差分方程中立时滞连续变量振动系数振动性

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二阶非线性中立型时滞泛函微分方程的振动性

收稿日期：目：南省教育厅资助科研项目（ｏ０Ｃ４）湖Ｎ．７３１．作者简介：甲山（９３，（族）湖南城步人，阳学院理学与信息科学系副教授，究方向：分差分方程杨１６一）男苗，邵研微
２０年１月０８１
第ｌ７卷
第４期
中央民族大学学报（自然科学版）ＪｕａｏｅＣＮＮｔｒｃｎｅｄｔｎｏｒｌｆｈＵ（ａａＳｉｃｓＥｉｏ）ｎｔｕｌｅｉ
Ｎｏ．０８ｖ．２０Ｖ０．７Ｎｏ．１１４
上
方程（）（）０的一切解却都是单调的．ｔ＋ｔ＝因此对时滞中立型泛函微分方程解的振动性和渐近性在理论研究和实际应用中都具有非常重要的意义，近几年来，这一领域出现了许多研究成果，于较一在对般的二阶中立型泛函微分方程，ａｏ，ｉｅ，ｒｅＫｎｔＺａｇ已在专著中给出了很好的总结ｎ．ＢｉｖＭｓｖＥｂ，ｏｇ和ｈｎｎｈ］本文将讨论一类形式更为广泛的二阶非线性中立型泛函微分方程：
了该方程振动的几个新的准则，进了现有文献中的一些结果．改关键词：中立型泛函数微分方程；线性；动性非振中图分类号：Ｏ７．７１５１文献标识码：Ａ文章编号：０５８３（Ｏ８０．０１６１０ —０６２Ｏ）４０４．０

一类高阶差分方程的振动性

② Ａｙｎｓ０｛（）不恒为０（），Ａｙｎ｝。
则有下式成立
（一１ＬＹｎ＞ｏｉ，，…ｄ）Ｘ（）（：０１２）ｉ（）２
证明：证明ＡＹｎ＞０否则ＡＹｎ ≤ 先ｄ（）， “ （）
使 ‘ ｋＹ，中立型时滞差分方程的振动性的研究成果很少。０由条件 ② 知存在自然数ｋ得 △ （）＜０再由，｛Ａｙｎ｝单调递减性得｛（）｝本文讨论方程
（）是正实数列且０≤ Ｐｎ ≤ １ｆＸ ∈ ＣＲ，ｎ｝（），（）（Ｒ））（）０ｘ）ｆｘ单调递增，【ｘ＞（ ≠０，（）ｆ △是差分算子Ｎ —
Ｒ，ｕｎＡ（）：ｕｎ）（）Ａｕｎ＝△（ｄｕｎ，（＋１一ｕｎ，（）Ａ（）Ｒ＝（一∞，＋∞）
０ｉｍ＋１ …ｄ一１，．，（）３
本文目的建立方程（）动性及其非振动解趋１振
于零的判据。
２基本引理
为了证明本文第３节中的主要结果，们先介我
绍几个引理
如果ｍ≥２立即可推得｛（）是无界数列，，Ｙｎ｝因
维普资讯
２００２年第２期（第２总６期）
桂林航天工业高等专科学校学报
ＪＵＮＬＯＵＬＮＣ［￣ＥＯＥＯＰＣＯＲＡＦＧＩＯＩＧＦＡＲＳＡＥ￣ＩＯＯＹＬＧ基础理论探索

二阶多时滞中立型微分方程的振动性

二阶多时滞中立型微分方程的振动性闫卫平;王兰红【摘要】研究二阶线性中立型微分方程的振动性，对具有多时滞的一类二阶中立型微分方程的振动性进行讨论，利用比较原理将二阶多时滞中立型微分方程的振动性判断转化为判断一阶方程的振动性，这种比较原则最大限度地使研究的二阶方程得到简化。

