相点的移动轨迹称为相轨迹。
像平面内能使方程右边分子分母同时为零的特殊点称为相轨迹的奇点。
保守系统的相轨迹有以下特点：（1）相轨迹曲线相对横坐标对称；（2）势能曲线z=V(x)与横坐标轴的平行线z=E交点的横坐标C1，C2，C3，处，相轨迹与横坐标轴相交；（3）横坐标轴上与势能曲线的驻点相对应的点S1，S2，S3，为奇点，因为他们满足几点的定义；（4）在势能取极小值处，设E>V（S1），则在x= S1的某个小领域内都有E大于等于V（x）。
非线性振动系统的周期解与分岔分析方法
非线性振动系统的周期解与分岔分析方法在物理学、工程学以及许多其他领域中，非线性振动系统是一种常见且重要的研究对象。
理解非线性振动系统的周期解和分岔现象对于深入研究系统的动态行为、稳定性以及预测系统可能的变化趋势具有至关重要的意义。
首先，让我们来理解一下什么是非线性振动系统。
与线性振动系统不同，非线性振动系统中力与位移之间的关系不是简单的线性比例关系。
这种非线性特性可能源于多种因素，比如材料的非线性特性、几何非线性或者外部激励的非线性。
周期解是指系统在一定条件下呈现出的周期性运动状态。
对于非线性振动系统，寻找周期解并不是一件容易的事情。
常见的方法之一是利用数值计算。
通过数值方法，我们可以对系统的运动方程进行逐步求解，从而得到系统的时间响应。
这种方法直观且易于实现，但它也存在一些局限性，比如数值误差的积累以及对初值的敏感性。
另一种重要的方法是解析方法。
其中，平均法是一种常用的手段。
平均法的基本思想是将系统的运动方程在一个周期内进行平均，从而得到一个简化的方程，进而求解周期解。
此外，还有谐波平衡法，它假设系统的解可以表示为一系列谐波的叠加，然后将其代入运动方程，通过求解得到周期解的参数。
分岔则是指系统在参数变化时，其定性性质发生突然的改变。
分岔现象可以分为多种类型，比如鞍结分岔、叉形分岔、霍普夫分岔等。
分岔分析能够帮助我们了解系统在不同条件下的稳定性和动态行为的转变。
在研究分岔时，我们通常需要关注系统的特征值。
特征值的变化可以反映系统的稳定性。
当特征值从负实部变为正实部时，系统可能会发生不稳定的分岔。
相平面分析也是研究非线性振动系统分岔的有力工具。
通过绘制系统的相轨迹，我们可以直观地观察到系统的运动状态以及分岔的发生。
例如，在鞍结分岔中，相轨迹会出现两个平衡点合并为一个的现象；而在霍普夫分岔中，会从一个稳定的焦点变为一个不稳定的焦点，并在其周围出现一个稳定的极限环。
对于一些复杂的非线性振动系统，可能需要结合多种方法来进行分析。
机械系统的非线性振动动力学分析方法
机械系统的非线性振动动力学分析方法在现代工程领域中，机械系统的性能和可靠性至关重要。
而机械系统中的非线性振动现象常常会对系统的正常运行产生显著影响，甚至可能导致系统失效。
因此，深入研究机械系统的非线性振动动力学分析方法具有重要的理论和实际意义。
机械系统的非线性振动是指系统的振动响应与激励之间的关系不是线性的。
这种非线性关系可能源于多种因素，例如材料的非线性特性、几何非线性、接触非线性以及各种非线性阻尼和恢复力等。
与线性振动相比，非线性振动具有更加复杂和多样化的行为，如多值响应、跳跃现象、混沌运动等。
为了有效地分析机械系统的非线性振动，研究人员提出了多种方法。
其中，数值方法是应用最为广泛的一类。
有限元法是一种常见的数值方法，它将连续的机械系统离散化为有限个单元，通过建立单元的刚度矩阵和质量矩阵，进而求解整个系统的运动方程。
在处理非线性问题时，可以通过迭代的方式逐步逼近真实的解。
另一种重要的数值方法是龙格库塔法。
它是一种求解常微分方程的数值方法，适用于求解机械系统非线性振动的动力学方程。
通过在时间域上逐步推进求解，可以得到系统在不同时刻的状态。
解析方法在非线性振动分析中也具有一定的地位。
谐波平衡法是一种常用的解析方法，它假设振动响应为一系列谐波的叠加，通过将非线性项展开并与谐波项进行比较，从而得到方程的近似解。
这种方法对于具有弱非线性的系统较为有效。
摄动法也是一种经典的解析方法，它通过引入小参数将非线性方程进行近似处理，从而得到可解的方程。
例如，林滋泰德庞加莱摄动法在处理非线性振动问题时发挥了重要作用。
除了上述方法，实验研究也是理解机械系统非线性振动的重要手段。
通过在实际系统上安装传感器，测量振动信号，然后对信号进行分析和处理，可以获得系统的振动特性。
例如，使用加速度传感器测量振动加速度，通过频谱分析可以了解振动的频率成分。
在进行非线性振动分析时，还需要考虑系统的稳定性。
李雅普诺夫稳定性理论为判断系统的稳定性提供了有力的工具。
