浙江省杭州地区七校2018-2019学年高一下学期期中联考数学试题PDF版含答案
2019学年浙江省高一下学期期中数学试卷【含答案及解析】
2019学年浙江省高一下学期期中数学试卷【含答案及解析】姓名___________ 班级____________ 分数__________一、选择题1. 在等比数列中，若，，则的值为（）A. B. ___________________________________ C.D.2. 在中，已知，则等于（）A． B. _________________________________ C.D.3. 已知直线在轴和轴上的截距相等，则实数的值是（）A. _______________________B. ____________________________C.或____________________________ D. 或4. 在中，内角的对边分别为，若，，则的面积为（）A. ________________________B. ______________________C.______________________ D.5. 若关于的不等式的解集为，则关于的不等式的解集为（）A．____________________ B. ______________ C.___________ D.6. 若，则一定有（）A. _________________________________B.____________________________ C．______________________________ D.7. 直线分别交轴和轴于两点，是直线上的一点，要使最小，则点的坐标是（）A. ___________________________________B._________________________________ C. ______________________________ D.8. 已知是上的奇函数,数列满足,则数列的通项公式为（）A. ________________________B. ________________________C.________________________ D.二、填空题9. 已知直线，直线；若直线的倾斜角为，则______________ ，若，则______________ .10. 若规定，则______________ ，不等式的解集为______________ .11. 已知数列是等比数列，是其前项的和，若，，则___________ ，______________ .12. 在中，内角的对边分别为，已知， ,，则______________ ，边______________ .13. 若是等差数列的前项和，且，则______________ .14. 在中，内角的对边分别为，已知，则角______________ .15. 设数列满足：，则的前项的和为______________ .三、解答题16. 已知直线 .（Ⅰ ）证明：直线过定点；（Ⅱ ）若直线与直线平行，求的值并求此时两直线间的距离.17. 在中内角的对边分别为，已知．（Ⅰ ）求角的大小；（Ⅱ ）求的取值范围．18. 已知等差数列的前项和为，，，是递减的等比数列，且， .（Ⅰ ）求，；（Ⅱ ）求数列的前项和 .19. 已知不等式 .（Ⅰ ）若不等式对于任意实数恒成立，求实数的取值范围；（Ⅱ ）若存在实数使得该不等式成立，求实数的取值范围.20. 已知数列的前项和为，且，数列满足.（Ⅰ ）求数列、的通项公式；（Ⅱ ）数列满足，记，求使恒成立的实数的取值范围．参考答案及解析第1题【答案】第2题【答案】第3题【答案】第4题【答案】第5题【答案】第6题【答案】第7题【答案】第8题【答案】第9题【答案】第10题【答案】第11题【答案】第12题【答案】第13题【答案】第14题【答案】第15题【答案】第16题【答案】第17题【答案】第18题【答案】第19题【答案】第20题【答案】。
推荐-2018学年杭州地区七校高一期中联考数学试卷 精品
2018学年杭州地区七校高一期中联考数学试卷一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分。
在每小题的四个选项中，只有一个是正确答案。
将答案填在答题卷相应的题号下） 1. 集合{1,2},{1,2,3},{2,3,4}A B C ===，则()AB C 等于 （ ）（A ）{1,2,3} （B ）{2,3,4} （C ）{1,2,4} （D ）{1,2,3,4} 2. 设函数f (x )= 241x +(x ≤0)，则函数)(1x f y -=的大致的图象是（ ）3. “2560x x -+<”成立的一个必要不充分条件是 （ ）（A ）23x << （B ）13x << （C ）1x < （D ）3x >4. 已知集合2{|210}A x ax x =++=，且{|0}A x x >≠∅，{|0}A x x <≠∅同时满足，则实数a 的取值范围是 （ ） （A ）0a < （B ）0a > （C ）1a <- （D ）1a >5. 若关于x 的一元二次不等式22(45)4(1)30k k x k x +-+-+>的解集为R ，则实数k 的取值范围是 （ ） （A ）119k ≤< （B ）119k <<（C ）1k <或19k > （D ）01k <<或19k > 6. 若函数2()2f x x ax =-+与()ag x x-=在区间[1,2]上都是减函数，则a 的范围是（ ） （A ）(0,)+∞ （B ）(1,0)- （C ）(1,0)(0,1]- （D ）(,0)-∞7. 下列计算中错误的有几个 （ ）①2332a a a =②当00,2)1a ≥=时则34xy =121)=（A ）1个 （B ）2个 （C ）3个 （D ）4个 8.函数()f x =的增区间是 （ ）（A ）[1,2]- （B ）[1,)-+∞ （C ）[4,1]-- （D ）(,1]-∞- 9. 若函数()f x 是定义在(,)-∞+∞上的增函数，且(1)0f =，则不等式2()0f x x<的解集是( ) （A ）(,)-∞+∞ （B ）(,1)-∞-（C ）(,0)(0,1)-∞ （D ）(1,0)(0,1)-10. 方程22(2)(35)0x m x m m +-+++=的两实根的平方和的最大值是 （ ）（A ）19 （B ）18 （C ）559（D ）16 二、填空题（本题有4个小题，每小题4分，共16分。
(新课标人教版)杭州市七校2019-2020学年高一下期中考试数学模拟试题(附答案)(已审阅)
2019-2020学年第二学期期中杭州地区七校联考高一年级数学学科模拟试题一．选择题(共12小题，每小题4分，共48分)1．330sin 的值为（ ） A ．21-B ．21C ．23-D ．232．下列四式不能化简为AD 的是（ ）A ．；）＋＋（BC CD AB B ．）；＋）＋（＋（CM BC MB AD C ．；－＋BM AD MB D ．；＋－CD OA OC3． 把函数sin y x =（x R ∈）的图象上所有点向左平行移动3π个单位长度，再把所得图象上所有点的横坐标缩短到原来的12倍（纵坐标不变），得到的图象所表示的函数是( ) A ．sin(2)3y x π=-，x R ∈ B.sin()26x y π=+，x R ∈ C.sin(2)3y x π=+，x R ∈ D.sin(2)32y x π=+，x R ∈ 4．已知)sin ,(cos αα=a ，)sin ,(cos ββ=b ，且()0cos =-βα，=+b a （ ） A ．2 B ．22C ．2D ．3 5.已知α是第二象限角，其终边上一点P (x ，5)，且cos α＝24x ，则sin ⎝⎛⎭⎫α＋π2＝( )． A ．－104 B ．－64 C ．64 D ．1046．已知船A 在灯塔C 北偏东85且到C 的距离为km 2，船B 在灯塔C 西偏北25且到C 的距离为km 3，则A ，B 两船的距离为( )A ．km 32B ．km 23 C.．km 15 D ．km 137．函数)(x f y =的图象如图所示，则)(x f y =的解析式为( )A ．22sin -=x yB ．13cos 2-=x yC ．1)52sin(--=πx y D ． )52sin(1π--=x y 8．在△ABC 中，若22tan tan b a B A =，则△ABC 的形状是( ) A ．直角三角形 B ．等腰或直角三角形 C ．不能确定 D ．等腰三角形 9．==-αααα2cos 则,55cos sin 是第一象限角，已知( ) A. 53-B. 53±C.54D.54± 10．已知ABC ∆的重心为G ，内角A ，B ，C 的对边分别为c b a ,,，若033=++GC c GB b GA a ，则角A 为( ) A ．4π B ．6π C ．3π D ．2π 11． 在△ABC中，,4(0)a b m m ==>，如果三角形有解，则A 的取值范围是（ ）A ．060A ︒<≤︒B ．030A ︒<<︒C ．090A ︒<<︒D ．3060A ︒<<︒12. 如图，O 为△ABC 的外心，BAC AC AB ∠==,2,4为钝角，M 是边BC 的中点，则AO AM ⋅的值( ) A ． 4 B.．6 C ．7 D ． 5二．填空题（本大题共6小题，单空题每小题4分,多空题每小题6分每空3分，共28分，将答案填在答题卷的相应位置）13．一扇形的周长等于4cm ，面积等于12cm ，则该扇形的半径为 ，圆心角第12题图为 ．14．化简()()=+-⎪⎭⎫ ⎝⎛---+αππααπαπsin 32sin cos )2cos(3 ， =++ 35tan 25tan 335tan 25tan ．15．已知向量a 与b 的夹角为120°,且|a |=2, |b |=5,则(2a -b )·a = 16．在△ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，若a+b+c=20，三角形面积为310， 且角60=A ，则边a = ________17．在ABC ∆中，90=C ，3=CB ,点M 是 AB 上的动点（包含端点），则CB MC ⋅的取值范围为 ． 18．函数π()3sin 23f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭的图象为C ，则如下结论中不正确的序号是_________________ ①、图象C 关于直线11π12x =对称； ②、图象C 关于点2π03⎛⎫⎪⎝⎭，对称； ③、函数()f x 在区间π5π1212⎛⎫-⎪⎝⎭，内是增函数； ④、由3sin 2y x =的图像向右平移π3个单位长度可以得到图象C三．解答题（本大题有4小题，前2题每题10分，后2题每题12分，共44分．解答应写出文字说明，证明过程或验算步骤.）19．（本题10分）已知a 、b 、c 是同一平面内的三个向量，其中a =（1，－2）.（1）若|c |52=，且a c //，求c 的坐标；（2）若|b |=1，且a b +与2a b -垂直，求a 与b 的夹角θ的余弦值.20．（本题10分）已知A,B,C 的坐标分别为)sin 3,cos 3(),4,0(),0,4(ααC B A . (1)若)0,(πα-∈且||||BC AC =，求α的值；(2)若0=⋅BC AC ，求αααtan 12sin sin 22++21．（本题12分）已知函数1cos sin 3cos )(2+-=x x x x f ．（1）求函数)(x f 的最小正周期和单调递增区间； （2）若65)(=θf ，)3π23π(，∈θ，求θ2sin 的值．22．（本小题满分12分）在ABC ∆中，角C B A ,,的对边分别为c b a ,,，若()()()C A c B A b a sin sin sin sin -=-+. (1)求角B 的大小；(2)设BC 中点为D ，且3=AD ，求c a 2+的最大值．2019-2020学年第二学期期中杭州地区七校联考模拟高一年级数学学科参考答案一．选择题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 ACCCBDDBABAD二．填空题13． 1 ， 2 14． 1-，315． 13 16． 717． []09，- 18． ④ 三．解答题19. 解：（1）设),(y x c =，由a c //和52||=c 可得：⎩⎨⎧2212020y x x y ⋅+⋅=+= ， ……………….. 2分 ∴ ⎩⎨⎧24x y =-= 或 ⎩⎨⎧24x y ==- ………………..4分∴(2,4)c =-，或(2,4)c =- ………………… 5分 （2）()(2),a b a b +⊥-∴()(2)0a b a b +⋅-= ……… 7分即2220,a a b b -⋅-=∴22||2||0a a b b -⋅-=，∴ 520a b -⋅-=，所以3a b ⋅=， ………….8分 ∴35cos 5||||a b a b θ⋅==⋅ …………10分 20.