小问题大用处：高中数学小问题集中营之高三专题：平面向量：专题五 向量模和夹角求解策略问题.doc
利用向量的模和夹角求解平面几何问题
利用向量的模和夹角求解平面几何问题平面几何作为数学的一个重要分支，研究平面内的点、线、面以及它们之间的关系和性质。
在解决平面几何问题时，向量的模和夹角是非常有用的工具。
本文将通过几个具体例子，介绍如何利用向量的模和夹角来解决平面几何问题。
一、利用向量模解决平面几何问题1. 平行线段判定在平面几何中，有时需要判定两条线段是否平行。
若给定线段的两个端点的坐标，可以利用向量的模来解决此问题。
假设有线段AB和线段CD，其坐标分别为A(x1, y1)、B(x2, y2)和C(x3, y3)、D(x4, y4)。
可以求得向量AB = (x2-x1, y2-y1)和向量CD = (x4-x3, y4-y3)，然后比较两个向量的模是否相等，若相等，则可以判定两条线段平行。
2. 判断三角形形状对于给定的三个点A、B、C，用向量的模可以判断出三角形的形状。
假设三个点的坐标分别为A(x1, y1)、B(x2, y2)、C(x3, y3)。
可以求得向量AB = (x2-x1, y2-y1)和向量AC = (x3-x1, y3-y1)，然后比较两个向量的模，若模相等，则可以判定三角形为等边三角形；若模不相等，还需比较两个向量的夹角，若夹角等于90度，则可以判定三角形为直角三角形；否则为一般三角形。
二、利用向量夹角解决平面几何问题1. 判断点是否在直线上在平面几何中，判断一个点是否在直线上是一个常见的问题。
给定直线上两点的坐标A(x1, y1)和B(x2, y2)，以及待判断的点C(x3, y3)，可以利用向量的夹角来解决此问题。
求得向量AB = (x2-x1, y2-y1)和向量AC = (x3-x1, y3-y1)的夹角，若夹角等于0度或180度，则可判定点C在直线AB上。
2. 判断两条直线的夹角给定两条直线的方程，可以利用向量的夹角来判断两条直线的夹角。
以直线L1的斜率为k1，直线L2的斜率为k2，根据向量的性质，可以求得直线L1的方向向量为(1, k1)，直线L2的方向向量为(1, k2)。
利用向量解决几何平面夹角问题
利用向量解决几何平面夹角问题在几何学中，角是一个非常重要的概念，有时候需要计算两个几何平面之间的夹角。
利用向量计算几何平面之间的夹角是一个经常使用的方法。
本文将介绍如何利用向量解决几何平面夹角问题。
向量的定义首先，我们需要了解向量的定义。
向量是一个标量的排列，表示的是从向量起点到终点的位移。
向量通常用加粗的小写字母表示，如$a$、$b$、$c$。
向量的模（也称为长度）可以使用勾股定理来计算，记为$|\overline{a}|$。
向量的加法和减法可以使用平行四边形法则图形直观表示。
加法表示两个向量尾部相接，从而生成一个新向量，记为$\overline{a}+\overline{b}$；减法表示将一个向量的反向与另一个向量相加，生成一个新向量，记为$\overline{a}-\overline{b}$。
向量的点积、叉积和角度接下来是向量的点积、叉积和角度。
向量的点积是一个标量，表示两个向量之间的夹角（记为$\theta$）的余弦值与它们的长度乘积的积，记为$\overline{a}\cdot\overline{b}=|\overline{a}||\overline{b}|\cos\theta$。
注意，如果两个向量垂直，则$\cos\theta=0$。
因此，两个垂直的向量的点积为$0$，表示它们之间的夹角是$90°$。
向量的叉积是一个向量，表示两个向量之间的夹角的正弦值与它们的长度乘积的积，记为$\overline{a}\times\overline{b}=|\overline{a}||\overline{b}|\sin\theta\cdot \hat{n}$，其中$\hat{n}$是垂直于$\overline{a}$和$\overline{b}$的单位向量。
注意，如果两个向量平行，则$\sin\theta=0$，因此它们的叉积是$0$，表示它们之间的夹角是$0°$。
求夹角的公式就是$\theta=\arccos\frac{\overline{a}\cdot\overline{b}}{|\overline{a}||\overline {b}|}$。
平面向量的坐标与向量的夹角
平面向量的坐标与向量的夹角平面向量是数学中的重要概念，用来表示有大小和方向的量。
在二维平面内，我们可以使用坐标系来表示平面向量的坐标，同时还可以通过计算得出向量之间的夹角。
本文将介绍平面向量的坐标表示方法以及向量之间的夹角计算公式。
一、平面向量的坐标表示方法平面向量可以用一个有序数对来表示。
在二维直角坐标系中，我们通常使用两个实数表示一个平面向量的坐标。
假设有一个平面向量v，它的x轴坐标为x，y轴坐标为y，则可以表示为v=(x, y)。
对于平面向量的坐标表示，我们可以通过底边和高边的坐标差来计算。
假设有两个点A(x1, y1)和B(x2, y2)，则向量AB的坐标表示为v=(x2-x1, y2-y1)。
二、向量的夹角向量的夹角是描述向量之间夹角大小的概念。
对于平面中的两个向量v1=(x1, y1)和v2=(x2, y2)，它们的夹角可以通过以下公式计算得出：cosθ = (x1*x2 + y1*y2) / (|v1| * |v2|)其中θ表示向量v1和向量v2之间的夹角，|v1|和|v2|表示向量v1和v2的模（长度）。
通过夹角的计算公式，我们可以得知向量之间的夹角大小。
若夹角大于90度，则表示两个向量之间为钝角；若夹角等于90度，则表示两个向量之间为直角；若夹角小于90度，则表示两个向量之间为锐角。
三、示例问题为了更好地理解平面向量的坐标和向量的夹角，我们来看一个示例问题。
问题：已知向量u=(3, 4)和向量v=(2, -1)，求两个向量之间的夹角。
解析：首先计算向量u和向量v的模（长度）：|u| = √(3^2 + 4^2) = √(9 + 16) = √25 = 5|v| = √(2^2 + (-1)^2) = √(4 + 1) = √5然后计算向量u和向量v的点积：u*v = (3*2 + 4*(-1)) = 6 - 4 = 2将计算结果代入夹角的计算公式：cosθ = (2) / (5 * √5)通过计算可得cosθ的值为2 / (5 * √5)。
人教A版高中数学必修42.4.2平面向量数量积的坐标表示、模、夹角
- 9 - λ ≠0
规律总结：
设两个非零向量a =(x1, y1),b=(x2, y2 )的夹角为θ，则
(1) θ = 900 ⇔ x1x2 + y1 y2 = 0;
(2) θ = 00 或180 0 ⇔ x1 y2 - x2 y1 = 0;
(3) 00 < θ < 900 ⇔
x1x2 + y1 y2 > 0 x1 y2 - x2 y1 ≠0；
定 义： a •b = a b cosθ
模长公式： a = a • a 夹角公式： cosθ = a •b
ab
垂直关系： a ⊥b⇒a•b=0
探究新知
问题2：平面向量的表示方法有几何法和坐标法，向 量的加法、减法、数乘都可以用坐标表示， 向量的数量积可否类比也用坐标表示呢？
新课引入
已知两个非零向量a=(x1,y1),b=(x2,y2), 怎样用a与b的坐标表示a·b?
解: (1)由已知得 3• λ+1×(- 3) = cos450 32 +12 λ2 +(- 3)2
即 3λ - 3= 5 • λ2 +9
解得 λ = 6. (2)若夹角θ 为锐角，则有 cosθ > 0, 且 cosθ ≠1,
∴a • b > 0且a与b不同向。
3λ - 3 > 0
即
解得 λ >1.
3λ - 3 > 0
即
解得 λ >1.