%To study the oscillation of the second order neutral differential equations with mutiple delays of a class of second order neutral differential equations were discussed .The obtained result were based on the new comparison theorems ,that enable us to reduce the problem ofthe oscillation of the second order equation to the oscillation of the first order equation .T he obtained comparison principles essentially simplifythe examination of the studied equations .【期刊名称】《安徽大学学报（自然科学版）》【年(卷),期】2015(000)003【总页数】4页(P1-4)【关键词】二阶多时滞线性中立型微分方程;比较原理;振动性;非振动性【作者】闫卫平;王兰红【作者单位】山西大学数学科学学院，山西太原030006;山西大学数学科学学院，山西太原 030006【正文语种】中文【中图分类】O175.4讨论二阶多时滞中立型微分方程的振动性.其中：qj（t）∈C（［t0，∞）），r（t），pi（t），τi（t），σj（t）∈C1（［t0，∞））（i＝1，2，…，m；j＝1，2，…，n），并且满足假设记方程（1）的解应满足x（t）∈C（［Tx，∞）），Tx≥t0 和r（t）z′（t）∈C1（［Tx，∞）），并且在［Tx，∞）上满足方程（1）.这里只考虑方程（1）的解，对于所有的T≥Tx 满足sup｛｜x（t）｜：t≥T｝＞0.假设方程（1）拥有这样的解，如果方程（1）的解在［Tx，∞）上有任意大的零解，那么称它为振动的，否则就是非振动的.若方程（1）的所有解都是振动的，那么这个方程就称为是振动的.二阶微分方程在物理、生物、经济等许多方面有重要应用.例如，文献［1－10］讨论了关于二阶中立型微分方程的振动性.在文献［4］中，作者研究了二阶中立型微分方程在文献［7－8］中，作者研究了关于非线性方程的振动性，但是多时滞方程的振动性的研究并不多见.受文献［4］的启发，作者对二阶多时滞中立型微分方程的振动性做了研究，并得到了满意的结果.1 预备知识文中涉及函数不等式都假设它们最终成立，即它们对足够大的t成立.不失一般性，在文中只考虑方程（1）的正解.引理1 设x（t）是方程（1）的一个正解，则对应的函数z（t）最终满足证明若x（t）是方程（1）的一个正解，那么，且由方程（1）知那么（r（t）z′（t））是递减的，最终z′（t）＞0或者z′（t）＜0.如果设z′（t）＜0，那么存在一个常数c，使得r（t）z′（t）≤－c＜0，并对该式从t1到t积分，可以得到当t→∞时，有这与z（t）的性质矛盾，从而引理得证.指定这里t是足够大的.2 定理证明定理1 设Q（t）是（3）中定义的且t是足够大的.若一阶多时滞中立型微分不等式没有正解，那么，方程（1）是振动的.证明设x（t）是方程（1）的一个正解，对应的函数z（t）满足z（t）＞0，z′（t）＞0，（r（t）z′（t））′＜0，且有所以，有这里应用了（H3）.另一方面，由（1）可知进一步，将（H1）代入计算可得那么所以，有将（H3）代入计算可以得到联合（6）和（8），有将（3）和（5）代入上式可得由引理1知y（t）＝r（t）z′（t）＞0是递减的，有从而可得联合（9）和（10）可得即这意味着y（t）是（4）的一个正解.这与假设矛盾，从而定理1得证.定理2 设Q（t）是（3）中定义的且t是足够大的.当τi（t）≥t（i＝1，2，…，m）时，且一阶微分不等式没有正解，那么方程（1）是振动的.证明设x（t）是方程（1）的一个正解，由引理1和定理1的证明知y（t）＝r （t）z′（t）＞0是递减的且满足不等式（4）.令，且由τi（t）≥t（i＝1，2，…，m）知将其代入（4），可以得到w（t）是不等式（11）的一个正解，这与假设矛盾，从而定理2得证.现在考虑τi（t）（i＝1，2，…，m）是滞后的时滞，用τ－1i（t）表示它的反函数.定理3 设Q（t）是（3）中定义的且t是足够大的.当τi（t）≤t，τ（t）＝min ｛τi（t）｝（i∈｛1，2，…，m｝）时，且一阶微分不等式没有正解，那么方程（1）是振动的.证明设x（t）是方程（1）的一个正解，由引理1和定理1的证明知y（t）＝r （t）z′（t）＞0是递减的，且满足不等式（4）.令，且由τi（t）≤t（i＝1，2，…，m）知将上式代入（4），可以得到w（t）是不等式（12）的一个正解.这与假设矛盾，从而定理3得证.参考文献：［1］Grammatikopoulos M K，Ladas G，Meimatidou A.Oscillation of second order neutral delay differential equation［M］.Rad Mat，1985［2］Sahine Y.On oscillation of second order neutral type delay differential equations［M］.Appl Math Comput，2007，150：697－706.［3］Baculikova J.Oscillation criteria for second order nonlinear differential equations［J］.Arch Math，2006，42：141－149.［4］Baculikova J，Dzurina A.Oscillation theorems for second order neutral differential equations［J］.Applied Mathematical Modelling，2011，61：94－99.［5］Liu L H，Bai Z.New oscillation criteria for second order nonlinear delay differential equtions［J］.Comput Appl Math，2009，231：657－663. ［6］Xu R，Xia Y.A note on the oscillation of second order nonlinear neutral functional differential equations［J］.Contemp Math Comput Sci，2008（3）：1441－1450.［7］Han Z，Li T，Sun S，et al.Oscillation criterial for second order nonlinear neutral delay differential equations［M］.Adv Difference Equ，2010：1－23.［8］Dzurina J，Hudakova D.Oscillation criteria for second order delay differential equations［J］.Math Bohem，2006：134 31－38.［9］Xu R，Meng F.Oscillation criteria for second order quasi linear neutral delay differential equations［M］.Appl Math Comput，2007，192：216－222.［10］Hasanbulli M，Rogovchenko Y.Oscillation criteria for second order nonlinear neutral differential equations［J］.Appl Math Comput，2010，。

一类具有连续变量的高阶非线性时滞差分方程的振动性

（）７
否则，存在ｔｔ有△～（）０由（）３：ｂＩ．５式得，以（严格单调递增，＞１，＞ △ ｔ：）则有 △＿（＋ｌ；。ｔｆ＞：ｘｔ， ≥ ．：。ｔ）ａ＿（＋） △ ＿（）ｘ３－ｘ３３１将上述不等式两边对ｉ到ｎ得从２求和－（＋）互△～（＋）０所以，２ｔ打 ≥ ｔｒ＞．ｘ３３
负．否则称为非振动的．方程（）１称为振动的，如果方程（）１的所有解都是振动的．
１基本引理
首先给出下列条件：（ｕ＞Ｈ；Ａ））Ｏ，≠０（）ｌｎ（）＞；ＤｉｆＩＭＩ０ｉｆ（）对某０有ｐｔＢ ≥ｔ，（＋打）＝＋。；。（）ｔ（）Ｃ一ｔ是单调非减的；
△一ｔ＋ｎ１．一：（ｒ ≥ ’ ｔ＋）ｏ：３（＋）） △ ｔ４），：３ｒ＞．（ｒ３－（因此ｌ △～（＋ｎ１ｒ：＋０于ｉ：ｔ（＋））Ｏ．是存在充分大的自ｍ３然数，～（＋ｎ＋））ｏ所以，有ｘｔ（２１ｒ＞．３
（Ｅ）存在常数艿＞，０使得Ｍｓｎ（）＞）ｇｕａ
引理１设条件（成立，函数（）Ａ）若ｔ是方程（）１的有界最终正解，则最终有
Ａｘｔ＜， △～（＞， △～（＜，，一） △ ｔ＜．￣）０：ｔ０ｔ０（）） … （１（ｏ）
△ ｔ＋（）（（一））０ ≥ ：（）ｐｔｘｔ）＝，ｆ

