2006年专升本高等数学一试卷

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06年专升本高数真题答案

共 7 页，第 1 页2006年河南省普通高等学校选拔优秀专科生进入本科阶段学习考试高等数学答案及解析一、单项选择题（每小题2分，共计60分）1.答案：B【解析】：.B x x ⇒≤-≤-⇒≤≤1121102.答案：A【解析】： .01ln )1ln()1ln()()(22==+++-+=-+x x x x x f x f A ⇒3. 答案：C【解析】： .1sin lim20-=-→xxx x C ⇒4.答案：B 【解析】：.B nnn n n n n ⇒=+=+∞→∞→2]sin 32[lim sin 32lim 5.答案：B【解析】：.B a a a ae xe xf ax x ax x x ⇒=⇒+===-=→→→1122lim 1lim)(lim 202006. 答案：C 【解析】：x x f f f x f x x f x f x x )1()1()1()21(lim)1()21(lim00--+-+=--+→→ C f xf x f x f x f x x ⇒'=---+-+=→→)1(3)1()1(lim 2)1()21(lim2007. 答案：A【解析】： .A y x x x y ⇒==⇒=⇒='5,24220008.答案：D【解析】： .D t tt t dx dy ⇒-=-=2sin sin 2229.答案：B 【解析】：.B xy x y x x yn n n ⇒=⇒+=⇒=--1ln 1ln )()1()2( 10.答案：A【解析】：.A y y y x x x x x x x x y x x x ⇒∞=-==⇒++-+=++--=-→-→±∞→2122lim ,4lim ,1lim )2)(1()3)(1(233211.答案：C【解析】：由罗尔中值定理条件：连续、可导及端点的函数值相等.C ⇒12.答案：C 【解析】：.C e y e y x x⇒>=''<-='--0,013.答案：D 【解析】：.D C e F e d e f dx e f e x x x x x⇒+-=-=⎰⎰-----)()()()(14.答案：B共 7 页，第 2 页【解析】：.B C ex f e x f e x f x x x⇒+=⇒='⇒=-'++)1(21)1(212)()()12(15.答案：B【解析】：是常数，所以.⎰ba xdx arcsin B xdx dx d ba⇒=⎰0arcsin 16.答案：C 【解析】：.C x dx x ⇒-==++∞∞+⎰)21arctan 4(412arctan 4141112π17.答案：D【解析】：由定积分的几何意义可得D 的面积为.⎰-badx x g x f |)()(|D ⇒18.答案：B【解析】：.B n n n ⇒=⇒=+-⇒-⊥30943}3,43{}3,,1{19.答案：B【解析】： .B x f x x f x ⇒='⇒=1)1,()1,(20.答案：A【解析】：令xy e F yz F xyz ez y x F z z x z-='-='⇒-=222,),,(.A z x z xy xyz yz xy e yz x z z ⇒-=-=-=∂∂⇒)12(22221.答案：A【解析】：222x ydx xdy dy x xydx dz -++= .A dy dx dx dy dy dx dzy x ⇒+=-++=⇒==221122.答案：A【解析】：,6)0,0(),(062,06222-=∂∂⇒=⇒=-=∂∂=-=∂∂x zy x y x y z x y x z 是极大值.⇒=∂∂∂-=∂∂2,6222y x zy z A ⇒23.答案：A【解析】：有二重积分的几何意义知：区域D 的面积为.=⎰⎰Ddxdy πA ⇒24.答案：B【解析】：积分区域},0|),{(}0,0|),{(a x y a y y x x y a x y x D ≤≤≤≤=≤≤≤≤=.B ⇒25.答案：D【解析】：在极坐标下积分区域可表示为：，在直角坐标系下边界方程为}sin 20,20|),{(θπθθ≤≤≤≤=r r D ，积分区域为右半圆域y y x 222=+D⇒26.答案：D【解析】：：从1变到0，.L ,1⎩⎨⎧-==x y xx x ⎰⎰⇒-=+=-+012)(D dx dx dy dx y x L 27.答案：C共 7 页，第 3 页【解析】：收敛.⇒<22sin n n ππ∑∞=π12sinn n C ⇒28. 答案：A 【解析】：在收敛，则在绝对收敛，即级数绝对收敛.∑∞=0n nnx a2-=x 1-=x ∑∞=-0)1(n n n a A ⇒29. 答案：C【解析】：dx xxdy y y ydx x ydy x sin cos sin cos 0sin cos cos sin -=⇒=+ .C C y x C x y xxd y y d ⇒=⇒=+⇒-=⇒sin sin ln sin ln sin ln sin sin sin sin 30.答案：C【解析】：-1不是微分方程的特征根，为一次多项式，可设 .x xe b ax y -+=*)(C ⇒二、填空题（每小题2分，共30分）31.答案：1【解析】：.1)(sin 1|sin |=⇒≤x f x 32.答案：123【解析】：=++=++--=--+→→→)31(1lim )31)(2()2(lim 231lim2222x x x x x x x x x x x x .123341==33.答案：dx x 2412+【解析】： .dx x dy 2412+=34.答案：5,4==b a 【解析】：.b a b a b ax x x f -+-=-=+-⇒++='12,02323)(25,4==⇒b a 35.答案：)1,1(-【解析】： .)1,1(),(0662632-=⇒=-=''⇒+-='y x x y x x y 36.答案：2【解析】：.2)1()1()()(=-=⇒=-g f C C x g x f 2)()(=-⇒x g x f 37.答案：323π【解析】：.3202sin )sin (3023232π=+=+=+⎰⎰⎰⎰πππ-ππ-ππ-dx x xdx dx x dx x x 38.答案：32-e 【解析】： .⎰⎰⎰⎰--=--=+=====-201110012132)()1(e dx e dx x dt t f dx x f xt x共 7 页，第 4 页39.答案：3π【解析】： .3,21663||||,cos π>=⇒<==⋅>=<b a b a b a b a 40.答案：x y z 222=+【解析】：把中的换成，即得所求曲面方程.x y 22=2y 22y z +x y z 222=+41.答案：y x cos 21+【解析】：.⇒+=∂∂y x y xzsin 2y x y x z cos 212+=∂∂∂42.答案：32-【解析】： .⎰⎰⎰⎰⎰-=-=-=--Ddx x dy x y dx dxdy x y 102101122322)()(43.答案：∑∞=+∞-∞∈-02),(,!1)1(n nnx x n 【解析】： .∑∞=⇒=0!n n xn x e ∑∑∞=∞=-+∞-∞∈-=-==0022),(,!1)1(!)()(2n n n n n xx x n n x e x f 44.答案：21ln(x+)22(≤<-x 【解析】：,∑∑∑∞=∞=-+∞=+++=-=+-=+-0111011)21ln()2()1(1)2()1(2)1()1(n n n n n n n n n n x n x n x n x .)22(≤<-x 45.答案：032=-'-''y y y 【解析】：x xe C eC y 321+=-0323,1221=--⇒=-=⇒λλλλ .032=-'-''⇒y y y 三、计算题（每小题5分，共40分）46．计算 .xx e x xx 2sin 1lim 3202-→--【解析】： 20300420320161lim 3222lim 81lim 2sin 1lim2222xe x xe x x e x xx e x x x x x x x x x -=+-=--=---→-→-→-→ .161lim 161322lim 220000-=-=-=-→-→x x x x e x xe 47.求函数的导数.xx x y 2sin 2)3(+=dxdy 【解析】：取对数得：，)3ln(2sin ln 2x x x y +=两边对求导得：x x xx x x x x y y 2sin 332)3ln(2cos 2122++++='共 7 页，第 5 页所以]2sin 332)3ln(2cos 2[)3(222sin 2x xx x x x x x x y x+++++='.x x x x x x x x x x x 2sin )32()3()3ln(2cos )3(212sin 222sin 2+++++=-48.求不定积分.⎰-dx xx 224【解析】：⎰⎰⎰====⎰-==-=π<<π-dt t tdt tdt t tdx x x tx t )2cos 1(2sin 4cos 2cos 2sin 4422sin 22222.C x x x C t t x C t t +--=+-=+-=242arcsin 2cos sin 22arcsin 22sin 2249.计算定积分.⎰--+102)2()1ln(dx x x 【解析】：⎰⎰⎰+---+=-+=-+101010102)1)(2(12)1ln(21)1ln()2()1ln(dx x x x x x d x dx x x .⎰=-=+-+=++--=10102ln 312ln 322ln 12ln 312ln )1121(312ln x x dx x x 50.设，其中皆可微，求.),()2(xy x g y x f z ++=),(),(v u g t f yz x z ∂∂∂∂,【解析】：xv v g x u u g x y x y x f x z ∂∂∂∂+∂∂∂∂+∂+∂+'=∂∂)2()2(),(),()2(2xy x g y xy x g y x f v u'+'++'=.=∂∂∂∂+∂∂∂∂+∂+∂+'=∂∂yvv g y u u g y y x y x f y z )2()2(),()2(xy x g x y x f v '++'51．计算二重积分，⎰⎰=Dydxdy xI 2其中由所围成.D 12,===x x y x y 及【解析】：积分区域如图06-1所示，可表示为：.x y x x 2,10≤≤≤≤所以 ⎰⎰⎰⎰==10222xxDydyx dx ydxdy xI .10310323)2(1051042122====⎰⎰x dx x y dx x xx 52．求幂级数的收敛区间（不考虑区间端点的情况）.nn nx n ∑∞=--+0)1()3(1【解析】：令，级数化为，这是不缺项的标准的幂级数.t x =-1nn nt n ∑∞=-+0)3(1xx因为，313)3(11)3(1lim 1)3(1)3(1limlim 11=--+-=+⋅-+-+==∞→+∞→+∞→nn n n nn nn n n n a a ρ故级数的收敛半径，即级数收敛区间为（-3，3）.nn nt n ∑∞=-+0)3(131==ρR 对级数有，即.nn nx n ∑∞=--+0)1()3(1313<-<-x 42<<-x 故所求级数的收敛区间为.），（42-53．求微分方程通解.0)12(2=+-+dy x xy dy x 【解析】：微分方程可化为，这是一阶线性微分方程，它对应的齐0)12(2=+-+dx x xy dy x 212xx y x y -=+'次线性微分方程通解为.02=+'y x y 2xCy =设非齐次线性微分方程的通解为，则，代入方程得2)(x x C y =3)(2)(x x C x C x y -'='.C x x x C x x C +-=⇒-='2)(1)(2故所求方程的通解为.2211xCx y +-=四、应用题（每小题7分，共计14分）54.某公司的甲、乙两厂生产同一种产品，月产量分别为千件；甲厂月生产成本是（千y x ,5221+-=x x C 元），乙厂月生产成本是（千元）.若要求该产品每月总产量为8千件，并使总成本最小，求甲、3222++=y y C 乙两厂最优产量和相应最小成本.【解析】：由题意可知：总成本，8222221++-+=+=y x y x C C C 约束条件为.8=+y x 问题转化为在条件下求总成本的最小值 .8=+y x C 把代入目标函数得的整数）.8=+y x 0(882022>+-=x x x C 则，令得唯一驻点为，此时有.204-='x C 0='C 5=x 04>=''C 故是唯一极值点且为极小值，即最小值点.此时有.5=x 38,3==C y 所以甲、乙两厂最优产量分别为5千件和3千件，最低成本为38千元.55.由曲线和轴所围成一平面图形,求此平面图形绕轴旋转一周所成的旋转体的体积.)2)(1(--=x x y x y 【解析】：平面图形如图06-2所示,此立体可看作X 型区域绕轴旋转一周而得到。

2006年河南专升本考试高等数学试题和答案

x t sin u 2 du dy 0 8.设，则 2 dx y cos t
A. 解：
（ C.- t
2
）
t2
B.
2
2t
D. 2t
1 B. [1,1] C. [0,1] 2 解： 0 x 1 1 2 x 1 1 B .
A. [ ,1]
2 2
[ f ( x) g ( x)]dx
a
b
B. D.
[ f ( x) g ( x)]dx
a
b a b
b
23 设 D 为圆周由 x y 2 x 2 y 1 0 围成的闭区域，则 A.
dxdy
D
（
）
| f ( x) g ( x) | dx 解：由定积分的几何意义可得 D 的面积为 | f ( x) g ( x) | dx D .
1 dx x
22.函数 z 2 xy 3x 3 y 20 在定义域上内 A.有极大值，无极小值 B. 无极大值，有极小值 C.有极大值，有极小值 D. 无极大值，无极小值
2 2
（
）
解：
（ 6 x 0, 2 x 6 y 0 ( x, y) (0,0) 2 6, x y x 2 2 z z 6, 2 是极大值 A . 2 xy y
2
D. [1,2]
2.函数 y ln( x 1 x) ( x ) 是 A．奇函数 B. 偶函数 C.非奇非偶函数
2 2
2
（ D. 既奇又偶函数
）
解： f ( x) f ( x) ln( x 1 x) ln( x 1 x) ln 1 0 A . 3. 当 x 0 时， x sin x 是 x 的 A. 高阶无穷小 B. 低阶无穷小 C. 同阶非等价无穷小（ D. 等价无穷小）

2006年浙江省普通高校“专升本”联考《高等数学(一)》试卷答案解析

dt
dt
dy dy dt 2e2t (sin2t sin t cos t) sin2t sin t cos t dx dx 2e2t (cos2 t sin t cos t) cos2 t sin t cos t
dt
17.解: 原式
sin2 x cos2 x sin2 xcos2 x
F(x)
x f (t)dt
1 f (t)dt
x f (t)dt
1t 2dt
x
1dt
0
0
1
0
1
1
1 3
t3
0
(t) x 1
1 3
(x
1)
x
2 3
，故选项
D
正确
12.C 解析:由图像可知： S = 1 x(x 1)(2 x)dx 2 x(x 1)(2 x)dx ，所以选项 C
a
3
故一阶导数为： S(a) (a 1)2 a2 2a 1
令 S(a) 0 a 1 ， S(a) 2 0 ，所以 S( 1) 1 为最小的面积
2
2 12
此图形绕 x 轴旋转一周所得到的几何体的体积：Vx
1
2 y2dx 2
-
1 2
1 2
x4dx
2
x5
1 2
0
5 0 80
四、综合题：本题共 3 小题，共 20 分。其中第 1 题 8 分，第 2 题 7 分，第 3 题 5 分。
二、选择题: 本大题共 5 小题,每小题 4 分,共 20 分。
题号
9
10
11
12
13
答案
C
D
D
C
B

2006—数一真题、标准答案及解析

构造格朗日乘子法函数F=f ( x, y ) + λϕ ( x, y )
今ϕ ′ y ( x0 , y0 ) ≠ 0,∴ λ = −
f y′( x0 , y0 ) f ′( x , y )ϕ ′ ( x , y ) 代入(1)得f x′( x0 , y0 ) = y 0 0 x 0 0 ϕ′ ϕ′ y ( x0 , y0 ) y ( x0 , y0 )
n =1 ∞
∞
( B) ∑ (−1) n an收敛
n =1 ∞
∞
(C ) ∑ an an +1收敛
n =1
( D) ∑
an + an +1 收敛 2 n =1
(Q ∑ an +1也收敛)
n =1
∞
(10)设f ( x, y )与ϕ ( x, y )均为可微函数,且ϕ ′ y ( x, y ) ≠ 0,已知(x0 ,y0 )是f ( x, y )
′ ( x, y ) = 0 ⎧Fx′ =f x′( x, y ) + λϕ x ⎪ ′ =f y′( x, y ) + λϕ ′ ⎨Fy y ( x, y ) = 0 ⎪ ′ ⎩Fλ =ϕ ( x, y ) = 0
(1) (2)
(D)若f x′ (x0 ,y0 ) ≠ 0,则f y′(x0 ,y0 ) ≠ 0
P{| X − μ1 |< 1} > P{| Y − μ2 |< 1},
（A） σ 1 < σ 2. （C） μ1 < μ 2. 三解答题 15 设区域 D=
（B） σ 1 > σ 2. （D）μ1 > μ 2. 【】
{( x, y ) x
2
+ y 2 ≤ 1, x ≥ 0 ,计算二重积分 I = ∫∫