- 9 - λ ≠0
故a与b的夹角θ是锐角时， λ的取值范围为
(1，ư + y1 y2
例2、已知 a =(3,1),b =(λ，-3)，
x12 + y12 x22 + y22
平面向量的模与夹角
平面向量的模与夹角平面向量是学习高中数学中的一个重要内容，它的模和夹角是基本概念之一。
在这篇文章中，我们将详细讨论平面向量的模与夹角。
一、平面向量的模平面向量的模表示向量的大小，也可以看作是从原点到向量终点的距离。
对于平面上的向量v = (a, b)，其模记作|v|，可以通过勾股定理计算得到：|v| = √(a² + b²)例如，对于向量v = (3, 4)，可以计算得到|v| = √(3² + 4²) = √(9 + 16) = √25 = 5。
在计算向量模的过程中，我们需要注意向量的方向，并且模是非负的。
二、平面向量的夹角平面向量的夹角表示两个向量之间的夹角大小。
夹角可以使用点积或坐标法来进行计算。
1. 点积法设有两个非零向量u = (x₁, y₁)和v = (x₂, y₂)。
根据点积的公式，可以得到两个向量的夹角θ的余弦值为：cosθ = (x₁*x₂ + y₁*y₂) / (|u| * |v|)2. 坐标法设有两个非零向量u = (x₁, y₁)和v = (x₂, y₂)。
可以使用向量的内积公式，计算两个向量的夹角θ的余弦值为：cosθ = ((x₁, y₁)·(x₂, y₂)) / (|u| * |v|)这两种方法在计算时都需要注意向量的方向，并且返回的结果是夹角的余弦值，如果需要获得夹角的度数，可以使用反余弦函数进行进一步计算。
三、平面向量的相关性质除了模和夹角，平面向量还具有一些相关性质，如平移、伸缩和旋转等。
1. 平移对于平面上的向量u = (x, y)，如果将其起点平移至新的位置(α, β)，则得到的新向量v的坐标为v = (x-α, y-β)。
平移后向量的模和夹角不变。
2. 伸缩对于平面上的向量u = (x, y)和实数k，将向量u的长度伸缩k倍，则得到的新向量v的坐标为v = (kx, ky)。
伸缩后向量的模变为原来的k 倍，夹角不变。
平面向量的数量积和向量夹角
平面向量的数量积和向量夹角平面向量是研究平面上的物理量时常用到的工具。
平面向量有两个重要的运算：数量积和向量夹角。
本文将详细介绍平面向量的数量积和向量夹角，并探讨它们在实际问题中的应用。
一、平面向量的数量积平面向量的数量积又称为点积或内积，是两个向量之间的一种乘法运算。
记作 A·B 或A∙B。
对于平面向量 A=(x₁, y₁) 和 B=(x₂, y₂)，它们的数量积定义为：A·B = x₁x₂ + y₁y₂数量积有以下几个重要的性质：1. 对换律：A·B = B·A2. 分配律：A·(B+C) = A·B + A·C3. 数乘结合律：(kA)·B = k(A·B)，其中 k 是任意实数数量积可以用于计算向量之间的夹角、判断两个向量是否垂直或平行，以及计算向量的模长等。
二、平面向量的向量夹角平面向量的向量夹角是指两个向量之间的夹角。
记作θ。
假设向量A 和向量 B 的夹角为θ，则有以下关系：cosθ = (A·B) / (|A|·|B|)其中，A·B 是向量 A 和向量 B 的数量积，|A| 和 |B| 分别是向量 A和向量 B 的模长。
根据夹角的余弦值可以判断两个向量之间的关系：1. 若cosθ = 1，夹角θ = 0°，则 A 和 B 方向相同；2. 若cosθ = -1，夹角θ = 180°，则 A 和 B 方向相反；3. 若cosθ = 0，夹角θ = 90°，则 A 和 B 垂直。
三、平面向量的数量积和向量夹角的应用1. 判断两个向量是否垂直或平行：根据数量积的性质，如果两个向量的数量积为零，则这两个向量一定是垂直的；如果两个向量的数量积非零且模长比例相同，则这两个向量一定是平行的。
2. 计算向量的模长：根据向量的数量积定义可以得到以下公式：|A| = √(A·A)即向量的模长等于它自己与自己的数量积的平方根。
高考100题平面向量：专题五 平面向量的夹角问题
I．题源探究·黄金母题【例1】若12,e e 是夹角为60︒的两个单位向量，则122a e e =+ ，1232b e e =-+的夹角为（）A．30︒B．60︒C．120︒D．150︒【解析】由题意，得12121||||cos 11cos 602e e e e θ⋅==⨯⨯︒= ．1212(2)(32)a b e e e e ⋅=+⋅-+ ＝221122176||2||6222e e e e -+⋅+=-++=- ．222121122||(2)4||4||a e e e e e e =+=++ 144172+⨯+=222121122||(32)9||124||b e e e e e e =-+=-+ 1912472-⨯+=．所以1cos ,2||||a b a b a b ⋅<>==-，则,120a b <>=︒ ，故选C．II．考场精彩·真题回放【例2】【2016全国新课标Ⅲ卷理】已知向量13(22BA =uu v ，31,),22BC =uu u v 则ABC ∠=（）A．30︒B．45︒C．60︒D．120︒【答案】A【解析】由题意，得cos ||||BA BC ABC BA BC ⋅∠=＝133132222112⨯+=⨯，所以30ABC ∠=︒，故选A．【例3】【2015届重庆高考理】若非零向量,a b 满足223a = ，且()()32a b a b -⊥+ ，则a 与b 的夹角为（）A．4πB．2πC．34πD．π【答案】A【例4】【2014全国新课标Ⅰ卷】已知,,A B C 为圆O 上的三点，若12AO AB AC =+ （），则AB 与AC的夹角为_______．【答案】90︒【解析】由12AO AB AC =+（），故,,O B C 三点共线，且O 是线段BC 中点，故BC 是圆O 的直径，从而90BAC ∠=︒，因此AB 与AC的夹角为90︒．【例5】【2014山东高考卷文】已知向量(a = ，()3,b m = .若向量,a b的夹角为π6，则实数m =（）A．C．0D．【答案】B【解析】因为cos ,,||||a ba b a b ⋅<>=⋅所以cos6π=解得m =，故选B．【例6】【2014四川高考卷理】平面向量(1,2)a = ，(4,2)b =，c ma b =+ （m R ∈），且c 与a 的夹角等于c与b的夹角，则m =（）A．2-B．1-C．1D．2【答案】 D.【解析】()()()1,24,24,22c ma b m m m =+=+=++ ，c 与a 的夹角等于c 与b 的夹角，所以a c b ca cb c⋅⋅=，=，解得2m =，故选D．精彩解读【试题来源】人教版A 版必修四第119页复习参考题B 组第1题中第（5）题【母题评析】本题中,a b是利用两个已知向量的线性关系表示出来的，因此求它们的夹角时主要经过四个过程：即求a b→||a →||b →cos ,a b <> ，主要考查向量夹角的计算及向量模、数量积的计算.对向量夹角的考查方式是近几年高考试题常常采用的命题形式之一，.【思路方法】求向量的夹角无论向量是何种形式给出，通常都要考虑如何去确定两个向量的数量积，以及两个向量模的大小，才能利用夹角运算公式．【命题意图】本类题主要考查平面向量夹角的求法．【考试方向】这类试题在考查题型上，通常基本以选择题或填空题的形式出现，难度中等或较小．【难点中心】（1）平面向量的夹角公式有坐标形式与非坐标两种形式，解答时注意分析条件，选择适宜的形式；（2）利用向量夹角公式的坐标形式通常在运算上比较复杂，常常是分别计算出分子和分母的值，再代入公式中进行求解．III．理论基础·解题原理考点一向量夹角的定义已知两个非零向量a 和b ，如图，作OA a = ，OB b = ，则(0180)AOB θθ∠=︒≤≤︒叫做向量a 与b的夹角．显然，当0θ=︒时，a 与b 同向；当180θ=︒时，a 与b反向．如果a 与b 的夹角是90︒，我们说a 与b 垂直，记作a b ⊥ ．考点二平面向量夹角的坐标形式若向量11(,)a x y = ，22(,)b x y =，则cos ,a b <>=考点三平面向量夹角的非坐标形式向量,a b 所成的夹角为cos ,||||a ba b a b ⋅<>=．【考试方向】这类试题在考查题型上，通常基本以选择题或填空题的形式出现，难度中等或偏下，有时也会与三角函数、解三角形等知识交汇．【技能方法】求解向量夹角问题通常有两类题型：（1）求已知两个向量的夹角，通常直接利用公式进行计算即可；（2）根据夹角的大小或关系求解相关的参数及其它问题，解答时通常是利用平面向量夹角公式建立方程（组）来解决，主要步骤分为两步：（1）简化向量的表达式；（2）利用向量夹角公式建立方程（组）；（3）解方程（组）求得参数．【易错指导】（1）确定平面向量的夹角时必须注意向量的方向，易错误确定为夹角的补角．（2）错误认为当两个向量,a b 的夹角为锐角，等价于0a b ⋅> ，事实上，0a b ⋅> 时，,a b 的夹角也可能为0︒．同样当两个向量,a b 的夹角为钝角，也不等价于0a b ⋅<．V．