37函数的极值高一数学必修一
高中数学函数的极值教案
高中数学函数的极值教案教学目标：1. 理解函数的极值的概念并掌握求解极值的方法。
2. 能够应用求解极值的方法解决实际问题。
3. 提高学生的数学分析能力和解决问题的能力。
教学重点：1. 函数的极值的概念。
2. 求解函数的极值的方法。
教学难点：1. 解决实际问题中函数的极值。
2. 怎样应用求解函数的极值来解决问题。
教学内容：1. 函数的极值的定义。
2. 求解函数的极值的方法。
3. 应用求解函数的极值解决实际问题。
教学步骤：1. 导入：通过实际例子引入函数的极值概念。
2. 发现：让学生通过观察函数图像和数值找出函数的极点。
3. 教学：讲解函数的极值的定义和求解方法。
4. 实践：让学生通过练习题进行巩固。
5. 应用：通过实际问题让学生应用求解函数的极值的方法解决问题。
6. 总结：对本节课内容进行总结和归纳。
教学手段：1. 演示板2. 教材3. 练习册4. 计算器教学过程设计：1. 导入：通过一个生活中的例子引入函数的极值的概念，引起学生的兴趣。
2. 发现：让学生观察函数图像、数值和函数性质找出函数的极点。
3. 教学：介绍函数的极值的定义和求解方法，让学生明白极值的重要性。
4. 实践：让学生通过练习题进行巩固，培养学生的计算能力和解题能力。
5. 应用：通过实际问题让学生应用求解函数的极值的方法解决问题，培养学生的分析和解决问题的能力。
6. 总结：对本节课内容进行总结和归纳，让学生掌握本节课的重点和难点。
教学反馈：1. 师生互动：鼓励学生提问，师生互动，及时解决学生的疑问。
2. 课堂讨论：组织学生进行小组讨论，共同解决问题，促进学生的思维能力和合作能力。
教学延伸：在课后作业中加入更多的应用题，引导学生继续深入掌握函数的极值的概念和求解方法，提高学生的解决问题的能力。
教学评估：通过学生的表现、课堂练习和课后作业来评估学生是否掌握了函数的极值的概念和求解方法，及应用求解函数的极值解决实际问题的能力。
函数的极值-课件
这份PPT课件介绍了函数的极值，包括引言、函数的极值点、函数的极值定理、 函数的极值应用等内容。通过本课件，你将深入了解这一重要数学概念的定 义、分类和应用。
一、引言
函数的极值是指函数在特定范围内的最大值或最小值。本节将讨论函数的极 值的定义以及不同类型的极值。
二、函数的极值点
极大值点和极小值点的定义
极大值点是函数在某个范围内的最大值，极小值点是函数在某个范围内的最小值。
函数求极值的步骤
求函数的极值需要确定函数的驻点和临界点，并通过对函数求导来判断是极大值还是极小值。
三、函数的极值定理
第一极值定理
如果函数在某个区间内连续且可导，那么在这个区 间内一定存在至少一个极值点。
六、参考文献
1 数学分册
数学分册中关于函数和极 值的相关章节提供了更深 入的理论和应用。
2 数学课程
数学课程中有关函数极值 的教材和讲义提供了更详 细的学习材料。
3 数学学习资料
网络上有很多关于函数的 极值的学习资料，可以进 一步加深对这一概念的理 解。
第二极值定理
如果函数在某个区间内可导，并且在驻点处的导数 不等于零，那么这个驻点必定不是极值点。
四、函数的极值应用
数学实际问题中的应 用
函数的极值在物理、经济学等 领域中的实际问题中有着广泛 的应用，如求解最大利润、最 小费用等。
OA题型解析
函数的极值常出现在各类OA题 目中，掌握函数的极值求解方 法有助于解答相关题目。
PSAT、SAT、GRE题 型解析
函数的极值是PSAT、SAT、GRE 等考试中经常出现的题型，熟 悉函数的极值概念和求解方法 对应试有帮助。
五、总结
1 函数的极值常见考点
高中数学 《函数的极值》说课稿 新人教A版必修1
3．8 函数的极值教材《人教版 全日制普通高级中学教科书 数学第三册（选修II ）》 1. 教学目标 （1） 知识技能目标：掌握函数极值的定义，会从几何图形直观理解函数的极值与其导数的关系，增强学生的数形结合意识，提升思维水平；掌握利用导数求可导函数的极值的一般方法； 了解可导函数极值点0x 与)(0x f '=0的逻辑关系；培养学生运用导数的基本思想去分析和解决实际问题的能力. 过程与方法目标：培养学生观察 分析 探究 归纳得出数学概念和规律的学习能力。
（2） 情感与态度目标：培养学生层层深入、一丝不苟研究事物的科学精神； 体会数学中的局部与整体的辨证关系. 2．教学重点和难点重点：掌握求可导函数的极值的一般方法. 难点：0x 为函数极值点与)(0x f '=0的逻辑关系. 3．教学方法与教学手段师生互动探究式教学，遵循“教师为主导、学生为主体”的原则，结合高中学生的求知心理和已有的认知水平开展教学。
由于学生对极限和导数的知识学习还十分的有限（大学里还将继续学习），因此教学中更重视的是从感性认识到理性认识的探索过程，而略轻严格的理论证明，教师的主导作用和学生的主体作用都必须得到充分发挥.利用多媒体辅助教学.电脑演示动画图形，直观形象，便于学生观察.幻灯片打出重要结论，清楚明了，节约时间，提高课堂效率.教师给出函数极值的定义:(冲浪板近似的理解为曲线的切线)给出寻找和判断可导函数的极值点的方法： (1) 如果在0x 附近的左侧)(0x f '﹥0， 右侧)(0x f '﹤0,那么,)(0x f '是极大值；附教学设计说明本节课是导数应用中的第二节（第一节是利用导数知识判断函数的单调性），学生们已经了解了导数的一些用途，思想中已有了一点运用导数的基本思想去分析和解决实际问题的意识，本节课将继续加强这方面的意识和能力的培养——利用导数知识求可导函数的极值。
其后还有利用导数求函数的最值问题，因此本节课还要起到承上启下的作用.由于学生对极限和导数的知识学习还谈不上深入细致，大学里还将继续深入学习，因此教学中更重视的是从感性认识到理性认识的探索过程，而略轻严格的理论证明.让学生掌握的重点内容：求可导函数的极值的方法和一般步骤，必须在课堂上就过手.对于难点问题：0x 为函数极值点与)(0x f '=0的逻辑关系，可由教师层层递进性的主动提出，师生共同探究完成，体现教师的主导性和学生的主体性.本节教案中的研究性问题为补充例题，选取它的目的是想体现知识的完整性，教师可根据自己学生的认知能力以及课时情况适当删减.作业采取适当分层的办法，既可以照顾大多数，又让学有余力者可以发挥. 另:板书设计一堂课结束以后,黑板上应留下完整的教学基本结构, 重点内容或是易错问题应用彩色笔加以突出. 让学生有整体上的知识结构图,课后有回忆，有思索的空间.。
函数的最值数学必修一
优化问题，以实现利益最大化或成本最小化。
极值问题
极值问题的概念
极值问题是指研究函数在某点或某个点的邻域内取得局部最大值 或局部最小值的问题。
求解方法
通过求导数、判断单调性、利极值定理等方法来求解函数的极 值点。
应用场景
在物理学、工程学、经济学等领域中，常常需要解决极值问题， 以解释某些现象或解决实际问题。
开区间上的连续函数 不一定存在最大值和 最小值。
02
函数最值的求法
导数法
01
02
03
求导数
根据函数的导数，判断函 数的单调性，确定函数的 极值点。
判断单调性
通过导数的正负判断函数 在某区间内的单调性，进 而确定最值点。
求最值
在极值点处求函数的值， 即为所求的最值。
配方法
配方
将函数进行配方转换，使 其成为完全平方形式。
函数在某点的最小值
对于函数$f(x)$在区间$[a, b]$上的任意一点$x_0$，如果对于所有$x in [a, b]$， 都有$f(x) geq f(x_0)$，则称$f(x_0)$为函数在区间$[a, b]$上的最小值。
函数最值的性质
最值的唯一性
在一个闭区间上，一个函数只能 有一个最大值和一个最小值，如 果有多个最值点，则它们必然相
04
函数最值的实际例子
生产成本最低问题
生产成本最低是企业追求的重要目标之一。在生产过程中， 企业需要不断优化生产流程、降低生产成本，以提高经济效 益。
函数最值的应用可以帮助企业找到最优的生产方案，使得生 产成本最低。例如，通过建立生产成本函数，并求导找到最 小值点，企业可以确定最优的生产规模、原材料采购量等， 从而降低生产成本。
高中数学《函数的极值》知识点讲解及重点练习