2006年专升本高等数学考试题

2006年专升本考试题及参考答案一.单项选择题(10分)1.()'()()( ).R f x f x f x 在上连续的函数的导函数的图形如图,则极值有.A 一个极大值二个极小值;B.二个极小值一个极大值;C.二个极小值二个极大值;D.三个极小值一个极大值.-22.(),()=x f x e f x 的一个原函数是则2222.; .2; .4; .4.------x x x x A e B e C e D e 12(1)3. 3-∞=-⋅∑n nn x n 级数的收敛区间是(). .(2,4); .(3,3); .(1,5); .(4,2).----A B C D4.'3( ).+=xy y 方程的通解是3.3; .; .3; . 3.=+=+=--=-C A y B y C x xC CC yD y x x1111112223333332222225.,222( ).222====a b c a b c D a b c k B a b c a b c a b c 若则 .2; .2; .8; .8.--A k B k C k D k二.填空题(15分)2sin 21,01.(),( );,0⎧+-≠⎪==⎨⎪=⎩ax x e x f x R a xa x 在上连续则2.ln 1 =+=y x x y 曲线与直线垂直的切线是();2-23.(-( );=⎰x 定积分4.()-=x f x e 的幂级数展开式是( ); 105.()[0,1],()3,=⎰f x f x dx 在上连续且则11()()( ).=⎰⎰xdx f x f y dy三.计算下列各题(30分)22201cos 1.lim ; 2.;sin -→-⎰xx x xe dx x x 203.;4."'20;49+∞=+-=++⎰dxI y y y x x45.=a b b b a bD b b a6. ?sin . ,,ln(),===-u v z e u xy v x y 四已知二元函数,.(8)∂∂∂∂z zx y求分 . ()()||,()lim ()0,().(7)ϕϕϕ→=-===x af x x x a x x a x f x x a 五已知在的某个邻域内连续,且试讨论在的可导性分,2,2,==x y x y 3六.求y=x 所围图形分别绕轴旋转所得立体体积.(10分).(6),:,2 2σ=+===⎰⎰DI x y d D y x y xx 七计算其中由和围成.(10分)()[0,],(0,),()0,:(0,),()'()0.(10)ξξξξ=∃∈+=f x a a f a a f f 八.已知在闭区间上连续在开区间内可导求证使分。

2006专升本高数试卷

2006年专升本《高等数学》试卷一、单项选择题（每小题2分，共计60分） 1.已知函数)12(-x f 的定义域为]1,0[ ，则)(x f 的定义域为 A.]1,21[ B.]1,1[- C.]1,0[D.]2,1[-2.函数)1ln(2x x y -+=)(+∞<<-∞x 是A ．奇函数 B. 偶函数 C.非奇非偶函数 D.既奇又偶函数3. 当0→x 时，x x sin 2-是x 的A.高阶无穷小B.低阶无穷小C.同阶非等价无穷小D.等价无穷小4.极限=+∞→nnn n sin 32lim A.∞ B.2 C.3 D.55.设函数⎪⎩⎪⎨⎧=+≠-=0,10,1)(2x a x xe xf ax ，在0=x 处连续，则常数=a A. 0 B.1 C 2 D.3 6. 设函数)(x f 在点1=x 处可导，则=--+→xx f x f x )1()21(lim0 A. )1(f ' B. )1(2f ' C. )1(3f ' D. -)1(f '7. 若曲线12+=x y 上点M处的切线与直线14+=x y 平行，则点M的坐标A.（2，5） B （-2，5） C （1，2）D （-1，2）8.设⎪⎩⎪⎨⎧==⎰202cos sin ty du u x t ，则=dx dy A. 2t B.t 2 C.-2t D.t 2- 9.设2(ln )2(>=-n x x y n ，为正整数),则=)(n yA.x n x ln )(+B.x 1C.1)!2()1(---n n x n D. 0 10.曲线233222++--=x x x x yA. 有一条水平渐近线，一条垂直渐近线B. 有一条水平渐近线，两条垂直渐近线C. 有两条水平渐近线，一条垂直渐近线，D. 有两条水平渐近线，两条垂直渐近线 11.下列函数在给定的区间上满足罗尔定理的条件是 A.]2,0[|,1|-=x y B.]2,0[,)1(132-=x y C.]2,1[,232+-=x x y D.]1,0[,arcsin x x y =12. 函数x e y -=在区间),(+∞-∞内A. 单调递增且图像是凹的曲线B.单调递增且图像是凸的曲线C. 单调递减且图像是凹的曲线D.单调递减且图像是凸的曲线13.若⎰+=C x F dx x f )()(，则⎰=--dx e f e x x )(A.C e F e x x++--)( B.C e F x +-)( C. C e F e x x +---)( D.C e F x +--)( 14. 设)(x f 为可导函数，且x e x f =-')12( ，则 =)(x fA. C e x +-1221B. C e x ++)1(212 C. C e x ++1221 D. C e x +-)1(212 15. 导数=⎰ba tdt dxd arcsin A.x arcsin B. 0 C. a b arcsin arcsin - D.211x-16.下列广义积分收敛的是 A. ⎰+∞1dx e xB. ⎰+∞11dx x C. ⎰+∞+1241dx x D. ⎰+∞1cos xdx 17.设区域D 由)(),(,),(,x g y x f y a b b x a x ==>==所围成，则区域D 的面积为A. ⎰-b adx x g x f )]()([ B. ⎰-badx x g x f )]()([C.⎰-b adx x f x g )]()([ D. ⎰-badx x g x f |)()(|18. 若直线32311-=+=-z n y x 与平面01343=++-z y x 平行，则常数=n A. 2 B.3 C.4 D.5 19.设yxy x y x f arcsin)1(),(-+=，则偏导数)1,(x f x '为 A.2 B.1 C.-1 D.-220. 设方程02=-xyz ez确定了函数),(y x f z = ，则xz∂∂ = A.)12(-z x z B.)12(+z x z C.)12(-z x y D.)12(+z x y . 21.设函数xy y x z +=2，则===11y x dzA.dy dx 2+B.dy dx 2-C.dy dx +2D.dy dx -222.函数2033222+--=y x xy z在定义域上内A.有极大值，无极小值B. 无极大值，有极小值C.有极大值，有极小值D. 无极大值，无极小值 23设D 为圆周由012222=+--+y x y x围成的闭区域，则=⎰⎰DdxdyA. πB. 2πC.4πD. 16π 24.交换二次积分⎰⎰>axa dy y x f dx 00(),(，常数）的积分次序后可化为A. ⎰⎰aydx y x f dy 00),( B.⎰⎰a a ydx y x f dy 0),( C.⎰⎰a a dx y x f dy 0),( D.⎰⎰a yadx y x f dy 0),(25.若二重积分⎰⎰⎰⎰=20sin 20)sin ,cos (),(πθθθθrdr r r f d dxdy y x f D，则积分区域D 为A.x y x222≤+ B.222≤+y x C.y y x 222≤+ D.220y y x -≤≤26.设L 为直线1=+y x 上从点到)1,0(B 的直线段,则=-+⎰Ldy dx y x )(A. 2B.1C.-1D. -2.27.下列级数中，绝对收敛的是A ．∑∞=1sin n n πB ．∑∞=-1sin)1(n nnπC ．∑∞=-12sin)1(n nnπD ．∑∞=1cos n n π28. 设幂级数n n nna x a(0∑∞=为常数 ,2,1,0=n ），在点2-=x 处收敛，则∑∞=-0)1(n n naA.绝对收敛B. 条件收敛C.发散D.敛散性不确定29. 微分方程0sincos cos sin =+ydx x ydy x 的通解为A. C y x =cos sinB.C y x =sin cosC. C y x =sin sinD.C y x =cos cos30.微分方程xxe y y y -=-'+''2的特解用特定系数法可设为A. x e b ax x y -+=*)(B. x e b ax x y -+=*)(2C. x e b ax y -+=*)(D. x axe y -=*二、填空题（每小题2分，共30分） 31.设函数,1||,01||,1)(⎩⎨⎧>≤=x x x f 则=)(sin x f _________.32.=--+→xx x x 231lim22=_____________.33.设函数x y 2arctan =，则=dy __________.34.设函数bx ax x x f ++=23)(在1-=x 处取得极小值-2，则常数b a 和分别为___________.35.曲线12323-+-=x x x y 的拐点为 __________.36.设函数)(),(x g x f 均可微，且同为某函数的原函数，有1)1(,3)1(==g f 则=-)()(x g x f _________.37.⎰-=+ππdx x x )sin (32 _________.38.设函数⎪⎩⎪⎨⎧<≥=0,0,)(2x x x e x f x ，则 ⎰=-20)1(dx x f __________..39. 向量}1,1,2{}2,1,1{-==b a与向量的夹角为__________.40.曲线⎩⎨⎧==022z x y L ：绕x 轴旋转一周所形成的旋转曲面方程为 _________. 41.设函数y x xy z sin 2+= ，则 =∂∂∂yx z 2_________.42.设区域}11,10|),{(≤≤-≤≤=y x y x D ，则________)(2⎰⎰=-Ddxdy x y .43. 函数2)(xe xf -=在00=x 处展开的幂级数是________________.44.幂级数∑∞=+++-0112)1()1(n n n nn x 的和函数为 _________.45.通解为x x e C e C y 321+=-（21C C 、为任意常数）的二阶线性常系数齐次微分方程为_________.三、计算题（每小题5分，共40分）46．计算 xx e x xx 2sin 1lim3202-→--.47.求函数x x x y 2sin 2)3(+=的导数dxdy .48.求不定积分 ⎰-dx xx 224.49.计算定积分⎰--+102)2()1ln(dx x x .50.设),()2(xy x g y x f z ++= ，其中),(),(v u g t f 皆可微，求yz x z ∂∂∂∂,.51．计算二重积分⎰⎰=Dydxdy x I 2，其中D 由12,===x x y x y 及所围成.52．求幂级数n n nx n∑∞=--+0)1()3(1的收敛区间（不考虑区间端点的情况）.53．求微分方程 0)12(2=+-+dy x xy dy x 通解.四、应用题（每小题7分，共计14分）54. 某公司的甲、乙两厂生产同一种产品，月产量分别为y x ,千件；甲厂月生产成本是5221+-=x x C （千元），乙厂月生产成本是3222++=y y C （千元）.若要求该产品每月总产量为8千件，并使总成本最小，求甲、乙两厂最优产量和相应最小成本.55.由曲线)2)(1(--=x x y 和x 轴所围成一平面图形,求此平面图形绕y 轴旋转一周所成的旋转体的体积.五、证明题（6分） 56.设)(x f 在],[a a -（0>a ，为常数）上连续，证明： ⎰⎰--+=a aadx x f x f dx x f 0)]()([)(.并计算⎰--+441cos ππdx e xx .答案 1.B x x ⇒≤-≤-⇒≤≤112110. 201ln )1ln()1ln()()(22==+++-+=-+x x x x x f x f A ⇒.3. 1sin lim20-=-→xxx x C ⇒. 4. B n n n n n n n ⇒=+=+∞→∞→2]sin 32[lim sin 32lim . 5. B a a a ae xe xf ax x ax x x ⇒=⇒+===-=→→→1122lim 1lim)(lim 20200. 6. xx f f f x f x x f x f x x )1()1()1()21(lim )1()21(lim 00--+-+=--+→→C f xf x f x f x f x x ⇒'=---+-+=→→)1(3)1()1(lim 2)1()21(lim200 7.A y x x x y ⇒==⇒=⇒='5,2422000. 8. D t tt t dx dy ⇒-=-=2sin sin 222. 9.B xy x y x x yn n n ⇒=⇒+=⇒=--1ln 1ln )()1()2(. 10. A y y y x x x x x x x x y x x x ⇒∞=-==⇒++-+=++--=-→-→±∞→2122lim ,4lim ,1lim )2)(1()3)(1(2332.11.由罗尔中值定理条件：连续、可导及端点的函数值相等C ⇒.12. C e y e y xx ⇒>=''<-='--0,0. 13.D C e F e d e f dx e f e x x x x x ⇒+-=-=⎰⎰-----)()()()(.14. B C e x f e x f e x f x x x⇒+=⇒='⇒=-'++)1(21)1(212)()()12(. 15.⎰b a xdx arcsin 是常数，所以B xdx dx d ba⇒=⎰0arcsin . 16.C x dx x⇒-==++∞∞+⎰)21arctan 4(412arctan 4141112π. 17.由定积分的几何意义可得D 的面积为⎰-badx x g x f |)()(|D ⇒.18. B n n n ⇒=⇒=+-⇒-⊥30943}3,43{}3,,1{. 19. B x f x x f x ⇒='⇒=1)1,()1,(.20.令xy e F yz F xyz e z y x F z z x z-='-='⇒-=222,),,(A z x z xy xyz yz xy e yz x z z ⇒-=-=-=∂∂⇒)12(222.21222xydx xdy dy x xydx dz -++=A dy dx dx dy dy dx dz y x ⇒+=-++=⇒==2211. 22. ,6)0,0(),(062,06222-=∂∂⇒=⇒=-=∂∂=-=∂∂x z y x y x y z x y x z⇒=∂∂∂-=∂∂2,6222y x zy z 是极大值A ⇒.23有二重积分的几何意义知：=⎰⎰Ddxdy 区域D 的面积为π.24. 积分区域},0|),{(}0,0|),{(a x y a y y x x y a x y x D≤≤≤≤=≤≤≤≤=B ⇒.25.在极坐标下积分区域可表示为：}sin 20,20|),{(θπθθ≤≤≤≤=r r D ，在直角坐标系下边界方程为y y x 222=+，积分区域为右半圆域D ⇒26. L ：,1⎩⎨⎧-==xy xx x 从1变到0，⎰⎰⇒-=+=-+012)(D dx dx dy dx y x L .27. ⇒<22sin n n ππ∑∞=π12sin n n 收敛C ⇒.28.∑∞=0n nnxa在2-=x收敛，则在1-=x 绝对收敛，即级数∑∞=-0)1(n nn a 绝对收敛A ⇒.29. dx xxdy y y ydx x ydy x sin cos sin cos 0sin cos cos sin -=⇒=+ C C y x C x y xxd y y d ⇒=⇒=+⇒-=⇒sin sin ln sin ln sin ln sin sin sin sin .30. -1不是微分方程的特征根，x 为一次多项式，可设xe b ax y -+=*)( C ⇒.二、填空题（每小题2分，共30分） 31. 1)(sin 1|sin |=⇒≤x f x .32. =++=++--=--+→→→)31(1lim )31)(2()2(lim 231lim2222x x x x x x x x x x x x 123341==. 33.：dx x dy 2412+= . 34. b a b a b ax x x f -+-=-=+-⇒++='12,02323)(25,4==⇒b a . 35. )1,1(),(0662632-=⇒=-=''⇒+-='y x x y x x y .362)1()1()()(=-=⇒=-g f C C x g x f 2)()(=-⇒x g x f .37. 3202sin )sin (3023232π=+=+=+⎰⎰⎰⎰πππ-ππ-ππ-dx x xdx dx x dx x x .38. ⎰⎰⎰⎰--=--=+=====-201110012132)()1(e dx e dx x dt t f dx x f xt x . 39. 3,21663||||,cos π>=⇒<==⋅>=<b a b a b a b a .40.把x y 22=中的2y 换成22y z +，即得所求曲面方程x y z 222=+.41.⇒+=∂∂y x y x z sin 2y x y x z cos 212+=∂∂∂. 42.⎰⎰⎰⎰⎰-=-=-=--Ddx x dy x y dx dxdy x y 102101122322)()( .43. ∑∞=⇒=0!n n xn x e ∑∑∞=∞=-+∞-∞∈-=-==0022),(,!1)1(!)()(2n n n n n x x x n n x e x f .44. ∑∑∑∞=∞=-+∞=+++=-=+-=+-0111011)21ln()2()1(1)2()1(2)1()1(n n n n n n n n n n x n x n x n x ,)22(≤<-x . 45.x x e C e C y 321+=-0323,1221=--⇒=-=⇒λλλλ032=-'-''⇒y y y .三、计算题（每小题5分，共40分）46．20300420320161lim 3222lim 81lim 2sin 1lim2222x e x xe x x e x xx ex x x x x x x x x -=+-=--=---→-→-→-→ 161lim 161322lim 22000-=-=-=-→-→x x x x e x xe .47.取对数得：)3ln(2sin ln 2x x x y+=，两边对x 求导得：x x x x x x x y y 2sin 332)3ln(2cos 2122++++=' 所以]2sin 332)3ln(2cos 2[)3(222sin 2x xx x x x x x x y x+++++=' x x x x x x x x x x x 2sin )32()3()3ln(2cos )3(212sin 222sin 2+++++=-.48⎰⎰⎰====⎰-==-=π<<π-dt t tdt tdt t tdx x x t x t )2cos 1(2sin 4cos 2cos 2sin 4422sin 22222C x x x C t t x C t t +--=+-=+-=242arcsin 2cos sin 22arcsin 22sin 22.49. ⎰⎰⎰+---+=-+=-+101010102)1)(2(12)1ln(21)1ln()2()1ln(dx x x x x x d x dx x x ⎰=-=+-+=++--=10102ln 312ln 322ln 12ln 312ln )1121(312ln x x dx x x . 50. x vv g x u u g x y x y x f x z ∂∂∂∂+∂∂∂∂+∂+∂+'=∂∂)2()2(),(),()2(2xy x g y xy x g y x f v u'+'++'==∂∂∂∂+∂∂∂∂+∂+∂+'=∂∂yvv g y u u g y y x y x f y z )2()2(),()2(xy x g x y x f v '++'. 51．积分区域如图06-1所示，可表示为：x y x x 2,10≤≤≤≤.所以 ⎰⎰⎰⎰==10222xxDydy x dx ydxdy x I10323)2(10510421022====⎰⎰x dx x y dx x xx 52．令t x =-1，级数化为nn n t n ∑∞=-+0)3(1，这是不缺项的标准的幂级数. 因为 313)3(11)3(1lim 1)3(1)3(1lim lim11=--+-=+⋅-+-+==∞→+∞→+∞→nn n n n n nn n n n a a ρ，故级数n n n ∑∞=-+0)3(1的收敛半径3ρ，即级数收敛区间为（-3，3）. 对级数nn nx n ∑∞=--+0)1()3(1有313<-<-x ，即42<<-x . 故所求级数的收敛区间为），（42-.53．微分方程0)12(2=+-+dx x xy dy x可化为 212xx y x y -=+'，这是一阶线性微分方程，它对应的齐次线性微分方程02=+'y x y 通解为2xC y =. 设非齐次线性微分方程的通解为2)(x x C y =，则3)(2)(xx C x C x y -'='，代入方程得 C x x x C x x C +-=⇒-='2)(1)(2. 故所求方程的通解为2211x C x y +-=.四、应用题（每小题7分，共计14分）54.由题意可知：总成本8222221++-+=+=y x y x C C C，约束条件为8=+y x . 问题转化为在8=+y x 条件下求总成本C 的最小值 .把8=+y x 代入目标函数得 0(882022>+-=x x x C 的整数）.则204-='x C ，令0='C 得唯一驻点为5=x ，此时有04>=''C .xx故 5=x是唯一极值点且为极小值，即最小值点.此时有38,3==C y .所以甲、乙两厂最优产量分别为5千件和3千件，最低成本为38千元. 55平面图形如图06-2所示,此立体可看作X 型区域绕y 轴旋转一周而得到。

