北京朝阳区2022年中考一模试卷-数学

北京朝阳区2022年中考一模试卷-数学
数 学 试 卷
2020.5
学校 姓名 准考证号
一、选择题（本题共32分，每小题4分）
下面各题均有四个选项，其中只有一个．．是符合题意的． 1. 2
1的相反数是
A.
2
1-
B ．21
C ．2
D ．－2 2．据报道，2011年北京市户籍人口中，60岁以上的老人有2460000人，估量以后五年北
京人口“老龄化”还将提速．将2460000用科学记数法表示为
A ．0.25×106
B ．24.6×105
C ．2.46×105
D ．2.46×106 3．在ABC △中，280A B ∠=∠=，则C ∠等于
A. 40°
B. 60°
C. 80°
D. 120° 4．若分式3
92--x x 的值为零，则x 的取值为
A. 3≠x
B. 3-≠x
C. 3=x
D. 3-=x 5．下列图形中，既是中心对称图形又是轴对称图形的是
A.角
B.等边三角形
C. 平行四边形
D. 圆
6．在一个不透亮的袋子中装有2个红球、1个黄球和1个黑球，这些球的形状、大小、质地等
完全相同，若随机从袋子里摸出1个球，则摸出黄球的概率是 A. 41 B. 31 C. 21 D. 4
3
7．在某次体育测试中，九年级一班女同学的一分钟仰卧起坐成绩（单位:个）如下表：
成绩 45 46 47 48 49 50
人数 1 2 4 2 5 1
这此测试成绩的中位数和众数分别为
A. 47, 49
B. 47.5, 49
C. 48, 49
D. 48, 50
8．已知关于x 的一元二次方程02=++n mx x 的两个实数根分别为a x =1，b
x =2
（b a <），则二次函数n mx x y ++=2中，当0<y 时，x 的取值范畴是
A ．a x <
B ．b x >
C ．b x a <<
D ．a x <或b x >
二、填空题（本题共16分，每小题4分） 9．函数
4-=
x y 中，自变量x 的取值范畴是___．
10．分解因式：2255ma mb -=___．
11．如图，CD 是⊙O 的直径，A 、B 是⊙O 上的两点，若∠B ＝20°，则∠ADC 的度数为 ．
（第11题） （第12题）
12．如图,在正方形ABCD 中，AB =1，E 、F 分别是BC 、CD 边上点，（1）若CE =12CB ，
CF =12
CD ，则图中阴影部分的面积是 ；（2）若CE =1n
CB ，CF =1n
CD ，则图中阴影部分的面积是
（用含n 的式子表示，n 是正整数）．
三、解答题（本题共30分，每小题5分） 13．运算：
1)
22()2
1(60sin 627--+--
.
14．解不等式312+-）（x ＜x 5，并把它的解集在数轴上表示出来.
C
A
x
15．已知：如图，C 是AE 的中点，∠B=∠D ，BC ∥DE ． 求证：AB=CD
16．已知0132=-+x x ，求)1(3)1()2(422---++x x x x 的值.
17．如图，P 是反比例函数
k y x
=
（x ＞0）的图象上的一点，PN 垂直x 轴于点N ，PM 垂直y 轴于点M ，矩形OMPN 的面积为2，且ON =1，一次函数y x b =+的图象通过点P ．
（1）求该反比例函数和一次函数的解析式；
（2）设直线y x b =+与x 轴的交点为A ，点Q 在y 轴上，当
△QOA 的面积等于矩形OMPN 的面积的4
1时，直截了当写出
点Q 的坐标．
B
2
-1-210
18．如图，在□ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，点E在BD的延长线上，且△EAC是等边三角形，若AC=8，AB=5，求ED的长．
四、解答题（本题共21分，第19、20、21题每小题5分，第22题6分）
19．列方程解应用题：
为提高运输效率、保证高峰时段人们的顺利出行，地铁公司在保证安全运行的前提下，缩短了发车间隔，从而提高了运送乘客的数量. 缩短发车间隔后比缩短发车间隔前平均每分钟多运送乘客50人，使得缩短发车间隔后运送14400人的时刻与缩短发车间隔前运送12800人的时刻相同，那么缩短发车间隔前平均每分钟运送乘客多少人？
20．如图，在△ABC 中，点D 在
AC 上，D A=DB ，∠C =∠DBC ，以AB 为直径的O ⊙交AC 于
点E ，F 是O ⊙上的点，且AF ＝BF ． （1）求证：B C 是O ⊙的切线；
（2）若sin C =5
3，AE =23，求sin F 的值和AF 的长．
F
21. 为了了解北京市的绿化进程，小红同学查询了首都园林绿化政务网，依照网站公布的近
几年北京市都市绿化资源情形的相关数据，绘制了如下统计图（不完整）：
（1）请依照以上信息解答下列问题：
① 2010年北京市人均公共绿地面积是多少平方米（精确到0.1）？ ② 补全条形统计图；
（2）小红同学还了解到自己周围的许多同学都树立起了绿色文明理念，从自身做起，
多种树，为提高北京市人均公共绿地面积做奉献. 她对所在班级的40名同学2011年参与植树的情形做了调查，并依照调查情形绘制出如下统计表：
种树棵数（棵）
0 1 2 3 4 5 人数
10
5
6
9
4
6
假如按照小红的统计数据，请你通过运算估量，她所在学校的300名同学在2011
年共植树多少棵.
