保险精算课件 第4章生存年金

推导：对终身寿险和终身生存年金，有
Ax E(vK1)
axE (aK 1)E (1d vK 1)1 dA x
即 1dax Ax
公式二：
1iaxiAxAx
解释：x岁时的1单位元等于(x)死亡年末的1元
赔付现值 A x ，加上(x)存活期每年 i 元的利息
现值 i a x 和死亡年年末i元利息的现值 i A x 。
例：对于(30)的从60岁起每月500元的生存 年金，预定利率为6%。根据附表1，计算 保单的趸缴净保费。
例：某保单提供从60 岁起每月给付500元的生存 年金，如果被保险人在60岁前死亡，则在死亡年 末给付10000元。设预定利率为6%，如果某人购 买了这种保单，根据附表2的资料，求这一生存年 金的精算现值。
1da A
x:n
x:n
1a A
x:n
x:n
ax vax Ax
a va A1
x:n
x:n
x:n
例：年龄为35岁的人，购买按连续方式给付 年金额为2000元的生存年金，利率i=6%， 试求死亡均匀分布假设下终身生存年金的精 算现值（已知 A35 0.11156）.
提示：利用公式 1ax Ax
2. 某年龄为40岁的人以1万元纯保费购买了 30年纯生存保险，试以附表1计算，他在70 岁可以领取的保险金额。
5.2 年付一次的生存年金精算现值
期初、期末支付的
终身生存年金 定期生存年金 延期终身生存年金 延期定期生存年金
1.终身生存年金
• (x)的每年1单位元期初付终身生存年金精算现值


ax kEx vkk px
n1
n1
a x:n
kEx
vkkpx
k0
k0
• 期末付定期生存年金
n
n
a x:n
kEx
vk k px
k1
k1
3.延期期初付生存年金
险种
延期m年初付 终身生存年金

m a x k E x
km
精算
现值

ax

a x:m
m E x axm
延期m年期初付 n年定期生存年金
lxnE x(1i)nlxn
例：某人立有遗嘱：其儿子年满21岁时可获 得其5万元遗产。其子现年12岁，因有急事需 提前支取这笔遗产。若利率为6%，利用附表1 的生命表求其子现在可以支取的金额。
解：500009 E12 50000 v9 9 p12
500001.069 l21 l12
4.延期m年n年定期连续生存年金
m a x :n m m n v ttp x d t a x :m n a x :m m E xa x m :n
※生存年金递推公式
ax1vpxax1
5.4 生存年金与寿险的关系
公式一： 1dax Ax
解释： (x)投保时的1单位元等于(x)在存活期 每年初的1单位元的预付利息d和 (x)死亡年末 1单位元赔付现值之和
m
)
表示。
当m趋于无穷大时，有
Ax

lim
m
A(m) x
A(m) x
E(vKS(m)
)
E(vK1)E(1 i)1S(m)

i i(m)
Ax
1.终身生存年金
a(m) x

a(m) x

1 m
• 基本公式
a(m) x
1

k
vm
mk0
k m
px
• UDD假定下的近似公式
a(m) x
岁起以生存为条件得到年金。假设年金每年支 付一次，一次支付6000元。用精算符号表示 该保单的趸缴净保费。
5.3 连续生存年金
＊连续年金
年支付额为1个单位的t年期连续年金的现值为
a t a1(s)ds
t
0
常数利率情形下：
a t vsds 1vt
t
0