5.3.2 函数的极值与最大(小)值第1课时 函数的极值学习目标 1.了解函数极值的概念，会从几何方面直观理解函数的极值与导数的关系.2.掌握函数极值的判定及求法.3.掌握函数在某一点取得极值的条件．知识点一 函数极值的定义1．极小值点与极小值若函数y＝f(x)在点x＝a的函数值f(a)比它在点x＝a附近其他点的函数值都小，f′(a)＝0，而且在点x＝a附近的左侧f′(x)<0，右侧f′(x)>0，就把a叫做函数y＝f(x)的极小值点，f(a)叫做函数y＝f(x)的极小值．2．极大值点与极大值若函数y＝f(x)在点x＝b的函数值f(b)比它在点x＝b附近其他点的函数值都大，f′(b)＝0，而且在点x＝b附近的左侧f′(x)>0，右侧f′(x)<0，就把b叫做函数y＝f(x)的极大值点，f(b)叫做函数y＝f(x)的极大值．3．极大值点、极小值点统称为极值点；极大值、极小值统称为极值．知识点二 函数极值的求法与步骤1．求函数y＝f(x)的极值的方法解方程f′(x)＝0，当f′(x0)＝0时，(1)如果在x0附近的左侧f′(x)>0，右侧f′(x)<0，那么f(x0)是极大值；(2)如果在x0附近的左侧f′(x)<0，右侧f′(x)>0，那么f(x0)是极小值．2．求可导函数f(x)的极值的步骤(1)确定函数的定义域，求导数f′(x)；(2)求方程f′(x)＝0的根；(3)列表；(4)利用f′(x)与f(x)随x的变化情况表，根据极值点左右两侧单调性的变化情况求极值．1．导数为0的点一定是极值点．( × )2．函数的极大值一定大于极小值．( × )3．函数y＝f(x)一定有极大值和极小值．( × )4．函数的极值点是自变量的值，极值是函数值．( √ )一、求函数的极值例1 求下列函数的极值：(1)f (x )＝x 3－3x 2－9x ＋5；(2)f (x )＝x －a ln x (a ∈R )．解 (1)f ′(x )＝3x 2－6x －9，令f ′(x )＝0，即3x 2－6x －9＝0，解得x 1＝－1，x 2＝3.当x 变化时，f (x )，f ′(x )的变化情况如下表：x (－∞，－1)－1(－1,3)3(3，＋∞)f ′(x )＋0－0＋f (x )↗极大值↘极小值↗∴当x ＝－1时，函数y ＝f (x )有极大值，且f (－1)＝10；当x ＝3时，函数y ＝f (x )有极小值，且f (3)＝－22.(2) f (x )＝x －a ln x 的定义域为(0，＋∞)，由f ′(x )＝1－a x ＝x －ax，x >0，知①当a ≤0时，f ′(x )>0，函数f (x )为(0，＋∞)上的增函数，函数f (x )无极值；②当a >0时，由f ′(x )＝0，解得x ＝a .又当x ∈(0，a )时，f ′(x )<0，当x ∈(a ，＋∞)时，f ′(x )>0，从而函数f (x )在x ＝a 处取得极小值，且极小值为f (a )＝a －a ln a ，无极大值．综上，当a ≤0时，函数f (x )无极值；当a >0时，函数f (x )在x ＝a 处取得极小值a －a ln a ，无极大值．反思感悟 函数极值和极值点的求解步骤(1)确定函数的定义域．(2)求方程f ′(x )＝0的根．(3)用方程f ′(x )＝0的根顺次将函数的定义域分成若干个小开区间，并列成表格．(4)由f ′(x )在方程f ′(x )＝0的根左右的符号，来判断f (x )在这个根处取极值的情况．跟踪训练1 (1)求函数f (x )＝2xx 2＋1－2的极值．解 函数f (x )的定义域为R .f ′(x )＝2(x 2＋1)－4x 2(x 2＋1)2＝－2(x －1)(x ＋1)(x 2＋1)2.令f ′(x )＝0，得x ＝－1或x ＝1.当x 变化时，f ′(x )，f (x )的变化情况如下表：x (－∞，－1)－1(－1,1)1(1，＋∞)f ′(x )－0＋0－f (x )↘极小值↗极大值↘由上表可以看出，当x ＝－1时，函数有极小值，且极小值为f (－1)＝－3；当x ＝1时，函数有极大值，且极大值为f (1)＝－1.(2)已知函数f (x )＝x ＋ax ＋1，a ∈R .求此函数的极值．解 函数的定义域为{x |x ≠0}，f ′(x )＝1－ax 2＝x 2－ax2.当a ≤0时，显然f ′(x )>0，这时函数f (x )在区间(－∞，0)，(0，＋∞)上均单调递增，此时函数无极值．当a >0时，令f ′(x )＝0，解得x ＝±a .当x 变化时，f ′(x )，f (x )的变化情况如下表：x (－∞，－a )－a (－a ，0)(0，a )a (a ，＋∞)f ′(x )＋0－－0＋f (x )↗极大值↘↘极小值↗由上表可知，当x ＝－a 时，函数取得极大值f (－a )＝－2a ＋1.当x ＝a 时，函数取得极小值f (a )＝2a ＋1.综上，当a ≤0时，函数f (x )无极值；当a >0时，函数f (x )在x ＝－a 处取得极大值－2a ＋1，在x ＝a 处取得极小值2a ＋1.二、由极值求参数的值或取值范围例2 (1)若函数f (x )＝x 3＋ax 2＋bx ＋a 2在x ＝1处取得极值10，则a ＝________，b ＝________.答案 4 －11解析 f ′(x )＝3x 2＋2ax ＋b ，依题意得Error!即Error!解得Error!或Error!但由于当a ＝－3，b ＝3时，f ′(x )＝3x 2－6x ＋3＝3(x －1)2≥0，故f (x )在R 上单调递增，不可能在x ＝1处取得极值，所以Error!不符合题意，应舍去．而当a ＝4，b ＝－11时，经检验知符合题意，故a ，b 的值分别为4，－11.(2)已知函数f (x )＝13x 3－12(m ＋3)x 2＋(m ＋6)x (x ∈R ，m 为常数)，在区间(1，＋∞)内有两个极值点，求实数m 的取值范围．解 f ′(x )＝x 2－(m ＋3)x ＋m ＋6.因为函数f (x )在(1，＋∞)内有两个极值点，所以f ′(x )＝x 2－(m ＋3)x ＋m ＋6在(1，＋∞)内与x 轴有两个不同的交点，如图所示．所以Error!解得m >3.故实数m 的取值范围是(3，＋∞)．反思感悟 已知函数的极值求参数的方法(1)对于已知可导函数的极值求参数的问题，解题的切入点是极值存在的条件：极值点处的导数值为0，极值点两侧的导数值异号．注意：求出参数后，一定要验证是否满足题目的条件．(2)对于函数无极值的问题，往往转化为其导函数的值非负或非正在某区间内恒成立的问题，即转化为f ′(x )≥0或f ′(x )≤0在某区间内恒成立的问题，此时需注意不等式中的等号是否成立．跟踪训练2 (1)若函数f (x )＝ax －ln x 在x ＝22处取得极值，则实数a 的值为( )A.2B.22C ．2 D.12答案 A解析 因为f ′(x )＝a －1x ，所以f ′(22)＝0，即a －122＝0，解得a ＝2.(2)已知函数f (x )＝13x 3－x 2＋ax －1.①若函数的极大值点是－1，求a 的值；②若函数f (x )有一正一负两个极值点，求a 的取值范围．解 ①f ′(x )＝x 2－2x ＋a ，由题意得，f ′(－1)＝1＋2＋a ＝0，解得a ＝－3，则f ′(x )＝x 2－2x －3，经验证可知，f (x )在x ＝－1处取得极大值，故a ＝－3.②由题意得，方程x 2－2x ＋a ＝0有一正一负两个根，设为x 1，x 2，则x 1x 2＝a <0，故a 的取值范围是(－∞，0)．三、利用函数极值解决函数零点(方程根)问题例3 已知函数f (x )＝x 3－6x 2＋9x ＋3，若函数y ＝f (x )的图象与y ＝13f ′(x )＋5x ＋m 的图象有三个不同的交点，求实数m 的取值范围．解 由f (x )＝x 3－6x 2＋9x ＋3，可得f ′(x )＝3x 2－12x ＋9，13 f ′(x )＋5x ＋m ＝13(3x 2－12x ＋9)＋5x ＋m ＝x 2＋x ＋3＋m .则由题意可得x 3－6x 2＋9x ＋3＝x 2＋x ＋3＋m 有三个不相等的实根，即g (x )＝x 3－7x 2＋8x －m 的图象与x 轴有三个不同的交点．∵g ′(x )＝3x 2－14x ＋8＝(3x －2)(x －4)，∴令g ′(x )＝0，得x ＝23或x ＝4.当x 变化时，g (x )，g ′(x )的变化情况如下表：x (－∞，23)23(23，4)4(4，＋∞)g ′(x )＋0－0＋g (x )↗极大值↘极小值↗则函数g (x )的极大值为g (23)＝6827－m ，极小值为g (4)＝－16－m .由g (x )的图象与x 轴有三个不同的交点，得Error!解得－16<m <6827.∴实数m 的取值范围为(－16，6827).反思感悟 (1)利用导数可以判断函数的单调性，研究函数的极值情况，并能在此基础上画出函数的大致图象，从直观上判断函数图象与x 轴的交点或两个函数图象的交点的个数，从而为研究方程根的个数问题提供了方便．(2)解决这类问题，一个就是注意借助几何图形的直观性，另一个就是正确求导，正确计算极值．跟踪训练3 若函数f (x )＝13x 3－4x ＋4的图象与直线y ＝a 恰有三个不同的交点，则实数a 的取值范围是________．答案 (－43，283)解析 ∵f (x )＝13x 3－4x ＋4，∴f ′(x )＝x 2－4＝(x ＋2)(x －2)．令f ′(x )＝0，得x ＝2或x ＝－2.当x 变化时，f ′(x )，f (x )的变化情况如下表：x (－∞，－2)－2(－2,2)2(2，＋∞)f ′(x )＋0－0＋f (x )↗极大值↘极小值↗∴当x ＝－2时，函数取得极大值f (－2)＝283；当x ＝2时，函数取得极小值f (2)＝－43.且f (x )在(－∞，－2)上单调递增，在(－2,2)上单调递减，在(2，＋∞)上单调递增．根据函数单调性、极值的情况，它的图象大致如图所示，结合图象知－43<a <283.1．(多选)函数f (x )的定义域为R ，它的导函数y ＝f ′(x )的部分图象如图所示，则下面结论正确的是( )A．在(1,2)上函数f(x)单调递增B．在(3,4)上函数f(x)单调递减C．在(1,3)上函数f(x)有极大值D．x＝3是函数f(x)在区间[1,5]上的极小值点答案 ABC解析 由题图可知，当1＜x＜2时，f′(x)＞0，函数f(x)单调递增；当2＜x＜4时，f′(x)＜0，函数f(x)单调递减；当4＜x＜5时，f′(x)＞0，函数f(x)单调递增，∴x＝2是函数f(x)的极大值点，x＝4是函数f(x)的极小值点，故A，B，C正确，D错误．