北京市2007-2011年 人均公共绿地面积年增长率统计图 北京市2007-2011年
人均公共绿地面积统计图
人均公共绿地面积（m 2
）9630
22. 依照对北京市相关的市场物价调研，估量进入夏季后的某一段时刻，某批发市场内的
甲种蔬菜的销售利润y 1（千元）与进货量x （吨）之间的函数kx y =1的图象如图①所示，
乙种蔬菜的销售利润y 2（千元）与进货量x （吨）之间的函数bx ax y +=22的图象如图
②所示.
（1）分别求出y 1、y 2与x 之间的函数关系式；
（2）假如该市场预备进甲、乙两种蔬菜共10吨，设乙种蔬菜的进货量为t 吨，写出这
两种蔬菜所获得的销售利润之和W （千元）与t （吨）之间的函数关系式，并求出这两种蔬菜各进多少吨时获得的销售利润之和最大，最大利润是多少？
图① 图②
y （万元）
（吨）
O
y （千元）
五、解答题（本题共21分，第23题6分，第24题8分，第25题7分） 23. 阅读下面材料：
问题：如图①，在△ABC 中， D 是BC 边上的一点，若∠BAD =∠C =2∠DAC =45°，DC =2．求BD 的长．
小明同学的解题思路是：利用轴对称，把△ADC 进行翻折，再通过推理、运算使问题 得到解决．
（1）请你回答：图中BD 的长为 ；
（2）参考小明的思路，探究并解答问题：如图②，在△ABC 中，D 是BC 边上的一点，
若∠BAD =∠C =2∠DAC =30°，DC =2，求BD 和AB 的长．
图① 图②
24. 在平面直角坐标系xOy中，抛物线23
=++通过点N（2,－5），过点N作x轴的
y ax bx
平行线交此抛物线左侧于点M，MN=6.
（1）求此抛物线的解析式；
（2）点P（x,y）为此抛物线上一动点，连接MP交此抛物线的对称轴于点D，当△DMN为直角三角形时，求点P的坐标；
（3）设此抛物线与y轴交于点C，在此抛物线上是否存在点Q，使∠QMN=∠CNM ？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，说明理由.
