第一讲 守恒律-交通流问题
交通流理论第五章
第五章连续交通流模型如果从飞机上俯看某条高速公路，我们会很自然地把来来往往的车流想象成河流或某种连续的流体。
正是由于这种相似性，经常使用流量、密度、速度等流体力学术语来描述交通流特性。
我们知道，流体满足两个基本假设：一是流量守恒，二是速度与密度（或流量与密度）对应。
对于交通流，其中第一个假设比较容易证明，而第二个假设的成立需要有一定的条件。
本章将推导交通守恒方程，介绍它的解析解法和数值解法，以此为依据还将介绍更精确的动态模型，并详细地讨论交通波理论。
第一节守恒方程一、守恒方程的建立守恒方程比较容易推导，可以采用下面的方法：考察一个单向连续路段，在该路段上选择两个交通记数站，如图5—1所示，两站间距为Δx,两站之间没有出口或入口（即该路段上没有交通流的产生或离去）。
设N i为Δt时间内通过i站的车辆数，q i是通过站i的流量，Δt为1、2站同时开始记数所持续的时间。
令ΔN = N2-N1，则有：N1/Δt=q1N2/Δt=q2ΔN/Δt=Δq如果Δx足够短，使得该路段内的密度k保持一致，那么密度增量△k可以表示如下：x NN k∆--=∆) (12∆x图5—1 用于推导守恒方程的路段示意图式中（N 2－N 1）前面之所以加上“-”号，是因为如果（N 2－N 1）>0，说明从站2驶离的车辆数大于从站1驶入的车辆数，也就是两站之间车辆数减少，即密度减小。
换句话说，ΔN 与△k 的符号相反，于是：N x k ∆-=∆∆同时，根据流量的关系，有：△q △t =△N 因此x k t q ∆∆=∆∆- 即0=∆∆+∆∆tk x q 假设两站间车流连续，且允许有限的增量为无穷小，那么取极限可得：0=∂∂+∂∂tk x q （5—1） 该式描述了交通流的守恒规律,即有名的守恒方程或连续方程，这一方程与流体力学的方程有着相似的形式。
如果路段上有交通的产生或离去，那么守恒方程采用如下更一般的形式：),(t x g tk x q =∂∂+∂∂ （5—2）这里的g （x ，t ）是指车辆的产生（或离去）率（每单位长度、每单位时间内车辆的产生或离去数）。
动量守恒定律课件
动量守恒定律主讲:李兵强槐芽中学导学: (1)动量守恒定律的内容是什么？怎样推导出来的？(2)动量守恒定律在什么条件下成立？适用范围是什么？重点：动量守恒定律。
难点：动量守恒定律的得出。
问题讨论：卡车静止在水平地面上,一个人在车内奋力推车,车是否能被推动呢?用动力学观点分析：对人：手受到车的水平向左的作用力，脚受到车厢底板的水平向右的摩擦力，是一对平衡力，人处于平衡状态。
对车：车受到人水平向右的推力，同时受到脚对车的水平向左的摩擦力，也是一对平衡力，车也处于平衡状态。
对整体：人对车的力，车对人的力都属于内力，整体受到的合外力为0，运动状态就不改变。
用动量观点分析：人和车所受合外力的冲量都是0，它们彼此的动量的变化都是0，对整体同样受合外力的冲量为0，整体的动量变化为0。
我们知道,两个人静止在冰场上,不论谁推谁一下,两人都会向相反方向滑去,他们的动量从哪里来的？动量变化服从什么规律呢?设质量为m 1的物体以速度v 1与质量为m 2速度为v 2的物体沿同一条直线向相同方向运动，且v 2>v 1，两个小球的总动量为：下面我们来探讨这个规律:p=p 1+p 2=m 1v 1+m 2v 2经过一段时间Δt后，第二个小球追上了第一个小球，两球发生碰撞。
碰撞后的速度是v1＇和v2＇, 碰撞时间为t,碰撞后的总动量为:p＇=p1＇+p2＇=m1v1＇+m2v2＇动画模拟碰撞前后的总动量p和p＇有什么关系设碰撞中两个球所受的平均力分别为F 1和F 2 ，根据动量定理：F 1t = m 1v 1＇-m 1v 1F 2t = m 2 v 2＇-m 2 v 2根据牛顿第三定律，F 1= -F 2，所以F １t = -F ２t 即m 1v 1＇-m 1v 1＝-(m 2v 2＇-m 2v 2)由此可得p =p ＇△P = 0m 1v 1＋m 2v 2 ＝m 1v 1＇＋m 2v 2＇. 动量守恒定律：一个系统不受外力或者所受外力之和为零，这个系统的总动量保持不变。
守恒律方程
第一段：守恒律方程是物理学中的一类基本方程，它描述了自然界中的物质和能量的守恒规律。
在物理学的各个领域中，守恒律方程都有着广泛的应用，例如流体力学、热力学、电磁学、量子力学等。
本文将从守恒律方程的概念、分类以及应用等方面进行分析和论述，以期更加深入地了解守恒律方程在物理学中的重要性。
一、概念守恒律方程是描述物质和能量在自然界中守恒的基本方程。
它表述了某一物理量在空间和时间上的变化率等于该物理量的流入和流出之差，即物理量守恒的原理。
从守恒律方程的数学表达式来看，它通常采用微分方程表示，是一种非常重要的基本方程。
二、分类守恒律方程根据研究对象的不同，可以分为多种类型。
以下是几种常见的守恒律方程：1. 质量守恒方程质量守恒方程是流体力学中最基本的守恒律方程之一，它描述了流体中质量守恒的规律。
质量守恒方程的数学表达式是一个连续性方程，它表示对于一个体积元，在单位时间内，流入该体积元的质量等于流出该体积元的质量。
2. 动量守恒方程动量守恒方程描述了物体在外力作用下的运动规律。
在流体动力学中，动量守恒方程是描述流体运动规律的基础方程。
3. 能量守恒方程能量守恒方程描述了物质在热力学过程中的能量变化规律。
在热力学中，能量守恒方程是描述热力学过程的基础方程。
4. 电荷守恒方程电荷守恒方程描述了电荷在电磁场中的传播规律。
在电磁学中，电荷守恒方程是描述电磁场中电荷分布的基础方程。
三、应用守恒律方程在物理学的各个领域中都有着广泛的应用。
以下是几个典型的应用：1. 流体动力学在流体动力学中，守恒律方程是描述流体运动规律的基础方程。
通过对质量守恒、动量守恒和能量守恒方程的分析，可以研究流体流动的各种现象，如涡流、湍流、流体电磁效应等。
2. 热力学在热力学中，守恒律方程是描述热力学过程的基础方程。
通过对能量守恒方程的分析，可以研究热力学系统中的各种现象，如热传导、辐射传热、相变等。
3. 电磁学在电磁学中，守恒律方程是描述电磁场中物质和能量传播规律的基础方程。
动量守恒定律题型总结
2
2
R L1 L2
位移关系：
0 m L1 M L2
t
t
L1 L2 R
速度关系:水平方向动量守恒
0 mv MV
mgR 1 mv2 1 MV 2
2
2
ML2 L1 600 m
位移关系：
0 m L1 M L2
t
t
L1 L2 Lcos60o L
速度关系
0 mvsin600 MV
题型五、相对运动问题 定参考系、定速度
（1）每次射击（一发）：设艇的速度为V，
则子弹速度为-（800-v）
P25——3T
0 （M m)V m(800V )
V m 800 0.01800 0.067m / s
M
120
（2）连续射击（10发）：设艇的速度为V，
则子弹速度为-（800-v）
0 （M 10m)V 10m(800 V )
v0
AB
AB
v
AB
vA
AB
vA vB=2vA
mv0 = 2MvA+mv= MvA+(M+m)vB
题型四、系统含有两个以上的物体——如6T 19 3
3明确系统的选取
v
甲
乙
M
M
0= (M+m)v1 - (M-m)v2