几何非线性非保守系统弹性力学广义拟余能原理的应用
原 理和广 义拟变 分原 理在 近似计 算 中的应用 做 了系统 的研 究．文 中将研 究几 何非线 性 非保 守 弹性 力 学系
统 广义拟 变分 原理 在近似 计算 中 的应 用 ； 用几 何非 线性 非保 守系统 第一 类两类 变 量广义 拟余 能原 理 ， 应 寻
求 几何非 线性 非保 守 系统 问题 的解析 解．
Ｎ Ｋ Ｕ
ｄ
首 处 式２ 的 【ｕｓ项 先 理 （中 号川 ： ） ，
Ｓ
专ｒ ｕｓｄ一 ｊｕｓ） ｄ— ｊ 号ｒ ｕ Ｖ 工 ｕ Ｖ 工 （
由 于 不 考 虑 体 力 ， 几 何 非 线 性 弹 性 力 学 中 的 基 本 方 程 得 由
一
１— ２
Ⅲ
／
维普资讯
大
报
第３ １卷
Ｖｏ ． ３ １ １
第 ２期
Ｎｏ ．２
２０ ０ ７年 ４月
Ａｐ ． ２ ０ ｒ ０７
Ｊ ＵＲＮＡＬ ＯＦ Ｄ Ｏ ＡＱＩ Ｅ ＮＧ Ｐ ＴＲＯ Ｅ Ｌ ＵＭ ＮＳ ＴＵＴ Ｉ ＴＩ Ｅ
理 解决该 问题 ．
悬索 桥结 构见 图 １ 可 以将其 简化 为一 悬臂梁 ．设 它有 ２ 闭室 剖 面结 构 （ 图 ２ ．假设 将 ２ 闭室 ， 个 见 ） 个 切 开 ， 开剖 面弯 曲剪 流为 ， 闭剖 面 的弯 曲剪 流分 别 为 ｑ ，。 气 动 中心 的坐标 为 ｚ ， 其 ２个 ｑ． 刚心 坐标 为 ｚ ． 假设 梁 的剖 面是 对称 剖 面 ， 其质 心 与刚心重 合 ， 因此 ， 曲和扭 转振 动不耦 合 ， 弯 这里 只考 虑受扭 情况 ．
ｌ ’ ＫＶ 一 ＵＩＳｉｄ Ｋ
ＵｌＳｊＮＫ ｄ ’ Ｋ ＵＩＳ＋ ｌ
非线性振动
非线性振动的研究包括理论分析方法和数值分析方法。
其中理论分析方法有是沿着两个方向发展，第一是定性方法，第二是定量方法，也称为解析法。
定性方法是对方程解的存在性、唯一性、周期性和稳定性等的研究；定量方法是对方程解的具体表达形式、数量大小和解的数目等的研究。
数值方法目前已广泛用于计算非线性振动系统，是一种求解非线性方程的有效方法。
本文在查询相关文献的基础上，对非线性振动理论的分析方法最新研究成果做简要概括和分析比较。
1、平均法平均法是求解非线性振动最常见和最实用的近似方法之一。
其基本思想是设待解微分方程与派生方程具有相同形式的解，只是振幅和相位随时间缓慢变化。
将振幅和相位的导数用一个周期的平均值替代，得到平均化方程，求解平均化方程，得到振幅和相位的表达式，从而求解出原方程的近似解析解。
1.1利用平均法分析多自由度非线性振动平均法主要是用在单自由度非线性振动的分析中，是一种求近似解的方法，虽然精度较低，但可避免繁琐的中间运算，具有便于应用的突出优点。
将其推广的到多自由度系统，导出了平均化方程，由此能够得到多自由度非线性振动的幅频特性。
1.2用改进平均法求解自由衰减振动用平均法求解自由衰减振动方程时，无论是线性阻尼还是平方阻尼，在阻尼常量很小的情况下，平均法解均有较高的精度。
但随阻尼常量的增加，阻尼对振动周期的影响已不能忽略，此时平均法解的结果与实际振动情况有了明显的偏离，需要改进。
改进平均法是将待解微分方程的圆频率与派生方程圆频率的差异函数表示为阻尼系数的多项式。
2、FFT多谐波平衡法分析非线性系统非线性动力系统的响应可能含有几个主导频率，且有可能与激振频率不成倍数关系。
现有的单一谐波法和多谐波法仅限于系统响应主导频率为激振频率的非线性系统，因此在某些情况下使用单一谐波法或多谐波法研究非线性系统动力学特性是不可靠的，而基于快速傅立叶变换（FFT）和主导频率的 FFT 多谐波平衡法能够依据所有的主导频率构筑多谐波平衡方程，因此其解析解精确度高，并能广泛适用于单倍周期、多倍周期、与初始条件有关的多解性及拟周期响应等典型的非线性特征响应。
非线性振动
非线性振动期末作业任课老师：姓名：学号：专业：课程：非线性振动非线性振动的理论研究方法非线性振动是指恢复力与位移不成正比或阻尼力不与速度一次方成正比的系统的振动。
尽管线性振动理论早已相当完善，在工程上也已取得广泛和卓有成效的应用，但在实际问题中，总有一些用线性理论无法解释的现象。
一般说，线性模型只适用于小运动范围，超出这一范围，按线性问题处理就不仅在量上会引起较大误差，而且有时还会出现质上的差异，这就促使人们研究非线性振动。
通过理论分析对非线性振动进行研究是目前最有效最基本最直接的方式。
理论研究分析最主要的任务是通过理论的研究分析来揭示各类非线性系统振动的基本理论和主要特点。
非线性振动理论研究分析的最重要的数学工具就是微分方程。