举一反三·触类旁通考向1求两个向量的夹角【例1】【2016河北唐山一模，理3】已知向量a b ，满足()2a a b ⋅-= ，且1a = ，2b = ，则a 与b的夹角为（）A．6πB．3πC．56πD．23π【答案】D【方法点拨】求两个向量的夹角，通常利用夹角公式直接求解，在求解中一定要抓住如何确定公式中的数量积与模的大小来展开．【跟踪训练】已知向量()()()3,1,1,3,,2a b c k ===-，若()//a c b - ，则向量a 与向量c 的夹角的余弦值是（）A．5B．15C．5-D．15-【答案】A考向2根据平面向量的夹角求解参数问题【例2】【2016届山西省山西大学附中高三10月月考】已知,a b是平面内互不相等的两个非零向量，且||1,a a b =- 与b的夹角为150 ，则||b 的取值范围是（）A．]3,0(B．C．]2,0(D．2]【答案】C【解析】如图所示，,,AB a AD b ==则AC DB a b ==- ，因为a b - 与b 的夹角为150 ，即150DAB ∠=︒，所以30ADB ∠=︒．设DBA θ∠=，则0150θ<<︒．在ABD ∆中，由正弦定理得a b θ=︒ ，所以sin 2sin a b θθ=⨯=︒，所以02b <≤，故选C．【名师点睛】根据向量的夹角求相关参数的值或取值范围，无论是坐标形式的向量还是非坐标形式的向量夹角，都必须要建立方程（组）来解决．【跟踪训练】已知向量a = ，(,1)b m = ．若向量,a b 的夹角为32π，则实数m =________．A．C．0D．2【答案】A考向3平面向量夹角与函数的交汇【例3】【2016届辽宁省沈阳东北育才学校高三上二模】已知向量,a b满足20a b =≠ ，且关于x 的函数32()2365f x x a x a bx =-+⋅+ 在实数集R 上有极值，则向量,a b的夹角的取值范围是（）A．0,6π⎡⎫⎪⎢⎣⎭B．,3ππ⎛⎤⎥⎝⎦C．2,33ππ⎛⎤⎥⎝⎦D．,3ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦【答案】B【解析】由于32()2365f x x a x a bx =-+⋅+ 在R 上有极值，则2()666f x x a x a b '=-+⋅ 的值在R 上有正也有负，所以0∆>，即2()40a a b -⋅> ．因为20a b =≠ ，得1cos 2θ<，所以,3πθπ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦，故选B．【易错点晴】平面向量的夹角与函数的交汇主要体现为函数解析式中某些项的数是利用平面向量的模与数量积给出，根据函数的某些条件求向量的夹角，或给出相关向量的夹角大小或关系，求解函数的相关问题．解答时通常是将向量的模与数量积当作整体参与到代数运算中，求得它们的模与数量积，再求解要解答问题．考向4平面向量夹角与三角函数的交汇【例4】【2016年北京朝阳区高考保温考试】已知向量(sin ,1cos )m B B =- ，向量(2,0)n = ，且m 与n的夹角为3π，其中,,A B C 是ABC ∆的内角．（1）求角B 的大小；（2）求sin sin A C +的取值范围．【答案】（1）3B 2π=；（2）(,1]2．【规律总结】平面向量的夹角与三角函数的交汇通常体现为以三角函数为向量的坐标，同时给出向量的夹角大小或范围，求解角的大小及相关的参数等．解答的策略主要有两类：（1）利用平面向量夹角公式化为纯三角函数，然后利用三角函数的知识求解；（2）利用三角函数知识求得平面向量的模或向量的夹角后，然后可利用平面向量夹角公式求解．考向5平面向量夹角与解析几何的交汇【例5】给定抛物线C ：24y x =，F 是C 的焦点，过点F 的直线l 与C 相交于,A B 两点．设l 的斜率为1求OA与OB夹角的余弦值．【答案】31441-【例6】【2016年江西赣州市上期末】设F 是抛物线C ：24y x =的焦点，过点(1,0)A -且斜率为(0)k k ≠的直线与抛物线C 交于,M N 两点，设FM 与FN的夹角为120︒，则实数k =___________．【答案】12±【解析】设过点(1,0)A -且斜率为(0)k k ≠的直线的方程为(1)y k x =+，与24y x =联立消去y ，并整理，得2222(24)0k x k x k +-+=．设1122(,),(,)M x y N x y ，则212242k x x k-+=，121x x =，所以221216y y =．∵120y y >，所以124y y =，所以21212284(1)(1)k FM FN x x y y k-⋅=--+= ，1224||||(1)(1)FM FN x x k=++= ．∵FM 与FN 的夹角为120︒，∴1cos1202||||FM FN FM FN ⋅︒==-，即22284142k k k -=-⨯，解得12k =±．【名师指引】因为解析几何中曲线上的点是利用坐标表示的，这与向量的坐标运算完全融合在一起，因此圆锥曲线中的夹角问题与平面向量中的夹角问题也有紧密联系．解答此类题主要是抓住向量的坐标表示及坐标间的关系，这又常常与韦达定理结合来处理．。
向量的模与向量之间夹角的求解
向量的模与向量之间夹角的求解《向量的模与向量之间夹角的求解》1. 导言在数学中，向量是一个具有大小和方向的量，我们经常需要对向量的模与向量之间的夹角进行求解。
这不仅在数学中有着重要的应用，也在物理、工程等领域中有着广泛的应用。
本文将从向量的定义入手，探讨向量的模和向量之间夹角的求解方法，帮助读者更深入地理解这一基础知识。
2. 向量的定义与模的求解向量是具有大小和方向的量，通常用箭头表示。
在二维空间中，向量可以表示为(x, y)，即由x轴和y轴的分量组成。
而在三维空间中，向量可以表示为(x, y, z)，同样由x、y、z轴的分量组成。
向量的模即是向量的大小，通常表示为|AB|，其中A和B分别是向量的起点和终点。
在二维空间中，向量的模可以通过勾股定理求解：|AB| = √(x² + y²)。
在三维空间中，向量的模可以通过类似的方法求解：|AB| = √(x² + y² + z²)。
3. 向量之间夹角的求解当我们有两个向量A和B时，我们经常需要求解它们之间的夹角。
夹角的求解可以使用向量的点积和余弦定理来进行计算。
向量A和向量B的点积可以表示为A·B = |A|·|B|·cosθ，其中|A|和|B|分别表示向量A 和向量B的模，θ表示A和B之间的夹角。
通过这个公式，我们可以求解夹角θ：cosθ = A·B / (|A|·|B|)。
4. 具体案例分析假设有向量A(3, 4)和向量B(5, 2)，我们来计算它们之间的夹角。
我们可以计算出向量A和向量B的模：|A| = √(3² + 4²) = 5，|B| = √(5² + 2²) = √29。
我们可以计算出向量A和向量B的点积：A·B = 3*5 + 4*2 = 23。
带入公式cosθ = A·B / (|A|·|B|)，即可计算出夹角θ的数值。
平面向量中夹角问题
平面向量中夹角问题本文将讨论平面向量中的夹角问题。
平面向量是在平面上具有大小和方向的量，可以用箭头表示。
两个平面向量的夹角可以通过向量的坐标形式或向量的数量积来计算。
坐标形式计算夹角设平面上有两个向量A和B，其坐标形式分别为A(x1, y1)和B(x2, y2)。
则通过求解向量A和B的数量积，可以计算出它们的夹角θ。
具体步骤如下：1. 计算向量A和B的数量积，公式为A·B = x1·x2 + y1·y2。
2. 计算向量A和B的模，公式为|A| = √(x1² + y1²) 和 |B| = √(x2² + y2²)。
3. 计算夹角θ，公式为θ = arccos((A·B) / (|A|·|B|))。
4. 最后得到的夹角θ的单位是弧度，若需要转换成角度，则可以使用角度制和弧度制的换算公式进行转换。
数量积计算夹角除了坐标形式，还可以使用向量的数量积来计算平面向量的夹角。
数量积的性质之一是：若两个向量的夹角为θ，则它们的数量积等于两个向量的模的乘积与夹角的余弦值的乘积，即A·B =|A|·|B|·cosθ。
根据这个性质可以得到以下计算夹角的公式：1. 计算向量A和B的数量积，公式为A·B = |A|·|B|·cosθ。
2. 计算向量A和B的模，公式为|A| = √(x1² + y1²) 和|B| = √(x2² + y2²)。
3. 计算夹角θ，公式为θ = arccos((A·B) / (|A|·|B|))。
4. 最后得到的夹角θ的单位是弧度，若需要转换成角度，则可以使用角度制和弧度制的换算公式进行转换。
以上就是平面向量中夹角问题的相关计算方法。
在应用中，根据实际情况选择合适的计算方法，可以更方便地求解平面向量的夹角。
向量的模与向量之间夹角的求解
向量的模与向量之间夹角的求解【最新版】目录1.引言2.向量的模的定义与计算方法3.向量之间夹角的定义与计算方法4.实际应用与例题5.结论正文一、引言在数学和物理学中，向量是一个非常重要的概念。
向量的模和向量之间的夹角是向量运算中常见的两个问题。
