14章机械振动1

v0 A x
②/①有
v0 / A v0 tg x0 / A x 0
例2一弹簧振子，弹簧的弹性系数 为k，质量m，t=0时，m刚好离开 平衡位置以v0向正x方向运动，求 运动方程。
例3：底面积为 S 的长方形木块，浮于水 面，水面下 a，用手按下 x 后释放，证明 木块运动为谐振动，其周期为 a S T 2 g 证明：平衡时 mg F浮 aSg
1.0s
时，物体所处的位置和所受的力；
v
0.08 0.04
x/m
0.04 0.08
o
解
A 0.08 m
2π π 1 s T 2
A 0.08 m
t 0, x 0.04m
π v0 0 3
0.08 0.04
2π π 1 s T 2
2.初始条件 t0 x0 0 v0 0
x
o
l

A


2
o
x
3.初始条件
t0 x0 A v0 0
x
A
l
o


A
o
x
4.初始条件 t0 x0 0 v0 0
x
l

o
oA
x
3 2
用旋转矢量图画简谐运动的
x t
图
T 2π （旋转矢量旋转一周所需的时间）
由
x A cos(t ) v A sin(t )
t0
时
x0 A cos v0 A sin
① ②
t0
时
x0 A cos v0 A sin
① ②
2
①2+(②/)2
有
x (v0 / ) A
2 0 2
2 2 0
第五节
谐振动的能量
一、谐振动的动能
1 2 Ek mv 2
x
1 2 m[ A sin(t )] 2 1 2 2 2 mA sin (t ) 2
o
A
1 2 2 2 Ek m A sin (t ) 2 k m
2
Ek
m k
2
o
t
2
x
解微分方程
x A cos(t )
其中A为振幅，为圆频率，为初相位。
k 圆频率 m 只与弹簧振子性质有关。
四、振动速度
dx A sin(t ) v dt
五、振动加速度
dv 2 A cos(t ) a dt
第二节 谐振动的振幅 周期 频率和 相位
0.26m s
1
（负号表示速度沿 Ox 轴负方向）
（3）如果物体在 x 0.05 m 处时速度不等于零， 而是具有向右的初速度 v0 0.30m s1 ，求其运动方程.
A＇ x0 2 解
0 ，由旋转矢量图可知 ＇ π 4 π 1 x A cos(t ) (0.0707 m) cos[( 6.0s )t ]
J 2 mglc
o

lc
c
mg
第四节
旋转矢量
一、旋转矢量
矢量 A的
端点在 轴上的投 影点的运
旋转
x
动为简谐
运动.
1. M 点在 x 轴上投影 点的运动
x A cos(t )
为简谐振动。
2. M 点的运动速度

A
o
y
A
v
M
t
M0
x
x P
v A
在 x 轴上投影速度
Ek E p
E
•机械能守恒
o
t
例1
如图所示，k=0.72Nm-1,m =20g
（1）把物体从平衡位置向右拉到x=0.05m 处停下后再释放，求简谐运动方程；
A （2）求物体从初位置运动到第一次经过 处时的 2 速度；
（3）如果物体在 x 0.05 m 处时速度不等于零， 1 而是具有向右的初速度 v0 0.30m s ，求其运动方程.
1 2 2 Ek kA sin (t ) 2
二、谐振动的势能
1 2 E p kx 2 1 2 k[ A cos(t )] 2 1 2 2 kA cos (t ) 2
o
Ek E p
t
Ek 最大时， Ep最小， Ek 、Ep交替变化。
1 2 2 Ek kA sin (t ) 2 1 2 2 E p kA cos (t ) 2 三、谐振动的能量 1 2 E Ek E p kA 2
v A sin(t )
3. M 点的加速度

A
o
y
a
a A
2
2
M
t
A 2
在x轴上投影加速度
M0
x
a A cos(t )
结论：
x P
M点运动在x轴投影，为谐振动的运动方程。 M点速度在x轴投影，为谐振动的速度。 M点加速度在x轴投影，为谐振动的加速度。
x/m
o
0.05
k 0.72N m 解 （1） m 0.02kg
1
6.0s 1
v A x x0 0.05m v0 tan 0 x0 0 或 π
2 0 2 0 2
o
A
x
0 x A cos(t ) (0.05m) cos[(6.0s1 )t ]
F ห้องสมุดไป่ตู้x m x
2
π 1 2 (0.01kg )( s ) (0.069m) 1.70 103 N 2
（2）由起始位置运动到 x 0.04 m 处所需要 的最短时间.
v
0.08 0.04
x/m
0.04 0.08
o
法一 设由起始位置运动到 x 0.04 m 处所 需要的最短时间为 t
因为 v 0
v0 tan＇ 1 x0 π 3π ＇ 或 4 4
2
2 v0
0.0707m
o
π 4
x
A＇
4
例2 一质量为 0.01kg 的物体作简谐运动，其振 幅为 0.08 m ，周期为 4s ，起始时刻物体在 x 0.04 m 处，向 Ox 轴负方向运动（如图）.试求 （1） t
M mglc sin

lc
c
d M J J 2 dt 2 d J 2 mglc sin dt
2
mg
当 5 时
d mglc 0 2 dt J
2
mglc 令 J
2
d 2 0 2 dt
2
谐振动微分方程
mglc 圆频率 J 2 周期 T
本章学习要点 1、谐振动的基本特征,旋转矢量法. 2、两个同方向、同频率谐振动的合成 3、谐振动的能量。
第一节
简谐运动
一、弹簧振子
特点：1.弹簧质量不计 ,质量集中于物体上。
2.所有弹力都集中在弹簧上。 3.不计摩擦。（理想模型）
二、简谐振动的动力学特征
建立坐标系，o点选在 弹簧平衡位置处。
arccos ( ) 2 3 s 2 s 0.667 s t π2 3
π 1 π 0.04 m (0.08m) cos[( s )t ] 2 3 1 π
解法二
t
时刻

π 3
t
o
起始时刻
π 3
0.04 0.08
x/m
2 t s 0.667 s 3
0.08 0.04
2
J ml
2
2
d g 0 2 dt l g 2 令 l 2 d 2 0 2 dt
谐振动微分方程
圆频率

2
g l
l 2 周期 T g

l
T
mg
二、复摆
质量为 m 的任意物体，绕 o 点作小角度 摆动，质心 c 到轴的距离为 lc。 重力矩
o
π t 3
π 1 s 2
由旋转矢量图可知
A （2）求物体从初位置运动到第一次经过 处时的 2 速度；
解
x A cos(t ) A cos(t )
A
x 1 cos( t ) A 2 π 5π t 或 3 3 π 由旋转矢量图可知 t 3

A
o
v A sin t
A 2
x
代入 x
0.04m (0.08m) cos
A cos(t ) π 3
A
π 3

x/m
0.04 0.08 π 1 π x (0.08m) cos[( s )t ] 2 3
o
m 0.01kg
0.08 0.04
v
o
0.04 0.08
x/m
π 1 π x (0.08m) cos[( s )t ] 2 3 x 0.069 m t 1.0s 代入上式得
F弹
o
x
x
F kx
例1.证明竖直悬挂弹簧的运动是谐振动。 证明： 平衡位置弹簧伸长x0
mg kx0
在任意位置 x 处， 合力为 F mg k( x0 x ) kx 物体作谐振动。
x0
o x x
三、运动学特征
F弹 kx ma
k d x F弹 x a 2 m m dt F弹 2 dx k x 0 2 dt m o x k 2 令 m 2 dx 2 x 0 简谐振动微分方程 2 dt