初一数学竞赛：图形与面积
初中数学培优专题学习专题25 图形面积的计算
专题25 图形面积的计算阅读与思考计算图形的面积是平面几何中常见的基本问题之一，它包括两种主要类型： 1.常见图形面积的计算由于一些常见图形有计算面积的公式，所以，常见图形面积一般用公式来解. 2.非常规图形面积的计算非常规图形面积的计算通常转化为常见图形面积的计算，解题的关键是将非常规图形面积用常规图形面积的和或差来表示.计算图形的面积还常常用到以下知识：（1）等底等高的两个三角形面积相等.（2）等底的两个三角形面积的比等于对应高的比. （3）等高的两个三角形面积的比等于对应底的比. （4）等腰三角形底边上的高平分这个三角形的面积. （5）三角形一边上的中线平分这个三角形的面积. （6）平行四边形的对角线平分它的面积. 熟悉如下基本图形：S 3S 4S 3S 4S 1S 2S 1S 2S 1S 2S 1S 2S 1S 2S 2S 1l 2l 1例题与求解【例1】 如图，在直角△ABC 的两直角边AC ，BC 上分别作正方形ACDE 和CBFG .AF 交BC 于W ，连接GW ，若AC =14，BC =28，则S △AGW =______________．(2013年“希望杯”全国数学邀请赛试题)解题思路：△AGW 的面积可以看做△AGF 和△GWF 的面积之差.WFGEDCBA【例2】 如图，已知△ABC 中的面积为24，点D 在线段AC 上，点F 在线段BC 的延长线上，且BC =4CF .四边形BDCE 是平行四边形，则图中阴影部分的面积为( )A ．3B ．4C ．5D ．6（2013年全国初中数学竞赛广东试题）解题思路：设△ABC 底边BC 上的高为h .本例关键是通过适当变形找出h 和DE 之间的关系．FC BDEA【例3】 如图，平行四边形ABCD 的面积为30cm 2，E 为AD 边延长线上的一点，EB 与DC 交于F 点，已知三角形FBC 的面积比三角形DEF 的面积大9cm 2，AD =5cm ，求DE 长.（北京市“迎春杯”竞赛试题）解题思路：由面积求相关线段，是一个逆向思维的过程，解题的关键是把条件中图形面积用DE 及其它线段表示．BACFDE【例4】 如图，四边形ABCD 被AC 与DB 分成甲、乙、丙、丁4个三角形，已知BE =80 cm ，CE =60 cm ，DE =40 cm ，AE =30 cm ，问：丙、丁两个三角形面积之和是甲、乙两个三角形面积之和的多少倍？（“华罗庚杯”竞赛决赛试题）解题思路：甲、乙、丙、丁四个三角形面积可通过线段的比而建立联系，找出这种联系是解本例的突破口.丁乙丙甲E BCDA【例5】 如图，△ABC 的面积为1，D ，E 为BC 的三等分点，F ，G 为CA 的三等分点，求四边形PECF 的面积.解题思路：连CP ，设S △PFC =x ，S △PEC =y ，建立x ，y 的二元一次方程组.QP F GEDCBA【例6】如图，E ，F 分别是四边形ABCD 的边AB ，BC 的中点， DE 与AF 交于点P ，点Q 在线段DE 上，且AQ ∥PC .求梯形APCQ 的面积与平行四边形ABCD 的面积的比值．（2013年”希望杯“数学邀请赛试题）解题思路：连接EF ，DF ，AC ，PB ，设S □ABCD =a ，求得△APQ 和△CPQ 的面积.FEPQDCBA能力训练A 级1.如图，边长为1的正方形ABCD 的对角线相交于点O .过点O 的直线分别交AD ，BC 于E ，F ，则阴影部分面积是______.FOEDCB A（海南省竞赛试题）2.如图，在长方形ABCD 中，E 是AD 的中点，F 是CE 的中点，若△BDF 的面积为6平方厘米，则长方形ABCD 的面积是_____________平方厘米.EFDCBA（“希望杯”邀请赛试题）3.如图，ABCD 是边长为a 的正方形，以AB ，BC ，CD ，DA 分别为直径画半圆，则这四个半圆弧所围成的阴影部分的面积是____________.DCBA（安徽省中考试题）4.如图，已知AB ，CD 分别为梯形ABCD 的上底、下底，阴影部分总面积为5平方厘米，△AOB 的面积是0.625平方厘米，则梯形ABCD 的面积是_________平方厘米.DOCBA（“祖冲之杯”邀请赛试题）5.如图，长方形ABCD 中，E 是AB 的中点，F 是BC 上的一点，且CF =BC 31，则长方形ABCD的面积是阴影部分面积的( )倍.A .2B . 3C . 4D .5DF CBEA6.如图，是一个长为a ，宽为b 的长方形，两个阴影图形都是一对长为c 的底边在长方形对边上的平行四边形，则长方形中未涂阴影部分的面积为( ).A .c b a ab )(+-B . c b a ab )(--C .))((c b c a --D .))((c b c a +-cccc7．如图，线段AB =CD =10cm ，BC 和DA 是弧长与半径都相等的圆弧，曲边三角形BCD 的面积是以D 为圆心、DC 为半径的圆面积的41，则阴影部分的面积是( )． A ．25π B . 100 C .50π D .200CBD A（“五羊杯”竞赛试题）8．如图，一个大长方形被两条线段AB 、CD 中分成四个小长方形，如果其中图形Ⅰ，Ⅱ，Ⅲ的面积分别为8，6，5，那么阴影部分的面积为( )． A .29 B .27 C .310 D ．815 ⅢⅡⅠCBDA9．如图，长方形ABCD 中，E ，F 分别为AD ，BC 边上的任一点，△ABG ，△DCH 的面积分别为15和20，求阴影部分的面积.HGEDCF B A（五城市联赛试题）10.如图，正方形ABCD ，正方形BEFG 和正方形RKPF 的位置如图所示，点G 在线段DK 上，已知正方形BEFG 的边长为4，求△DEK 的面积．RKP GF EC B AD（广西壮族自治区省南宁市中考试题）B 级1.如果图中4个圆的半径都为a ，那么阴影部分的面积为_____________.（江苏省竞赛试题）2.如图，在长方形ABCD 中，E 是BC 上的一点，F 是CD 上的一点，若三角形ABE 的面积是长方形ABCD 面积的31，三角形ADF 的面积是长方形ABCD 面积的52，三角形CEF 的面积为4cm 2，那么长方形ABCD 的面积是_________cm 2.DCFE BA（北京市“迎春杯”邀请赛试题）3.如图，边长为3厘米与5厘米的两个正方形并排放在一起，在大正方形中画一段以它的一个顶点为圆心，边长为半径的圆弧，则阴影部分的面积为___________________.（“希望杯”邀请赛试题）4.如图，若正方形APHM ，BNHP ，CQHN 的面积分别为7，4，6，则阴影部分的面积是_____.CMNDQPB A(“五羊杯”竞赛试题）5.如图，把等边三角形每边三等分，使其向外长出一个边长为原来的31的小等边三角形，称为一次“生长”，在得到的多边上类似“生长”，一共“生长”三次后，得到的多边形的边数=________，面积是原三角形面积的______倍.第2次生长第1次生长原图(“五羊杯”竞赛试题）6.如图，在长方形ABCD 中，AE =BG =BF =21AD =31AB =2，E ，H ，G 在同一条直线上，则阴影部分的面积等于( ).A .8B .12C .16D ．20F BGCHDE A7.如图，边长分别为8cm 和6cm 的两个正方形，ABCD 与BEFG 并排放在一起，连接EG 并延长交AC 于K ，则△AKE 的面积是( ).A .48cm 2B .49cm 2C .50cm 2D ．51cm 2KGFEC B A D（2013年“希望杯”邀请赛试题）8.在一个由8×8个方格组成的边长为8的正方形棋盘内放一个半径为4的圆，若把圆经过的所有小方格的圆内部分的面积之和记为S 1，把圆周经过的所有小方格的圆外部分的面积之和记为S 2，则21S S 的整数部分是( ).A .0B .1C .2D ．3（全国初中数学联赛试题）9.如图，△ABC 中，点D ，E ，F 分别在三边上，E 是AC 的中点，AD ，BE ，CF 交于一点G ，BD =2DC ，S △GEC =3，S △GDC =4，则△ABC 的面积是( ).A .25B .30C .35D ．40GFE CBDA10.已知O （0，0），A （2，2），B （1，a ），求a 为何值时，S △ABO =5？11.如图，已知正方形ABCD 的面积为1，M 为AB 的中点，求图中阴影部分的面积.GCBMAD（湖北省武汉市竞赛试题）12.如图，△ABC 中，21===FA FB EC EA DB DC .求的面积△的面积△ABC GHI 的值. G IHEDCBFA（“华罗庚金杯”邀请赛试题）。
初1数学竞赛教程含例题练习及答案⑹ (4)
初一数学竞赛讲座第6讲 图形与面积一、直线图形的面积在小学数学中我们学习了几种简单图形的面积计算方法, 数学竞赛中的面积问题不但具有直观性, 而且变换精巧, 妙趣横生, 对开发智力、发展能力非常有益。
图形的面积是图形所占平面部分的大小的度量。
它有如下两条性质：1．两个可以完全重合的图形的面积相等；2．图形被分成若干部分时, 各部分面积之和等于图形的面积。
对图形面积的计算, 一些主要的面积公式应当熟记。
如：正方形面积=边长×边长；矩形面积=长×宽；平行四边形面积=底×高； 三角形面积=底×高÷2；梯形面积=（上底+下底）×高÷2。
此外, 以下事实也非常有用, 它对提高解题速度非常有益。
1．等腰三角形底边上的高线平分三角形面积；2．三角形一边上的中线平分这个三角形的面积；3．平行四边形的对角线平分它的面积；4．等底等高的两个三角形面积相等。
解决图形面积的主要方法有：1．观察图形, 分析图形, 找出图形中所包含的基本图形；2．对某些图形, 在保持其面积不变的条件下改变其形状或位置（叫做等积变形）；3．作出适当的辅助线, 铺路搭桥, 沟通联系；4．把图形进行割补（叫做割补法）。
例1 你会用几种不同的方法把一个三角形的面积平均分成4等份吗？解：最容易想到的是将△ABC 的底边4等分,如左下图构成4个小三角形, 面积都为原来的三 角形面积的41。
另外, 先将三角形△ABC 的面积2等分（如右上图）, 即取BC 的中点D, 连接AD,则S △ABD =S △ADC , 然后再将这两个小三角形分别2等分, 分得的4个小三角形各 自的面积为原来大三角形面积的41。
还 有许多方法, 如下面的三种。
请你再想出几种不同的方法。
例2 右图中每个小方格面积都是1cm 2, 那么六边形ABCDEF 的面积是多少平方厘米？分析：解决这类问题常用割补法, 把图形分成几个简单的容易求出面积的图形, 分别求出面积。
初中数学几何与面积法综合应用含答案竞赛题精选
F G E 图 2ACBD面积法1、常见规那么图形的面积公式；2、等积定理；3、面积比定理。
A 卷1、如图1，凸四边形ABCD 的四边AB 、BC 、CD 、DA 的长分别是3、4、12、13，︒=∠90ABC ，那么四边形ABCD 的面积为 .2、如图2，ABC ∆中，D 、E 、F 、G 均为BC 边上的点，且CG BD =，BD GF DE 21==， DE EF 3=，假设1=∆ABC S ，那么图中所有三角形的面积之和为 .图 1ACBD3、如图3，□ABCD 的面积是m ，点E 、F 分别平分AB 、BC ，那么_______=∆DEF S .4、如图4，边长为a 的正方形ABCD ，E 为AD 的中点，P 为CE 的中点，那么BPD ∆的面积的值是 .F E图 3ACBDECFA BDGFPE图 4AC BDO图 5AC BD5、如图5，四边形ABCD 的对角线AC 和BD 相交于O 点，如果5=∆ABD S ，6=∆ABC S ，10=∆BCD S ，那么_________=∆OBC S .6、〔第5届“希望杯〞邀请赛题〕在ABC ∆的三边AB 、BC 、CA 上，分别取AD 、BE 、CF ，使AB AD 41=，BC BE 41=，AC CF 41=，那么DEF ∆的面积是ABC ∆的面积的〔 〕 A 、41 B 、83 C 、85 D 、167FEC ABDS 2图 6 ACBS 1S 4S 37、〔2004年第15届“希望杯〞初二年级竞赛题〕如图6，在直角扇形ABC 内，分别以AB 和AC 为直径作半圆，两条半圆弧相交于点D ，整个图形被分成S 1，S 2，S 3，S 4四局部，那么S 2和S 4的大小关系是〔 〕A 、42S SB 、42S S =C 、42S SD 、无法确定8、在矩形ABCD 中，2=AB ，1=BC ，那么矩形的内接三角形的面积总比数的〔 〕小或相等。
数学初中竞赛大题训练：几何专题(包含答案)
数学初中竞赛大题训练：几何专题1．阅读理解：如果同一平面内的四个点在同一个圆上，则称这四个点共圆，一般简称为“四点共圆”．证明“四点共圆”判定定理有：1、若线段同侧两点到线段两端点连线夹角相等，那么这两点和线段两端点四点共圆；2、若平面上四点连成的四边形对角互补，那么这四点共圆．例：如图1，若∠ADB＝∠ACB，则A，B，C，D四点共圆；或若∠ADC+∠ABC＝180°，则A，B，C，D四点共圆．（1）如图1，已知∠ADB＝∠ACB＝60°，∠BAD＝65°，则∠ACD＝55°；（2）如图2，若D为等腰Rt△ABC的边BC上一点，且DE⊥AD，BE⊥AB，AD＝2，求AE 的长；（3）如图3，正方形ABCD的边长为4，等边△EFG内接于此正方形，且E，F，G分别在边AB，AD，BC上，若AE＝3，求EF的长．解：（1）∵∠ADB＝∠ACB＝60°，∴A，B，C，D四点共圆，∴∠ACD＝∠ABD＝180°﹣∠ADB﹣∠BAD＝180°﹣60°﹣65°＝55°，故答案为：55°；（2）在线段CA取一点F，使得CF＝CD，如图2所示：∵∠C＝90°，CF＝CD，AC＝CB，∴AF＝DB，∠CFD＝∠CDF＝45°，∴∠AFD＝135°，∵BE⊥AB，∠ABC＝45°，∴∠ABE＝90°，∠DBE＝135°，∴∠AFD＝∠DBE，∵AD⊥DE，∴∠ADE＝90°，∵∠FAD+∠ADC＝90°，∠ADC+∠BDE＝90°，∴∠FAD＝∠BDE，在△ADF和△DEB中，，∴△ADF≌△DEB（ASA），∴AD＝DE，∵∠ADE＝90°，∴△ADE是等腰直角三角形，∴AE＝AD＝2；（3）作EK⊥FG于K，则K是FG的中点，连接AK，BK，如图3所示：∴∠EKG＝∠EBG＝∠EKF＝∠EAF＝90°，∴E、K、G、B和E、K、F、A分别四点共圆，∴∠KBE＝∠EGK＝60°，∠EAK＝∠EFK＝60°，∴△ABK是等边三角形，∴AB＝AK＝KB＝4，作KM⊥AB，则M为AB的中点，∴KM＝AK•sin60°＝2，∵AE＝3，AM＝AB＝2，∴ME＝3﹣2＝1，∴EK＝＝＝，∴EF＝＝＝．2．问题再现：如图1：△ABC 中，AF 为BC 边上的中线，则S △ABF ＝S △ACP ＝S △ABC由这个结论解答下列问题：问题解决：问题1：如图2，△ABC 中，CD 为AB 边上的中线，BE 为AC 边上的中线，则S △BOC ＝S 四边形ADOE ．分析：△ABC 中，CD 为AB 边上的中线，则S △BCD ＝S △ABC ，BE 为AC 边上的中线，则S △ABE ＝S △ABC∴S △BCD ＝S △ABE∴S △BCD ﹣S △BOD ＝S △ABE ﹣S △BOD又∵S △BOC ＝S △BCD ﹣S △BOD ，S 四边形ADOE ＝S △ABE ﹣S △BOD即S △BOC ＝S 四边形ADOE问题2：如图3，△ABC 中，CD 为AB 边上的中线，BE 为AC 边上的中线，AF 为BC 边上的中线．（1）S △BOD ＝S △COE 吗？请说明理由．（2）请直接写出△BOD 的面积与△ABC 的面积之间的数量关系：S △BOD ＝S △ABC ．问题拓广：（1）如图4，E 、F 分别为四边形ABCD 的边AD 、BC 的中点，请直接写出阴影部分的面积与四边形ABCD 的面积之间的数量关系：S 阴＝ S 四边形ABCD ． （2）如图5，E 、F 、G 、H 分别为四边形ABCD 的边AD 、BC 、AB 、CD 的中点，请直接写出阴影部分的面积与四边形ABCD 的面积之间的数量关系：S 阴＝ S 四边形ABCD ．（3）如图6，E 、F 、G 、H 分别为四边形ABCD 的边AD 、BC 、AB 、CD 的中点，若S △AME ＝1、S △BNG ＝1.5、S △CQF ＝2、S △DPH ＝2.5，则S 阴＝ 7 ．