在本文中，我们将介绍如何求解这两个问题。
二、向量的模的定义与计算方法向量的模指的是向量的长度，通常用符号||a||表示。
计算向量 a 的模，需要将向量 a 的每个分量平方，求和后开方。
具体公式为：||a|| = √(a1^2 + a2^2 + a3^2 +...)其中，a1、a2、a3 等是向量 a 在各个方向上的分量。
三、向量之间夹角的定义与计算方法向量之间的夹角是指两个向量之间的角度，通常用θ表示。
计算两个向量之间的夹角，需要用到向量的点积。
具体公式为：cosθ = (a·b) / (||a|| * ||b||)其中，a·b 表示向量 a 和向量 b 的点积，||a||和||b||分别表示向量 a 和向量 b 的模。
四、实际应用与例题假设有两个向量 a = (1, 2) 和 b = (3, 4)，我们需要求解它们的模和夹角。
首先，计算向量 a 的模：||a|| = √(1^2 + 2^2) = √5接着，计算向量 a 和向量 b 的点积：a·b = (1 * 3) + (2 * 4) = 11然后，计算 cosθ：cosθ = (a·b) / (||a|| * ||b||) = 11 / (√5 * √(3^2 + 4^2)) = 11 / (√5 * 5) = 11 / √5最后，求解θ：θ = arccos(11 / √5)五、结论通过以上的计算，我们可以得到向量 a 和向量 b 的模分别为√5 和√(3^2 + 4^2)，它们之间的夹角为 arccos(11 / √5)。
高中数学平面向量系列 核心考点 数量积应用求两向量的夹角问题3
高中数学平面向量系列核心考点数量积应用求两向量的
夹角问题3
向量是高中数学中最为重要的概念之一，它们可以用来描述空间中的点、线、面和曲线，主要用于研究物理学中的运动理论。
这篇文章的主要目的是讲解如何使用数量积法来解决平面向量夹角问题。
首先，我们来看看什么是数量积法，数量积法是用来求解两个向量的夹角的一种数学方法。
它的思想是，对于两个向量a和b，将它们叉乘，得到结果是a×b，然后再将a×b的结果与a和b的模进行相乘，即有|a|*|b|*cosθ，其中θ是两个向量夹角。
接下来我们来看看实际操作中的步骤，首先需要准备的材料有：a和b两个向量，这两个向量的模值分别为|a|和|b|；其次，将这两个向量叉乘，得到结果是a×b；然后再将a×b的结果与a和b的模进行相乘，即有|a|*|b|*cosθ；接下来，可以将cosθ与其余两项进行除法，从而求出θ，得到最终结果θ。
本文中给出的解决方案是应用数量积法求解两个向量夹角的问题，这种方法可以有效地解决这类问题。
当然，不同的情况也存在不同的解决方法，解决问题的方法可以根据具体情况来进行选择。
总的来说，应用数量积法求解两个向量的夹角问题是一种快速有效的方法。
它可以有效地简化解决复杂的问题的工作量，加快解决问题的速度，也可以有效地解决和维护向量夹角问题。
通过本文的介绍，我们可以了解到，使用数量积法可以解决夹角问题，并且它可以有效地提高解决问题的效率。
为了系统地学习和熟
练掌握使用数量积法解决向量夹角问题，我们应当加以积极的练习，在练习中发现和纠正自己的不足，这样才能更好地提高自己的学习水平。
平面向量的夹角与余弦定理
平面向量的夹角与余弦定理平面向量是解决几何问题中非常重要的概念之一。
夹角是两个向量之间的角度关系，而余弦定理则是用来计算夹角的公式。
本文将详细介绍平面向量的夹角及其应用的余弦定理。
一、平面向量的夹角概念平面向量是指既有大小又有方向的箭头，通常用字母加上一个右上角小箭头表示。
平面向量的夹角就是指两个向量之间的角度关系，可以通过余弦定理来计算。
当两个向量的夹角为零度时，表示它们的方向相同；当夹角为180度时，表示它们的方向完全相反；当夹角为90度时，表示它们互相垂直。
二、余弦定理的推导假设有两个平面向量a和b，它们的夹角为θ。
根据向量的定义，可以将向量分解为水平方向和垂直方向的分量。
那么向量a可以表示为a = a1 + a2，向量b可以表示为b = b1 + b2。
其中，a1和b1分别为a 和b在水平方向上的分量，a2和b2分别为a和b在垂直方向上的分量。
根据向量的加法和减法规律，可以得到a - b = a1 - b1 + a2 - b2。
由此可得，向量a减去向量b的长度平方等于其水平分量之差的长度平方加上垂直分量之差的长度平方。
即|a - b|^2 = |a1 - b1|^2 + |a2 - b2|^2。
同时，由于|a|^2 = |a1|^2 + |a2|^2和|b|^2 = |b1|^2 + |b2|^2，可以将上式变形为|a|^2 + |b|^2 - 2|a||b|cosθ = |a1|^2 + |b1|^2 + |a2|^2 + |b2|^2 -2(a1b1 + a2b2)。
进一步整理可得到|a||b|cosθ = a1b1 + a2b2。
由于|a| = √(|a1|^2 + |a2|^2)和|b| = √(|b1|^2 + |b2|^2)，可以将上式改写为|a||b|cosθ = a1b1 + a2b2/(√(|a1|^2 + |a2|^2)√(|b1|^2 + |b2|^2))。
三、余弦定理的应用余弦定理可以用来计算两个向量的夹角。
高中数学平面向量系列 核心考点 数量积应用求两向量的夹角问题3
高中数学平面向量系列核心考点数量积应用求两向量的夹角问题3高中数学学科中，平面向量系列是一门极为重要的数学知识，也是一门实用性非常强的数学科目。
在平面向量系列课程中，“核心考点量积应用求两向量的夹角问题”是必须掌握的重点内容之一。
首先，对于两个向量的夹角问题，最重要的是了解两个向量的特征，以及它们之间的关系。
向量的特征可以用向量的分量来表示，向量的分量是一个有方向的量，包括长度和角度，可以用两个实数来表示：向量的长度和角度。
其次，根据向量的分量可以表示出两个向量之间的角度。
若向量$a = (a_x,a_y)$和向量$b = (b_x,b_y)$，则两个向量之间的夹角$theta$可以用数量积的形式表示：$a cdot b = |a| cdot |b| cdot cos theta$，其中|a|和|b|分别表示$a$和$b$的模长，$a cdot b$表示数量积。
最后，利用数量积表示出两个向量之间的夹角，就可以求出两个向量之间的夹角了。
计算公式如下：$costheta = frac{a cdot b}{|a| cdot |b|}$，其中，$a cdot b$是数量积，$|a|$和$|b|$分别表示两个向量的模长，最后求得的夹角$theta$应该换算为弧度制。
实际应用中，用数量积应用求两个向量的夹角问题可以用于计算许多物理和几何问题，例如地理中的风向，三角形的内角之和等等。
由此可见，核心考点“数量积应用求两向量的夹角问题”对学习者具有重要的意义，必须在课堂上熟练掌握。
针对“数量积应用求两向量的夹角问题”这一考点，掌握的方法是：首先，通过了解两个向量的特征，用向量的分量来表示，即通过表示它们长度和角度的实数来表示；其次，用数量积的形式表示两个向量之间的夹角，即$a cdot b = |a| cdot |b| cdot cos theta$；最后，通过这一表示式，考生就可以计算出两个向量之间的夹角了，最后求得的夹角应该换算为弧度制。
高一数学平面向量的投影与夹角
高一数学平面向量的投影与夹角平面向量是高中数学中一个重要的概念，它在几何、代数以及物理等多个学科领域都有广泛的应用。
其中，平面向量的投影与夹角是数学中常见且重要的内容。
本文将对平面向量的投影与夹角进行详细的解释和讨论。
1、平面向量的定义与性质平面向量可以用有向线段来表示，具有大小和方向两个特征。
向量的大小可以用模长表示，而方向可以用与坐标轴的夹角来描述。
具体而言，设向量a的坐标表示为(a1, a2)，则其模长可以表示为|a| = √(a1² + a2²)。
对于向量的加法、减法、数量乘法等运算，我们可以直接对其坐标进行相应的计算。
比如，设向量a的坐标表示为(a1, a2)，向量b的坐标表示为(b1, b2)，则有向量的加法 a + b = (a1 + b1, a2 + b2)。
这些运算的结果同样是向量。
2、向量的投影与夹角的概念向量的投影是描述一个向量到另一个向量上的投影长度。
具体而言，设向量a为被投影的向量，向量b为目标向量，则向量a在向量b上的投影记作proj(b)a，其计算公式为proj(b)a = |a| · cosθ，其中θ为向量a与向量b之间的夹角。
夹角是向量之间的重要性质，它不仅可以衡量两个向量的夹紧程度，还可以用于计算向量的投影和求解几何问题等。
夹角的计算有两种常见的方法：点乘和向量的模长乘积。
对于两个向量a和b，它们的夹角θ可以通过点乘公式表示为a·b = |a| · |b| · cosθ，据此可以求解夹角θ的值。
3、向量的投影与夹角的示例举例来说，设有向量a = (3, 4)和向量b = (5, 12)，求向量a在向量b上的投影和向量a与向量b之间的夹角。
首先，计算向量的模长：|a| = √(3² + 4²) = 5，|b| = √(5² + 12²) = 13。