讨论：球在两车之间抛了若干次，最终落在甲 车上，求两车速度之比。 最终落在乙车上，之比是多少？
研究对象（系统），则此系统在从子弹开始射入木块
到弹簧压缩至最短的整个过程中：( A、动量守恒、机械能守恒
B)
B、动量不守恒、机械能不守恒
C、动量守恒、机械能不守恒
D、动量不守恒、机械能守恒
守恒律-交通流问题
- 1 -第一讲 守恒律方程及其应用 ——红绿灯下的交通流问题1、守恒律2、双曲守恒律方程及基础知识3、交通流模型4、红绿灯下的交通流问题 第一章 守恒律对于一维空间变量的偏微分方程0)(=+x t u f u （*）称为守恒型方程，其中)u ,,(n 21 u u u=是关于t 和x 的n 维矢量函数，称为守恒量，或状态量，如流体力学中的质量、速度和能量等．更精确点就是i u 是第i个状态变量的密度函数．dx t x u x x i ),(21⎰表示该状态量在区间[]21,x x 中t时刻的总量．我们称这个状态变量是守恒的是指dxt x u x x i ⎰21),(关于t是不变的．))(),(),(()(21n u f u f u f u f =称为流函数．该守恒方程是由物理定律在任意两点1x 和2x 之间如下形式的积分得到的)),(()),((),(2121t x u f t x u f dx t x u dt d x x -=⎰表示在区间][21,x x 中的总流量．（如质量、动量、能量等）的变化仅仅与两端点处的流量有关，这就是守恒的基础，其中))((,1t x u f 和))((,2t x u f 分别表示在1x 和2x 点的流入流出量．例如：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==+⋅∇+=∇+⊗⋅∇+=⋅∇+（状态方程）（能量守恒）（动量守恒）（质量守恒）),,(,0)()(,0)()( ,0)(S f p up uE E p u u u u t t t ρρρρρρρ 其中S e p u ,,,，ρ分别为理想流体的密度、速度、压强、内能和比熵，e u E +=2||21，),,(z y x ∂∂∂=∇，⊗是张量积．第二章 双曲守恒律方程及基础知识2.1 间断现象方程0)(=+x tu f u （*）的特征方程为⎪⎩⎪⎨⎧==0)(dtduu dt dxλ （2.1）- 2 -其中)()(u f u '=λ.明显地可以看出，方程的解是),,(u t x 空间内的直线，其平行于),(t x 平面，且其值由特征线所决定．为简单起见，特征线在),(t x 平面上的投影仍称为特征．设0)(≠'u λ，称其为凸性条件，则方程（*）被称为凸方程．这个问题中映射)(u u λ→是一一对应的，并且方程在),,(u t x 空间中的解曲面与),(t x 平面的特征域具有相同的一一对应关系．可以证明当且仅当方程在),(t x 平面上的特征域是单值连续变化时，方程的解),(t x u 是单值连续的． 为简单起见，设0)(>'u λ. （2.2）对于标量u 考察初值问题))(()0,(0+∞<<-∞=x x u x u （2.3）并且求解0>t时方程（*）/(2.3)的解．很明显，从特征域出发并且由初始条件（2.3）所决定的特征线，在0>t 的半内是单值连续变化的，当且仅当)(0x u 是非减函数.并且解的这种非减的性质不随t 变化，即当连续函数)()0,(0x u x u =是非减的，则函数),(t x u 对任意0>t也是非减的．这样的解),(t x u 称为稀疏波，用R 表示．图2-1)(0x u 是非减的当)(0x u 是减函数时，例如，存在1x 、2x 点，有))(()(20)(01x u f u f x '>' 那么始于)0,(1x 和)0,(2x 的特征线在p 点相交（0>t ），在p 点解是超定的．因为不同的特征线相交，每一个特征线代表不同的u 值，很容易得到解是不连续的．这种解的不连续问题对应于力学中的激波现象．- 3 -图2-2)(0x u 是非增的上述结论与f和)(0x u 是否光滑无关，无论初始条件多么光滑，都会出现不连续解．这是拟线性双曲方程最重要的特征，也是与线性双曲方程最根本的不同．定理2.1.1 假设)(u f 是定义在R I ⊂上的一条光滑的函数，并且满足凸性条件．那么对于0>t ，当且仅当)(0x u 是非减函数则初值问题（*）/（2.3）的解是一个连续单值解．引理2.1.2 在定理（2.1.1）的假设条件下，对于0>t ，当)(0x u 是减函数时，间断解)(x u 总会出现．2.2 黎曼问题- 4 -图2-3 图2-4但是，对于上述+->u u时这类函数是无解的．现在我们来考查分片光滑函数．在ωξ=处，间断的函数在广义积分下0)(=⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-⎰+-ξξξξεωεωd d u df d du成立，则)(ξu 称为（*）/（2.4）的一个弱解．利用分部积分并且令0→ε时得到[][])(u f u =ω（2.9）其中[])0()0(--+≡ωωu u u ，[]))0(())0((--+≡ωωu f u f f ．在力学数学语中（2.9）称为Rankine-Hugoniot 约束条件，简称Rankine-Hugoniot 关系，它代表间断线的切线斜率ω与它对应的跳跃值之间的关系． 我们得到的间断解称为激波（见图）.xtξtu][)]([u u f =ω-ut+u t -u t+u t图2-5- 5 -第三章 交通流模型各种类型的汽车一辆接着一辆沿公路飞驶而过，其情景就像在湍急的江河中奔腾的水流一样．在这种情况下我们不去分析每辆汽车的运动规律，而是把车队看作连续的流体，称为交通流或车流．研究每一时刻通过公路上每一点的交通流的流量、速度和密度等变量间的关系，特别是在出现譬如红绿灯改变、交通事故等干扰的情况下交通流的变化过程，下面建立交通流的模型对其进行分析． 3.1交通流模型研究对象是在无穷长公路上沿单向运动的一条车流．假定不允许超车，公路上也没有岔路，即汽车不会从其它通道进入公路或从公路驶出．在公路上选定一个坐标原点，记作0=x ．以车流运动方向作为x 轴的正向，于是公路上任一点可用坐标x 表示．对于每一时刻t和每一点x ，引入下面三个基本函数：流量),(t x q ：时刻t 单位时间内通过点x 的车辆数；密度),(t x ρ：时刻t 点x 处单位长度内的车辆数；速度),(t x u ：时刻t通过点x 的车流速度．将交通流视为一维流体场，这些函数完全可以类比作流体的流量、密度和速度．注意：这里速度),(t x u ，不表示固定的哪一辆汽车的速度．这三个基本函数之间存在着密切关系．首先可以知道，单位时间内通过的车辆数等于单位长度内的车辆数与车流速度的乘积． 即),(),(),(t x t x u t x q ρ= （3.1）其次，经验告诉我们，车流速度u 总是随着车流密度ρ的增加而减小的．当一辆汽车前面没有车辆时，它将以最大速度行驶，可描述为0=ρ时m u u = (最大值)；当车队首尾相接造成堵塞时，车辆无法前进，可记为m ρρ= (最大值)时0=u ．显然在这两种极端情况下的车流量0=q ．进一步观察可以发现，当ρ较小时随着ρ的增加q 也会增长；但当ρ较大时，q 将随着ρ的增加而减小．