学者们在微分方程发展过程中发现用初等函数表达方程解的可能性极为有限之后，出现了三个比较重要的方向。
其一是引入新的函数作为解的表达，并研究这些函数的性质和数值解。
非线性振动中有个别的问题就可以用这种方法来求解方程，例如摆的大幅振动解用椭圆函数表达。
然而这方面的例子是极为有限的。
这就说明只有极少数非线性微分方程能够求出方程的解，所以通常必须用近似的求解方法求出非线性微分方程的近似解，这就需要用到求解非线性微分方程的两个最基本的方法，这就是定性方法和定量方法。
定性理论不通过解的表达式来研究分析解的性质，比如利用几何法作出微分方程所定义的积分曲线，运用稳定性理论引入另外的函数中，通过它们去研究解的性质。
把常微分方程定性理论与非线性振动联系起来主要应归功于前苏联的Andronov等建立起来的学派。
这些学者们把定性理论用来解决电学和力学中出现的大量非线性振动问题。
定性理论在发展的过程中，一方面在理论上形成了许多讨论奇点、周期解、极限环的定理、判据等，一方面形成了一些实用的作图方法，例如等倾线法、Lienard法、点映射等。
求解非线性微分方程近似解的方法中定量分析的方法包括数值解法以及解析法。
几何非线性非保守系统弹性动力学两类变量的广义拟变分原理的应用
素法和其 它近似计算方法 中得到广泛应 用，而且可以方便地求得 非线性非保 守 系统弹性动力学问题 的精确解 。文章
应用几何 非线性 非保 守系统弹性动力学 中的第一类两类变量广义拟余能原理 ， 究 了一个典型 的非保 守动力 学系统 研 边值问题 的动态特性 ，并给 出同时求解一个典型的几何非线性非保 守系统的内力和变形两类变量的计算 方法。 关键词 ：几何非线性 ；非保 守系统 ；弹性动 力学；拟余能原理
内力 和变形 两类 变量 的计 算方 法 。
性理论变分原理的统一理— 论 ；梁立孚等利用“ 凑合
法” ，推导出有限位移理论的各级变分原理［ ５ １ 。郑泉
水提 出 了非 线性 弹性理 论 的泛变分 原理 ［ ６ １ 。 非保 守 系统 方 面 ，国外 以 Ｌｉｈｌ为代 表 ，提 ｅｐ ｏ ｚ 出广 义 自共 轭 的概 念 ，建 立 了广 义 的 Ｈａ ｌｎ原 ｍｉｏ ｔ 理 ，给 出 了著名 的 Ｌｉｈｌ杆模 型 。我 国学 者 也作 ｅ ｏ ｐ ｚ
计算 方法ｔ ９ ］ 。 在弹 性动力 学 的变 分原理 方 面罗 恩和邢 京 堂分 别 做 了大量 的工 作［－。 】１ ｏ３ １ 刘 殿 魁 等 对 非 保 守 系统 拟 变 分原 理 和 广 义 拟 变 分 原理 在 近 似计 算 中 的应 用 做 了 系统 的研 究 用； 罗 恩对 几 何 非 线 性 保 守 系统 弹性 动 力 学 变 分 原 理 和 广 义变 分 原 理 在 近似 计 算 中的 应 用 做 了系 统 的
第４ 期
樊
涛等 ：几何非线性非保 守系统 弹性动力学两类变量的广义拟变分原理 的应用
考虑如图 １ 所示的悬索桥 ， 设其有如图 ２的单
。＝
（
非线性振动_绪论
0.5当前研究的主要问题与方向
• (1) 多自由度系统的非线性振动问题；
• (2) 连续体的非线性振动问题； • (3) 多频激励下非线性系统特性； • (4) 强非线性振动求解方法及解的性态； • (5) 分叉、突变、混沌特性和机理；
• (6) 工程非线性振动问题，如非线性振动系统的控制等
参考书目
Fge m R sin
2
z
R
Fgc 2mvr
不在分析平面上 质点相对运动微分方程：
2 2 ma m R sin cos mg sin r
ae
ar
mg
Fe
N
mR 2 m2 R 2 sin cos mg sin g sin 2 sin cos 0 这就是含惯性非线性项的非线性振动系统 R
(5) 非线性阻尼力
• 例0-4 干摩擦振动微分方程
f ( x) ( x ) m x
• 干摩擦阻尼力
) Nsign( x ) (x
1 ) sign( x 1 0 x 0 x
• -摩擦系数，N—正压力，Sign—符号函数
(6) 滞后（回）非线性-物理非线性
0.4 非线性振动的主要研究问题
• (1) 确定平衡点及周期解；（系统响应） • (2) 研究平衡点及周期解的稳定性；（局部性态） • (3) 研究方程参数变化时，平衡点及周期解个数的变化及 形态（稳定性）变化，即分岔与混沌运动； • (4) 研究在一定初始条件下系统长期发展的结果。（解的 全局形态）
非线性振动系统的分析和应用
非线性振动系统的分析和应用非线性振动系统是指其中至少包含一个非线性元件的振动系统。