解：问题2：S △BOD ＝S △COE 成立，理由：∵△ABC 中，CD 为AB 边上的中线，∴S △BCD ＝S △ABC ，∵BE 为AC 边上的中线，∴S △CBE ＝S △ABC∴S △BCD ＝S △CBE∵S △BCD ＝S △BOD +S △BOC ，S △CBE ＝S △COE +S △BOC∴S △BOD ＝S △COE（2）由（1）有S △BOD ＝S △COE ，同（1）方法得，S △BOD ＝S △AOD ，S △COE ＝S △AOE ，S △BOF ＝S △COF ，∴S △BOD ＝S △COE ＝S △AOE ＝S △AOD ，∵点O 是三角形三条中线的交点，∴OA ＝2OF ，∴S △AOC ＝2S △COF ＝S △AOE +S △COE ＝2S △COE ，∴S △COF ＝S △COE ，∴S △BOD ＝S △COE ＝S △AOE ＝S △AOD ＝S △BOF ＝S △COF ，∴S △BOD ＝S △ABC ，故答案为问题拓广：（1）如图4：连接BD，由问题再现：S△BDE ＝S△ABD，S△BDF ＝S△BCD，∴S阴影＝S四边形ABCD，故答案为，（2）如图5：连接BD，由问题解决：S△BMD ＝S△ABD，S△BDN＝S△BCD，∴S阴影＝S四边形ABCD，故答案为；（3）如图6，设四边形的空白区域分别为a，b，c，d，∵S△AME ＝1、S△BNG＝1.5、S△CQF＝2、S△DPH＝2.5，由（1）得出：a+1+2.5＝a+3.5＝S△ACD①，c+1.5+2＝c+3.5＝S△ACB②，b +1+1.5＝b +2.5＝S △ABD ③，d +2+2.5＝d +4.5＝S △BCD ④，①+②+③+④得，a +3.5+c +3.5+b +2.5+d +4.5＝a +b +c +d +14＝S 四边形ABCD ⑤而S 四边形ABCD ＝a +b +c +d +7+S 阴影⑥∴S 阴影＝7，故答案为7．3．如图，在△ABC 中，AB ＞AC ，内切圆⊙I 与边BC 切于点D ，AD 与⊙I 的另一个交点为E ，⊙I 的切线EP 与BC 的延长线交于点P ，CF ∥PE 且与AD 交于点F ，直线BF 与⊙I 交于点M 、N ，M 在线段BF 上，线段PM 与⊙I 交于另一点Q ．证明：∠ENP ＝∠ENQ ．证明：如图，设⊙I 与AC 、AB 分别切于点S 、T ，连接ST 、AI 、IT ，设ST 与AI 交于点G ．则IE ⊥PE ，ID ⊥PD ，故I 、E 、P 、D 四点共圆，∵AS 2＝AE •AD ＝AG •AI ，∵∠EAG ＝∠DAI ，∴△AEG ∽△AID ，∴∠AGE＝∠AID，∴E，G，D，I四点共圆，∴I、G、E、P、D五点共圆，∴∠IGP＝∠IEP＝90°，即IG⊥PG，∴P、S、T三点共线，对直线PST截△ABC，由梅涅劳斯定理知，∵AS＝AT，CS＝CD，BT＝BD，∴，设BN的延长线与PE交于点H，对直线BFH截△PDE，由梅涅劳斯定理知，∵CF∥BE，∴，∴，∴PH＝HE，∴PH2＝HE2＝HM•HN，∴，∴△PHN∽△MHP，∴∠HPN＝∠HMP＝∠NEQ，∵∠PEN＝∠EQN，∴∠ENP＝∠ENQ．4．如图，△ABC的垂心为H，AD⊥BC于D，点E在△ABC的外接圆上，且满足，直线ED交外接圆于点M．求证：∠AMH＝90°．证明：作高BP，CQ．连结MB、MC、MP、MQ、PQ．＝＝＝•①＝•＝•②由①②得：＝，又∵∠MBA＝∠MCA，∴△MBQ∽△MCP，∴点M、A、P、Q四点共圆，即点M、A、P、Q、H五点共圆，又AH为直径，∴∠AMH＝90°．5．如图，△ABC中，O为外心，三条高AD、BE、CF交于点H，直线ED和AB交于点M，FD 和AC交于点N．求证：OH⊥MN．证明：∵A 、C 、D 、F 四点共圆，∴∠BDF ＝∠BAC又∵∠OBC ＝（180°﹣∠BOC ）＝90°﹣∠BAC ，∴OB ⊥DF ．∵CF ⊥MA ，∴MC 2﹣MH 2＝AC 2﹣AH 2（①）∵BE ⊥NA ，∴NB 2﹣NH 2＝AB 2﹣AH 2 （②）∵DA ⊥BC ，∴BD 2﹣CD 2＝BA 2﹣AC 2 （③）∵OB ⊥DF ，∴BN 2﹣BD 2＝ON 2﹣OD 2 （④）∵OC ⊥DE ，∴CM 2﹣CD 2＝OM 2﹣OD 2，①﹣②+③+④﹣⑤，得NH 2﹣MH 2＝ON 2﹣OM 2 MO 2﹣MH 2＝NO 2﹣NH 2∴OH ⊥MN ．6．在图1到图4中，已知△ABC 的面积为m ．（1）如图1，延长△ABC 的边BC 到点D 使CD ＝BC ，连接DA ，若△ACD 的面积为S 1，则S 1＝ m ．（用含m 的式子表示）（2）如图2，延长△ABC 的边BC 到点D ，延长边CA 到点E ，使CD ＝BC ，AE ＝CA ，连接DE ．若△DEC 的面积为S 2，则S 2＝ 2m ．（用含a 的代数式表示）（3）如图3，在图2的基础上延长AB 到点F ，使BF ＝AB ，连接FD 于E ，得到△DEF ，若阴影部分的面积为S 3，则S 3＝ 6m ．（用含a 的代数式表示）（4）可以发现将△ABC 各边均顺次延长一倍，连接所得端点，得到△DEF ，如图3，此时，我们称△ABC 向外扩展了一次．可以发现扩展一次后得到的△DEF 的面积是原来△ABC 面积的 7 倍．（5）应用上面的结论解答下面问题：去年在面积为15平方面的△ABC 空地上栽种了各种花卉，今年准备扩大种植规模，把△ABC 内外进行两次扩展，第一次由△ABC 扩展成△DEF ，第二次由△DEF 扩展成△MGH ，如图4，求这两次扩展的区域（即阴影部分）面积共为多少平方米？解：（1）∵CD ＝BC ，∴△ABC 和△ACD 的面积相等（等底同高），故得出结论S 1＝m ．（2）连接AD ，，∵AE ＝CA ，∴△DEC 的面积S 2为△ACD 的面积S 1的2倍，故得出结论S 2＝2m ．（3）结合（1）（2）得出阴影部分的面积为△DEC 面积的3倍， 故得出结论则S 3＝6m ．（4）S △DEF ＝S 阴影+S △ABC＝S 3+S △ABC＝6m +m＝7m＝7S △ABC故得出结论扩展一次后得到的△DEF 的面积是原来△ABC 面积的7倍．（5）根据（4）结论可得两次扩展的区域（即阴影部分）面积共为（7×7﹣1）×15＝720（平方米），答：求这两次扩展的区域（即阴影部分）面积共为720平方米． 7．（1）如图①，AD 是△ABC 的中线，△ABD 与△ACD 的面积有怎样的数量关系？为什么？（2）若三角形的面积记为S ，例如：△ABC 的面积记为S △ABC ，如图②，已知S △ABC ＝1，△ABC 的中线AD 、CE 相交于点O ，求四边形BDOE 的面积．小华利用（1）的结论，解决了上述问题，解法如下：连接BO ，设S △BEO ＝x ，S △BDO ＝y ，由（1）结论可得：S，S △BCO ＝2S △BDO ＝2y ，S △BAO ＝2S △BEO ＝2x ． 则有，即．所以．请仿照上面的方法，解决下列问题： ①如图③，已知S △ABC ＝1，D 、E 是BC 边上的三等分点，F 、G 是AB 边上的三等分点，AD 、CF 交于点O ，求四边形BDOF 的面积．②如图④，已知S △ABC ＝1，D 、E 、F 是BC 边上的四等分点，G 、H 、I 是AB 边上的四等分点，AD 、CG 交于点O ，则四边形BDOG 的面积为 ．解：（1）S △ABD ＝S △ACD ．∵AD 是△ABC 的中线，∴BD ＝CD ，又∵△ABD 与△ACD 高相等，∴S △ABD ＝S △ACD ．（2）①如图3，连接BO ，设S △BFO ＝x ，S △BDO ＝y ，S △BCF ＝S △ABD ＝S △ABC ＝S △BCO ＝3S △BDO ＝3y ，S △BAO ＝3S △BFO ＝3x ．则有，即，所以x +y ＝，即四边形BDOF 的面积为；②如图，连接BO ，设S △BDO ＝x ，S △BGO ＝y ，S△BCG ＝S△ABD＝S△ABC＝，S△BCO ＝4S△BDO＝4x，S△BAO ＝4S△BGO＝4y．则有，即，所以x+y＝，即四边形BDOG的面积为，故答案为：．8．我们初中数学里的一些代数公式，很多都可以通过表示几何图形面积的方法进行直观推导和解释．例如：平方差公式、完全平方公式．【提出问题】如何用表示几何图形面积的方法推证：13+23＝32？【解决问题】A表示1个1×1的正方形，即：1×1×1＝13B表示1个2×2的正方形，C与D恰好可以拼成1个2×2的正方形，因此：B、C、D就可以表示2个2×2的正方形，即：2×2×2＝23而A、B、C、D恰好可以拼成一个（1+2）×（1+2）的大正方形．由此可得：13+23＝32【递进探究】请仿用上面的表示几何图形面积的方法探究：13+23+33＝62．要求：自己构造图形并写出详细的解题过程．【推广探究】请用上面的表示几何图形面积的方法探究：13+23+33+…+n3＝．（参考公式：）注意：只需填空并画出图形即可，不必写出解题过程．【提炼运用】如图，下列几何体是由棱长为1的小立方体按一定规律在地面上摆成的，如图（1）中，共有1个小立方体，其中1个看的见，0个看不见；如图（2）中，共有8个小立方体，其中7个看的见，1个看不见；如图（3）中，共有27个小立方体，其中19个看的见，8个看不见；求：从第（1）个图到第（101）个图中，一切看不见的棱长为1的小立方体的总个数．解：【递进探究】如图，A表示一个1×1的正方形，即：1×1×1＝13，B、C、D表示2个2×2的正方形，即：2×2×2＝23，E、F、G表示3个3×3的正方形，即：3×3×3＝33，而A、B、C、D、E、F、G恰好可以拼成一个大正方形，边长为：1+2+3＝6，，∵S A+S B+S C+S D+S E+S F+S G＝S大正方形∴13+23+33＝62；【推广探究】由上面表示几何图形的面积探究知，13+23+33+…+n3＝（1+2+3+…+n）2，又∵1+2+3+…+n＝，∴13+23+33+…+n3＝（）2＝．【提炼运用】图（1）中，共有1个小立方体，其中1个看的见，0＝（1﹣1）3个看不见；如图（2）中，共有8个小立方体，其中7个看的见，1＝（2﹣1）3个看不见；如图（3）中，共有27个小立方体，其中19个看的见，8＝（3﹣1）3个看不见；…，从第（1）个图到第（101）个图中，一切看不见的棱长为1的小立方体的总个数为：（1﹣1）3+（2﹣1）3+（3﹣1）3+…+（101﹣1）3＝03+13+23+…+1003＝50502＝25502500．故一切看不见的棱长为1的小立方体的总个数为25502500．故答案为：62；．9．问题引入：如图，在△ABC中，D是BC上一点，AE＝AD，求：尝试探究：过点A作BC的垂线，垂足为F，过点E作BC的垂线，垂足为G，如图所示，有＝，＝，．类比延伸：若E为AD上的任一点，如图所示，试猜S四边形ABEC 与S△ABC的比是图中哪条线段的比，并加以证明．拓展应用：如图，E为△ABC内一点，射线AE于BC于点D，射线BE交AC于点F，射线CE交AB于点G，求的值．解：问题引入：∵在△ABC中，D是BC上一点，AE＝AD，∴，，∴＝＝；尝试探究：∵AE＝AD，∴＝，∵AF⊥BC，EG⊥BC，∴AF∥EG，∴△EDG∽△ADB，∴＝；∵＝＝＝，∴＝1﹣＝；故答案为：，，；类比延伸：＝，∵E为AD上的一点，∴＝，＝，∴＝＝；拓展应用：∵＝＝，同理：＝，＝，∴＝＝2．10．如图，在凸四边形ABCD中，M为边AB的中点，且MC＝MD，分别过点C、D作边BC、AD 的垂线，设两条垂线的交点为P，过点P作PQ⊥AB于Q，求证：∠PQC＝∠PQD．证明：连接AP、BP，取AP的中点E，取BP的中点F，连接DE、ME、QE、CF、QF、MF，如图．∵E为AP的中点，F为BP的中点，M为AB的中点，∴EM∥BP，EM＝BP，MF∥AP，MF＝AP．∵E为AP的中点，F为BP的中点，∠ADP＝∠BCP＝90°，∴DE＝AE＝EP＝AP，FC＝PF＝BF＝BP，∴DE＝MF，EM＝FC．在△DEM和△MFC中，，∴△DEM≌△MFC（SSS），∴∠DEM＝∠MFC．∵EM∥BP，MF∥AP，∴四边形PEMF是平行四边形，∴∠PEM＝∠PFM．又∵∠DEM＝∠MFC，∴∠DEP＝∠CFP．∵DE＝AE，FC＝BF，∴∠DAE＝∠ADE＝∠DEP，∠FBC＝∠FCB＝∠CFP，∴∠DAE＝∠FBC，即∠DAP＝∠PBC．∵∠ADP＝∠AQP＝90°，E为AP中点，∴ED＝EA＝EQ＝EP＝AP，∴D、A、Q、P四点共圆，∴∠PQD＝∠DAP．同理可得：∠PQC＝∠PBC，∴∠PQD＝∠PQC．11．如图：D是以AB为直径的圆O上任意一点，且不与点A、B重合，点C是弧BD的中点，作CE∥AB，交AD或其延长线于E，连接BE交AC与G，AE＝CE，过C作CM⊥AD交AD延长线于点M，MC与⊙O相切，CE＝7，CD＝6，求EG的长．解：连接OC，如图．∵MC与⊙O相切，∴OC⊥MC．∵CM⊥AD，∴OC∥AM．∵CE∥AB，∴四边形AOCE是平行四边形，∴OA＝CE＝7，∴AB＝14．∵点C是弧BD的中点，∴BC＝CD＝6．∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB＝90°，∴AC＝＝＝4．∵CE∥AB，∴△CGE∽△AGB，∴＝＝＝，∴AG＝AC＝．在Rt△ACB中，cos∠BAC＝＝＝．∵点C是弧BD的中点，∴∠BAC＝∠CAD，即∠BAC＝∠EAG，∴cos∠EAG＝．在△EAG中，cos∠EAG＝．∴＝．∵AG＝，AE＝CE＝7，∴＝．整理得：GE2＝．∵GE＞0，∴GE＝．∴EG的长为．12．如图，圆内接四边形ABCD的边AB、DC的延长线交于E，AD、BC延长线交于F，EF中点为G，AG与圆交于K．求证：C、E、F、K四点共圆．证明：延长AG到H，使得GH＝AG，连接EH、FH、CK，如图所示．∵GH＝AG，EG＝FG，∴四边形AEHF是平行四边形，∴∠EAG＝∠GHF，∠GAF＝∠GHE．∵A、B、C、K四点共圆，∴∠KCF＝∠EAG，∴∠KCF＝∠GHF，∴K、C、H、F四点共圆．∵K、C、A、D四点共圆，∴∠KCD＝∠KAF，∴∠KCD＝∠GHE，∴K、C、E、H四点共圆，∴K、C、E、H、F五点共圆，∴C、E、F、K四点共圆．13．在半圆O中，AB为直径，一直线交半圆周于C、D，交AB延长线于M（MB＜MA，AC＜MD），设K是△AOC与△DOB的外接圆除点O外的另一个交点，求证：∠MKO＝90°．证明：连接CK，BK，BC，如图所示．∵AB是⊙O直径，∴∠ACB＝90°，∴∠OAC+∠ABC＝90°．∵A、B、C、D四点共圆，∴∠BDC＝∠BAC．∵A、O、C、K四点共圆，∴∠CKO＝∠OAC．∵D、O、B、K四点共圆，∴∠BKO＝∠BDO．∴∠BKC＝∠BKO﹣∠CKO＝∠BDO﹣∠OAC．∵OB＝OD，∴∠ABD＝∠BDO．∴∠BMC＝∠ABD﹣∠BDC＝∠BDO﹣∠BAC＝∠BKC．∴B、C、K、M四点共圆．∴∠ABC＝∠MKC．∴∠MKO＝∠MKC+∠CKO＝∠ABC+∠OAC＝90°．14．已知，在△ABC中，AC＞AB，BC边的垂直平分线与∠BAC的外角∠PAC的平分线相交于E，与BC相交点D，DE与AC相交于点F．（1）如图1，当∠ABC＝3∠ACB时，求证：AB＝AE；（2）如图2，当∠BAC＝90°，∠ABC＝2∠ACB，过点D作AC的垂线，垂足为点H，并延是点D关于直线AC的对长DH交射线AE于点M，过点E作BP的垂线，垂足为点G，点D1称点，试探究AG和MD之间的数量关系，并证明你的结论．1解：（1）证明：连接BF，如图1．设∠A CB＝x，则∠ABC＝3x，∵FD垂直平分BC，∴FB＝FC，∴∠FBC＝∠FCB＝x，∴∠ABF＝∠AFB＝2x，∴AB＝AF，∠PAC＝4x．∵AE平分∠PAC，∴∠EAC＝2x．∵∠AFE＝∠DFC＝90°﹣x，∴∠AEF＝180°﹣∠EAF﹣∠AFE＝180°﹣2x﹣（90°﹣x）＝90°﹣x，∴∠AEF＝∠AFE，∴AE＝AF，∴AB＝AE．．（2）AG＝MD1证明：作EN⊥AC于N，取EC中点O，、NM、MC、MO、NO、EB、EC，如图2．连接AD1∵AE平分∠PAC，EN⊥AC，EG⊥AP，∴EG＝EN，∠EGA＝∠ENA＝90°．