同理，当u 较小时随着u 的增加q 也会增长；但当u 较大时，q 将随着u 的增加而减小．综上分析，流量q与密度ρ之间的关系可表为图3-1的形式（流量q与速度u之- 6 -图）．图3-1 流量q 与密度ρ的关系在交通流模型中流量和密度的关系常用以下的二次函数表述．)1(mm u q ρρρ-= （3.2） 显然2*mρρ=时，由（3.2）可以看出流量取得最大值．应该指出(3.2)式是在平衡状态下ρ 、u 和q 之间的关系，即假定所有车辆的速度相同，公路上各处的车流密度相同．3.2连续交通流问题3.2.1 连续交通流问题的疏散波解对于正常运动的交通流，可以假定流量),(t x q 密度),(t x ρ和速度),(t x u 都是x 和t 的连续可微函数，并满足解析运算所需要的性质．下面根据守恒原理推导这些函数满足的方程．考察x 轴的任意区间][b a ,和任意时刻t ，单位时间内通过a 、b 点的流量分别为),(t a q 和),(t b q ．因为时刻t 在区间][b a ,内的车辆数为dx t x b a ⎰),(ρ，其变化率为dx t x dtd b a ⎰),(ρ在公路没有岔路的假定下区间][b a , 内的车辆数守恒，于是=-),(),(t b q t a q dx t x dtd ba ⎰),(ρ （3.3） 这是交通流方程的积分形式，它并不需要函数对x 的连续性．在关于q 和ρ的解析性质的假定下，=-),(),(t b q t a q dx t x q x ba ),(⎰∂∂-, dx t x dtd ba ⎰),(ρ=dx t x q xb a ),(⎰∂∂- 所以（3.3）式化为0)(=∂∂+∂∂⎰dx xqt baρ （3.4）- 7 -由于区间][b a ,是任意的，故0=∂∂+∂∂xqt ρ （3.5）这就是连续交通流方程．当把q 表示为ρ的已知函数)(ρq q =时（如（3.2）式）导数ρd dq也是已知函数，记为)(ρθ，于是按照求导法则有=∂∂=∂∂x d dq x q ρρ)(ρθx∂∂ρ 这样，方程（3.5）可以写成：⎪⎩⎪⎨⎧=+∞<<∞->==∂∂+∂∂)()0,(,0,,0)(x f x x t d dq x tρρρθρρθρ）（ （3.6）其中)(x f 是初始密度．方程（3.6）的解),(t x ρ描述了任意时刻公路上各处的车流分布状况，再由)(ρq 即可得到流量函数),(t x q ．（3.6）式是一阶拟线性偏微分方程，可用特征方程和首次积分法求解如下: 由首次积分，与方程（3.6）的同解方程为,0)(1ρρθd dx dt == （3.7） 即0=dtd ρ, 且)(ρθ=dtdx， 则0)()(x t t x +=ρθ, 0)0(x x =即00))(()(x t x f t x +=θ （3.8）容易验证（3.8）满足方程（3.6）．实际上对)),((t t x ρ求关于t 的全导数有0=∂∂+∂∂dtdxx t ρρ（3.9）再将（3.7）)(ρθ=dtdx代入（3.9）就是方程（3.6）．至于（3.7）（3.8）满足初始条件)()0,(x f x =ρ则是显然的． 3.2.2 交通流的特征线上面方程（3.6）的解（3.7）（3.8）两式有着明显的几何意义，在t x ~平面上（3.8）表示一族直线（图3-2），它与x 轴- 8 -的交点是坐标是0x ，斜率为))((10x f k θ=（t 对x 的斜率），当函数θ 、f给定后，k 随0x 改变，这族直线称为方程的特征线．（3.7）式表明，沿每一条特征线)(t x x =车流密度),(t x ρ是常数)(0x f ，当然在不同的特征线上),(t x ρ随0x 不同而不同．图3-2 方程（3-6）的特征线这样，从形式上看当流量函数)(ρq 和初始密度)(x f 给定后，（3.7）（3.8）就完全确定了方程（3.6）的解，但是下面将会看到，由于初始密度)(x f 不同可以导致两种截然不同结果．设)(ρq 如（3.2）式表出，则)21()(mm u d dq ρρρρθ-==（3.10） )(ρθ是减函数，当2*mρρρ==时0*)(=ρθ，对于*1ρρ< 0)(1>ρθ，对于*2ρρ>，0)(2<ρθ（见图3-3）图3-3)(ρθ的图形如果初始密度)(x f 是x 的减函数，如图3-4所示，即沿车辆行驶的x 轴正向，前面的密度小，后面的密度大，则特征线的形状如图3-5．在密度*ρ的*x 点（即**)(ρ=x f ），因为0*))((=x f θ，从*x 出发的特征线的斜率∞→=))((1*)(0x f x k θ，所以这条特征线垂直于x轴．对于*1x x >，*)(11ρρ<=x f ，因为- 9 -0)(1>ρθ，0)(1)(11>=ρθx k ，所以从1x 出发的特征线的斜率方向如图3-5所示；对于*2x x <，*)(22ρρ>=x f ，因为0)(2<ρθ，0)(2<x k ，所以从2x 出发的特征线向相反的方向倾斜．这种情况下（3.7）（3.8）的确是方程（3.6）的解．图3-4 初始密度 图3-5 特征线 但是如果初始密度)(x f 是x 的增函数，如图3-6，前面密度大，后面密度小，则用类似于上面的分析方法可知，特征线的形状如图3-7所示，它们必然相交．我们知道，在任一条特征线上密度),(t x ρ等于该线与x 轴交点处的初始密度，那么当如图所示从1x 和'1x 两点出发的特征线相交于),(t x p 点时，p 点的密度),(t x ρ将既等于)(1x f 又等于)('1x f ．当)(1x f ≠)('1x f 时这个结果显然是荒谬的．图3-6 初始密度 图3-7 特征线相交从实际现象分析为什么会得到这个错误的结果．与图3-4给出的初始密度)(x f 不同，图3-6的)(x f 表示前面的车辆拥挤，后面的车辆稀疏，于是后面的车速比前面的大．当速度快的汽车追上速度慢的汽车又不允许超车时，它的速度就会突然降下来，并且引起在它后面的汽车的连锁反应，一辆一辆地突然减速．车流速度),(t x u 的突变像水波一样向后传播，我们在日常生活中可以观察到这种现象．速度的突变必然导致密度),(t x ρ和流量),(t x q 的突变，这意味着函数),(t x ρ和),(t x q 在某些),(t x 处出现了间断．这种情况下不能再假定这些函数是连续可微的，因而不能再用微分方程（3.6）描述车流的分布，方程（3.7）（3.8）也没有意义了． 3.2.3 连续流问题的间断解当密度函数),(t x ρ出现间断时，具有实际意义的也是常见的一种情况，一连串的间断点),(t x 在t x ~平面上构成一- 10 -条孤立的间断的间断线，记做)(t x x =．图3-7引出的间断就是这种情况．下面推导间断线)(t x x s =应满足的方程时，还假设它是可微的．在任意时刻t ，)(t x x s =在x 轴上是孤立的，可以取区间][b a ,，使b t x a s <<)(．在][b a ,内交通流的方程的积分的形式（3.4）仍然成立．