2006年江苏专转本高等数学真题

2006年江苏省普通高校“专转本”统一考试高等数学一、选择题（本大题共6小题，每小题4分，满分24分）1、若21)2(li m=→x x f x ，则=→)3(limx f xx （） A 、21 B 、2 C 、3D 、31 2、函数⎪⎩⎪⎨⎧=≠=001sin )(2x x xx x f 在=x 处（）A 、连续但不可导B 、连续且可导C 、不连续也不可导D 、可导但不连续 3、下列函数在[]1,1-上满足罗尔定理条件的是（） A 、xe y = B 、x y +=1C 、21x y -= D 、xy 11-= 4、已知C e dx x f x +=⎰2)(，则=-⎰dx x f )('（）A 、C ex+-22B 、C e x +-221 C 、C e x +--22D 、C e x +--2215、设∑∞=1n nu为正项级数，如下说法正确的是（）A 、如果0lim 0=→n n u ，则∑∞=1n n u 必收敛 B 、如果l u u nn n =+∞→1lim )0(∞≤≤l ，则∑∞=1n n u 必收敛 C 、如果∑∞=1n nu收敛，则∑∞=12n nu必定收敛 D 、如果∑∞=-1)1(n n nu 收敛，则∑∞=1n n u 必定收敛6、设对一切x 有),(),(y x f y x f -=-，}0,1|),{(22≥≤+=y y x y x D ，=1D }0,0,1|),{(22≥≥≤+y x y x y x ，则⎰⎰=D dxdy y x f ),(（）A 、0B 、⎰⎰1),(D dxdy y x f C 、2⎰⎰1),(D dxdy y x f D 、4⎰⎰1),(D dxdy y x f二、填空题（本大题共6小题，每小题4分，满分24分）7、已知0→x 时，)cos 1(x a -与x x sin 是等级无穷小，则=a 8、若A x f x x =→)(lim 0，且)(x f 在0x x =处有定义，则当=A 时，)(x f 在0x x =处连续.9、设)(x f 在[]1,0上有连续的导数且2)1(=f ，⎰=13)(dx x f ，则⎰=1')(dx x xf10、设1=a ，b a ⊥，则=+⋅)(b a a11、设x e u xysin =，=∂∂xu12、=⎰⎰Ddxdy . 其中D 为以点)0,0(O 、)0,1(A 、)2,0(B 为顶点的三角形区域.三、解答题（本大题共8小题，每小题8分，满分64分）13、计算11lim31--→x x x .14、若函数)(x y y =是由参数方程⎩⎨⎧-=+=tt y t x arctan )1ln(2所确定，求dx dy 、22dx yd . 15、计算⎰+dx x xln 1. 16、计算dx x x ⎰202cos π.17、求微分方程2'2y xy y x -=的通解.18、将函数)1ln()(x x x f +=展开为x 的幂函数（要求指出收敛区间）.19、求过点)2,1,3(-M 且与二平面07=-+-z y x 、0634=-+-z y x 都平行的直线方程.20、设),(2xy x xf z =其中),(v u f 的二阶偏导数存在，求y z ∂∂、xy z∂∂∂2.四、证明题（本题满分8分）.21、证明：当2≤x 时，233≤-x x .五、综合题（本大题共3小题，每小题10分，满分30分）22、已知曲线)(x f y =过原点且在点),(y x 处的切线斜率等于y x +2，求此曲线方程.23、已知一平面图形由抛物线2x y =、82+-=x y 围成. （1）求此平面图形的面积；（2）求此平面图形绕y 轴旋转一周所得的旋转体的体积.24、设⎪⎩⎪⎨⎧=≠=⎰⎰00)(1)(t a t dxdy x f t t g tD ，其中t D 是由t x =、t y =以及坐标轴围成的正方形区域，函数)(x f 连续. （1）求a 的值使得)(t g 连续；（2）求)('t g .2006年江苏省普通高校“专转本”统一考试高等数学参考答案1、C2、B3、C4、C5、C6、A7、28、)(0x f9、1- 10、111、)cos sin (x x y e xy + 12、113、原式322131lim 21341==--→x xx 14、21211122''t t t t x y dx dy t t =++-==，t t t t x dx dy dx y d t 411221)(22''22+=+== 15、原式C x x d x ++=++=⎰23)ln 1(32)ln 1(ln 116、原式x d x dx x x xx x d x cos 24sin 2sin sin 20220202202⎰⎰⎰+=-==πππππ24cos 2cos 24220202-=-+=⎰ππππxdx x x17、方程变形为2'⎪⎭⎫⎝⎛-=x y x y y ，令x y p =则''xp p y +=，代入得：2'p xp -=，分离变量得：dx x dp p ⎰⎰=-112，故C x p +=ln 1，C x x y +=ln . 18、令)1ln()(x x g +=，0)0(=g ，200'1)1()1()(+∞=∞=∑∑+-=-=n n n n nnx n dx x x g ，故201)1()(+∞=∑+-=n n n x n x f ，11<<-x .19、{}1,1,11-n 、{}1,3,42-n ，k j i kj in n l ++=--=⨯=3213411321直线方程为123123+=-=-z y x .20、'22f x y z =∂∂，''222''213'2''22''212'2222)2(2yf x f x xf y f x f x xf x y z ++=⋅+⋅+=∂∂∂. 21、令33)(x x x f -=，[]2,2-∈x ，033)(2'=-=x x f ，1±=x ，2)1(-=-f ，2)1(=f ， 2)2(-=f ，2)2(=-f ；所以2min -=f ，2max =f ，故2)(2≤≤-x f ，即233≤-x x .22、y x y +=2'，0)0(=y通解为x Ce x y +--=)22(，由0)0(=y 得2=C ，故x e x y 222+--=. 23、（1）364)8(2222=--=⎰-dx x x S （2）πππ16)8()(28424=-+=⎰⎰dy y dy y V24、dx x f t dy x f dx dxdy x f tttD t⎰⎰⎰⎰⎰==0)()()(⎪⎩⎪⎨⎧=≠=⎰00)()(0t at x f t g t（1）0)(lim)(lim 000==⎰→→dx x f t g tt t ，由)(t g 的连续性可知0)(lim )0(0===→t g g a t（2）当0≠t 时，)()('t f t g =，当0=t 时，)0()(lim )(lim )0()(lim)0(0000'f h f hdx x f h g h g g h hh h ===-=→→→⎰ 综上，)()('t f t g =.。

(整理)2006年数学一详解.