1.连续终身生存年金
（1）ax
a x:n
m1 2m(1nEx)
3.延期生存年金
• 延期m年终身生存年金（UDD假定）
a(h)
mx
max
h1 2h mEx
a(h)
mx
max
h2h1mEx
• 延期m年n年定期生存年金 （UDD假定）
m nax (h)m naxh 2 h1(m E xm nE x)
m nax (h)m naxh2 h1(m E xm nE x)
f(t)0.015e0.015t(t0), 利息力为0.05。试计算精算现值 a x ，
并求该现值足够用于实际支付年金的概率。
例：设生存函数为 S(x) 1 x , 利息力 110
0.05, 试计算精算现值 a 50 :10
3.延期m年连续生存年金
m a xm v ttp x d t a x a x:m m E xa x m
m n a x
kEx
k m 1
a a
x:mn
x:m
m E x axm :n
例：某人30岁时购买了从60岁起年支付额为 10000元的终身生存年金，求其趸缴净保费。 如果他在68.8岁时死亡，求此人所获年金在 30岁时的现值（假定利率为6% ）。
＊期初付和期末付年金之间的关系
ax
m1 2m
1d(m)ax (m) Ax(m)
2. n年定期一年m次生存年金
ax(m ： n) ax(m) nExax(m n)
ax(m ： n) ax(m) nExax(m n)
• UDD假定下的近似公式
a(m) x:n
a x:n
m 2m 1(1nEx)
a(m) x:n
第4章 生存年金精算现值
5.1 生存年金的概念 生存年金（Life Annuity）是以被保险
人存活为条件，按预先约定的金额以间隔相 等的时期（年、半年、季、月）进行一系列 给付的保险。
注：在生存年金研究中，习惯用 n E x 表示1
单位元纯生存保险的精算现值，即
nEx Ax:1n vnnpx
m n1
m n a x
k Ex
km
a a x : mn x
延期期末付生存年金
险种
精算 现值
延期m年期末 终身生存年金

m a x
kEx
k m 1

ax

a x :m
m E x a xm
延期m年期末付 n年定期生存年金
m n1
50000 0.5918985 991353 995225
29479.78 (元)
＊利率和生者利下的
累积系数 折现系数
1 1 (1i)n lx
nEx vn n px
lxn
nEx t Ex nt Ext
也叫精算累积因子和精算折现因子。
练习:
1. 计算(25)购买40年定期纯生存险的趸缴纯 保费。利率i＝6％，保险金额为3万元。
ax ax 1
max maxmEx
a x:n
1a x:n
nEx
m ax m1 ax
a 1a
x:n
x:n1
mnax m1nax
例：对于（30）的从60岁起每年6000元的生
存年金，利息力 0.03 。死亡密度为
f(x)0.02e0.02x.
求保单的趸缴净保费。
E(a ) T

a
0t

fT(x)(t)dt

1vt
0
t
pxxtdt
(2) ax

vt
0
t
pxdt
2.连续定期生存年金
n
(1 )a x： n0a ttp x x tdtnp xa n
(2)
a x:n

nvt
0
t
pxdt
例：设随机变量T= T (x)的概率密度函数为
推导：
ax

E (a K
)

1 vK E(
i
)
E (1 (1 i ) v K 1 ) i
1 (1 i ) A x i
公式三：
1ax Ax
推导：对终身寿险和连续终身生存年金，有
Ax E(vT )
axE(aT)E(1 vT)1(1Ax)
1ax Ax
k0
k0
它是一系列保险期逐步延长的纯生存保险之和
• 期末付终身生存年金


ax kEx vkk px a x 1
k1
k1
例：某人现年30岁，欲在其生存期间每年年 初向保险公司领取50元，则此人在30岁时的 趸缴净保费是多少？
2.定期生存年金
• 期初付定期生存年金
5.5 年付m次生存年金的精算现值
• 分类
– 终身年金与定期年金 – 期初付年金与期末付年金 – 延期年金与非延期年金
• 推导思路
– 寻找与一年一次付年金之间的关系
补充：关于
A
(m ) x
的计算
把死亡发生年划分成m个相等的部分，死亡
给付在死亡发生的那部分期末进行。这时1单位元
的终身寿险现值以
A
( x
例：某30岁的人购买了从60岁起的生存年金， 契约规定，在被保险人60岁～69岁时每年的 给付额为6000元，70岁～79岁每年的给付额 为7000元，80岁以后每年的给付额为8000元。 用精算符号表示该保单的趸缴净保费。
例：某30岁的人投保养老年金保险，保险契约 规定，如果被保险人存活到60岁，则确定给付 10年年金，若被保险人在60～69岁间死亡， 由其指定的受益人继续领取，直到领满10年为 止；如果被保险人在70岁仍然存活，则从70