将][b a ,分为两个区间[))(,t x a s 和(]b t x s ),(，在每个区间内),(t x ρ是连续可微的，于是有dtdx t t x dx t dt dx t t x dx t dx t x dx t x dt d t b q t a q ss b t x s s t x a t x a b t x s s s s )),(()),((),(),(),(),()()()()(+--∂∂++∂∂=⎥⎦⎤⎢⎣⎡+=-⎰⎰⎰⎰ρρρρρρ （3.11）其中)(t x s -和)(t x s +分别表示从小于和大于)(t x s 一侧趋向)(t x s 时的极限值．在这种趋势下),(t x ρ和),(t x q 的极限记作))((,t s t x --=ρρ ))((,t s t x ++=ρρ))((,t s t x q q --= ))((,t s t x q q ++= （3.12）ρ和q 在间断点s x 处的跳跃值记作[]-+-=ρρρ []-+-=q q q （3.13）如图3-8所示．图3-8),(t x ρ在)(t x s 处间断当)(t x as -→，)(t x b s +→时（3.11）式中的0)(=∂∂⎰dx tt x as ρ0)(=∂∂⎰dx tb t x s ρ．利用（3.12）、（3.13）式的记号立即得到[][]dtdx q s ρ=，或者[][]ρq dtdx s=（3.14）这就是间断线)(t x x s =应满足的方程，其中[]ρ和[]q 可以用连续的交通流方程解得的ρ和q 在间断点处的极限值算出．- 11 -第四章 红绿灯下的交通流问题为了方便起见设交通信号灯置于0=x 处．若原来公路上的交通处于稳定状态，即初始密度)(x f 是常数．某时刻交通灯突然变红，于是交通灯前面（0>x ）的车辆继续行驶，而后面（0<x ）的车辆则一辆辆的堵塞起来．经过一段时间后交通灯变绿，被堵塞的车辆得以快速的向前行驶．此模型主要研究这一过程中车流密度和速度的变化，红绿灯亮后被堵塞的车辆多长时间才能追上远离的车队，多长时间堵塞状态才会消失，多长时间交通会恢复正常等问题．红绿灯的变化必然引起密度函数),(t x ρ和速度函数),(t x u 的间断，下面用方程（3.14）研究间断线的变化规律，而在),(t x ρ和),(t x u 的连续点处仍用（3.7）（3.8）式进行分析．设+=0t时交通灯突然由绿变红，τ=t 时又由红变绿．下面依时间顺序用图形结合公式计算的方法讨论),(t x ρ的演变过程并回答上面的“何时追上车队”、“何时堵塞消失”等问题．1、-≤0t时设0)()0,(ρρ==x f x （常数），见图（4-1） 为确定起见不妨设定*0ρρ<，即初始密度小于使流量达到最大的*ρ，这种交通流称为稀疏流．2、τ<≤+t 0红灯亮．在红灯后面（0<x ）车辆堵塞导致最大密度m ρρ=，与初始密度0ρρ=形成间断，这条左间断线记作)(t x x sl =，表示堵塞的车队尾部随时间向后（左）延伸的过程，红灯前面（0>x ）的车辆继续行驶，空出的路段导致0=ρ（此时车辆速度达到最大m u u =）与0ρρ=形成间断，这条右间断线记作)(t x x sr =，表示远离的车队尾部向前（右）延伸的过程，见图（4-2），)(t x sl 和)(t x sr 由方程（3.14）确定．而流量)(ρq 的计算由(3.2)式给出．对于0][ρρρ-=m , mm m m u q q q ρρρρρρ)()()(][000--=-=于是⎪⎩⎪⎨⎧=-=0)0(0sl m m slx u dtdx ρρ其解为t u t x mm sl ρρ0)(-=. （4.1）对于)(t x xsr =, []0ρρ=, mm m u q ρρρρ)(][00-=,⎪⎩⎪⎨⎧=-=0)0()(0sr m m m sr x u dtdx ρρρ- 12 -t u t x mm m sr ρρρ)0()(-=（4.2）因为2*0mρρρ=< 由（4.1）（4.2）可知)(t x sr 向前的速度比)(t x sl 向后的速度大．3、τ=t 时绿灯亮，被阻止在0<x 处的车队开始向前行驶（图4-3）4、τ>t ，见图（4-4）．用)(1t x 表示堵塞车队行驶时最前面那辆车的位置，即由0=ρ变为0>ρ那一点的位置；用)(2t x 表示堵塞车队行驶时最后面那辆车的位置，即由m ρρ<变为m ρρ=那一点的位置．将时间坐标轴平移为τ-=t t '，初始密度(0'=t)可记作⎪⎩⎪⎨⎧=0)(ρρmx fsrsl sr sl x x x x x x x x ><<<<<,00对于sr x x <<00，由（3.10）式可得m u x f =))((0θ，在特征线0'x t u x m +=上，密度0),('=t x ρ，令+→00x ，我们得到''1)(t u t x m = 或 )()(1τ-=t u t x m（4.3）其实因为前面的那辆车能以最大的速度m u 行驶（0=ρ时m u u =）．（4.3）式立即可写出． 类似的，对于00<<x x sl 时,由（3.10）得m u x f -=))((0θ，)()(2τ--=t u t x m （4.4）而对于)()(12t x x t x ≤≤，利用（3.7）（3.8）可知')(t x ρθ= ．再注意到)(ρθ的表达式（3.10），我们得到))(21(τρρ--=t u x mm （4.5）即))(1(2),(τρρ--=t u xt x m m， )()(12t x x t x ≤≤（4.6）),(t x ρ对x 是线性的，且2),0(mt ρρ=，所以图中用直线表示．实际上，在)(1t x 和)(2t x 之间的那些车辆，是一辆辆的逐渐动起来的，由于初始速度是均匀的，)(1t x 和)(2t x 又是线性的，所以),(t x ρ与x 之间的线性关系是可以预料的．5、d t t =时堵塞消失，见图（4-5）．由于)(1t x 、)(2t x 向前向后的移动速度都是m u ，)(t x sl 向后的速度为mm u ρρ0，)(t x sr 向前的速度为mm m u ρρρ)(0-．在2*0mρρρ=<的假定下不难知道，)(2t x 会首先赶上)(t x sl，记这个时刻为d t ，在（4.1）（4.4）式中令)()(2d d sl t x t x =，即d mmd m t u t u ρρτ0)(=- 可解得- 13 -τρρρ0-=m m d t（4.7）显然，d t 是堵塞消失的时刻．6、u t t=时追上车队，见图（4-6）．当)(1t x 赶上)(t x sr 时，堵塞车队的最前面那辆车追上远离的车队，记这个时刻为u t ，在（4.2）（4.3）式中令)()(1u u sr t x t x =，可计算出τu u u t m mu -=（4.8）7、u t t >，见图（4-7）．)(t x sl 和)(t x sr 继续移动，而),(t x ρ的跳跃值逐渐减小．下面分析)(t x sl 的变化规律．)(t x sl 满足间断交通流方程（3.14），其中+ρ由（4.6）))(1(2τρρ--=+t u x m slm来确定，而0ρρ=-，由（3.2）式计算出)(++=ρq q ，)(--=ρq q可得[][]⎪⎪⎭⎫⎝⎛-+-==m m m sl sl ut u x q dtdx ρρτρ0212)(2 （4.9）方程（4.9）的定解条件是)()(τ--=d m d sl t u t x（4.10）其中 τρρρ0-=m m dt 给出. 