2006年数学一试题详解一、填空题：1－6小题，每小题4分，共24分. 把答案填在题中横线上. （1）【分析】本题为未定式极限的求解，利用等价无穷小代换即可. 【详解】 002ln(1)lim lim 211cos 2x x x x x xx x →→+⋅==-.（2）微分方程(1)y x y x-'=的通解是e (0).xy Cx x -=≠【分析】本方程为可分离变量型，先分离变量，然后两边积分即可【详解】原方程等价为d 11d y x y x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，两边积分得 1ln ln y x x C =-+，整理得 e xy Cx -=.（1e CC =）（3）设∑是锥面1)z z =≤≤的下侧，则d d 2d d 3(1)d d x y z y z x z x y ∑++-=⎰⎰2π.【分析】本题∑不是封闭曲面，首先想到加一曲面1∑：2211z x y =⎧⎨+≤⎩，取上侧，使1∑+∑构成封闭曲面，然后利用高斯公式转化为三重积分，再用球面（或柱面）坐标进行计算即可.【详解】设1∑：221(1)z x y =+≤，取上侧，则d d 2d d 3(1)d d x y z y z x z x y ∑++-⎰⎰11d d 2d d 3(1)d d d d 2d d 3(1)d d x y z y z x z x y x y z y z x z x y ∑+∑∑=++--++-⎰⎰⎰⎰.而1d d 2d d 3(1)d d x y z y z x z x y ∑+∑++-⎰⎰＝2116d 6d d d 2rVv r r z πθπ==⎰⎰⎰⎰⎰⎰，1d d 2d d 3(1)d dx y zy z x zx y ∑++-=⎰⎰.所以d d 2d d 3(1)d d 2x y z y z x z x y π∑++-=⎰⎰.（4）点(2,1,0)到平面3450x y z ++=的距离d【分析】本题直接利用点到平面距离公式d =进行计算即可. 其中000(,,)x y z 为点的坐标，0Ax By Cz D +++=为平面方程. 【详解】d ==【评注】本题属基本题型，要熟记空间解析几何中的概念和公式. （5）设矩阵2112A ⎛⎫= ⎪-⎝⎭，E 为2阶单位矩阵，矩阵B 满足2BA B E =+，则=B 2 .【分析】将矩阵方程改写为AX B XA B AXB C ===或或的形式，再用方阵相乘的行列式性质进行计算即可.【详解】由题设，有()2B A E E -= 于是有 4B A E -=，而11211A E -==-，所以2B =.【评注】本题关键是将其转化为用矩阵乘积形式表示.类似题2005年考过.（6）设随机变量X Y 与相互独立，且均服从区间[]0,3上的均匀分布，则{}{}max ,1P X Y ≤=19. 【分析】利用X Y 与的独立性及分布计算. 【详解】由题设知，X Y 与具有相同的概率密度1,3()30,x f x ⎧≤≤⎪=⎨⎪⎩ 0 其他.则 {}{}{}max ,11,1P X Y P X Y ≤=≤≤{}{}11P X P Y =≤≤{}()2120111d 39P X x ⎛⎫=≤== ⎪⎝⎭⎰.【评注】本题属几何概型，也可如下计算，如下图：则 {}{}{}1max ,11,19S P X Y P X Y S ≤=≤≤==阴. 二、选择题：7－14小题，每小题4分，共32分. 每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内.（7）设函数()y f x =具有二阶导数，且()0,()0f x f x '''>>，x ∆为自变量x 在点0x 处的增量，d y y ∆与分别为()f x 在点0x 处对应的增量与微分，若0x ∆>，则(A) 0d y y <<∆. (B) 0d y y <∆<.(C) d 0y y ∆<<. (D) d 0y y <∆< . [ Ａ ]【详解】由()0,()0f x f x '''>>知，函数()f x 单调增加，曲线()y f x =凹向，作函数()y f x =的图形如右图所示，显然当0x ∆>时，00d ()d ()0y y f x x f x x ''∆>==∆>，故应选(Ａ).【评注】对于题设条件有明显的几何意义或所给函数图形容易绘出时，图示法是求解此题的首选方法.本题还可用拉格朗日定理求解：0000()()(),y f x x f x f x x x x ξξ'∆=+∆-=∆<<+∆因为()0f x ''>，所以()f x '单调增加，即0()()f f x ξ''>，又0x ∆>，则 0()()d 0y f x f x x y ξ''∆=∆>∆=>，即0d y y <<∆.（8）设(,)f x y 为连续函数，则140d (cos ,sin )d f r r r r πθθθ⎰⎰等于（Ａ）0(,)d xx f x y y . （B ）0(,)d x f x y y .(C)(,)d yy f x y x .(D)(,)d y f x y x . [ Ｃ ]【分析】本题首先由题设画出积分区域的图形，然后化为直角坐标系下累次积分即可. 【详解】由题设可知积分区域D 如右图所示，显然是Y 型域，则原式0(,)d yy f x y x =.故选（Ｃ）.【评注】本题为基本题型，关键是首先画出积分区域的图形. （9）若级数1nn a∞=∑收敛，则级数(A)1nn a∞=∑收敛 . （B ）1(1)nn n a ∞=-∑收敛.(C)11n n n a a∞+=∑收敛. (D)112n n n a a ∞+=+∑收敛. [ Ｄ ] 【分析】可以通过举反例及级数的性质来判定. 【详解】由1n n a ∞=∑收敛知11n n a ∞+=∑收敛，所以级数112n n n a a ∞+=+∑收敛，故应选(Ｄ). 或利用排除法：取1(1)nn a n=-，则可排除选项（Ａ），（Ｂ）；取(1)nn a =-，则可排除选项（Ｃ）.故（Ｄ）项正确. 【评注】本题主要考查级数收敛的性质和判别法，属基本题型.（10）设(,)(,)f x y x y ϕ与均为可微函数，且(,)0y x y ϕ'≠，已知00(,)x y 是(,)f x y 在约束条件(,)0x y ϕ=下的一个极值点，下列选项正确的是(A) 若00(,)0x f x y '=，则00(,)0y f x y '=. (B) 若00(,)0x f x y '=，则00(,)0y f x y '≠. (C) 若00(,)0x f x y '≠，则00(,)0y f x y '=.(D) 若00(,)0x f x y '≠，则00(,)0y f x y '≠. [ Ｄ]【分析】利用拉格朗日函数(,,)(,)(,)F x y f x y x y λλϕ=+在000(,,)x y λ（0λ是对应00,x y 的参数λ的值）取到极值的必要条件即可.【详解】作拉格朗日函数(,,)(,)(,)F x y f x y x y λλϕ=+，并记对应00,x y 的参数λ的值为0λ，则000000(,,)0(,,)0x y F x y F x y λλ⎧'=⎪⎨'=⎪⎩，即0000000000(,)(,)0(,)(,)0x x y y f x y x y f x y x y λϕλϕ⎧''+=⎪⎨''+=⎪⎩ 消去0λ，得00000000(,)(,)(,)(,)0x y y x f x y x y f x y x y ϕϕ''''-=, 整理得 000000001(,)(,)(,)(,)x y x y f x y f x y x y x y ϕϕ'''='.（因为(,)0y x y ϕ'≠），若00(,)0x f x y '≠，则00(,)0y f x y '≠.故选（Ｄ）. （11）设12,,,s ααα均为n 维列向量，A 为m n ⨯矩阵，下列选项正确的是(A) 若12,,,s ααα线性相关，则12,,,s A A A ααα线性相关. (B) 若12,,,s ααα线性相关，则12,,,s A A A ααα线性无关. (C) 若12,,,s ααα线性无关，则12,,,s A A A ααα线性相关.(D) 若12,,,s ααα线性无关，则12,,,s A A A ααα线性无关.[ C ]【分析】本题考查向量组的线性相关性问题，利用定义或性质进行判定. 【详解】记12(,,,)s B ααα=，则12(,,,)s A A A AB ααα=.所以，若向量组12,,,s ααα线性相关，则()r B s <，从而()()r AB r B s ≤<，向量组12,,,s A A A ααα也线性相关，故应选(Ａ).【评注】对于向量组的线性相关问题，可用定义，秩，也可转化为齐次线性方程组有无非零解进行讨论.（12）设A 为3阶矩阵，将A 的第2行加到第1行得B ，再将B 的第1列的1-倍加到第2列得C ，记110010001P ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，则（Ａ）1C P AP -=. （Ｂ）1C PAP -=.（Ｃ）T C P AP =. （Ｄ）TC PAP =. ［Ｂ］【分析】利用矩阵的初等变换与初等矩阵的关系以及初等矩阵的性质可得. 【详解】由题设可得110110*********,010010010001001001001B A C B A --⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪=== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭ ，而 1110010001P --⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，则有1C PAP -=.故应选（Ｂ）.【评注】（１）每一个初等变换都对应一个初等矩阵，并且对矩阵A 施行一个初等行（列）变换，相当于左（右）乘相应的初等矩阵.（２）牢记三种初等矩阵的转置和逆矩阵与初等矩阵的关系. （13）设,A B 为随机事件，且()0,(|)1P B P A B >=，则必有(A) ()()P A B P A⋃>(B) ()()P A B P B ⋃> (C) ()()P A B P A ⋃= (D) ()()P A B P B ⋃= [ B ] 【分析】利用事件和的运算和条件概率的概念即可. 【详解】由题设，知 ()(|)1()P AB P A B P B ==，即()()P AB P A =.又 ()()()()()P A B P A P B P AB P A ⋃=+-=.故应选(Ｃ).【评注】本题考查随机事件的运算和关系的概念，应牢记.（14）设随机变量X 服从正态分布211(,)N μσ，Y 服从正态分布222(,)N μσ，且{}{}1211P X P Y μμ-<>-< 则必有(A) 12σσ< (B) 12σσ>(C) 12μμ< (D) 12μμ> [ D ] 【分析】利用标准正态分布密度曲线的几何意义可得. 【详解】由题设可得12112211X Y P P μμσσσσ⎧-⎫⎧-⎫<><⎨⎬⎨⎬⎩⎭⎩⎭，则 12112121σσ⎛⎫⎛⎫Φ->Φ-⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，即1211σσ⎛⎫⎛⎫Φ>Φ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.其中()x Φ是标准正态分布的分布函数. 又()x Φ是单调不减函数，则1211σσ>，即12σσ<.故选(A).【评注】对于服从正态分布2(,)N μσ的随机变量X ，在考虑它的概率时，一般先将X 标准化，即X μσ-.三、解答题：15－23小题，共94分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.（15）（本题满分10分）设区域{}22(,)1,0D x y x y x =+≤≥，计算二重积分221d d .1Dxyx y x y +++⎰⎰ 【分析】由于积分区域D 关于x 轴对称，故可先利用二重积分的对称性结论简化所求积分，又积分区域为圆域的一部分，则将其化为极坐标系下累次积分即可.【详解】积分区域D 如右图所示.因为区域D 关于x 轴对称，函数221(,)1f x y x y=++是变量y 的偶函数，函数22(,)1xyg x y x y =++是变量y 的奇函数.则112222220011ln 2d d 2d d 2d d 1112DD r x y x y r xyx y r ππθ===+++++⎰⎰⎰⎰⎰⎰22d d 01Dxyx y x y =++⎰⎰，故22222211ln 2d d d d d d 1112D D Dxy xy x y x y x y x y x y x y π+=+=++++++⎰⎰⎰⎰⎰⎰. 【评注】只要见到积分区域具有对称性的二重积分计算问题，就要想到考查被积函数或其代数和的每一部分是否具有奇偶性，以便简化计算. （16）（本题满分12分）设数列{}n x 满足110,sin (1,2,)n n x x x n π+<<==（Ⅰ）证明lim n n x →∞存在，并求该极限；（Ⅱ）计算211lim n x n n n x x +→∞⎛⎫ ⎪⎝⎭. 【分析】一般利用单调增加有上界或单调减少有下界数列必有极限的准则来证明数列极限的存在. （Ⅱ）的计算需利用（Ⅰ）的结果.【详解】（Ⅰ）因为10x π<<，则210sin 1x x π<=≤<. 可推得 10sin 1,1,2,n n x x n π+<=≤<=，则数列{}n x 有界.于是1sin 1n nn nx x x x +=<，（因当0sin x x x ><时，），则有1n n x x +<，可见数列{}n x 单调减少，故由单调减少有下界数列必有极限知极限lim n n x →∞存在.设lim n n x l →∞=，在1sin n n x x +=两边令n →∞，得 sin l l =，解得0l =，即l i m 0n n x →∞=.（Ⅱ）因 22111sin lim lim nn x x n n n n n n x x x x +→∞→∞⎛⎫⎛⎫= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，由（Ⅰ）知该极限为1∞型，令n t x =，则,0n t →∞→，而222sin 111111sin 1000sin sin sin lim lim 11lim 11tt t t t t t t t t t t t t t t -⋅-→→→⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎢⎥=+-=+- ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦，又 23300001sin sin cos 1sin 1lim1lim lim lim 366t t t t t t t t t t t t t t →→→→---⎛⎫-====- ⎪⎝⎭. （利用了sin x 的麦克劳林展开式）故 2211116sin lim lim e nn x x n n n n n n x x x x -+→∞→∞⎛⎫⎛⎫== ⎪⎪⎝⎭⎝⎭. 【评注】对于有递推关系的数列极限的证明问题，一般利用单调有界数列必有极限准则来证明. （17）（本题满分12分）将函数2()2xf x x x=+-展成x 的幂级数. 【分析】利用常见函数的幂级数展开式. 【详解】 2()2(2)(1)21x x A Bf x x x x x x x===++--+-+，比较两边系数可得21,33A B ==-，即121111()3213112f x x x x x ⎛⎫⎪⎛⎫=-=- ⎪ ⎪-++⎝⎭ ⎪-⎝⎭. 而1(1),(1,1)1n nn x x x ∞==-∈-+∑，01,(2,2)212nn x x x ∞=⎛⎫=∈- ⎪⎝⎭-∑，故120001111()(1)(1),(1,1)23232n n n n n n n n n n x f x x x x x x x ∞∞∞+===⎛⎫⎛⎫==--+=-+∈- ⎪ ⎪+-⎝⎭⎝⎭∑∑∑. 【评注】分式函数的幂级数展开一般采用间接法.要熟记常用函数的幂级数展开公式：（1）∑∞=-∈=+++++=-12)1,1(,111n n nu u u u u u ；（2）∑∞=-∈-=+-+-+-=+12)1,1(,)1()1(111n n n nn u u u u u u ；（3）),(,!1!1!21102+∞-∞∈=+++++=∑∞=u u n u n u u e nn n u；（4）),(,)!12()1()!12()1(!3sin 012123+∞-∞∈+-=++-++-=∑∞=++u n u n u u u u n n n n n；（5）),(,)!2()1()!2()1(!21cos 0222+∞-∞∈-=+-++-=∑∞=u n u n u u u n n n n n ；（6）]1,1(,1)1(1)1(32)1(ln 01132-∈+-=++-+-+-=+∑∞=++u n u n u u u u u n n n n n ；（7）]1,1(,!)1()1(!2)1(1)1(2-∈++--++-++=+u u n n u u u n ααααααα.（18）（本题满分12分）设函数()f u 在(0,)+∞内具有二阶导数，且z f=满足等式22220z zx y∂∂+=∂∂. （I ）验证()()0f u f u u'''+=；（II ）若(1)0,(1)1f f '==，求函数()f u 的表达式.【分析】利用复合函数偏导数计算方法求出2222,z zx y∂∂∂∂代入2222z zx y∂∂+=∂∂即可得（I）.按常规方法解（II）即可.【详解】（I）设u=，则(( z zf u f u x y∂∂'' ==∂∂.22()()zf u f ux∂'''=+∂()22322222()()x yf u f ux yx y'''=⋅+⋅++，()2223222222()()z y xf u f uy x yx y∂'''=⋅+⋅∂++.将2222,z zx y∂∂∂∂代入2222z zx y∂∂+=∂∂得()()0f uf uu'''+=.（II）令()f u p'=，则d dp p upu p u'+=⇒=-，两边积分得1ln ln lnp u C=-+，即1Cpu=，亦即1()Cf uu'=.由(1)1f'=可得11C=.所以有1()f uu'=，两边积分得2()lnf u u C=+，由(1)0f=可得2C=，故()lnf u u=.【评注】本题为基础题型，着重考查多元复合函数的偏导数的计算及可降阶方程的求解.（19）（本题满分12分）设在上半平面{}(,)|0D x y y=>内，函数(,)f x y具有连续偏导数，且对任意的0t>都有2(,)(,)f tx ty t f x y-=.证明：对D内的任意分段光滑的有向简单闭曲线L，都有(,)d(,)d0Lyf x y x xf x y y-=⎰.【分析】利用曲线积分与路径无关的条件Q P x y∂∂=∂∂. 【详解】 2(,)(,)f tx ty t f x y -=两边对t 求导得3(,)(,)2(,)x y xf tx ty yf tx ty t f x y -''+=-. 令 1t =，则 (,)(,)2(,)x y xf x y yf x y f x y ''+=-. ① 设(,)(,),(,)(,)P x y yf x y Q x y xf x y ==-，则(,)(,),(,)(,)x y Q P f x y xf x y f x y yf x y x y∂∂''=--=+∂∂. 则由①可得Q P x y ∂∂=∂∂. 故由曲线积分与路径无关的定理可知，对D 内的任意分段光滑的有向简单闭曲线L ，都有(,)d (,)d 0L yf x y x xf x y y -=⎰.【评注】本题难度较大，关键是如何将待求解的问题转化为可利用已知条件的情形.（20）（本题满分9分）已知非齐次线性方程组1234123412341435131x x x x x x x x ax x x bx +++=-⎧⎪++-=-⎨⎪+++=⎩有3个线性无关的解.（Ⅰ）证明方程组系数矩阵A 的秩()2r A =；（Ⅱ）求,a b 的值及方程组的通解.【分析】（I ）根据系数矩阵的秩与基础解系的关系证明；（II ）利用初等变换求矩阵A 的秩确定参数,a b ，然后解方程组.【详解】（I ）设123,,ααα是方程组Ax β=的3个线性无关的解，其中111114351,1131A a b β-⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪=-=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.则有 1213()0,()0A A αααα-=-=.则 1213,αααα--是对应齐次线性方程组0Ax =的解，且线性无关.（否则，易推出123,,ααα线性相关，矛盾）.所以 ()2n r A -≥，即4()2()2r A r A -≥⇒≤.又矩阵A 中有一个2阶子式111043=-≠，所以()2r A ≤.因此 ()2r A =.（II ）因为11111111111143510115011513013004245A a b a a b a a b a ⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪=-→--→-- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪----+-⎝⎭⎝⎭⎝⎭.又()2r A =，则42024503a a b a b -==⎧⎧⇒⎨⎨+-==-⎩⎩. 对原方程组的增广矩阵A 施行初等行变换，111111024243511011532133100000A --⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪=--→-- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭，故原方程组与下面的方程组同解.134********x x x x x x =-++⎧⎨=--⎩. 选34,x x 为自由变量，则134234334424253x x x x x x x x x x =-++⎧⎪=--⎪⎨=⎪⎪=⎩. 故所求通解为12242153100010x k k -⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪-- ⎪ ⎪ ⎪=++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，12,k k 为任意常数.【评注】本题综合考查矩阵的秩，初等变换，方程组系数矩阵的秩和基础解系的关系以及方程组求解等多个知识点，特别是第一部分比较新颖. 这是考查综合思维能力的一种重要表现形式，今后类似问题将会越来越多.（21）（本题满分9分）设3阶实对称矩阵A 的各行元素之和均为3,向量()()T T121,2,1,0,1,1αα=--=-是线性方程组0Ax =的两个解.(Ⅰ) 求A 的特征值与特征向量；(Ⅱ) 求正交矩阵Q 和对角矩阵Λ,使得T Q AQ =Λ.【分析】由矩阵A 的各行元素之和均为3及矩阵乘法可得矩阵A 的一个特征值和对应的特征向量；由齐次线性方程组0Ax =有非零解可知A 必有零特征值，其非零解是0特征值所对应的特征向量.将A 的线性无关的特征向量正交化可得正交矩阵Q .【详解】 (Ⅰ) 因为矩阵A 的各行元素之和均为3，所以 1311331131A ⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，则由特征值和特征向量的定义知，3λ=是矩阵A 的特征值，T(1,1,1)α=是对应的特征向量.对应3λ=的全部特征向量为k α，其中k 为不为零的常数.又由题设知 120,0A A αα==，即11220,0A A αααα=⋅=⋅，而且12,αα线性无关，所以0λ=是矩阵A 的二重特征值，12,αα是其对应的特征向量，对应0λ=的全部特征向量为 1122k k αα+，其中12,k k 为不全为零的常数.(Ⅱ) 因为A 是实对称矩阵，所以α与12,αα正交，所以只需将12,αα正交.取 11βα=， ()()21221111012,3120,61112αββαβββ⎛⎫- ⎪-⎛⎫⎛⎫ ⎪- ⎪ ⎪=-=--= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭ ⎪⎝⎭. 再将12,,αββ单位化，得1212312,,0ββαηηηαββ⎛⎛⎪====== ⎪⎪⎪⎪⎪⎪ ⎪⎝⎭⎪⎝⎭，令[]123,,Qηηη=，则1TQ Q-=，由A是实对称矩阵必可相似对角化，得T3Q AQ⎡⎤⎢⎥==Λ⎢⎥⎢⎥⎣⎦.【评注】本题主要考查求抽象矩阵的特征值和特征向量，此类问题一般用定义求解，则要想方设法将题设条件转化为Ax xλ=的形式.（22）（本题满分9分）设随机变量X的概率密度为()1,1021,0240,Xxf x x⎧-<<⎪⎪⎪=≤<⎨⎪⎪⎪⎩　其他，令()2,,Y X F x y=为二维随机变量(,)X Y的分布函数.(Ⅰ)求Y的概率密度()Yf y(Ⅱ)1,42F⎛⎫-⎪⎝⎭.【分析】求一维随机变量函数的概率密度一般先求分布，然后求导得相应的概率密度或利用公式计算.【详解】（I）设Y的分布函数为()YF y，即2()()()YF y P Y y P X y=≤=≤，则1)2)当0y<时，()0YF y=；3)4)当01y≤<时，(2()()YF y P X y P X=<=<<1d4x x=+=⎰5)6)当14y≤<时，(2()()1YF y P X y P X=<=-<<1011d d242x x-=+=⎰.7)当4y≥，()1YF y=.所以1()()40,Y Yyf y F y y<<⎪'==≤≤⎪⎪⎩其他.（II）1,42F⎛⎫-⎪⎝⎭211,4,422P X Y P X X⎛⎫⎛⎫=≤-≤=≤-≤⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭11,22222P X X P X⎛⎫⎛⎫=≤--≤≤=-≤≤-⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭12111d24x--==⎰.（23）（本题满分9分）设总体X的概率密度为(),01,;1,12,0,xf x xθθθ<<⎧⎪=-≤<⎨⎪⎩其他,其中θ是未知参数()01θ<<，12n,...,X X X为来自总体X的简单随机样本，记N为样本值12,...,nx x x中小于1的个数，求θ的最大似然估计.【分析】先写出似然函数，然后用最大似然估计法计算θ的最大似然估计.【详解】记似然函数为()Lθ，则()()()()()111(1)N n N N n N L θθθθθθθθθ--=⋅⋅⋅-⋅-⋅⋅-=-个个.两边取对数得ln ()ln ()ln(1)L N n N θθθ=+--，令d ln ()0d 1L N n N θθθθ-=-=-，解得N nθ=为θ的最大似然估计.。