非线性元件能够使得系统的振动特性发生较大的改变，如产生新的共振频率、引起失稳现象等。
因此，非线性振动系统的研究具有重要的理论和实际意义。
一、非线性振动系统的形式化描述非线性振动系统的数学模型通常可以表示为：$$\ddot{x}+f(x)\dot{x}+g(x)=0$$其中，$x$是系统的位移或角位移，$\dot{x}$是$x$的一阶导数，$\ddot{x}$是$x$的二阶导数。
函数$f(x)$和$g(x)$分别表示阻尼和弹性的非线性作用。
通常采用微分方程的数值解法，如欧拉法、龙格-库塔法等来进行求解。
二、非线性振动系统的稳定性及分析方法对于非线性振动系统，通常需要考虑系统的稳定性。
由线性振动系统的经验可知，系统的随机性通常较小，因此通常采用非线性分析方法来进行稳定性的分析。
主要的分析方法有：1.浅层非线性方法：包括哈摩因方法、平均法、福克方法等，能够快速地预测系统稳定性。
但是，这些方法通常需要对系统的非线性特性有一定的了解，且适用于一类特定的非线性系统。
2.深层非线性方法：包括留数方法、行波展开法、多尺度方法等，能够精确地分析具有较强非线性特性的系统。
但是，这些方法相对复杂，对数学知识和物理背景要求较高。
3.数值仿真方法：主要包括有限元法、有限差分法等，能够直接计算非线性振动系统的响应。
这些方法通常适用于求解较大、较复杂的非线性振动系统。
三、非线性振动系统的应用非线性振动系统的研究在物理、工程、数学等领域均有广泛应用。
以下列举部分应用领域：1.结构振动分析：对于大跨度、高层建筑、大型膜结构等复杂结构，通常需要考虑结构的非线性特性。
非线性振动系统的研究能够提高结构的安全性、经济性和绿色性。
2.摆钟：摆钟是一种常见的非线性振动系统，其运动特点由复杂的非线性微分方程描述。
摆钟系统的研究不仅有助于物理原理的深入理解，同时还能够应用于时间标准、导航、地震监测等领域。
利用谐波平衡法求解非线性方程
利用谐波平衡法求解非线性方程
谐波平衡法是一种有效求解非线性方程的方法，它被广泛应用在工程中。
谐波平衡法基于复数理论，其基本思想是将非线性方程转化为一组谐波方程，并以此求解其解。
推导谐波平衡法的基本步骤是：首先，将非线性方程化为复数表示形式，例如P(z)=0，其中P(z)是一个复数函数，z是
复数变量。
然后，将复数函数P(z)拆分成它的实部和虚部，即
P(z)=P_r(z)+iP_i(z)，其中P_r(z)和P_i(z)分别为实部函数和虚
部函数。
接着，将实部函数P_r(z)和虚部函数P_i(z)分别表示
为指数函数的形式，即P_r(z)=∑_j=1^m a_j e^(iω_jz)，
P_i(z)=∑_j=1^m b_j e^(iω_jz)，其中a_j和b_j是常数，ω_j是
指数函数的角频率。
最后，使用均值定理，将指数函数形式的复数函数P(z)的实部和虚部的平均值分别置为0，从而求得平
衡方程，即∑_j=1^m a_j e^(iω_jz)=0，∑_j=1^m b_j e^(iω_jz)=0。
最后，解决上述平衡方程组，就可以求得非线性方程的解。
总之，谐波平衡法是一种有效求解非线性方程的方法，它通过将非线性方程转换为一组谐波方程，使用均值定理求解平衡方程组，最终求得非线性方程的解。
谐波平衡法的优点是不需要计算复杂的导数，求解过程简单，计算结果准确。
同时，谐波平衡法也有缺点，例如求解的结果受到复杂函数拆分的影响，计算过程也比较复杂。
因此，在使用谐波平衡法之前，需要仔细分析函数拆分的情况，确保计算结果的准确性。
机械振动第6章非线性振动
F (t ) f1 n cos(n t ) f 2 n sin(n t )
其中,
1 T /2 f1 n T / 2 F (t ) cos (n t ) d t T 1 T /2 f 2 n T / 2 F (t ) sin (n t ) d t T
n 1
2 T
d d ml 2 l mg sin F cos t dt dt
2
●一个复杂的非线性系统。其解更为复杂。
结论：对于一个非线性系统，在确定的初始条件 下，其解可能具有不可预测的随机性。
第5章 非线性振动
5. 3.1 非线性振动的近似解析方法
定性分析方法讨论振动系统在奇点（平衡位置） 附近的运动稳定性，它不需要求解系统的动力学微 分方程。但定性分析方法的研究对象主要限于自治 系统，而且不能定量地计算系统运动的时间历程，
第五章 非线性系统的振动
5.1 非线性振动概述
5.2 非线性振动问题的主要特点 5.3 非线性振动问题的研究方法 5.4 分叉与混沌的概念
王卫滨
5.1 非线性振动概述