2．(多选)已知函数f(x)＝2x3＋ax2＋36x－24在x＝2处有极值，则该函数的一个单调递增区间是( )A．(－∞，2) B．(3，＋∞)C．(2，＋∞) D．(－∞，3)答案 AB解析 ∵f′(x)＝6x2＋2ax＋36，且在x＝2处有极值，∴f′(2)＝0，即24＋4a＋36＝0，解得a＝－15，∴f′(x)＝6x2－30x＋36＝6(x－2)(x－3)，由f′(x)＞0得x＜2或x＞3.3．设函数f(x)＝x e x，则( )A．x＝1为f(x)的极大值点B．x＝1为f(x)的极小值点C．x＝－1为f(x)的极大值点D．x＝－1为f(x)的极小值点答案 D解析 令f′(x)＝e x＋x·e x＝(1＋x)e x＝0，得x＝－1.当x＜－1时，f′(x)＜0；当x＞－1时，f′(x)＞0.故x＝－1为f(x)的极小值点．4．函数f(x)＝x3－3x2＋1的极小值点为________．答案 2解析 由f ′(x )＝3x 2－6x ＝0，解得x ＝0或x ＝2.列表如下：x (－∞，0)0(0,2)2(2，＋∞)f ′(x )＋0－0＋f (x )↗极大值↘极小值↗∴当x ＝2时，f (x )取得极小值．5．已知曲线f (x )＝x 3＋ax 2＋bx ＋1在点(1，f (1))处的切线斜率为3，且x ＝23是y ＝f (x )的极值点，则a ＝___________，b ＝________.答案 2 －4解析 f ′(x )＝3x 2＋2ax ＋b ，由题意知Error!即Error!解得Error!经验证知符合题意．1．知识清单：(1)函数极值的定义．(2)函数极值的判定及求法．(3)函数极值的应用．2．方法归纳：方程思想、分类讨论．3．常见误区：导数值等于零不是此点为极值点的充要条件．1．下列函数中存在极值的是( )A ．y ＝1xB ．y ＝x －e xC ．y ＝2D ．y ＝x 3答案 B解析 对于y ＝x －e x ，y ′＝1－e x ，令y ′＝0，得x ＝0.在区间(－∞，0)上，y ′>0；在区间(0，＋∞)上，y ′<0.故当x ＝0时，函数y ＝x －e x 取得极大值．2．设函数f (x )在R 上可导，其导函数为f ′(x )，且函数y ＝f ′(x )的图象如图所示，则下列结论中一定成立的是( )A ．函数f (x )有极大值f (2)和极小值f (1)B ．函数f (x )有极大值f (－2)和极小值f (1)C ．函数f (x )有极大值f (2)和极小值f (－2)D ．函数f (x )有极大值f (－2)和极小值f (2)答案 D解析 由题图可知，当x <－2时，f ′(x )>0；当－2<x <1时，f ′(x )<0；当1<x <2时，f ′(x )<0；当x >2时，f ′(x )>0.由此可以得到函数f (x )在x ＝－2处取得极大值，在x ＝2处取得极小值．3．函数f (x )＝ln x －x 在区间(0，e)上的极大值为( )A ．－e B ．－1C ．1－e D ．0答案 B解析 函数f (x )的定义域为(0，＋∞)，f ′(x )＝1x －1.令f ′(x )＝0，得x ＝1.当x ∈(0,1)时，f ′(x )>0，当x ∈(1，e)时，f ′(x )<0，故f (x )在x ＝1处取得极大值f (1)＝ln 1－1＝0－1＝－1.4．已知a 是函数f (x )＝x 3－12x 的极小值点，则a 等于( )A ．－4 B ．－2 C ．4 D ．2答案 D解析 ∵f (x )＝x 3－12x ，∴f ′(x )＝3x 2－12，令f ′(x )＝0，则x 1＝－2，x 2＝2.当x ∈(－∞，－2)，(2，＋∞)时，f ′(x )＞0，则f (x )单调递增；当x ∈(－2,2)时，f ′(x )＜0，则f (x )单调递减，∴f (x )的极小值点为a ＝2.5．(多选)已知函数f (x )＝x 3＋ax 2＋(a ＋6)x ＋1有极大值和极小值，则实数a 的值可以是( )A ．－4 B ．－3 C ．6 D ．8答案 AD解析 由题意知f ′(x )＝3x 2＋2ax ＋(a ＋6)＝0有两个不相等的根，所以Δ＝4a 2－12(a ＋6)>0，解得a >6或a <－3.6．f (x )＝2x ＋1x 2＋2的极小值为________．答案 －12解析 f ′(x )＝2(x 2＋2)－2x (2x ＋1)(x 2＋2)2＝－2(x ＋2)(x －1)(x 2＋2)2.令f ′(x )<0，得x <－2或x >1；令f ′(x )>0，得－2<x <1.所以f (x )在(－∞，－2)，(1，＋∞)上单调递减，在(－2,1)上单调递增，所以f (x )极小值 ＝f (－2)＝－12.7．设x ＝1与x ＝2是函数f (x )＝a ln x ＋bx 2＋x 的两个极值点，则常数a ＝________.答案 －23解析 因为f ′(x )＝ax ＋2bx ＋1，由题意得Error!所以a ＝－23.8．已知关于x 的函数f (x )＝－13x 3＋bx 2＋cx ＋bc ，如果函数f (x )在x ＝1处取得极值－43，则b ＝________，c ＝________.答案 －1 3解析 f ′(x )＝－x 2＋2bx ＋c ，由Error!解得Error!或Error!若b ＝1，c ＝－1，则f ′(x )＝－x 2＋2x －1＝－(x －1)2≤0，此时f (x )没有极值；若b ＝－1，c ＝3，则f ′(x )＝－x 2－2x ＋3＝－(x ＋3)(x －1)，当－3<x <1时，f ′(x )>0，当x >1时，f ′(x )<0，所以当x ＝1时，f (x )有极大值－43.故b ＝－1，c ＝3即为所求．9.设函数f (x )＝a ln x ＋12x ＋32x ＋1，其中a ∈R ，曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处的切线垂直于y 轴．(1)求a 的值；(2)求函数f (x )的极值．解 (1)f ′(x )＝a x －12x 2＋32(x >0)．由题意知，曲线在x ＝1处的切线斜率为0，即f ′(1)＝0，从而a －12＋32＝0，解得a ＝－1.(2)由(1)知f (x )＝－ln x ＋12x ＋32x ＋1(x >0)，f ′(x )＝－1x －12x 2＋32＝3x 2－2x －12x 2＝(3x ＋1)(x －1)2x 2.令f ′(x )＝0，解得x 1＝1，x 2＝－13(舍去)．当x ∈(0,1)时，f ′(x )<0，故f (x )在(0,1)上单调递减；当x ∈(1，＋∞)时，f ′(x )>0，故f (x )在(1，＋∞)上单调递增．故f (x )在x ＝1处取得极小值，极小值为f (1)＝3，无极大值．10．设a 为实数，函数f (x )＝x 3－x 2－x ＋a .(1)求f (x )的极值；(2)当a 在什么范围内取值时，曲线y ＝f (x )与x 轴仅有一个交点？解 (1)f ′(x )＝3x 2－2x －1.令f ′(x )＝0，得x ＝－13或x ＝1.当x 变化时，f ′(x )，f (x )的变化情况如下表：x (－∞，－13)－13(－13，1)1(1，＋∞)f′(x)＋0－0＋f(x)↗极大值↘极小值 ↗∴f(x)的极大值是f (－13)＝527＋a，极小值是f(1)＝a－1.(2)函数f(x)＝x3－x2－x＋a＝(x－1)2(x＋1)＋a－1，由此可知，x取足够大的正数时，有f(x)>0，x取足够小的负数时，有f(x)<0，∴曲线y＝f(x)与x轴至少有一个交点．由(1)知f(x)极大值＝f (－13)＝527＋a，f(x)极小值＝f(1)＝a－1.∵曲线y＝f(x)与x轴仅有一个交点，∴f(x)极大值<0或f(x)极小值>0，即527＋a<0或a－1>0，∴a<－527或a>1，∴当a∈(－∞，－527)∪(1，＋∞)时，曲线y＝f(x)与x轴仅有一个交点．11．设函数f(x)在R上可导，其导函数为f′(x)，且函数f(x)在x＝－2处取得极小值，则函数y＝xf′(x)的图象可能是( )答案 C解析 因为f(x)在x＝－2处取得极小值，所以当x＜－2时，f(x)单调递减，即f ′(x )＜0；当x ＞－2时，f (x )单调递增，即f ′(x )＞0.所以当x ＜－2时，y ＝xf ′(x )＞0；当x ＝－2时，y ＝xf ′(x )＝0；当－2＜x ＜0时，y ＝xf ′(x )＜0；当x ＝0时，y ＝xf ′(x )＝0；当x ＞0时，y ＝xf ′(x )＞0.结合选项中的图象知选C.12．函数y ＝x e x 在其极值点处的切线方程为________．答案 y ＝－1e解析 由题意知y ′＝e x ＋x e x ，令y ′＝0，解得x ＝－1，代入函数解析式可得极值点的坐标为(－1，－1e )，又极值点处的切线为平行于x 轴的直线，故方程为y ＝－1e.13．若函数f (x )＝x 3＋x 2－ax －4在区间(－1,1)上恰有一个极值点，则实数a 的取值范围为________．答案 [1,5)解析 ∵f ′(x )＝3x 2＋2x －a ，函数f (x )在区间(－1,1)上恰有一个极值点，即f ′(x )＝0在(－1,1)内恰有一个根．又函数f ′(x )＝3x 2＋2x －a 的对称轴为x ＝－13.