其次，计算向量的点乘：a·b = (3, 4)·(5, 12) = 3·5 + 4·12 = 61。
向量夹角求解题技巧
向量夹角求解题技巧在向量的运算与应用中，经常需要求解两个向量之间的夹角。
夹角的求解是一个重要的数学问题，在物理、几何、力学、电磁学等领域都有广泛应用。
以下是一些常见的求解向量夹角的技巧。
1. 余弦定理：余弦定理是求解任意两条边之间夹角的常用公式。
设向量A和向量B的夹角为θ，则有以下公式成立：cosθ = (A·B) / (|A| |B|)其中，A·B表示向量A和向量B的点乘，|A|和|B|分别表示向量A和向量B的模长。
通过余弦定理，我们可以计算两个向量之间的夹角。
2. 向量的点乘：向量的点乘可以表示向量之间的相似程度。
设向量A和向量B的夹角为θ，则有以下公式成立： A·B = |A| |B| cosθ其中，A·B表示向量A和向量B的点乘，|A|和|B|分别表示向量A和向量B的模长。
通过向量的点乘，我们可以求解两个向量的夹角。
3. 向量的叉乘：向量的叉乘是向量之间的一种运算，用来求解两个向量之间的垂直性和平行性。
设向量A和向量B的夹角为θ，则有以下公式成立：|A × B| = |A| |B| sinθ其中，A ×B表示向量A和向量B的叉乘，|A|和|B|分别表示向量A和向量B的模长。
通过向量的叉乘，我们可以计算两个向量之间的夹角。
4. 向量的投影：向量的投影是将一个向量分解为该向量在另一个向量方向上的投影和垂直于该方向的分量。
设向量A和向量B的夹角为θ，则向量A在向量B上的投影为：|A| cosθ其中，θ为向量A和向量B的夹角，|A|为向量A的模长。
通过向量的投影，我们可以求解两个向量之间的夹角。
在具体求解向量夹角的问题中，我们可以根据实际情况选择适合的方法和技巧。
有时候，我们可以结合多种方法进行求解，以得到更准确的结果。
在实际应用中，还可以借助计算机和数学软件来求解向量夹角，提高计算的效率和精确度。
在求解向量夹角的过程中，我们需要注意以下几点：1. 向量的方向：向量A和向量B的顺序对求解结果有影响。
平面向量的夹角与垂直性质
平面向量的夹角与垂直性质平面向量是数学中的一种重要概念，它不仅在几何学和物理学领域中具有广泛应用，还被广泛应用于工程和计算机科学等其他学科。
在研究平面向量时，我们常常需要探讨向量之间的夹角关系和垂直性质。
本文将深入探讨平面向量的夹角概念与垂直性质，以及它们在实际问题中的应用。
一、夹角的定义与性质夹角是研究平面向量时常用到的一个概念。
给定两个非零向量A和A，它们之间的夹角可以通过向量的点积进行计算。
设向量A的模为A，向量A的模为A，向量A与向量A的夹角为A，则有以下重要的性质：1. 夹角是一个带方向的量，范围在[0,A]之间，可以用弧度或度数来表示。
2. 夹角的余弦值可以通过向量的点积公式求得：AAAA = A·A / (AA)。
3. 当两个向量夹角为A/2（90度）时，我们称它们为垂直向量。
垂直向量的点积为0，即A·A = 0。
二、夹角与三角函数的关系在平面向量的研究中，夹角与三角函数的关系是十分重要的。
我们常用余弦和正弦函数来计算夹角的数值。
以余弦函数为例，设给定两个非零向量A和A，夹角为A，则有以下关系：1. AAAA = A·A / (AA)，其中A和A分别表示向量A和A的模。
2. 通过求反余弦函数可以求得夹角的值：A = AAA^−1(A·A / (AA))。
三、夹角的几何意义夹角不仅具有数学上的定义和性质，还有其重要的几何意义。
夹角的大小和方向可以用来描述向量之间的关系和空间中的物体运动。
以下是夹角在几何学中的几个典型应用。
1. 方向判定：通过比较夹角的大小可以确定两个向量的相对方向。
若A > 0，则A在A的逆时针方向；若A < 0，则A在A的顺时针方向。
2. 平行判定：若两个向量的夹角为0度，则它们是平行向量。
平行向量的特点是它们的方向相同或相反，且模的比值为常数。
3. 垂直判定：若两个向量的夹角为A/2（90度），则它们是垂直向量。
高中数学小问题集中营之高三：平面向量：专题五 向量模和夹角求解策略问题(含答案解析)
高考试卷中以求向量模和夹角为背景的题目比比皆是,是考查向量知识的重点和热点题型之一,长度和角度是几何的重要元素,因为备受命题者的青睐,本文从各个角度阐述模和夹角的各种求法,虽不能概全,但是能起到抛砖引玉的作用。
1. 向量模的定义向量AB 的大小，也就是向量AB 的长度（或称模），记作||AB ．长度为0的向量叫做零向量，长度等于1的向量叫做单位向量． 2. 向量模的计算公式（1）非坐标形式：2||||a a a a ==⋅；（2）坐标形式：若(,)a x y =，则2||a x y =+3. 向量夹角的定义已知两个非零向量a 和b ，如图，作OA a =，OB b =，则(0180)AOB θθ∠=︒≤≤︒叫做向量a 与b 的夹角．显然，当0θ=︒时，a 与b 同向；当180θ=︒时，a 与b 反向． 如果a 与b 的夹角是90︒，我们说a 与b 垂直，记作a b ⊥． 4. 平面向量夹角的坐标形式若向量(,)a x y =，(,)b x y =,a b <>=5. 平面向量夹角的非坐标形式 向量,a b ,||||a ba b a b ⋅<>=．1.平面向量夹角求法例1. 【2015高考重庆，理6】若非零向量a ，b 满足|a |=|b |，且（a -b ）⊥（3a +2b ），则a 与b 的夹角为 （ ） A 、4π B 、2π C 、34π D 、π 【解析】由题意22()(32)320a b a b a a b b -⋅+=-⋅-=，即223cos 20a a b b θ--=，所以2320θ⨯-=，cos θ=，4πθ=，选A . 【评注】在a 与b 的夹角公式中会涉及a b ⋅和a ，b 基本量，结合已知条件进行合理转化． 2．向量模长的求法例2. 【2016黑龙江哈尔滨六中高三下期中】设x ∈R ，向量(,1)a x =，(1,2)b =-，且a b ⊥，则a b +＝（ ）A ．5B ．10C ．25D ．10【解析】∵a b ⊥r r ，∴20a b x ⋅=-=r r，2x =，则(3,1)a b +=-，所以10a b +=，故选B ．例 3. 【2016山东寿光现代中学高三下开学检测】平面向量a b 与r r的夹角为()2,0,13a b π==，rr ，则2a b -=r r （ ）A ．B ．0CD ．2 【解析】由题意，得2||202a =+=，所以22222244||4||4||||cos3a b a b a b a b a b π-=+-⋅=+-r r r r r r r r r r ＝22124142142+⨯-⨯⨯⨯=，所以22a b -=r r ，故选D ．【评注】求两个向量的模主要有两种题型：（1）求给出坐标的向量(,)a x y =的模，利用公式2||a x =+（2）求非坐标形式的向量的模，利用公式2||||a a a a ==⋅求解．3. 由向量模求参数的取值.例 4. 【2016宁夏六盘山高中高三下第二次月考】已知向量(,1),(2,1)a b λλ==+，若a b a b +=-，则实数λ的值为（ ）A ．1B ．2C ．1-D ．2-【解析】因为a b a b a b +=-⇔⊥，所以()(,1)(2,1)0210a b λλλλ⋅=⋅+=⇒++=，得λ的值为1-，故选C ． 4.由向量夹角确定参数的值例5.已知向量(3,1)a =，(,1)b m =．若向量,a b 的夹角为32π，则实数m =________．A ． BC ．0D ．25.由不明确向量夹角定义而致误例6.（2012湖南，5分）在△ABC 中，AB ＝2，AC ＝3，AB ·BC ＝1，则BC ＝( ) A. 3 B.7 C ．2 2D.23【解析】设角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .AB ·BC ＝1，即ac cos B ＝－1.在△ABC 中，再根据余弦定理b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ，及AB ＝c ＝2，AC ＝b ＝3，可得a 2＝3，即BC ＝ 3. 【评注】两个向量夹角是将两个向量起点移到同一点所成的[0.]π的角．1. 已知平面向量(0,1)a =-，(2,1)b =，||2a b λ+=，则λ的值为（ ）A ．1B 1C ．2D ．1 2. 【2016河北唐山一模，理3】已知向量a b ，满足()2a a b ⋅-=，且1a =，2b =，则a 与b 的夹角为（ ） A ．6π B ．3π C ． 56π D ． 23π3. 已知向量()()()3,1,1,3,,2a b c k ===-，若()//a c b -，则向量a 与向量c 的夹角的余弦值是（ ）A B ．15 C ． D ．15-4. 已知向量a b ，均为非零向量(2)a b a -⊥，(2)b a b -⊥，则a b ，的夹角为（ ） A.6π B.23π C.3π D.56π5. 已知非零向量a b ，的夹角为60︒，且121b a b =-=，，则a =（ ）A ．