不能用线性微分方程描述的振动称为非线性振动。恢复力与位移不成 正比或阻尼力不与速度一次方成正比的系统的振动。 工程技术与自然界中的振动问题及现象，绝大多数属于非线性的，线 性振动系统往往是对非线性系统进行性 恢复力
非线性 激振力
5.2 非线性振动问题的主要特点
• (1) 非线性振动系统的频率与系统响应的振幅和初始条件有关
线性振动系统的振动周期不随振幅大小而变化
(2) 对于非线性振动系统,叠加原理不适用
• 对于线性微分方程
• 对于非线性系统
d n x1 x2 d n x1 d n x2 n n dt dt dt n
非线性振动系统的分岔与混沌研究
非线性振动系统的分岔与混沌研究振动是一种基本的物理现象，在自然界和工程中都有着广泛的应用。
在一些振动系统中，如单摆、弹簧振子、电路系统等，系统响应与输入之间的关系可以通过线性微分方程来描述。
这些系统的行为较为简单，易于研究。
然而，在一些非线性系统中，系统的响应往往不再与输入线性相关，展现出比较复杂的行为，如周期、混沌等。
非线性振动系统的分岔与混沌问题成为了研究所关注的重点及难点。
在非线性振动系统中，振动的频率不仅由外界载荷所决定，而且也受到系统本身的非线性影响。
这些非线性因素包括强迫频率、非线性刚度、分布参数、非等间隔时间延迟和非线性耗散等等。
对于一个连续系统而言，由于涉及到空间因素，其非线性效应更为明显。
非线性振动系统响应的周期解和稳定解，包括极限循环、倍周期循环和无穷周期循环。
当系统参数改变时，这些周期解有可能发生分岔，导致系统状态的转变。
分岔是指一个系统的响应从一种状态到另一种状态转变时，该系统的参数或者外部驱动条件发生微小变化的现象。
这些微小的变化可能是周期性的，也可能是随机的，并导致系统的相应从稳定的周期性变为复杂的混沌状态。
分岔与混沌研究是非线性振动系统的研究重点，针对不同系统的不同参数，研究其相应的分岔行为和混沌现象，为系统设计的精细化提供重要的基础研究支持。
在分岔的研究中，波动方程和相容方程方法被广泛用于求解分岔点和稳定解的问题。
波动方程方法是一种计算波的传播和反射的方法。
相容方程方法是一种计算不同的波模式之间共存的方法。
这些方法对于线性振动系统的研究较为有效。
但对于非线性系统的研究，由于非线性方程的解析表达式通常难以求解，因此常常需要采用数值模拟和实验研究的方法。
混沌现象的研究是非线性系统研究的一个难点和重点。
混沌现象通常是指一个系统的初始状态微小变化会导致系统响应大幅度变化的现象。
这种现象在物理和工程系统中广泛存在。
混沌现象的研究通过探索对称性、对称复杂性、Lorenz方程、Poincare截面、非线性回归分析等方面进行。
齿轮转动系统的非线性振动特性的理论和实验研究
齿轮转动系统的非线性振动特性的理论和实验研究崔亚辉，刘占生，叶建槐，陈锋摘要：为了研究齿轮传动系统的振动与间隙，设计了齿轮转动系统的振动试验台，考虑非线性齿轮啮合动态激励、灵活的转子和轴承的影响，提出了系统的非线性动态模型。
集成方法被用来研究非线性系统的动态响应，结果发现当啮合频率接近于齿轮副的自然频率时，它就成了主共振，同时出现分歧，混沌运动和振动变得迅速。
当速度接近一级弯曲振动的固有频率时，它是第二主共振，通过倍周期分歧，周期运动的混乱改变。
齿轮传动系统的振动测量试验台就形成了。
加速度计是用来测量高频振动，实验结果表明齿轮传动系统的振动加速度包括网频率和边带。
低速度的数值计算结果基本上可以通过实验结果来验证，这意味着齿轮传动系统的非线性动力学模型是正确的。
关键词:齿轮;分叉;混沌;间隙;试验齿轮传动系统是最常用的机械的动力传动系统，他被广泛应用于冶金、化工、马路、航空、船舶等。
目前，振动的问题仍然是齿轮的关注点。
转子系统的振动大部分来自于齿轮啮合。
齿轮啮合的振动影响与间隙振动、时变啮合刚度和静态传动误差最相关。
很长一段时间，人们对齿轮系统做了大量的研究，并获得了很多重要的结果。
线性振动波装置的特点基本清晰，但是齿轮系统的非线性振动特性的研究仍在发展中。
近些年来，随着非线性动力学理论的发展，人们逐渐调查非线性齿轮系统的振动，研究的焦点源于间隙的非线性。
1991年，卡拉曼和辛格所写的关于齿轮系统的非线性动态的两篇重要的论文发表了。
他们开发了一种三自由度动力学模型，以及几个关键问题，例如内部静态传动误差激励并讨论了扭矩激励之间的差异。
确定了准周期的混论状况和次谐波稳定状态的解决方案，发现了齿轮传动系统中的两种典型航线混乱。
后来卡拉曼等研究了系统的稳态强迫响应与间隙接受相应的参数和外部强迫激励，广义谐波平衡过程多个词被应用于找到期…解决方案。