具有振动系数的二阶非线性中立型时滞动力方程的有界振动性

黝
数学物理学报
２０１３，３３Ａ（１）：９８ — １１３
ｈｔｔｐ：／／ａｃｔａｍｓ．ｗｉｐｍ．ａｃ．ｃｎ
具有振动系数的二阶非线性中立型时滞动力方程的有界振动性
陈大学
（湖南工程学院理学院湖南湘潭４１１１０４）
摘要：研究时标上具有振动系数的二阶非线性中立型时滞动力方程
／，ｒ］△ 、、Ａ
（、ｒ（￡）（、１（ｔ）＋ｐ（）（７－（ｔ））１））＋／，（ｔ，（）））＝０
的有界振动性，其中Ｐ是一个定义于ｒ Ⅱ ’ 上的振动函数，＞０是两个正奇数之比．利用一种
的有界振动性，假设具备以下条件
（１．１）
（Ｈ１）Ｐ ∈ Ｃｒｄ（Ｔ，），Ｐ是一个振动函数，ｊｍｉｐ（ｔ）＝０；
（Ｈ２）＞０是两个正奇数之比；
（Ｈ３）ｔ０∈， Ⅱ ＇， Ⅱ：＝［ｔｏ， ∞）是ｒ Ⅱ ＇内的一个时标区间，即 Ⅱ：一｛：ｔ∈ ，ｔｔｏ｝，ｒ∈
ｄ（ Ⅱ ，（０，。。）），（）Ａｔ＝∞；
（ｔ）＝ｏｃ；（Ｈ４）７－ ∈ ｄ（，ｒ Ⅱ ’ ），ｔｌｉａ７ｒ
。。
（Ｈ５） ∈Ｃ￣ｄ（Ｙ，ｒ Ⅱ ’ ），当ｔ ∈Ⅱ 时５（ｔ）ｔ，ｌｉｍ（）＝∞；
一
此，我们最感兴趣于那些对于初值问题能够建立解的全局存在性和惟一性定理的方程．然而，对于具有复杂偏差变元的方程来说，迄今为止，人们还没有获得关于全局解的存在性和惟一性定理．事实上，这种方程的初值问题的公式并非总是清楚的．因此，如通常那样，在这些情形我们不在乎初值问题的公式Ｌ３０＿．时标上的动力方程的研究是一个非常新的主题，并且发展迅速，其最初的目的是为了统离散和连续分析［７］＿关于微分方程的许多结果能够很容易地平移到相应的差分方程，而其它结果则似乎完全不同．动力方程的研究揭示了这种差异，有助于避免提供结果两次一一次为微分方程提供而另一次为差分方程提供．其通常的想法是为一个动力方程提供一个结果，其未知函数的定义域是一个所谓的时标，即实数集的任意一个非空的闭子集．这样就获得了不但与实数集或整数集有关而且与更一般的时标有关的结果．在生物学、工程技术、经济学、物理学、神经网络和社会科学等方面，时标上的动力方程有着巨大的应用潜力Ｉｓ－９］．例如，可用动力方程来建立昆虫数量模型．昆虫数量在繁殖季节是连续变化的．进入冬季，昆虫逐渐消失了，而它们的卵正在孵化或处于蛰伏状态，然后在新的繁殖季节，卵孵化出来了，这样导致了不相重叠的数量Ｂｏｈｎｅｒ和Ｐｅｔｅｒｓｏｎ的一

带最大值项的二阶非线性差分方程的振动性定理

项的二阶非线性中立型时滞差分方程
ｍ
△（（）ｂｎｘｒ）一∑ （）ｓ）｝０ｎ≥ｎ，ｎ＋（）（） — 。ａ｛（（一）＝，０ｍｘ
（）１
其中： ≥ １ｆ１７≥ １ ≥ ０，０（ｍ，≥ ，，， ≥ ＝１２ … ，下同，）为给定的自然数；向前差分，，，ｍ，略均 △为
在实际问题的研究中，滞差分方程已被广泛应用于经济金融、空航天、物医药、算机科学、时航生计自动控制技术等领域．如，例中立型时滞差分方程在高速计算机连接开关电路的无损耗传输网络以及弹性体上质点振动问题中都有着其实际应用背景；ｏｉｉ方程在生物工程和技术革新等方面的应用有着Ｌｇｔｓｃ悠久的历史．因而对时滞差分方程定性理论的研究引起了大批学者的广泛兴趣和高度关注 ¨ ．近几
ａ（）（＋１（）△ ）（ｘ）；ｂ），ｇ，｝ｘ＝）一ｎ，（＝ａｚ（）｛（｝｛Ｒ，）（且
（）＞０（ｕＭ≠ ０．）
收稿日期：０１０ — ９２１ — ７０
带最大值项的二阶非线性差分方程的振动性定理
杨甲山，继猛李
（阳学院理学与信息科学系，邵湖南邵阳摘４２０）２０４
要：研究一类带有最大值项的二阶非线性中立型时滞差分方程的振动性，利用Ｂｎｃａａｈ空间的