∵∠BAC＝90°，∴∠EGA＝∠ENA＝∠BAC＝90°，∴四边形EGAN是矩形．∵EG＝EN，∴矩形EGAN是正方形，∴AG＝AN，∠EAN＝45°，∠GEN＝90°．∵ED垂直平分BC，∴EB＝EC．在Rt△BEG和Rt△CEN中，，∴Rt△BEG≌Rt△CEN（HL），∴∠GBE＝∠NCE，∠GEB＝∠NEC，∴∠GEN＝∠BEC＝90°∵EB＝EC，∴∠ECB＝∠EBC＝45°．∵∠BAC＝90°，∠ABC＝2∠ACB，∴∠ABC＝60°，∠ACB＝30°，∴∠ABE＝∠ACE＝15°．∵∠BAC＝90°，点D为BC中点，∴AD＝CD，∴∠DAC＝∠DCA＝30°．∵点D与点D关于AC对称，1AC＝∠DAC＝30°，∴∠D1＝45°﹣30°＝15°．∴∠MAD1∵DA＝DC，DM⊥AC，∴DM垂直平分AC，∴MA＝MC，∴∠CMH＝∠AMH＝90°﹣45°＝45°，∴∠AMC＝90°，∴∠ENC＝∠AMC＝90°．∵点O为EC中点，∴ON＝OM＝OE＝OC＝EC，∴E、N、C、M四点共圆，∴∠EMN＝∠ECN＝15°，∴∠MAD＝∠EMN＝15°，1中，在△AMN和△MAD1，，∴△AMN≌△MAD1，∴AN＝MD1．∴AG＝MD115．在平面直角坐标系中，已知A（2，2），AB⊥y轴于B，AC⊥x轴于C．（1）如图1，E为线段OB上一点，连接AE，过A作AF⊥AE交x轴于F，连EF，ED平分∠OEF交OA于D，过D作DG⊥EF于G，求DG+EF的值；（2）如图2，D为x轴上一点，AC＝CD，E为线段OB上一动点，连接DA、CE、F是线段CE的中点，若BF⊥FK交AD于K，请问∠KBF的大小是否变化？若不变，求其值；若改变，求其变化范围．解：（1）∵AB⊥y轴于B，AC⊥x轴于C，∴∠ABO＝∠ACO＝90°．∵∠BOC＝90°，∴四边形ABOC是正方形，∴AB＝AC＝BO＝CO＝2，OA平分∠BOC，∠BAC＝90°．∵AF⊥AE，∴∠EAF＝90°，∴∠BAC＝∠EAF，∴∠BAC﹣∠EAC＝∠EAF﹣∠EAC，即∠BAE＝∠CAF．在△ABE和△ACF中，，∴△ABE≌△ACF（ASA），∴AE＝AF，BE＝CF．设BE＝CF＝t，OE＝2﹣t，OF＝2+t．∵ED平分∠OEF，∴点D是△OEF的内心．如图1，作DM⊥OB于M，作DH⊥OF于H，且DG⊥EF于G，∴DG＝DM＝DH，∴四边形MOHD是正方形，∴MO＝HO＝DM＝DG．设DG＝MO＝x，∴x＝，∴x＝，∴EF＝4﹣2x，∴WF＝2﹣x．∴DG+EF＝x+2﹣x＝2．即DG+EF的值为2；（2）∠KBF的大小不变，∠KBF＝45°如图2，延长BF交AC于G，连接KG，作KM⊥AB于M，KN⊥AC于N，∵四边形ABOC是正方形，∴O B∥AC．∴∠EBF＝∠CGF，∠BEF＝∠GCF．∵F是CE的中点，∴EF＝CF．在△BEF和△GCF中，，∴△BEF≌△GCF（AAS），∴BF＝GF．∵BF⊥FK，∴∠BFK＝∠GFK＝90°．在△BFK和△GFK中，，∴△BFK≌△GFK（SAS）∴BK＝GK．∵AC＝CD，∠ACD＝90°，∴△ACD是等腰直角三角形，∴∠CAD＝45°．∵KN⊥AC，∴∠ANK＝90°，∴∠AKN＝45°，∴AN＝KN．∵KM⊥AB，∴四边形AMKN是正方形，∴KM＝KN．∠M＝∠GNK＝90°AM∥KN．在Rt△BKM和Rt△GKN中，，∴Rt△BKM≌Rt△GKN（HL），∴∠MBK＝∠NGK．∠GKN＝∠BKM．∵AM∥KN，∴∠BKN＝∠MBK．∵∠BKM+∠BKN＝90°，∴∠GKN+∠BKN＝90°，即∠BKG＝90°．∵BK＝GK，∴△BKG是等腰直角三角形．∴∠KBF＝45°，∴∠KBF的大小不变，∠KBF＝45°．16．如图，已知⊙O1与⊙O2相交于A，B两点，直线MN⊥AB于A，且分别与⊙O1，⊙O2交于M、N，P为线段MN的中点，又∠AO1Q1＝∠AO2Q2，求证：PQ1＝PQ2．解：连接MQ1、BQ1、BQ2、NQ2，过点P作PH⊥Q1B于H，如图所示．则由圆内接四边形的性质可得：∠Q1MA+∠ABQ1＝180°，∠ABQ2+∠ANQ2＝180°，∠MAB＝∠BQ2N．由圆周角定理可得：∠ABQ 1＝∠AO 1Q 1，∠ANQ 2＝∠AO 2Q 2． ∵∠AO 1Q 1＝∠AO 2Q 2，∴∠ABQ 1＝∠ANQ 2，∴∠ABQ 2+∠ABQ 1＝∠ABQ 2+∠ANQ 2＝180°， ∴Q 1、B 、Q 2三点共线．由圆内接四边形的性质可得：∠ABQ 1＝∠ANQ 2， ∴∠Q 1MA +∠ANQ 2＝∠Q 1MA +∠ABQ 1＝180°， ∴MQ 1∥NQ 2．∵AB ⊥MN ，∴∠MAB ＝90°，∴∠Q 1Q 2N ＝∠MAB ＝90°．∵PH ⊥Q 1B ，即∠Q 1HP ＝90°，∴∠Q 1HP ＝∠Q 1Q 2N ，∴PH ∥NQ 2，∴MQ 1∥PH ∥NQ 2．∵P 为线段MN 的中点，∴H 为线段Q 1Q 2的中点，∴PH 垂直平分Q 1Q 2，∴PQ 1＝PQ 2．。
七年级上册数学竞赛题和经典题
七年级上册数学竞赛题和经典题一、竞赛题与经典题。
1. （有理数运算）计算：( 2)^3+[26 ( 3)×2]÷4解析：先计算指数运算( 2)^3=-8。
再计算括号内的式子，[26-( 3)×2]=[26 + 6]=32。
然后进行除法运算32÷4 = 8。
最后进行加法运算-8+8 = 0。
2. （整式的加减）化简：3a + 2b 5a b解析：合并同类项，3a-5a=-2a，2b b=b。
所以化简结果为-2a + b。
3. （一元一次方程）解方程：3(x 1)-2(x + 1)=6解析：先去括号，3x-3-2x 2=6。
再移项，3x-2x=6 + 3+2。
合并同类项得x = 11。
4. （数轴相关）在数轴上，点A表示的数为-3，点B表示的数为5，求A、B两点间的距离。
解析：数轴上两点间的距离等于右边的数减去左边的数（大数减小数）。
所以AB = 5-( 3)=5 + 3 = 8。
5. （绝对值）已知| x|=3，| y| = 5，且x>y，求x + y的值。
解析：因为| x|=3，所以x=±3；因为| y| = 5，所以y=±5。
又因为x>y，当x = 3时，y=-5，此时x + y=3+( 5)=-2；当x=-3时，y=-5，此时x + y=-3+( 5)=-8。
6. （有理数的混合运算）计算：(1)/(2)×(-2)^2-((2)/(3))^2÷(2)/(9)解析：先计算指数运算，(-2)^2 = 4，((2)/(3))^2=(4)/(9)。
然后进行乘除运算，(1)/(2)×4 = 2，(4)/(9)÷(2)/(9)=(4)/(9)×(9)/(2)=2。
最后进行减法运算2-2 = 0。
7. （整式的概念）若3x^m + 5y^2与x^3y^n是同类项，则m=_ ，n=_ 。
初中数学竞赛奥数培优资料第二辑专题23 面积的计算
专题23面积的计算○阅○读○与○思○考计算图形的面积是几何问题中一种重要题型，计算图形的面积必须掌握如下与面积有关的重要知识：1.常见图形的面积公式；2．等积定理：等底等高的两个三角形面积相等；3.等比定理：(1)同底（或等底）的两个三角形面积之比等于等于对应高之比；同高（或等高）的两个三角形面积之比等于等于对应底之比.(2)相似三角形的面积之比等于对应线段之比的平方.熟悉下列基本图形、基本结论：例题与求解【例1】如图，△ABC内三个三角形的面积分别为5，8，10，四边形AEFD的面积为x，则x＝________.（黄冈市竞赛试题）解题思路：图中有多对小三角形共高，所以可将面积比转化为线段之比作为解题突破口.例1图【例2】如图，在△ABC中，已知BD和CE分别是两边上的中线，并且BD⊥CE，BD＝4，CE＝6，那么△ABC的面积等于()(全国初中数学联赛) A．12B．14C．16D．18解题思路：由中点想到三角形中位线，这样△ABC与四边形BCDE面积存在一定的关系.例2图【例3】如图，依次延长四边形ABCD 的边AB ，BC ，CD ，DA 至E ，F ，G ，H ，使BE AB ＝CF BC ＝DG CD ＝AH DA＝m ，若S 四边形EFGH ＝2S 四边形ABCD ，求m 的值.解题思路：添加辅助线将四边形分割成三角形，充分找出图形面积比与线段比之间的关系，建立关于m 的方程.例3图【例4】如图，P ，Q 是矩形ABCD 的边BC 和CD 延长线上的两点，PA 与CQ 相交于点E ，且∠PAD ＝∠QAD ，求证：S 矩形ABCD ＝S △APQ .解题思路：图形含全等三角形、相似三角形，能得到相等的线段、等积式，将它们与相应图形联系起来，促使问题的转化.例4图【例5】如图，在Rt △ABC 中，∠A ＝90°，AB ＝8，AC ＝6，若动点D 从点B 出发，沿线段BA 运动到点A 为止，移动速度为每秒2个单位长度.过点D 作DE ∥BC 交AC 于点E ，设动点D 运动的时间为x 秒，AE 的长为y .(1)求出y 关于x 的函数关系式，并写出自变量x 的取值范围；(2)当x 为何值时，△BDE 的面积S 有最大值，最大值为多少？(江西省中考试题)解题思路：对于(1)利用△ADE ∽△ABC 可得y 与x 的关系式；对于(2)先写出S 关于x 的函数关系式，再求最大值.例5图【例6】如图，设P 为△ABC 内任意一点，直线AP ，BP ，CP 交BC ，CA ，AB 于点D ，E ，F .求证：(1)PD AD ＋PE BE ＋PFCF＝1；(2)PA AD ＋PB BE ＋PC CF＝2解题思路：过点A ，P 分别作BC 的垂线，这样既可得到平行线，产生比例线段，又可以与面积联系起来，把PAAD转化为面积比，利用面积法证明.例6图○能○力○训○练A级1．如图，ABCD 中，AE ∶BE ＝1∶2，S △AEF ＝6cm 2，则S △CDF 的值为________.(济南市中考试题)2．如图，正六边形ABCDEF 的边长为23cm ，P 为正六边形内任一点，则点P 到各边距离之和为_______.第1题图第2题图第3题图3．如图，P 是边长为8的正方形ABCD 外一点，PB ＝PC ，△PBD 的面积等于48，则△PBC 的面积为_____________.(北京市竞赛试题)4．如图，已知△BOF ，△AOF ，△BOD ，△COE 的面积分别为30，40，35，84，则△ABC 的面积为________.(浙江省竞赛试题)5．如图，已知AD 是Rt △ABC 斜边BC 上的高，DE 是Rt △ADC 斜边上的高，如果DC ∶AD ＝1∶2，S △DCE ＝a ，那么S △ABC 等于()(金华市中考试题)A ．4aB ．9aC ．16aD ．25a第4题图第5题图第6题图6．如图，已知M 是ABCD 边AB 的中点，CM 交BD 于点E ，则图中阴影部分面积与ABCD 的面积之比为（）（山西省中考试题）A ．16B ．14C ．13D ．5127．如图，在△ABC 中，DE ∥BC ，DE 分别交AB ，AC 于点D ，E ，若S △ADE ＝2S △DCE ，则S △ADES △ABC等于()(浙江省宁波市中考试题)A ．14B ．12C ．23D ．498．如图，△ABC 是边长为6cm 的等边三角形，被一平行于BC 的矩形所截，AB 被截成三等分，则图中阴影部分面积面积为（）cm 2.(广东省竞赛试题)A ．4B ．23C ．33D ．43第7题图第8题图第9题图9．如图，平面上有两个边长相等的正方形ABCD 和A ′B ′C ′D ′，且正方形A ′B ′C ′D ′的顶点A ′在正方形ABCD 的中心，当正方形A ′B ′C ′D ′绕A ′转动时，两个正方形重合部分的面积必然是一个定值.这个结论对吗？证明你的判断.（“希望杯”邀请赛试题）10．如图，设凸四边形ABCD 的一组对边AB ，CD 的中点分别为K ，M .求证：S 四边形ABCD ＝S △ABM ＋S △DCK..第10题图11．如图1，AB ，CD 是两条线段，M 是AB 的中点，S △DMC ，S △DAC ，S △DBC 分别表示△DMC ，△DAC ，△DBC 的面积，当AB ∥CD 时，有S △DMC ＝S △DAC ＋S △DBC2………..①.(1)如图2，若图1中AB 与CD 不平行时，①式是否成立？请说明理由.(2)如图3，若图1中AB 与CD 相交于点O 时，问S △DMC 与S △DAC 和S △DBC 有何相等关系？试证明你的结论.（安徽省中考试题）12．如图，在△ABC 中，∠ACB ＝90°，∠ABC ＝30°，将△ABC 绕顶点C 顺时针旋转，旋转角为θ（0°＜θ＜180°），得到△A ′B ′C ′.(1)如图1，当AB ∥CB ′时，设A ′B ′与CB 相交于点D ，证明：△A ′CD 是等边三角形；(2)如图2，连接A ′A ，B ′B ，设△ACA ′和△BCB ′的面积分别为S △ACA ′和S △BCB ′.求证：S △ACA ′∶S △BCB ′＝1∶3.(3)如图3，设AC 的中点为E ，A ′B ′的中点为P ，AC ＝a ，连接EP ，当θ＝_____时，EP 长度最大，最大值是____________.（安徽省中考试题）B级1．如图，A 在线段BG 上，ABCD 和DEFG 都是正方形，面积分别为7cm 2和11cm 2，则△CDE 的面积等于___________cm 2.（武汉市竞赛试题）2．如图，P 为正方形ABCD 内一点，PA ＝PB ＝10，并且P 到CD 边的距离也等于10，那么正方形ABCD 的面积是_______________.(北京市竞赛试题)3．如图，四边形ABCD 中，点E ，F 分别在BC ，DC 上，DF FC ＝1，CEBE ＝2，若△ADF 的面积为m ，四边形AECF 的面积为n (n ＞m )，则四边形ABCD 的面积为___________.(全国初中数学联赛试题)第1题图第2题图第3题图第4题图4．如图，图形ABCD 中，AB ∥CD ，AC 和BD 相交于点O ，若AC ＝5，BD ＝12，中位线长为132，△AOB 的面积为S 1，△OCD 的面积为S 2，则S 1＋S 2＝_________.(山东省竞赛试题)5．如图，分别延长△ABC 的三边AB ，BC ，CA 至A ′，B ′，C ′，使得AA ′＝3AB ，BB ′＝3BC ，CC ′＝3AC ，若S △ABC ＝1，则S △A ′B ′C ′等于().A ．18B ．19C ．24D ．27(山东省竞赛试题)6．如图，若ABCD 是2×2的正方形，E 是AB 的中点，F 是BC 的中点，AF 与DE 相交于点I ，BD 和AF 相交于点H ，那么四边形BEIH 的面积是()A ．13B ．52C ．715D ．815(江苏省竞赛试题)第5题图第6题图第7题图7．如图，矩形ABCD 中，E 是BC 上的一点，F 是CD 上的点，已知S △ABE ＝S △ADF ＝13S ABCD ，则S △AEF S △CEF的值等于()(北京市竞赛试题)A．2B．3C．4D．58．(1)探究：如图1，在ABCD的形外分别作等腰直角三角形ABF和等腰直角三角形ADE，∠FAB ＝∠EAD＝90°，连接AC，EF.在图中找一个与△FAE全等的三角形，并加以证明.(2)应用：以ABCD的四条边为边，在其形外分别作正方形，如图2，连接EF，GH，IJ，KL，若ABCD的面积为5，则图中阴影部分四个三角形的面积之和为____________.（长春市中考试题）9．如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，AB＝AD＝DC＝2cm，BC＝4cm，在等腰△PQR中，∠QPR＝120°，底边QR＝6cm，点B，C，Q，R在同一条直线l上，且C，Q两点重合，如果等腰△PQR以1cm/s 的速度沿直线l箭头所示方向匀速运动，t秒时梯形ABCD与等腰△PQR重合部分的面积记为S cm2.(1)当t＝4时，求S的值；(2)当4≤t≤10时，求S与t的函数关系式，并求出S的最大值.(广州市中考试题)第9题图10．