自动控制原理非线性分析知识点总结
自动控制原理第七章非线性控制系统的分析
这里，M=3，h=1
负倒描述函数为
N 1 X
X
12 1 1 2
X
X 1
X 1, N 1 X , N 1
必有极值
d N 1X 令
0 dX
得 X 2
N 1 2
2
0.523
12
1
1 2
2
6
X： 1 2
-N-1(X)： 0.523
2.自振的稳定性分析
在A点，振幅XA，频率A。
扰动：
X : A点 C点 C点被G(j)轨迹包围，不稳定，
振幅 ，工作点由C点向B点运动；
A点一个不稳 定的极限环。
X : A点 D点 D点不被G(j)轨迹包围，稳定，
振幅 ，工作点由D点左移。
在B点，振幅XB，频率B 。 扰动：
X : B点 E点 E点不被G(j) 轨迹包围，稳定，
振幅 ，工作点由E点到B点；
X : B点 F点 F点被G(j)轨迹包围，不稳定，
振幅 ，工作点由F回到B点。
B点呈现稳定的自激振荡:振幅XB ,频率B。
3.闭环系统稳定性判别步骤
1）绘制非线性部分的负倒描述函数曲线和线 性部分的频率特性曲线。
2）若G(j)曲线不包围“-N-1(X)”曲线，则系统稳定。 若G(j)曲线包围“-N-1(X) ”曲线，系统不稳定。 若G(j)曲线与“-N-1(X)”曲线相交，系统出现自振。
3）若G(j )曲线与“-N-1(X)”曲线有交点，做以 下性能分析：
（1）不稳定的极限环
（2）稳定的极限环 计算自振频率和幅值。
例1：非线性系统如图所示,其中非线性特性为 具有死区的继电器,分析系统的稳定性。
0e
自动控制原理第十章非线性控制系统
自动控制原理第十章非线性控制系统非线性控制系统是指系统动态特性不能用线性数学模型表示或者用线性控制方法解决的控制系统。
非线性控制系统是相对于线性控制系统而言的，在现实工程应用中，许多系统经常具有非线性特性，例如液压系统、电力系统、机械系统等。
非线性控制系统的研究对于实现系统的高效控制和稳定运行具有重要意义。
一、非线性控制系统的特点1.非线性特性：非线性控制系统的动态特性往往不能用线性方程或者线性微分方程描述，经常出现非线性现象，如饱和、死区、干扰等。
2.多变量关联：非线性系统动态关系中存在多个变量之间的相互影响，不同变量之间存在复杂的耦合关系，难以分离分析和解决。
3.滞后响应：非线性系统的响应时间较长，且在过渡过程中存在较大的像后现象，不易预测和控制。
4.不确定性：非线性系统通常存在参数变化、外部扰动和测量误差等不确定性因素，会导致系统性能变差，控制效果下降。
二、非线性控制系统的分类1.反馈线性化控制：将非线性系统通过适当的状态反馈、输出反馈或其它形式的反馈转化为线性系统，然后采用线性控制方法进行设计。
2.优化控制：通过建立非线性系统的数学模型，利用优化理论和方法，使系统达到其中一种性能指标最优。
3.自适应控制：根据非线性系统的参数变化和不确定性，设计自适应控制器，实时调整控制参数，以适应系统的动态变化。
4.非线性校正控制：通过建立非线性系统的映射关系，将测量信号进行修正，以减小系统的非线性误差。
5.非线性反馈控制：根据非线性系统的特性，设计合适的反馈控制策略，使得系统稳定。
三、非线性控制系统设计方法1.线性化方法：通过将非线性系统在其中一工作点上线性化，得到局部的线性模型，然后利用线性控制方法进行设计和分析。
2.动态编程方法：采用动态系统优化的方法，建立非线性系统的动态规划模型，通过求解该模型得到系统的最优控制策略。
3.反步控制方法：通过构造适当的反步函数和反步扩散方程，实现系统状态的稳定和输出的跟踪。
自动控制原理非线性控制系统分析
y
0
a
x
-M
y M7
2、死区特性 当输入|x|≤ ∆ 时，输出y=0，当输入|x|> ∆ 时，y与x呈线性关系。∆ 死区范围，K=tgβ 是死 区特性线性段的斜率。
死区特性对系统最直接的影响是造成系统的 稳态误差。死区的存在相当于降低了系统的开环 增益，从而提高了系统的稳定性，减弱了过渡过 程的振荡性。另外死区可以滤除输入端做小幅度 振荡的干扰信号，从而提高系统的抗干扰能力。