具有连续变量的二阶中立型差分方程的振动性

，
ｗｉｏｔｕｕｒｕｎｓｉｔｄｅ．ｏｕｉｉｎｏｄｔｎｅｏｔｉｅｒｓｉａｏｆｅｓｌｔｎｆｈｕｔｎ．ｈｔｃｎｉｏｓａｇｍｅｔｓｕｉｄＳｍｅｓｆｃｅｔｎｉｏｓｂａｎｄｆｃｌｔｎｏｏｕｉｓｏｅｅａｏｓｎｓｃｉｒａｏｏｌｉｈｔｏｔｑｉＫｅｗｏｄ：ｎｕａｉｅｅｃｑａｏ；ｓｉａｏ；ｖｎｕｌｏｉｖｏｕｏ；ｏｔｕｕｇｍｅｔｙｒｓｅｒｌｆｒｎｅｅｕｔｎｏｃｌｔｎｅｅｔａｌｐｓｔｅｓｌｔｎｃｎｎｏｓｕｄｉｌｉｙｉｉｉｒａｎｓ
ＹＡａｓａＮＧＪ — ｈｎｉ
（ｅａｔｅｔｆＭａｅａｉｎｆｒａｉｃｎｅＳａｙｎｎｖｒｔ，ａｙｎＤｐｒｎｍｏｔｍｔｓａｄＩｏｍｔｎＳｉｃ，ｈｏａｇＵｉｓｙｈｏａｇＨｕａ２０４ｈｃｎｏｅｅｉＳｎｎ４２０）
前言
在实际问题的研究中，时滞差分方程已广泛应用于科学技术，生物医学及经济领域．例如，在经济上进行动态分析，用到差分方程，要在科学研究和社会实践中也提出了许多由时滞差分方程描述的具
△ ｍ【＋，ｘ－ｌ∑Ｐｘ＇ｆｆｏ（）２【ｆ ∑ｂ）ｔ＝）卜Ｏ）（。）１１）（（）ｔ【ｊ ≥＞
ＯｓｉａｉｎｆｒｔｅｅｏｄＯｒｅｕｒｌｆｅｅｃｕｔｎ噎ｈＣｏｔｕｕｇｍｅｔｃｌｔｃｎｄｒｌｏｏｈＳＮｅｔａＤｉｒｎｅＥｑａｉｓⅥ ｔｎｉｏｓＡｒｕｎｓｏｎ

连续系统的振动振动力学课件

(l )q(t )
C1
sin
l
a
2 q(t )
q(t) A cos(t )
q(t) A2 sin(t ) 2q(t)
2u t 2
(l)q(t)
C1 sin
l
a
2 q(t )
代入
EA u(l,t) W x g
2u(l, t 2
t
)
ku(l
,
t
)
0
2
EA cos l q t W 2 sin l q t k sin l q t 0
u(x, 0) u(x) u(x, 0) u(x) 确定
2.两端自由
特征：两自由端轴向力为零
即 FN (0,t) 0 FN (l,t) 0
EA u(0,t) 0, x
EA u(l,t) 0, x
'(0)qt 0
'(l)qt 0
' (0) 0
' (l) 0
2.两端自由
' (x)
W gkl 2
Eg
EA kl
W
lA
tan
a
l
EA
a
W 2 k
g
EA ( l)
lk a
Wa2 gkl 2
a
l
2
1
l
a
( l)2
a
1
讨论：（1）
W 0 右端只有弹簧k，
频率方程
tan l (l )
a
a
tanu u作图法得出
（2） W 0 k 0 即自由端情形
频率方程 cos l 0
2. 弹性弦横向振动
微段分析
以变形前弦的方向为 x轴，

带极大项的具有连续变量的高阶非线性中立型时滞差分方程振动性

＊Ｅｍａｌｙｏｇ９＠１３ｃｒ．－ｉ：ｌｌｎ９８５６．ｏｎ
引理３如果ｄ≥ １奇数，ｚｔｒ）正实为｛（＋ｎ）是数列且有界，Ａｚ＋ｎ）｛（ｒ）最终为负，最终有则
Ａｚ（）≥ Ａｚｎ．（）
ｔ时，足方程（）方程（）的解－。满１．１ｚ）称为振动（
＜＋Ｃ｝－． ∈ （Ｒ，ｆｚ＞０ｚ≠ ０，函ｘ，（）３厂ｚＲ，）ｘ（）（）且
＋∞
ｔ
＂’ ∞ — ＋
＋珩）＝＋ ∞ （＝０１ … ，一１；，，ｍ）
２如果ｌｕＡ（＋ｎ）０则ｌ △ ｚ）ｉｓｐｒ＜，ｍｉ（ａｒ
｛一（＋ｎ）最终严格单调，而最终定号， △ ｚｔｒ｝从由此可知｛一（＋耵）最终严格单调且定号， △ ｚ｝依次
方式推下去即得．
（）１
ｍａｑ￡，（一）ｘ（）ｚ（）一０
ｆ０ ≥
（０＜ｔ。≤ ｔ＜＋Ｃ） × ３
的，如果其解既不最终为正解，也不最终为负解；否
证明首先证明最终有（１（＋珩）＞一）Ａ￡０一１２ … ）（，，．由｛（＋ｎ）Ａｚ￡ｒ）最终为负知，
则，称方程（）有解是非振动的．１所为了方便，在本文中假设关于ｔ的不等式（如
—
｝

具有分布偏差变元的二阶中立型时滞微分方程的振动性

Ｊ ±Ｈ）Ｊ－ｆＭ＞Ｍ（
）Ｕ＞，ｎｅｃｓｂｉｅｏｅｎｗｏｃｌｔｎｃｉｒｒｅｏｄｏｄｒｅｔｌ，Ｖ０ａｄｈｎｅｔｌｈｄｓｍｅｓｉａｏｒｅａｆｃｎ—ｒｅｕｒｅａｓｌｉｔｉｏｓｎａ
ｅｕａｉｎｓｗｉｈｄｓｒｂｔｄｄｖａｉｇａｇｍｅｔＡｎｅａｌｓｇｖｎｔｌｕｔａｅｔｅｒｓｔ．ｑｔｏｔｉｔｕｅｅｉｔｒｕｎ．ｉｎｘｍｐｅｗａｉｅｏｉｓｒｔｈｅｕｌｌｓ
ＡｂｓｒｃｔＴｈｏｃｌｔｎｆｅｏｄｏｄｒｅｔａｄｌｙｉｆｒｎｉｌｑａｉｎｗｉｈｔａ：ｅｓｉａｉｏｓｃｎ — ｒｅｎｕｒｌｅａｄｆｅｅｔａｅｕｔｏｓｌｏｔｄｉｔｉｕｔｄｅｉｔｎｓｒｂｅｄｖａｉｇ
微分方程振动理论是微分方程定性理论的重要分支，用广泛．例如，中立型时滞微分方程在高应速计算机连接开关电路的无损耗传输网络以及弹性体上质点振动问题中都有实际应用背景．目前，这
一
领域已经有很多研究成果，：如文献［．］１２研究了常微分方程的振动理论；献［］究了泛函微分文３研
研究简报
具有分布偏差变元的二阶中立型时滞微分方程的振动性
李鹏松，张雪艳
（北电力大学理学院，东吉林吉林１２１）３０２