有一根直尺的短边长为2cm，长边长为10cm，还有一块锐角为45°的直角三角纸板，它的斜边长为12cm，如图1将直尺的短边DE放置与直角三角纸板的斜边AB重合，且点D与点A重合将直尺沿AB方向平移，如图2，设平移的长为x cm(0≤x≤10)，直尺与三角形纸板重叠部分（图中阴影部分）的面积S cm2.x时，S＝________；(1)当x＝0时，S＝________，当10(2)当0＜x≤4时，求S关于x的函数关系式；(3)当4＜x＜10时，求S关于x的函数关系式，并求出S的最大值.(徐州市中考试题)11．如图，设H 是等腰三角形ABC 的三边上的高线的交点，在底边BC 保持不变的情况下，让顶点A 至底边BC 的距离变小（仍保持三角形为等腰三角形），这时HBC ABC S S ∆∆⋅的值变大、变小、还是不变?证明你的结论.(全国初中数学联赛试题)第11题图12．(1)请你在图1中作一条直线，使它将矩形ABCD 分成面积相等的两部分；(2)如图2，点M 是矩形ABCD 内一定点，请你在图2中过点M 作一条直线，使它将矩形ABCD 分成面积相等的两部分；(3)如图3，在平面直角坐标系中，直角梯形OBCD 是某市将要筹建的高新技术开发区用地示意图，其中DC ∥OB ，OB ＝6，BC ＝4，CD ＝4.开发区综合服务管理委员会(其占地面积不计)设在点P (4，2)处.为了方便驻区单位，准备过点P 修一条笔直的道路(路的宽不计)，并且使这条路所在的直线l 将直角梯形OBCD 分成面积相等的两部分.你认为直线l 是否存在?若存在，求出直线l 的表达式；若不存在，请说明理由.(陕西省中考试题)专题23面积的计算例1．22提示：连接AF ．例2．选C 提示：连接DE ．例3．12-提示：连接GA ，HB ，EC ，FD ，AC ，BD ，则(1)(1)HAE HAB ABD S m S m mS =+=+∙△△△，同理(1)FCG BCD S m m S =+△△，故+(1)HAE FCG ABCD S S m m S =+∙△△，同理+(1)EBF GDH ABCD S S m m S =+△△.例4．提示：过E 作EF ∥BC 交AB 于F ，△AEF ≌△ADE ≌△ADQ ，又△AED ∽△PEC ，则AD DEPC CE=，积AD ·CE =PC ·DE ．例5．提示：（1）362y x =-+（0≤x ≤4）（2）22336(2)622S x x x =-+=--+，当x =2时，S 最大值=6.例6．（1）如图，分别过P ，A 作BC 的垂线，垂足为P 1，A 1．11111212PBCABCBC PP S PP PDS AA AD BC AA === △△则．同理PCA ABC S PE BE S =△△，=PABABCS PF CF S △△，故++=1BPC PCA PABABCS S S PD PE PF AD BE CF S ++=△△△△．（2）=3()2PD PB PC PD PE PFAD BE CF AD BE CF++-++=.A 级1．54cm2．18cm3．324．3155．C6．C7．D 8．C9．提示：当正方形ABCD 与正方形A ’B ’C ’D ’的对应边平行时，两者重合部分面积为正方形面积的14；转动后，两者重合面积仍为定值．10．提示：过A 、K 、B 分别作CD 的垂线．11．（1）结论仍然成立，证明略．（2）2DBC DACDMC S S S -=△△△12．（1）略（2）△ACA ’∽△BCB ’2213ACA BCB S AC S BC''==△△（3）120°，32aB级12．2563．3122n m +4提示：S 梯形ABCD=2+5．B 6．C 7．D 8．（1）略（2）109．提示：（1）当t =4时，Q 与B 重合，P 与D 重合，如图a ，重合部分是△BDC ，S △BDC=122⨯⨯=．（2）①当4≤t ≤6时，如图b ，BQ =t －4，CR =6－4，由△PQR ∽△BQM ∽△CRN ，得22(),CRN PQR S CR S PQ == PQRBQM S S ∆∆＝(PQ BQ )2＝(324-t )2，∴S ＝S △PQR －S △BQM －S △CRN ＝235)532+--t ．当t ＝5时，S 最大值＝325．②当6＜t ≤10时，如图c ，BR ＝10－t ，BK ⊥RK ，且∠KRB ＝30°，所以BK ＝21BR ＝21(10－t )，KR ＝23(10－t )，S ＝21BK ·KR ＝83(10－t )2．当t ＝6时，S 最大值＝23．综合①②，当t ＝5时，S 最大值＝325．10．提示：（1）S ＝2cm 2；S ＝2cm 2．（2）当0＜x ≤4时，如图a ，DG ＝AD ＝x ，AE ＝EF ＝x ＋2，S ＝2)(DEDG EF ⨯+＝2x ＋2cm 2．（3）当4＜x ＜10时，应分两种情况进行讨论：①当4＜x ＜6时，如图b ，DG ＝AD ＝x ，EF ＝BE ＝12－x －2＝10－x ，S ＝S △ABC －S △ADG －S △BEF ＝－x 2＋10x－14＝－(x －5)2＋11，故当x ＝5时，S 最大值＝11．②当6≤x ＜10时，如图c ，BD ＝DG ＝12－x ，EF ＝BE ＝10－x ，S ＝22－x ，当x ＝6时，S 最大值＝10．综上所述，4＜x ＜10时，S 的最大值为11cm 2．11．∵∠HBD ＝∠HAE ，∴Rt △BDH ∽Rt △ADC ．∴HD DC BD AD =．又BD ＝DC ＝21BC ，∴AD ·HD ＝BD ·DC ＝41BC 2．∴S △ABC ·S △HBC ＝(21AD ·BC )(21HD ·BC )＝161BC 4．而BC 是不变的，∴当点A 至BC 的距离变小时，乘积S △ABC ·S △HBC 保持不变．12．（1）（2）略（3）如图，存在符合条件的直线l ．过点D 作DA ⊥OB 于A ，则点P (4，2)为矩形ABCD 的对称中心．∴过点P 的直线只要平分△DOA 的面积即可．易知，在OD 边上必存在点H ，使得直线PH 将△DOA 的面积平分，从而，直线PH 平分梯形OBCD 的面积，直线PH 即为所求直线l ．设直线PH 的表达式为y ＝kx ＋b ，且点P (4，2)，∴2＝4k ＋b ，即b ＝2－4k ，∴y ＝kx ＋2－4k ．∵直线OD 的表达式为y ＝2x ，∴⎩⎨⎧=-+=x y k kx y 242，解得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧--=--=k k y k k x 284242，∴点H 的坐标为(k k --242，kk --284)．∴PH 与线段AD 的交点F 的坐标为(2，2－2k )，∴0＜2－2k ＜4，∴－1＜k ＜1．∴S △DHF ＝21(4－2＋2k )·(2－k k --242)＝21×21×2×4，解得k ＝2313-(k ＝2313--不合题意，舍去)．∴b ＝8－213，∴直线l 的表达式为y ＝2313-x ＋8－213．。
初中数学竞赛《不规则立体图形的表面积和体积(二)》配套练习题
《不规则立体图形的表面积和体积（二）》配套练习题一、解答题1、有一个圆柱体的零件，高10厘米，底面直径是6厘米，零件的一端有一个圆柱形的圆孔，圆孔的直径是4厘米，孔深5厘米（见图）．如果将这个零件接触空气的部分涂上防锈漆，那么一共要涂多少平方厘米？2、一个圆柱体底面周长和高相等．如果高缩短4cm，表面积就减少50.24cm2．求这个圆柱体的表面积是多少？3、如图，厚度为0.25毫米的铜版纸被卷成一个空心圆柱（纸卷得很紧，没有空隙），它的外直径是180cm，内直径是50cm．这卷铜版纸的总长是多少米？4、如图，有一卷紧紧缠绕在一起的塑料薄膜，薄膜的直径为20cm，中间有一直径为8cm的卷轴，已知薄膜的厚度为0.04cm，则薄膜展开后的面积是多少平方米？5、一个盖着瓶盖的瓶子里面装着一些水，瓶底面积为10平方厘米，（如下图所示），请你根据图中标明的数据，计算瓶子的容积是多少立方厘米？6、一个酒精瓶，它的瓶身呈圆柱形（不包括瓶颈），如图．已知它的容积为26.4π立方厘米．当瓶子正放时，瓶内的酒精的液面高为6厘米．瓶子倒放时，空余部分的高为2厘米．问：瓶内酒精的体积是多少立方厘米？合多少升？7、铁路油罐车由两个半球面和一个圆柱面钢板焊接而成，尺寸如图所示．问：该油罐车的容积是多少立方米？(π=3.14)8、如图所示，一个5×5×5的立方体，在一个方向上开有1×1×5的孔，在另一个方向上开有2×1×5的孔，在第三个方向上开有3×1×5的孔，剩余部分的体积是多少？表面积为多少？9、如图，原来的大正方体是由125个小正方体所构成的．其中有些小正方体已经被挖除，图中涂黑色的部分就是贯穿整个大正方体的挖除部分．请问剩下的部分共有多少个小正方体？10、如图，ABCD是矩形，BC＝6cm，AB＝10cm，对角线AC、BD相交O．E、F分别是AD与BC的中点，图中的阴影部分以EF为轴旋转一周，则白色部分扫出的立体图形的体积是多少立方厘米？（π取3）答案部分一、解答题1、【正确答案】307.72【答案解析】涂漆的面积等于大圆柱表面积与小圆柱侧面积之和，为6π×10＋π×（6÷2）2×2＋4π×5＝60π＋18π＋20π＝98π＝307.72（平方厘米）．【答疑编号10299065】2、【正确答案】182.8736【答案解析】圆柱体底面周长和高相等，说明圆柱体侧面展开是一个正方形．高缩短4cm，表面积就减少50.24cm2．阴影部分的面积为圆柱体表面积减少部分，值是50.24cm2，所以底面周长是50.24÷4＝12.56（cm），侧面积是：12.56×12.56＝157.7536（cm2），两个底面积是：3.14×（12.56÷3.14÷2）2×2＝25.12（cm2）．所以表面积为：157.7536＋25.12＝182.8736（cm2）．【答疑编号10299073】3、【正确答案】9388.6【答案解析】卷在一起时铜版纸的横截面的面积为（cm2），如果将其展开，展开后横截面的面积不变，形状为一个长方形，宽为0.25mm（即0.025cm），所以长为7475π÷0.025＝938860cm＝9388.6m．所以这卷铜版纸的总长是9388.6米．【答疑编号10299080】4、【正确答案】65.94【答案解析】缠绕在一起时塑料薄膜的体积为：[π×（20÷2）2－π×（8÷2）2]×100＝8400π（cm3）薄膜展开后为一个长方体，体积保持不变，而厚度为0.04cm，所以薄膜展开后的面积为：8400π÷0.04＝659400cm2＝65.94平方米【答疑编号10299082】5、【正确答案】60【答案解析】由已知条件知，第二个图上部空白部分的高为7－5＝2cm，从而水与空着的部分的比为4∶2＝2∶1，由左图知水的体积为10×4，所以总的容积为40÷2×（2＋1）＝60立方厘米．【答疑编号10299088】6、【正确答案】62.172；0.062172【答案解析】6÷2＝326.4π÷（3＋1）×3＝62.172（立方厘米）62.172立方厘米＝62.172毫升＝0.062172升．答：酒精的体积是62.172立方厘米，合0.062172升．【答疑编号10299090】7、【正确答案】41.9【答案解析】（立方米）【答疑编号10299093】8、【正确答案】100；204【答案解析】求体积：开了3×1×5的孔，挖去3×1×5＝15，开了1×1×5的孔，挖去1×1×5－1＝4；开了2×1×5的孔，挖去2×1×5－（2＋2）＝6，剩余部分的体积是：5×5×5－（15＋4＋6）＝100．（另解）将整个图形切片，如果切面平行于纸面，那么五个切片分别如图：得到总体积为：22×4＋12＝100．求表面积：表面积可以看成外部和内部两部分．外部的表面积为5×5×6－12＝138，内部的面积可以分为前后、左右、上下三个方向，面积分别为2×（2×5＋1×5－1×2－1×3）＝202×（1×5＋3×5－1×3－1）＝322×（1×5＋1×5－1×1－2）＝14所以总的表面积为：138＋20＋32＋14＝204．【答疑编号10299104】9、【正确答案】72【答案解析】对于这一类从立体图形中间挖掉一部分后再求体积（或小正方体数目）的题目一般可以采用“切片法”来做，所谓“切片法”，就是把整个立体图形切成一片一片的（或一层一层的），然后分别计算每一片或每一层的体积或小正方体数目，最后再把它们相加．采用切片法，俯视第一层到第五层的图形依次如下，其中黑色部分表示挖除掉的部分．从图中可以看出，第1、2、3、4、5层剩下的小正方体分别有22个、11个、11个、6个、22个，所以总共还剩下22＋11＋11＋6＋22＝72（个）小正方体．【答疑编号10299107】10、【正确答案】180【答案解析】扫出的图形如图所示，白色部分实际上是一个圆柱减去两个圆锥后所形成的图形．两个圆锥的体积之和为（立方厘米）；圆柱的体积为π×32×10＝270（立方厘米），所以白色部分扫出的体积为270－90＝180（立方厘米）．【答疑编号10299110】。
人教版七年级数学下册专题训练25-图形面积的计算试题(含答案)
25 图形面积的计算阅读与思考计算图形的面积是平面几何中常见的基本问题之一，它包括两种主要类型： 1.常见图形面积的计算由于一些常见图形有计算面积的公式，所以，常见图形面积一般用公式来解. 2.非常规图形面积的计算非常规图形面积的计算通常转化为常见图形面积的计算，解题的关键是将非常规图形面积用常规图形面积的和或差来表示.计算图形的面积还常常用到以下知识：（1）等底等高的两个三角形面积相等.（2）等底的两个三角形面积的比等于对应高的比. （3）等高的两个三角形面积的比等于对应底的比. （4）等腰三角形底边上的高平分这个三角形的面积. （5）三角形一边上的中线平分这个三角形的面积. （6）平行四边形的对角线平分它的面积. 熟悉如下基本图形：S 3S 4S 3S 4S 1S 2S 1S 2S 1S 2S 1S 2S 1S 2S 2S 1l 2l 1例题与求解【例1】 如图，在直角△ABC 的两直角边AC ，BC 上分别作正方形ACDE 和CBFG .AF 交BC 于W ，连接GW ，若AC =14，BC =28，则S △AGW =______________．(2013年“希望杯”全国数学邀请赛试题)解题思路：△AGW 的面积可以看做△AGF 和△GWF 的面积之差.WFGEDCBA【例2】 如图，已知△ABC 中的面积为24，点D 在线段AC 上，点F 在线段BC 的延长线上，且BC =4CF .四边形BDCE 是平行四边形，则图中阴影部分的面积为( )A ．3B ．4C ．5D ．6（2013年全国初中数学竞赛广东试题）解题思路：设△ABC 底边BC 上的高为h .本例关键是通过适当变形找出h 和DE 之间的关系．FC BDEA【例3】 如图，平行四边形ABCD 的面积为30cm 2，E 为AD 边延长线上的一点，EB 与DC 交于F 点，已知三角形FBC 的面积比三角形DEF 的面积大9cm 2，AD =5cm ，求DE 长.（北京市“迎春杯”竞赛试题）解题思路：由面积求相关线段，是一个逆向思维的过程，解题的关键是把条件中图形面积用DE 及其它线段表示．BACFDE【例4】 如图，四边形ABCD 被AC 与DB 分成甲、乙、丙、丁4个三角形，已知BE =80 cm ，CE =60cm ，DE =40 cm ，AE =30 cm ，问：丙、丁两个三角形面积之和是甲、乙两个三角形面积之和的多少倍？（“华罗庚杯”竞赛决赛试题）解题思路：甲、乙、丙、丁四个三角形面积可通过线段的比而建立联系，找出这种联系是解本例的突破口.丁乙丙甲E BCD A【例5】 如图，△ABC 的面积为1，D ，E 为BC 的三等分点，F ，G 为CA 的三等分点，求四边形PECF 的面积.解题思路：连CP ，设S △PFC =x ，S △PEC =y ，建立x ，y 的二元一次方程组.QP F GEDCBA【例6】如图，E ，F 分别是四边形ABCD 的边AB ，BC 的中点， DE 与AF 交于点P ，点Q 在线段DE 上，且AQ ∥PC .求梯形APCQ 的面积与平行四边形ABCD 的面积的比值．（2013年”希望杯“数学邀请赛试题）解题思路：连接EF ，DF ，AC ，PB ，设S □ABCD =a ，求得△APQ 和△CPQ 的面积.F DB能力训练A 级1.如图，边长为1的正方形ABCD的对角线相交于点O.过点O的直线分别交AD，BC于E，F，则阴影部分面积是______.F CB（海南省竞赛试题）2.