81非线性控制系统概述研究非线性控制理论的意义实际上理想的线性系统并不存在组成系统的各元件的动态和静态特性都存在着不同程度的非线性
自动控制原理
第八章 非线性控制系统分析
8-1 非线性控制系统概述
1. 研究非线性控制理论的意义
实际上，理想的线性系统并不存在，组成 系统的各元件的动态和静态特性都存在着不同 程度的非线性。
y M -a K 0 a -M x
13
8
3、饱和特性 当输入|x|≤ a 时， y与x呈线性关系， 即y=Kx；当输入|x|> a时，输出y保持为 一常值 。a为线性区，K是饱和特性线性 区的斜率。 饱和特性对系统的影响比较复杂，随 系统的结构和参数的不同而不同。但一般 来说，饱和特性往往促使系统稳定，但会 减小系统的放大系数，降低系统的稳态精 度。
y y y
0
x
0
x
0
x
3
2. 非线性系统的特征 稳定性分析复杂，系统可能存在多个平衡状态； t x0 e x x( x 1) x(t ) 1 x0 x0 et
4
可能存在自激振荡现象； 频率响应发生畸变。
3. 非线性系统的分析与设计方法
自动控制原理第八章非线性控制系统
如果一个非线性系统在初始扰动下偏离平衡状态，但在时间推移过程中能够恢复到平衡状态，则称该系统是稳定 的。
线性系统稳定的必要条件
系统矩阵A的所有特征值均具有负实 部。
系统矩阵A的所有特征值均具有非正实 部，且至少有一个特征值为0。
劳斯-赫尔维茨稳定判据
劳斯判据
通过计算系统矩阵A的三次或更高次特征多项式的根的实部来判断系统的稳定性。如果所有根的实部 均为负，则系统稳定；否则，系统不稳定。
输出反馈方法
通过输出反馈来改善非线性系统的性能，实 现系统的稳定性和跟踪性能。
自适应控制方法
通过在线调整控制器参数来适应非线性的变 化，提高系统的跟踪性能和稳定性。
非线性系统的设计方法
根轨迹法
通过绘制根轨迹图来分析系统的稳定性，并 设计适当的控制器。
相平面法
通过绘制相平面图来分析非线性系统的动态 行为，进行系统的分析和设计。
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自动控制原理第八章非线性 控制系统
目录
• 非线性系统的基本概念 • 非线性系统的分析方法 • 非线性系统的稳定性分析 • 非线性系统的校正与设计 • 非线性系统的应用实例
01
非线性系统的基本概念
非线性系统的定义
非线性系统的定义
非线性系统是指系统的输出与输入之 间不满足线性关系的系统。在自动控 制原理中，非线性系统是指系统的动 态特性不能用线性微分方程来描述的 系统。
02
它通过将非线性系统表示为一 个黑箱模型，通过测量系统的 输入输出信号来研究其动态特 性。
03
输入输出法适用于分析具有复 杂结构的非线性系统，通过实 验测量和数据分析，可以了解 系统的动态响应和稳定性。
03
自动控制原理第八部分非线性控制系统分析
8.2 常见非线性特性及其对系统运动的影响
在一个控制系统中,包含有一个以上的非线性元件，
就构成了非线性系统。 控制系统中的典型非线性特性有：
8.2.1 饱和特性 饱和非线性的输入输出关系及数学表达式如下：
xa ka y kx x a ka x a
对系统的影响：
y
上的斜率应大小相等，符号相同。
( x , x )
x
图8-15
相轨迹对称于原点
f ( x, x ) f ( x, x )
(8-14)
2.相平面上的奇点
由相轨迹的斜率方程
x dx dx f ( x, x) 可知,相上的
点
只要不同时满足x 0, f ( x, x ) 0 ( x, x )
例8-1.设系统的微分方程为：
x
x x 0 x
其相平面图如右图所示 （绘制方法在下节介绍）
D
0
E
C
图中的箭头表示系统的 状态沿相轨迹的移动方向。
1 A B
x
p
图8-9 例8-1的相平面图