∴应满足Error!∴Error!∴1≤a <5.14．若函数f (x )＝x 3－3ax ＋1在区间(0,1)内有极小值，则a 的取值范围为________．答案 (0,1)解析 f ′(x )＝3x 2－3a .当a ≤0时，在区间 (0,1)上无极值．当a >0时，令f ′(x )>0，解得x >a 或x <－a .令f ′(x )<0，解得－a <x <a .若f (x )在(0,1)内有极小值，则0<a <1.15．已知函数f (x )＝ax 3＋bx 2＋cx 的图象如图所示，且f (x )在x ＝x 0与x ＝2处取得极值，则f (1)＋f (－1)的值一定( )A ．等于0B ．大于0C ．小于0D ．小于或等于0答案 B解析 f ′(x )＝3ax 2＋2bx ＋c .令f ′(x )＝0，则x 0和2是该方程的根．∴x 0＋2＝－2b 3a <0，即b a>0.由题图知，f ′(x )<0的解集为(x 0,2)，∴3a >0，则b >0，∵f (1)＋f (－1)＝2b ，∴f (1)＋f (－1)>0.16．设函数f (x )＝x 33－(a ＋1)x 2＋4ax ＋b ，其中a ，b ∈R .(1)若函数f (x )在x ＝3处取得极小值12，求a ，b 的值；(2)求函数f (x )的单调递增区间；(3)若函数f (x )在(－1,1)上只有一个极值点，求实数a 的取值范围．解 (1)因为f ′(x )＝x 2－2(a ＋1)x ＋4a ，所以f ′(3)＝9－6(a ＋1)＋4a ＝0，得a ＝32.由f (3)＝13×27－52×9＋4×32×3＋b ＝12，解得b ＝－4.(2)因为f ′(x )＝x 2－2(a ＋1)x ＋4a ＝(x －2a )(x －2)，令f ′(x )＝0，得x ＝2a 或x ＝2.当a >1时，f (x )的单调递增区间为(－∞，2)，(2a ，＋∞)；当a ＝1时，f (x )的单调递增区间为(－∞，＋∞)；当a <1时，f (x )的单调递增区间为(－∞，2a )，(2，＋∞)．(3)由题意可得Error!即Error!解得－12<a<12，所以实数a的取值范围是(－12，12).。
《函数极值》课件
详细描述
举例
考虑函数$f(x) = x^3$，其一阶导数 为$f'(x) = 3x^2$，在$x=0$处，一 阶导数由正变负，故函数在$x=0$处 取得极小值。
当一阶导数在某点的左右两侧由正变 负或由负变正时，函数在该点取得极 值。
二阶导数判定法
总结词
通过判断二阶导数的正负来判断 函数在某点的极值。
01
02
03
04
梯度下降法
通过计算目标函数的梯度，沿 着梯度负方向寻找最小值。
牛顿法
通过构造目标函数的Hessian 矩阵，求解方程组得到最优解
。
遗传算法
模拟生物进化过程的自然选择 和遗传机制，通过迭代搜索最
优解。
模拟退火算法
模拟固体退火过程的随机搜索 算法，能够在全局范围内找不同的分类标准，可以将极值分为两类。第一类极值 是相对较小的极值，而第二类极值则是相对较大的极值。
单侧极值和双侧极值
根据定义，单侧极值是指函数在某一点的左侧或右侧存在 单调性改变的极值点；而双侧极值则是指函数在某一点的 两侧都存在单调性改变的极值点。
02
极值的判定
一阶导数判定法
总结词
通过判断一阶导数的正负来判断函数 在某点的极值。
在物理领域的应用
运动轨迹分析
在物理学中，极值原理可以用于分析物体的运动轨迹。例如，在分析行星的运动 轨迹时，可以利用极值原理确定行星在各个时刻的位置和速度。
能量最小化
在力学和电磁学等领域，极值原理可以用于寻找系统能量的最小值。例如，在分 析弹簧振荡器的运动时，可以利用极值原理确定振荡器的平衡位置和能量最小值 。
详细描述
当二阶导数在某点的左右两侧符号 相反时，函数在该点取得极值。
高一数学必修一中的函数极值与最值应用
高一数学必修一中的函数极值与最值应用在高一数学必修一的学习中，函数极值与最值是非常重要的概念，它们在解决实际问题和数学理论中都有着广泛的应用。
首先，我们来明确一下函数极值和最值的定义。
函数的极值是指在函数定义域内的某个局部范围内，函数取得的最大值或最小值。
而函数的最值则是指在整个定义域内，函数所取得的最大值或最小值。
那么，如何求函数的极值和最值呢？这就需要用到导数这个工具。
对于一个可导函数，如果在某一点处导数为零，且在该点两侧导数的符号发生变化，那么这个点就是函数的极值点。
当导数从负变为正时，这个极值点是极小值点；当导数从正变为负时，这个极值点是极大值点。
在实际应用中，函数极值和最值有着诸多方面的体现。
比如在经济领域，企业常常需要考虑成本和利润的问题。
假设一家企业生产某种产品，其成本函数为 C(x)，收入函数为 R(x)，那么利润函数 P(x) ＝ R(x) C(x)。
通过求利润函数的极值和最值，企业可以确定最优的生产数量，以实现利润的最大化。
再比如在物理问题中，常常会涉及到能量的变化。
例如一个物体在重力作用下自由下落，其高度与时间的关系可以用一个函数来表示。
通过求这个函数的极值和最值，可以确定物体下落的最大速度、最大高度等关键物理量。
在几何问题中，也经常会用到函数的极值和最值。
比如要在一个给定的矩形材料上剪出一个最大的圆形，就需要建立矩形边长与圆的半径之间的函数关系，然后求出这个函数的最值，从而确定圆的最大半径。
让我们通过一些具体的例子来更深入地理解函数极值与最值的应用。
例 1：某工厂生产一种产品，其成本 C 与产量 x 之间的函数关系为C(x) ＝ 2x^2 10x ＋ 50。
求当产量为多少时，平均成本最低？首先，平均成本函数为 C(x)／x ＝ 2x 10 ＋ 50/x 。
对其求导，得到导数为 2 50/x^2 。
令导数等于 0 ，解得 x ＝ 5 。
当 x ＜ 5 时，导数小于 0 ，函数单调递减；当 x ＞ 5 时，导数大于 0 ，函数单调递增。
《函数的极值问题》课件
在物理问题中的应用
总结词
极值理论在物理领域的应用也十分广泛 ，它可以帮助我们解释各种物理现象， 预测物质的运动规律。
VS
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
详细描述
在物理学中，许多物理现象都可以通过极 值理论来解释，如物体下落、弹性碰撞、 电磁波传播等。通过分析这些现象对应的 物理函数，我们可以找到它们的极值点， 从而理解物质的运动规律和相互作用机制 。
05
极值的应用
Chapter
在最优化问题中的应用
总结词
极值理论是解决最优化问题的关键工具之一，它可以帮助我 们找到函数在某个区间内的最大值或最小值。
详细描述
在许多实际应用中，如工程设计、生产计划、金融投资等， 我们经常需要找到某个目标函数的最优解，即最大值或最小 值。通过分析函数的极值点，我们可以确定这些最优解的位 置，从而为实际问题的解决提供指导。
证明极值第一充分条件的关键在于理解导数的定义 和性质，以及函数极值的定义。首先，根据导数的 定义，如果函数在某一点的导数为零，那么函数在 该点可能取得极值。然后，根据函数极值的定义， 如果函数在某一点的导数在其两侧变号，那么函数 在该点一定取得极值。这两个条件共同构成了极值 的第一充分条件。
定理应用
在经济问题中的应用
总结词
极值理论在经济领域的应用十分广泛，它可以帮助我们分析各种经济指标的变化趋势， 预测未来的经济走势。
详细描述
在经济学中，许多经济指标都是随着时间变化的函数，如GDP、CPI、利率等。通过分 析这些指标的极值点，我们可以了解经济活动的周期性变化规律，从而为政策制定和投
资决策提供依据。
03
极值的第二充分条件
Chapter
定理表述
【鼎尖教案】人教版高中数学必修系列：3.7函数的极值(第一课时)
3.7 函数的极值课时安排2课时从容说课从函数图象出发讲述函数的极大值、极小值、极值、极值点的意义.在教法上，让学生从解题过程中概括出利用一阶导数求函数的极大值和极小值的方法.函数的极值是就函数在某一点附近的小区间而言的，在函数的整个定义区间内可能有多个极大值或极小值，并且函数要在这一点处连续.教学时，可以安排这样的例题来加以说明，加深理解.在求可导函数的极值时，应要求学生注意如下几点：（1）可导函数的极值点一定是它的驻点（即f′（x0）=0），注意这句话中的“可导”两字是必不可少的.例如函数y=|x|在点x=0处有极小值f（0）=0，可是f（x）在x=0处不可导.（2）可导函数的驻点可能是极值点，也可能不是极值点，例如函数y=x3的导数是f′（x）=3x2,在点x=0处有f′（0）=0，即点x=0是f（x）=x3的驻点，但不是极值点.（3）求一个可导函数的极值时，常常把驻点附近的函数值的讨论情况列成表格，这样可使函数在各单调区间的增减情况一目了然.但是值得注意的是不能忘记定义域的作用.在教学时要采用主动学习模式，让学生积极参加，主动建构，不能被动接受.教师的作用就是调节、策划.增加一些新的教学内容，可以让学生自主编拟题目，或者分组编题、解题.培养学生良好的数学素养和个性品质.第十三课时课题3.7.1 函数的极值（一）教学目标一,教学知识点1.极大值的定义和判别方法.2.极小值的定义和判别方法.3.极值的概念.4.求可导函数f（x）的极值的步骤.二,能力训练要求1.理解极大值、极小值的概念.2.能够运用判别极大值、极小值的方法来求函数的极值.3.掌握求可导函数的极值的步骤.