1997年，卡拉曼等提出了关于齿轮系统的间隙结合参数与外部激励的实验，实验数据证明了很多像混乱、谐波谐振、超级谐波共振、分支和长周期谐波运动，在强迫响应曲线不连续跳等非线性现象。
非线性振动
x (t, ) x0 (t ) x1 (t ) x2 (t )
2
第5章 非线性振动
5. 3.1 非线性振动的近似解析方法
)在 将原系统周期解的表达式代入原方程两端，并将f(x, x
0)的领域内展开成泰勒级数: 基本解(x0, x
2 0 x x F (t ) x (t, ) x0 (t ) x1 (t ) 2 x2 (t )
(4) 某些有阻尼的非线性振动系统会出现自激振动，振幅不 衰减 • 线性系统中自由振动总是衰减的
x Aent sin(t )
(5) 强迫振动系统有超谐波响应和次谐波响应成分 • 简谐激振力作用下的非线性系统 响应波形除了与激振力频 率相同的谐波外,还含有频率为激振频率的几分之一.
纽马克法来自于梯形法，它按照泰勒级数展开式，保留 到二阶导数加速度项，并引入两个参数 和对截去的高阶小 量作修正。
Duffing方程的倍周期分叉现象与混沌运动
5.3 非线性振动问题的研究方法
实物或模型实验— —结合计算机处理数据 实验方法： 空间平面法） 定性方法（几何法或相 在相平面上研究解或平 衡点的性质，即相轨迹 在相平面上分布 情况；确定奇点、极限 环、特殊轨线，解的全 局性态。 法） 初值法（如Rouge kut t a 边值法（Shoot ingMot hed) 数值解法： 直接 点映射法 胞映射法 跌代法 分析方法： （小参数法） 摄动法 定量方法 渐进法（平均法） 多尺度法 （近似法）解析法： 伽辽金法 谐波平衡法 等价线性化法
强非线性论文阅读笔记
文献阅读笔记1、杨世平，吴晓。
强非线性振动系统的渐近解。
佳木斯工学院学报，1998，16（3）：303~307 摘要：对强非线性振动系统进行参数变换，把强非线性振动来统转化为弱非线性振动系统，利用参数待定法即可方便求出强非线性振动来统的渐近解。
在现行的机械振动专著中，基本上都讨论弱非线性振动系统，而对强非线性振动系统很少讨论研究.众所周知，摄动展开法是研究弱非线性振动系统的一个强有力教学工具.而对工程实际中存在的大量非线性振动系统，摄动展开法却难以见效.本文对强非线性振动系统进行参数变换，把强非线性振动系统转化为弱非线性振动系统，利用傅立叶级数展开成一个小参数的幕级数，采用系数待定法即可方便求出强非线性振动系统的渐近解.本文方法不但求解过程简单，精度高（比KBM 法的计算精度高），而且回避了解微分方程和依靠消除永年项建立补充方程的复杂过程。
parameter undetermined method ：参数待定法parameter transformation ：参数变换 strongly nonlinear vibration system ：强非线性振动系统2、李银山，郝黎明，树学锋。
强非线性Duffing 方程的摄动解。
太原理工大学学报，2000，31（5）：516~520摘 要：用参数展开摄动法和改进的L-P 方法求解强非线性Duffing 方程。
与寻常的摄动法相比,具有较高的精度。
G ．Duffing 方程是具有非线性恢复力的强迫振动系统，在工程各领域中具有广泛的代表性，从它被提出（1918年）到现在，已经90多年了，但对它的解的性质并未完全清楚。
对于形如()()2,01x x f x x ωεε+=＜的弱非线性自治系统，以及形如()()2,,01x x f x x t ωεε+=Ω＜的弱非线性非自治系统，目前已经有多种有效的近似解法，如Lindstedt —Poincare(L--P)法、平均法、时间变换法、KBM 法和多尺度法等。
非线性振动
非线性振动期末作业任课老师：姓名：学号：专业：课程：非线性振动非线性振动的理论研究方法非线性振动是指恢复力与位移不成正比或阻尼力不与速度一次方成正比的系统的振动。
尽管线性振动理论早已相当完善，在工程上也已取得广泛和卓有成效的应用，但在实际问题中，总有一些用线性理论无法解释的现象。
一般说，线性模型只适用于小运动范围，超出这一范围，按线性问题处理就不仅在量上会引起较大误差，而且有时还会出现质上的差异，这就促使人们研究非线性振动。
通过理论分析对非线性振动进行研究是目前最有效最基本最直接的方式。
理论研究分析最主要的任务是通过理论的研究分析来揭示各类非线性系统振动的基本理论和主要特点。
非线性振动理论研究分析的最重要的数学工具就是微分方程。