18
由图可知： （1）在各种初始条件下（任意一条相轨迹），系统都趋向原点（0,0）,说 明原点是系统的平衡点，系统是稳定的。
f ( x, x )
x(t), 也可以写成以t为参变量的形式，用 这个 来表示。
x f (x )
x(t)
x
x
t 图8-8 方程的解
1.相轨迹：如果我们取 x 和 作为平面的直角坐标，则 x 系统在每一时刻的 均相应于平面上的一点。当 t 变化时， ( x, x ) 这一 点 x x 平面上将绘出一条相应的轨迹-----相轨迹。 在 它描述系统的运动过程。 2.相平面: x 平面称为相平面。对于一个系统，初始条件 x 不同时，其方程的解也不同。因而针对不同的初始条件，可以绘出不同的相轨迹。 若以各种可能的状态作为初始条件，则可得到一组相轨迹族。
《自动控制原理》第八章非线性控制系统分析
K G jw = ( ) S 0.1S+1)( 0.2S+1) ( K −0.3w− j(1−0.02w2 )] [ = 4 2 w 0.0004w + 0.05w +1) (
S= jw
令 ImG(jw) = 0 即 1 – 0.02w2 = 0 ，可得 G(jw) 曲线与负实轴交点的频率为：
1 wx = = 50 = 7.07rad / s 0.02
C(t)
∆2 ∆3 ∆ = ∆1 + + k k k2 1 1
K1 ，k2 ，k3 为传递函数各自的增益
处于系统前向通路最前边的元件，其死区所 造成的影响最大，而放大元件和执行元件的影响 可以通过提高这些元件前几项的传递函数来减小。 死区对系统的直接影响是造成稳态误差，降 低了定位精度。
≤ 时，输出量 y 与 x 是线 饱和：当输入量 x≤ a x> a > 时，输出量不再 性关系 y = kx ，当 随着输入量线性增长，而保持为某一常值。
两条曲线在交点处的幅值相等，即： −π
1 1 1 2 [arcsin + 4 1−( ) ] A A A = −1
得：A = 0.5 应用奈氏判据可以判断交点对应的周期运动 2.5sin7.07t 是稳定的，故当 k = 15 时，非线性系统 工作在自振状态，自振振幅 A = 2.5 ，频率 w = 7.07rad/s （2）欲使系统稳定地工作，不出现自振荡，由于 G(s) 的极点均在右半平面，故根据奈氏判据
相对负倒描述函数为：
A A2 ( ) 1 π π h h − =− =− NA ( ) 4 4 A2 h2 1−( ) ( ) −1 h A
采用相对描述函数后，系统的特征方程改写为：
自动控制原理：第八章 非线性控制系统分析(描述函数)
【例8】系统如图，说明系统是否自振，并确定使系统稳定的初值
(A)范围。
【解】等效变换求等效G*(s)。
D(s) 1 N ( A) G1(s) G1(s) 0
N ( A) G1(s) 1 G1(s)
N ( A) G1(s) 1 1 G1(s)
G
*(s)
G1 ( s) 1 G1(s)
N ( A) 8
88
G( j )
2K
j (1 j )
2K
12
1
j
1
8
j
8
K
1
8 0.3927
Ac 8 2 3.6
K A ,
【例7】系统如图，已知
G1
(
s)
N
(
A)
1, s(s 1) 4M 1 A
G2 ( s)
h
2
A
K s
(A
h)
（1）G3 ( s),系1统是否自振？确定使系统自振的K值范围；求 K=2时的自振参数。
A
1
h 2
A
j
4Mh
A2
M h
4h
A
1
h 2
A
j
4h2
A2
1 A
N ( A) 4h
1 1 h 2
j
h
A
4h
1
h
2
A
j
h
A
A A
A
1
h
2
j
4h A 4
4. 自振分析（定性）
穿入 穿出 相切于
不是自振点 的点 是自振点
半稳定的周期运动
自振条件：
名称
自动控制原理非线性系统的分析
式中A,B为实常数与初始条件有关相轨迹分别为以
( F c/k,0 )和 (F c/k,0 ) 为圆心的椭圆族.