解：（1）由已知：)sin 3,4cos 3αα-=（AC ，)4sin 3,cos 3(-=ααBC …………..1分BCAC =()()()()4sin 3cos 3sin 34cos 32222--+=+∴αααα化简得：1tan ,cos sin ==ααα即………………..3分 )0,(πα-∈ 43πα-=∴……………………5分 （2）0=⋅BC AC 0)4sin 3(sin 3)4sin 3(cos 3=-+-∴αααα 43cos sin =+αα ………….7分 两边平方得：167cos sin 2-=αα ………………..8分 又αααtan 12sin sin 22++=ααααααcos cos sin cos sin 22sin 2++=167cos sin 2-=αα………………….10分 21. 解：（1）1cos sin 3cos )(2+-=x x x x f12sin 2322co 1+-+=x x s ....................2分 23)32cos(++=πx ． ……………..4分 函数最小正周期T=π ……………..5分由ππππk x k 2322≤+≤-，得632ππππ-≤≤-k x k （Z k ∈）． ∴函数)(x f 的单调递增区间是]6,32[ππππ--k k （Z k ∈）．…………………………………………….7分（2）∵65)(=θf ，∴6523)32cos(=++πx ，32)32cos(-=+πθ．∵⎪⎭⎫⎝⎛∈323ππθ，，∴)35,(32πππθ∈+，35)32(cos 1)32(sin 2-=+--=+πθπθ． ………………….9分 ∴)32cos(23)32sin(21)332sin(2sin πθπθππθθ+-+=-+=6532-=…………………………………12分 22．解：（1）()()()C A c B A b a sin sin sin sin -=-+ 所以由正弦定理可得()()()c a c b a b a -=-+ ， 即ac b c a =-+222，…………………2分由余弦定理可知212cos 222=-+=ac b c a B ，…………………………4分 因为()π,0∈B ，所以3π=B …………………………5分(2)设θ=∠BAD ，则在ABD ∆中， 由3π=B 可知⎪⎭⎫ ⎝⎛∈32,0πθ， 由正弦定理及3=AD 可得23sin32sin sin ==⎪⎭⎫⎝⎛-=πθπθADAB BD， (7)分所以θsin 2=BD ，θθθπsin cos 332sin 2+=⎪⎭⎫⎝⎛-=AB ，…………………………8分所以⎪⎭⎫⎝⎛+=+=+6sin 34sin 6cos 322πθθθc a ，…………………………10分 由⎪⎭⎫ ⎝⎛∈32,0πθ可知⎪⎭⎫ ⎝⎛∈+65,66πππθ，所以当26ππθ=+， 即3πθ=时，c a 2+的最大值为34.…………………………12分。
2018-2019学年浙江省杭州市西湖区杭州学军中学高一下学期期中考试数学试题
2018-2019学年浙江省杭州市西湖区杭州学军中学高一下学期期中考试数学试题★祝考试顺利★ 注意事项：1、答题前，请先将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色签字笔填写在试题卷和答题卡上的相应位置，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。
用2B 铅笔将答题卡上试卷类型A 后的方框涂黑。
2、选择题的作答：每个小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选择题答题区域的答案一律无效。
3、主观题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域的答案一律无效。
如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。
不按以上要求作答无效。
4、选考题的作答：先把所选题目的题号在答题卡上指定的位置用2B 铅笔涂黑。
答案用0.5毫米黑色签字笔写在答题卡上对应的答题区域内，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选修题答题区域的答案一律无效。
5、保持卡面清洁，不折叠，不破损，不得使用涂改液、胶带纸、修正带等。
6、考试结束后，请将本试题卷、答题卡、草稿纸一并依序排列上交。
一、选择题：本大题共10个小题，每小题4分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.在平面直角坐标系中，角α以x 轴非负半轴为始边，终边在射线2(0)y x x =≥上，则tan α的值是（ ） A. 2 B. -2C.12D. 12-【答案】A 【解析】 【分析】由角α以x 轴非负半轴为始边，终边在射线2(0)y x x =≥上，设终边上的点(1,2)P ，根据三角函数的定义，即可求解，得到答案．【详解】由题意，在平面直角坐标系中，角α以x 轴非负半轴为始边，终边在射线2(0)y x x =≥上，设终边上的点(1,2)P ，根据三角函数的定义可得2tan 21α==，故选A ． 【点睛】本题主要考查了三角函数的定义，其中解答中熟记三角函数的定义是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题．2.已知等比数列{}n a 的各项均为正，35a ，2a ，43a 成等差数列，则数列{}n a 的公比是（ ） A.12B. 2C.13D. -2【答案】C 【解析】 【分析】由35a ，2a ，43a 成等差数列，可得342253a a a =+，整理得23520q q +-=，即可求解． 【详解】设等比数列{}n a 的公比为q ()0q >，因为35a ，2a ，43a 成等差数列，则342253a a a =+，即31121253q a q a a q =+，可得23520q q +-=，解答13q =，故选C ． 【点睛】本题主要考查了等比数列的通项公式，以及等差中项公式的应用，其中解答中熟练应用等差中项公式，以及利用等比数列的通项公式准确计算，着重考查了推理与运算能力，属于基础题．3.函数()sin (0)3f x x πωω⎛⎫=+> ⎪⎝⎭的最小正周期为π，若将函数()f x 的图像向右平移6π个单位，得到函数()g x 的图像，则()g x 的解析式为（ ）A. ()sin 46g x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭B. ()sin 43g x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭C. ()sin 26g x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭D. ()sin 2g x x =【答案】D 【解析】 【分析】根据三角函数的周期求出ω＝2，结合三角函数的平移关系进行求解即可． 【详解】∵函数()3f x sin x πω⎛⎫=+ ⎪⎝⎭（ω＞0）的图象中，最小正周期为π， ∴即周期T 2ππω==，则ω＝2，则f （x ）＝sin （2x 3π+）， 将函数f （x ）的图象向右平移6π个单位，得到函数g （x ）， 则g （x ）＝sin[2（x 6π-）3π+]＝sin （2x 33ππ-+）＝sin2x ，故选：D ．【点睛】本题主要考查三角函数解析式的求解，根据周期公式求出ω的值，以及利用三角函数的平移法则是解决本题的关键．4.已知数列{}n a 满足11a =，()*12n n a a n N +-≥∈，则（ ） A. 12n n a -≥B. 21n a n ≥+C. 12n n S -≥ D. 2n S n ≥【答案】D 【解析】分析：根据累加法求得数列通项n a 的表达式，然后逐一验证可得结果． 详解：∵()12*n n a a n N +-≥∈， ∴()122n n a a n --≥≥，∴122n n a a ---≥，232n n a a ---≥，……，322a a -≥，212a a -≥， 将以上1n -个式子两边分别相加可得12(1)n a a n -≥-， ∴()212n a n n ≥-≥． 又11a =满足上式， ∴21(*)n a n n N ≥-∈． 故选项A ，B 不正确． 又212135(21)n n S a a a n n =+++≥++++-=，故选项C 不正确，选项D 正确． 故选D ．点睛：解答本题的关键是求出数列的通项，已知数列的递推关系求通项公式时，若递推关系是形如1()n n a a f n -=+的形式时，常用累加法求解，解题时要注意求得n a 后需要验证1n =时1a 是否满足通项公式．5.已知1cos cos 2αβ+=，1sin sin 3αβ+=，则cos()αβ-=（ ） A. 5972-B. 5972C. 1336D. 1336-【答案】A 【解析】2221(cos cos )cos 2cos cos cos 4αβααββ+=++=, 2221(sin sin )sin 2sin sin sin 9αβααββ+=++=, 两式相加得：1322cos()36αβ+-= ，则59cos()72αβ-=- ，选A.6.已知ABC △中，角A ，B ，C 的对边分别为,,a b c ，若满足2b =，60B =的三角形有两解，则边长a 的取值范围是（ ）A. 2a <<B. 2a <<2a << D.122a << 【答案】B 【解析】 【分析】由ABC ∆有两解时，可得sin a B b a <<，代入数据，即可求解，得到答案．【详解】由题意得，当ABC ∆有两解时，则满足sin a B b a <<，即sin 602a a <<，解得23a <<，故选B ． 【点睛】本题主要考查了解三角形一题多解的问题，其中解答中熟记三角形两解的条件是解答本题的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题．7.已知1sin 33πα⎛⎫-= ⎪⎝⎭，则sin 26πα⎛⎫-= ⎪⎝⎭（ ） A. 79-B.79C. 79±D. 29-【答案】A 【解析】 由题意可得1cos()cos(())cos()32663ππππααα-=-+=+=， sin(2)sin[(2)]cos(2)6233ππππααα-=-+=+27cos 2()2cos ()1669ππαα=+=+-=-，选A.8.已知数列{}n a 满足712,83,8n n a n n a a n -⎧⎛⎫-+>⎪ ⎪=⎝⎭⎨⎪≤⎩，若对于任意*n N ∈都有1n n a a +>，则实数a 的取值范围是（ ）A. 10,3⎛⎫ ⎪⎝⎭B. 10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭C. 1(,1)2D. 11,32⎛⎫ ⎪⎝⎭【答案】C 【解析】 【分析】由题意，得到数列{}n a 为单调递减数列，可知1013a a <<≠且，分113a <<和103a <<两种情况讨论，即可求解．【详解】由题意，对于任意的*n N ∈都有1n n a a +>，所以数列{}n a 为单调递减数列， 由8n ≤时，()7n f n a -=，根据指数函数的性质，可知1013a a <<≠且， ①当113a <<时，8n >时，1()23n a a n =-+单调递减，而8n ≤时，7n n a a -=单调递减， 所以871()923a a --⨯+≤，解得12a ≥，所以112a <<；②当103a <<时，8n >时，1()23n a a n =-+单调递增，不符合题意（舍去）．综上可知，实数a 的取值范围是112a <<，故选C ．【点睛】本题主要考查了数列的单调性，以及分段函数的的单调性的应用，其中解答中根据数列的单调性，利用分段函数的性质求解是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题．9.在ABC △内有任意三点不共线的2016个点，加上,,A B C 三个顶点，共2019个点，把这2019个点连线形成互不重叠的小三角形，则一共可以形成小三角形的个数为（ ） A. 4033 B. 4031 C. 4029 D. 4027【答案】A 【解析】 【分析】先得到所有三角形的内角和，再根据三角形的内角和为180，可得三角形的个数，得到答案． 【详解】由题意，三角形的内角和为180，又以内部每个点为顶点的角的和为一个周角是360，则2016个点的角的总和2016360S =⨯，加上三角形原来的内角和180， 所以所有三角形的内角和1802016360180(120162)S '=+⨯=+⨯， 所以三角形的个数为1201624033+⨯=， 故选A ．【点睛】本题主要考查了合情推理的应用，其中解答根据各三角形内角总和得到三角形的个数是解答本题的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于中档试题．10.