三,德育渗透目标1.加深学生对局部与整体之间的理解.2.培养学生数形结合的数学思想.3.培养学生自己归纳、总结的能力.教学重点极大、极小值的概念和判别方法，以及求可导函数的极值的步骤.教学难点对极大、极小值概念的理解，可以结合图象进行说明,并且要说明函数的极值是就函数在某一点附近的小区间而言的.观察图象得出判别极大、极小值的方法.判断极值点的关键是这点两侧的导数异号.教学方法建构主义观点下的高中数学教学实践，让学生通过观察图象，得到极大、极小值的定义，并让他们比较其与最大、最小值的区别.让学生自己观察图象得到判别极大、极小值的方法，并通过例1，自己归纳、总结解题的步骤.教具准备幻灯片三张第一张：极大、极小值的定义（记作3.7.1A）1.极大值.一般地，设函数f（x）在点x0附近有定义，如果对x0附近的所有的点，都有f（x）＜f（x0），就说f（x0）是函数f（x）的一个极大值，记作y极大值=f（x0）,x0是极大值点.2.极小值.一般地，设函数f（x）在x0附近有定义，如果对x0附近的所有的点，都有f（x）＞f（x0），就说f（x0）是函数f（x）的一个极小值，记作y极小值=f（x0）,x0是极小值点.3.极大值与极小值统称为极值.第二张：判别f（x0）是极大、极小值的方法（记作3.7.1 B）当函数f（x）在点x0处连续时，判别f（x0）是极大（小）值的方法是：（1）如果在x0附近的左侧f′（x）＞0,右侧f′（x）＜0,那么f（x0）是极大值.（2）如果在x0附近的左侧f′（x）＜0,右侧f′（x）＞0,那么f（x0）是极小值.第三张：求可导函数f（x）的极值的步骤（记作3.7.1 C）求可导函数f（x）的极值的步骤：（1）确定函数的定义区间，求导数f′（x）.（2）求方程f′（x）=0的根.（3）用函数的导数为0的点，顺次将函数的定义区间分成若干小开区间，并列成表格.检查f′（x）在方程根左右的值的符号，如果左正右负，那么f（x）在这个根处取得极大值；如果左负右正，那么f（x）在这个根处取得极小值；如果左右不改变符号，那么f（x）在这个根处无极值.教学过程Ⅰ.课题导入［师］我们上节课利用学过的导数这个有力工具研究了函数的一种性质——单调性，怎么来判断函数的单调性呢？［生］先对函数进行求导.如果f′（x）＞0,那么函数f（x）为增函数；如果f′（x）＜0,那么函数f（x）为减函数.［师］比较一下，以前判断函数单调性的方法和现在的判断方法，哪个比较简单？［生齐答］现在的.［师］那么，我们再利用导数这种先进有效的工具，再来研究一下函数的另一种性质——函数的极值.Ⅱ.讲授新课图3-17图3-18［师］我们观察一下两张图象中，点a和点b处的函数值与它们附近点的函数值有什么关系？［生］从图3-17可以看出，点a处的函数值f（a）比点a附近的点的函数值大；而从图3-18可以看出，点b处的函数值f（b）比点b附近的点的函数值小.［师］我们把如图3-17情况的点a的函数值f（a）称极大值，把如图3-18情况的点b的函数值f（b）称极小值，那么能给极大值,极小值下个定义吗？［生］如果对点x0附近的所有的点，都有f（x）＜f（x0）,那么f（x0）是函数f（x）的一个极大值.如果对点x0附近的所有的点，都有f（x）＞f（x0），那么f（x0）是函数f（x）的一个极小值.［师］下定义时，要更准确一点，有f（x0）存在，且与附近点的函数值比较.那么首先f（x）在点x0附近有定义，把极大值、极小值统称为极值.（打出幻灯片3.7.1 A）［师］我们看一下极大值、极小值的概念和学过的最大值、最小值的概念有什么区别？［生］极大、极小值是对于点x0附近的点而言的，而最大、最小值是对于整个定义区间上的点而言的.［师］最大、最小值可以有几个？极大、极小值呢？［生］最大、最小值只有1个，极大、极小值可以有多个.（板书）（一）函数的极值1.函数的极值是就函数在某一点附近的小区间而言的，在函数的整个定义区间内可能有多个极大值或极小值，并且函数要在这点处连续.［师］我们继续观察图3-17和图3-18，点a、b处的切线与点a、b附近的点处的切线有什么特点？［生］点a、b处的切线都与x轴平行，所以点a、b处的切线的斜率为0，即f′（a）=0,f′（b）=0.在点a的左侧的点处的切线的斜率为正，右侧为负；而在点b的左侧的点处的切线的斜率为负，右侧为正.（一开始画图,f′（a）=0,f′（b）=0,f′（x）＞0,f′（x）＜0，可不必标上去，等学生回答后再在图上标出）［师］那么如果函数f （x ）在点x 0处连续，是否可以总结一下判别f （x 0）是极大或极小值的方法.［生］如果在点x 0附近的左侧f ′（x ）＞0,右侧f ′（x ）＜0,那么f （x 0）是极大值.如果在点x 0附近的左侧f ′（x ）＜0,右侧f ′（x ）＞0,那么f （x 0）是极小值.（打开幻灯片3.7.1 B ）［师］我们知道，可导函数如果x 0是极值点，那么f ′（x 0）=0，所以可导函数极值点的导数为0，那么反过来，导数为0的点一定是极值点吗？［生］不是.［师］举个例子.（学生举例，老师板书）（板书）y =x 3,在x =0处.∵y ′=（x 3）′=3x 2,y ′｜x =0=0,当x ＞0时，y ′＞0,当x ＜0时，y ′＞0,∴由极大、极小值的定义知,x =0不是极值点.［师］再来看一个例子.（板书）y =｜x ｜,在x =0处.∵⎩⎨⎧<-≥=,0 ,0x x x x y ∴⎩⎨⎧<->=',0 1,01x x y ∴y =｜x ｜在x =0处不可导.当x ＜0时y ′＜0,当x ＞0时y ′＞0,∴x =0是y =｜x ｜的极小值点.2.对于可导函数，一点是极值点的必要条件是这点的导数为0，而一点是极值点的充分条件是这点两侧的导数异号，即可导函数极值点的导数一定为0，但导数为0的点不一定都是极值点，且对于一般的函数，函数的不可导点也可能是极值点.（二）课本例题［例1］求y =31x 3-4x +4的极值.解：y ′=（31x 3-4x +4）′=x 2-4=（x +2）（x -2）, 令y ′=0,解得x 1=-2,x 2=2.当x 变化时，y ′、y 的变化情况如下表：x （-∞,-2）-2 （-2,2）2 （2,+∞）y ′ + 0 -0 +y↗极大值328↘极小值-34 ↗∴当x =-2时，y 有极大值且y 极大值=328；当x =2时，y 有极小值且y 极小值=-34.［例2］求y =（x 2-1）3+1的极值.解：y ′=6x （x 2-1）2=6x （x +1）2（x -1）2，令y ′=0,解得x 1=-1,x 2=0,x 3=1.当x 变化时，y ′、y 的变化情况如下表：x （-∞,-1）-1 （-1,0）0 （0,1） 1 （1,+∞）y ′ - 0 - 0 + 0 + y↘无极值↘极小值0↗无极值↗∴当x =0时，y 有极小值且y 极小值=0.［师］这就是我们解极值问题的一般解法，对于可导函数，能否总结一下，求极值的具体步骤呢？［生］第一，求导数f ′（x ）.第二，令f ′（x ）=0求方程的根.第三，列表,检查f ′（x ）在方程根左右的值的符号，如果左正右负，那么f （x ）在这个根处取得极大值；如果左负右正，那么f （x ）在这个根处取得极小值；如果左右都是正，或者左右都是负，那么f （x ）在这个根处无极值.［师］这位同学回答得很好，他把无极值的情况也总结了一下.而书本上的总结只是针对例1的情况，我们可以根据例1、例2，把所有的情况都总结一下.但这个解法的前提是对可导函数而言的.如果函数在某些点处连续但不可导，也需要考虑这些点是否是极值点.（打出幻灯片3.7.1 C ） （三）精选例题［例1］已知函数f （x ）=x 3+ax 2+bx +a 2在x =1处有极值为10,求f （2）的值.解:∵f ′（x ）=3x 2+2ax +b , 又∵在x =1处有极值为10,∴⎩⎨⎧==',10)1(,0)1(f f∴⎩⎨⎧=+++=++.101,0322a b a b a两式相减得a 2-a -12=0,∴a =4,a =-3.当a =4时,b =-11; 当a =-3时,b =3.当f （x ）=x 3+4x 2-11x +16时,f （2）=8+4×4-11×2+16=18;当f （x ）=x 3-3x 2+3x +9时,f （2）=8-3×4+3×2+9=11.［例2］已知函数f （x ）=x 3+ax 2+（a +6）x +1有极大值和极小值,求实数a 的取值范围.解:∵f ′（x ）=3x 2+2ax +a +6,令f ′（x ）=0,∴3x 2+2ax +a +6=0有两个不同的解.∴Δ＞0.∴4a 2-12（a +6）＞0.∴a 2-3a -18＞0. ∴a ＞6或a ＜-3,即所求a 的取值范围是（-∞,-3）∪（6,+∞）.Ⅲ.课堂练习 求下列函数的极值.（1）y =x 2-7x +6;（2）y =x 3-27x .解：（1）y ′=（x 2-7x +6）′=2x -7,令y ′=0，解得x =27.当x 变化时，y ′,y 的变化情况如下表:x （-∞,27） 27 （27,+∞） y ′ - 0 + y↘极小值-425 ↗∴当x =27时，y 有极小值，且y 极小值=-425.（2）y ′=（x 3-27x ）′=3x 2-27=3（x +3）（x -3）,令y ′=0,解得x 1=-3,x 2=3.