如图，在长方形ABCD中，E是AD的中点，F是CE的中点，若△BDF的面积为6平方厘米，则长方形ABCD的面积是_____________平方厘米.EFDCBA（“希望杯”邀请赛试题）3.如图，ABCD是边长为a的正方形，以AB，BC，CD，DA分别为直径画半圆，则这四个半圆弧所围成的阴影部分的面积是____________.DCB A（安徽省中考试题）4.如图，已知AB ，CD 分别为梯形ABCD 的上底、下底，阴影部分总面积为5平方厘米，△AOB 的面积是0.625平方厘米，则梯形ABCD 的面积是_________平方厘米.DOCBA（“祖冲之杯”邀请赛试题）5.如图，长方形ABCD 中，E 是AB 的中点，F 是BC 上的一点，且CF =BC ⋅31，则长方形ABCD 的面积是阴影部分面积的( )倍.A.2B. 3C. 4D.5DF CBEA6.如图，是一个长为a ，宽为b 的长方形，两个阴影图形都是一对长为c 的底边在长方形对边上的平行四边形，则长方形中未涂阴影部分的面积为( ).A.c b a ab )(+-B. c b a ab )(--C.))((c b c a --D.))((c b c a +-cccc7．如图，线段AB =CD =10cm ，BC 和DA 是弧长与半径都相等的圆弧，曲边三角形BCD 的面积是以D 为圆心、DC 为半径的圆面积的41，则阴影部分的面积是( )． A ．25π B. 100 C.50π D. 200CBD A（“五羊杯”竞赛试题）8．如图，一个大长方形被两条线段AB 、CD 中分成四个小长方形，如果其中图形Ⅰ，Ⅱ，Ⅲ的面积分别为8，6，5，那么阴影部分的面积为( )． A.29 B.27 C.310D ．815 ⅢⅡⅠCBDA9．如图，长方形ABCD 中，E ，F 分别为AD ，BC 边上的任一点，△ABG ，△DCH 的面积分别为15和20，求阴影部分的面积.HGEDCF B A（五城市联赛试题）10.如图，正方形ABCD ，正方形BEFG 和正方形RKPF 的位置如图所示，点G 在线段DK 上，已知正方形BEFG 的边长为4，求△DEK 的面积．RKP GF EC B A D（广西壮族自治区省南宁市中考试题）B 级1.如果图中4个圆的半径都为a ，那么阴影部分的面积为_____________.（江苏省竞赛试题）2.如图，在长方形ABCD 中，E 是BC 上的一点，F 是CD 上的一点，若三角形ABE 的面积是长方形ABCD 面积的31，三角形ADF 的面积是长方形ABCD 面积的52，三角形CEF 的面积为4cm 2，那么长方形ABCD 的面积是_________cm 2.DCFE BA（北京市“迎春杯”邀请赛试题）3.如图，边长为3厘米与5厘米的两个正方形并排放在一起，在大正方形中画一段以它的一个顶点为圆心，边长为半径的圆弧，则阴影部分的面积为___________________.（“希望杯”邀请赛试题）4.如图，若正方形APHM ，BNHP ，CQHN 的面积分别为7，4，6，则阴影部分的面积是_____.CMNDQPB A(“五羊杯”竞赛试题）5.如图，把等边三角形每边三等分，使其向外长出一个边长为原来的31的小等边三角形，称为一次“生长”，在得到的多边上类似“生长”，一共“生长”三次后，得到的多边形的边数=________，面积是原三角形面积的______倍.第2次生长第1次生长原图(“五羊杯”竞赛试题）6.如图，在长方形ABCD 中，AE =BG =BF =21AD =31AB =2，E ，H ，G 在同一条直线上，则阴影部分的面积等于( ).A.8B.12C.16 D ．20F BGCHDE A7.如图，边长分别为8cm 和6cm 的两个正方形，ABCD 与BEFG 并排放在一起，连接EG 并延长交AC 于K ，则△AKE 的面积是( ).A.48cm 2B.49cm 2C.50cm 2D ．51cm 2KGFEC B A D（2013年“希望杯”邀请赛试题）8.在一个由8×8个方格组成的边长为8的正方形棋盘内放一个半径为4的圆，若把圆经过的所有小方格的圆内部分的面积之和记为S 1，把圆周经过的所有小方格的圆外部分的面积之和记为S 2，则21S S 的整数部分是( ). A.0 B.1 C.2 D ．3（全国初中数学联赛试题）9.如图，△ABC 中，点D ，E ，F 分别在三边上，E 是AC 的中点，AD ，BE ，CF 交于一点G ，BD =2DC ，S △GEC =3，S △GDC =4，则△ABC 的面积是( ).A.25B.30C.35 D ．40GFE CBDA10.已知O （0，0），A （2，2），B （1，a ），求a 为何值时，S △ABO =5？11.如图，已知正方形ABCD 的面积为1，M 为AB 的中点，求图中阴影部分的面积.GCBMAD（湖北省武汉市竞赛试题）12.如图，△A BC 中，21===FA FB EC EA DB DC .求的面积△的面积△ABC GHI 的值. G IHEDCBFA（“华罗庚金杯”邀请赛试题）专题25 图形面积的计算例1 196 提示：×28×（28+14）-×28×28=×28×14=28×7=196.例2 D 提示：设△ABC 底边上的高为h ，则×BC ×h =24 故h=错误！未找到引用源。
初中数学竞赛图形与面积(含答案)
图形与面积一、直线图形的面积在小学数学中我们学习了几种简单图形的面积计算方法，数学竞赛中的面积问题不但具有直观性，而且变换精巧，妙趣横生，对开发智力、发展能力非常有益。
图形的面积是图形所占平面部分的大小的度量。
它有如下两条性质：1．两个可以完全重合的图形的面积相等；2．图形被分成若干部分时，各部分面积之和等于图形的面积。
对图形面积的计算，一些主要的面积公式应当熟记。
如正方形面积=边长×边长；矩形面积=长×宽；平行四边形面积=底×高；三角形面积=底×高÷2；梯形面积=（上底+下底）×高÷2。
此外，以下事实也非常有用，它对提高解题速度非常有益。
1．等腰三角形底边上的高线平分三角形面积；2．三角形一边上的中线平分这个三角形的面积；3．平行四边形的对角线平分它的面积；4．等底等高的两个三角形面积相等。
解决图形面积的主要方法有：1．观察图形，分析图形，找出图形中所包含的基本图形；2．对某些图形，在保持其面积不变的条件下改变其形状或位置（叫做等积变形）；3．作出适当的辅助线，铺路搭桥，沟通联系；4．把图形进行割补（叫做割补法）。
例1 你会用几种不同的方法把一个三角形的面积平均分成4等份吗？解：最容易想到的是将△ABC的底边4等分，如左下图构成4个小三另外，先将三角形△ABC的面积2等分（如右上图），即取BC的中点D，连接AD，则S△ABC-S△ABC，然后再将这两个小三角形分别2等分，分还有许多方法，如下面的三种。
请你再想出几种不同的方法。
例2 右图中每个小方格面积都是1cm2，那么六边形ABCDEF的面积是多少平方厘米？分析：解决这类问题常用割补法，把图形分成几个简单的容易求出面积的图形，分别求出面积。
也可以求出六边形外空白处的面积，从总面积中减去空白处的面积，就是六边形的面积。
解法1：把六边形分成6块：△ABC，△AGF，△PEF，△EKD，△CDH和正方形GHKP。
初中数学竞赛专题培训(22)：面积问题与面积方法
word格式-可编辑-感谢下载支持初中数学竞赛专题培训第二十二讲面积问题与面积方法几何学的产生，源于人们测量土地面积的需要．面积不仅是几何学研究的一个重要内容，而且也是用来研究几何学的一个有力工具．下面，我们把常用的一些面积公式和定理列举如下．(1)三角形的面积(i)三角形的面积公式b＋c)是半周长，r是△ABC的内切圆半径．(ii)等底等高的两个三角形面积相等．(iii)两个等底三角形的面积之比等于高之比；两个等高三角形的面积之比等于底边之比；两个三角形面积之比等于底、高乘积之比．(iv)相似三角形的面积之比等于相似比的平方．(2)梯形的面积梯形的面积等于上、下底之和与高的乘积的一半．(3)扇形面积其中r为半径，l为弧长，θ为弧l所对的圆心角的度数，α是弧度数．1．有关图形面积的计算和证明解因为CD⊥AB，AC=CB，且△ABD内接于半圆，由此可得所以，阴影部分AEFBDA的面积是例2已知凸四边形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，且△ABC，△ACD，△ABD的面积分别为S1=5，S2=10，S3=6．求△ABO 的面积(图2-128)．解首先，我们证明△ABC与△ACD的面积比等于BO与DO的比．过B，D分别作AC的垂线，垂足为E，F．于是Rt△BEO由题设设S△AOB=S，则所以例3 如图2-129，AD，BE，CF交于△ABC内的一点P，并将△ABC分成六个小三角形，其中四个小三角形的面积已在图中给出．求△ABC的面积．分析如果能把未知的两个小三角形的面积求出，那么△ABC 的面积即可得知．根据例1，这两个面积是不难求出的．解设未知的两个小三角形的面积为x和y，则即又即①÷②得再由②得x=56．因此S△ABC＝84＋70＋56＋35＋40＋30=315．例4 如图2-130，通过△ABC内部一点Q引平行于三角形三边的直线，这些直线分三角形为六个部分，已知三个平形四边形部分的面积为S1，S2，S3，求△ABC的面积．解为方便起见，设S△QDG=S′1，S△QIE=S′2，S△QFH=S′3，则所以同理可得从①，②，③中可以解得所以word格式-可编辑-感谢下载支持例5在一个面积为1的正方形中构造一个如图2-131所示的正方形：将单位正方形的每一条边n等分，然后将每个顶点和它相对的顶点最接近的分点连接起来．如果小正方形(图中阴影部分)的面积恰解如图2-131，过F作BC的平行线交BG于H，则∠GHF=∠CED，∠FGH=∠DCE=90°，故n2-n-90=0，所以n=10．2．利用面积解题有的平面几何问题，虽然没有直接涉及到面积，然而若灵活地运用面积知识去解答，往往会出奇制胜，事半功倍．例6 在△ABC内部或边界上任取一点P，记P到三边a，b，c 的距离依次为x，y，z．求证：ax+by+cz是一个常数．证如图2-132，连结PA， PB，PC，把△ABC分成三个小三角形，则S△ABC＝S△PAB＋S△PCB＋S△PCA所以 ax＋by＋cz=2S△ABC，即ax＋by＋cz为常数．说明若△ABC为等边三角形，则此即正三角形内一点到三边的距离和为常数，此常数是正三角形的高．例7如图2-133，设P是△ABC内任一点，AD，BE，CF是过点P且分别交边BC，CA，AB于D，E，F．求证：证首先，同例2类似，容易证明说明本例的结论很重要，在处理三角形内三条线交于一点的问题时，常常可以用这一结论去解决．例8如图2-134，已知D，E，F分别是锐角三角形ABC的三边BC，CA，AB上的点，且AD，BE，CF相交于点P，AP=BP=CP=6，设PD=x，PE=y，PF=z，若xy＋yz+zx=28，求xyz的值．解由上题知去分母整理得3(xy+yz＋zx)＋36(x+y＋z)＋324=xyz+6(xy＋yz＋zx)+36(x+y＋z)＋216，所以 xyz=108-3(xy＋yz＋zx)=24．练习二十二1．填空：________．(2)一个三角形的三边长都是整数，周长为8，则这个三角形的面积是________．(3)四边形ABCD中，∠A=30°，∠B=∠D=90°，AB=AD，AC=1，则四边形ABCD的面积是______．(4)梯形ABCD中，AB∥CD，对角线AC与BD相交于O．若S△ABO=p2，S△CDO=q2，则S ABCD=____．△ABC=40．若BE，CD相交于F，则S△DEF=______．2．E，F分别在矩形ABCD的边BC和CD上，若△CEF，△ABE，△ADF的面积分别是3，4，5，求△AEF的面积．3．已知点P，Q，R分别在△ABC的边AB，BC，CA上，且BP=PQ=QR=RC=1，求△ABC的面积的最大值．4．在凸五边形ABCDE中，S△ABC=S△BCD=S△CDE=S△DEA=S△EAB=1，CE与AD相交于F，求S△CFD．5．在直角三角形ABC中，∠A=90°，AD，AE分别是高和角平分线，且△ABE，△AED的面积分别为S1=30，S2=6，求△ADC的面积S．6．设P是△ABC内一点，AD，BE，CF过点P并且交边BC，CA，AB于点D，E，F．求证：7．已知△ABC中，DE∥BC交AB于D，交AC于E，AM为BC 边上的中线，与DE相交于N，求证：DN=NE．。
初一数学竞赛专讲第⑹讲含例题及答案：图形与面积
3．在右图的4×7的方格纸板上画有如阴 影所示的“6”字，阴影边缘是线段或圆孤。
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问：阴影面积占纸板面积的几分之几？ 4．在右下图中，六边形ABCDEF的面积是
54，AP=2PF，CQ=2BQ，求阴影四边形CEPQ的 面积。
解：由图可知，阴影部分是由三个直径不同的半
圆周所围成，所以其周长为
说明：实际上，该图形中两个小半圆的直径之和等于大半圆的直径，因而它们的 周长也正好等于大半圆的半圆周。 推而广之，若n个小圆的直径之和等于大圆的直径，即：d1+d2+d3+…+dn=D， 那么这些小圆的周长之和也等于大圆的周长，即 πd1+πd2+πd3+…+πdn=π（d1+d2+d3+…+dn）=πD。 例8 某开发区的大标语牌上，要画出如下图所示（图形阴影部分）的三种标点符 号：句号、逗号、问号。已知大圆半径为R，小圆半径为r，且R=2r。若均匀用料，则 哪一个标点符号的油漆用得多？哪一个标点符号的油漆用得少？
例12 已知右图中正方形的面积是12cm2，求图中里外两个 圆的面积。
分析：计算圆面积，要知道半径。先考虑内圆面积。内圆 的直径与正方形的边长相等，但正方形的边长是未知的。根据 已知正方形的面积是12cm2，可以推出内圆直径的平方为12cm2， 再求内圆面积就不难了。 外圆的直径是正方形的对角线，设外圆半径为R，则正方形面积等于由一条对角线 分成的两个等腰直角三角形的面积之和。再由正方形面积=2R×R÷2×2=2R2，2R2=12， 便可求出外圆面积。 解：设内圆半径为r，由正方形面积为12cm2，正方形边长为2r，得 （2r）2=12，r2=3。
(高频考点)新初一分班考专题4-平面图形的周长与面积(专项突破)-小学数学六年级下册人教版
（高频考点）新初一分班考专题4-平面图形的周长与面积（专项突破）-小学数学六年级下册人教版一．选择题（共8小题）1．一个三角形两条边分别长5厘米和9厘米，第三条边不可能是（）厘米。
A．13B．9C．5D．42．一个直角三角形的三条边分别是5cm，4cm，3cm，这个三角形的面积是（）cm2。
A．10B．7.5C．6D．以上答案都不对3．一个平行四边形，相邻的两条边长10厘米和7厘米，高是8厘米，这个平行四边形的面积是（）平方厘米。
A．56B．80C．70D．56或804．关于平面图形，下列叙述中正确的有（）句。
（1）射线只有一个端点；（2）三角形任意两边之和大于第三条边；（3）长方形是特殊的平行四边形；（4）直径是圆内最长的线段。
A．1B．2C．3D．45．在一个长10cm，宽为6cm的长方形中，画一个最大的半圆，这个半圆的周长是（）A．31.4cm B．30.84cm C．25.7cm D．18.84cm6．小圆的半径是2cm，大圆的半径是3cm，小圆与大圆的面积之比是（）A．1：2B．1：3C．2：3D．4：97．育才学校的操场一圈是400米，雷艳在操场上已经跑了两圈，她再跑（）米就是1千米。
A．100B．200C．3008．一个圆，把它的半径扩大到原来的4倍，那么圆的面积（）A．扩大到原来的16倍B．缩小到原来的16倍C．扩大到原来的4倍D．缩小到原来的4倍二．填空题（共8小题）9．一根长18厘米的铁丝围成一个等腰三角形。
其中底边长是8厘米，一个腰长厘米。
10．一个平行四边形的周长是36厘米，其中一条边的长度是12厘米，与它相邻的另一条边的长度是厘米。
11．一个平行四边形和一个三角形等底等高。
三角形的面积是60cm2，平行四边形的面积是cm2。
12．有一堆木头整齐叠放在地上，底层放了10根，每往上一层就少1根，顶层有5根，这堆木头有层，一共有根。
13．把一个长是10厘米，宽6厘米的长方形剪成一个最大的圆，这个圆的面积是平方厘米，剪下的边角料是平方厘米。
七年级数学竞赛题：图形面积的计算