已知O 为锐角ABC △的外接圆的圆心，tan 2A =，若cos cos 2sin sin B CAB AC mAO C B+=，则m 的值为（ ）【答案】B 【解析】 【分析】取AB 的中点,D AC 的中点E ，连接,OD OE ，利用向量的数量积的计算公式，可得22,22AB AC AB AO AC AO ⋅=⋅=，再由正弦定理，得到2sin ,2sin AB R C AC R B ==，且AO R =，代入得sin cos cos sin sin()sin C B C B B C A m +=+==，最后利用三角函数的基本关系式，即可求解． 【详解】如图所示，取AB 的中点,D AC 的中点E ，连接,OD OE ，则,OD AB OE AC ⊥⊥；所以22cos ,22AB AC AB AO AB AO BAO AC AO ⋅=∠=⋅=，所以由cos cos 2sin sin B CAB AC mAO C B+=， 设ABC ∆的外接圆半径为R ，则AO R =，由正弦定理得2sin sin AB AC R CB==，所以2sin ,2sin AB R C AC R B ==，且AO R =，代入可得2222cos sin 2cos sin 2B C R C B R mR ⋅+⋅=，所以sin cos cos sin sin()sin C B C B B C A m +=+==，又因为tan 2A =，可得sin A =，即m =B ．【点睛】本题主要考查了三角形的外接圆圆心的概念，向量的数量积的计算公式，以及三角函数恒等变换和正弦函数的性质的综合应用，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于中档试题．二、填空题（本大题共7小题，多空题每题6分，单空题每题4分，共36分）11.已知ABC △中，角A ，B ，C 的对边分别为,,a b c ，若4a =，2c =，60B =，则b =___，C =_____．【答案】 (1). 30 【解析】 【分析】在ABC ∆中，由余弦定理，可求得b =1sin 2C =，根据c b <，即C B <，即可求解．【详解】在ABC ∆中，因为4a =，2c =，60B =，由余弦定理可得222222cos 42242cos6012b a c ac B =+-=+-⨯⨯=，所以b =又由正弦定理可得sin sin b cB C =，即sin 1sin 2c B C b ===， 又由c b <，所以C B <，所以30C =．【点睛】本题主要考查了正弦定理、余弦定理的应用，其中在解有关三角形的题目时，要抓住题设条件和利用某个定理的信息，合理应用正弦定理和余弦定理求解是解答的关键，着重考查了运算与求解能力，属于基础题．12.记n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，公差为d ，若4524a a +=，648S =.则d =____，n S =_____．【答案】 (1). 4 (2). ()22n n - 【解析】 【分析】根据等差数列的通项公式和前n 项和公式，列出方程组，求得12,4a d =-=，再利用前n 项和公式，即可求解．【详解】由题意，因为4524a a +=，所以12724a d +=， 又由648S =，所以1656482a d ⨯+=，即12516a d +=，联立方程组，解得12,4a d =-=， 所以1(1)(1)(2)42(2)22n n n n n na d n n S n --=+=⨯-+⨯=-． 【点睛】本题主要考查了等差数列的通项公式，以及前n 项和公式的应用，其中解答中熟练应用等差数列的通项公式和前n 项和公式，准确计算是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题．13.已知π0π2αβ<<<<，4tan 3α=，cos()10βα-=，则sin α=_____，cos β=________．【答案】 (1). 45 (2). 2- 【解析】 【分析】根据三角函数的基本关系式，可求得43sin ,cos 55αα==，再根据两角和的余弦函数，即可求解cos β的值，得到答案． 【详解】因为02πα<<，且4tan 3α=，所以43sin ,cos 55αα==，由π0π2αβ<<<<，则0βαπ<-<，又因为cos()10βα-=，则sin()10βα-=，所以cos cos[()]cos()cos sin()sin ββααβααβαα=-+=---341051052=-=-． 【点睛】本题主要考查了三角函数的化简求值，其中解答中熟记两角和的余弦公式，以及合理应用三角函数的基本关系式，准确运算是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题．14.已知数列{}n a ，{}n b 满足11a =，且n a ，1n a +是函数2()2nn f x x b x =-+的两个零点，则5a =___，10b =____． 【答案】 (1). 4 (2). 64 【解析】 【分析】根据方程的根与系数的关系，得到12nn n a a +=⋅，进而得1122n n n a a +++=⋅，两式相除，得到22n na a +=，得出135,,,a a a 成等比数列，246,,,a a a 成等比数列，利用等比数列的通项公式，即可求解，得到答案． 【详解】由题意可知n a ，1n a +是函数2()2nn f x x b x =-+的两个零点， 则12nn n a a +=⋅，所以1122n n n a a +++=⋅，两式相除可得22n na a +=， 所以135,,,a a a 成等比数列，246,,,a a a 成等比数列，又由11a =，则22a =，所以2251124a a q ==⨯=，441022232a a q ==⨯=，551111232a a q ==⨯=，所以101011323264b a a =+=+=．【点睛】本题主要考查了方程的根与系数的关系，以及等比数列的判定，以及等比数列的通项公式的应用，其中解答中利用根与系数的关系，递推得到数列间隔项构成等比数列是解答的关键，着重考查了转化、构造思想，以及推理与运算能力，属于中档试题．15.在各项均为正数的等比数列{}n a 中，若()223578log 5a a a a a =，则19a a =_____． 【答案】4 【解析】 【分析】根据等比数列的性质化简题目所给已知条件，化简后可求得所求的结果. 【详解】根据等比数列的性质得()()52235782525log log 5log5a a a a a a a ===，52a =，故2219524a a a ===.【点睛】本小题主要考查等比数列的性质，考查对数的运算，属于基础题. 如果数列是等差数列，则数列的性质为：若m n p q +=+，则m n p q a a a a +=+，若2m n q +=，则2m n q a a a +=.如果数列是等比数列，则数列的性质为：若m n p q +=+，则m n p qa a a a ⋅=⋅，若2m n q +=，则2m n q a a a ⋅=.16.若一个三角形的三边为连续自然数，且最大角是最小角的两倍，则此三角形的面积为_．【答案】4【解析】 【分析】设三角形三边是连续的三个自然数1,,1n n n -+，三个角分别为,3,2απαα-，由正弦定理，求得1cos 2(1)n n α+=-，再由余弦定理，化简可得250n n -=，解得5n =，得到三角形的三边边长分别为4,5,6，进而可求解三角形的面积．【详解】设三角形三边是连续的三个自然数1,,1n n n -+，三个角分别为,3,2απαα-，由正弦定理可得111sin sin 22sin cos n n n αααα-++==，所以1cos 2(1)n n α+=-，再由余弦定理可得222221(1)(1)2(1)cos (1)2(1)2(1)n n n n n n n n n n n α+-=++-+=++-+⋅⋅-，化简可得250n n -=，解得5n =或0n =（舍去）， 所以5n =，故三角形的三边边长分别为4,5,6，又由余弦定理可得的2225643cos 2564α+-==⨯⨯，所以sin 4α=，所以三角形的面积为1156sin 562244S α=⨯⨯=⨯⨯⨯=． 【点睛】本题主要考查了正弦定理、余弦定理，以及二倍角公式的应用，其中解答中根据正弦、余弦定理建立三角形的边角关系，求得三角形的边长是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于中档试题．17.在ABC △中，角A ，B ，C 的对边分别为,,a b c ，设ABC △的面积为S ，若22232a b c =+，则222Sb c +的最大值为_____．【答案】24【解析】由题得2222222222333223()6cos a b b c cb c b c a bc A =-+-∴+=+-=221sin 12tan 26cos 12bc AS A b c bc A ∴==+由题得2222222222222223,cos 322663b c b c b c b c a b c a A bc bc bc bc ++-++-+=∴===≥=所以tan 2A =≤=,当且仅当b =时取等号. 所以222S b c +的最大值为24,故填24点睛:本题的难在解题思路,第一个难点就是把222S b c +中的分母化简成6cos Sbc A,第二个难点是得到221sin 12tan 26cos 12bc AS A b c bc A ==+后，如何求tanA 的最大值. 转化成利用基本不等式求cosA 的最大值.三、解答题（本大题共5小题，共74分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 18.已知函数()22sin cos 3f x x x x π⎛⎫=-- ⎪⎝⎭. （1）求()f x 的最小正周期；（2）求()f x 在[]0,π上单调递增区间. 【答案】(1)T π=；（2）递增区间为0,12π⎡⎤⎢⎥⎣⎦，7,12ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦【解析】 【分析】（1）由三角恒等变换的公式，化简()sin 23f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，再利用周期的公式，即可求解； （2）令222232k x k πππππ-≤+≤+，k Z ∈，求得51212k x k ππππ-≤≤+，k Z ∈，又由由[0,]x π∈，即可求解函数的单调递增区间．【详解】（1）由题意，函数3()2sin 2sin 22f x x x x =+-=1sin 22sin 2223x x x π⎛⎫+=+ ⎪⎝⎭ 所以()f x 的最小正周期为22T ππ==． （2）令222232k x k πππππ-≤+≤+，k Z ∈，得51212k x k ππππ-≤≤+，k Z ∈， 由[0,]x π∈，得()f x 在[0,]π上单调递增区间为0,12π⎡⎤⎢⎥⎣⎦，7,12ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦． 【点睛】本题主要考查了三角函数的图象与性质，以及三角恒等变换的应用，其中解答中利用三角恒等变换的公式化简函数的解析式，熟记三角函数的图象与性质是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题．19.在ABC △中，角A ，B ，C 的对边分别为,,a b c ，已知a =223b c bc +=+.（1）求角A 的大小； （2）求sin b C ⋅的最大值. 【答案】(1) 3A π=.(2)32. 【解析】 【分析】（1）由余弦定理可得：cosA=2222b c a bc+-=332bc bc +-=12，即可得出．（2）由正弦定理可得：可得b=asinB sinA ，可得bsinC=2sinBsin 23B π⎛⎫-⎪⎝⎭=26sin B π⎛⎫- ⎪⎝⎭+12，根据B∈203π⎛⎫⎪⎝⎭，即可得出．【详解】(1)由已知223a b c bc =+=+，得222231222b c a bc a bc bc +-+-==.详解答案 即1cos 23A A π=⇒=. (2)由正弦定理，得sin 2sin sin ab B B A==， sin 2sin sin 2sin sin 3b C C B C C π⎛⎫∴==+ ⎪⎝⎭.1sin 2sin sin 2b C C C C ⎛⎫=+ ⎪ ⎪⎝⎭2111sin cos cos2sin 22262C C C C C C π⎛⎫==-+=-+ ⎪⎝⎭， ∴当3C π=时，sin b C 取得最大值32. 【点睛】本题考查了正弦定理余弦定理、三角函数求值，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．20.已知n S 为等差数列{}n a 前n 项和，42a =，21252S =-.（1）求n a ； （2）设12n n T a a a =+++，求n T .