12B ．1CD ．2 6. M 是ABC ∆所在平面内一点，203MB MA MC ++=，D 为AC 中点，则||||MD BM 的值为（ ） A ．12 B ．13C ．1D ．2 7. 已知向量()()2,,1,1a m b ==若a b a b =-，则实数m 等于（ ）A ．12 B ．12- C ．13 D ．13- 8. 已知平面向量a 与b 的夹角等于56π，如果4,3a b ==，那么2a b -=（ ）A B ．9 C ．91 D ．109. 若非零向量a 与向量b 的夹角为钝角，2b =，且当12t =-时，()b ta t R -∈取最小c 满足()()c b c a -⊥-，则当()c a b +取最大值时，c b -等于（ ）A B ． C ． D ．5210. 已知,a b 为平面向量，若a b +与a 的夹角为,3a b π+与b 的夹角为4π，则a b=（ ）A B C D ．2 11. 已知向量(,2)a m =，(1,)b n =-（0n >），且0a b ⋅=，点(,)P m n 在圆225x y +=上，则|2|a b +=（ ）A B ．6 C ． D ．12. 已知非零向量(),2,t t R =-∈a b b b a 、a 与b 的夹角为（ ） A ．30° B ．60° C ．30°或150° D ．60°或120°13. 在ABC ∆中，已知3AB =，2BC =，D 在AB 上，13AD AB =，若3DB DC ∙=，则AC 的长是 . 14. 已知平面向量a 与b 的夹角为3π，且1,223b a b =+=，则a =___________． 15.【2016年江西赣州市上期末】设F 是抛物线C ：24y x =的焦点，过点(1,0)A -且斜率为(0)k k ≠的直线与抛物线C 交于,M N 两点，设FM 与FN 的夹角为120︒，则实数k =___________．参考答案1. 【答案】D 【解析】因为 (2,1)a b λλ+=-，所以222||2(1)4a b λλ+=+-=，又0λ>，解得1λ=，故选D ． 2. 【答案】D3. 【答案】A【解析】()3,3k c a -=-，因为()//a c b -，所以()3331k -⨯=⨯，解得2=k ，当2=k 时，5522104,cos =⨯=⋅>=<c a c a c a，故选A ． 4. 【答案】C【解析】由于(2)a b a -⊥，(2)b a b -⊥，所以(2)0a b a -⋅=，(2)0b a b -⋅=，化简得222cos 0,2cos 0a a b b a b θθ-⋅=-⋅=，两式相减，得到a b =，所以1c o s ,33πθθ==. 5. 【答案】A【解析】由12=得，112114=+⨯-=+⋅-21=，故选A ． 6. 【答案】 B 【解析】因为203MB MA MC ++=，所以212,33MB MA MC MD MD MB -=+==-，故M 在中线BD上，且为靠近D 的一个四等分点，故||13||MD BM =．7. 【答案】D【解析】由向量()()2,,1,1a m b ==，可得2a b m ⋅=+，而(1a b m -=+a b a b =-，可以解得实数m 等于13-，故选D. 8. 【答案】C9. 【答案】A 【解析】试题分析：设,,a MA b MB c MC ===，如图所示，,a b 的夹角为钝角，当,a b ta -垂直时，b ta -取最12a b a ⎛⎫⊥+⎪⎝⎭，过点B 作BD AM ⊥，交AM 延长线于D，则BD =.因为2b MB ==，所以1,120MD AMB =∠=，即,a b 的夹角为120.因为12a b a ⎛⎫⊥+⎪⎝⎭，所以102a b a ⎛⎫⋅+= ⎪⎝⎭，由此解得2a =，即2MA =.因为()()c a c b -⊥-，所以c 的终点C 在以AB 为直径的圆O 上，所以2a b MO +=，所以当,,M O C 三点共线时，()c a b⋅+取得最大值，因为AB =12OB OC AB ===因为 2MA MB ==，O 是AB 中点，所以MO AB ⊥，所以90BOC MOA ∠=∠=，所以c b BC -===10. 【答案】B【解析】根据向量加法的平行四边形法则，sin 4sin 3a bππ==. 11. 【答案】A【解析】0,20a b m n =∴-+=①，(),P m n 在圆225x y +=上，225m n ∴+=②，0,n >∴联立得,()()()2,1;2,2,1,1;23,5;234m n a b a b a b ==∴==-∴+=∴+=，故选A.12. 【答案】D13. 【解析】1||1||=23AD AB AD DB =⇒=，；33cos 2DB DC DC θ∙=⇒=， 所以222233(1)2(2)||1022AC AC -+=--⇒= 14. 【答案】2 【解析】由1b =，将223a b +=的两边同时平方可得，224cos 4123a ab b π+⋅+=，即2144122a a +⋅+=，解得2a =． 15. 12±。
高中数学破题致胜微方法(平面向量专题)：5、平面向量的夹角
向量是有既有方向又有大小的量，考虑两个向量的位置关系时，方向并且模长相等的两个向量相等，并且两个向量所成的夹角取值范围为[0°,180°]。
当我们已知一些条件，如何求得两个向量的夹角？先看一个例题：例1：设m 和n 是两个单位向量,其夹角是60°,求向量2a m n =+与23b n m =-的夹角. 解：题目中m 和n 是已知的，用到cos =||||a b a b θ•，只需先将a b •与||||a b •表示出来即可。
方法一：非坐标形式 227=(2)(23)2||+6||=26+||||cos602a b m n n m n m n m m n •+-=•--•︒=- 22||||=(2)(23)(414||||cos60)(4912||||cos60)7a b m n n m m n m n •+-=++•︒•+-•︒=1cos =2||||a b a b θ•=- 120θ=︒坐标形式不妨设(1,0)m =，m 和n 是两个单位向量,其夹角是60°，则13(,2n =则有532=(,)22a m n =+，23(2,3)b n m =-=- 72a b •=-，||||=7a b •注意：（1）在cos =||||a b a b θ•中，0a b ≠, （2）零向量平行于任意一个向量例2：如图，在ABC ∆和AEF ∆中，B 是EF 的中点，AB=EF=1，CA=CB=2，若2AB AE AC AF •+•=，则EF 与BC 的夹角等于_____________.解：要求EF 与BC 的夹角，知道CB=2，EF=1，只需求出EF BC •的值即可。
需要在2AB AE AC AF •+•=中构造上式可得：11()122AC AB BF AC AB BC EF AC AB +-•+•=+•+•=（1）其中2222||()||2||BC AC AB AC AC AB AB =-=-•+ 得到1=2AC AB •带入（1）得1EF BC •= 1cos ,2||||EF BCEF BC EF BC •<>==•，EF 与BC 的夹角等于60︒ 总结：1.在求两个非零向量a b ,的夹角时，一般用cos =||||a ba b θ•，θ为a b ,的夹角。
高中数学必修4平面向量常考题型：平面向量数量积的坐标表示、模、夹角案
平面向量数量积的坐标表示、模、夹角【知识梳理】1．平面向量数量积的坐标表示若a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，则a·b ＝x 1x 2＋y 1y 2，即两个向量的数量积等于它们对应坐标的乘积的和．2．两个向量垂直的坐标表示设两个非零向量a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，则 a ⊥b ⇔x 1x 2＋y 1y 2＝0. 3．三个重要公式(1)向量模的公式：设a ＝(x 1，y 1)，则|a |＝x 21＋y 21.(2)两点间的距离公式：若A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则|AB u u u r|＝ (x 2－x 1)2＋(y 2－y 1)2.(3)向量的夹角公式：设两非零向量a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，a 与b 的夹角为θ，则cos θ＝x 1x 2＋y 1y 2x 21＋y 21 x 22＋y 22 . 【常考题型】题型一、平面向量数量积的坐标运算【例1】 (1)在平面直角坐标系xOy 中，已知OA u u u r ＝(－1，t )，OB u u u r＝(2,2)，若∠ABO ＝90°，则实数t 的值为________．(2)已知向量a ＝(1,3)，b ＝(2,5)，c ＝(2,1)， 求：①2a ·(b －a )；②(a ＋2b )·c .