七年级数学竞赛题：图形面积的计算计算图形的面积是平面几何中常见的基本问题之一，它包括两种主要类型： 1．常见图形面积的计算 ．由于一些常见图形有计算面积的公式，所以，常见图形面积一般用公式来解． 2．非常规图形面积的计算非常规图形面积的计算通常转化为常见图形面积的计算，解题的关键是将非常规图形面积用常见图形面积的和或差来表示．计算图形的面积还常常用到以下知识： 1．等底等高的两个三角形面积相等；2．等底的两个三角形面积的比等于对应高的比； 3．等高的两个三角形面积的比等于对应底的比． 熟悉如下基本图形、基本结论：例1 2002年8月，将在北京召开国际数学家大会，大会会标如图所示，它是由四个相同的直角三角形与中间的小正方形拼成的一个大正方形．若大正方形的面积是13，小正方形的面积是1，则每个直角三角形的两条直角边的立方和等于 ．(2002年北京市竞赛题) 解题思路 从向外补形人手．例2 如图，ABC S ∆=1，若BDE S ∆=DEC S ∆=ACE S ∆，则ADE S ∆=（ ）(“五羊杯”竞赛题)(A)51 (B)61 (C) 71(D) 81解题思路 因条件未给出具体线段的长，故不宜用公式直接求出ADE S ∆，考虑由BDE S ∆=DEC S ∆能推出什么．例3如图，平行四边形ABCD 的面积为30 cm 2，E 为AD 边延长线上的一点，EB 与DC交于F 点，已知三角形FBC 的面积比三角形DEF 的面积大9 cm 2，AD=5cm ，求DE 长． (北京市“迎春杯”竞赛题)解题思路 由面积求相关线段，是一个逆向思维的过程，解题的关键是把条件中图形面积用DE 及其他线段表示．例4如图，四边形ABCD 被AC 与DB 分成甲、乙、丙、丁4个三角形．已知BE=80 cm ，CE=60 cm ，DE=40 cm ，AE=30 cm ，问： 丙、丁两个三角形面积之和是甲、乙两个三角形面积之和的多少倍?(“华罗康金杯”赛决赛试题)解题思路 甲、乙、丙、丁四个三角形面积可通过线段的比而建立联系，找出这种联系是解本例的突破口．例5如图，△ ABC 的面积为l ，D 、E 为 BC 的三等分点，F 、G 为CA 的三等分点，求四 边形PECF 的面积．解题思路 连CP ，设PFC S ∆=x ，PEC S ∆=y ，建立x ，y 的二元一次方程组．A1．如图，正方形的边长为a ，小圆的直径是b ，S 表示正方形面积与大圆面积的差，A 是小圆面积，设圆周率为π，则AS= ．(第1题) (第2题) (第3题)2．如图，在长方形ABCD 中，E 是AD 的中点，F 是CE 的中点，若ABDF 的面积为6平方厘米，则长方形ABCD 的面积是 平方厘米．(第十一届“希望杯”邀请赛试题)3．如图，ABCD 是边长为a 的正方形，以AB 、BC 、CD 、DA 分别为直径画半圆，则这四个半圆弧所围成的阴影部分的面积是 .(安徽省中考题)4．如图，已知AB 、CD 分别为梯形ABCD 的上底、下底，阴影部分总面积为5平方厘米，△ AOB 的面积是0．625平方厘米，则梯形ABCD 的面积是 平方厘米．(“祖冲之杯”邀请赛试题)(第4题) (第5题) (第6题) 5．如图，长方形ABCD 中，E 是AB 的中点，F 是BC 上的一点，且CF=31BC ，则长方形ABCD 的面积是阴影部分面积的( )倍． (A)2 (B)3 (C)4 (D)56．如图，是一个长为a ，宽为b 的长方形，两个阴影图形都是一对长为c 的底边在长方形对边上的平行四边形，则长方形中未涂阴影部分的面积为（ ） (A)ab 一(a+b)c (B)ab 一(a 一b)c (C)(a —c)(b 一c) (D)(a--c)( b+c)7．如图，线段AB=CD=10cm ， 和 是弧长与半径都相等的圆弧，曲边三角形BCD 的面积是以D 为圆心，DC 为半径的圆面积的41，则阴影部分的面积是( )． (“五羊杯”竞赛题)(A)25π (B)100 (C)50π (D)2008．如图，一个大长方形被两条线段AB 、CD 分成四个小长方形，如果其中图形I 、Ⅱ、Ⅲ的面积分别为8、6、5，那么阴影部分的面积为( )． (A)29 (B)27 (C)310 (D)815(第7题) (第8题) (第9题)9．如图，长方形ABCD 中，E 、F 分别为AD 、BC 边上的任意点，△ABG、△DCH 的面积分别为15和20，求阴影部分的面积．(五城市联赛题)10．如图，一个长方形恰被分成六个正方形，其中最小的正方形面积是1平方厘米，求这个长方形的面积.B ．1．如果图中4个圆的半径都为a ，那么阴影部分的面积为 .(第十七届江苏省竞赛题) 2．如图，△AB C 中，点P 在边AB 上，AP=31AB ，Q 点在边BC 上，BQ=4BC ，R 在边CA上，CR=51CA ，已知阴影△PQR 的面积是19平方厘米，那么△ABC 的面积是 平方厘米．(第1题) (第2题) (第3题)3．如图，在长方形ABCD 中，E 是BC 上的一点，F 是CD 上的一点，若三角形ABE 的面积是长方形ABCD 面积的31，三角形ADF 的面积是长方形ABCD 面积的52，三角形CEF 的面积为4cm 2，那么长方形ABCD 的面积是 cm 2．(北京市“迎春杯”邀请赛试题)4．如图，边长为3厘米与5厘米的两个正方形并排放在一起，在大正方形中画一段以它的一个顶点为圆心，边长为半径的圆弧，则阴影部分的面积为 ．(第4题) (第5题)5．如图，若长方形APHM ，BNHP ，CQHN 的面积分别为7，4，6，则阴影部分的面积是 ．(“五羊杯”竞赛题) 6.如图，把等边三角形每边三等分，使其向外长出一个边长为原来的31的小等边三角形，称为一次 “生长”，在得到多边形上类似“生长”，一共“生长”三次后，得到的多边形的边数= ，面积是原三角形面积的 倍．(“五羊杯”竞赛题)7．在一个由8×8个方格组成的边长为8的正方形棋盘内放一个半径为4的圆，若把圆周经过的所有小方格的圆内部分的面积之和记为1S ，把圆周经过的所有小方格的圆外部分的面积之和记为2S ，则21S S 的整数部分是( )． (全国初中数学联赛试题)(A)0 (B)1 (C)2 (D)38．如图，△ ABC 中，点D 、E 、F 分别在三边上，E 是AC 的中点，AD 、BE 、CF 交于一点G ，BD=2DC ，GEC S ∆=3，GDC S ∆=4，则△ABC 的面积是( )． (A)25 (B)30 (C)35 (D)40 BA E F B(第8题) (第9题) (第10题) 9．如图，已知长方形的面积是36平方厘米，在边AB 、AD 上分别取点E 、F ，使得AE=3EB ，DF=2AF ，DE 与CF 的交点为O ，计算△FOD 的面积是多少平方厘米?(第十一届“希望杯”邀请赛试题)10．如图，四边形ABCD 面积为S ，E ，F 为AB 的三等分点，M 、N 为DC 的三等分点，求证：EFNM S =3S .。
初一数学竞赛教程含例题练习及答案⑺
初一数学竞赛教程含例题练习及答案⑺第7讲立体图形空间形体的想象能力是小学生的一种重要的数学能力，而立体图形的学习对培养这种能力十分有效。
我们虽然在课本上已经学习了一些简单的立体图形，如正方体、长方体、圆柱体、圆锥体，但有关立体图形的概念还需要深化，空间想象能力还需要提高。
将空间的位置关系转化成平面的位置关系来处理，是解决立体图形问题的一种常用思路。
一、立体图形的表面积和体积计算例1 一个圆柱形的玻璃杯中盛有水，水面高2.5cm，玻璃杯内侧的底面积是72cm，在这个杯中放进棱长6cm的正方体铁块后，水面没有淹没铁块，这时水面高多少厘米？解：水的体积为72 X 2.5=180 (cm)，放入铁块后可以将水看做是底面积为72-6 X 6=32 (cm)的柱体，所以它的高为180- 32=5 (cm)例2下图表示一个正方体，它的棱长为4cm在它的上下、前后、左右的正中位置各挖去一个棱长为1cm的正方体，问：此图的表面积是多少？分析：正方体有6个面，而每个面中间有一个正方形的孔，在计算时要减去小正方形的面积。
各面又挖去一个小正方体，这时要考虑两头小正方体是否接通，这与表面积有关系。
由于大正方体的棱长为4cm,而小正方体的棱长为1cm所以没有接通。
每个小正方体孔共有5个面，在计算表面积时都要考虑。
解：大正方体每个面的面积为4X 4-1 X仁15 (cm)，6个面的面积和为15X6=90( cm)。
小正方体的每个面的面积为1 X仁1 (cm)，5个面的面积和为1X 5=5 (cm),6个小正方体孔的表面积之和为5 X 6=30 (cm), 因此所求的表面积为90+ 30=120 (cm2)。
想一想，当挖去的小正方体的棱长是2cm时，表面积是多少？请同学们把它计算出来例3正方体的每一条棱长是一个一位数，表面的每个正方形面积是一个两位数，整个表面积是一个三位数。
而且若将正方形面积的两位数中两个数码调过来则恰好是三位数的十位与个位上的数码。
奥数竞赛面积计算公式
奥数竞赛面积计算公式在数学竞赛中，面积计算是一个常见的题型，也是考察学生对几何知识掌握程度的重要指标。
在奥数竞赛中，面积计算题目往往涉及到各种不规则图形的面积计算，需要学生灵活运用所学的面积计算公式来解题。
本文将介绍一些常见的面积计算公式，并通过例题来演示如何运用这些公式来解决奥数竞赛中的面积计算题目。
首先，我们来看一些常见的图形的面积计算公式。
1. 矩形的面积计算公式。
矩形是最简单的几何图形之一，其面积计算公式为，面积 = 长×宽。
这个公式非常简单，只需要将矩形的长和宽代入公式即可得到矩形的面积。
2. 正方形的面积计算公式。
正方形是一种特殊的矩形，其面积计算公式与矩形相同，面积= 边长×边长。
也就是说，正方形的面积就是边长的平方。
3. 三角形的面积计算公式。
三角形是另一种常见的几何图形，其面积计算公式为，面积 = 底×高 / 2。
其中，底代表三角形的底边长，高代表三角形的高。
4. 圆的面积计算公式。
圆是一个非常特殊的几何图形，其面积计算公式为，面积= π×半径的平方。
其中，π是一个无理数，约等于3.14，半径代表圆的半径长度。
除了上述常见图形的面积计算公式外，还有一些其他不规则图形的面积计算公式，例如梯形、圆环等，这里不一一列举。
接下来，我们通过一些例题来演示如何运用这些面积计算公式来解决奥数竞赛中的面积计算题目。
例题1，一个矩形的长为5厘米，宽为3厘米，求其面积。
解，根据矩形的面积计算公式，面积 = 长×宽，代入长和宽的数值，得到面积 = 5 × 3 = 15（平方厘米）。
因此，这个矩形的面积为15平方厘米。
例题2，一个半径为4厘米的圆的面积是多少？解，根据圆的面积计算公式，面积 = π×半径的平方，代入半径的数值，得到面积 = 3.14 × 4 × 4 = 50.24（平方厘米）。
因此，这个圆的面积约为50.24平方厘米。
初一几何竞赛试题及答案
初一几何竞赛试题及答案1. 选择题：下列哪个选项是正方形的对角线长度的两倍？A. 边长B. 边长的平方C. 边长的根号2倍D. 边长的根号3倍答案：C2. 填空题：在一个等边三角形中，如果边长为a，那么该三角形的高是______。
答案：\(\frac{\sqrt{3}}{2}a\)3. 判断题：如果一个四边形的对角线互相平分，那么这个四边形一定是矩形。
正确错误答案：错误4. 计算题：一个圆的直径是14cm，求这个圆的周长和面积。
答案：周长为\(\pi \times 14\)cm，面积为\(\frac{\pi \times14^2}{4}\)平方厘米。
5. 简答题：请说明如何证明一个三角形是等边三角形。
答案：要证明一个三角形是等边三角形，需要证明其三边相等。
可以通过测量每条边的长度，或者证明其中两个角相等（因为等边三角形的三个角都是60度），从而得出结论。
6. 作图题：给定一个点O，画出一个以O为圆心，半径为5cm的圆。
答案：使用圆规，以O为圆心，将圆规的两脚张开到5cm的距离，旋转一周即可画出圆。
7. 应用题：一个长方形的长是宽的两倍，如果宽为3cm，求长方形的周长。
答案：长方形的长为6cm，周长为\(2 \times (3 + 6) = 18\)cm。
8. 证明题：证明在一个直角三角形中，斜边的中点到直角顶点的距离等于两直角边中点连线的长度。
答案：设直角三角形ABC中，∠C为直角，D为斜边AB的中点。
连接CD，根据直角三角形的性质，CD是斜边AB的中线，因此CD等于AB的一半。
又因为D是AB的中点，所以AD等于BD。
根据中线定理，CD等于AD，因此CD等于两直角边中点连线的长度。
七年级数学专题训练25 图形面积的计算(附答案)
七年级数学专题训练25 图形面积的计算阅读与思考计算图形的面积是平面几何中常见的基本问题之一，它包括两种主要类型： 1.常见图形面积的计算由于一些常见图形有计算面积的公式，所以，常见图形面积一般用公式来解. 2.非常规图形面积的计算非常规图形面积的计算通常转化为常见图形面积的计算，解题的关键是将非常规图形面积用常规图形面积的和或差来表示.计算图形的面积还常常用到以下知识：（1）等底等高的两个三角形面积相等.（2）等底的两个三角形面积的比等于对应高的比. （3）等高的两个三角形面积的比等于对应底的比. （4）等腰三角形底边上的高平分这个三角形的面积. （5）三角形一边上的中线平分这个三角形的面积. （6）平行四边形的对角线平分它的面积. 熟悉如下基本图形：S 3S 4S 3S 4S 1S 2S 1S 2S 1S 2S 1S 2S 1S 2S 2S 1l 2l 1例题与求解【例1】 如图，在直角△ABC 的两直角边AC ，BC 上分别作正方形ACDE 和CBFG .AF 交BC 于W ，连接GW ，若AC =14，BC =28，则S △AGW =______________．(2013年“希望杯”全国数学邀请赛试题)解题思路：△AGW 的面积可以看做△AGF 和△GWF 的面积之差.F【例2】 如图，已知△ABC 中的面积为24，点D 在线段AC 上，点F 在线段BC 的延长线上，且BC =4CF .四边形BDCE 是平行四边形，则图中阴影部分的面积为( )A ．3B ．4C ．5D ．6（2013年全国初中数学竞赛广东试题）解题思路：设△ABC 底边BC 上的高为h .本例关键是通过适当变形找出h 和DE 之间的关系．FC B【例3】 如图，平行四边形ABCD 的面积为30cm 2，E 为AD 边延长线上的一点，EB 与DC 交于F 点，已知三角形FBC 的面积比三角形DEF 的面积大9cm 2，AD =5cm ，求DE 长.（北京市“迎春杯”竞赛试题）解题思路：由面积求相关线段，是一个逆向思维的过程，解题的关键是把条件中图形面积用DE 及其它线段表示．BACFDE【例4】 如图，四边形ABCD 被AC 与DB 分成甲、乙、丙、丁4个三角形，已知BE =80 cm ，CE =60 cm ，DE =40 cm ，AE =30 cm ，问：丙、丁两个三角形面积之和是甲、乙两个三角形面积之和的多少倍？（“华罗庚杯”竞赛决赛试题）解题思路：甲、乙、丙、丁四个三角形面积可通过线段的比而建立联系，找出这种联系是解本例的突破口.丁乙丙甲E BCDA【例5】 如图，△ABC 的面积为1，D ，E 为BC 的三等分点，F ，G 为CA 的三等分点，求四边形PECF 的面积.解题思路：连CP ，设S △PFC =x ，S △PEC =y ，建立x ，y 的二元一次方程组.Q P FG ED CBA【例6】如图，E，F分别是四边形ABCD的边AB，BC的中点，DE与AF交于点P，点Q在线段DE 上，且AQ∥PC.求梯形APCQ的面积与平行四边形ABCD的面积的比值．（2013年”希望杯“数学邀请赛试题）解题思路：连接EF，DF，AC，PB，设S□ABCD=a，求得△APQ和△CPQ的面积.F DB能力训练A 级1.如图，边长为1的正方形ABCD的对角线相交于点O.过点O的直线分别交AD，BC于E，F，则阴影部分面积是______.F CB（海南省竞赛试题）2.如图，在长方形ABCD中，E是AD的中点，F是CE的中点，若△BDF的面积为6平方厘米，则长方形ABCD的面积是_____________平方厘米.EFDCBA（“希望杯”邀请赛试题）3.如图，ABCD 是边长为a 的正方形，以AB ，BC ，CD ，DA 分别为直径画半圆，则这四个半圆弧所围成的阴影部分的面积是____________.C（安徽省中考试题）4.