其通解为,)())(21()(2110ττρρ-+--=t B t u t x mm sl （4.11）0))(1(221001<---=ρρτρρρm m m u B （4.12）对（4.11）求导可得,)()21()(2110--+-=τρρt B u dt t dx mm sl当t 足够大时，必有)21(|)(|0211mm u t B ρρτ-<--（4.13）这时- 14 -0)21(lim>-=∞→mo m sl t u dt dx ρρ（4.14）所以一定存在某个时刻，使)(t x sl 由d t t =时的向后移动（因为0|<=d t t sldtdx ）变成向前移动.同理可得 0)21(lim>-=∞→mo m sr t u dtdx ρρ（4.15）这说明当t足够大时，间断线)(t x x sl =和)(t x x sr =移动的速度是一样的，它们不会再相交而形成新的间断．8、*t t=时0=x 处交通恢复，见图（4-8）．)(t x sl 向前移动确定0=x 点的时刻记作*t ，在（4.11）式中令0)(*=t x sl 可以解出2*)21(mt ρρτ-=（4.16）从（4.16）式可知，红灯的时间τ越短，初始速度与最大速度之比mρρ0越小，恢复的就越快．设830=m ρρ，由（4.16）式可以算出τ16*=t .将τ看做由交通事故造成的堵塞而停止交通的时间，那么5=τ分钟的堵塞，需要755516=-⨯分钟堵塞才会恢复原状.当*t t >后，)(),(t x t x sr sl 都在0>x 处向前移动，并且ρ的跳跃值越来越小.理论上要当∞→t 时全线（∞<<∞-x ）的交通才能恢复到初始状态0ρρ=.。
交通流理论(详细版)
3
§4-1 概述
二、发展
• • • • • 在20世纪30年代才开始发展，概率论方法 概率论方法。 概率论方法 1933年，Kinzer.J.P泊松分布用于交通分析的可能性。 1936年，Adams.W.F发表数值例题。 1947年，Greenshields泊松分布用于交叉口分析。 20世纪50年代，跟驰理论 交通波理论 流体动力学 跟驰理论，交通波理论 跟驰理论 交通波理论(流体动力学 模拟)和车辆排队理论 车辆排队理论。 模拟 车辆排队理论 • 1975年丹尼尔(DanieL lG)和马休（Marthow，J.H） 出版了《交通流理论》一书。 • 1983年，蒋璜翻译为中文。人交出版社出版。
15
k=0,1,2,…n p=λt/n 一辆车到达的概率
k Pk = Cn p k (1 − p ) n − k
§4-2 交通流的统计分布特性
2.二项分布 2.二项分布
(3) 递推公式
P0 = (1 − p)
n
Pk = C p (1 − p )
k n k
n−k
n−k p Pk +1 = ⋅ ⋅ Pk k +1 1− p
?负指数分布移位负指数分布爱尔朗分布8?在一定的时间间隔内到达的车辆数或在一定的路段上分布的车辆数在一定的时间间隔内到达的车辆数或在一定的路段上分布的车辆数是所谓的随机变数描述这类随机变数的统计规律用的是离散型分布42交通流的统计分布特性二离散型分布泊松分布二项分布离散分布离散分布942交通流的统计分布特性1
N
18
§4-2 交通流的统计分布特性
三、连续型分布
• 车流到达的统计规律除了可用计数分布来描述外， 还可用车头时距分布来描述，这种分布属于连续 型分布。 负指数分布
第一章第一节 守恒律
( x, y) , t 0 [0, ) ( x, y)
边值问题： 偏微分方程+边界条件 7） 波动方程没有边值问题。 注：
二、能量守恒与热传导方程
1.物理模型： 在三维空间中，考虑一个均匀，各向 同性的物体 ，假定它内部有热源，并且与周围介质 有热交换，研究物体内部温度的分布和变化。 2.假设说明： 该固体的密度,比热容 导热系数都是常数 c, k
utt | ( x2 x1 ) ( x1 x2 )
垂直于平衡位置的力密度 f 0 ( x, t ) 在 ( x1 , x2 ) 所产生的力为： f 0 ( , t )(x2 x1 ) 由牛顿第二定律有：
Tuxx ( , t ) f 0 ( , t ) utt (, t )
f 0 ( x, t )
T0
, f ( x, t )
注： 称(4)为弦的强迫微小横振动方程；若无外力，则(4)式
utt a2uxx 显然为：
称方程为弦的自由微小横振动方程。
称形如： utt x1, x2 , xn , t a2u f x1, x2 , xn , t
2 t表示时间变量， x 2 i 1 i
n
的方程为n维波动方程，其中 x1, x2 ,xn 表示位置变量， 称为n维Laplace算子。 当n=1时，为一维波动方程或弦振动方程，表示弦的振动 或声波在管中的传播，也可以表示杆的纵振动（即一均 匀细杆在外力的作用下延长杆方向作微小振动）。 当n=2时，为二维波动方程，表示膜的振动或水面上的水 波的传播，一般写成：
………（2）
强迫力 f 0 在时段 t 1,t 2 内产生的冲量：
I1 dt f 0 ( x, t )dx
第1讲：动量定理动量守恒定律 (生版)
类型一：变力冲量问题例1物体A 和B 用轻绳相连接，挂在轻弹簧下静止不动，如图（a ）所示．A 的质量为m ，B 的质量为M ．当连接A 、B 的绳突然断开后，物体A 上升经某一位置时的速度大小为v ．这时，物体B 的下落速度大小为u ，如图b 所示．在这段时间里，弹簧的弹力对物体A 的冲量为 A. mvB ．mv －MuC ．mv ＋MuD ．mv ＋m u解析： 由题意可知，虽然整个过程所用的时间可以直接求出，但弹簧的弹力是一变力，要求它的冲量只能用动量定理来计算．以物体A 为研究对象，取竖直向上为正方向，根据动量定理有：（F －mg ）t ＝mv①在t 时间内，物体B 做自由落体运动，则t ＝g u②由①②两式可得弹力的冲量Ft ＝mv ＋m u ．所以正确的选项为D ．答案：D类型二:动量守恒计算例2平静的湖面上浮着一只长L ＝6 m ，质量为550 kg 的船，船头上站着一质量为m ＝50 kg 的人，开始时，人和船均处于静止．若船行进时阻力很小，问当人从船头走到船尾时，船将行进多远？解析： 以人和船组成的系统为研究对象．因船行进时阻力很小，船及人所受重力与水对船的浮力平衡，可以认为人在船上行走时系统动量守恒，开始时人和船都停止，系统总动量为零，当人在船上走动时，无论人的速度如何，系统的总动量都保持为零不变．取人运动方向为正方向，设人对岸的速度为v ，船对岸的速度为V ，其方向与v 相反，由动量守恒定律有 0＝mv ＋（－MV ）解得两速度大小之比为m M V v = 此结果对于人在船上行走过程的任一瞬时都成立．取人在船上行走时任一极短时间Δt i ，在此时间内人和船都可视为匀速运动，此时间内人和船相对地面移动的距离分别为Δs mi ＝v i Δt i 和Δs Mi ＝V i Δt i ，由此有m MV v s s i i Mi mi ==∆∆．这样人从船头走到船尾时，人和船相对地面移动的总距离分别为s m ＝ΣΔs mi ，s M ＝ΣΔs Mi ．由此有 m Ms s Mm =． 由图中几何关系可知s m ＋s M ＝L ．这样，人从船头走到船尾时，船行进的距离为 s M ＝L m M m+．