学者们在微分方程发展过程中发现用初等函数表达方程解的可能性极为有限之后，出现了三个比较重要的方向。
其一是引入新的函数作为解的表达，并研究这些函数的性质和数值解。
非线性振动中有个别的问题就可以用这种方法来求解方程，例如摆的大幅振动解用椭圆函数表达。
然而这方面的例子是极为有限的。
这就说明只有极少数非线性微分方程能够求出方程的解，所以通常必须用近似的求解方法求出非线性微分方程的近似解，这就需要用到求解非线性微分方程的两个最基本的方法，这就是定性方法和定量方法。
定性理论不通过解的表达式来研究分析解的性质，比如利用几何法作出微分方程所定义的积分曲线，运用稳定性理论引入另外的函数中，通过它们去研究解的性质。
把常微分方程定性理论与非线性振动联系起来主要应归功于前苏联的Andronov等建立起来的学派。
这些学者们把定性理论用来解决电学和力学中出现的大量非线性振动问题。
定性理论在发展的过程中，一方面在理论上形成了许多讨论奇点、周期解、极限环的定理、判据等，一方面形成了一些实用的作图方法，例如等倾线法、Lienard法、点映射等。
求解非线性微分方程近似解的方法中定量分析的方法包括数值解法以及解析法。
非线性谐波电能计量技术及其应用探讨
非线性谐波电能计量技术及其应用探讨摘要：科学技术的进步，电力系统逐渐向智能化方向发展，越来越多的电子元件应用在电力系统中，使用了大量的非线性负荷，产生了大量的谐波，谐波会影响电网电压电流，不仅会危害电力系统和电力设备，而且还会影响电能计算的准确性，给供电企业和电力用户带来巨大的经济损失。
本文主要介绍了电网谐波给电力计量的影响，并针对这些问题提出了相关的策略。
关键词：电力系统；非线性负荷；电能计量技术引言：随着计算机、信息、通信等先进技术的发展和普及，计算机信息技术广泛应用在社会各个领域，极大了促进社会的进步。
大量的非线性和冲击性符合接入电网，比如工业生产过程中的电弧炉、电焊机等装置，居民生活中使用的冰箱、空调等家用设备，都会给电网电压电流产生影响，导致电压闪变、谐波畸变等现象，严重影响电力设备的安全运行，还会增加供电企业发电和电力用户用电成本，从而影响测量仪器、计量仪器等电能计量的设备的准确性。
比如感应式计量表和电子式计量表，在谐波的影响下很难准确计算电能，因此控制谐波，确保电能计量的准确性，确保电力用户的利益是当下供电企业所要思考的重点。
一、电力谐波产生的原因谐波指的频率为50Hz基波频率整数倍的周期性正弦能量。
虽然近年来，国家电网的发展迅速，规模也在不断扩大，国家电力的发电量位居世界前列，但是我们国家电力系统还存在不少问题，急需解决，电力系统谐波产生的原因比较复杂，主要有有四个方面的因素：第一，受到电源影响。
当前我们电力系统中使用的发电机大多是在三相绕组的基础上发展起来的，所以发电机无法保证铁芯的均匀性和绕组的对称性，这一定程度上影响了发电机的整体质量，所以导致了电力谐波。
第二，输电系统在运行过程中产生谐波。
为了保证居民正常用电，电力系统的变压器必须保证24小时不间断供电，所以变压器常在饱和运行阶段，从而产生了电力谐波。
第三，用电设备在运行过程中会产生谐波。
随着科技的进步，电力电子技术广泛应用在电力系统中，比如晶体闸管整流设备，如果整流装置是单向电流电路则会产生谐波电流，三次谐波的含量就占了整个基波的三分之一，如果接容性负载产生了谐波电压，且谐波的含量与电容的大小呈正比。
重构谐波平衡法及其求解复杂非线性问题应用
重构谐波平衡法及其求解复杂非线性问题应用
代洪华;王其偲;严子朴;岳晓奎
【期刊名称】《力学学报》
【年(卷),期】2024(56)1
【摘要】谐波平衡法是求解非线性动力学系统周期解的最常用方法,但对非线性项进行高阶近似需要庞杂的公式推导,限制了该方法的超高精度解算.通过对频域非线性量的时域等价重构,提出了重构谐波平衡法(RHB法),解决了经典谐波平衡法超高阶次计算难题.然而,上述两种方法均要求动力学系统为多项式型非线性,且无法直接用来求解非线性系统的拟周期解.针对上述问题,文章提出一种将RHB法和复杂非线性系统等价重铸法相结合的计算方法,首先将一般非线性问题无损重铸为多项式型非线性系统,然后用RHB法进行高精度求解;针对拟周期响应求解问题,提出基于“补频”思想的RHB方法,通过基频的优化筛选,实现拟周期响应的快速精准捕捉.选取非线性单摆、相对论谐振子和非线性耦合非对称摆等典型系统进行仿真计算,仿真结果表明,所提出的RHB-重铸法在解非多项式型非线性系统的稳态响应时精度保持为10-12量级,达计算机精度,远超现有方法水平.补频RHB法则实现了对拟周期问题的高效解算,拓宽了方法对真实物理响应的求解范围.