如图，已知AB ，CD 分别为梯形ABCD 的上底、下底，阴影部分总面积为5平方厘米，△AOB 的面积是0.625平方厘米，则梯形ABCD 的面积是_________平方厘米.C（“祖冲之杯”邀请赛试题）5.如图，长方形ABCD 中，E 是AB 的中点，F 是BC 上的一点，且CF =BC 31，则长方形ABCD 的面积是阴影部分面积的( )倍.A .2B . 3C . 4D .5F CBE6.如图，是一个长为a ，宽为b 的长方形，两个阴影图形都是一对长为c 的底边在长方形对边上的平行四边形，则长方形中未涂阴影部分的面积为( ).A .c b a ab )(+-B . c b a ab )(--C .))((c b c a --D .))((c b c a +-7．如图，线段AB =CD =10cm ，BC 和DA 是弧长与半径都相等的圆弧，曲边三角形BCD 的面积是以D 为圆心、DC 为半径的圆面积的41，则阴影部分的面积是( )． A ．25π B . 100 C .50π D .200CD（“五羊杯”竞赛试题）8．如图，一个大长方形被两条线段AB 、CD 中分成四个小长方形，如果其中图形Ⅰ，Ⅱ，Ⅲ的面积分别为8，6，5，那么阴影部分的面积为( )． A .29 B .27 C .310 D ．815BDA9．如图，长方形ABCD 中，E ，F 分别为AD ，BC 边上的任一点，△ABG ，△DCH 的面积分别为15和20，求阴影部分的面积.CF B（五城市联赛试题）10.如图，正方形ABCD ，正方形BEFG 和正方形RKPF 的位置如图所示，点G 在线段DK 上，已知正方形BEFG 的边长为4，求△DEK 的面积．KEB AD（广西壮族自治区省南宁市中考试题）B 级1.如果图中4个圆的半径都为a ，那么阴影部分的面积为_____________.（江苏省竞赛试题）2.如图，在长方形ABCD 中，E 是BC 上的一点，F 是CD 上的一点，若三角形ABE 的面积是长方形ABCD 面积的31，三角形ADF 的面积是长方形ABCD 面积的52，三角形CEF 的面积为4cm 2，那么长方形ABCD 的面积是_________cm 2.DCFE BA（北京市“迎春杯”邀请赛试题）3.如图，边长为3厘米与5厘米的两个正方形并排放在一起，在大正方形中画一段以它的一个顶点为圆心，边长为半径的圆弧，则阴影部分的面积为___________________.（“希望杯”邀请赛试题）4.如图，若正方形APHM ，BNHP ，CQHN 的面积分别为7，4，6，则阴影部分的面积是_____.CMNDQB A(“五羊杯”竞赛试题）5.如图，把等边三角形每边三等分，使其向外长出一个边长为原来的31的小等边三角形，称为一次“生长”，在得到的多边上类似“生长”，一共“生长”三次后，得到的多边形的边数=________，面积是原三角形面积的______倍.第2次生长第1次生长原图(“五羊杯”竞赛试题）6.如图，在长方形ABCD 中，AE =BG =BF =21AD =31AB =2，E ，H ，G 在同一条直线上，则阴影部分的面积等于( ).A .8B .12C .16D ．20F BGCDA7.如图，边长分别为8cm 和6cm 的两个正方形，ABCD 与BEFG 并排放在一起，连接EG 并延长交AC 于K ，则△AKE 的面积是( ).A .48cm 2B .49cm 2C .50cm 2D ．51cm 2FEB A（2013年“希望杯”邀请赛试题）8.在一个由8×8个方格组成的边长为8的正方形棋盘内放一个半径为4的圆，若把圆经过的所有小方格的圆内部分的面积之和记为S 1，把圆周经过的所有小方格的圆外部分的面积之和记为S 2，则21S S 的整数部分是( ).A .0B .1C .2D ．3（全国初中数学联赛试题）9.如图，△ABC 中，点D ，E ，F 分别在三边上，E 是AC 的中点，AD ，BE ，CF 交于一点G ，BD =2DC ，S △GEC =3，S △GDC =4，则△ABC 的面积是( ).A .25B .30C .35D ．40GFE CBDA10.已知O （0，0），A （2，2），B （1，a ），求a 为何值时，S △ABO =5？11.如图，已知正方形ABCD 的面积为1，M 为AB 的中点，求图中阴影部分的面积.CAD（湖北省武汉市竞赛试题）12.如图，△ABC中，21===FAFBECEADBDC.求的面积△的面积△ABCGHI的值.GIHEDCBFA（“华罗庚金杯”邀请赛试题）专题25 图形面积的计算例1 196 提示：×28×（28+14）-×28×28=×28×14=28×7=196.例2 D 提示：设△ABC 底边上的高为h ，则×BC ×h =24 故h====. 设△ABC 底边DE 上的高为，△BDE 底边DE 上的高为，则h =.∴=+=+）===6.例3 2cm .提示：设△ABE 的AE 边上的高为hcm ，DE 长为xcm ，则，解得DE =2.例4 54提示：2S CE S EA ==丙甲 , 2S BE S ED ==丙乙, 12S DE S BE ==丁甲,12S AE S EC ==丁乙. 例51133AECABCSS == ，1133BGFABCS S ==.设=x PECS ，=y PFCS则=3x PBCS，=3y PCAS于是133133x y x y ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩①+②，得243x y +=（），∴16x y +=，即6=1PECF S .例6 设=a ABCD S，因为E,F 分别是AB,BC 的中点，所以a4ADEABFSS==. ∴APDBEPF SS =四边形.如图，连接EF,DF ，则a a==82AEF ADF S S ，.所以a 18=a 42EP PD =.设x AEP S=，则=4x ADP S.由APDBEPF SS =四边形得a x=4x 4-. ∴ ax=20. ∴a a4=205APDS =⨯. 连接AC ，又∵AQ ∥PC ，APQACQS S =， ∴a5ACQADQS S+=. ∴a a 3=a 2510CDQS =-.连接PB ，则a=20EBP AEP SS=. 由1=a 2ABPCDPS S+， 得a a a 3a a22101010CPQABPCDQS S S=--=--=.∴aPQ 110=3a 310CPQ CDQSDQ S==，从而PQ 1=4PD ，1a=420APQAPD S S =.于是a a 3a==201020APQCPQAPCQ S S S+=+梯形. ∴3=20APCQ ABCDS S梯形.A 级1.14 提示：POCAOES S=,14ABCD S S =阴影正方形.2. 48.3. ()22a 2π-4. 15.625. 5. B.6. C.7. B.8.C.9. 35 提示:连接EF ，EGFABGSS=,EFHDHCSS=.10. 解法一：将△DEK 的面积转化为规则图形的面积之和或差.如图,延长AE 交PK 的延长线于点H.设正方形ABCD ，正方形PKPF 的边长分别a ， b.则DEKADECDGPKGFHKABCD BEFG EHPF SS S S SSSS=++----正方形正方形矩形=()()()()221111a 44b a a 4a a-4b b 4b 4-b 2222++-+--+-=222221111a 164b a 2a a 2a b 2b 2b+b 2222++---+---=16.解法二：运用等积变形转化问题，连接DB,GE,FK.则∠DBA=∠GEB=45°, ∴DB ∥GE,得GEDGEBS S=，同理GE ∥FK ，得GEKGEFS S=.∴16DEKGEDGEKGEBGEFBEFG SSSSSS =+=+==正方形.B 级1. 2212a 3a π-（或22.58a ）.2. 120 提示：设AB=a ，AD=b ，CE=c ，CF=d.则BE=b-c-，DF=a-d ，c= 12b ，d= 15a ，cd=8. 3. 18.75（π≈3）.4. 8.5 提示：连HD.5. 4812481提示：“生长”n 次后得到n 34⨯边形，面积为原面积的n 114293+-倍.6. B.7. B 提示：过点K 作KH ⊥AB. ∵AB=8，BE=6，∴AE=8+6=14.又∵∠KAE=∠KEA=45°, ∴KH=12AE=7. 111474922AKES AE KH =••=⨯⨯=. 8. B 提示：根据正方形的对称性，只需考虑它的14部分即可. 9. B.10. ⑴当a ＞1时，即B 在OA 上方时，如图. AOBCBOAODBCDA SSS S=+-梯形，∴()()11151a a 22122222=⨯⨯++⨯--⨯⨯，解得a=6.⑵当0≦a ＜1时，即B 在OA 于x 轴之间时，依题意，有()111221a-a 21=5222⨯⨯-⨯⨯⨯+⨯，解得a=-4（不合题意，舍去）.⑶当a ＜0时，即B 在x 轴下方时，有()()()111122a 221a =5222+⨯-⨯-⨯⨯-⨯⨯-，解得a=-4.综上所述，当a=-4或a=6时，5ABOS =.11. 14AMD AMC SS==. ∵AMGS 为公共部分, ∴AGD CMGSS=.又因为△AMG 与△AMD 的高的高相等（以A 为顶点作高），△MCG 与△MCD 的高相等（以C 为顶点作高），∴AMG OMG AMDMCDSS MGSSMD==,即141142CMGCMG S S -=，解得：1=6CMGS.∴11=2=63S ⨯阴影. 连BG ，设ABCSS =,x DOGS=，y BGFS=.则1332233,,x y S x y S ⎧-=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩ 解得12421x S y S⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩ 同理可得：121.EAHFBISSS == 又13ADCBEAS S== S ，得12532121=-=OCEH HAFIS S S S ⎛⎫= ⎪⎝⎭四形四形 .∴21011321217=--GHISS S ⎛⎫= ⎪⎝⎭ 故17GHI ABCS S =.。
初中数学七巧板竞赛试题
初中数学七巧板竞赛试题【试题一】几何图形的面积计算题目描述：在一个正方形的七巧板中，每一块板的面积如何计算？请给出计算公式，并计算一个边长为5厘米的正方形七巧板中，每一块板的面积。
解答：正方形七巧板由一个中心正方形和四个等腰直角三角形以及一个平行四边形组成。
中心正方形的边长等于正方形七巧板的边长，四个等腰直角三角形的直角边长等于中心正方形的边长。
平行四边形由两个等腰直角三角形组成，其底和高都等于中心正方形的边长。
计算公式如下：- 中心正方形面积：\[ A_{\text{square}} = a^2 \]- 等腰直角三角形面积：\[ A_{\text{triangle}} = \frac{a^2}{2} \]- 平行四边形面积：\[ A_{\text{parallelogram}} = a^2 \]其中，\( a \) 为正方形七巧板的边长。
以边长为5厘米的正方形七巧板为例，每一块板的面积分别为：- 中心正方形面积：\[ 5^2 = 25 \text{平方厘米} \]- 等腰直角三角形面积：\[ \frac{5^2}{2} = 12.5 \text{平方厘米} \]- 平行四边形面积：\[ 5^2 = 25 \text{平方厘米} \]【试题二】七巧板的组合问题题目描述：使用七巧板的各部分，能否拼成一个大写的英文字母“T”？如果可以，请说明如何拼凑。
解答：是的，可以使用七巧板拼凑出一个大写的英文字母“T”。
具体拼凑方法如下：- 使用中心正方形作为“T”的横杠。
- 将两个等腰直角三角形的直角边沿正方形的一边摆放，构成“T”的竖杠。
- 剩余的两个等腰直角三角形和平行四边形可以放置在“T”的下方或上方，形成“T”的下横杠。
【试题三】七巧板的对称性题目描述：七巧板中的哪几个部分是对称的？请说明它们的对称轴。
解答：七巧板中的中心正方形和平行四边形是对称的。
它们的对称轴如下：- 中心正方形的对称轴有两条，一条是穿过中心点的水平线，另一条是穿过中心点的垂直线。
初中七年级数学竞赛培优讲义全套专题25 图形面积的计算_答案[精品]
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专题25 图形面积的计算例1 196 提示：S △AGW =S △AGF −S △GWF =12×28×（28+14）-12×28×28=12×28×14=28×7=196.例2 D 提示：设△ABC 底边上的高为h ，则12×BC ×h =24 故h=48BC =484CF =12CF =12DE. 设△ABC 底边DE 上的高为ℎ1，△BDE 底边DE 上的高为ℎ2，则h =ℎ1+ℎ2.∴S △ADE +S △BDE =12∙DE ∙ℎ1+12∙DE ∙ℎ2=12∙DE ∙（ℎ1+ℎ2）=12∙DE ∙ℎ=12∙DE ∙12DE =6.例3 2cm .提示：设△ABE 的AE 边上的高为hcm ，DE 长为xcm ，则{5ℎ−12ℎ(5+x )=95ℎ=30，解得DE =2.例4 54提示：2S CE S EA ==丙甲, 2S BE S ED ==丙乙, 12S DE S BE ==丁甲,12S AE S EC ==丁乙. 例5 1133AEC ABC S S == ，1133BGF ABC S S ==.设=x PEC S，=y PFC S则=3x PBC S，=3y PCAS于是133133x y x y ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩①+②，得243x y +=（），∴16x y +=，即6=1PECF S .例6 设=a ABCD S，因为E,F 分别是AB,BC 的中点，所以a4ADEABFSS==. ∴APDBEPF SS =四边形.如图，连接EF,DF ，则a a==82AEF ADF S S ，.所以a 18=a 42EP PD =.设x AEPS=，则=4x ADP S.由APDBEPF S S =四边形得a x=4x 4-. ∴ ax=20. ∴a a4=205APDS=⨯. 连接AC ，又∵AQ ∥PC ，APQACQS S =， ∴a5ACQADQSS+=. ∴a a 3=a 2510CDQS =-.连接PB ，则a=20EBPAEP SS=. 由1=a 2ABPCDPS S+， 得a a a 3a a22101010CPQABPCDQS S S=--=--=.∴aPQ 110=3a 310CPQ CDQSDQ S==，从而PQ 1=4PD ，1a=420APQAPDS S =.于是a a 3a==201020APQCPQAPCQ S S S+=+梯形. ∴3=20APCQ ABCDS S梯形.A 级1.14提示：POCAOES S=,14ABCD S S =阴影正方形.2. 48.3.()22a 2π-4. 15.625. 5. B.6. C.7. B.8. C.9. 35 提示:连接EF ，EGFABGSS=,EFHDHCSS=.10. 解法一：将△DEK 的面积转化为规则图形的面积之和或差.如图,延长AE 交PK 的延长线于点H.设正方形ABCD，正方形PKPF的边长分别a ， b.则DEKADECDGPKGFHKABCD BEFG EHPF SS S S SSSS=++----正方形正方形矩形=()()()()221111a 44b a a 4a a-4b b 4b 4-b 2222++-+--+-=222221111a 164b a 2a a 2a b 2b 2b+b 2222++---+---=16.解法二：运用等积变形转化问题，连接DB,GE,FK.则∠DBA=∠GEB=45°, ∴DB ∥GE,得GEDGEBS S=，同理GE ∥FK ，得GEKGEFSS=.∴16DEKGEDGEKGEBGEFBEFG SSSSSS =+=+==正方形.B 级1. 2212a 3a π-（或22.58a ）.2. 120 提示：设AB=a ，AD=b ，CE=c ，CF=d.则BE=b-c-，DF=a-d ，c= 12b ，d= 15a ，cd=8. 3. 18.75（π≈3）. 4. 8.5 提示：连HD. 5. 48 12481提示：“生长”n 次后得到n 34⨯边形，面积为原面积的n 114293+-倍.6. B.7. B 提示：过点K 作KH ⊥AB. ∵AB=8，BE=6，∴AE=8+6=14.又∵∠KAE=∠KEA=45°, ∴KH=12AE=7. 111474922AKESAE KH =••=⨯⨯=. 8. B 提示：根据正方形的对称性，只需考虑它的14部分即可. 9. B.10. ⑴当a ＞1时，即B 在OA 上方时，如图. AOBCBOAODBCDA SSS S=+-梯形，∴()()11151a a 22122222=⨯⨯++⨯--⨯⨯，解得a=6.⑵当0≦a ＜1时，即B 在OA 于x 轴之间时，依题意，有()111221a-a 21=5222⨯⨯-⨯⨯⨯+⨯，解得a=-4（不合题意，舍去）.⑶当a ＜0时，即B 在x 轴下方时，有()()()111122a 221a =5222+⨯-⨯-⨯⨯-⨯⨯-，解得a=-4.综上所述，当a=-4或a=6时，5ABOS =.11. 14AMDAMCSS==. ∵AMGS 为公共部分, ∴AGDCMGS S=.又因为△AMG 与△AMD 的高的高相等（以A 为顶点作高），△MCG 与△MCD 的高相等（以C 为顶点作高），∴AMG OMG AMDMCDS SMGSSMD==,即141142CMGCMG S S -=，解得：1=6CMGS.∴11=2=63S ⨯阴影. 连BG ，设ABCSS =,x DOGS=，y BGFS=.则1332233,,x y S x y S ⎧-=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩ 解得12421x S y S ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩ 同理可得：121.EAHFBISSS == 又13ADC BEAS S == S ，得12532121=-=OCEH HAFI S S S S ⎛⎫= ⎪⎝⎭四形四形 .∴21011321217=--GHISS S ⎛⎫= ⎪⎝⎭ 故17GHI ABCS S =.。