【答案】（1）102n a n =-；（2）229,15940,6n n n n T n n n ⎧-≤≤=⎨-+≥⎩【解析】 【分析】（1）由等差数列的通项公式和前n 项和公式，根据题设条件，联立方程组，求得1,a d 的值，即可得到数列的通项公式；（2）由（1）102n a n =-，可得当15n ≤≤时，0n a ≥，当6n ≥时，0n a <，分类讨论，即可求解．【详解】（1）由4132a a d =+=，及21121210252S a d =+=-， 联立解得18a =，2d =-，所以1(1)102n a n d a n ==--+．（2）由（1）102n a n =-，可得当15n ≤≤时，0n a ≥，当6n ≥时，0n a <， 所以当15n ≤≤时，1229n n n a a a T S n n =++=+=-，当6n ≥时，12567252940()()n n n a a a a S a n a T S n =+++-++=-+=-++，所以229,15940,6n n n n T n n n ⎧-≤≤=⎨-+≥⎩．【点睛】本题主要考查了等差数列的通项公式的基本量的运算，以及等差数列中绝对值的和的求解，其中解答中熟记等差数列的通项，以及合理分类讨论是解答的关键，着重考查了分类讨论思想，以及推理与运算能力，属于基础题．21.如图，在ABC △中，3B π=，2BC =，点D 在边AB 上，AD DC =，DE AC ⊥，E为垂足.（1）若BCD的面积为3，求CD 的长； （2）若2DE =，求角A 的大小.【答案】（1（2）π4【解析】分析：第一问利用三角形的面积公式，求出BD ，再用余弦定理求CD ；第二问先求CD ，在BCD ∆中，由正弦定理可得sin sin BC CDBDC B=∠，结合2BDC A ∠=∠，即可得结论.详解：(1)由已知得S △BCD ＝12BC ·BD ·sin BBC ＝2，sin BBD ＝23，cos B ＝12．在△BCD 中，由余弦定理，得 CD 2＝BC 2＋BD 2－2BC ·BD ·cos B ＝22＋23⎛⎫ ⎪⎝⎭2－2×2×23×12＝289． ∴CD． (2)∵CD ＝AD＝sin DE A =，在△BCD 中，由正弦定理，得sin sin BC CDBDC B =∠，又∠BDC ＝2A，得2sin22sin sin A A B =，解得cos A＝2，所以A ＝4π．点睛：该题考查的是正弦定理、余弦定理以及三角形的面积公式，在解题的过程中，只要对正余弦定理的内容以及三角形的面积公式能够熟记，就能求得结果.22.已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，14a =且4n n a S λ=+.其中λ为常数. （1）求λ的值及数列{}n a 的通项公式； （2）记22111log log n n n b a a +=⋅，数列{}n b 的前n 项和为n T ，若不等式112(1)(25)02n n n n n T k n --⋅---⋅≤+对任意*n N ∈恒成立 ，求实数k 的取值范围.【答案】（1）2λ=，()1*2n n a n N +=∈；（2）14k ≥ 【解析】 【分析】（1）由题意知4n n a S λ=+中，令1n =，求得2λ=，即24n n a S =+，所以1124n n a S ++=+两式相减整理得12n na a +=，利用等比数列的通项公式，即可求解． （2）由（1）可得1221111log log 12nn n a a b n n +=⋅=-++，利用“裂项”法求得2(2)n n T n =+，根据题设化简得1(1)(25)2n n n k ---≥对任意*n N ∈恒成立，记1(1)(25)()2n nn f n ---=，分n 为奇数和n 为偶数讨论，求得()f n 的最大值，即可求解．【详解】（1）由题意知4n n a S λ=+中，令1n =，得114a a λ=+，又14a =，解得2λ=， 即24n n a S =+，所以1124n n a S ++=+， 两式相减得1122n n n a a a ++-=，整理得12n na a +=， 数列{}n a 是以14a =，公比为2的等比数列，所以()1*2n n a n N +=∈．（2）由（1）可得12211111log log (1)(2)12nn n a a b n n n n +=⋅==-++++， 所以111111233412n T n n =-+-++-++11222(2)n n n =-=++，由112(1)(25)02n n n n n T k n --⋅---⋅≤+对任意*n N ∈恒成立，得1(1)(25)2n nn k ---≥对任意*n N ∈恒成立， 记1(1)(25)()2n nn f n ---=，*n N ∈， （1）当n 为偶数时，52()2nnf n -=， 若4n ≥，则()0f n <，又1(2)4f =，所以max 1()(2)4f n f ==.（2）当n 为奇数时，25()2n n f n -=，则2196(2)()2n nf n f n +-+-=，若5n ≥，n 为奇数，则(2)()f n f n +≤，即(5)(7)(9)f f f ≥≥≥，若3n ≤，n 为奇数，则(2)()f n f n +≥，即(5)(3)(1)f f f≥≥，所以max 5()(5)32f n f ==， 综合（1）（2）知max 1()(2)4f n f ==， 所以实数k 的取值范围是14k ≥. 【点睛】本题主要考查了等比数列的通项公式、及“裂项法”求和、数列的单调性的应用，此类题目是数列问题中的常见题型，解答中确定通项公式是基础，准确计算求和是关键，易错点是在“裂项”之后求和时，弄错等比数列的项数，能较好的考查考生的逻辑思维能力及基本计算能力等.．。
浙江省杭州地区七校2018-2019学年高一下学期期中联考数学试题(精编含解析)
杭州地区七校2018-2019学年高一第二学期期中联考数学试题一、选择题。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求。
1.的值为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】由题意利用诱导公式和特殊角的三角函数值可得所求三角函数的值.【详解】由题意可得：.故选：B.【点睛】本题主要考查诱导公式的应用，特殊角的三角函数值，属于基础题.2.下列结论正确的是（）A. B.C. ，D.【答案】A【解析】【分析】逐一考查所给的说法是否正确即可.【详解】逐一考查所给的说法：若，则，选项A说法正确；若，则由不一定能得到，选项B说法错误；若，则由，不一定能得到，选项C说法错误；两个向量无法比较大小，故结论错误，选项D说法错误；故选：A.【点睛】本题主要考查向量的定义与向量的性质及其应用等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.3.已知向量，且，则实数的值为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】由向量垂直的充分必要条件得到关于的方程，解方程可得的值.【详解】由向量平行的充分必要条件可得：，解得.故选：B.【点睛】本题主要考查向量平行的充分必要条件，由向量平行求参数的方法等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.4.已知函数，为了得到函数的图象，只要将的图象（）A. 向左平移个单位长度B. 向右平移个单位长度C. 向左平移个单位长度D. 向右平移个单位长度【答案】D【解析】【分析】由题意结合函数的解析式可得函数图像的平移变换方法.【详解】注意到，故得到函数的图象，只要将的图象向右平移个单位长度.故选：D.【点睛】本题主要考查三角函数的平移变换，属于基础题.5.已知为等差数列，，，则的值为（ ）A.B.C.D.【答案】C 【解析】 【分析】由题意利用等差数列的性质可得的值. 【详解】由等差数列的性质有：.故选：C .【点睛】本题主要考查等差数列的性质及其应用，属于基础题. 6.函数（）是（ ）A. 最小正周期是B. 区间上的增函数C. 图象关于点对称D. 偶函数【答案】D 【解析】 【分析】首先对函数的解析式进行恒等变形，然后考查函数的性质即可. 【详解】函数的解析式：，绘制函数图像如图所示：结合函数图像可知函数的最小正周期为，选项A 说法错误； 在区间上是减函数，选项B 说法错误；函数不存在对称点，选项C 说法错误；，选项D说法正确.故选：D.【点睛】本题主要考查三角函数式的化简，三角函数的性质，三角函数图像的绘制等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.7.数列满足，，则等于（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】首先确定数列的周期性，然后结合周期性可得的值.【详解】由题意可得：，，故数列是周期为的周期数列，则.故选：C.【点睛】本题主要考查数列的递推关系，周期数列的概念与性质等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.8.在中，角、、的对边分别为，，，若，则的值为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】首先由正弦定理边化角，然后结合两角和差正余弦公式和同角三角函数基本关系可得的值，据此可得的值.【详解】由题意利用正弦定理边化角可得：，.故选：D.【点睛】本题主要考查正弦定理的应用，特殊角的三角函数值等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.9.在中，角、、的对边分别为，，，若，，成等差数列，，的面积为，那么的值为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】由题意得到关于a,b,c的方程组，求解方程组即可确定b的值.【详解】由题意可得：，求解方程组可得：.故选：A.【点睛】本题主要考查余弦定理的应用，三角形面积公式，方程的数学思想等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.10.在中，已知是延长线上一点，若，点为线段的中点，，则的值为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】由题意结合向量的运算法则和平面向量基本定理整理计算可得的值.【详解】由题意可得：，注意到，故，故选C.【点睛】本题主要考查平面向量的线性运算，平面向量基本定理等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.二、填空题。
2018-2019学年高一数学下学期期中试题(含解析)
2018-2019学年高一数学下学期期中试题（含解析）注意事项：1.答卷前，考生务必将自己所在的班级、姓名、学号填写在答题卡上.2.选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡.上对应题目选项的答案信息涂黑，答案不能答在试卷上.3.非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应的位置上.考试结束后，将答题卡交回.一、选择题（本题共12个小题,每小题5分,共60分，每小题的四个选项中，只有一个是正确的）1.已知，，且，则（）A. 2B. 1C. 0D. -1【答案】D【解析】∵，∴∵∴∴故选D2.在中，角，，所对边分别是，，，若，，，则角（）A. B. C. D.【答案】C【解析】根据余弦定理，，选C.3.是顶角为的等腰三角形，且，则（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】利用已知条件求出向量的长度以及向量的夹角，然后求解向量的数量积即可．【详解】解：是顶角为的等腰三角形，且，则，则．故选：．【点睛】本题考查向量的数量积的应用及运算，是基本知识的考查．4.在数列中，，且，则（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】当时，可求出，当时，得，即可得数列为等比数列．【详解】解：当时，则，当时，由得故数列是以为首项等比数列故选【点睛】本题考查由数列的递推公式求数列的通项公式，属于基础题．5.记等差数列的前项和为，若，则该数列的公差（）A. 2B. 3C. 6D. 7【答案】B【解析】【详解】,6.等比数列中，，则等于( )A. 16B. ±4C. -4D. 4【答案】D【解析】分析：利用等比中项求解．详解：，因为为正，解得．点睛：等比数列的性质：若，则．7.已知平面向量满足，且，则向量的夹角为A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】由，结合可得，利用平面向量的数量积公式可得结果.【详解】，，所以，可得，即，，设两向量夹角为，则，，，即为，故选A.