7
y
0
4
-Fc/k
1
3
-Fc/k
Xc
2
由图可见
⑴
Fc k
xc
Fc k
时,系统运动停止于横轴上，如
初始点1出发,经2，3点到横轴上4点，与0点有稳态偏差.
⑵若以 y /为纵轴将变成圆族。
13
ii．共俄复根在s右半平面 (10) :不稳定焦点
iii.一对负实根 稳定节点， 1 临界稳定。
iv.一对正实根 ( 1) 不稳定节点
14
V 一对共轭虚根 ξ＝０ ——中心点
等幅振荡
Vi 一对共轭实根 （正反馈） ——鞍点（不稳定）
15
可见，当定出奇点的特征，那么它附近导流的运动也 相应确定下来。 ④特征区：奇点周围相轨迹具有共性的区域，共性是指 普通点（描述点）在该区域内不是沿相轨迹趋于奇点（吸 引）就是沿相轨迹离开奇点（发散），他们对应的区域分 , 别称为吸引区、发散区。
利用这一特征可判断系统品质。因为在奇点附近某一 特征区域内画出一条相轨迹，即可知道其他初始条件下导 流运况。这也为画相轨迹提供了理论依据。
例： 试绘制由下列方程描述的非线性系统的相平面图。
dx 0
⑶利用系统特征方程根确定奇点位置及特征
如二阶系统 x 2n x n 2 x 0 ,s 2 2n s n 2 0
常令 x 0 ,x 0 求(奇 x ,0 )也 点 可 x x ff( (x x ,,用 y y ) ) 解出x. i.共轭复根 (01) 在s左半平面 :稳定焦点
自动控制原理课件：非线性系统的分析
( ) 90 arctan arctan
4
求与负实轴的交点
90 arctan arctan
4
180
5
arctan arctan arctan 4 2 90
4
1
4
2
4
1 2
G ( j )
1
10
称 , 为相变量，它们构成二维平面称为相平面
相变量在相平面上运动的轨迹称为相轨迹, 即在一定
初始条件下满足上述微分方程的解.
相平面模型即 非线性二阶系统的状态空间模型.
x(t )
d x(t ) / dt d x(t ) f ( x(t ), x(t ))
dx(t )
x(t ) dx(t ) / dt
作用的基波分量，近似为“线性系统”。
01
描述函数是非线性特性的一种近似表示，是一种谐波线性化方法，忽略
非线性环节输出中的高次谐波，用基波分量表示其输出。
e(t ) X sin t
c1 (t )
N(X )
表示非线性环节的输出一次谐波分量对正弦输入信号的复数比。
N(X )
使用上常将描述函数表示为的函数.
的初始状态无关。
非线性系统的稳定性和零输入响应的性质不仅取决于系统的结构、参数，而且
与系统的初始状态有关。
2. 系统的自持振荡
线性系统只有两种基本运动形式：发散（不稳定）和收敛（稳定）。
非线性系统除了发散和收敛两种运动形式外，即使无外界作用，也可能会发生
自持振荡。
4
dx(t )
2
x
自动控制原理第8章非线性控制系统
自动控制原理第8章非线性控制系统在自动控制系统中，线性控制系统一直被广泛应用，因为线性系统的行为可预测且易于分析。
然而，在实际的控制系统中，往往存在着一些非线性特性，如非线性环节、非线性传感器和非线性负载等。
非线性系统的行为往往更为复杂，因此需要采用特殊的控制方法来进行控制。
8.1非线性系统的特性非线性系统与线性系统相比，具有以下几个特点：1.非线性特性：非线性系统的输入和输出之间的关系不符合线性定律，而是非线性关系。
这种非线性关系可能是由于系统内部的非线性元件或非线性行为导致的。
2.非线性行为：在非线性系统中，系统的行为经常出现不可预测的情况。
当输入信号的幅值较小时，系统的行为可能是线性的，但是当幅值增大时，系统的行为可能会发生剧烈的变化。
3.非线性耦合：在非线性系统中，不同输入变量之间可能存在耦合关系。
当一个输入变量发生改变时，可能会影响到其他输入变量的行为。
4.非线性稳定性：在非线性系统中，稳定性分析比线性系统更为困难。