25. 在矩形ABCD 中，点P 在AD 上，AB =2，AP =1，将三角板的直角顶点放在点P 处，三角
板的两直角边分别能与AB 、BC 边相交于点E 、F ，连接EF ．
（1）如图，当点E 与点B 重合时，点F 恰好与点C 重合，求现在PC 的长；
（2）将三角板从（1）中的位置开始，绕点P 顺时针旋转，当点E 与点A 重合时停止，
在那个过程中，请你观看、探究并解答： ① ∠PEF 的大小是否发生变化？请说明理由；
② 直截了当写出从开始到停止，线段EF 的中点所通过的路线长．
备用图
参考答案及评分标准
2020.5
一、选择题（本题共32分，每小题4分）
题号 1 2
3 4 5 6 7 8 答案 A D
B
D
D
A
C
C
二、填空题 （本题共16分，每小题4分，）
9. x ≥4 10. ))((5b a b a m -+ 11. 70° 12. 3
2，1
+n n （每空2分）
三、解答题（本题共30分，每小题5分） 13. 解：原式
1
22
3
633-+⨯-= ……………………………………………………4分
1=. …………………………………………………………………………5分 14. 解：x x 5322<+-. …………………………………………………………………2分
13-<-x . ……………………………………………………………………3分
∴
3
1>
x . ……………………………………………………………………4分 那个不等式的解集在数轴上表示为：
……………………5分
15. 证明：∵C 是AE 的中点，
∴AC ＝CE . …………………………………………………………………………1分 ∵BC ∥DE ，
∴∠ACB=∠E . ……………………………………………………………………2分 在△ABC 和△CDE 中，
⎪⎩
⎪
⎨⎧=∠=∠∠=∠CE AC E ACB D B ，
∴△ABC ≌△CDE . ………………………………………………………………4分
∴ AB ＝CD . ………………………………………………………………………5分
16. 解： )1(3)1()2(422---++x x x x
331284222+-+-++=x x x x x
4622++=x x ………………………………………………………………………3分 4)3(22++=x x .
∵0132=-+x x ，
∴132=+x x . …………………………………………………………………………4分 ∴原式＝6. ……………………………………………………………………………5分
17. 解：（1）∵PN 垂直x 轴于点N ，PM 垂直y 轴于点M ，矩形
OMPN 的面积为2 ，且ON =1， ∴PN ＝2.
∴点P 的坐标为（1,2）. ………………………1分 ∵反比例函数
k y x
=
（x ＞0）的图象、一次函数
y x b =+的图象都通过点P ，
由
1
2k =
，b +=12得2=k ，1=b . ∴反比例函数为
x
y 2=
，
………………………………………………………2分 一次函数为1+=x y . ………………………………………………………3分 （2）Q 1（0,1），Q 2（0,－1）. ……………………………………………………5分
18. 解：∵四边形ABCD 是平行四边形，
∴
4
2
1
===AC CO AO ，BO DO =. ∵△EAC 是等边三角形，
∴8==AC EA ，EO ⊥AC . ………………………………………………………2分 在Rt △ABO 中，
3
22=-=AO AB BO .
∴DO ＝BO ＝3. ………………………………………………………………………3分 在Rt △EAO 中，
3
422=-=AO EA EO . …………………………………4分
∴334-=-=DO EO ED . ……………………………………………………5分
四、解答题（本题共21分，第19、20、21题每小题5分，第22题6分）
19. 解：设缩短发车间隔前平均每分钟运送乘客x 人. ……………………………………1分
依照题意，得
x x 128005014400=+，
…………………………………………………………………3分 解得400=x . ………………………………………………………………………4分 经检验，400=x 是原方程的解. …………………………………………………5分 答：缩短发车间隔前平均每分钟运送乘客400人.
20. （1）证明：∵D A=DB ，
∴∠DAB=∠DBA . 又∵∠C =∠DBC ，
∴∠DBA ﹢∠DBC ＝︒
=︒⨯901802
1
.
∴AB ⊥BC .
又∵AB 是O ⊙的直径，
∴BC 是O ⊙的切线. ………………………………………………………2分
（2）解：如图，连接BE ，
∵AB 是O ⊙的直径， ∴∠AEB ＝90°. ∴∠EBC ＋∠C ＝90°. ∵∠ABC ＝90°，
∴∠ABE ＋∠EBC ＝90°. ∴∠C ＝∠ABE .
又∵∠AFE ＝∠ABE ， ∴∠AFE ＝∠C .
∴sin ∠AFE ＝sin ∠ABE ＝sin C .
∴sin ∠AFE ＝5
3. …………………………………………………………………3分
连接BF ， ∴︒=∠90AFB . 在Rt △ABE 中，
2
5sin =∠=ABE
AE
AB . ……………………………………4分 ∵AF ＝BF ，
∴5==BF AF . …………………………………………………………………5分
F
21. 解：（1）① 0.15%)4.31(5.14≈+⨯， ………………………………………………2分
即2010年北京市人均绿地面积约为15.0平方米.
②
……………………………………3分
（2）675
30040
6
544936251100=⨯⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯. …………………5分
估量她所在学校的300名同学在2011年共植树675棵.