差分方程的相容性收敛性和稳定性课件

差分方程的相容性是指，给定差分方程在某个初始时刻的解，这个解必须能够决定该差分方程在所有后续时刻的解。换句话说，如果一个差分方程在某个时刻有解，那么这个解必须是稳定的，并且能够被扩展到该方程的所有其他时刻。
相容性的判定方法
通过分析差分方程的形式和系数，可以判断其是否具有相容性。
判断差分方程是否具有相容性的方法通常包括检查该方程是否满足一定的数学性质，例如，是否具有一致的形式和系数。此外，还可以通过求解该差分方程的初始值问题来验证其相容性。
近似解。
有限元法的优势
有限元法能够处理复杂的几何形状和边界条件，且能够处理非线性问题，因此在工程领域应用广
泛。
06
差分方程的实际应用案例
在物理中的应用
1 2
量子力学
差分方程在量子力学中用于描述粒子在势能场中的行为，例如在求解薛定谔方程时，差分法是一种常用的数值解法。
热传导方程
在求解一维或二维的热传导方程时，可以使用差分法将偏微分方程转化为差分方程进行求解。
3
波动方程
在处理波动问题时，如声波、电磁波等，差分法可以用来模拟波的传播和干涉现象。
在金融中的应用
股票价格模型
差分方程可以用于描述股票价格的变动规律，例如著名的几何布朗运动模型就是一种差分方程。
期货价格模型
在期货定价理论中，差分方程被用来描述未来价格的变化趋势，为投资者提供决策依据。
图形法
通过绘制差分方程的解的图像，观察其随时间的演化趋势。
比较法
通过比较差分方程与已知稳定或不稳定方程的性质，判断其稳定性。
稳定性的应用
控制工程
稳定性是控制系统的重要性能指标，决定了系统的动态行为。

差分方程基础知识

yt yt y
* t
C APt , 1 P A Ct ,
其中， A为任意常数，且当
P 1 时，
当
P 1 时，
C A y0 A1 , 1 P
A y0 A 1 .
例5 求差分方程
解由于
yt 1 3 yt 2 的通解.
，故原方程的通解为
[(t 1) (t n 1)]t (t 1) (t n 2) nt
差分满足以下性质：（1）（2）（3）
(Cyt ) Cyt (C为常数)
（yt zt ) yt zt
（yt zt ) zt yt yt 1zt
y3 Py2 P y0
t
, yt Pyt 1 P y0 .
t y P y0 为方程的解.容易验证，对任意常数 A 则 t
yt APt
都是方程的解，故方程的通解为
yt APt
例4 求差分方程
yt 1 3 yt 0 的通解.
解利用公式得，题设方程的通解为 yt A3 t.
yt zt yt yt zt （ ) ( zt 0) （4） zt zt 1 zt
例3 求 yt t 2 3t 的差分.
解由差分的运算性质，有
yt (t 3 ) 3 t (t 1) (3 )
2 t t 2 2 t
3 (2t 1) (t 1) 2 3 3 (2t 6t 3)
差分方程基本知识

差分方程：差分方程反映的是关于离散变量的取值与变化规律。通过建立一个或几个离散变量取值所满足的平衡关系，从而建立差分方程。差分方程就是针对要解决的目标，引入系统或过程中的离散变量，根据实际背景的规律、性质、平衡关系，建立离散变量所满足的平衡关系等式，从而建立差分方程。通过求出和分析方程的解，或者分析得到方程解的特别性质（平衡性、稳定性、渐近性、振动性、周期性等），从而把握这个离散变量的变化过程的规律，进一步再结合其他分析，得到原问题的解。

二阶中立型时滞差分方程解的振动性准则

第３８卷第４期２０２０年７月贵州师范大学学报（自然科学版）ＪｏｕｒｎａｌｏｆＧｕｉｚｈｏｕＮｏｒｍａｌＵｎｉｖｅｒｓｉｔｙ（ＮａｔｕｒａｌＳｃｉｅｎｃｅｓ）Ｖｏｌ．３８．Ｎｏ．４Ｊｕｌ．２０２０引用格式：张思逸．二阶中立型时滞差分方程解的振动性准则［Ｊ］．贵州师范大学学报（自然科学版），２０２０，３８（４）：９０９３．［ＺＨＡＮＧＳＹ．Ｔｈｅｃｒｉｔｅｒｉａｏｆｏｓｃｉｌｌａｔｉｏｎｆｏｒｔｈｅｓｏｌｕｔｉｏｎｏｆｓｅｃｏｎｄｏｒｄｅｒｎｅｕｔｒａｌｄｅｌａｙｄｉｆｆｅｒｅｎｃｅｅｑｕａｔｉｏｎ［Ｊ］．ＪｏｕｒｎａｌｏｆＧｕｉｚｈｏｕＮｏｒｍａｌＵｎｉｖｅｒｓｉｔｙ（ＮａｔｕｒａｌＳｃｉｅｎｃｅｓ），２０２０，３８（４）：９０９３．］二阶中立型时滞差分方程解的振动性准则张思逸（湖南幼儿师范高等专科学校，湖南常德　４１５０００）摘要：考虑了一类二阶中立型时滞差分方程的振动性，通过给出合适的条件，得到了此类方程的解的振动行为准则。