非线性系统可能存在多个平衡点或者极限环，而且稳定性分析需要考虑到非线性因素的影响。
8.2非线性系统的建模对于非线性系统的控制，首先需要对系统进行建模，以便进行后续的分析和设计。
非线性系统的建模可以采用两种常用的方法：数学建模和仿真建模。
1.数学建模：数学建模是利用数学模型来描述非线性系统的行为。
非线性系统的数学建模可以采用微分方程、差分方程、泰勒级数展开、输入输出模型等多种方法。
2.仿真建模：仿真建模是利用计算机仿真软件来模拟非线性系统的行为。
通过建立系统的数学模型，并利用计算机进行仿真，可以得到系统的输出响应和稳定性分析。
8.3非线性控制方法在非线性控制系统中，常用的控制方法包括自适应控制、模糊控制和神经网络控制等。
1.自适应控制：自适应控制用于处理未知或难以测量的非线性系统。
自适应控制方法通过不断调整控制器的参数，以适应系统的变化。
2.模糊控制：模糊控制利用模糊逻辑和模糊推理来处理非精确和不确定的输入量。
自动控制原理非线性系统知识点总结
自动控制原理非线性系统知识点总结自动控制原理是现代控制领域中的核心学科，广泛应用于各个工程领域。
在自动控制原理课程中，非线性系统是一个重要的研究对象。
非线性系统具有较复杂的动态行为，与线性系统相比，其稳定性和性能分析更为困难。
在本文中，我们将对非线性系统的知识点进行总结。
1. 静态非线性系统静态非线性系统是最简单的非线性系统，其输出仅与输入的幅值相关。
常见的静态非线性函数有幂函数、指数函数、对数函数等。
分析静态非线性系统时，通常采用泰勒级数展开或者离散化的方法。
2. 动态非线性系统动态非线性系统是具有时间相关性的非线性系统。
其中最基本的形式是非线性微分方程。
在动态非线性系统中，常见的动力学行为有极值、周期、混沌等。
在分析动态非线性系统时，可以采用相位平面分析、Lyapunov稳定性分析等方法。
3. 线性化由于非线性系统分析的困难性，常常采用线性化的方法来近似描述非线性系统的行为。
线性化方法可以将非线性系统在某一操作点上进行线性近似，从而得到一个线性系统。
采用线性化方法时，需要注意选取适当的操作点，以保证线性化模型的准确性。
4. 系统稳定性非线性系统的稳定性是研究非线性系统的重点之一。
与线性系统相比，非线性系统的稳定性分析更为困难。
常用的方法有Lyapunov稳定性分析、输入输出稳定性分析等。
在稳定性分析时，需要考虑非线性系统的各种动力学行为，比如局部极大值点、周期分岔点、混沌行为等。
5. 非线性反馈控制非线性反馈控制是应用最广泛的非线性控制方法之一。
非线性反馈控制利用非线性函数对系统的输出进行修正，以实现系统的稳定性和性能要求。
其中，常见的非线性反馈控制方法有滑模控制、自适应控制、模糊控制等。
6. 非线性系统的鲁棒性鲁棒性是研究非线性系统控制的重要性能指标之一。
鲁棒控制能够保证系统在存在不确定性或者干扰的情况下，仍然保持稳定性和性能要求。
常见的鲁棒控制方法有H∞控制、鲁棒自适应控制等。
7. 非线性系统的最优控制最优控制是针对非线性系统的性能指标进行优化设计的方法。
自动控制原理-第七章 非线性系统分析
p p p ( x1 , x 2 ) ( x1 x 10 ) ( x 2 x 20 ) x1 x 2 Q ( x , x ) Q ( x x ) Q ( x x ) 1 2 1 10 2 20 x1 x 2
p ( x1 , x 2 ) a ( x1 x10 ) b( x 2 x 20 ) Q( x1 , x 2 ) c( x1 x10 ) d ( x 2 x 20 )
c 区域： a Tc c k m
c k m c 1 （k m c) T T ct 0 由奇点定义： k m c 0 c 常数 c k m 1 k m c dc T dc c 区域： c 常数 奇线： c k m
§7-4
奇点及极限环
dx 0 奇点概念：相轨迹上满足 dx 0 不定式的特殊点，称为奇点。