(1)[解析] AB u u u r ＝OB u u u r －OA u u u r ＝(3,2－t )，由题意知OB u u u r ·AB u u u r＝0，所以2×3＋2(2－t )＝0，t ＝5.[答案] 5(2)[解] 法一：①∵2a ＝2(1,3)＝(2,6)， b －a ＝(2,5)－(1,3)＝(1,2)， ∴2a ·(b －a )＝(2,6)·(1,2) ＝2×1＋6×2＝14. ②∵a ＋2b ＝(1,3)＋2(2,5) ＝(1,3)＋(4,10)＝(5,13)， ∴(a ＋2b )·c ＝(5,13)·(2,1)＝5×2＋13×1＝23.法二：①2a·(b－a)＝2a·b－2a2＝2(1×2＋3×5)－2(1＋9)＝14.②(a＋2b)·c＝a·c＋2b·c＝1×2＋3×1＋2(2×2＋5×1)＝23.【类题通法】数量积运算的途径及注意点(1)进行向量的数量积运算，前提是牢记有关的运算法则和运算性质．解题时通常有两条途径：一是先将各向量用坐标表示，直接进行数量积运算；二是先利用数量积的运算律将原式展开，再依据已知计算．(2)对于以图形为背景的向量数量积运算的题目，只需把握图形的特征，并写出相应点的坐标即可求解．【对点训练】已知向量a与b同向，b＝(1,2)，a·b＝10.(1)求向量a的坐标；(2)若c＝(2，－1)，求(b·c)·a.解：(1)因为a与b同向，又b＝(1,2)，所以a＝λb＝(λ，2λ)．又a·b＝10，所以1·λ＋2·2λ＝10，解得λ＝2>0.因为λ＝2符合a与b同向的条件，所以a＝(2,4)．(2)因为b·c＝1×2＋2×(－1)＝0，所以(b·c)·a＝0·a＝0.题型二、向量的模的问题【例2】(1)若向量a＝(2x－1,3－x)，b＝(1－x，2x－1)，则|a－b|的最小值为________．(2)若向量a 的始点为A (－2,4)，终点为B (2,1)，求： ①向量a 的模；②与a 平行的单位向量的坐标； ③与a 垂直的单位向量的坐标．(1)[解析] ∵a ＝(2x －1,3－x )，b ＝(1－x,2x －1)， ∴a －b ＝(2x －1,3－x )－(1－x,2x －1)＝(3x －2，4－3x )， ∴|a －b |＝(3x －2)2＋(4－3x )2＝18x 2－36x ＋20 ＝18(x －1)2＋2，∴当x ＝1时，|a －b |取最小值为 2. [答案]2(2)[解] ①∵a ＝AB u u u r＝(2,1)－(－2,4)＝(4，－3)，∴|a |＝42＋(－3)2＝5.②与a 平行的单位向量是±a |a |＝±15(4，－3)，即坐标为⎝⎛⎭⎫45，－35或⎝⎛⎭⎫－45，35. ③设与a 垂直的单位向量为e ＝(m ，n )，则a ·e ＝4m －3n ＝0，∴m n ＝34.又∵|e |＝1，∴m 2＋n 2＝1.解得⎩⎨⎧m ＝35，n ＝45，或⎩⎨⎧m ＝－35，n ＝－45，∴e ＝⎝⎛⎭⎫35，45或⎝⎛⎭⎫－35，－45. 【类题通法】求向量的模的两种基本策略(1)字母表示下的运算：利用|a |2＝a 2，将向量模的运算转化为向量与向量的数量积的问题． (2)坐标表示下的运算：若a ＝(x ，y )，则a ·a ＝a 2＝|a |2＝x 2＋y 2，于是有|a |＝x 2＋y 2.【对点训练】设x ∈R ，向量a ＝(x,1)，b ＝(1，－2)，且a ⊥b ，则|a ＋b |＝( ) A.5 B.10 C ．2 5D ．10解析：选B 由a ⊥b ，可得a ·b ＝0，即x －2＝0，得x ＝2，所以a ＋b ＝(3，－1)，故|a ＋b |＝32＋(－1)2＝10.题型三、向量的夹角和垂直问题【例3】 已知平面向量a ＝(3,4)，b ＝(9，x )，c ＝(4，y )，且a ∥b ，a ⊥c . (1)求b 与c ；(2)若m ＝2a －b ，n ＝a ＋c ，求向量m ，n 的夹角的大小． [解] (1)∵a ∥b ，∴3x ＝4×9，∴x ＝12. ∵a ⊥c ，∴3×4＋4y ＝0，∴y ＝－3，∴b ＝(9,12)，c ＝(4，－3)． (2)m ＝2a －b ＝(6,8)－(9,12)＝(－3，－4)， n ＝a ＋c ＝(3,4)＋(4，－3)＝(7,1)． 设m 、n 的夹角为θ， 则cos θ＝m ·n |m ||n |＝－3×7＋(－4)×1(－3)2＋(－4)272＋12＝－25252＝－22. ∵θ∈[0，π]，∴θ＝3π4，即m ，n 的夹角为3π4.【类题通法】解决向量夹角问题的方法及注意事项(1)先利用平面向量的坐标表示求出这两个向量的数量积a ·b 以及|a ||b |，再由cos θ＝a ·b|a ||b |求出cos θ，也可由坐标表示cos θ＝x 1x 2＋y 1y 2x 21＋y 21x 22＋y 22直接求出cos θ.由三角函数值cos θ求角θ时，应注意角θ的取值范围是0≤θ≤π.(2)由于0≤θ≤π，利用cos θ＝a ·b|a ||b |来判断角θ时，要注意cos θ<0有两种情况：一是θ是钝角，二是θ＝π；cos θ>0也有两种情况：一是θ为锐角，二是θ＝0.【对点训练】已知向量OA u u u r ＝(3，－4)，OB u u u r ＝(6，－3)，OC u u u r＝(5－m ，－(3＋m ))．若△ABC 为直角三角形，且∠A 为直角，求实数m 的值．解：若△ABC 为直角三角形，且∠A 为直角，则AB u u u r ⊥AC u u u r ，由已知AB u u u r＝(3,1)，AC u u u r ＝(2－m,1－m )，∴3(2－m )＋(1－m )＝0，解得m ＝74.【练习反馈】1．已知向量a ＝(1，－1)，b ＝(2，x )．若a ·b ＝1，则x ＝( ) A ．－1 B ．－12C.12D ．1解析：选D a ·b ＝(1，－1)·(2，x )＝2－x ＝1⇒x ＝1.2．已知向量OA u u u r ＝(－1,2)，OB u u u r ＝(3，m )，若OA u u u r ⊥AB u u u r，则m 的值是( )A.32 B ．－32C ．4D ．－4解析：选C ∵OA u u u r ＝(－1,2)，OB u u u r＝(3，m )，∴AB u u u r ＝OB u u ur －OA u u u r ＝(4，m －2)，又∵OA u u u r ⊥AB u u u r ，∴OA u u u r ·AB u u u r＝－1×4＋2(m －2)＝－8＋2m ＝0，解得m ＝4.3．设平面向量a ＝(1,2)，b ＝(－2，y )，若a ∥b ，则|3a ＋b |等于________． 解析：a ∥b ，则2×(－2)－1·y ＝0，解得y ＝－4， 从而3a ＋b ＝(1,2)，|3a ＋b |＝ 5. 答案： 54．已知a ＝(1，3)，b ＝(3＋1，3－1)，则a 与b 的夹角为________． 解析：由a ＝(1，3)，b ＝(3＋1，3－1)， 得a ·b ＝3＋1＋3×(3－1)＝4，|a |＝2，|b |＝2 2.设a 与b 的夹角为θ，则cos θ＝a ·b |a ||b |＝22，又0≤θ≤π，所以θ＝π4. 答案：π45．以原点O 和点A (5,2)为顶点作等腰直角三角形OAB ，使∠B ＝90°，求点B 和向量ABu u u r的坐标．解：设点B 坐标为(x ，y )，则OB u u u r ＝(x ，y )，AB u u u r＝(x －5，y －2)． ∵OB u u u r ⊥AB u u u r，∴x (x －5)＋y (y －2)＝0，即x 2＋y 2－5x －2y ＝0.又∵|OB u u u r |＝|AB u u u r|，∴x 2＋y 2＝(x －5)2＋(y －2)2，即10x ＋4y ＝29.由⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋y 2－5x －2y ＝0，10x ＋4y ＝29，解得⎩⎨⎧ x ＝72，y ＝－32，或⎩⎨⎧x ＝32，y ＝72.∴点B 的坐标为⎝⎛⎭⎫72，－32或⎝⎛⎭⎫32，72， AB u u u r ＝⎝⎛⎭⎫－32，－72或⎝⎛⎭⎫－72，32.。
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高考试卷中以求向量模和夹角为背景的题目比比皆是,是考查向量知识的重点和热点题型之一,长度和角度是几何的重要元素,因为备受命题者的青睐,本文从各个角度阐述模和夹角的各种求法,虽不能概全,但是能起到抛砖引玉的作用。