【点睛】本题主要考查向量的模、夹角及平面向量数量积公式，属于中档题.平面向量数量积公式有两种形式，一是，二是，主要应用以下几个方面:(1)求向量的夹角，（此时往往用坐标形式求解）；（2）求投影，在上的投影是；（3）向量垂直则;(4)求向量的模（平方后需求）.8.数列的前项和为，若，则（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】利用裂项相消法求数列的前项和为．【详解】解：故选【点睛】本题考查裂项相消法求数列的前项和为，属于基础题．9.中，角，，对边分别为，，，，，，则（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】利用正弦定理边化角求得，再利用余弦定理求边．【详解】，，，又，由余弦定理得故选【点睛】本题考查正弦定理和余弦定理在解三角形中的应用，属于基础题．10.若两个等差数列，的前项和分别为，且满足，则的值为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】把转化为，然后借助于已知得答案．【详解】解：等差数列、前项和分别为，，且，得．故选．【点睛】本题考查等差数列的性质，考查等差数列的前项和，考查数学转化思想方法，是中档题．11.在中，，，，在边的中线上，则的最小值为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】本题可设，然后将用向量作为基底向量表示出来，再根据向量的运算，即可将问题转化为二次函数求最值问题．【详解】解：由题意，画图如下：可设，，，．，．．由二次函数的性质，可知：当时，取得最小值．故选：．【点睛】本题主要考查基底向量的设立以及用基底向量表示所求向量，最后转化为二次函数求最值问题，本题属基础题．12.古希腊毕达哥拉斯学派的数学家研究过各种多边形数.如将一定数目的点在等距离的排列下可以形成一个等边三角形，这样的数被称为三角形数.如图所示，三角形数,，，……在这个自然数中三角形数的个数是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】求出这一列数的通项，即可求出在中三角形数的个数．【详解】解：由题意知，，……可归纳为则，故在中三角形数的个数为个．故选【点睛】本题考查数列的通项公式，及数列的项的计算，属于基础题．第Ⅱ卷（共90分）二、填空题：本大共4小题，每小题5分，满分20分.13.在ΔABC中，已知a=1，b=, A=30°，则B等于____________；【答案】或【解析】分析：根据正弦定理求解即可．详解：由正弦定理可知，解得，故解得或点睛：本题为易错题，根据大角对大边，正弦值在一、二象限均有取值，只要角大于角即可．14.如果数列的前项和，则此数列的通项公式__________．【答案】【解析】【分析】利用数列中与关系，得出，但，由此判定数列从第项起为等比数列，通项公式可求．【详解】解：当时，，得．当时，，得，当时，不成立，故数列为从第项起为等比数列．故答案为【点睛】本题考查利用数列中与关系求数列通项，考查等比数列判定，通项公式求解．需具有转化、变形、计算能力．15.某人为测出所住小区的面积，进行了一些测量工作，最后将所住小区近似地画成如图所示的四边形，测得的数据如图所示，则该图所示的小区的面积是______.【答案】【解析】【分析】连结，由余弦定理可求，在中由正弦定理可求，利用面积公式分别求出，，即可求出四边形的面积．【详解】解：如图，连结，由余弦定理可知，故，，，，在中由正弦定理得：，即，故.故答案为【点睛】本题考查正弦定理、余弦定理及三角形面积公式，属于基础题．16.已知等差数列中，，公差d>0，则使得前n项和取得最小值时的正整数n的值是______．【答案】6或7【解析】【分析】将转化为的形式，得到，即，由此判断前或项的和最小.详解】]由且得，，且，即，即，即，故且最小.【点睛】本题主要考查利用基本元的思想，求等差数列的前项和取得最小值时的值.直接用等差数列的通项公式，将已知条件转化为的形式，由此得到为零，从而求得使等差数列的前项和取得最小值时的值.属于中档题.三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.记为等差数列的前项和，已知，．（1）求的通项公式；（2）求，并求的最小值．【答案】（1）an=2n–9，（2）Sn=n2–8n，最小值为–16．【解析】分析：（1）根据等差数列前n项和公式，求出公差，再代入等差数列通项公式得结果，（2）根据等差数列前n项和公式得的二次函数关系式，根据二次函数对称轴以及自变量为正整数求函数最值.详解：（1）设{an}的公差为d，由题意得3a1+3d=–15．由a1=–7得d=2．所以{an}的通项公式为an=2n–9．（2）由（1）得Sn=n2–8n=（n–4）2–16．所以当n=4时，Sn取得最小值，最小值为–16．点睛：数列是特殊的函数，研究数列最值问题，可利用函数性质，但要注意其定义域为正整数集这一限制条件.18.如图，在中，，是边上一点，，，，为锐角.(1)求角大小；(2)求的长.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）在三角形中，利用正弦定理表示出，求出，确定出的度数；（2）在中，设，由余弦定理可得，即可求出的长．【详解】（1）在中，，，由正弦定理可得，，即，，为锐角，，（2）在中，设，由正弦定理可得，，即，，即.【点睛】考查了正弦、余弦定理，以及特殊角的三角函数值，熟练掌握定理是解本题的关键．19.数列满足，，.(1)设，证明是等差数列；(2)求的通项公式.【答案】（1）证明见解析（2）【解析】【分析】（1）要证是等差数列，即证，即由已知可得．（2）由（1）可得，利用累加法，求出数列的通项公式．【详解】（1）由得，又，所以是首项为，公差为的等差数列；（2）由（1）得，，由得，，则，，，，，所以，又，所以的通项公式.【点睛】本题考查：①用定义法证明等差数列；②等差数列的通项公式；③累加法求数列的通项公式；形如“”的递推关系式，求通项时一般利用累加法，属于中档题．20.的内角，，的对边分别为，，，且.(1)求；(2)若，求【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）由正弦定理化简已知等式可得：，由余弦定理可得，结合范围，可求的值．（2）可设，，由余弦定理可得，再由余弦定理，得，利用同角三角函数基本关系式可求的值．【详解】（1）由及正弦定理可得：，即.由余弦定理可得，又，.（2），所以可设，，则由余弦定理可得，，再由余弦定理得，故，.【点睛】本题主要考查了正弦定理，余弦定理，三角函数恒等变换的应用，考查了计算能力和转化思想，属于中档题．21.已知是等差数列，是各项为正数的等比数列，且，，.⑴求数列和的通项公式；⑵若，求数列的前项和.【答案】(1) ，;(2) .【解析】【分析】设等差数列的公差为，等比数列的公比为，根据等差数列和等比数列的通项公式，结合已知条件，，.可列出关于的方程组，解方程组求出的值，最后求出数列和的通项公式；(2)用错位相消法，结合等比数列前项和公式，可以求出数列的前项和.【详解】(1)设等差数列的公差为，等比数列的公比为，因为，，所以有，所以，.(2)因为，.，所以，因此①，②，①—②得：，.【点睛】本题考查了等比数列和等差数列的通项公式，考查了用错位相消法求数列前项和.22.已知、、、为同一平面上的四个点，且满足，，设，的面积为，的面积为.（1）当时，求的值；（2）当时，求的值.【答案】（1）.（2）.【解析】试题分析：（I）在中，由余弦定理得，在中，由余弦定理得到，即可求解的值；（II）由，得到，从而，由此能求出．试题解析：（Ⅰ）在中，由余弦定理得所以在中，由余弦定理得所以所以.（Ⅱ）因为，所以所以解得考点：余弦定理；三角函数的恒等变换.【方法点晴】本题主要考查了三角形的面积的求法等问题，其中解答中涉及到三角形的面积，余弦定理，三角恒等变换等知识点综合考查，着重考查了学生分析问题和解答问题的能力，以及推理与运算能力，同时考查了转化与化归思想，解题是要认真审题，注意余弦定理的合理运用，试题有一定的难度，属于中档试题.2018-2019学年高一数学下学期期中试题（含解析）注意事项：1.答卷前，考生务必将自己所在的班级、姓名、学号填写在答题卡上.2.选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡.上对应题目选项的答案信息涂黑，答案不能答在试卷上.3.非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应的位置上.考试结束后，将答题卡交回.一、选择题（本题共12个小题,每小题5分,共60分，每小题的四个选项中，只有一个是正确的）1.已知，，且，则（）A. 2B. 1C. 0D. -1【答案】D【解析】∵，∴∵∴∴故选D2.在中，角，，所对边分别是，，，若，，，则角（）A. B. C. D.【答案】C【解析】根据余弦定理，，选C.3.是顶角为的等腰三角形，且，则（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】利用已知条件求出向量的长度以及向量的夹角，然后求解向量的数量积即可．【详解】解：是顶角为的等腰三角形，且，则，则．故选：．【点睛】本题考查向量的数量积的应用及运算，是基本知识的考查．4.在数列中，，且，则（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】当时，可求出，当时，得，即可得数列为等比数列．【详解】解：当时，则，当时，由得故数列是以为首项等比数列故选【点睛】本题考查由数列的递推公式求数列的通项公式，属于基础题．5.记等差数列的前项和为，若，则该数列的公差（）A. 2B. 3C. 6D. 7【答案】B【解析】【详解】,6.等比数列中，，则等于( )A. 16B. ±4C. -4D. 4【答案】D【解析】分析：利用等比中项求解．详解：，因为为正，解得．点睛：等比数列的性质：若，则．7.已知平面向量满足，且，则向量的夹角为A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】由，结合可得，利用平面向量的数量积公式可得结果.【详解】，，所以，可得，即，，设两向量夹角为，则，，，即为，故选A.【点睛】本题主要考查向量的模、夹角及平面向量数量积公式，属于中档题.平面向量数量积公式有两种形式，一是，二是，主要应用以下几个方面:(1)求向量的夹角，（此时往往用坐标形式求解）；（2）求投影，在上的投影是；（3）向量垂直则;(4)求向量的模（平方后需求）.8.数列的前项和为，若，则（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】利用裂项相消法求数列的前项和为．【详解】解：故选【点睛】本题考查裂项相消法求数列的前项和为，属于基础题．9.中，角，，对边分别为，，，，，，则（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】利用正弦定理边化角求得，再利用余弦定理求边．【详解】，，，又，由余弦定理得故选【点睛】本题考查正弦定理和余弦定理在解三角形中的应用，属于基础题．10.若两个等差数列，的前项和分别为，且满足，则的值为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】把转化为，然后借助于已知得答案．【详解】解：等差数列、前项和分别为，，且，得．故选．【点睛】本题考查等差数列的性质，考查等差数列的前项和，考查数学转化思想方法，是中档题．11.在中，，，，在边的中线上，则的最小值为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】本题可设，然后将用向量作为基底向量表示出来，再根据向量的运算，即可将问题转化为二次函数求最值问题．【详解】解：由题意，画图如下：可设，，，．，．．由二次函数的性质，可知：当时，取得最小值．故选：．【点睛】本题主要考查基底向量的设立以及用基底向量表示所求向量，最后转化为二次函数求最值问题，本题属基础题．12.古希腊毕达哥拉斯学派的数学家研究过各种多边形数.如将一定数目的点在等距离的排列下可以形成一个等边三角形，这样的数被称为三角形数.如图所示，三角形数,，，……在这个自然数中三角形数的个数是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】求出这一列数的通项，即可求出在中三角形数的个数．【详解】解：由题意知，，……可归纳为则，故在中三角形数的个数为个．故选【点睛】本题考查数列的通项公式，及数列的项的计算，属于基础题．第Ⅱ卷（共90分）二、填空题：本大共4小题，每小题5分，满分20分.13.在ΔABC中，已知a=1，b=, A=30°，则B等于____________；【答案】或【解析】分析：根据正弦定理求解即可．详解：由正弦定理可知，解得，故解得或点睛：本题为易错题，根据大角对大边，正弦值在一、二象限均有取值，只要角大于角即可．14.如果数列的前项和，则此数列的通项公式__________．