这些结果丰富了中立型差分方程振动性理论。

关键词：中立型；时滞差分方程；振动性中图分类号：Ｏ１７５．２５文献标识码：Ａ文章编号：１００４—５５７０（２０２０）０４－００９０－０４ＤＯＩ：１０．１６６１４／ｊ．ｇｚｎｕｊ．ｚｒｂ．２０２０．０４．０１５ＴｈｅｃｒｉｔｅｒｉａｏｆｏｓｃｉｌｌａｔｉｏｎｆｏｒｔｈｅｓｏｌｕｔｉｏｎｏｆｓｅｃｏｎｄｏｒｄｅｒｎｅｕｔｒａｌｄｅｌａｙｄｉｆｆｅｒｅｎｃｅｅｑｕａｔｉｏｎＺＨＡＮＧＳｉｙｉ（ＨｕｎａｎＣｏｌｌｅｇｅＦｏｒＰｒｅｓｃｈｏｏｌＥｄｕｃａｔｉｏｎ，Ｃｈａｎｇｄｅ，Ｈｕｎａｎ４１５０００，Ｃｈｉｎａ）Ａｂｓｔｒａｃｔ：Ｔｈｅｏｓｃｉｌｌａｔｉｏｎｏｆａｃｌａｓｓｏｆｓｅｃｏｎｄｏｒｄｅｒｎｅｕｔｒａｌｄｅｌａｙｄｉｆｆｅｒｅｎｃｅｅｑｕａｔｉｏｎｗａｓｓｔｕｄｉｅｄ．Ｂｙａｓｓｕｍｉｎｇｓｏｍｅｓｕｆｆｉｃｉｅｎｔｃｏｎｄｉｔｉｏｎｓ，ｓｏｍｅｃｒｉｔｅｒｉａｏｆｔｈｅｓｏｌｕｔｉｏｎｏｓｃｉｌｌａｔｉｏｎｂｅｈａｖｉｏｒｔｏｔｈｉｓｋｉｎｄｏｆｅｑｕａｔｉｏｎｗｅｒｅｅｓｔａｂｌｉｓｈｅｄ．Ｔｈｅｓｅｒｅｓｕｌｔｓｅｎｒｉｃｈｔｈｅｏｓｃｉｌｌａｔｉｏｎｔｈｅｏｒｙｏｆｎｅｕｔｒａｌｄｅｌａｙｄｉｆｆｅｒｅｎｃｅｅｑｕａｔｉｏｎｓ．Ｋｅｙｗｏｒｄｓ：ｎｅｕｔｒａｌ；ｄｅｌａｙｄｉｆｆｅｒｅｎｃｅｅｑｕａｔｉｏｎ；ｏｓｃｉｌｌａｔｉｏｎ０　引言二阶中立型差分方程的振动性理论在近十几年来得到了广泛的关注，主要体现在此类方程与某些类似微分方程的现象非常接近。

具有连续变量的二阶中立型多时滞差分方程的振动性

△ △ （）．（ｔ）
记＝ｍｘ盯，，，｝某函数ｙｔ为ａ；ｌ … ，（）称
最终有界正解，最终有则 △ ｚ￡（）≥ ０ △ ｚ￡ｚ￡，（）ｓ０，）＞０（
数，＝，ｒｋ为某个正整数，（） ∈ （［。Ｐｔｃｔ，＋∞ ），
Ｒ，）并得到了该方程的每个有界解：中立型差分方程；动性；振多时滞；续变量连
中图分类号：７．文献标志码：文章编号：０８—７７（０】００１００１５７Ａ１０９４２１）２— ００— ３收稿日期：００— ９—２２１０７作者简介：郏允利（９０一）江苏铜山人，士，１７，硕徐州生物工程职业技术学院基础部教师．
１引言
近几年来，于具有离散变量的差分方程振动关性研究结果比较丰富，关于具有连续变量的差分但
方程（）的解，果Ｙｔ ∈ ［。一，＋∞ ］＝１如（）ｔ，ｍｘｒ｝当ｔｔ时，（）满足方程（）方程（）ａ｛，， ≥ 。Ｙｔ１；１的解称为振动的，如果它既不最终为正，也不最终为
韩振来在文献［］４中研究了如下具有连续变量
的中立型差分方程
△ （￡（）＋ｃ￡ｔ）（） — ）＋（ｐｔ￡）：０ｔｔ（）一（，０＞０
证明
设（）为方程（）的最终有界正解，ｔ１从
而ｚ￡有界．ｒ：ｍｘ，１则存在ｔｔ，ｔ（）记ａ｛，ｏ当 ≥

具有变系数的高阶时滞差分方程的有界振动

到了许多结果．关于具有连续变量的高阶差分方程的有界振动的研究，可见文献［１ — ４］．在文献Ｅ５－１中，黄梅等研究了具有变系数的高阶中立型时滞差分方程，即
△ Ｅｘ（￡）一ｃ（ｔ）ｘ（ｔ —ｒ）］＋ｑ（ｔ）ｘ（ｔ —ｒ）一０，０＜ｔｏ ≤ｔ＜＋ ∞
ｋｒ，ｋ为某个正整数．Ａｘ（ｔ）一（＋ｒ）一ｚ（￡），Ａ。ｚ（）一Ａ（Ａｘ（ｔ））．我们总假设方程（１）存在解．方程（１）的一
个有界解｛（￡）｝称为振动的，如果它最终既不为正，也不为负，否则称为非振动的．若方程（１）的每一个有界
第１５卷第４期太原师范学院学报（自然科学版）２０１６年ｌ２月ＪＯＵＲＮＡＩＯＦＴＡＩＹＵＡＮＮＯＲＭＡＬＵＮＩＶＥＲＳＩＴＹ（ＮａｔｕｒａｌＳｃｉｅｎｃｅＥｄｉｔｉｏｎ）
ｒ
（１）
的解的振动性．其中：ｄ为正整数，这里假设（Ｈ。）：ｑ（￡） ∈ＣＩｔ。，＋。。），），且ｑ（￡）为不恒为。的有界函
数，令（）一
∈ ｃ（Ｅｔ。，＋。。），），一１ ≤ ６（￡）＜６，（一１ ≤ ６＜ｏ）；其中ｒ，，是给定的非负实数，口一