1. 向量模的定义向量AB 的大小，也就是向量AB 的长度（或称模），记作||AB ．长度为0的向量叫做零向量，长度等于1的向量叫做单位向量． 2. 向量模的计算公式（1）非坐标形式：||a ==（2）坐标形式：若(,)a x y =，则||a =3. 向量夹角的定义已知两个非零向量a 和b ，如图，作OA a = ，OB b =，则(0180)AOB θθ∠=︒≤≤︒叫做向量a 与b的夹角．显然，当0θ=︒时，a 与b 同向；当180θ=︒时，a 与b反向． 如果a 与b 的夹角是90︒，我们说a 与b 垂直，记作a b ⊥ ．4. 平面向量夹角的坐标形式5. 平面向量夹角的非坐标形式向量,a b1.平面向量夹角求法例1. 【2015高考重庆，理6】若非零向量a ，b 满足|a |b |，且（a -b ）⊥（3a +2b ），则a 与b 的夹角为 （ ）A 、4πB 、2πC 、34π D 、π 【解析】由题意22()(32)320a b a b a a b b -⋅+=-⋅-= ，即223cos 20a a b b θ--= ，所以2320θ⨯-=，cos θ=，4πθ=，选A . 【评注】在a 与b 的夹角公式中会涉及a b ⋅ 和a ，b基本量，结合已知条件进行合理转化．2．向量模长的求法例2. 【2016黑龙江哈尔滨六中高三下期中】设x ∈R ，向量(,1)a x = ，(1,2)b =- ，且a b ⊥ ，则a b +＝（ ）A ．5B ．10C ．25D ．10【解析】∵a b ⊥r r ，∴20a b x ⋅=-=r r ，2x =，则(3,1)a b +=-，所以a b += 选B ．例 3. 【2016山东寿光现代中学高三下开学检测】平面向量a b 与r r的夹角为()2,0,13a b π==，rr ，则2a b -=r r （ ）A ．B ．0CD ．2【解析】由题意，得||2a ==，所以22222244||4||4||||cos3a b a b a b a b a b π-=+-⋅=+-r r r r r r r r r r ＝22124142142+⨯-⨯⨯⨯=，所以22a b -=r r ，故选D ．【评注】求两个向量的模主要有两种题型：（1）求给出坐标的向量(,)a x y =的模，利用公式||a （2）求非坐标形式的向量的模，利用公式||a ==3. 由向量模求参数的取值.例 4. 【2016宁夏六盘山高中高三下第二次月考】已知向量(,1),(2,1)a b λλ==+，若a b a b +=-，则实数λ的值为（ ）A ．1B ．2C ．1-D ．2-【解析】因为a b a b a b +=-⇔⊥，所以()(,1)(2,1)0210a b λλλλ⋅=⋅+=⇒++= ，得λ的值为1-，故选C ． 4.由向量夹角确定参数的值例5.已知向量a = ，(,1)b m = ．若向量,a b 的夹角为32π，则实数m =________．A ． BC ．0D ．25.由不明确向量夹角定义而致误例6.（2012湖南，5分）在△ABC 中，AB ＝2，AC ＝3，AB ·BC＝1，则BC ＝( ) A. 3 B.7 C ．2 2D.23【解析】设角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .AB ·BC＝1，即ac cos B ＝－1.在△ABC 中，再根据余弦定理b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ，及AB ＝c ＝2，AC ＝b ＝3，可得a 2＝3，即BC ＝ 3. 【评注】两个向量夹角是将两个向量起点移到同一点所成的[0.]π的角．1. 已知平面向量(0,1)a =- ，(2,1)b = ，||2a b λ+=，则λ的值为（ ）A．1 B1 C ．2 D ．12. 【2016河北唐山一模，理3】已知向量a b ，满足()2a a b ⋅-=，且1a = ，2b = ，则a与b的夹角为（ ）A ．6π B ．3π C ． 56π D ． 23π 3. 已知向量()()()3,1,1,3,,2a b c k ===-，若()//a c b - ，则向量a 与向量c 的夹角的余弦值是（ ） AB ．15 C． D ．15-4. 已知向量a b ，均为非零向量(2)a b a -⊥ ，(2)b a b -⊥，则a b ，的夹角为（ ）A.6π B.23π C.3π D.56π5. 已知非零向量a b ，的夹角为60︒，且121b a b =-= ，，则a =（ ） A ．12B ．1 CD ．2 6. M 是ABC ∆所在平面内一点，203MB MA MC ++= ，D 为AC 中点，则||||MD BM的值为（ ） A ．12 B ．13C ．1D ．2 7. 已知向量()()2,,1,1a m b ==若a b a b =- ，则实数m 等于（ ）A ．12 B ．12- C ．13 D ．13- 8. 已知平面向量a 与b 的夹角等于56π，如果4,a b == 2a b -= （ ）AB ．9 CD ．109. 若非零向量a 与向量b 的夹角为钝角，2b = ，且当12t =-时，()b ta t R -∈ 取最小c 满足()()c b c a -⊥- ，则当()c a b + 取最大值时，c b -等于（ ）A B ． C ． D ．5210. 已知,a b为平面向量，若a b + 与a 的夹角为,3a b π+ 与b 的夹角为4π，则ab=（ ）A B C D ．2 11. 已知向量(,2)a m = ，(1,)b n =-（0n >），且0a b ⋅= ，点(,)P m n 在圆225x y +=上，则|2|a b +=（ ）A B ．6 C ． D ．12. 已知非零向量(),2,t t R =-∈a b b b a 、a 与b 的夹角为（ ） A ．30° B ．60° C ．30°或150° D ．60°或120°13. 在ABC ∆中，已知3AB =，2BC =，D 在AB 上，13AD AB = ，若3DB DC ∙=，则AC 的长是 .14. 已知平面向量a 与b 的夹角为3π，且1,2b a b =+= a = ___________．15.【2016年江西赣州市上期末】设F 是抛物线C ：24y x =的焦点，过点(1,0)A -且斜率为(0)k k ≠的直线与抛物线C 交于,M N 两点，设FM 与FN的夹角为120︒，则实数k =___________．参考答案1. 【答案】D【解析】因为 (2,1)a b λλ+=- ，所以222||2(1)4a b λλ+=+-= ，又0λ>，解得1λ=，故选D ． 2. 【答案】D3. 【答案】A【解析】()3,3k c a -=-，因为()//a c b - ，所以()3331k -⨯=⨯，解得2=k ，当2=k 时，5522104,cos =⨯=⋅>=<c a c a c a，故选A ． 4. 【答案】C【解析】由于(2)a b a -⊥ ，(2)b a b -⊥，所以(2)0a b a -⋅= ，(2)0b a b -⋅= ，化简得222cos 0,2cos 0a a b b a b θθ-⋅=-⋅=，两式相减，得到a b = ，所以1cos ,33πθθ==.5. 【答案】A【解析】由12=得，112114=+⨯-=+⋅-21=，故选A ． 6. 【答案】 B【解析】因为203MB MA MC ++= ，所以212,33MB MA MC MD MD MB -=+==-，故M 在中线BD上，且为靠近D 的一个四等分点，故||13||MD BM =． 7. 【答案】D【解析】由向量()()2,,1,1a m b ==，可得2a b m ⋅=+ ，而a b -= a b a b =- ，可以解得实数m 等于13-，故选D. 8. 【答案】C9. 【答案】A 【解析】试题分析：设,,a MA b MB c MC === ，如图所示，,a b 的夹角为钝角，当,a b ta -垂直时，b ta -取最12a b a ⎛⎫⊥+ ⎪⎝⎭ ，过点B 作BD AM ⊥，交AM 延长线于D，则BD =.因为2b MB == ，所以1,120MD AMB =∠=，即,a b 的夹角为120 .因为12a b a ⎛⎫⊥+ ⎪⎝⎭ ，所以102a b a ⎛⎫⋅+= ⎪⎝⎭ ，由此解得2a = ，即2MA =.因为()()c a c b -⊥- ，所以c 的终点C 在以AB 为直径的圆O 上，所以2a b MO += ，所以当,,M O C 三点共线时，()c a b⋅+取得最大值，因为AB =12OB OC AB ===因为 2MA MB ==，O 是AB 中点，所以MO AB ⊥，所以90BOC MOA ∠=∠= ，所以c b BC -===10. 【答案】B【解析】根据向量加法的平行四边形法则，sin 4sin 3a b ππ== . 11. 【答案】A【解析】0,20a b m n =∴-+=①，(),P m n 在圆225x y +=上，225m n ∴+=②，0,n >∴联立得,()()()2,1;2,2,1,1;23,5;2m n a b a b a b ==∴==-∴+=∴+=，故选A.12. 【答案】D13. 【解析】1||1||=23AD AB AD DB =⇒= ，；33cos 2DB DC DC θ∙=⇒= ，所以222233(1)2(2)||22AC AC -+=--⇒= 14. 【答案】2【解析】由1b = ，将23a b +=的两边同时平方可得，224cos 4123a ab b π+⋅+= ，即2144122a a +⋅+= ，解得2a = ．15. 12±。