七年级希望杯竞赛中面积问题
七年级希望杯竞赛中的面积问题1.如图，纸上画了四个大小一样的圆，圆心分别是A，B，C，D，直线m通过A，B，直线n通过C，D，用S表示一个圆的面积，如果四个圆在纸上盖住的总面积是5(S－1)，直线m，n之间被圆盖住的面积是8，阴影部分的面积S1，S2，S3满足关系式S3=13S1=13S2,求S．2.图中表示阴影部分面积的代数式是( )A．ad+bc．B．c(b-d)+d(a-c)．C．ad+c(b-d)．D．ab-cd．3．如图26是一个长为a，宽为b的矩形．两个阴影图形都是一对长为c的底边在矩形对边上的平行四边形．则矩形中未涂阴影部分的面积为( )A.ab-(a+b)c．B．ab-(a-b)c． C．(a-c)(b-c)．D．(a-c)(b+c)．4.如图2．将面积为a2的小正方形与面积为b2的大正方形放在一起(a＞0,b＞0)．则三角形ABC的面积是_______．5.如图3，是某个公园ABCDEF，M为AB的中点，N为CD的中点，P为DE的中点，Q为FA 的中点，其中游览区APEQ与BNDM的面积和是900平方米，中间的湖水面积为361平方米，其余的部分是草地，则草地的总面积是______平方米．6.如图28，十三个边长为正整数的正方形纸片恰好拼成一个大矩形（其中有三个小正方形的边长已标出字母x，y，z）．试求满足上述条件的矩形的面积最小值．7.在矩形ABCD中,放入六个形状、大小相同的长方形，所标尺寸如图9所示．试求图中阴影部分的总面积(写出分步求解的简明过程)8．如图4，O为圆心，半径OA=OB=r，∠AOB=90°，点M在OB上，OM=2MB，用r的式子表示阴影部分的面积是_____．9．ABCD和EBFG都是正方形，尺寸如图5所示，则阴影部分的面积是_____(cm2)．10．如图8，两条线段AB、CD将大长方形分成四个小长方形，其中S1面积是8，S2的面积是6，S3的面积是5．则阴影三角形的面积是_____．11．如图9，已知△ABC中，∠C=90°，AC=1.5BC,在AC上取点D,使得AD=0.5BC,量得BD=1cm,则△ABD的面积是________cm2.12.如图2△ABC的面积是1平方厘米，DC=2BD，AE=3ED，则△ACE的面积是______平方厘米．13．如图3，某公园的外轮廓是四边形ABCD，被对角线AC、BD分为四个部分，△AOB的面积是1平方千米，△BOC的面积是2平方千米，△COD的面积是3平方千米，公园陆地的总面积是6.92平方千米，那么人工湖的面积是______平方千米．14.在长方形ABCD中,M是CD边的中点,DN是以A为圆心的一段圆弧,KN是以B为圆心的一段圆弧,AN=a,BN=b,则图7中阴影部分的面积是_______.15.如图4，长方形ABCD中，△ABP的面积为20平方厘米，△CDQ的面积为35平方厘米，则阴影四边形的面积等于______平方厘米．16.如图4所示, ΔABC 中,点P 在边AB 上,AP=13AB,Q 点在边BC 上,BQ=4BC ,R 点在CA 边上,CR=15CA,已知阴影ΔPQR 的面积是19平方厘米,那么△ABC 的面积是______平方厘米．17．梯形ABCD 如图4所示，AB 、CD 分别为梯形上下底，已知阴影部分总面积为5平方厘米，△AOB 的面积是0.625平方厘米.则梯形ABCD 的面积是________平方厘米. 18.如图8所示，S △ABC ＝1，若S △BDE ＝S △DEC ＝S △ACE ，则S △ADE ＝ ( )A.51 B.61 C.71 D.81. 19.图10,中,两个半径为1的14圆扇形'''AO B 与AOB 叠放在一起,POQO ,是正方形,则整个阴影图形的面积是__________.20.如图，矩形ABCD 的面积为1，BE:EC ＝5:2，DF:CF ＝2:1，则三角形AEF 的面积的大小为________。
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初一数学竞赛讲座：图形与面积一、直线图形的面积在小学数学中我们学习了几种简单图形的面积计算方法，数学竞赛中的面积问题不但具有直观性，而且变换精巧，妙趣横生，对开发智力、发展能力非常有益。
图形的面积是图形所占平面部分的大小的度量。
它有如下两条性质：1．两个可以完全重合的图形的面积相等；2．图形被分成若干部分时，各部分面积之和等于图形的面积。
对图形面积的计算，一些主要的面积公式应当熟记。
如：正方形面积=边长×边长；矩形面积=长×宽；平行四边形面积=底×高；三角形面积=底×高÷2；梯形面积=（上底+下底）×高÷2。
此外，以下事实也非常有用，它对提高解题速度非常有益。
1．等腰三角形底边上的高线平分三角形面积；2．三角形一边上的中线平分这个三角形的面积；3．平行四边形的对角线平分它的面积；4．等底等高的两个三角形面积相等。
解决图形面积的主要方法有：1．观察图形，分析图形，找出图形中所包含的基本图形；2．对某些图形，在保持其面积不变的条件下改变其形状或位置（叫做等积变形）；3．作出适当的辅助线，铺路搭桥，沟通联系；4．把图形进行割补（叫做割补法）。
例1 你会用几种不同的方法把一个三角形的面积平均分成4等份吗？解：最容易想到的是将△ABC 的底边4等分，如左下图构成4个小三角形，面积都为原来的三 角形面积的41。
另外，先将三角形△ABC 的面积2等分（如右上图），即取BC 的中点D ，连接AD ，则S △ABD =S △ADC ，然后再将这两个小三角形分别2等分，分得的4个小三角形各 自的面积为原来大三角形面积的41。
还 有许多方法，如下面的三种。
请你再想出几种不同的方法。
例2 右图中每个小方格面积都是1cm 2，那么六边形ABCDEF 的面积是多少平方厘米？分析：解决这类问题常用割补法，把图形分成几个简单的容易求出面积的图形，分别求出面积。
也可以求出六边形外空白处的面积，从总面积中减去空白处的面积，就是六边形的面积。
解法1：把六边形分成6块：△ABC ，△AGF ，△PEF ，△EKD ，△CDH 和正方形GHKP 。
用S 表示三角形面积，如用S △ABC 表示△ABC 的面积。
故六边形ABCDEF 的面积等于6+2+1+21+4+9=)(21222cm 说明：当某些图形的面积不容易直接计算时，可以把这个图形分成几个部分，计算各部分的面积，然后相加，也就是说，可以化整为零。
解法2：先求出大正方形MNRQ 的面积为6×6=36（cm 2）。
说明：当某些图形的面积不易直接计算时，可以先求出一个比它更大的图形的面积，再减去比原图形多的那些（个）图形的面积，也就是说，先多算一点，再把多算的部分减去。
解法3：六边形面积等于S △ABC +S 梯形ACDF -S △DEF =6×2×21+（3+6）×4×21-3×1×21=6+18-121=)(21222cm 说明：“横看成岭侧成峰，远近高低各不同”，从不同的角度去观察同一个图形，会对图形产生不同的认识。
一种新的认识的产生往往会伴随着一种新的解法。
做题时多想一想，解法就会多起来，这对锻炼我们的观察能力与思考能力大有益处。
例3 如下图所示，BD ，CF 将长方形ABCD 分成4块，△DEF 的面积是4cm 2，△CED 的面积是6cm 2。
问：四边形ABEF 的面积是多少平方厘米？解：如下图，连结BF 。
则△BDF 与△CFD 面积相等，减去共同的部分△DEF，可得△BEF与△CED面积相等，等于6cm2。
S△ABD-S△DEF=S△BDC-S△DEF=S△BCE+S△CDE-S△DEF=9+6-4=11（cm2）。
问：两块红色图形的面积和与两块蓝色图形的面积和，哪个大？分析：只需比较△ACE与△BDF面积的大小。
因为△ACE与△BDF的高相等（都是CD），所以只需比较两个三角形的底AE与BF的大小。
减去中间空白的小四边形面积，推知两块红色图形的面积和大于两块蓝色图形的面积和。
例5在四边形ABCD中（见左下图），线段BC长6cm，∠ABC为直角，∠BCD为135°，而且点A到边CD的垂线段AE的长为12cm，线段ED的长为5cm，求四边形ABCD的面积。
解：延长AB，DC相交于F（见右上图），则∠BCF=45°，∠FBC=90°，从而∠BFC=45°。
因为∠BFC=∠BCF，所以BF=BC=6（cm）。
在Rt△AEF中，∠AFE=45°，所以∠FAE=90°-45°=45°，从而EF=AE=12（cm）。
说明：如果一个图形的面积不易直接求出来，可根据图形的特征和题设条件的特点，添补适当的图形，使它成为一个新的易求出面积的图形，然后利用新图形面积减去所添补图形的面积，求出原图形面积。
这种利用“补形法”求图形面积的问题在国内外初中、小学数学竞赛中已屡见不鲜。
例6正六边形ABCDEF的面积是6cm2，M，N，P分别是所在边的中点（如上图）。
问：三角形MNP 的面积是多少平方厘米？解法1：如左下图，将正六边形分成6个面积为正1cm 2的正三角形，将另外三个面积为1cm 2的正三角形分别拼在边BC ，DE ，AF 外面，得到一个大的正三角形XYZ ，其面积是9cm 2。
这时，M ，N ，P 分别是边ZX ，YZ ，Xy 的中点，推知解法2：如右上图，将正六边形分成6个面积为1cm 2的正三角形，再取它们各边的中点将每个正三角形分为4个面积为41的小正三角形。
于是正六边形ABCDEF 被分成了24个面积为41的小正三角形。
因为△MNP 由9个面积为41的小正三角形所组成，所以S △MNP =41×9=2.25（cm 2） 二、圆与组合图形以上我们讨论了有关直线图形面积计算的种种方法。
现在我们继续讨论涉及圆的面积计算。
1．圆的周长与面积计算圆的周长与面积，有的直接利用公式计算，有的需要经过观察分析后灵活运用公式计算。
主要公式有：（1）圆的周长=π×直径=2π×半径，即C=πd=2πr ；（2）中心角为n °的弧的长度=n ×π×（半径）÷180，即1=180r n π （3）圆的面积=π×（半径）2，即S=πr 2； （4）中心角为n °的扇形面积=n ×π×（半径）2÷360，即lr r n S 213602==π 例7 右图是三个半圆（单位：cm ），其阴影部分的周长是多少？解：由图可知，阴影部分是由三个直径不同的半圆周所围成，所以其周长为说明：实际上，该图形中两个小半圆的直径之和等于大半圆的直径，因而它们的周长也正好等于大半圆的半圆周。
推而广之，若n 个小圆的直径之和等于大圆的直径，即：d1+d2+d3+…+dn=D ， 那么这些小圆的周长之和也等于大圆的周长，即πd1+πd2+πd3+…+πdn=π（d1+d2+d3+…+dn）=πD。
例8某开发区的大标语牌上，要画出如下图所示（图形阴影部分）的三种标点符号：句号、逗号、问号。
已知大圆半径为R，小圆半径为r，且R=2r。
若均匀用料，则哪一个标点符号的油漆用得多？哪一个标点符号的油漆用得少？分析：在均匀用料的情形下，油漆用量多少问题可转化为阴影部分的面积大小问题。
现在涉及到的基本图形是圆，弄清阴影部分如何由大小圆分割、组合而成，是解该题的关键点和突破口。
解：因为S句号=S大圆-S小圆=πR2-πr2=π（2r）2-πr2=3πr2说明：留意我们的日常生活，不同于课本的“非常规”问题随处可见，如何把“非常规”问题转化为或近似地转化为“常规”数学问题，需要细心观察、积极思考，考察转化的可能性和转化的途径。
像上例那样，认真分析图形的特征和课本图形的基本关系，进一步探讨能否由基本图形分割而成、组合而成。
2．圆与组合图形在日常生活中，除了经常遇到直线型（如矩形、正方形、三角形、梯形等）以及曲线型（如圆、扇形等）的面积外，还经常遇到不同形状图形叠加而成的组合图形的面积问题。
组合图形的面积计算，可以根据几何图形的特征，通过分割、割补、平移、翻折、对称、旋转等方法，化复杂为简单，变组合图形为基本图形的加减组合。
例9下图中，ABCD是边长为a的正方形，分别以AB，BC，CD，DA为直径画半圆。
求这四个半圆弧所围成的阴影部分的面积。
解：图中阴影部分是由四个半圆的重叠部分构成的，这四个半圆的直径围成一个正方形。
显然，这四个半圆的面积之和大于正方形的面积，两者的差就是阴影部分的面积。
因此，我们就得到以下的算式：说明：此例除了用上面的解法外，还可以采用列方程解应用题的方法来解。
如题图，设x和y分别表示相应部分的面积，由图看出长边是6cm，短边是3cm，高是2.6cm，求图中阴影部分的面积。
分析：本题的图形比较复杂，我们可以先计算阴影部分的一半（见右上图）。
我们的目标是把图形分解成若干基本图形的组合或叠合。
本题中的基本图形就是大、小两种扇形，以及平行四边形。
仔细观察后得出结论：右上图中的阴影部分等于说明：求一个不规则图形的面积，要设法找出它与规则图形面积的关系，化不规则为规则。
例11求右图中阴影部分的面积（单位：cm）。
分析与解：本题可以采用一般方法，也就是分别计算两块阴影部分面积，再加起来，但不如整体考虑好。
我们可以运用翻折的方法，将左上角一块阴影部分（弓形）翻折到半圆的右上角（以下图中虚线为折痕），把两块阴影部分合在一起，组成一个梯形（如右图所示），这样计算就很容易。
本题也可看做将左上角的弓形绕圆心旋转90°，到达右上角，得到同样的一个梯形。
说明：当某些图形的面积不易直接计算时，可以把这个图形的各个部分适当拼接成一个易于直接计算的图形。
也就是说，可以化零为整。
上述解法运用翻折（或旋转）的方法达到了化零为整的目的。
例12 已知右图中正方形的面积是12cm 2，求图中里外两个圆的面积。
分析：计算圆面积，要知道半径。
先考虑内圆面积。
内圆的直径与正方形的边长相等，但正方形的边长是未知的。
根据已知正方形的面积是12cm 2，可以推出内圆直径的平方为12cm 2，再求内圆面积就不难了。
外圆的直径是正方形的对角线，设外圆半径为R ，则正方形面积等于由一条对角线分成的两个等腰直角三角形的面积之和。
再由正方形面积=2R ×R ÷2×2=2R 2，2R 2=12，便可求出外圆面积。
解：设内圆半径为r ，由正方形面积为12cm 2，正方形边长为2r ，得（2r ）2=12，r 2=3。