2006年河南专升本高数真题及答案.doc

2006年河南省普通高等学校选拔优秀专科生进入本科阶段学习考试《高等数学》试卷一、单项选择题（每小题2分，共计60分）在每小题的四个备选答案中选出一个正确答案，并将其代码写在题干后面的括号内。

不选、错选或多选者，该题无分.1.已知函数)12(-x f 的定义域为]1,0[ ，则)(x f 的定义域为（）A. ]1,21[ B. ]1,1[- C. ]1,0[ D. ]2,1[-解：B x x ⇒≤-≤-⇒≤≤112110.2.函数)1ln(2x x y -+=)(+∞<<-∞x 是（） A ．奇函数 B. 偶函数 C.非奇非偶函数 D. 既奇又偶函数解：01ln )1ln()1ln()()(22==+++-+=-+x x x x x f x f A ⇒. 3. 当0→x 时，x x sin 2-是x 的（） A. 高阶无穷小 B. 低阶无穷小 C. 同阶非等价无穷小 D. 等价无穷小解： 1sin lim 20-=-→xxx x C ⇒.4.极限=+∞→nnn n sin 32lim（）A. ∞B. 2C. 3D. 5解：B nnn n n n n ⇒=+=+∞→∞→2]sin 32[lim sin 32lim .5.设函数⎪⎩⎪⎨⎧=+≠-=0,10,1)(2x a x x e x f ax ，在0=x 处连续，则常数=a （）A. 0B. 1C. 2D. 3解：B a a a ae xe xf ax x ax x x ⇒=⇒+===-=→→→1122lim 1lim)(lim 20200. 6. 设函数)(x f 在点1=x 处可导，则=--+→xx f x f x )1()21(lim 0（） A. )1(f ' B. )1(2f ' C. )1(3f ' D. -)1(f '解：xx f f f x f x x f x f x x )1()1()1()21(lim )1()21(lim 00--+-+=--+→→C f xf x f x f x f x x ⇒'=---+-+=→→)1(3)1()1(lim 2)1()21(lim2007. 若曲线12+=x y 上点M 处的切线与直线14+=x y 平行，则点M 的坐标（）A. （2，5）B. （-2，5）C. （1，2）D.（-1，2）解： A y x x x y ⇒==⇒=⇒='5,2422000.8.设⎪⎩⎪⎨⎧==⎰202cos sin ty du u x t ，则=dxdy（）A. 2tB. t 2C.-2tD. t 2-解： D t tt t dx dy ⇒-=-=2sin sin 222. 9.设2(ln )2(>=-n x x y n ，为正整数),则=)(n y （）A.x n x ln )(+B. x 1C.1)!2()1(---n n x n D. 0解：B xy x y x x y n n n ⇒=⇒+=⇒=--1ln 1ln )()1()2(.10.曲线233222++--=x x x x y （）A. 有一条水平渐近线，一条垂直渐近线B. 有一条水平渐近线，两条垂直渐近线C. 有两条水平渐近线，一条垂直渐近线，D. 有两条水平渐近线，两条垂直渐近线解：A y y y x x x x x x x x y x x x ⇒∞=-==⇒++-+=++--=-→-→±∞→2122lim ,4lim ,1lim )2)(1()3)(1(2332. 11.下列函数在给定的区间上满足罗尔定理的条件是（）A. ]2,0[|,1|-=x yB. ]2,0[,)1(132-=x yC.]2,1[,232+-=x x y D ． ]1,0[,arcsin x x y =解：由罗尔中值定理条件：连续、可导及端点的函数值相等C ⇒. 12. 函数x e y -=在区间),(+∞-∞内（）A. 单调递增且图像是凹的曲线B. 单调递增且图像是凸的曲线C. 单调递减且图像是凹的曲线D. 单调递减且图像是凸的曲线解： C e y e y x x ⇒>=''<-='--0,0.13.若⎰+=C x F dx x f )()(，则⎰=--dx e f e x x )( （） A.C e F e x x ++--)( B. C e F x +-)( C. C e F e x x +---)( D. C e F x +--)( 解：D C e F e d e f dx e f e x x x x x ⇒+-=-=⎰⎰-----)()()()(.14. 设)(x f 为可导函数，且x e x f =-')12( ，则 =)(x f （）A. C e x +-1221 B. C ex ++)1(212 C. C e x ++1221 D. C e x +-)1(212 解：B C e x f ex f e x f x x x⇒+=⇒='⇒=-'++)1(21)1(212)()()12(. 15. 导数=⎰batdt dx d arcsin （）A.x arcsinB. 0C. a b arcsin arcsin -D. 211x-解：⎰b a xdx arcsin 是常数，所以 B xdx dx d ba⇒=⎰0arcsin .16.下列广义积分收敛的是（）A. ⎰+∞1dx e xB. ⎰+∞11dx xC. ⎰+∞+1241dx xD. ⎰+∞1cos xdx 解：C x dx x⇒-==++∞∞+⎰)21arctan 4(412arctan 4141112π. 17.设区域D 由)(),(,),(,x g y x f y a b b x a x ==>==所围成，则区域D 的面积为（）A. ⎰-ba dx x g x f )]()([ B.⎰-ba dx x g x f )]()([C. ⎰-b adx x f x g )]()([ D. ⎰-b adx x g x f |)()(| 解：由定积分的几何意义可得D 的面积为 ⎰-badx x g x f |)()(|D ⇒.18. 若直线32311-=+=-z n y x 与平面01343=++-z y x 平行，则常数=n （）A. 2B. 3C. 4D. 5 解： B n n n ⇒=⇒=+-⇒-⊥30943}3,43{}3,,1{.19.设yxy x y x f arcsin)1(),(-+=，则偏导数)1,(x f x '为（） A.2 B.1 C.-1 D.-2 解： B x f x x f x ⇒='⇒=1)1,()1,(.20. 设方程02=-xyz e z 确定了函数),(y x f z = ，则xz∂∂ = （）A. )12(-z x zB. )12(+z x zC. )12(-z x yD. )12(+z x y解：令xy e F yz F xyz e z y x F z z x z -='-='⇒-=222,),,(A z x z xy xyz yz xy e yz x z z ⇒-=-=-=∂∂⇒)12(222. 21.设函数xyy x z +=2 ，则===11y x dz （）A. dy dx 2+B. dy dx 2-C. dy dx +2D. dy dx -2解：222x ydxxdy dy x xydx dz -++=A dy dx dx dy dy dx dz y x ⇒+=-++=⇒==2211.22.函数2033222+--=y x xy z 在定义域上内（） A.有极大值，无极小值 B. 无极大值，有极小值 C.有极大值，有极小值 D. 无极大值，无极小值解：,6)0,0(),(062,06222-=∂∂⇒=⇒=-=∂∂=-=∂∂xz y x y x y z x y x z ⇒=∂∂∂-=∂∂2,6222y x zyz 是极大值A ⇒. 23设D 为圆周由012222=+--+y x y x 围成的闭区域，则=⎰⎰Ddxdy（）A. πB. 2πC.4πD. 16π解：有二重积分的几何意义知：=⎰⎰Ddxdy 区域D 的面积为π.24.交换二次积分⎰⎰>axa dy y x f dx 00(),(，常数）的积分次序后可化为（）A. ⎰⎰aydx y x f dy 00),( B. ⎰⎰a aydx y x f dy 0),(C. ⎰⎰a a dx y x f dy 0),( D. ⎰⎰a yadx y x f dy 0),(解：积分区域},0|),{(}0,0|),{(a x y a y y x x y a x y x D ≤≤≤≤=≤≤≤≤= B ⇒.25.若二重积分⎰⎰⎰⎰=20sin 20)sin ,cos (),(πθθθθrdr r r f d dxdy y x f D，则积分区域D为（）A. x y x 222≤+B. 222≤+y xC. y y x 222≤+D. 220y y x -≤≤解：在极坐标下积分区域可表示为：}sin 20,20|),{(θπθθ≤≤≤≤=r r D ，在直角坐标系下边界方程为y y x 222=+，积分区域为右半圆域D ⇒26.设L 为直线1=+y x 上从点)0,1(A 到)1,0(B 的直线段,则=-+⎰Ldy dx y x )(（）A. 2B.1C. -1D. -2解：L ：,1⎩⎨⎧-==x y xx x 从1变到0，⎰⎰⇒-=+=-+012)(D dx dx dy dx y x L .27.下列级数中，绝对收敛的是（）A ．∑∞=1sinn nπ B ．∑∞=-1sin)1(n n nπC ．∑∞=-12sin)1(n nn πD ．∑∞=1cos n n π解： ⇒<22sinn n ππ∑∞=π12sinn n 收敛C ⇒. 28. 设幂级数n n n n a x a (0∑∞=为常数Λ,2,1,0=n ），在点2-=x 处收敛，则∑∞=-0)1(n n na（）A. 绝对收敛B. 条件收敛C. 发散D. 敛散性不确定解：∑∞=0n nn x a 在2-=x 收敛，则在1-=x 绝对收敛，即级数∑∞=-0)1(n n n a 绝对收敛A ⇒.29. 微分方程0sin cos cos sin =+ydx x ydy x 的通解为（） A. C y x =cos sin B. C y x =sin cosC. C y x =sin sinD. C y x =cos cos解：dx xxdy y y ydx x ydy x sin cos sin cos 0sin cos cos sin -=⇒=+C C y x C x y xx d y y d ⇒=⇒=+⇒-=⇒sin sin ln sin ln sin ln sin sin sin sin .30.微分方程x xe y y y -=-'+''2的特解用特定系数法可设为（）A. x e b ax x y -+=*)(B. x e b ax x y -+=*)(2C. x e b ax y -+=*)(D. x axe y -=*解：-1不是微分方程的特征根，x 为一次多项式，可设x e b ax y -+=*)( C ⇒.二、填空题（每小题2分，共30分）31.设函数,1||,01||,1)(⎩⎨⎧>≤=x x x f 则=)(sin x f _________.解：1)(sin 1|sin |=⇒≤x f x .32.=--+→xx x x 231lim22=_____________.解：=++=++--=--+→→→)31(1lim )31)(2()2(lim 231lim 2222x x x x x x x x x x x x 123341==. 33.设函数x y 2arctan =，则=dy __________.解：dx xdy 2412+= . 34.设函数bx ax x x f ++=23)(在1-=x 处取得极小值-2，则常数b a 和分别为___________.解：b a b a b ax x x f -+-=-=+-⇒++='12,02323)(25,4==⇒b a .35.曲线12323-+-=x x x y 的拐点为 __________.解：)1,1(),(0662632-=⇒=-=''⇒+-='y x x y x x y .36.设函数)(),(x g x f 均可微，且同为某函数的原函数，有1)1(,3)1(==g f 则=-)()(x g x f _________.解：2)1()1()()(=-=⇒=-g f C C x g x f 2)()(=-⇒x g x f .37.⎰-=+ππdx x x )sin (32 _________.解：3202sin )sin (323232π=+=+=+⎰⎰⎰⎰πππ-ππ-ππ-dx x xdx dx x dx x x .38.设函数⎪⎩⎪⎨⎧<≥=0,0,)(2x x x e x f x ，则 ⎰=-20)1(dx x f __________.解：⎰⎰⎰⎰--=--=+=====-201110012132)()1(e dx e dx x dt t f dx x f x t x .39. 向量}1,1,2{}2,1,1{-==b a ρρ与向量的夹角为__________.解：3,21663||||,cos π>=⇒<==⋅>=<b a b a b a b a ρρρρρρρρ .40.曲线⎩⎨⎧==022z xy L ：绕x 轴旋转一周所形成的旋转曲面方程为 _________. 解：把x y 22=中的2y 换成22y z +，即得所求曲面方程x y z 222=+.41.设函数y x xy z sin 2+= ，则=∂∂∂yx z2_________. 解：⇒+=∂∂y x y xzsin 2y x y x z cos 212+=∂∂∂. 42.设区域}11,10|),{(≤≤-≤≤=y x y x D ，则________)(2⎰⎰=-Ddxdy x y .。