时标上一类三阶非线性中立型时滞动力方程的振动性

ｌｚ￡ｉ（）＝ｌ ≥ ｏｌ（）￡ａｒ１，ｒｒｔｘ（）一１ ≤ ０ｌ－（）（（）（）ｉａ２，ｉａｔ｛ｒ￡ｍ［￡））］一ｚ ≥ ０３，
事实上ｚｌ一０否则不妨设ｌ＞０又由于（）≥ ｚ（一ｐ￡）ｔｔ，有，，￡（）１（）， ≥ ｌ则
（）１
其中ｔＴ ∈ ｏ— Ｅ，ｏＴ为任意时标，ｓｐｔｏ）ｎＴ，且ｕＴ一。．。在讨论动力方程解的振动性中有很多文献［］１都｛设ｙ是一个奇正整数的商数，和是正常数，ｒ并且函数ｒ￡（）一ｔ＜ｔ —ｒ及（）＝ｔ￡一＜ｔ足ｒ￡满（）：第２４卷２期２１０２年６月
甘肃科学学报
ＪｕｎｌｏｎｕＳｉｎｅｏｒａｆＧａｓｃｅｃｓ
Ｖｏ．４ＮＯ２１２．
Ｊｎ２１ｕ．０２
时标上一类三阶非线性中立型时滞动力方程的振动性
（（）（（）（）））ｎ￡（ｒ￡ｚ￡）＋ｑｔ（（）１一ｐ（一）ｒ￡ｔ）ｘ（一）≤ ０ｔｔ，， ≥ １
对上式两边同时从ｔｔ到。 ≥ 。。做积分，有
／∞ －
一
口｛ｒ￡ｚ（））（）（（）￡） ≤ ｌ — ｇ（～ｐ（一）（一８Ａｓ（）１ｓ）ｓ），
Ａｂｔａｔｓｒｃ：Ｔｈｓｐｐｒｐｎｓｏｕｈｈｒｅｎａｕｅｆｔｅｒｐｉｉｏｕｔｏｎｎｄｈａｏｔｔｓｉｌｔｏｎｃｉｉａｅｏｉｔｔｔｅｔｅｔｒｓｏｈｉｏｓｔｖｅｓｌｉｓａｓｇｈｅｏｃｌａｉｒ—

高阶非线性中立型时滞差分方程的振动性定理

摘
要：由于计算机科学、物学、制理论、生控医学及经济学等自然科学和边缘学科的进一步发
展。出了许多由差分方程描述的具体数学模型，提因而对差分方程的研究在理论和实际应用两方面都有
重要意义．文研究了一类高阶非线性中立型时滞差分方程的振动性，利用分析的方法。结合积分中值本
有完全不同的特性，因而系统的开展对差分方程解序列的各种属性的定性研究，仅有其重要的不理论意义，且有其实际应用价值．而因此对时滞差
的研究历史悠久，直到现在这个领域的研究还非常活跃．随着计算机科学、数值分析、生物数学、自
ｅｒｎｕｒｌｅａｉｅｅｃｑａｏｔｄｅ．ｉｇｔｅｍｅｈｆｎｙｉａｄｔｅｍｅｎｖｕｈｏｅｆｒｉｔｇａ，ｏｅｕｉ＆ｅｔｌｙｄｆｒｎｅｅｕｄｎｉｓｕｉｄＵｓｔｏｏａｓｓａｄｓｎｈｄａｌｈａａｅｔｅｒｍｏｅｒｓｍｅｎｗｓｆ－ｎｌｎｌｃｅｔｏｄｔｎｒｈｓｉａｉｎｏｅｅｕｔｎａｅｏ￣ｉｅＴｅｒｓｌｒｖｎｘｅｄｓｍｅｅｉｔｇｒｓｌｅｌｅａｒｉｎｎｉｏｓｆｅｏｃｌｔｆｑａｉｒｂｎｄ．ｈｅｕｔｉｏｅａｄｅｔｎｏｘｓｉｅｕｔｉｔｔｒｔｅ．ｃｉｏｔｌｏｈｔｏｓｍｐｎｓｎｈｉｕ

一类中立型差分方程的频率振动性

ｚ：｛１１～１１ … ）一，，，，与一｛１一１一１１一１一１一１１ …）一，，，，，，，，都是振动的，Ｘ与Ｙ的“ 但振动
频率” 是不同的，因此文献［］中引进了频率测度的概念．ｚ１令表示非负整数集，ｎｚ记ｉ为若，ｎｌ
ｔｅｏｃｌｔｒｎｅａｉｅｏｃｌｔｒｏｕｉｎｒｓａｌｈｄｉｓｉａｏｙａｄｎｇｔｓｉａｏｙｓｌｔｓａｅｅｔｂｉｅ．Ｂｓｄｏｈｓｅｕｔ，ｗｅｐｉｔｕｈｓｖｌｖｌｏｓａｅｎｔｅｅｒｓｌｓｏｎｔｔｅｍｉ — Ｏ
反例设数列ｚ一｛一１｝。取Ａ：（ ≤ １，ｉ一１２（），ｚ），，则（）一（Ａｃｃ≤ １＝．然）＝＝１显
２２２
（Ａ），（＋∑ （。（Ｉ一０由 ∑ ？一１Ａ）Ａ）一２ＩＡ）．反例可引的是错见，理５结论误的，此因
收稿日期：２１Ｏ —１０１～１４
作者简介：陶元红（９３）女，士，教授，究方向为泛函分析及差分方程研究．１７一，博副研
第１期
陶元红，：类中立型差分方程的频率振动性等一
第０１第１期７卷３月２３年Ｏ１
Ｊｕｎｌｆ边大ａ报ｅ自然科学版ａＳｉｃ）ｏｒａｏｎｉＵｎｖ（ｉＮｔｒｃｎｅ延Ｙａｂ学学ｉｒｔｎｓｙ（ａｕ）ｅｌ