当x 变化时，y ′,y 的变化情况如下表:x （-∞,-3）-3 （-3,3）3 （3,+∞）y ′ + 0 - 0 + y↗极大值54↘极小值-54↗∴当x =-3时，y 有极大值，且y 极大值=54;当x =3时，y 有极小值，且y 极小值=-54.Ⅳ.课时小结［学生总结］这节课我们主要学习了函数的极大、极小值的定义以及判别方法，求可导函数f （x ）的极值的三个步骤，还有要弄清函数的极值是就函数在某一点附近的小区间而言的，在整个定义区间可能有多个极值，且要在这点处连续.可导函数极值点的导数为0，但导数为零的点不一定是极值点，要看这点两侧的导数是否异号.函数的不可导点可能是极值点.Ⅴ.课后作业（一）课本P 130习题3.7 1.（二）复习并总结这节的内容.板书设计3.7.1 函数的极值（一）画图举例:y=x3,在x=0处.y=｜x｜,在x=0处.课本例题1x3-4x+4的极值.例1.求y=3例2.求y=（x2-1）3+1的极值.1.函数的极值是就函数在某一点附近的小区间而言的，在函数的整个定义区间内可能有多个极大（极小）值，且函数要在这点处连续.2.对于可导函数，一点是极值点的必要条件是这点导数为0，充分条件是这点两侧的导数异号.精选例题例1.例2.课堂练习求下列函数的极值:（1）y=x2-7x+6;（2）y=x3-27x.课时小结课后作业 备课资料关于9sin x +16csc x 值域的研究王思俭第五届“希望杯”高二第二试二4:函数y =9sin x +16csc x ,x ∈（0, 2π］,则函数的最小值为__________.1.挖掘多种解法，揭示解题思想思路1:本题不能直接使用均值不等式求最小值,因为虽然有9sin x +16csc x ≥2x x csc 16sin 9⋅=24,但等号成立的充要条件是9sin x =16csc x ,即sin x =34∉（0,1］,但可借助函数y =9t +t16,t ∈（0,1］的单调性来求解.解：令sin x =t ∈（0,1］,则y =9t +t 16,易证函数y 在（0,1］上是单调递减的，所以当t =1，即x =2π时,y m in =25.思路2：虽然不能直接使用均值不等式求最小值，但只要对xsin 16进行分析就可以利用了.解：y =9（sin x +xsin 1）+x sin 7≥9·2x x sin 1sin ⋅+x sin 7=18+x sin 7≥18+17=25，两处不等式中等号成立的充要条件都是sin x =1. 故y m in =25.思路3：令sin x =t ∈（0,1］,于是问题转化为关于t 的一元二次方程9t 2-yt +16=0在（0,1］中至少有一个根时，求参数y 的取值范围，利用二次函数图象就可求得.解：令sin x =t ,原式化为9t 2-yt +16=0, t ∈（0,1］，（*） 此方程在（0,1］内至少有一个解.首先应有Δ≥0,即y ≥24.由于二次函数f （t ）=9t 2-yt +16的对称轴t =18y＞1,所以有⎪⎩⎪⎨⎧>≤≥∆.0)0(,0)1(,0f f 解得y ≥25.思路4：可从原式中解出sin x ，再利用正弦sin x ∈（0,1］求解.解：原式化为9（sin x ）2-y sin x +16=0,当Δ≥0,即y ≥24时，sin x =1816362⋅-±y y .而y ≥24,0＜sin x ≤1,所以0＜1816362⋅--y y ≤1.解得y ≥25,故y m in =25.2.挖掘试题内涵，培养揭示能力引申1：函数y =ax +xb 的性质（ab ≠0）. （如下表）条件图象与性质项 目⎩⎨⎧>>00b a ⎩⎨⎧><00b a ⎩⎨⎧<<00b a ⎩⎨⎧<>0b a图 象奇偶性 奇函数 奇函数 奇函数奇函数 极 值 y 极大=-2ab ,y 极小=2ab 无极值 y 极大=-2ab ,y 极小=2ab 无极值 图象极值点极大值点：（-a b,-2ab ） 极小值点：（ab,2ab ） 无极大值点：（ab,-2ab ） 极小值点：（-ab,2ab ） 无渐近线方程 x =0及y =ax x =0及y =ax x =0及y =axx =0及y =ax 递增区间（-∞,-ab］和［ab,+∞） 无［-ab ,0）和（0,ab ］ （-∞,0）和（0,+∞）递减区间（-a b ,0）和（0，ab ） （-∞,0）和（0,+∞） （-∞,-ab）和（ab,+∞） 无引申2：函数y =x b a x n m sin sin +（a ＞0,b ＞0,m 、n ∈N ,0＜x ＜2π）.（1）若abn ≥m ，当且仅当sin x =1时，有最小值y m in =a1+b .（2）若abn ＜m ,当且仅当sin x =nm mabnf +时，有最小值y m in =（m +n ）nm nn m ma n mb +.证明：（1）y =axm sin +xa n sin 1+xa n sin 1+…+xa n sin 1≥a1（ab +1）1)sin 1(+-ab mabn x，因为abn -m ≥0,而xsin 1≥1, 所以y m in =a 1（ab +1）=a1+b .取等号的充要条件为sin x =1.（2）y =na x m sin +na x m sin +na x m sin +…+na x m sin +x m b n sin +x m b n sin +…+xm bn sin≥（m +n ）n m mn nm n n m m x x a n m b +⋅)(sin )(sin =（m +n ）nm nn m m a n m b +.3.挖掘应用功能，提高解题能力赛题及引申给出了这类问题的一般图象和性质.引导学生应用这些性质解题，尤其是高考和竞赛题，可以培养灵活解题的能力.［例1］（1988年全国高考,文6）解不等式lg （x -x1）＜0.解：原不等式为0＜x -x1＜1,由函数y =x -x1的图象（如图3-19），知不等式解集为（-1,x 1）∪（1,x 2）（x 1,x 2为方程x -x1=1的两个根,即251±）.图3-19［例2］（1986年上海市高中数学竞赛）设a ＞1,a 、θ均为实数，求当θ变化时，函数θθθsin 1)sin 4)(sin (+++=a y 的最小值.解：令1+sin θ=t ∈（0,2］，则y =tt a t )3)(1(+-+=t +ta )1(3-+2+a ,∵a ＞1,∴a -1＞0. 故u =t +ta )1(3-（a ＞1,0＜t ≤2）的图象是位于第一象限的曲线段（如图3-20）.图3-20根据函数的性质，极小值点为（)1(3-a ,)1(32-a ）. 于是当0＜)1(3-a ≤2,即1＜a ≤37时，y m in =)1(32-a +a +2.当)1(3-a ＞2,即a ＞37时，函数y 在（0,2］上是减函数，所以在t =2时，有最小值y m in =2)1(5+a .［例3］（1990年上海市高三数学竞赛题）设抛物线y =x 2+mx +2与两端点为（0,1）,（2,3）的线段有两个相异的交点，则m 的取值范围是__________.略解：联立方程组⎩⎨⎧≤≤+=++=)20(1,22x x y mx x y化为1-mx =x 2-x +2,易知x =0时不成立.所以1-m =x +x1（0＜x ≤2）.方程的解的问题转化为两函数u =1-m ,u =x +x1（0＜x ≤2）有两个相异交点的问题（如图3-21），其充要条件为2＜1-m ≤u（2）=25,即-23≤m ＜-1.图3-21［例4］（1991年上海高考压轴题）在△ABC 中，BC =a ,AC =b ,BA =c ,∠ACB =θ,现将△ABC 分别以BC 、AC 、AB 所在直线为轴旋转一周，设所得的三个旋转体的体积依次为V 1、V 2、V 3.（1）求T =213V V V +（用a 、b 、c 、θ表示）;（2）若θ为定值，并令cba +=x ,将T 表示为x 的函数，写出这个函数的定义域，并求这个函数的最大值u ;（3）当θ在［3π,π）内变化时，求u 的最大值.略解：（1）在△ABC 中，设BC 、AC 、AB 上的高依次为h 1、h 2、h 3,则h 3=cab θsin , h 1=b sin θ,h 2=a sin θ.而V 1=3πa 2b sin 2θ,V 2=3πb 2a sin 2θ,V 3=31cb a 22sin 2θ,所以T =cb a ab)(+.（2）因为c 2=a 2+b 2-2ab cos θ=（a +b ）2-2ab （1+cos θ），而a +b =cx ,所以ab =)cos 1(2)1(22θ+-c x .故T =)cos 1(21θ+（x -x1）.又因为c2=（a +b ）2-2ab （1+cos θ）≥（a +b ）2-2)(2b a +（1+cos θ）=2)(2b a +（1-cos θ）,所以1＜x 2≤θcos 12-,即1＜x ≤θcos 12-.又因为函数y =x -x1在x ＞0时为增函数,所以当x =θcos 12-时，T max =2sin41 =u .（3）因为3π≤θ＜π,所以21≤sin θ＜1,故u max =21. （原文发表在《数理天地》北京1998年第1期）。
高一数学必修一极值不等式题型归纳
高一数学必修一极值不等式题型归纳
一、最值问题
最值问题是数学中常见的一个重要问题，它与极值有着密切关系。
在高一数学必修一中，我们经常会遇到一些涉及极值的不等式题型。