22. 解：（1）x y 6.01
=. ………………………………………………………………………1分
x x y 2.22.022+-=.……………………………………………………………3分
（2）)2.22.0()10(6.02t t t W +-+-=，
66.12.02++-=t t W .…………………………………………………………4分
即2.9)4(2.02+--=t W .
因此甲种蔬菜进货量为6吨，乙种蔬菜进货量为4吨时，获得的销售利润之和最大，最大利润是9200元. …………………………………………………6分
五、解答题（本题共21分，第23题6分，第24题8分，第25题7分）
23. 解：（1）22=BD . ……………………………………………………………………2分
（2）把△ADC 沿AC 翻折，得△AEC ，连接DE ，
∴△ADC ≌△AEC .
∴∠DAC =∠EAC ，∠DCA =∠ECA ， DC ＝EC . ∵∠BAD =∠BCA =2∠DAC =30°， ∴∠BAD =∠DAE =30°，∠DCE =60°.
∴△CDE 为等边三角形. ……………………3分 ∴DC ＝DE .
在AE 上截取AF ＝AB ，连接DF ，
∴△ABD ≌△AFD . ∴BD ＝DF .
人均公共绿地面积（m 2
在△ABD 中，∠ADB =∠DAC ＋∠DCA =45°， ∴∠ADE =∠AED =75°，∠ABD =105°. ∴∠AFD =105°. ∴∠DFE =75°. ∴∠DFE =∠DEF . ∴DF ＝DE .
∴BD ＝DC ＝2. …………………………………………………………………4分 作BG ⊥AD 于点G ， ∴在Rt △BDG 中， 2=
BG . ……………………………………………5分
∴在Rt △ABG 中，22=AB . ……………………………………………6分
24. 解：（1）∵32++=bx ax y 过点M 、N （2，－5），6=MN ，
由题意，得M （4-，5-）. ∴
⎩⎨
⎧-=+--=++.
53416,5324b a b a
解得
⎩⎨
⎧-=-=.
2,1b a
∴此抛物线的解析式为322+--=x x y . …………………………………2分 （2）设抛物线的对称轴1-=x 交MN 于点G ，
若△DMN 为直角三角形，则
3
2
1
21===MN GD GD . ∴D 1（1-，2-），2D （1-， 8-）. …………………………4分
直线MD 1为1-=x y ，直线2MD 为9--=x y .
将P （x ，322+--x x ）分别代入直线MD 1，
2MD 的解析式，
得1322-=+--x x x ①，9322--=+--x x x ②. 解①得 11=x ，42
-=x （舍），
∴1
P （1,0）. …………………………………5分
解②得 33
=x ，44-=x （舍），
∴2
P （3,－12）. ……………………………6分
（3）设存在点Q （x ，322+--x x ），
使得∠QMN =∠CNM .
① 若点Q 在MN 上方，过点Q 作QH ⊥MN ，
交MN 于点H ，则4
tan =∠=CNM MH
QH
.
即）（445322+=++--x x x .
解得21-=x ，42
-=x （舍）.
∴1Q （2-，3）. ……………………………7分 ② 若点Q 在MN 下方，
同理可得2
Q （6，45-）. …………………8分
25. 解：（1）在矩形ABCD 中，90A D ∠=∠=︒，AP =1，CD =AB =2，
∴PB=
，90ABP APB ∠+∠=︒．
∵90BPC ∠=︒， ∴90APB DPC ∠+∠=︒． ∴ABP DPC ∠=∠． ∴ △ABP ∽△DPC ． ∴AP PB CD PC =，即12=
∴PC=．……………………………………………………………………2分 （2）① ∠PEF 的大小不变．
理由：过点F 作FG ⊥AD 于点G ． ∴四边形ABFG 是矩形．
∴90A AGF ∠=∠=︒．
∴GF=AB=2，90AEP APE ∠+∠=︒． ∵90EPF ∠=︒， ∴90APE GPF ∠+∠=︒． ∴AEP GPF ∠=∠．
∴ △APE ∽△GFP . …………………………………………………………4分
∴221
PF GF PE AP ===．
∴在Rt △EPF 中，tan ∠PEF=2
PF
PE
=．……………………………………5分
即tan ∠PEF 的值不变．
∴∠PEF 的大小不变．…………………………………………………………6分 ②
. …………………………………………………………………………7分。