代入数据有 s M ＝0.5 m ．答案：s M＝0.5 m类型三：冲量例3如图，铁块压着一纸条放在水平桌面上，当以速度v抽出纸条后，铁块掉在地上的P点. 若以速度2v抽出纸条，则铁块落地点为（）A. 仍在P点B. P点左边C. P点右边不远处D. P点右边原水平位移的两倍处解析：抽出纸带的过程中，铁块受到向前的摩擦力作用而加速运动，若纸带以2v的速度抽出，则纸带与铁块相互作用时间变短，因此铁块加速时间变短，做平抛时的初速度减小，平抛时间不变，因此铁块将落在P 点的左边，故ACD错误，B正确答案：B类型四：动量守恒例4如图所示，A、B两物体质量之比:3:2m m ，原来静止在平板小车C上，A、B间有一根被压缩的A B弹簧，地面光滑，当弹簧突然释放后，则（）A．若A、B与平板车上表面间的动摩擦因数相同，A、B组成的系统的动量守恒B．若A、B与平板车上表面间的动摩擦因数相同，A、B、C组成的系统的动量守恒C．若A、B所受的摩擦力大小相等，A、B组成的系统的动量守恒D．若A、B所受的摩擦力大小相等，A、B、C组成的系统的动量守恒解析：如果A、B与平板车上表面的动摩擦因数相同，弹簧释放后A、B分别相对小车向左、向右滑动，它们所受摩擦力F A向右，F B向左.由于m A∶m B=3∶2，所以F A∶F B=3∶2，则A、B所组成的系统所受合外力不为零，故其动量不守恒.对A、B、C组成的系统，A、B与C间的摩擦力为内力，该系统所受合外力为零，故该系统的动量守恒.若A、B所受摩擦力大小相等，则A、B组成系统的合外力为零，故其动量守恒.答案：BCD基础演练1．下列对几种物理现象的解释中，正确的是（）A．击钉时不用橡皮锤，是因为橡皮锤太轻B．跳高时，在沙坑里填沙，是为了减小冲量C．在推车时推不动，是因为合外力冲量为零D．动量相同的两个物体受相同的制动力的作用，质量小的先停下来2．下列各种说法中，不能够成立的是（）A．某一段时间内物体动量的增量不为零，而其中某一时刻物体的动量可能为零B．某一段时间内物体受到的冲量为零，而其中某一时刻物体的动量可能不为零C．某一段时间内物体受到的冲量不为零，而动量的增量可能为零D．某一时刻物体的动量为零，而动量对时间的变化率不为零3．某物体受到一个－6 N·s的冲量作用，则 （）A．物体的动量一定减小B．物体的末动量一定是负值C．物体动量增量的方向一定与规定的正方向相反D．物体原来动量的方向一定与这个冲量的方向相反4．一物体从某高处自静止释放，设所受空气阻力恒定，当它下落h时的动量大小为p1，当它下落2h时的动量大小为p2，那么p1∶p2等于 （）A．1∶1 B．1∶2C．1∶2 D．1∶45．质量为m的小球从h高处自由下落，与地面碰撞时间为Δt，地面对小球的平均作用力为F，取竖直向上为正方向，在与地面碰撞过程中 （）A．重力的冲量为mg（tgh∆+2）B．地面对小球作用力的冲量为F·ΔtC．合外力对小球的冲量为（mg＋F）·ΔtD．合外力对小球的冲量为（mg－F）·Δt6．如图小车放在光滑的水平面上，将系绳小球拉开到一定角度，然后同时放开小球和小车，那么在以后的过程中（）A．小球向左摆动时，小车也向左运动，且系统动量守恒B．小球向左摆动时，小车向右运动，且系统动量守恒C．小球向左摆到最高点，小球的速度为零而小车速度不为零D．在任意时刻，小球和小车在水平方向的动量一定大小相等、方向相反7．某人站在静浮于水面的船上，从某时刻开始人从船头走向船尾，设水的阻力不计，那么在这段时间内关于人和船的运动情况判断错误的是 （）A．人匀速行走，船匀速后退，两者速度大小与它们的质量成反比B．人加速行走，船加速后退，而且加速度大小与它们的质量成反比C．人走走停停，船退退停停，两者动量总和总是为零D．当人从船头走到船尾停止运动后，船由于惯性还会继续后退一段距离8．在质量为M的小车中挂有一单摆，摆球的质量为m0，小车和单摆以恒定的速度v沿光滑水平地面运动，与位于正对面的质量为m的静止木块发生碰撞，碰撞的时间极短，在此碰撞过程中，下列哪个或哪些情况说法是可能发生的? （）①小车、木块、摆球的速度都发生变化，分别变为v1、v2、v2，满足（M＋m0）v＝Mv1＋mv2＋m0v3②摆球的速度不变，小车和木块的速度变为v1和v2，满足Mv＝Mv1＋mv2③摆球的速度不变，小车和木块的速度都变为v1，满足Mv＝（M＋m）v1④小车和摆球的速度都变为v1，木块的速度变为v2，满足（M＋m0）v＝（M＋m0）v1＋mv2以上说法正确的是A．只有①B．只有④C．只有②D．②③9．甲、乙两人站在小车左右两端，如图所示，当他俩同时相向而行时，发现小车向右运动，下列说法不正确的是（轨道光滑）（）A．乙的速度必定大于甲的速度B．乙对小车的冲量必定大于甲对小车的冲量C．乙的动量必定大于甲的动量D．甲、乙动量总和必定不为零10．物体A初动量大小是7.0 kg·m/s，碰撞某物体后动量大小是4.0kg·m/s．那么物体碰撞过程动量的增量Δp的大小范围是____________．巩固提高1．如图所示，A、B两物体的质量比m A∶m B＝3∶2，它们原来静止在平板车C上，A、B间有一根被压缩了的弹簧，A、B与平板车上表面间动摩擦因数相同，地面光滑．当弹簧突然释放后，则有①A、B系统动量守恒 ②A、B、C系统动量守恒③小车向左运动 ④小车向右运动以上判断正确的是A．①③B．②④C．①④D．②③2．如图，质量为M的盒子放在光滑的水平面上，盒子内表面不光滑，盒内放有一块质量为m的物体，从某一时刻起给m一个水平向右的初速度v0，那么在物块与盒子前后壁多次往复碰撞后A．两者的速度均为零B．两者的速度总不会相等C．车的最终速度为mv0/M，向右M＋m），向右D．车的最终速度为mv3. 在同一高度处，将完全相同的两个小球分别水平抛出和自由释放，不计空气阻力．则两球运动过程中（）A．动能变化相同，动量变化不相同B．动能变化不相同，动量变化相同C．动能变化和动量变化都相同D．动能变化和动量变化都不相同4.两名质量相等的滑冰人甲和乙都静止在光滑的水平冰面上．现在，其中一人向另一个人抛出一个篮球，另一人接球后再抛回．如此反复进行几次后，甲和乙最后的速率关系是 A ．若甲最先抛球，则一定是v 甲＞v 乙 B ．若乙最后接球，则一定是v 甲＞v 乙 C ．只有甲先抛球，乙最后接球，才有v 甲＞v 乙 D ．无论怎样抛球和接球，都是v 甲＞v 乙5.如图5—1—2，质量分别为m A 、m B 的木块叠放在光滑的水平面上，在A 上施加水平恒力F ，使两木块从静止开始做匀加速运动，A 、B 无相对滑动，则经过t s ，木块A 所受的合外力的冲量为________，木块B 的动量的增量Δp 为________6．两物体质量之比为m 1∶m 2＝4∶1，它们以一定初速度沿水平面在摩擦力作用下做减速滑行到停下来的过程中（1）若两物体的初动量相同，所受的摩擦力相同，则它们的滑行时间之比为________；（2）若两物体的初动量相同，与水平面间的动摩擦因数相同，则它们的滑行时间之比为________； （3）若两物体的初速度相同，所受的摩擦力相同，则它们的滑行时间之比为________；（4）若两物体的初速度相同，与水平面间的动摩擦因数相同，则它们的滑行时间之比为________．7．甲乙两船自身质量为120 kg ，都静止在静水中，当一个质量为30 kg 的小孩以相对于地面6 m/s 的水平速度从甲船跳上乙船时，不计阻力，甲、乙两船速度大小之比v 甲∶v 乙＝_____．8．鱼雷快艇的总质量为M ，以速度V 前进，快艇沿前进方向发射一颗质量为m 的鱼雷后，快艇速度减为原来的1/3，则鱼雷的发射速度为______（不计水的阻力）．9.（2014·福建卷）一枚火箭搭载着卫星以速率v 0进入太空预定位置，由控制系统使箭体与卫星分离．已知前部分的卫星质量为m 1，后部分的箭体质量为m 2，分离后箭体以速率v 2沿火箭原方向飞行，若忽略空气阻力及分离前后系统质量的变化，则分离后卫星的速率v 1为________．(填选项前的字母)A ．v 0－v 2B ．v 0＋v 2C ．v 0－m 2m 1v 2 D ．v 0＋m 2m 1(v 0－v 2)10.（2014上海）动能相等的两物体A 、B 在光滑水平面上沿同一直线相向而行，它们的速度大小之比12:2:1v v =，则动量之比:A B p p = ；两者碰后粘在一起运动，其总动量与A 原来动量大小之比:A p p = 。