二、极值不等式题型归纳
1. 一元二次函数的极值
当一元二次函数y=ax²+bx+c的系数满足一定条件时，可以通过求导法求出它的极值点。
2. 平方差公式
平方差公式是求两个数平方差的一种方法。
在不等式题型中，我们经常会用到它。
3. 加法不等式组的最值
当我们遇到加法不等式组时，我们要确定有几个式子相等，然后把相等的式子代入到其他的式子中去，并进行变形等操作，最后求出最值。
4. 指数函数与对数函数的最值
当我们遇到涉及指数函数和对数函数的最值题型时，我们常常需要对这些函数进行求导，然后求出它们的极值。
5. 极值的判断
在解答极值不等式题型时，我们常常需要通过判定函数的单调性、二次判别式、导数的符号等方法来确定函数的极值。
三、总结
高一数学必修一中的极值不等式题型涉及了一元二次函数的极值、平方差公式、加法不等式组的最值、指数函数与对数函数的最
值以及极值的判断等内容。
通过熟练掌握这些题型的解题方法和技巧，我们可以更好地解答相关的数学题目。
数学必修一电子课本
数学必修一电子课本《数学必修一》电子课本第一章: 函数的基本概念1.函数的定义和符号表示法2.函数的自变量、因变量和值域、定义域3.初等函数的基本性质第二章: 二次函数1.二次函数的定义及图像2.二次函数的性质（对称性、单调性、零点、顶点、极值）3.二次函数的解析式及系数与图像的关系4.二次函数与一元二次方程的关系第三章: 导数1.导数的概念和符号表示法2.导数的几何意义和物理意义3.导数的基本公式（导数的四则运算法则和常用导数公式）4.利用导数求函数的单调性、极值、最值、拐点和图像的摆放情况第四章: 不等式和绝对值1.不等式的含义和性质，一元一次不等式的解法2.绝对值的定义和性质，绝对值不等式的解法第五章: 几何向量1.向量的表示方法和运算法则2.向量的数量积及其性质3.向量的向量积及其性质4.平面向量的应用（多边形重心、垂直平分线、角平分线等）第六章: 平面几何初步1.基本概念（点、直线、面、平行、垂直、角、三角形等）2.三角形的性质（中线定理、高线定理、角平分线定理等）3.相似三角形的判定和性质，勾股定理4.正弦定理、余弦定理及其应用第七章: 实数1.实数的定义和性质2.数列的概念和表示法3.算术数列和等差数列的基本概念和性质4.几何数列和等比数列的基本概念和性质第八章: 概率初步1.事件和样本空间的概念2.概率及其基本性质3.事件的概率和条件概率的计算4.基本统计量的计算（中位数、平均数、方差等）结语此电子课本详细介绍了数学必修一的各个知识点，在学习过程中可以起到很好的辅助作用。
希望同学们熟练掌握各个知识点，并多加练习，提高自己的数学水平。
高中数学：函数的极值与最值
3 2 3
x( 4 x )
x
( 6 x ) (4 x ) 4 x
3
x 3 (6 x )2
令 f ' ( x ) 0 解得 x 4
x 0, x 6 时, f ' ( x ) 不存在
(3)讨论单调性
f '( x)
4 x
3
x
f '( x)
( ,0) 0 ( 0,4 ) 4
x0
)
x
f ( x0 ) 是极大值
x0
( 2) f ' ( x )
(
-
x0
+
x0
)
x
f ( x0 ) 是极小值
f ( x)
x0
( 3) f ' ( x ) f ( x)
(
+
x0
+
x0
)
x
f ( x0 ) 不是极值
x0
f '( x)
(
-
x0
截去同样的小正方形, 作成一个无盖的方盒, 截去多少才能使得作成的盒子容积最大?
问:
设截去的小正方形的边长
为 x , 则作成盒子的容积
a
x x
V x( a 2 x )
2
V ' (a 2 x )2 x 2(a 2 x )(2)
(a 2 x )(a 6 x )
证 (1) 按定义
f ' ( x ) f ' ( x0 ) f '( x) f '' ( x0 ) lim lim x x0 x x0 x x x x0 0
高中数学讲义：函数的极值
函数的极值一、基础知识：1、函数极值的概念：（1）极大值：一般地，设函数()f x 在点0x 及其附近有定义，如果对0x 附近的所有的点都有()()0f x f x <，就说()0f x 是函数()f x 的一个极大值，记作()0y f x =极大值，其中0x 是极大值点（2）极小值：一般地，设函数()f x 在点0x 及其附近有定义，如果对0x 附近的所有的点都有()()0f x f x >，就说()0f x 是函数()f x 的一个极小值，记作()0y f x =极小值，其中0x 是极小值点极大值与极小值统称为极值2、在定义中，取得极值的点称为极值点，极值点是自变量的值，极值指的是函数值。
请注意以下几点：（1）极值是一个局部概念：由定义，极值只是某个点的函数值与它附近点的函数值比较是最大或最小并不意味着它在函数的整个的定义域内最大或最小（2）函数的极值不是唯一的即一个函数在某区间上或定义域内极大值或极小值可以不止一个（3）极大值与极小值之间无确定的大小关系即一个函数的极大值未必大于极小值（4）函数的极值点一定出现在区间的内部，区间的端点不能成为极值点3、极值点的作用：（1）极值点为单调区间的分界点（2）极值点是函数最值点的候选点4、费马引理：()f x 在0x x =处可导，那么0x x =为()f x 的一个极值点Þ()0'0f x =说明：①前提条件：()f x 在0x x =处可导②单向箭头：在可导的前提下，极值点Þ导数0=，但是导数0=不能推出0x x =为()f x 的一个极值点，例如：3y x =在()0,0处导数值为0，但0x =不是极值点③费马引理告诉我们，判断极值点可以通过导数来进行，但是极值点的定义与导数无关（例如：y x =在()0,0处不可导，但是0x =为函数的极小值点）5、求极值点的步骤：（1）筛选：令()'0f x =求出()'f x 的零点（此时求出的点有可能是极值点）（2）精选：判断函数通过()'f x 的零点时，其单调性是否发生变化，若发生变化，则该点为极值点，否则不是极值点（3）定性：通过函数单调性判断出是极大值点还是极小值点：先增后减→极大值点，先减后增→极小值点6、在综合题分析一个函数时，可致力于求出函数的单调区间，当求出单调区间时，极值点作为单调区间的分界点也自然体现出来，并且可根据单调性判断是极大值点还是极小指点，换言之，求极值的过程实质就是求函数单调区间的过程。
高一数学人选择性必修课件函数的极值
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极值点与驻点关系
驻点是函数的一阶导数为零的点，即 $f'(x)=0$的点。
极值点必定是驻点，但驻点不一定是极值点 。驻点还可能是拐点（函数凹凸性发生改变 的点）。
要判断一个驻点是否为极值点，需要进一步 检查该点的二阶导数或利用函数的单调性。
02
一元函数极值求解方法
一阶导数测试法
确定函数的定义域， 并求出一阶导数 $f'(x)$。
VS
渐近线意义
渐近线描述了函数在自变量趋向无穷大或 某个特定值时的变化趋势，有助于了解函 数的整体性质和变化趋势。
Байду номын сангаас
拐点与渐近线在解决实际问题中应用
拐点应用
在经济学、物理学等领域中，拐点常常用来 描述某种量达到极值后发生的变化，如边际 效应、弹性等。
渐近线应用
在工程学、物理学等领域中，渐近线可以用 来估计函数在某个区间内的变化趋势和取值 范围，如误差分析、信号处理等。同时，在 解决一些实际问题时，可以通过寻找函数的 渐近线来简化计算过程。
忽视定义域的变化
在某些情况下，函数的定义域会随着 参数的变化而变化。在求解极值时， 必须注意定义域的变化，否则可能导 致错误的结论。
忽视约束条件导致错误
忽视等式约束
在求解带有等式约束的极值问题时，必须考虑等式约束对变量的限制。若忽视等式约束，可能会得到不符合题意 的解。
忽视不等式约束
在求解带有不等式约束的极值问题时，必须考虑不等式约束对变量的限制。若忽视不等式约束，可能会导致错误 的解或无法找到最优解。
$f''(x) < 0$，则为极大值；若 $f''(x) = 0$，则需要进一步判断
函数的最值第一课时-高一数学必修一课件
方法总结
函数的最值与单调性
(1)若函数y＝f(x)在区间[a，b]上单调递增，则f(x)的最大值为f(b)，最小值为f(a). (2)若函数y＝f(x)在区间[a，b]上单调递减，则f(x)的最大值为f(a)，最小值为f(b). (3)若函数y＝f(x)有多个单调区间，那就先求出各区间上的最值，再从各区间的 最值中决定出最大(小)值.函数的最大(小)值是整个值域范围内的最大(小)值. (4)如果函数定义域为区间，则不但要考虑函数在该区间上的单调性，还要考虑 端点处的函数值或者发展趋势.
求对称轴
解:
f (x) (x 1)2 3 , 24
对称轴为x 1 . 2
①当t 1 1 ,即t 1 时, f (x)在[t,t 1]上单调递减,
以对称轴
2
2
y
t t 1
x
为参照移 f
区间
②当t
(
x) 1
m in
t
f (t 1,即
1) t 2 1 t
1
t 1. 时, f (
x)在[t,
构建数学
函数
任意性
条件
存在性
结论
最大值
最小值
设函数y=f(x)的定义域为I，若存在实数M满足：
∀x∈I，都有f(x)≤M; ∃x0∈I，使得f(x0)=M.
称M是函数y=f(x)的最大值
∀x∈I，都有f(x)≥M; ∃x0∈I，使得f(x0)=M.