【答案】【解析】【分析】利用数列中与关系，得出，但，由此判定数列从第项起为等比数列，通项公式可求．【详解】解：当时，，得．当时，，得，当时，不成立，故数列为从第项起为等比数列．故答案为【点睛】本题考查利用数列中与关系求数列通项，考查等比数列判定，通项公式求解．需具有转化、变形、计算能力．15.某人为测出所住小区的面积，进行了一些测量工作，最后将所住小区近似地画成如图所示的四边形，测得的数据如图所示，则该图所示的小区的面积是______.【答案】【解析】【分析】连结，由余弦定理可求，在中由正弦定理可求，利用面积公式分别求出，，即可求出四边形的面积．【详解】解：如图，连结，由余弦定理可知，故，，，，在中由正弦定理得：，即，故.故答案为【点睛】本题考查正弦定理、余弦定理及三角形面积公式，属于基础题．16.已知等差数列中，，公差d>0，则使得前n项和取得最小值时的正整数n 的值是______．【答案】6或7【解析】【分析】将转化为的形式，得到，即，由此判断前或项的和最小.详解】]由且得，，且，即，即，即，故且最小.【点睛】本题主要考查利用基本元的思想，求等差数列的前项和取得最小值时的值.直接用等差数列的通项公式，将已知条件转化为的形式，由此得到为零，从而求得使等差数列的前项和取得最小值时的值.属于中档题.三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.记为等差数列的前项和，已知，．（1）求的通项公式；（2）求，并求的最小值．【答案】（1）an=2n–9，（2）Sn=n2–8n，最小值为–16．【解析】分析：（1）根据等差数列前n项和公式，求出公差，再代入等差数列通项公式得结果，（2）根据等差数列前n项和公式得的二次函数关系式，根据二次函数对称轴以及自变量为正整数求函数最值.详解：（1）设{an}的公差为d，由题意得3a1+3d=–15．由a1=–7得d=2．所以{an}的通项公式为an=2n–9．（2）由（1）得Sn=n2–8n=（n–4）2–16．所以当n=4时，Sn取得最小值，最小值为–16．点睛：数列是特殊的函数，研究数列最值问题，可利用函数性质，但要注意其定义域为正整数集这一限制条件.18.如图，在中，，是边上一点，，，，为锐角.(1)求角大小；(2)求的长.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）在三角形中，利用正弦定理表示出，求出，确定出的度数；（2）在中，设，由余弦定理可得，即可求出的长．【详解】（1）在中，，，由正弦定理可得，，即，，为锐角，，（2）在中，设，由正弦定理可得，，即，，即.【点睛】考查了正弦、余弦定理，以及特殊角的三角函数值，熟练掌握定理是解本题的关键．19.数列满足，，.(1)设，证明是等差数列；(2)求的通项公式.【答案】（1）证明见解析（2）【解析】【分析】（1）要证是等差数列，即证，即由已知可得．（2）由（1）可得，利用累加法，求出数列的通项公式．【详解】（1）由得，又，所以是首项为，公差为的等差数列；（2）由（1）得，，由得，，则，，，，，所以，又，所以的通项公式.【点睛】本题考查：①用定义法证明等差数列；②等差数列的通项公式；③累加法求数列的通项公式；形如“”的递推关系式，求通项时一般利用累加法，属于中档题．20.的内角，，的对边分别为，，，且.(1)求；(2)若，求【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）由正弦定理化简已知等式可得：，由余弦定理可得，结合范围，可求的值．（2）可设，，由余弦定理可得，再由余弦定理，得，利用同角三角函数基本关系式可求的值．【详解】（1）由及正弦定理可得：，即.由余弦定理可得，又，.（2），所以可设，，则由余弦定理可得，，再由余弦定理得，故，.【点睛】本题主要考查了正弦定理，余弦定理，三角函数恒等变换的应用，考查了计算能力和转化思想，属于中档题．21.已知是等差数列，是各项为正数的等比数列，且，，.⑴求数列和的通项公式；⑵若，求数列的前项和.【答案】(1) ，;(2) .【解析】【分析】设等差数列的公差为，等比数列的公比为，根据等差数列和等比数列的通项公式，结合已知条件，，.可列出关于的方程组，解方程组求出的值，最后求出数列和的通项公式；(2)用错位相消法，结合等比数列前项和公式，可以求出数列的前项和.【详解】(1)设等差数列的公差为，等比数列的公比为，因为，，所以有，所以，.(2)因为，.，所以，因此①，②，①—②得：，.【点睛】本题考查了等比数列和等差数列的通项公式，考查了用错位相消法求数列前项和.22.已知、、、为同一平面上的四个点，且满足，，设，的面积为，的面积为.（1）当时，求的值；（2）当时，求的值.【答案】（1）.（2）.【解析】试题分析：（I）在中，由余弦定理得，在中，由余弦定理得到，即可求解的值；（II）由，得到，从而，由此能求出．试题解析：（Ⅰ）在中，由余弦定理得所以在中，由余弦定理得所以所以.（Ⅱ）因为，所以所以解得考点：余弦定理；三角函数的恒等变换.【方法点晴】本题主要考查了三角形的面积的求法等问题，其中解答中涉及到三角形的面积，余弦定理，三角恒等变换等知识点综合考查，着重考查了学生分析问题和解答问题的能力，以及推理与运算能力，同时考查了转化与化归思想，解题是要认真审题，注意余弦定理的合理运用，试题有一定的难度，属于中档试题.。
浙江省杭州地区七校高一数学下学期期中联考试题
2014学年第二学期期中杭州地区七校联考高一年级数学学科 试题考生须知：1．本卷满分100分，考试时间90分钟；2．答题前，在答题卷密封区内填写班级、学号和姓名；座位号写在指定位置； 3．所有答案必须写在答题卷上，写在试卷上无效； 4．考试结束后，只需上交答题卷。
一、选择题（每小题3分，共30分）1．已知角α的终边经过点(4,3)-，则cos α= ( )A ． 45 Ｂ． 35 Ｃ．35- Ｄ．45-2．下列命题中正确的是 （ ） A ．第一象限角必是锐角 B ．终边相同的角相等C ．相等的角终边必相同D ．不相等的角其终边必不相同3．若31(,sin ),(cos ,)23a b αα==,且//a b ,则锐角α= ( ) A ．15︒ B ． 30︒ C ． 45︒ D ． 60︒4．函数cos 2y x =-，R x ∈是 （ ） A ．最小正周期为π的奇函数 B ．最小正周期为π的偶函数 C ．最小正周期为2π的奇函数 D ．最小正周期为2π的偶函数5．函数3sin(2)26y x π=-+的单调递减区间是 （ ）A ．Z k k k ∈⎥⎦⎤⎢⎣⎡++-,23,26ππππ B ． 52,2,36k k k Z ππππ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦C ．Z k k k ∈⎥⎦⎤⎢⎣⎡++-,3,6ππππD ．5,,36k k k Z ππππ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦6．在ABC ∆中，tan tan tan A B A B +，则C 等于 ( )A ． 3πB ． 23πC ． 6πD ．4π7．己知P1(2，－1) 、P2(0，5) 且点P 在P1P2的延长线上，12||2||PP PP =， 则P 点坐标为 ( )A ．(－2，11)B ．()3,34 C ．(32，3) D ．(2，－7)8．( ) A ．1cos -B ．cos 1 CD ．1cos 3-9．在△ABC 中，P 是B C 边中点，角AB C 、、的对边分别是c b a ,,，若0c A C a P A b P B ++=，则△ABC 的形状为 ( )A ．直角三角形B ．钝角三角形C ．等边三角形D ．等腰三角形但不是等边三角形.10．已知0ω>，函数()sin()4f x x πω=+在(,)2ππ上单调递减，则ω的取值范围是( )A ．13,24⎡⎤⎢⎥⎣⎦B ．15,24⎡⎤⎢⎥⎣⎦C ．1(0,]2D ．(0,2]二、填空题（每小题4分，共28分） 11．0sin 420= 。
2018浙江省高一(下)期中数学试题
2018浙江省高一（下）期中数学试题本试卷满分150分，考试时间120分钟一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题的四个选项中，只有一项是符合要求的，把答案填在答题卷的相应位置上.1．设集合⎭⎬⎫⎩⎨⎧=⎭⎬⎫⎩⎨⎧==3,23,22,21,4tan N x x M π，则=N M （ ）A ．MB ．⎭⎬⎫⎩⎨⎧22C ．D ．{}0 2．已知函数)sin()(ϕ+=x x f 为偶函数，则ϕ的取值可以为 （ ）A ．2π-B ．πC ．3π D ．03．设△ABC 的内角A , B , C 所对的边分别为a , b , c , 且B ac c a b cos 2222++=，则=∠B （ ）A ．6πB ．3πC ．2πD ．23π4．已知是边长为2的等边三角形,点D 为BC 边的中点，则=⋅BD AB （ ） A ．2-B ．1-C ．1D ．25．为了得到函数x x y 2cos 2sin +=的图像，可以将函数x y 2sin 2=的图像（ ）A ．向右平移4π个单位 B ．向左平移4π个单位 C ．向右平移8π个单位 D ．向左平移8π个单位6．已知，角,,所对应的边分别为，且，则是（ ）A ．直角三角形B ．等边三角形C ．钝角三角形D ．锐角三角形7．已知b a ,是单位向量，0=⋅b a ，若向量c1=+-a ，则-的取值范围是（ ） A ．[]12,12+- B ．[]12,1+C ．[]2,0D ．[]15,15+-8．已知函数)(x f 在R 上满足0)()(=+-x f x f ，且0>x 时,)sin 2sin (21)(αα+++=x x x f )232(sin 23παπα≤≤-+对任意的R x ∈，都有)()33(x f x f ≤-恒成立，则实数α的取值范围为（ ） A ．[]π,0 B ．⎥⎦⎤⎢⎣⎡-32,3ππ C ．⎥⎦⎤⎢⎣⎡-67,6ππ D ．⎥⎦⎤⎢⎣⎡-34,3ππ 二、填空题：本大题共7小题，多空题每题6分，单空题每题4分，共36分.把答案填在答题卷的相应位置上. 9．函数)10)(32(log )(≠>-=a a x x f a 且的定义域为 ，图像过的定点为 ．10．已知向量)cos ,(sin x x a =，)3,1(=b ，若b a // 且b a ,方向相同，则=a ；若函数b a x f ⋅=)(的图像关于直线)0(πϕϕ<<=x 对称，则=ϕ ． 11．若,10sin 3cos -=+αα则αtan = ,α2sin = ． 12．已知)2sin(3)2cos(3)(x x x f ++-=ππ，则)(x f 的最小正周期为 ，)(x f 的最大值为 ．∅ABC ∆ABC ∆A B C c b a ,,sin sin cos cos A B A B +=+ABC ∆13．已知函数⎩⎨⎧≥--<+=)0(1)0(1)(x x x x x f ，则不等式1)()1(≤++x f x x 的解集是 ．14．已知△ABC 中， 4,3,90===∠BC AC C,一直线分△ABC 为面积相等的两个部分，且夹在AB 、BC 之间的线段为MN ，则MN 长度的最小值为 ．15．已知2)2(log )(2222-+++=a x a x x f 有唯一零点，则实数a 的值为________． 三、解答题：本大题共5小题，共74分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 16．（本题满分14分）在中，角的对边分别为54cos ,4,,,=π=B A c b a ． （Ⅰ）求C cos 的值； （Ⅱ）若5,22==b a ，求的面积．17．（本题满分15分）在中,角C B A ,,所对的边分别是c b a ,,,设向量 )2,cos 2(b cC m -=,)1,2(a n =,且n m ⊥.（Ⅰ）求角A 的值； （Ⅱ）若2=a ,求的周长l 的取值范围.18．（本题满分15分）已知函数1)6cos(sin 4sin 4)(2-π++=x x x x f ． （Ⅰ）当π≤≤x 0时，求方程1)(=x f 的解；（Ⅱ）若函数)()3(21)12(21)(R x x f x f x g ∈+++=ππ，试判断函数)(x g 的奇偶性，并求)(x g 的的值域．19．（本题满分15分）对于函数)(x f ，若存在给定的实数对),(b a ，对定义域中的任意实数x ，都有b x a f x a f =-⋅+)()(成立，则称函数)(x f 为“Ψ函数”．（Ⅰ）函数xe xf =)(是“Ψ函数”，求出所有实数对()b a ,满足的关系式，并写出两个实数对；（Ⅱ）判断函数x x f sin )(=是否为“Ψ函数”，并说明理由．20．（本题满分15分）已知函数xx a xx x f -+⋅++-=1111)(（R ∈a ）.（Ⅰ）当1-=a 时,判断()f x 在区间)1,1(-上的单调性，并说明理由； （Ⅱ）若0>a 时，对于区间]21,21[-上任意取的三个实数m ,n ,p ，都存在以)(m f ,)(n f ,)(p f 为边长的三角形，试求实数a 的取值范围．