2006年数学一详解

2006年数学一试题详解一、填空题：1－6小题，每小题4分，共24分. 把答案填在题中横线上. （1）【分析】本题为未定式极限的求解，利用等价无穷小代换即可. 【详解】 002ln(1)lim lim 211cos 2x x x x x xx x →→+⋅==-.（2）微分方程(1)y x y x-'=的通解是e (0).x y Cx x -=≠【分析】本方程为可分离变量型，先分离变量，然后两边积分即可【详解】原方程等价为d 11d y x y x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，两边积分得 1ln ln y x x C =-+，整理得 e x y Cx -=.（1e CC =）（3）设∑是锥面1)z z =≤≤的下侧，则d d 2d d 3(1)d d x y z y z x z x y ∑++-=⎰⎰2π.【分析】本题∑不是封闭曲面，首先想到加一曲面1∑：2211z x y =⎧⎨+≤⎩，取上侧，使1∑+∑构成封闭曲面，然后利用高斯公式转化为三重积分，再用球面（或柱面）坐标进行计算即可.【详解】设1∑：221(1)z x y =+≤，取上侧，则d d 2d d 3(1)d d x y z y z x z x y ∑++-⎰⎰11d d 2d d 3(1)d d d d 2d d 3(1)d d x y z y z x z x y x y z y z x z x y ∑+∑∑=++--++-⎰⎰⎰⎰.而1d d 2d d 3(1)d d x y z y z x z x y ∑+∑++-⎰⎰＝2116d 6d d d 2rVv r r z πθπ==⎰⎰⎰⎰⎰⎰，1d d 2d d 3(1)d d 0x y zy z x z x y ∑++-=⎰⎰.所以d d 2d d 3(1)d d 2x y z y z x z x y π∑++-=⎰⎰.（4）点(2,1,0)到平面3450x y z ++=的距离d【分析】本题直接利用点到平面距离公式d =进行计算即可. 其中000(,,)x y z 为点的坐标，0Ax By Cz D +++=为平面方程. 【详解】d ==【评注】本题属基本题型，要熟记空间解析几何中的概念和公式. （5）设矩阵2112A ⎛⎫= ⎪-⎝⎭，E 为2阶单位矩阵，矩阵B 满足2BA B E =+，则=B 2 .【分析】将矩阵方程改写为AX B XA B AXB C ===或或的形式，再用方阵相乘的行列式性质进行计算即可.【详解】由题设，有()2B A E E -= 于是有 4B A E -=，而11211A E -==-，所以2B =. 【评注】本题关键是将其转化为用矩阵乘积形式表示.类似题2005年考过.（6）设随机变量X Y 与相互独立，且均服从区间[]0,3上的均匀分布，则{}{}max ,1P X Y ≤=19. 【分析】利用X Y 与的独立性及分布计算. 【详解】由题设知，X Y 与具有相同的概率密度1,3()30,x f x ⎧≤≤⎪=⎨⎪⎩ 0 其他.则 {}{}{}max ,11,1P X Y P X Y ≤=≤≤{}{}11P X P Y =≤≤{}()2120111d 39P X x ⎛⎫=≤== ⎪⎝⎭⎰.【评注】本题属几何概型，也可如下计算，如下图：则 {}{}{}1max ,11,19S P X Y P X Y S ≤=≤≤==阴. 二、选择题：7－14小题，每小题4分，共32分. 每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内.（7）设函数()y f x =具有二阶导数，且()0,()0f x f x '''>>，x ∆为自变量x 在点0x 处的增量，d y y ∆与分别为()f x 在点0x 处对应的增量与微分，若0x ∆>，则(A) 0d y y <<∆. (B) 0d y y <∆<.(C) d 0y y ∆<<. (D) d 0y y <∆< . [ Ａ ]【详解】由()0,()0f x f x '''>>知，函数()f x 单调增加，曲线()y f x =凹向，作函数()y f x =的图形如右图所示，显然当0x ∆>时，00d ()d ()0y y f x x f x x ''∆>==∆>，故应选(Ａ).【评注】对于题设条件有明显的几何意义或所给函数图形容易绘出时，图示法是求解此题的首选方法.本题还可用拉格朗日定理求解：0000()()(),y f x x f x f x x x x ξξ'∆=+∆-=∆<<+∆因为()0f x ''>，所以()f x '单调增加，即0()()f f x ξ''>，又0x ∆>，则 0()()d 0y f x f x x y ξ''∆=∆>∆=>，即0d y y <<∆.（8）设(,)f x y 为连续函数，则140d (cos ,sin )d f r r r r πθθθ⎰⎰等于（Ａ）(,)d xx f x y y . （B ）0(,)d x f x y y .(C)(,)d yy f x y x .(D)(,)d y f x y x . [ Ｃ ]【分析】本题首先由题设画出积分区域的图形，然后化为直角坐标系下累次积分即可. 【详解】由题设可知积分区域D 如右图所示，显然是Y 型域，则原式0(,)d yy f x y x =.故选（Ｃ）.【评注】本题为基本题型，关键是首先画出积分区域的图形. （9）若级数1nn a∞=∑收敛，则级数(A)1nn a∞=∑收敛 . （B ）1(1)nn n a ∞=-∑收敛.(C)11n n n a a ∞+=∑收敛. (D)112n n n a a ∞+=+∑收敛. [ Ｄ ] 【分析】可以通过举反例及级数的性质来判定. 【详解】由1n n a ∞=∑收敛知11n n a ∞+=∑收敛，所以级数112n n n a a ∞+=+∑收敛，故应选(Ｄ). 或利用排除法：取1(1)nn a n=-，则可排除选项（Ａ），（Ｂ）；取(1)nn a =-.故（Ｄ）项正确. 【评注】本题主要考查级数收敛的性质和判别法，属基本题型.（10）设(,)(,)f x y x y ϕ与均为可微函数，且(,)0y x y ϕ'≠，已知00(,)x y 是(,)f x y 在约束条件(,)0x y ϕ=下的一个极值点，下列选项正确的是(A) 若00(,)0x f x y '=，则00(,)0y f x y '=. (B) 若00(,)0x f x y '=，则00(,)0y f x y '≠. (C) 若00(,)0x f x y '≠，则00(,)0y f x y '=.(D) 若00(,)0x f x y '≠，则00(,)0y f x y '≠. [ Ｄ]【分析】利用拉格朗日函数(,,)(,)(,)F x y f x y x y λλϕ=+在000(,,)x y λ（0λ是对应00,x y 的参数λ的值）取到极值的必要条件即可.【详解】作拉格朗日函数(,,)(,)(,)F x y f x y x y λλϕ=+，并记对应00,x y 的参数λ的值为0λ，则000000(,,)0(,,)0x y F x y F x y λλ⎧'=⎪⎨'=⎪⎩，即0000000000(,)(,)0(,)(,)0x x y y f x y x y f x y x y λϕλϕ⎧''+=⎪⎨''+=⎪⎩ 消去0λ，得00000000(,)(,)(,)(,)0x y y x f x y x y f x y x y ϕϕ''''-=, 整理得 000000001(,)(,)(,)(,)x y x y f x y f x y x y x y ϕϕ'''='.（因为(,)0y x y ϕ'≠），若00(,)0x f x y '≠，则00(,)0y f x y '≠.故选（Ｄ）. （11）设12,,,s ααα均为n 维列向量，A 为m n ⨯矩阵，下列选项正确的是(A) 若12,,,s ααα线性相关，则12,,,s A A A ααα线性相关. (B) 若12,,,s ααα线性相关，则12,,,s A A A ααα线性无关. (C) 若12,,,s ααα线性无关，则12,,,s A A A ααα线性相关.(D) 若12,,,s ααα线性无关，则12,,,s A A A ααα线性无关.[ C ]【分析】本题考查向量组的线性相关性问题，利用定义或性质进行判定. 【详解】记12(,,,)s B ααα=，则12(,,,)s A A A AB ααα=.所以，若向量组12,,,s ααα线性相关，则()r B s <，从而()()r AB r B s ≤<，向量组12,,,s A A A ααα也线性相关，故应选(Ａ).【评注】对于向量组的线性相关问题，可用定义，秩，也可转化为齐次线性方程组有无非零解进行讨论.（12）设A 为3阶矩阵，将A 的第2行加到第1行得B ，再将B 的第1列的1-倍加到第2列得C ，记110010001P ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，则（Ａ）1C P AP -=. （Ｂ）1C PAP -=.（Ｃ）T C P AP =. （Ｄ）TC PAP =. ［Ｂ］【分析】利用矩阵的初等变换与初等矩阵的关系以及初等矩阵的性质可得. 【详解】由题设可得110110*********,010010010001001001001B A C B A --⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪=== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭ ，而 1110010001P --⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，则有1C PAP -=.故应选（Ｂ）.【评注】（１）每一个初等变换都对应一个初等矩阵，并且对矩阵A 施行一个初等行（列）变换，相当于左（右）乘相应的初等矩阵.（２）牢记三种初等矩阵的转置和逆矩阵与初等矩阵的关系. （13）设,A B 为随机事件，且()0,(|)1P B P A B >=，则必有(A) ()()P A B P A ⋃> (B) ()()P A B P B ⋃>(C) ()()P A B P A ⋃= (D) ()()P A B P B ⋃= [ B ] 【分析】利用事件和的运算和条件概率的概念即可. 【详解】由题设，知 ()(|)1()P AB P A B P B ==，即()()P AB P A =.又 ()()()()()P A B P A P B P AB P A ⋃=+-=.故应选(Ｃ).【评注】本题考查随机事件的运算和关系的概念，应牢记.（14）设随机变量X 服从正态分布211(,)N μσ，Y 服从正态分布222(,)N μσ，且{}{}1211P X P Y μμ-<>-< 则必有 (A) 12σσ< (B) 12σσ>(C)12μμ< (D) 12μμ> [ D ]【分析】利用标准正态分布密度曲线的几何意义可得.【详解】由题设可得12112211X Y P P μμσσσσ⎧-⎫⎧-⎫<><⎨⎬⎨⎬⎩⎭⎩⎭，则 12112121σσ⎛⎫⎛⎫Φ->Φ-⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，即1211σσ⎛⎫⎛⎫Φ>Φ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. 其中()x Φ是标准正态分布的分布函数. 又()x Φ是单调不减函数，则1211σσ>，即12σσ<.故选(A).【评注】对于服从正态分布2(,)N μσ的随机变量X ，在考虑它的概率时，一般先将X 标准化，即X μσ-.三、解答题：15－23小题，共94分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.（15）（本题满分10分）设区域{}22(,)1,0D x y x y x =+≤≥，计算二重积分221d d .1Dxyx y x y +++⎰⎰ 【分析】由于积分区域D 关于x 轴对称，故可先利用二重积分的对称性结论简化所求积分，又积分区域为圆域的一部分，则将其化为极坐标系下累次积分即可.【详解】积分区域D 如右图所示.因为区域D 关于x 轴对称，函数221(,)1f x y x y=++是变量y 的偶函数，函数22(,)1xyg x y x y =++是变量y 的奇函数.则112222220011ln 2d d 2d d 2d d 1112DD r x y x y r xyx y r ππθ===+++++⎰⎰⎰⎰⎰⎰22d d 01Dxyx y x y =++⎰⎰，故22222211ln 2d d d d d d 1112D D Dxy xy x y x y x y x y x y x y π+=+=++++++⎰⎰⎰⎰⎰⎰. 【评注】只要见到积分区域具有对称性的二重积分计算问题，就要想到考查被积函数或其代数和的每一部分是否具有奇偶性，以便简化计算. （16）（本题满分12分）设数列{}n x 满足110,sin (1,2,)n n x x x n π+<<==（Ⅰ）证明lim n n x →∞存在，并求该极限；（Ⅱ）计算211lim n x n n n x x +→∞⎛⎫ ⎪⎝⎭. 【分析】一般利用单调增加有上界或单调减少有下界数列必有极限的准则来证明数列极限的存在. （Ⅱ）的计算需利用（Ⅰ）的结果.【详解】（Ⅰ）因为10x π<<，则210sin 1x x π<=≤<. 可推得 10sin 1,1,2,n n x x n π+<=≤<=，则数列{}n x 有界.于是1sin 1n nn nx x x x +=<，（因当0sin x x x ><时，），则有1n n x x +<，可见数列{}n x 单调减少，故由单调减少有下界数列必有极限知极限lim n n x →∞存在.设lim n n x l →∞=，在1s i n n n x x +=两边令n →∞，得 sin l l =，解得0l =，即l i m 0n n x →∞=. （Ⅱ）因 111sin lim lim nnx x n n n n n n x x x x +→∞→∞⎛⎫⎛⎫=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，由（Ⅰ）知该极限为1∞型，令n t x =，则,0n t →∞→，而2sin 111111sin 1000sin sin sin lim lim 11lim 11tt t t t t t t t t t t t t t t -⋅-→→→⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎢⎥=+-=+- ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦，又 23300001sin sin cos 1sin 1lim1lim lim lim 366t t t t t t t t t t t t t t →→→→---⎛⎫-====- ⎪⎝⎭. （利用了sin x 的麦克劳林展开式）故 2211116sin lim lim e nn x x n n n n n n x x x x -+→∞→∞⎛⎫⎛⎫== ⎪⎪⎝⎭⎝⎭. 【评注】对于有递推关系的数列极限的证明问题，一般利用单调有界数列必有极限准则来证明. （17）（本题满分12分）将函数2()2xf x x x=+-展成x 的幂级数. 【分析】利用常见函数的幂级数展开式. 【详解】 2()2(2)(1)21x x A Bf x x x x x x x===++--+-+，比较两边系数可得21,33A B ==-，即121111()3213112f x x x x x ⎛⎫⎪⎛⎫=-=- ⎪ ⎪-++⎝⎭ ⎪-⎝⎭. 而 01(1),(1,1)1n nn x x x ∞==-∈-+∑，01,(2,2)212nn x x ∞=⎛⎫=∈- ⎪⎝⎭-∑，故120001111()(1)(1),(1,1)23232n n n n n n n n n n x f x x x x x x x ∞∞∞+===⎛⎫⎛⎫==--+=-+∈- ⎪ ⎪+-⎝⎭⎝⎭∑∑∑. 【评注】分式函数的幂级数展开一般采用间接法.要熟记常用函数的幂级数展开公式：（1）∑∞=-∈=+++++=-12)1,1(,111n n nu u u u u u ；（2）∑∞=-∈-=+-+-+-=+12)1,1(,)1()1(111n n n nn u u u u u u ；（3）),(,!1!1!21102+∞-∞∈=+++++=∑∞=u u n u n u u e nn n u；（4）),(,)!12()1()!12()1(!3sin 012123+∞-∞∈+-=++-++-=∑∞=++u n u n u u u u n n n n n；（5）),(,)!2()1()!2()1(!21cos 0222+∞-∞∈-=+-++-=∑∞=u n u n u u u n n n n n ；（6）]1,1(,1)1(1)1(32)1(ln 01132-∈+-=++-+-+-=+∑∞=++u n u n u u u u u n n n n n ；（7）]1,1(,!)1()1(!2)1(1)1(2-∈++--++-++=+u u n n u u u n ααααααα.（18）（本题满分12分）设函数()f u 在(0,)+∞内具有二阶导数，且z f=满足等式22220z zx y∂∂+=∂∂. （I ）验证()()0f u f u u'''+=；（II ）若(1)0,(1)1f f '==，求函数()f u 的表达式.【分析】利用复合函数偏导数计算方法求出2222,z zx y∂∂∂∂代入2222z zx y∂∂+=∂∂即可得（I）.按常规方法解（II）即可.【详解】（I）设u=(( z zf u f u x y∂∂'' ==∂∂.22()()zf u f ux∂'''=+∂()22322222()()x yf u f ux yx y'''=⋅+⋅++，()2223222222()()z y xf u f uy x yx y∂'''=⋅+⋅∂++.将2222,z zx y∂∂∂∂代入2222z zx y∂∂+=∂∂得()()0f uf uu'''+=.（II）令()f u p'=，则d dp p upu p u'+=⇒=-，两边积分得1ln ln lnp u C=-+，即1Cpu=，亦即1()Cf uu'=.由(1)1f'=可得11C=.所以有1()f uu'=，两边积分得2()lnf u u C=+，由(1)0f=可得2C=，故()lnf u u=.【评注】本题为基础题型，着重考查多元复合函数的偏导数的计算及可降阶方程的求解.（19）（本题满分12分）设在上半平面{}(,)|0D x y y=>内，函数(,)f x y具有连续偏导数，且对任意的0t>都有2(,)(,)f tx ty t f x y-=.证明：对D内的任意分段光滑的有向简单闭曲线L，都有(,)d(,)d0Lyf x y x xf x y y-=⎰.【分析】利用曲线积分与路径无关的条件Q P x y∂∂=∂∂. 【详解】 2(,)(,)f tx ty t f x y -=两边对t 求导得3(,)(,)2(,)x y xf tx ty yf tx ty t f x y -''+=-. 令 1t =，则 (,)(,)2(,)x y xf x y yf x y f x y ''+=-. ① 设(,)(,),(,)(,)P x y yf x y Q x y xf x y ==-，则(,)(,),(,)(,)x y Q P f x y xf x y f x y yf x y x y∂∂''=--=+∂∂. 则由①可得Q P x y ∂∂=∂∂. 故由曲线积分与路径无关的定理可知，对D 内的任意分段光滑的有向简单闭曲线L ，都有(,)d (,)d 0L yf x y x xf x y y -=⎰.【评注】本题难度较大，关键是如何将待求解的问题转化为可利用已知条件的情形.（20）（本题满分9分）已知非齐次线性方程组1234123412341435131x x x x x x x x ax x x bx +++=-⎧⎪++-=-⎨⎪+++=⎩有3个线性无关的解.（Ⅰ）证明方程组系数矩阵A 的秩()2r A =；（Ⅱ）求,a b 的值及方程组的通解.【分析】（I ）根据系数矩阵的秩与基础解系的关系证明；（II ）利用初等变换求矩阵A 的秩确定参数,a b ，然后解方程组.【详解】（I ）设123,,ααα是方程组Ax β=的3个线性无关的解，其中111114351,1131A a b β-⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪=-=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.则有 1213()0,()0A A αααα-=-=.则 1213,αααα--是对应齐次线性方程组0Ax =的解，且线性无关.（否则，易推出123,,ααα线性相关，矛盾）.所以 ()2n r A -≥，即4()2()2r A r A -≥⇒≤.又矩阵A 中有一个2阶子式111043=-≠，所以()2r A ≤. 因此 ()2r A =.（II ）因为11111111111143510115011513013004245A a b a a b a a b a ⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪=-→--→-- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪----+-⎝⎭⎝⎭⎝⎭.又()2r A =，则42024503a a b a b -==⎧⎧⇒⎨⎨+-==-⎩⎩. 对原方程组的增广矩阵A 施行初等行变换，111111024243511011532133100000A --⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪=--→-- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭，故原方程组与下面的方程组同解.134********x x x x x x =-++⎧⎨=--⎩.选34,x x 为自由变量，则134234334424253x x x x x x x x x x =-++⎧⎪=--⎪⎨=⎪⎪=⎩. 故所求通解为12242153100010x k k -⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪-- ⎪ ⎪ ⎪=++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，12,k k 为任意常数.【评注】本题综合考查矩阵的秩，初等变换，方程组系数矩阵的秩和基础解系的关系以及方程组求解等多个知识点，特别是第一部分比较新颖. 这是考查综合思维能力的一种重要表现形式，今后类似问题将会越来越多.（21）（本题满分9分）设3阶实对称矩阵A 的各行元素之和均为3,向量()()T T121,2,1,0,1,1αα=--=-是线性方程组0Ax =的两个解.(Ⅰ) 求A 的特征值与特征向量；(Ⅱ) 求正交矩阵Q 和对角矩阵Λ,使得T Q AQ =Λ.【分析】由矩阵A 的各行元素之和均为3及矩阵乘法可得矩阵A 的一个特征值和对应的特征向量；由齐次线性方程组0Ax =有非零解可知A 必有零特征值，其非零解是0特征值所对应的特征向量.将A 的线性无关的特征向量正交化可得正交矩阵Q .【详解】 (Ⅰ) 因为矩阵A 的各行元素之和均为3，所以 1311331131A ⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，则由特征值和特征向量的定义知，3λ=是矩阵A 的特征值，T (1,1,1)α=是对应的特征向量.对应3λ=的全部特征向量为k α，其中k 为不为零的常数.又由题设知 120,0A A αα==，即11220,0A A αααα=⋅=⋅，而且12,αα线性无关，所以0λ=是矩阵A 的二重特征值，12,αα是其对应的特征向量，对应0λ=的全部特征向量为 1122k k αα+，其中12,k k 为不全为零的常数.(Ⅱ) 因为A 是实对称矩阵，所以α与12,αα正交，所以只需将12,αα正交.取 11βα=，()()21221111012,3120,61112αββαβββ⎛⎫- ⎪-⎛⎫⎛⎫ ⎪- ⎪ ⎪=-=--= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭ ⎪⎝⎭. 再将12,,αββ单位化，得1212312,,0ββαηηηαββ⎛⎛⎪====== ⎪⎪⎪⎪⎪⎪ ⎪⎝⎭⎪⎝⎭，令[]123,,Qηηη=，则1TQ Q-=，由A是实对称矩阵必可相似对角化，得T3Q AQ⎡⎤⎢⎥==Λ⎢⎥⎢⎥⎣⎦.【评注】本题主要考查求抽象矩阵的特征值和特征向量，此类问题一般用定义求解，则要想方设法将题设条件转化为Ax xλ=的形式.（22）（本题满分9分）设随机变量X的概率密度为()1,1021,0240,Xxf x x⎧-<<⎪⎪⎪=≤<⎨⎪⎪⎪⎩　其他，令()2,,Y X F x y=为二维随机变量(,)X Y的分布函数.(Ⅰ)求Y的概率密度()Yf y(Ⅱ)1,42F⎛⎫-⎪⎝⎭.【分析】求一维随机变量函数的概率密度一般先求分布，然后求导得相应的概率密度或利用公式计算.【详解】（I）设Y的分布函数为()YF y，即2()()()YF y P Y y P X y=≤=≤，则1)当0y<时，()0YF y=；2)当01y≤<时，(2()()YF y P X y P X=<=<<d4x x=+=⎰3) 当14y ≤<时，(2()()1Y F y P X y P X =<=-<<01011d d 242x x -=+=⎰. 4) 当4y ≥，()1Y F y =.所以1()()40,Y Y y f y F y y <<⎪'==≤≤⎪⎪⎩其他. （II ） 1,42F ⎛⎫- ⎪⎝⎭211,4,422P X Y P X X ⎛⎫⎛⎫=≤-≤=≤-≤ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 11,22222P X X P X ⎛⎫⎛⎫=≤--≤≤=-≤≤- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 12111d 24x --==⎰. （23）（本题满分9分）设总体X 的概率密度为(),01,;1,12,0,x f x x θθθ<<⎧⎪=-≤<⎨⎪⎩其他,其中θ是未知参数()01θ<<，12n ,...,X X X 为来自总体X 的简单随机样本，记N 为样本值12,...,n x x x 中小于1的个数，求θ的最大似然估计.【分析】先写出似然函数，然后用最大似然估计法计算θ的最大似然估计.【详解】记似然函数为()L θ，则()()()()()111(1)N n N N n N L θθθθθθθθθ--=⋅⋅⋅-⋅-⋅⋅-=-个个.两边取对数得ln ()ln ()ln(1)L N n N θθθ=+--，令d ln ()0d 1L N n N θθθθ-=-=-，解得N n θ=为θ的最大似然估计.。