在奇点处有多条相轨迹穿过或趋于该奇点，相当于系统处于 平衡状态 一 奇点分类：(线性系统)
2 2 n x n x 0 x 2 2 n x n x x dx 2 x dx 2 n x n x dt (*) 相轨迹方程 dx x dx x dt
介绍：典型非线性特性、相平面法、描述 函数法
§7-1引言
稳定性 1．线性系统与非线性系统区别： 输出曲线 等幅振荡 稳态输出
2．非线性特性（典型） 1）死区
0 x a y k ( x a ) x a k ( x a ) x a
0 = k ( x aSignx)
x1 a ( x1 x 10 ) b( x 2 x 20 ) x 2 c( x1 x10 ) d ( x 2 x 20 )
自动控制原理非线性控制系统分析
自动控制原理
第八章 非线性控制系统分析
8-3 相平面法
相平面法是一种求解一、二阶常微分方程 的图解法。其实质是将系统的运动过程形象地 转化为相平面上一个点的移动，通过研究这个 点的移动轨迹，就可获得系统运动规律的全部 信息。
相平面法可以用来分析一、二阶线性或非 线性系统的稳定性、平衡位置、时间响应、稳 态精度及初始条件和参数对系统运动的影响。
16
⑵ -1< ζ <0
相轨迹为离 心螺旋线，最 终发散到无穷。
0.5 , n 1
17
⑶ ζ>1(过阻尼）
相轨迹为 非周期衰减 曲线，最终 趋于原点。
1.25 , n 1
18
⑷ ζ< -1 相轨迹为非周期发散。
19
⑸ ζ =0
相轨迹为围绕 坐标原点的一 簇椭圆，椭圆 的参数由初始 条件及ωn确定。
点，代表了系统在该时刻的一个状态。
4
相轨迹：设初始时刻t0，初始条件x(0)= x0,
相点从(x0, x&0 )开始，随着时间的增加，系统的
状态不断变化，沿着时间增加的方向，将描述 这些状态的相点连接起来，在相平面上就形成 了一条轨迹线，这种反映系统状态变化的轨迹 线叫相轨迹，如图：
x&
t1
t4
自动控制原理非线性系统分析
其中：
A0
1
2
2
y(t)dt
0
An
1
2
y(t) cosntdt
0
Bn
1
2
y(t)sin ntdt
0
Yn An2 Bn2
n
arctan
An Bn
设非线性特性均为对称奇函数，A0 0 ，忽略高次谐波，则
y(t) A1 cost B1 sin t Y1 sin(t 1)
4
2 K ( X sin t a) sin tdt
1
4KX
4
1 2
1
1 2
s
in
1
c os1
sin1
c
os1
1
arcsin
a X
1 0
第8章 非线性系统分析
B1
4KX
4
1 arcsin a
2
X
1 2
a X
8．2 描述函数法 描述函数法是在频率域中分析非线性系统的一种工程近似方 法，是频率法在一定假设条件下在非线性系统中的推广应用。 8.2.1 描述函数的基本概念 1．谐波线性化 谐波线性化就是在输，入正弦时函数的情况下，将非线性元件输 出的非正弦周期信号用其中的基波分量来代替，而略去信号中的 高次谐波。 设一个非线性元件，其输出输入关系表示为
特征根为负，系统稳定，其动态过程按指数规律衰减。如图。
第8章 非线性系统分析
（2）当 x0 1时， x 项的系数
(1 x0 ) 0，微分方程变为
自动控制原理第七章非线性系统分析
02
非线性系统的分析方法
相平面法
相平面法是一种通过绘制系统的 相图来分析非线性系统的动态行
为的方法。
它通过将系统的状态变量绘制在 二维平面上，显示系统的平衡状 态、周期运动和混沌运动等不同
状态。
相平面法可以用于分析非线性系 统的稳定性、分岔和混沌等现象。
描述函数法
描述函数法是一种通过引入描 述函数来分析非线性系统的频 率特性的方法。
滑模控制是一种变结构控制方法，通过设计滑模面和滑模控制器，使 得系统状态在滑模面上滑动，以达到控制系统的目的。
非线性系统的设计方法
相平面法
通过分析非线性系统的相轨迹，了解系统的动态行为，并 设计适当的控制器来控制系统状态。