【总页数】13页(P212-224)
【作者】代洪华;王其偲;严子朴;岳晓奎
【作者单位】西北工业大学航天学院;航天飞行动力学技术国家级重点实验室【正文语种】中文
【中图分类】V412.41
【相关文献】
1.基于增量谐波平衡法的杜芬方程非线性区间多值自动求解算法
2.求解一类非线性振动问题的谐波平衡法
3.利用牛顿谐波平衡法快速求解非线性代数方程组
4.增量谐波平衡法在分段结构非线性气动弹性系统的求解
因版权原因，仅展示原文概要，查看原文内容请购买。
谐波状态空间
谐波状态空间标题：谐波状态空间分析及应用的全面探讨简介：谐波状态空间是一种用于描述非线性动力系统的重要工具。
它提供了一种结构化的方法来分析谐波产生机制、探索系统的稳定性以及预测系统的响应。
本文将深入探讨谐波状态空间的原理、方法和应用，并以从简到繁、由浅入深的方式介绍，以帮助读者全面、深刻理解这个主题。
第一部分：谐波状态空间的基本原理和方法1.1 什么是谐波状态空间？- 简要介绍谐波状态空间的概念和定义。
- 解释谐波状态空间的作用和应用领域。
1.2 建立谐波状态空间模型- 介绍谐波状态空间的基本数学模型。
- 解释如何将非线性动力系统转化为谐波状态空间。
1.3 谐波状态空间的稳定性分析- 介绍谐波状态空间稳定性的概念和判定条件。
- 提供常用的稳定性分析方法和示例。
1.4 谐波状态空间的响应预测- 解释如何利用谐波状态空间进行系统响应的预测。
- 提供具体的求解步骤和示例。
第二部分：谐波状态空间的进阶应用2.1 谐波状态空间与控制系统设计- 探讨如何基于谐波状态空间进行控制系统设计。
- 提供控制系统设计中的典型案例和实践经验。
2.2 谐波状态空间在信号处理中的应用- 介绍谐波状态空间在信号处理领域的重要性和应用。
- 解释如何利用谐波状态空间分析和处理信号。
2.3 谐波状态空间与系统优化- 探讨如何利用谐波状态空间进行系统参数优化。
- 提供系统优化中常用的方法和技巧。
2.4 谐波状态空间在工程实践中的案例分析- 提供谐波状态空间在实际工程中的应用案例。
- 分析案例中的问题、解决方案和效果。
总结和回顾：- 总结谐波状态空间的基本原理和方法。
- 归纳谐波状态空间的进阶应用领域。
- 总结谐波状态空间在工程实践中的案例分析。
- 评论谐波状态空间在现实世界中的潜力和局限性。
观点和理解：在研究和应用谐波状态空间的过程中，我深入了解了它的原理和方法，并实际运用它解决了一些实际问题。
谐波状态空间具有广泛的应用领域，并且在控制系统设计、信号处理和系统优化等方面都有重要作用。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
几类非线性振动系统的广义剩余谐波平衡方法研究及应用
由于非线性振动现象存在于各个领域,因此研究非线性振动系统是至关重要的.而非线性振动系统是比较复杂的系统,求解其准确解也变得困难的,因此,许多学者提出了大量方法分析其近似解.而本文主要是采取了广义剩余谐波平衡方法,研究了三类非线性振动系统.第一类是约束悬臂梁的强非线性振动系统,第二类是静电驱动微梁的非线性振动系统,第三类是受到范德华吸引力的静电驱动微梁的非线性振动系统.再利用上述方法研究这三类系统的近似周期解.本文的内容主要分为四章,第一章主要介绍本文的研究背景及研究现状.第二章主要是运用广义剩余谐波平衡方法研究约束悬臂梁,求出该系统的近似解.然后将求得的2阶谐波近似解分别与能量守恒方法求得近似解,同伦分析方法求得近似
解,Runge-Kutta法数值解进行比较,并给出相图和时间历程曲线.第三章继续运用广义剩余谐波平衡方法研究静电驱动微梁,并进行数值模拟,将结果与其他三种方法得到的结果进行比较.第四章运用广义剩余谐波平衡方法研究受到范德华吸引力的静电驱动微梁,再进一步研究,当选取较大振幅时,近似解与
Run.ge-Ktta法数值解的吻合程度.通过上述的三章内容,验证了广义剩余谐波平衡方法对这三类系统的可行性和有效性,进一步可以说明这种方法同样也适用于其他非线性振动系统中.。