第4章-流体流动守恒原理-讲义1-守恒方程PPT课件
ENGINEERING FLUID MECHANICS
例 4-1 圆管层流的最大速度；例 4-2 搅拌槽出口的溶液浓度
6
工 4 流体流动的守恒原理
程
Sichuan University
流 4.2 质量守恒方程（续2）
体 力 学
(3) 化学反应系统的质量衡算方程
基于千克质量单位：组分i 的质量生成率:
R
i
（kg/s）,
反应物，Ri 生成物，Ri
<0 >0
qm2,iqm1,i Ridm dtcv,i 0
且 Ri 0
基于摩尔质量单位：组分i 的摩尔生成率: R i 用分子量Mi (kg/kmole)遍除上式得
(mole/s)，反 生应 成物 物， ，RRii
< >
0 0
qm 2,iqm 1,i Ridm dtcv,i 0 且 Ri 0
质量流量： dA面上的质量流量:
dqm(vn)dA 其中
(v n) ——质量通量 (vn)dA ——体积流量
输入面的质量流量： A1, vn0, qm1dqm(vn)dA
A1
A1
输出面的质量流量： A2, vn0, qm2dqm(vn)dA
A2
A2
对于控制面： d q m ( v n ) d A ( v n ) d A ( v n ) d A q m 2 q m 1
iiiiiiiiiilimlimlimlimlimmmmmmmmm系统输出控制体的质量流量输入控制体的质量流量控制体内的质量变化率sichuanuniversity控制面上的净输出速率41概述续3流体流动的守恒原理流体流动的守恒原理输出控制体的质量流量输入控制体的质量流量控制体内的质量变化率输出控制体的动量流量输入控制体的动量流量控制体内的动量变化率输出控制体的能量流量输入控制体的能量流量控制体内的能量变化率sichuanuniversity输运方程控制体守恒方程精选42质量守恒方程控制面上的法向速度及质量流量法向速度
0110第五章连续交通流模型
(ku) k [kf (k)] k
xt xtFra bibliotekf (k) k k df k k 0 x dk x t
第一节 守恒方程
[ f (k ) k df ] k k 0 dk x t
f(k)为任意函数，可用格林希尔治速度—密度线性模型
u u f (1 k / k j )
代入上式可以得到：
进一步进行时间离散化，可以得到：
ui
(
j
1)
ui
(
j)
T
[u(ki
(
j)
ui
(
j))]
T i
ui
(
j )[ui1 (
j)
ui
(
j)]
T i
ki1( j) k( ki ( j)
j)
实用的速度动态模型
道路交通流空间平均速 度的动态变化
第二节 动态模型
●上述模型对于车道数目单一，出入匝道无太大进出流量冲击的公路，能够 较精确描述各种不同交通状况以及相互间的转变过程、常发性与偶发性 交通拥挤现象的出现及消除过程。
上式左侧对τ，右侧对△x进行泰勒级数展开，并略去高阶项得到：
u(x,t) du(x,t) u[k(x,t)] du[k(x,t)] k x
dt
dk x
第二节 动态模型
Δx的取值为： x s 1 k
令：
du
dk
同时：
du u u u dt t x
代入前面公式，可得：
u(x,t) du(x,t)
ΔN： ΔN =N2-N1 有如下公式：
N1 / t q1
N 2 / t q2
N / t q
第一节 守恒方程
如果Δx足够短，使得该路段内的密度k保持一致，那么密度增量Δk可表示为：
交通流理论第一章
第一章绪论交通流理论是研究交通流随时间和空间变化规律的模型和方法体系。
多年来，交通流理论在交通运输工程的许多领域，如交通规划、交通控制、道路与交通工程设施设计等都被广泛地应用着，应该说交通流理论是这些研究领域的基础理论。
近些年来，尤其是随着智能运输系统的蓬勃发展，交通流理论所涉及的范围和内容在不断地发展和变化，如控制理论、人工智能等新兴科学的思想、方法和理论已经用于解决交通运输研究中遇到的复杂问题，又如随着计算机技术的发展，模拟技术和方法越来越多地被用来描述和分析交通运输工程的某些过程或现象。
第一节交通流理论的沿革交通流理论的发展与道路交通运输业的发展和科学技术的发展密切相关，在交通运输业发展的不同时期和科学技术发展的不同阶段，对交通流理论的需求和研究能力都不同，因此产生了交通流理论的不同发展阶段。
按照时间顺序，交通流理论可以划分为三个阶段。
创始阶段此阶段被界定为20世纪30年代至第二次世界大战结束。
在此期间，由于发达国家汽车工业和道路建设的发展，需要摸索道路交通的基本规律，以便对其进行科学管理，道路交通产生了对交通流理论的初步需求，需要有人对其进行研究。
此阶段的代表人物为格林希尔治（Bruce D.Greenshields）, 其代表性成果是用概率论和数理统计的方法建立数学模型，用以描述交通流量和速度的关系，并对交叉口交通状态进行调查。
正是由于其奠基性工作，人们常常称格林希尔治为交通流理论的鼻祖。
快速发展阶段此阶段被界定为第二次世界大战结束至20 世纪50 年代末。
在这一阶段，发达国家的公路和城市道路里程迅猛增长，汽车拥有量大幅度上升，此时交通规划和交通控制已经提到日程。
如何科学地进行交通规划和控制，需要交通流理论提供支持。
此阶段的特点是交通流理论获得高速发展，并产生了多个分支和学术上的多个代表人物。
学术分支包括：车辆跟驰（car following ）理论、基于流体力学的交通波理论（traffic wave theory）和排队理论（queuing theory）等。
流体流动中的守恒现象.ppt
不可压缩性流体， Const.
Vs u1 A1 u2 A2 uA 常数
圆形管道 ：
u1 u2
A2 A1
2
d2 d1
即不可压缩流体在管路中任意截面的流速与
管内径的平方成反比 。
由连续性方程可知：连续性方程虽然简单是提示了流速与 截面积的关系，也是下一步计算的基本方程式 不可压缩流体作稳态流动时，有：
讨论：上式中各项的符号？
u2 2
(m / s)2
k
g
m s2mFra bibliotek1 kg
N m kg
J
/
k
g
有一道极其简单的题
h2
h1
流着流着静压能 没了???