描述函数法
通过分析非线性系统的频率特性，了解系统的动态行为， 并设计适当的控制器来控制系统状态。
它通过将非线性系统近似为线 性系统，并利用频率响应函数 来描述系统的频率特性。
描述函数法可以用于分析非线 性系统的谐振、倍周期分岔等 现象。
逆系统法
逆系统法是一种通过构建逆系统来补偿非线性系 统的非线性特性的方法。
它通过设计一个逆系统来抵消原系统的非线性， 从而将非线性系统转化为线性系统进行处理。
根轨迹法
根轨迹法是通过绘制系统的根轨迹图来分析系统的稳定性，根轨迹是指系统的极点随参数变化而变化 的轨迹。
劳斯稳定判据
劳斯稳定判据是判断线性系统稳定性的重要方法之一，其基本思想是通过 计算系统的极点，判断极点是否位于复平面的左半部分。
劳斯稳定判据的优点是简单易行，适用于多变量系统，可以同时考虑系统 的所有极点。
03
非线性系统的稳定性分析
定义与特点
定义
非线性系统的稳定性是指系统在受到 扰动后，能否恢复到原来的平衡状态 。
自动控制理论-第八章 非线性系统分析
3.3 奇点的分类
对于一阶系统，一般可写成： 根据奇点的定义，一阶系统没有奇点。 对于二阶系统，一般可写成： 该方程的特征根为：
a 1 S 1, 2 = − ± a 2 − 4b 2 2
因此根据a、b取值的不同，在 可以分为如下页所示的六种类型：
许多非线性系统在一定的条件下可以近似的视作线性 系统。这种有条件地把非线性数学模型化为线性数学模型 来处理的方法，称为非线性数学模型的线性化。采用线性 化的方法，可以在一定条件下将线性系统的理论和方法用 于非线性系统，从而使问题简化。
2.2小范围线性化：
控制系统都有一个额定的工作状态以及与之相对应 的工作。在该状态点，若函数在给定区域内有各阶导数存 在，便可以在给定工作点的邻域将非线性函数展开为泰勒 级数。当偏差范围很小时，可忽略展开式中偏差的高次 项，从而得到只包含偏差一次项的线性化方程式。这种线 性化方法称为小范围线性化。
3.继电器特性
a)
理想继电器
b)
有死区的继电器
c)
有回环的 继电器
d)
有死区和回 环的继电器
继电器特性的数学表达式为
& − ma < x < a, x > 0 ⎧ 0 ⎪ 0 & − a < x < ma, x < 0 ⎪ ⎪ y = ⎨b sgn( x) x ≥a ⎪ b & x ≥ ma, x < 0 ⎪ & x ≤ − ma, x > 0 ⎪ −b ⎩
2.5 例题8-1
具有饱和特性的 非线性系统的方框图 如右图，图中饱和特 性的输入－输出关系 可以用下式表示 ：
自动控制原理第8章 非线性系统分析
一、 相平面的基本概念
设二阶非线性系统的微分方程为：
x f (x, x) 0
若令 x1 x, x2 x 则二阶系统可写成两个一阶微分方程，即
x1 x2
x2
f
(
x1,
x2
)
dx2 f ( x1, x2 )
dx1
x2
1.相平面，相点和相轨迹
以 x1 为横坐标，x2 为纵坐标的平面称为相平面， 相应的分析法称为相平面法；
x1 x2
x x
x1 x2
x2
f ( x1, x2 )
一般形式为
x1
f1( x1, x2 )
x2 f2 ( x1, x2 )
消去时间变量t，得到相轨迹的斜率方程
dx2 f2 ( x1, x2 ) dx1 f1( x1, x2 )
求解可得相轨迹方程，即
奇点为坐标原点,称 为不稳定焦点。
图8-4 -1＜＜0
时的相轨迹
(b) ＜-1时，特征根 是两个正实根，响应为 单调发散，相轨迹是一 族从原点出发向外单调 发散的抛物线，如图所 示。奇点为坐标原 点，称为不稳定节点。
图 8-5 ＜-1时的相轨迹
(c)对图所示的正反馈二阶系统
r(t)
n2 x1
相轨迹的斜率方程为:
dx2 2n x2 n2x1
dx1
x2
系统的奇点(平衡点)满足
dx2 0 dx1 0
解得 x1 0, x2 0 为系统的奇点。
系统的特征根为
1，2 -n n 2-1