具有连续变量的脉冲偏差分方程解的振动性

的．因此，我们总假设对任意ｋ∈ １，ｂＮ（）有＞一１．
收稿１期：０９— ５—１３２０００
基金项目：国家自然科学基金资助项目（０６０１．１６１１）
Ｖ０．．１２８ＮＯ２Ｍａ．２０ｒ０１７９
文章编号：６１１１（０００ —０９０１７ —５３２１）２０７ —４
具有连续变量的脉冲偏差分方程解的振动性
司文艺，侯成敏
（延边大学数学系，吉林延吉１３０）３０２
摘要：虑一类具有连续变量的脉冲偏差分方程考
ｆ（＋－）Ａ，）一，）＋（ＹＡ一，ｒ＝，； ≥）一，，Ａ７Ｙ＋（Ｙ＋『Ａ（Ｙｐ，）（玎Ｙ—ｌ）０ ≥ ｏｙ， ≠ ＾，０
【（＋Ｙ＋（，＋）Ａｘ，）ｂ（，）Ｖ ∈［０７∞）ｋＮ１．Ａ，）ＡＹｒ一（Ｙ＝ｋＹ，Ｙ —Ｉ，∈ （）ＡＹ，
具有连续变量的非脉冲偏差分方程的振动性已经被很多学者所研究，如，看文献［４．然而，例参１— ］目前，具有连续变量的脉冲时滞差分方程的研究却对很少．如果存在正整数序列｛，得当一 ∞时，ｍ｝使
ｍ一。ｂ。， ≤ 一１那么方程（），１的所有解都是振动
ｙ的右极限西（，））Ｙ和左极限咖（，存在，西一）且（一１，）（。，）Ｙ和（ｏ，）＿ｘＹ也存在｝．其中

一阶无界时滞中立型微分方程解的振动性

一阶无界时滞中立型微分方程解的振动性
王媛;申建华
【期刊名称】《中南林业科技大学学报》
【年(卷),期】2009(029)005
【摘要】研究了一阶无界时滞中立型微分方程解的振动性,建立了该方程解振动的若干充分条件,并将相关文献中的部分结果进行了改进和推广.
【总页数】4页(P162-165)
【作者】王媛;申建华
【作者单位】中南林业科技大学,理学院,湖南,长沙,410004;湖南师范大学,数学与计算机科学学院,湖南,长沙,410081
【正文语种】中文
【中图分类】O175
【相关文献】
1.一阶具有正负系数的无界时滞微分方程解的振动性 [J], 王媛;申建华
2.具有无界时滞的变系数一阶差分方程解的振动性 [J], 刘智钢;何斌
3.具有多时滞变系数一阶中立型微分方程的振动性 [J], 石艳香
4.具有多时滞变系数一阶中立型微分方程的振动性 [J], 史居轩
5.一阶欧拉型无界时滞中立型微分方程解的振动准则 [J], 王媛; 申建华
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差分方程论文：中立型时滞差分方程的振动性
【中文摘要】近年来,随着科学技术的发展,在自然科学与社会科学等许多学科中,如生态学、生物学、经济学、人口学以及控制论等,中立型差分方程由于应用的广泛性受到了人们的普遍关注。

而中立型差分方程的振动性理论作为其定性理论中的重要内容,更是吸引了广大学者的兴趣。

由于它能客观准确地描述各类动态系统的运动过程,所以对中立型差分方程振动性理论的研究不仅有重要的理论意义,而且还有着实际的应用价值。

论文讨论了四类中立型时滞差分方程的振动性,并分别给出了其解振动一些充分条件,所得结果推广和改进了
已有文献的相关结论。

首先,论文讨论了一类二阶中立型多时滞差分方程的振动性,利用Riccati技巧得到了其解振动的几个充分条件,
并且给出了实际应用的例子,所得结论对已有文献的结果做了推广和改进。

其次,讨论了一类具有连续变量的二阶中立型多时滞差分方程的振动性,应用反证法和数学归纳法给出了其振动的几个充分条件。

再次,利用不等式和特征方程研究了一类高阶中立型时滞差分方程的振动性,给出了其振动的几个充分条件,将已有结果由一阶推广到高阶。

最后,讨论了一类具有振动系数的高阶非线性中立型多时滞差分方程的振动性,得到了方程振动的...
【英文摘要】In recent years, with the development of science and technology, the neutral difference equations with universality of application in natural science and social
science as biology, economics, demology, physics and control theory, etc., get people’s prevalent attention. Moreover, being the key content of qualitative study of the neutral difference equations, oscillation theory attracts scholars’attention. It can describe the motion process of various dynamic systems objectively, so it has great theoretical s...
【关键词】差分方程中立时滞连续变量振动系数振动性
【英文关键词】Difference equation Neutral Delay Continuous arguments Oscillating coefficients Oscillation
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【目录】中立型时滞差分方程的振动性摘要
5-6Abstract6-7第1章绪论10-20 1.1 引言10-11 1.2 二阶中立型多时滞差分方程的研究概况
11-14 1.3 具有连续变量的二阶中立型多时滞差分方程的研
究概况14-16 1.4 高阶中立型时滞差分方程的研究概况
16-17 1.5 具有振动系数的高阶非线性中立型多时滞差分方
程的研究概况17-18 1.6 论文的结构安排及有关符号
18-20第2章二阶中立型多时滞差分方程的振动性
20-32 2.1 方程的描述及相关概念20-21 2.2 基本引
理21 2.3 主要结论及证明21-29 2.4 应用例子
29-31 2.5 本章小结31-32第3章具有连续变量的二
阶中立型多时滞差分方程的振动性32-40 3.1 方程的描述及相关概念32-33 3.2 基本引理33-35 3.3 主要结论及证明35-39 3.4 本章小结39-40第4章高阶中立型时滞差分方程的振动性40-48 4.1 方程的描述及相关概念
40 4.2 基本引理40-41 4.3 主要结论及证明
41-45 4.4 应用例子45-47 4.5 本章小结
47-48第5章具有振动系数的高阶非线性中立型多时滞差分方程的振动性48-54 5.1 方程的描述及相关概念
48-49 5.2 基本引理49-50 5.3 主要结果及其证明
50-53 5.4 本章小结53-54结论54-56参考文献56-61攻读硕士学位期间承担的科研任务与主要成果
61-62作者简介62-63附件63。