2006年安徽专升本高数答案

安徽省2006年普通高等学校专升本招生考试高等数学参考答案一、单项选择题（每小题3分，共30分）1、C2、D3、B4、A5、C6、B7、D8、C9、A 10、A 二、填空题（每小题3分，共30分）11．13−12.2 13.12 14.（1，-3）15.2xe C ++ 16.21y − 17.1y x e e e =+−18. 1 19. A-E 20. 0.25三、计算题（本大题共9小题）21.解：原式=()222sin limsin x x xx x →∞−+=sin lim sin x x xx x→∞−+=sin 1limsin 1x x x x x→∞−+=122.解：方程两边取对数得 ln y x =ln()x y + 方程两边对x 求导得1''.ln y y y x x x y++=+ 整理得 ()ln 1()'.()x y x x y x y y x y x x y +−−+=++所以()()ln 1dy x y x y dx x x y x −+=+−⎡⎤⎣⎦23.解：原式=121(1)(1)x x x e dx x e dx −+−∫∫=1212101(1)(1)xx x x e x e dx e x e dx −++−−∫∫ =2()1e − 24.解：2222ln 2arcsin 2()x zy x Sec x y y∂=•+•+∂Q2222sec ()xz y x y y ∂=++∂在定义域内连续2222222ln 2arcsin 2sec ()2sec ()x z z dz dx dy y x x y dx y x y dyx y ⎡⎤∂∂⎡⎤∴=+=+++++⎥⎣⎦∂∂⎥⎦ 25.解：13(2)1lim 3(3)3n n n n l n +→∞+==+Q113,3(2)nn n x R l n ∞=∴==+∑即幂级数在（-3,3）内收敛且收敛半径为3。

2006年河南专升本高数真题（带答案）

2006年河南专升本⾼数真题（带答案）2006年河南省普通⾼等学校选拔优秀专科⽣进⼊本科阶段学习考试《⾼等数学》试卷⼀、单项选择题（每⼩题2分，共计60分）在每⼩题的四个备选答案中选出⼀个正确答案，并将其代码写在题⼲后⾯的括号内。