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自动控制原理非线性分析知识点总结自动控制原理是工程领域中的一门重要学科，它研究的是如何通过
设备和技术手段，使得系统的运行能够自动控制并满足特定的性能要求。
非线性分析则是探讨系统在非线性条件下的行为特性。
在这篇文
章中，我们将对自动控制原理中的非线性分析知识点进行总结。
一、非线性系统的定义与特点
非线性系统是指系统的输出与输入之间的关系不是简单的比例关系，而是呈现出非线性的特征。
与线性系统相比，非线性系统具有以下几
个特点：
1. 非线性叠加性：系统的输出并不是输入信号的简单叠加，而是受
到系统自身状态和非线性特性的影响。
2. 非线性失稳性：非线性系统可能会出现失稳现象，即系统的输出
会趋向于无穷大或无穷小。
3. 非线性动态行为：非线性系统在输入信号发生变化时，其输出信
号的变化可能是不连续的，出现跳跃、震荡等现象。
二、非线性系统的分析方法
1. 相平面分析法：通过绘制相平面图，可以直观地了解系统的非线
性行为。
相平面图可以显示出系统的轨迹、奇点等信息，帮助我们分
析系统的稳定性和动态特性。
2. 频域分析法：利用频域分析方法，我们可以对非线性系统进行频
谱分析，找出系统的频率响应和频率特性。
通过分析系统的幅频特性
和相频特性，我们可以判断系统的稳定性和动态性能。
3. 时域响应分析法：时域分析是对系统的输入信号与输出响应进行
时间上的观察和分析。
通过观察和分析系统的阶跃响应、脉冲响应、
频率响应等，可以推断出系统的稳定性和动态特性。
4. 广义函数法：广义函数是处理非线性系统时常用的一种数学方法。
通过引入广义函数，我们可以简化非线性系统的数学描述，方便进行
分析与计算。
5. 数值模拟方法：对于复杂的非线性系统，我们可以利用计算机进
行仿真和数值模拟，通过对系统的模拟实验，得到系统的动态行为和
性能参数。
三、非线性系统的稳定性分析
1. 稳定性概念：稳定性是衡量系统响应的一种重要指标。
对于非线
性系统，我们通常关注的是渐近稳定性和有界稳定性。
渐近稳定性指
的是系统在经过一段时间后，输出信号能趋于有限值。
有界稳定性指
的是系统的输出信号受到界限限制，不会超出一定范围。
2. 纯粹时滞系统的稳定性判据：对于一类特殊的非线性系统——纯
粹时滞系统，我们可以通过判别方程的零点位置来判断其稳定性。
当
判别方程的所有根的实部小于零时，系统是渐近稳定的。
3. 极坐标法的应用：极坐标法是一种常用的稳定性分析方法，通过
将非线性系统的状态量用极坐标表示，可以简化系统的数学描述，并
帮助我们判断系统的稳定性。
四、非线性系统的控制方法
1. 反馈线性化方法：反馈线性化是控制非线性系统的常用方法之一，通过引入反馈控制器，将非线性系统转化为等效的线性系统进行控制。
2. 滑模控制方法：滑模控制是一种鲁棒控制方法，通过引入滑模面
和滑模控制律，可以有效地抑制非线性系统的不确定性和扰动。
3. 自适应控制方法：自适应控制是一种能够自动调节控制参数的方法，适用于非线性系统参数变化较大或者系统模型不准确的情况。
4. 非线性优化方法：非线性优化是一种通过优化控制输入信号，使
得系统性能达到最优的方法。
利用非线性优化方法，我们可以最大化
系统的性能指标，如误差最小化、能耗最小化等。
五、非线性系统的应用领域
非线性系统的分析和控制方法在许多领域都有广泛的应用，如航天
航空、电力电子、自动驾驶等。
在这些应用领域中，非线性系统往往
具有比较复杂的动态行为和性能要求，需要借助有效的非线性分析方
法和控制策略。
综上所述，非线性分析是自动控制原理中的重要内容，通过对非线
性系统的分析和控制，可以帮助我们全面了解系统的动态行为和性能
特性，并设计出更加稳定和优化的控制策略。
在实际工程应用中，我
们需要综合运用各种分析方法和控制技术，针对不同的非线性系统进行有效的分析与控制。