高一数学参考答案一.选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分1 2 3 4 5 6 7 8 二.填空题：本大题共7小题，多空题每题6分，单空题每题4分，共36分. 9.),23(+∞ （或⎭⎬⎫⎩⎨⎧>23x x 或23>x ）；)0,2( 10.)23,21( ；6πϕ= 11.3 ；5312.π2 ；32 13.[)+∞-,3 14. 2 15. 1三.解答题：本大题共5小题，共74分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 16.（Ⅰ）53sin ,054cos =∴>=B B …………………………2分)4cos()]4(cos[cos B B C +-=+-=πππ …………………………4分10254225322)sin 4sincos 4(cos-=⋅-⋅=--=B B ππ……………7分 （Ⅱ）由（Ⅰ）知道1027sin =C …………………………10分 5,22==b a557102752221sin 21=⋅⋅⋅==∴∆C ab S ABC …………………………14分 17.（Ⅰ）0=⋅⇒⊥n m n m02cos 22=-+⋅b cC a …………………………2分 由正弦定理得：0sin sin 21cos sin =-+B C C AC A C A C A C A B sin cos cos sin )sin()](sin[sin +=+=+-=π代入上式………5分21cos sin 21sin cos =∴=A C C A 3π=∴A …………………………7分 （Ⅱ）由正弦定理：AaC c B b sin sin sin == 得：)3sin(34)](sin[34sin 34,sin 34ππ+=+-===B B AC c B b …11分)3sin(34sin 342π+++=++=∴B B c b a l)6sin(42)cos 21sin 23(42)cos 23sin 21(sin 342π++=++=+++=B B B B B B …………13分320π<<B 6566πππ<+<∴B 1)6sin(21≤+<∴πB (]6,4∈∴l ……………………………………………………15分 18.（Ⅰ）1)sin 21cos 23(sin 4sin 41)6cos(sin 4sin 4)(22--+=-++=x x x x x x x x f π……………………………………………………2分)62sin(22cos 2sin 31sin 2cos sin 32sin 422π-=-=--+=x x x x x x x21)62sin(1)62sin(2=-∴=-∴ππx x …………………………4分)(6526262Z k k k x ∈++=-∴πππππ或 …………………………6分π≤≤x 0 26ππ==∴x x 或 ……………………………………………8分（Ⅱ）x x x f x f x g 2cos 2sin )3(21)12(21)(+=+++=ππ )(2cos 2sin )(2cos )(2sin )(x g x x x x x g =+=-+-=-)(x g ∴为偶函数 …………………………………………………11分 x x x x x x g 4sin 12cos 2sin 212cos 2sin )(+=+=+=)(x g ∴的值域为[]2,1……………………………………………………………15分 19.（Ⅰ）函数xe xf =)(是一个“Ψ函数” 由b x a f x a f =-⋅+)()(得：b e e x a xa =-+b ea=∴2 （或b a ln 21=）…………………………………………………4分如：),1(),1,0(2e 等………………………………………………………6分 （Ⅱ）x xf sin )(=不是“Ψ函数” …………………………………………………7分 若函数x x f sin )(=是 “Ψ函数”则b x a x a =-+)sin()sin( 恒成立………………………………………………8分 由b x a x a x a x a =-+)sin cos cos )(sin sin cos cos (sin 恒成立得b x a x a =-2222sin cos cos sin ………………………10分 b x a x a =--)cos 1(cos cos sin 2222b a x =-22cos cos 即b a x +=22cos cos ∵R ∈x 则]1,0[cos 2∈x而b a +2cos 为常数，这不可能∴函数x x f sin )(=不是 “Ψ函数” …………………………………………15分 另法：（其它方法酌情给分）即)sin (cos sin cos cos sin 222222x x b x a x a +=- 0sin )(cos cos )(sin 2222=+--∴x b a x b a 恒成立⎪⎩⎪⎨⎧-==∴ba b a 22cos sin若0=b ，则0cos sin ==a a ，不可能 若0≠b ，则1tan 2-=a ，不可能 ∴函数x x f sin )(=不是 “Ψ函数”20.（Ⅰ）1-=a 时，xx xx x f -+-+-=1111)(为偶函数……………………………1分只讨论10<≤x 时的单调情况 令xx t +-=11 )10(≤<t ， 11211-+=+-=x x x t 在[)1,0∈x 上单调递减 tt y 1-=在(]1,0∈t 上单调递增∴函数)(x f 在[)1,0上单调递减……………………………………………3分∵函数)(x f 为偶函数 ∴)(x f 在(]0,1-上单调递增……………4分（Ⅱ）令xx t +-=11，由2121≤≤-x 得⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈-+=1,31112x t )131(≤≤+=∴t t a t y 由题意得：在区间]1,31[上，恒有max min 2y y >. …………………………6分①当910≤<a 时，t at y +=在]1,31[上单调递增，313,1min max +=+=a y a y 由max min 2y y >,得151>a ，从而91151≤<a . …………………………………………………………………8分②当3191≤<a 时，t at y +=在],31[a 上单调递减，在]1,[a 上单调递增，1}1,313max{,2max min +=++==∴a a a y a y ，由max min 2y y >得347347+<<-a ，从而3191≤<a ；………………10分③当131<<a 时，t at y +=在],31[a 上单调递减，在]1,[a 上单调递增，313}1,313max{,2max min +=++==∴a a a y a y ，由max min 2y y >得93479347+<<-a ，从而131<<a ； …………………12分 ④当1≥a 时，t a t y +=在]1,31[上单调递减， 313,1max min +=+=a y a y由max min 2y y >得35<a ，从而351<≤a ；……………………………………………14分综上，35151<<a . …………………………………………………………………15分。
2018-2019学年浙江省杭州地区七校高一下学期期中联考数学试题(答案+解析)
浙江省杭州地区七校2018-2019学年高一下学期期中联考数学试题一、选择题1.的值为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】由题意可得：.故选：B.2.下列结论正确的是（）A. B.C. ，D.【答案】A【解析】逐一考查所给的说法：若，则，选项A说法正确；若，则由不一定能得到，选项B说法错误；若，则由，不一定能得到，选项C说法错误；两个向量无法比较大小，故结论错误，选项D说法错误；故选：A.3.已知向量，且，则实数的值为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】由向量平行的充分必要条件可得：，解得.故选：B.4.已知函数，为了得到函数的图象，只要将的图象（）A. 向左平移个单位长度B. 向右平移个单位长度C. 向左平移个单位长度D. 向右平移个单位长度【答案】D【解析】注意到，故得到函数的图象，只要将的图象向右平移个单位长度. 故选：D.5.已知为等差数列，，，则的值为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】由等差数列的性质有：.故选：C.6.函数（）是（）A. 最小正周期是B. 区间上的增函数C. 图象关于点对称D. 偶函数【答案】D【解析】函数的解析式：，绘制函数图像如图所示：结合函数图像可知函数的最小正周期为，选项A说法错误；在区间上是减函数，选项B说法错误；函数不存在对称点，选项C说法错误；，选项D说法正确.故选：D.7.数列满足，，则等于（）A. B. C. D.【答案】C【解析】由题意可得：，，故数列是周期为的周期数列，则.故选：C.8.在中，角、、的对边分别为，，，若，则的值为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】由题意利用正弦定理边化角可得：，.故选：D.9.在中，角、、的对边分别为，，，若，，成等差数列，，的面积为，那么的值为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】由题意可得：，求解方程组可得：.故选：A.10.在中，已知是延长线上一点，若，点为线段的中点，，则的值为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】由题意可得：，注意到，故，故选C.二、填空题11.已知向量，，_______，______.【答案】【解析】由题意可得：.12.函数（，，是常数，，）的部分图象如图，则_______，_______.【答案】【解析】由图象知A，，即T＝π，则Tπ，得ω＝2.故答案为：，2．13.在中，角、、所对的边分别为，，，若，且，则_______，外接圆半径是______【答案】【解析】，由正弦定理可得：.14.已知列中，中，中，则_____，____.【答案】【解析】由题意可得：，则：.则.15.在中，角、、所对的边分别为，，，，，若三角形有两解，则的取值范围是_______.【答案】【解析】由题意结合正弦定理可知，满足题意时有：，即，据此可得的取值范围是.16.已知，为锐角，，，则________.【答案】【解析】∵α、β为锐角，cosα，∴sinα，sin（α+β）sinα，∴α+β为钝角，∴cos（α+β），∴sinβ＝sin[（α+β）﹣α]＝sin（α+β）cosα-cos（α+β）sinα••．故答案为.17.若两个非零向量，满足，则向量与的夹角余弦值为_______.【答案】【解析】不妨设，则，，由平行四边形的性质有：，即：.据此可得：，在如图所示的等边三角形中，三向量的关系如图所示，则向量与的夹角为，向量与的夹角余弦值为.三、解答题18.数列满足，.（1）写出，，；（2）由（1）写出数列的一个通项公式；（3）判断实数是否为数列中的一项，并说明理由.解：(1)由递推关系可得：，，.(2)结合(1)的结果可猜测数列的一个通项公式为：.很明显时，满足，且，，故满足.即猜测的通项公式满足题意.(3)由可得：，即实数是否为数列中的第项.19.已知，，且与夹角为，求：（1）；（2）.解：（1）由题意可知：，则.（2）.20.已知数列中，，，为等差数列的前项和.（1）求数列的通项公式及的最大值；（2）求.解：（1）因为，，故：，解得，，则，数列的前n项和公式为：，注意到数列单调递减，且，所以. （2）因为所以，由于，，即.21.在中，角、、的对边分别是，，满足. （1）求角的值；（2）若且，求的取值范围.解：（1），化简得，所以.（2）由正弦定理得，则，，所以，因为，所以，，所以.。
2018—2019学年高一第二学期期中试卷数学
11. 在 ABC 中， B 45 , C 60 , c 6 ，则 b =
12. 已知 | a| ＝ 1， | b| ＝ 2 3 ， a 与 b 的夹角为 150 ，则 |2 a b|= 13.函数 y 3 sin x cos2 x 的最小值是 _______，最大值是 ________.
14.向量 a＝(1,2)，b＝(x，1) 当 （ a＋ 2b） （2a— b） 时，则 x 的值为
数 2018— 2019 学年高一第二学期期中试卷
学
（满分 120 分，考试时间 100 分钟。） 本试卷共 3 页。考生务必将答案答在答题卷上，在试卷上作答无效
第Ⅰ卷（选择题，共 50 分）
一、选择题： ( 本大题共 10 小题，每小题 5 分，共 50 分 . 在每小题给出的四个选项中，只
有一项是符ห้องสมุดไป่ตู้题目要求的 )
（）
A.