称M是函数y=f(x)的最小值
几何意义 f(x)图象上最高点的纵坐标 f(x)图象上最低点的纵坐标
探究交流
例4.“菊花”烟花是最壮观的烟花之一.制造时一般是期望它在达到最高点时爆裂.如果
高一必修一函数最值知识点
高一必修一函数最值知识点在高中数学的学习过程中，函数是我们最常见的概念之一。
而在函数的许多性质中，最值是一个非常重要的概念。
在本文中，我将介绍高一必修一中函数最值的一些知识点，帮助同学们更好地理解和掌握这一内容。
函数的最大值和最小值是函数图像上的两个特殊点，它们分别对应了函数在定义域内取得的最大和最小函数值。
下面，我将简要地介绍一些求解函数最值的常用方法。
首先，我们来看一看函数的最大值。
对于确界问题，我们首先应该找到函数的定义域。
在找到定义域之后，我们可以通过求导的方法来判断函数在哪些点取得最大值。
对于函数f(x)，我们可以求得它的导函数f'(x)。
然后，我们将f'(x)=0，并解方程找到它的解x0。
根据函数的单调性可知，此时x0对应函数的极值点。
接着，再通过二阶导数的方法来判断x0是函数的最大值还是最小值。
如果f''(x0)>0，那么x0为函数的最小值；相反，如果f''(x0)<0，那么x0为函数的最大值。
举个例子来说明这个方法。
假设有函数f(x)=x^2+2x+1，我们首先求导得到f'(x)=2x+2。
然后，令f'(x)=0，就可以解得x0=-1。
接着，求二阶导数f''(x)=2，由此可以看出f''(x0)>0，所以x0=-1为函数的最小值点。
将x0代入函数式，我们可以得到最小值f(-1)=0。
除了求解极值点的方法，我们还可以通过画函数图像来观察函数的最值。
在画函数图像的过程中，我们可以先找出函数的定义域，并观察定义域的两端，看是否存在最大值或最小值。
通过与y 轴的交点，我们可以快速了解函数的最值。
不仅如此，我们还可以通过应用函数的性质来求解函数的最值。
例如，对于一些特殊的函数，我们可以利用它的特点来判断其最值。
比如，对于抛物线，我们可以通过观察抛物线的对称轴来判断最值。
一般来说，对称轴上的点就是函数的最值点。
函数的极值知识点总结
函数的极值知识点总结
函数的极值是数学中一个重要的知识点，它在微积分和数学建
模中起着关键作用。
极值包括最大值和最小值，下面我将从定义、
求解方法以及应用等多个角度对函数的极值进行总结。
首先，函数的极值是指在定义域内取得的最大值和最小值。
具
体来说，对于函数f(x)，如果存在使得f(x)≥f(x0)（或
f(x)≤f(x0)）成立的x0，那么f(x0)就是函数f(x)的最大值（或
最小值）。
这里需要注意的是，极值点可以是函数的端点，也可以
是函数的驻点（即导数为0的点）。
其次，求解函数的极值可以通过导数的方法来进行。
首先，找
出函数的驻点，即求解f'(x)=0的点，然后通过一阶导数的符号变
化来判断极值的情况。
具体来说，如果f'(x)在x0的左侧由正变负，那么x0是函数的极大值点；如果f'(x)在x0的左侧由负变正，那
么x0是函数的极小值点。
需要注意的是，这只是判断极值的充分条件，还需要验证端点的情况。
此外，函数的极值在实际问题中有着广泛的应用。
比如在经济
学中，利润函数的极大值可以帮助企业确定最优产量；在物理学中，
某些物理量的最大值可以对问题进行优化等等。
综上所述，函数的极值是数学中一个重要的知识点，通过对其定义、求解方法以及应用的全面了解，可以更好地理解和应用函数的极值。
希望以上总结对你有所帮助。
37函数的极值高一数学必修一
y f (x1)
yf(x) f(x3)
f(x2) f(x4)
O a x1 x2 x3 x4
bx
一、函数y的极值定义
y 使函数取得极值的 点x0称为极值点
o
x0
x
o
x0
x
一般的，设函数f(x)在点x0附近有定义，
•如果对X0附近的所有点，都有f(x)<f(x0),
则f(x0) 是函数f(x)的一个极大值， 记作y极大值= f(x0)；
O a在极小x值1 点附近•x若2 极值点b x处的导数存在，则一定为0
已知函数f(x)在点x0处是连续的，则
1、如果在x0附近的左侧f ’(x)>0，右侧f ’(x)<0，则f (x0)是极大值；
2、如果在x0附近的左侧f ’(x)<0，右侧f ’(x)>0，则f (x0)是极小值；
函数的极值
例.判断下面4个命题，其中是真命题序号为 ② 。
函数的极值
例2 求函数 y=(x2-1)3+1 的极值。 解：定义域为R， y′=6x(x2-1)2。 由y′=0可得x1=-1, x2=0 ，x3=1
当x变化时，y′ , y的变化情况如下表：
x (-∞,-1) -1 (-1,0) 0 (0,1) 1 (1,+∞)
y′ －
0－ 0
+0
+
y
无极值
极小值
f (x1)0 f (x2)0 f (x3)0
f (x5)0
在极值点处，曲线如果有切线，则切线是水平的。
函数的极值
二、判断函数极值的方法
在极大值点附近 y
yf(x) f (x)>0
f (x)<0
函数极值和其求法
x 0时，f (x) 1,无驻点，
当x 0时, f (x)可能不存在. 但函数f ( x)在该点连续.
有两个可疑点：x 0, x e1,
经判断知，f (0) 1为f (x)的极大值，f (e1 )是极小值
定理4 (判别法的推广)
数,
则且: 1) 当 n为偶数时,
为极值点 , 且 是极小点 ; 是极大点 .
y
y
y
oa
bx o a
bx o a
bx
例7. 求函数
在闭区间
上的最大值和最小值 .
解: 显然
且
(2x3 9x2 12x),
1 4
x
0
2x3 9x2 12x ,
0
x
5 2
f
(
x)
6x2 6x2
18x 12 18x 12
6(x 1)(x 2) 6(x 1)(x 2),
,
1 4
x
0
s(t)
5t 7.5 .
(0.5 t)2 (4 2t)2
令s(t) 0,
得唯一驻点 t 1.5. 故得我军从B处发起追击后 1.5 分钟射击最好.
思考题
下命题正确吗？
如果x0 为 f ( x) 的极小值点，那么必存在 x0的某邻域，在此邻域内， f ( x) 在x0 的左侧 下降，而在x0 的右侧上升.
(1) 求导数 f ( x);
(2) 求驻点，即方程 f ( x) 0的根; (3) 检查 f ( x) 在驻点左右的正负号,判断极值点;
(4) 求极值.
证 只证(1),(2)与(3)类似证明。
因为在区间 x0 , x0 上 f (x) 0， 所以在区间 x0 , x0 上, f (x) 单调增
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y′ －
0－ 0
+0
+
y
无极值
极小值
无极
0
值
因此，当x=0时， y极小值=0
点评：一点是极值点的充分条件是这点两侧的导数异号。
谢谢大家!
2、如果在x0附近的左侧f ’(x)<0，右侧f ’(x)>0，则f (x0)是极小值；
函数的极值
例.判断下面4个命题，其中是真命题序号为 ② 。
①可导函数必有极值； ②函数在极值点必有定义；
如y = 2x
③函数的极小值一定小于极大值
（设极小值、极大值都存在）；
④函数的极小值（或极大值）不会多于一个。
注意：函数极值是在某一点附近的小区间内定义
的，是局部性质。因此一个函数在其整个定义区间 上可能有多个极大值或极小值，并对同一个函数来 说，在某一点的极大值也可能小于另一点的极小值。
函数的极值
例1 求函数 y= 1x3 4x4的极值。 3
解：定义域为R，y′=x2-4 由y′=0可得x=-2或 x=2
当x变化时，y′, y的变化情况如下表：
x (-∞，-2） -2 (-2，2） 2
(2，+∞）
y′
+
0
－
0
+
y
极大值
极小值
28/3
-4/3
Hale Waihona Puke 因此，当x=-2时， y极大值=28/3 当x=2时， y极小值=－4/3
看图象
函数的极值
求可导函数f(x)极值的 步骤：
(1) 确定函数的定义域； (2)求导数f ’(x)； (3)求方程f ’(x）=0的根； (4)把定义域划分为部分区间，并列成表格 检查f ’(x)在方程根左右的符号—— •如果左正右负（+ ~ -）， 那么f(x)在这个根处取得极大值；
函数的极值
函数的极值
函数的极值
观察与思考：极值与导数有何关系？
函数的极值
y y=f(x)
O a x1
x2
x3
x4
x5 b x
f (x1)=0 f (x2)=0 f (x3)=0
f (x5)=0
在极值点处，曲线如果有切线，则切线是水平的。
函数的极值
二、判断函数极值的方法
在极大值点附近 y
y=f(x) f (x)>0
•如果左负右正（- ~ +）， 那么f(x)在这个根处取得极小值；
函数的极值
例2 求函数 y=(x2-1)3+1 的极值。 解：定义域为R， y′=6x(x2-1)2。 由y′=0可得x1=-1, x2=0 ，x3=1
当x变化时，y′ , y的变化情况如下表：
x (-∞,-1) -1 (-1,0) 0 (0,1) 1 (1,+∞)
f (x)<0
•极值点处的导数不一定是存在的；
f (x)<0
f (x)>0
•导数为0的点不一定是极值点；
O a在极小x值1 点附近•x若2 极值点b x处的导数存在，则一定为0
已知函数f(x)在点x0处是连续的，则
1、如果在x0附近的左侧f ’(x)>0，右侧f ’(x)<0，则f (x0)是极大值；