不选、错选或多选者，该题⽆分. 1.已知函数)12(-x f 的定义域为]1,0[ ，则)(x f 的定义域为（） A. ]1,2 1[ B. ]1,1[- C. ]1,0[ D. ]2,1[-解：B x x ?≤-≤-?≤≤112110.2.函数)1l n (2x x y -+=)(+∞<<-∞x 是（）A ．奇函数 B. 偶函数 C.⾮奇⾮偶函数 D. 既奇⼜偶函数解：01ln )1ln()1ln()()(22==+++-+=-+x x x x x f x f A ?.3. 当0→x 时，x x s i n 2-是x 的（） A. ⾼阶⽆穷⼩ B. 低阶⽆穷⼩ C. 同阶⾮等价⽆穷⼩ D. 等价⽆穷⼩解： 1sin lim20-=-→xxx x C ?. 4.极限=+∞→nnn n s 32li（）A. ∞B. 2C. 3D. 5解：B nnn n n n n ?=+=+∞→∞→2]sin 32[lim sin 32lim.5.设函数??)(2x a x x e x f ax ，在0=x 处连续，则常数=a （）A. 0B. 1C. 2D. 3解：B a a a ae xe xf ax x ax x x ?=?+===-=→→→1122lim 1lim)(lim 20200. 6. 设函数)(x f 在点1=x 处可导，则=--+→xx f x f x )1()21(lim0 （）A. )1(f 'B. )1(2f 'C. )1(3f 'D. -)1(f ' 解：xx f f f x f x x f x f x x )1()1()1()21(lim )1()21(lim00--+-+=--+→→C f xf x f x f x f x x ?'=---+-+=→→)1(3)1()1(lim 2)1()21(lim200 7. 若曲线12+=x y 上点M 处的切线与直线14+=x y 平⾏，则点M 的坐标（）A. （2，5）B. （-2，5）C. （1，2）D.（-1，2）解： A y x x x y ?==?=?='5,2422000.8.设==02cos sin ty duu x t ，则=dxdy（）A. 2t B. t 2 C.-2t D. t 2-解： D t tt t dx dy ?-=-=2sin sin 222. 9.设2(ln )2(>=-n x x y n ，为正整数),则=)(n y （）A.x n x ln )(+B.x 1 C.1)!2()1(---n n xn D. 0 解：B xy x y x x yn n n ?=?+=?=--1ln 1ln )()1()2(. 10.曲线233222++--=x x x x y （）A. 有⼀条⽔平渐近线，⼀条垂直渐近线B. 有⼀条⽔平渐近线，两条垂直渐近线C. 有两条⽔平渐近线，⼀条垂直渐近线，A y y y x x x x x x x x y x x x ?∞=-==?++-+=++--=-→-→±∞→2122lim ,4lim ,1lim )2)(1()3)(1(2332.11.下列函数在给定的区间上满⾜罗尔定理的条件是（） A.]2,0[|,1|-=x y B. ]2,0[,)1(132-=x yC.]2,1[,232+-=x x y D ． ]1,0[,arcsin x x y =解：由罗尔中值定理条件：连续、可导及端点的函数值相等C ?.12. 函数xey -=在区间),(+∞-∞内（）A. 单调递增且图像是凹的曲线B. 单调递增且图像是凸的曲线C. 单调递减且图像是凹的曲线D. 单调递减且图像是凸的曲线解： C e y e y x x>=''<-='--0,0.13.若+=C x F dx x f )()(，则?=--dx e f e xx)( （）A.C e F e x x ++--)(B. C e F x +-)(C. C e F e x x +---)(D. C e F x +--)(解：D C e F e d e f dx e f e x x x x x ?+-=-=?-----)()()()(.14. 设)(x f 为可导函数，且x e x f =-')12( ，则 =)(x f （）A. C e x +-1222 C. C e x ++1221 D. C e x +-)1(212 解：B C ex f e x f e x f x x x+=='=-'++)1(21)1(212)()()12(.15. 导数=?ba tdt dxd arcsin （） A.x arcsin B. 0 C. a b arcsin arcsin - D. 2 11x-解：?b a xdx arcsin 是常数，所以B xdx dx d ba=0arcsin . 16.下列⼴义积分收敛的是（） A.+∞1dx e xB. ?+∞11dx x C. ?+∞+1241dx x D. ?+∞1cos xdx解：C x dx xarctan 4(412arctan 4141112π. 17.设区域D 由)(),(,),(,x g y x f y a b b x a x ==>==所围成，则区域D 的⾯积为（）A.-b adx x g x f )]()([ B. ?-badx x g x f )]()([C.-badx x f x g )]()([ D. ?-badx x g x f |)()(|解：由定积分的⼏何意义可得D 的⾯积为 ?-badx x g x f |)()(|D ?.18. 若直线32311-=+=-z n y x 与平⾯01343=++-z y x 平⾏，则常数=n（）A. 2B. 3C. 4D. 5解： B n n n ?=?=+-?-⊥30943}3,43{}3,,1{. 19.设yx y x y x f arcsin)1(),(-+=，则偏导数C.-1D.-2 解： B x f x x f x ?='?=1)1,()1,(.20. 设⽅程02=-xyz e z确定了函数),(y x f z = ，则x z= （）A. )12(-z x zB. )12(+z x zC. )12(-z x yD. )12(+z x y解：令xy e F yz F xyz e z y x F z z x z -='-='?-=222,),,(A z x z xy xyz yz xy e yz x z z ?-=-=-=)12(222. 21.设函数x y y x z +=2 ，则===11y x dz （） A. dy dx 2+ B. dy dx 2- C. dy dx +2 D. dy dx -2解：222xydxxdy dy x xydx dz -++= A dy dx dx dy dy dx dz y x ?+=-++=?==2211.22.函数2033222+--=y x xy z 在定义域上内（）A.有极⼤值，⽆极⼩值B. ⽆极⼤值，有极⼩值C.有极⼤值，有极⼩值D. ⽆极⼤值，⽆极⼩值解：,6)0,0(),(062,06222-==?=-=??=-=??x z y x y x y z x y x z=-=2,6222y x zy z 是极⼤值A ?.23设D 为圆周由01222A. πB. 2πC.4πD. 16π解：有⼆重积分的⼏何意义知：=??Ddxdy 区域D 的⾯积为π. 24.交换⼆次积分??>a xa dy y x f dx 000(),(，常数）的积分次序后可化为（） A. ??a y dx y x f dy 0 ),( B. ??a a ydx y x f dy 0),(C.aa dx y x f dy 0),( D. ??a yadx y x f dy 0),(解：积分区域},0|),{(}0,0|),{(a x y a y y x x y a x y x D ≤≤≤≤=≤≤≤≤=B ?.25.若⼆重积分=20sin 20)sin ,cos (),(πθθθθrdr r r f d dxdy y x f D，则积分区域D 为（）A. x y x 222≤+B. 222≤+y xC. y y x 222≤+D. 220y y x -≤≤解标下积分区域可表⽰为：}s i n 20,20|),{(θπθθ≤≤≤≤=r r D ，在直⾓坐标系下边界⽅程为y y x 222=+，积分区域为右半圆域D ?26.设L 为直线1=+y x 上从点)0,1(A 到)1,0(B 的直线段,则=-+?Ldy dx y x )(（）A. 2B.1C. -1D. -2 解：L：-==x y xxx从1变到0，-=+=-+012)(D dx dx dy dx y x L .27.下列级数中，绝对收敛的是（）A ．∑∞=1sin n n πB ．∑∞=-1sin)1(n nnπC ．∑∞=-12sin)1(n nn πcos n n π解： ?<22sinn n ππ∑∞=π12sinn n收敛C ?. 28. 设幂级数n n n na x a(0∑∞=为常数 ,2,1,0=n ），在点2-=x 处收敛，则∑∞=-0)1(n n na（）A. 绝对收敛B. 条件收敛C. 发散D. 敛散性不确定解：∑∞=0n n在2-=x 收敛，则在1-=x 绝对收敛，即级数∑∞=-0)1(n n n a 绝对收敛A ?.29. 微分⽅程0s i n c o s co s s i n =+y d x x y d y x 的通解为（） A. C y x =cos sin B. C y x =sin cos C. C y x =sin sin D. C y x =cos cos 解：dx x xdy y y ydx x ydy x sin cos sin cos 0sin cos cos sin -=?=+C C y x C x y xxd y y d ?=?=+?-=?sin sin ln sin ln sin ln sin sin sin sin . 30.微分⽅程xxe y y y -=-'+''2的特解⽤特定系数法可设为（）A. xeb ax x y -+=*)( B. xeb ax x y -+=*)(2C. xe b ax y -+=*)( D. xaxe y -=*解：-1不是微分⽅程的特征根，x 为⼀次多项式，可设xe b ax y -+=*)( C ?.⼆、填空题（每⼩题2分，共30分）31.设函数,1||,01||,1)(>≤=x x x f 则=)(sin x f _________.解：1)(sin 1|sin |=?≤x f x .32.=--+→xx x x 231lim22=_____________.=++=++--=--+→→→)31(1lim )31)(2()2(lim 231lim2222x x x x x x x x x x x x 123341==.33.设函数x y 2arctan =，则=dy __________.解：dx xdy 2412+= . 34.设函数bx ax x x f ++=23)(在1-=x 处取得极⼩值-2，则常数ba 和分别为___________.解：b a b a b ax x x f -+-=-=+-?++='12,02323)(25,4==?b a .35.曲线12323-+-=x x x y 的拐点为 __________.解：)1,1(),(0662632-=?=-=''?+-='y x x y x x y .36.设函数)(),(x g x f 均可微，且同为某函数的原函数，有1)1(,3)1(==g f 则=-)()(x g x f _________.解：2)1()1()()(=-=?=-g f C C x g x f 2)()(=-?x g x f .37.-=+ππdx x x )sin (32 _________.解：3202sin )sin (302323π=+=+=+πππ-ππ-ππ-dx x xdx dx x dx x x .38.设函数<≥=0,0,)(2x x x e x f x，则 ?=-20)1(dx x f __________.解：--=--=+=====-201110012132)()1(e dx e dx x dt t f dx x f xt x .39. 向量}1,1,2{}2,1,1{-==b a与向量的夹⾓为__________.解：3,21663||||,cos π>=?<==?>=40.曲线??==022z xy L ：绕x 轴旋转⼀周所形成的旋转曲⾯⽅程为 _________.解：把x y 22=中的2y 换成22y z +，即得所求曲⾯⽅程x y z 222=+.41.设函数y x xy z sin 2+= ，则 =yx z2_________.解： ?+=??y x y x z sin 2y x yx z cos 212+=. 42.设区域}11,10|),{(≤≤-≤≤=y x y x D ，则___)(2=-Ddxdy x y . 解：-=-=-=--Ddx x dy x y dx dxdy x y 102101122322)()( . 43. 函数2)(x e x f -=在00=x 处展开的幂级数是________________. 解：∑∞=?=0!n n xn x e ∑∑∞=∞=-+∞-∞∈-=-==0022),(,!1)1(!)()(2n n n n n x x x n n x e x f .44.幂级数∑∞=+++-0112)1()1(n n n nn x 的和函数为 _________.解：∑∑∑∞=∞=-+∞=+++=-=+-=+-0111011)21l n)2()1(1)2()1(2)1()1(n n n n n n n n n nx n x n x n x,)22(≤<-x .45.通解为xxe C e C y 321+=-（21C C 、为任意常数）的⼆阶线性常系数齐次微分⽅程为_________.解：x xe C e C y 321+=-0323,1221=--?=-=?λλλλ032=-'-''?y y y .三、计算题（每⼩题5分，共40分）46．计算 xx ex x x 2sin 1lim 3202-→--. 解：20300420320161lim 3222lim 81lim 2sin 1lim 2222x e x xe x x e x xx ex x x x x x x x x -=+-=--=---→-→-→-→ 161lim 161322lim22000-=-=-=-→-→x x x x e x xe . 47.求函数xx x y 2sin 2)3(+=的导数dx dy .解：取对数得：)3ln(2sin ln 2x x x y +=，两边对x 求导得：x xx x x x x y y 2sin 332)3ln(2cos 2122++++=' 所以]2sin 332)3ln(2cos 2[)3(222sin 2x xx x x x x x x y x+++++=' xx x x x x x x x x x 2sin )32()3()3ln(2cos )3(212sin 222sin 2+++++=-.48.求不定积分 ?-dx x x 224.：====?-==-=π<<π-dt t tdt tdt t tdx x x t x t )2cos 1(2sin 4cos 2cos 2sin 4422sin 22222Cx x x C t t x C t t +--=+-=+-=242arcsin 2cos sin 22arcsin 22sin 22.49.计算定积分--+102)2()1ln(dx x x .解：+---+=-+=-+101010102)1)(2(12)1ln(21)1ln()2()1ln(dx x x x x x d x dx x x=-=+-+=++--=10102ln 312ln 322ln 12ln 312ln )1121(312ln x x dx x x .50.设),()2(xy x g y x f z ++= ，其中),(),(v u g t f 皆可微，求yz x z ,. 解：xv v g x u u g x y x y x f x z ++?+?+'=??)2()2( ),(),()2(2xy x g y xy x g y x f v u '+'++'==++?+?+'=??yvv g y u u g y y x y x f y z )2()2(),()2(xy x g x y x f v'++'.51．计算⼆重积分??=ydxdy x I 2，其中D 由12,===x x y x y 及所围成.解：积分区域如图06-1所⽰，可表⽰为：x y x x 2,10≤≤≤≤. 所以 == 1222xx Dydy x dx ydxdy x I 10310323)2(1051042122====??x dx x y dx x xx .52．求幂级数nn nx n ∑∞=--+0)1()3(1解：令t x =-1，级数化为 nn nt n ∑∞=-+0)3(1，这是不缺项的标准的幂级数. 因为 313)3(11)3(1lim 1)3(1)3(1lim lim 11=--+-=+?-+-+==∞→+∞→+∞→nnn n n n n n n n n a a ρ，故级数nn nt n ∑∞3(1的收敛半径31==ρR ，即级数收敛区间为（-3，3）. 对级数nn nx n ∑∞=--+0)1()3(1有313<-<-x ，即42<<-x . 故所求级数的收敛区间为），（42-. 53．求微分⽅程 0)12(2=+-+dy x xy dy x 通解.解：微分⽅程0)12(2=+-+dx x xy dy x 可化为 212xx y x y -=+'，这是⼀阶线性微分⽅程，它对应的齐次线性微分⽅程02=+'y x y 通解为2xC y =. 2)(x x C y =，则3)(2)(x x C x C x y -'='，代⼊C x x x C +-=?2)(2. 2211xCx y +-=.四、应⽤题（每⼩题7分，共计14分）54. 某公司的甲、⼄两⼚⽣产同⼀种产品，⽉产量分别为y x ,千件；甲⼚⽉⽣产成本是5221+-=x x C （千元），⼄⼚⽉⽣产成本是3222++=y y C （千元）.若要求该产品每⽉总产量为8千件，并使总成本最⼩，求甲、⼄两⼚最优产量和相应最⼩成本.解：由题意可知：总成本8222221++-+=+=y x y x C C C ，约束条件为8=+y x . 问题转化为在8=+y x 条件下求总成本C 的最⼩值 .把8=+y x 代⼊⽬标函数得 0(882022>+-=x x x C 的整数）.则204-='x C ，令0='C 得唯⼀驻点为5=x ，此时有04>=''C . 故 5=x 是唯⼀极值点且为极⼩值，即最⼩值点.此时有38,3==C y . 所以甲、⼄两⼚最优产量分别为5千件和3千件，最低成本为38千元. 55.由曲线)2)(1(--=x x y 和x 轴所围成⼀平⾯图形,求此平⾯图形绕y 轴旋转⼀周所成的旋转体的体积.解：平⾯图形如图06-2所⽰,此⽴体可看作X 型区域绕y 轴旋转⼀周⽽得到。

2006年普通专升本高等数学真题

2006年普通高等学校选拔优秀专科生进入本科阶段考试试题高等数学一、单项选择题（每小题2分，共60分）在每小题的四个备选答案中选出一个正确答案，并将其代码写在题干后面的括号内。

不选、错选或多选者，该题不得分。

1.已知f(2x-1)的定义域为[0，1]，则f(x)的定义域为（）。

A.[21，1] B.[-1，1] C.[0，1] D.[-1，2]2.函数y=ln(21x+-x)(-∞<x<+∞)是（）。

A.奇函数B.偶函数C.非奇非偶函数D.即奇又偶函数 3.当x →0时，x 2-sinx 是x 的（）。

A.高阶无穷小 B.低阶无穷小 C.同阶但非等价无穷小 D.等价无穷小 4.极限∞→n limnnsin 3n 2+=( )。

A.∞B.2C.3D.5 5.设函数f(x)=⎪⎩⎪⎨⎧=+≠-0,10,12x a x xe ax 在x=0处连续，则常数a=（）。

A. 0B. 1C. 2D. 3 6.设函数f(x)在点x=1出可导，则xx f x f n )1()21(lim--+∞→=（）。

A.)1('fB. )1(2'f C. )1(3'f D. )1('f - 7.若曲线y=x 2+1上点M 处的切线与直线y=4x+1平行，则点M 的坐标为（） A.（2，5） B.（-2，5） C.（1，2） D.（-1，2）8.设⎪⎩⎪⎨⎧==⎰22cos sin ty du u x t，则dxdy =（）。

A.t 2B.2tC.-t 2D.-2t 9.设y(n-2)=xlnx(n>2，为正整数)，则y(n)=（）。

A.(x+n)lnxB.x1C.1)!2()1(---n nxn D.010.曲线233222++--=x xx x y（）。

A.有一条水平渐近线，一条垂直渐近线。

B.有一条水平渐近线，两条垂直渐近线。

C.有两条水平渐近线，一条垂直渐近线。

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2006年浙江省普通高校“专升本”联考《高等数学（一）》试卷
考试说明：
1、考试时间为150分钟；
2、满分为150分；
3、答案请写在试卷纸上，用蓝色或黑色墨水的钢笔、圆珠笔答卷，
否则无效； 4、密封线左边各项要求填写清楚完整。

一、填空题：（只需在横线上直接写出答案，不必写出计算过程，本题共有8个空格，每一空格5分，共40分）
1．__________________n =。

2．函数()
f x =______________________。

3．若1
(), 0
x f x x A x ⎧≠⎪
=⎨⎪=⎩
在0x =处连续，则
________________A =。

4．设ln(y x x =，则
______________________
dy
dx =。

5．3
22 2
(1)cos ___________________1sin x x
dx x π
π-+=+⎰ 。

6．设 1
2
1
(,)(,)I dx f x y dy dx f x y dy =+⎰
⎰
⎰⎰
，交换积分次序后
_______________________________________I =。

(超纲,
去掉)
7．已知arctan(),z xy =则___________________________________dz =(超纲,去掉) 8．微分方程
2(21)x x y dy
x e dx
+-=+的通解______________________________y =(超纲,去掉) 。

姓名：_____________准考证号：______________________报考学校报考专业：
------------------------------------------------------------------------------------------密封线---------------------------------------------------------------------------------------------------
二．选择题. （本题共有5个小题，每一小题4分，共20分，每个小题给出的选项中，只有一项符合要求）
1．函数()f x 的定义域为[]0,1，则函数
11
()()55
f x f x ++-的定义域是
[
()A 14,55⎡⎤-
⎢⎥⎣⎦ ()B 16,55⎡⎤⎢⎥⎣⎦ ()C 14,55⎡⎤
⎢⎥⎣⎦
()D []0,1
2．当0x →时，与x 不是等价无穷小量的是 [
()A 2sin x x - ()B 2
s i n
x x - ()C 3t a n x x - ()D sin x x - 3．设0
()()x
F x f t dt =
⎰
，其中2,01
()1,12
x x f x x ⎧≤≤=⎨
≤≤⎩，则下面结论中正确的是 [ ]
()A 31,01()3, 12x x F x x x ⎧≤≤⎪=⎨⎪≤≤⎩ ()B 311,01
()33
, 12
x x F x x x ⎧-≤≤⎪=⎨⎪≤≤⎩ ()C 3
1,01
()3
1,12x x F x x x ⎧≤≤⎪=⎨⎪-≤≤⎩ ()D 3
1,013()2,123x x F x x x ⎧≤≤⎪⎪=⎨⎪-≤≤⎪⎩ 4．曲线(1)(2),(02y x x x x =--≤≤与x 轴所围图形的面积可表示为 [ ]
()A 2
0(1)(2)x x x dx ---⎰
()B 1
2
0 1(1)(2)(1)(2)x x x dx x x x dx -----⎰⎰
()C 1
2
1
(1)(2)(1)(2)x x x dx x x x dx ---+--⎰⎰
()
D 2 0
(1)(2)x x x dx --⎰
5．设,a b
为非零向量，且a ⊥ b ，则必有
[ ]
()A a b a b +=+ ()B a b a b +=-
()C a b a b +=-
()D a b a b +=-
三．计算题：（计算题必须写出必要的计算过程，只写答案的不给分,本题共10个小题，每小题7分，共70分）
1．计算1
2
3lim(
)6
x x x x -→∞++。

2．设[cos(ln )sin(ln )]y x x x =+，求
dy dx。

3．设函数2222
cos sin t t x e t y e t ⎧=⎨=⎩
，求dy
dx 。

4．计算不定积分221
sin cos dx x x ⎰.
5．计算定积分 1
x x
dx
e e -+⎰。

6．求微分方程22322x d y dy y e dx dx -+=满足0,10
0====x x dx dy
y 的特解。

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7．求过直线3210
23220
x y z x y z +--=⎧⎨
-++=⎩ ，且垂直于已知平面2350x y z ++-=的
平面方程。

8．将函数2
()ln(32)f x x x =++展开成x 的幂级数，并指出收敛半径。

(超纲,去掉)
10．当a 为何值时，抛物线2y x =与三直线,1,0x a x a y ==+=所围成的图形面积最小，求将此图形绕x 轴旋转一周所得到的几何体的体积。

四．综合题：（本题共3个小题，共20分）
1．（本题8分）设函数()f t 在[0,1]上连续，
且()1f x <，证明方程 x
2()1x f t dt -
=⎰
在(0,1)内有且仅有一实根。

2．（本题7分）证明：若0,0,0m n a >>>，则()()
m n m
n
m n
m n
m n x a x a m n ++-≤+。

3．（本题5分）设()f x 是连续函数，求证积分
2
(sin )(sin )(cos )4
f x I dx f x f x π
π
==+⎰。