(,
)
5 (, )
42
4
B． ( , ) 4
5 C． ( , )
44
D． (0,
)
5 ( ,2 )
4
4
9. 已知 ， 都是锐角， cos
3 ,cos(
5
5
)
，则 cos 值为 （ ）
13
33
A．
65
63
B．
65
33
C．
65
16
D．
65
10. 定义平面向量之间的一种运算“⊙”如下：对任意的
a (m, n) ，b ( p, q)
1．如果角 的终边经过点 (
31 , ) ，那么 tan 的值是
22
（）
A. 3 3
3
浙江省重点中学2018—2019下学期高一数学期中考试试卷参考答案
2018-2019学年浙江省学军中学高一下学期期中考试数学试题
⎛⎛⎛⎪⎪ ⎪ 杭州学军中学 2018 学年第二学期期中考试高一数学试卷命题人：尉贵生审题人：李丽丽一、选择题（本大题共 10 小题，每小题 4 分 ，共 40 分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．在平面直角坐标系中，角α以 x 轴非负半轴为始边，终边在射线 y = 2 x (x ≥ 0)上，则 tan α的值是 （ ▲ ）1 A ．2 B ． - 2C ． 2D ． - 122．已知等比数列{a n } 的各项均为正，5a 3 , a 2 ,3a 4 成等差数列，则数列{a n } 的公比是（ ▲ ）1 1 A ． B ． 2C ． 2 3D ． - 2 A ．g (x ) = sin 4 x + π⎫ ⎝ 6 ⎭ C ． g (x ) = sin 2 x + π⎫ ⎝ 6 ⎭B ．g (x ) = sin 4 x - π⎫ ⎝ 3 ⎭ D ．g (x ) = sin 2x 4．已知数列{a n } 满足 a 1 = 1, a n +1 - a n ≥ 2(n ∈ N *) ，则 （ ▲ ）A ． a n ≥ 2n -1B ．a n ≥ 2n + 1 C ． S n ≥ 2n -1 D ． S n ≥ n 25．已知 cos α+ cos β = 1 , sin α+ sin β = 1，则 cos (α- β) = （ ▲ ）2 359 59 A ． - B ． 72 72 C ． 13 D ．- 1336 366．已知 ∆ABC 中，角 A ，B ，C 的对边分别为a ,b ,c ，若满足 b = 2, B = 60︒ 的三角形有 两解，则边长 a 的取值范围是 （ ▲ ）A ． 2 < a < 2 3B ． 2 < a < 4 3 3C ． 3 < a < 221 D ． < a <2 2s 2 n9．在∆ABC内有任意三点不共线的2016 个点，加上A，B，C 三个顶点，共2019 个点，把这2019 个点连线形成互不重叠的小三角形，则一共可以形成小三角形的个数为（▲）A．4033 B．4031 C．4029 D．402710．已知O 为锐角∆ABC的外接圆的圆心，tan A = 2 ，若cos BAB+cos CAC =2m AO，sin C sin B则m 的值为（▲）A．5B．2 55 5C．3D．2 33 3二、填空题（本大题共7 小题，多空题每题6 分，单空题每题4 分，共36 分）11．在∆ABC中，角A，B，C 的对边分别为a,b,c ，若a =4,c = 2 ，B =60︒，则b =▲，C =▲．12．记S n 为等差数列{a n}的前n 项和，公差为d ，若a4 +a5 = 24 ，S6 = 48 ．则d =▲，S n =▲．13．已知0 <α<π<β<π，tanα=4，cos(β-α) =．2 3 10则sinα= ▲，cosβ=▲．14．已知数列{a n } ，{b n } 满足a1 = 1，且a n ，a n +1 是函数f (x) =x-b n x + 2的两个零点，则a5 =▲，b10 =▲．15．在各项均为正数的等比数列{a n } 中，若log2 (a2 a3a5a7 a8 )= 5 ，则a1a9 =▲ . 16．若一个三角形的三边为连续自然数，且最大角是最小角的两倍，则此三角形的面积为▲．17．在∆ABC中，角A，B，C 的对边分别为a,b,c ，设∆ABC的面积为S ，S若3a2 = 2b2 +c2 ，则b2 +2c2的最大值为▲．三、解答题（本大题共5 小题，共74 分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）18．（本小题满分14 分）已知函数f (x)= （I）求f (x)的最小正周期；3 co⎛2x -⎝π⎫⎪- 2 s in x cos x ．3 ⎭（II）求f (x)在[0,π]上单调递增区间．19. （本小题满分15 分）在∆ABC中，角A，B，C 的对边分别为a,b,c ，已知a = 3 ，且b2 +c2 =3+bc ．（I）求角A 的大小；（II）求b⋅s in C 的最大值．n 20．（本小题满分 15 分）已知 S n 为等差数列{a n } 的前 n 项和， a 4 = 2, S 21 = -252 . （I ）求a n ； （II ）设T n = a 1 + a 2 + + a n ，求T n .π21. （本小题满分 15 分）如图，在 ∆ABC 中，B =，BC = 2 ，点 D 在边 AB 上，AD = DC ， 3DE ⊥ AC ， E 为垂足．（I ）若 ∆BCD 的面积为3 ，求 CD 的长；3（II ）若 DE = 6 ，求角 A 的大小．2第 21 题22. （本小题满分 15 分）已知数列{a n } 的前n 项和为 S n ， a 1 = 4 且λa n = S n + 4 ．其中λ为 常数．（I ）求λ的值及数列{a n } 的通项公式；（II ）记 b n = 1 log 2 a n ⋅ 1 log2 a n +1n -1，数列{b n } 的前n 项和为T n ，若不等式 (- 1)n -1 (2n - 5)T - k ⋅ n ⋅ 2n + 2 ≤ 0 对任意n ∈ N * 恒成立，求实数 k 的取值范围．。
高一第二学期期中考试数学试卷含答案(word版)
2018-2019学年第二学期高一期中考试数学科试题本试卷共4页,22小题,满分150分.考试时间120分钟. 注意事项:1．答卷前,考生要务必填写答题卷上的有关项目．2．选择题每小题选出答案后,用铅笔把答案代号填在答题卷对应的空格内．3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答,答案必须写在答题卷各题目指定区域内；如需改动,先划掉原来的答案,然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液.不按以上要求作答的答案无效.4．请考生保持答题卷的整洁.考试结束后,将答题卷和答题卡交回.一、选择题：本大题共12小题。
每小题5分，满分60分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1、若集合{}21A x x =-<<,{1B x x =<-或}3x >,则A B =I ( )A 、{}21x x -<<-B 、{}23x x -<<C 、{}11x x -<<D 、{}13x x <<2、下列与角7312π终边相同的角是（ ） A 、312π B 、512π C 、12π D 、12π-3、已知函数()222,02,0x x x f x x x x ⎧--≥⎪=⎨-<⎪⎩，则()()1f f = ( )A 、－15B 、15C 、－3D 、34、已知平面,αβ，直线m ，且αβ⊥，AB αβ=I ，m αP ，m AB ⊥， 则下列说法正确的是（ ）A 、m βPB 、m β⊥C 、m β⊂D 、直线m 与平面β的关系不确定 5、直线ax －4y ＋8＝0,4x ＋3y ＝10和2x －y ＝10相交于一点，则a 的值为( ) A 、4 B 、－1 C 、－4 D 、16、已知函数()22x x f x -=-，若()f a =，则()f a -=（ ）A B 、 C D 、7、已知函数()()1x f x a a =>，且()()2741f m f m ->-，则实数m 的取值范围是（ ） A 、[)3,-+∞ B 、(),3-∞- C 、(],3-∞- D 、()3,-+∞ 8、某几何体的三视图如图所示(单位:cm ),则该几何体的体积(单位:3cm )是( ) A .12π+ B . 32π+ C . 312π+ D . 332π+ 9、过点P (2,3)的直线l 分别与两坐标轴交于A 、B 两点， 若P 为AB 的中点，则直线l 的方程为（ ）A 、32120x y -+=B 、32120x y --=C 、32120x y ++=D 、32120x y +-= 10、圆22:(2)25C x y +-=一点P 到直线3100l x y ++=的距离的最小值为（ ） A 、5 B 、11 C 、6 D 、111、已知圆C 过点(0,1)，且圆心在y 轴的正半轴上，直线310l y ++=与 圆相切，则圆C 的标准方程为（ ）A 、()2212x y ++= B 、()2232x y +-= C 、()2234x y +-= D 、()2214x y ++=12、已知函数()(21x x f x ln x x e e -=++-，则满足()()210f a f a -+<的实数a 的取值范围是（ ）A 、1,3⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭B 、()1,+∞C 、(),1-∞D 、1,3⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，满分20分． 13、计算：13642lg 2lg 25-++= ； 14、函数()()1f x ln x =+的定义域为 ；15、若直线430x y a -+=与圆221x y +=相交，则a 的取值范围为___________；16、已知直线:330l mx y m ++-=与圆2212x y +=交于,A B 两点，过,A B 分别做l 的垂线与x 轴交于,C D 两点，若23AB =CD = .三、解答题：本大题共6个小题，满分70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 17．（本小题满分10分）已知直线l 的方程为2x +（1+m ）y +2m=0，m ∈R ，点P 的坐标为（-3，1）． （Ⅰ）求证：直线l 恒过一定点，并求出定点坐标； （Ⅱ）求点P 到直线l 的距离的最大值．18．（本小题满分12分）如图，在四面体ABCD 中，CB ＝CD ，AD ⊥BD ，且E 、F 分别是AB 、BD 的中点． 求证：（Ⅰ）EF ∥面ACD ；（Ⅱ）面EFC ⊥面BCD ．19．（本小题满分12分）在平面直角坐标系中，点()()1,0,1,0A B -，平面上一点M 满足2MA MB =. （Ⅰ）求点M 的轨迹方程； （Ⅱ）过点A 且倾斜角为6π的直线l 与点M 的轨迹交于,P Q ，求线段PQ 的长度.20．（本小题满分12分）提高过江大桥的车辆通行能力可改善整个城市的交通状况.在一般情况下，大桥上的车流速度v （单位：千米/小时）是车流密度x （单位：辆/千米）的函数.当桥上的的车流密度达到200辆/千米时，造成堵塞，此时车流速度为0；当车流密度不超过20辆/千米时，车流速度为60千米/小时，研究表明；当20020≤≤x 时，车流速度v 是车流密度x 的一次函数． （Ⅰ）当2000≤≤x 时，求函数)(x v 的表达式;（Ⅱ）当车流密度x 为多大时，车流量（单位时间内通过桥上某观测点的车辆数，单位：辆/每小时）)()(x v x x f ⋅=可以达到最大，并求出最大值（精确到1辆/小时）.21．（本小题满分12分）如图,四边形ABCD 为正方形,,E F 是平面ABCD 同一侧的两点,BE ⊥平面ABCD ,DF ⊥平面ABCD ,2BE AB DF ==.（Ⅰ）求二面角B AC E --的余弦值； （Ⅱ） 证明:平面AEC ⊥平面AFC .22．（本小题满分12分）已知函数)()14(log )(2R k kx x f x ∈++=是偶函数，)342(log )(2a a x g x -⋅=（其中0>a ）.（I ）求函数)(x g 的定义域； （II ）求k 的值；（III ）若函数)(x f 与)(x g 的图象有且只有一个交点，求a 的取值范围.CDFEBA2018—2019学年第二学期高一调研考试数学参考答案及评分标准一、选择题：本大题共12小题，每小题5分。
浙江省杭州地区七校高一数学下学期期中联考试卷
(Ⅱ)解：因为 ，所以 ，则 ，又 ， ,从而 ……2分
(1)当 时， ；…………2分
(2)当 时； ；……………2分
21.(本题满分12分)
（Ⅰ）解：设向量 与向量 的夹角为 ，则
令 = ，得 ，又 ，则 为所求……………2分
(Ⅱ)若f(θ)＝ ，其中 ，求cos(θ＋ )的值；
20．(本题满分1数 （ ）,求函数 的最大值的表达式 ；
21．(本题满分12分)在 中，满足 , 是 边上的一点.
（Ⅰ）若 ,求向量 与向量 夹角的正弦值；
（Ⅱ）若 ， =m (m为正常数) 且 是 边上的三等分点.，求 值；
(Ⅱ)解：因为 ， =m所以 ，
（1）当 时，则 = ；--2分
（2）当 时，则 = ；---2分
（Ⅲ）解：设 ,因为 ， ；
所以 即 于是 得
从而 ---2分
= =
= …………………………………2分
令 ， 则 ，则函数 ，在 递减，在 上递增，所以 从而当 时， ………………2分
（Ⅲ）若 且 求 的最小值。
第二学期期中杭州七校联考
高一年级数学学科参考答案
一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分，在每小题给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的.
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
答案
C
A
A
C
B
A
B
C
D
D
二．填空题：本大题共6小题，每小题4分，共24分.
11． 12．__ ____13．