u12 2
gZ1
p1
We
u22 2
gZ2
p2
Wf
由于存在摩擦阻力损失，上游的总压头大于下
游的总压头；
u12 2
gZ1
p1
We
u22 2
gZ2
p2
Wf
c.在有外功输入和摩擦阻力损失的情况下，上
游的总压头与下游的总压头之差为：
wf
we g
hf
he
图1-15清楚地表明了理想流体在 流动过程中三种能量形式的转换 关系。从1-1′截面到2-2′截面，由 于管道截面积减小，根据连续性 方程，速度增加，即动压头增大， 同时位压头增加，但因总压头为 常数，因此2-2′截面处静压头减 小，也即1-1′截面的静压头转变 为2-2′面的动压头和位压头。
高中物理竞赛-力学：守恒定律(第一课时)(共43张ppt)
r v
----质点对参考点O
O
的动量矩
大小 L mrv sin
方向 右手螺旋法则
L
O
r v
二、力矩和动量矩定理
L
r
p
1.质点 dL
d
(r
p)
dr
p r dp
又
ddtr
dt
p
v
(mv)
dt
0
dt
dt dL
r
dp
r
F
dt
定义
M
rdtF
----F对参考点的力矩
M
dL ----质点动量矩定理
大小
M
drt
F
rF
sin
dL
r
F
dt
M
r
F
F
dp
dt
Fd
2.质点系 L
Li
ri
pi
dpi dt
i Fi
i fi内
d r F
力臂 O
dL
d (ri pi )
dt i dt
M外 M内
ri
(Fi
fi内)
i F1
m1
F2
内力矩两两相消，即
M内
0
dL
f12 f21 m2
用rc表示质心的位矢
设 M m1 m2 mn mi
定义： rc
i
mi ri
i
m1r1 m2r2
mnrn
M
m1 m2 mn
质量连续分布时
rc
1 m
rdm
在直角坐标系中有
y
r1
O
z
r2
流体流动中的守恒原理详解PPT课件
可编辑
31
y
x
2019/9/20
分析管内流体所受的力:
x 方向上：
P1 A Fx 0 qmu1 Fx P1 A qm u1
y 方向上：
Fy P2 A qmu2 0
Fy P2 A qm u2
重力是 z 方向
可编辑
32
忽略了能量损失
应用动量守恒定律 忽略了管壁对流体的摩擦阻力
1.013105 0.5 9.81 P2,in 14.352
1000
1000 2
故可以发生水的汽化现象。
P2,in 3.2437103 Pa
30o C水 : Pv 4.2474 103 Pa
2019/9/20
可编辑
28
例3：水以60m3/h的流量在一倾斜管中流过，此管的内径由100mm突然扩大 到200mm，A、B两点的垂直距离为0.2m 。在此两点之间连接一U形管压差计， 指示剂为CCl4 ，其密度为1630kg/m3 ，若忽略阻力损失，试求：
可编辑
34
小孔面积 A0上所受的压强为 Pa,其他面积上为 P
2019/9/20
可编辑
35
动量守恒定律与机械能定恒定律的关系:
都从牛顿第二定律出发，都反映了流动液体各运动参数变化 的规律。
机械能守恒定律即实际流体的机械能衡算式，明确地反映出 液体流动过程中能量转换形式和关系。
2 GA 2
uA A 2
u2
2
u2 2
1 u3A
u 3dA
A
u2 2
1 u3A
A
u 3dA
2019/9/20
牛顿定律 守恒定律
讨论
①给出惯性的概念： 维持物体运动状态的原因。 ②给出力的概念： 改变物体运动状态的原因。 ③只适用于惯性参考系
§2－1 牛顿运动定律
伽利略对惯性的研究
伽利略（1564-1642）
§2－1 牛顿运动定律
二 牛顿第二定律
下，其动量随时间的变化率应当等于作用于物体的 合外力．
动量为 p的物体，在合外力 F ( Fi ) 的作用
F ma
§2－1 牛顿运动定律
同时发生。 ③ F 和 a 是瞬时对应关系： ④满足矢量的叠加原理：F F1 F2 F3
⑤直角坐标系和自然坐标系下分量形式：
a a1 a2 a3
dv F ma m dt v2 Fn m an m R
t2
t1
因 f12 f 21 0 ，可得：
t2
t1
( F1 F2 )dt (m1v1 m2 v2 ) (m1v10 m2 v20 )
§2－2 动量定理 动量守恒定律
推广到n个质点：
t2
t1
n n Fi dt mi vi mi vi 0 n i 1 i 1 i 1
dp d(mv) F dt dt
当v c 时， m为常量，
p mv
dv F m ma dt
合外 力
只适用于惯性参考系，宏观、低速运动。
讨论
①定量说明力的效果： 产生 a ，改变物体运动状态。
②定量说明质量是物体惯性大小的量度：m , a t1F1 f12m1
f 21
F2
m2
t2
连续交通流模型
—
〉k
2 m
守恒方程的数值解——应用
• 多车道流体力学模型
q1 x
k1 t
g
Q1
q2 x
k2 t
Q2
q1 x
k1 t
g
Q1
q2 x
k2 t
Q2
k n1 1,m
1 2
(k1n,m1
kn 1,m1
)
t 2x
(q1n,m1
qn 1,m1
)
t 2
(
gn 1,m1
gn 1,m1
)
t 2
(Q1n,m1
k ( x, t )
守恒方程：
q k 0 x t q q(k)
假设路段上没有交通的产生或离去
k q t x
q dq k x dk x
(u k du ) k dk x
d (ku) k dk x
(u k du ) k dk x
k q t x
(u k du ) k dk x
K` 起动密度
交通波理论应用
• 交叉口车辆排队分析
1、孤立交叉口车辆运行状况的分析
U0 K0
停车波
红灯 tr
停车线， 位置X0
U0 K0
排队长度 uf1tr (1 k0 / k j)
停车波 U0 K0
起动波
红 绿灯 tcr-tr
u K1
停车线， 位置X0
排队车辆完全消散时间Td 排队车辆完全通过交叉口时间Ta
u2 u f (12 )
2
1
u2 uf
U2为刚起动时的车速，可忽略
基于对数模型 的交通波模型
u
um
ln
Kj K
波速： wAB
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第一讲守恒律方程及其应用
1、守恒律
2、双曲守恒律方程及基础知识
- 1 -
- 2 -
第一章 守恒律
对于一维空间变量的偏微分方程
0)(=+x t u f u （*）
称为守恒型方程，其中)u ,,(n 21 u u u =是关于t 和x 的n 维矢量函数，称为守恒量，或状态量，如流体力学中的质量、速度和能量等．更精确点就是i u 是第i 个状态变量的密度函数．dx t x u x x i ),(2
1⎰表示该状态量在区间[]21,x x 中t 时刻的总量．我们称这个状态变量是守恒的是指
dx t x u x x i ⎰21),(关于t 是不变
的．))(),(),(()(21n u f u f u f u f =称为流函数． 该守恒方程是由物理定律在任意两点1x 和2x 之间如下形式的积分得到的
)),(()),((),(2121
t x u f t x u f dx t x u dt d x x -=⎰ 表示在区间][21,x x 中的总流量．即
2211(,)((,))x x x x x d u x t dx f u x t dx dt
=⎰⎰ 2
1[(,)((,))]0x t x x u x t f u x t dx -=⎰
（如质量、动量、能量等）的变化仅仅与两端点处的流量有关，这就是守恒的基础，其中))((,1t x u f 和))((,2t x u f 分别表示在1x 和2x 点的流入流出量．
典型守恒律方程，例如：
⎪⎪⎩
⎪⎪⎨⎧==+⋅∇+=∇+⊗⋅∇+=⋅∇+（状态方程）（能量守恒）
（动量守恒）（质量守恒）),,(,0)()(,0)()( ,0)(S f p up uE E p u u u u t t t ρρρρρρρ 其中S e p u ,,,，ρ分别为理想流体的密度、速度、压强、内能和比熵，
e u E +=2||2
1，),,(z y x ∂∂∂=∇，⊗是张量积．
- 3 -
第二章 双曲守恒律方程及基础知识
2.1 间断现象
方程
0)(=+x t u f u （*）
的特征方程为
⎪⎩⎪⎨⎧==0)
(dt
du u dt dx λ （2.1） 其中)()(u f u '=λ.
明显地可以看出，方程的解是),,(u t x 空间内的直线，其平行于),(t x 平面，且其值由特征线所决定．为简单起见，特征线在),(t x 平面上的投影仍称为特征．
设0)(≠'u λ，称其为凸性条件，则方程（*）被称为凸方程．这个问题中映射)(u u λ→是一一对应的，并且方程在),,(u t x 空间中的解曲面与),(t x 平面的特征域具有相同的一一对应关系．
可以证明当且仅当方程在),(t x 平面上的特征域是单值连续变化时，方程的解),(t x u 是单值连续的．
为简单起见，设
0)(>'u λ. （2.2） 对于标量u 考察初值问题
))(()0,(0+∞<<-∞=x x u x u （2.3）
并且求解0>t 时方程（*）/(2.3)的解．很明显，从特征域出发并且由初始条件（2.3）所决定的特征线，在0>t 的半内是单值连续变化的，当且仅当)(0x u 是非减函数.并且解的这种非减的性质不随t 变化，即当连续函数)()0,(0x u x u =是非减的，则函数),(t x u 对任意0>t 也是非减的．这样的解),(t x u 称为稀疏波，用R 表示．
- 4 -
图2-1 )(0x u 是非减的
当)(0x u 是减函数时，例如，存在1x 、2x 点，有))(()(20)(01x u f u f x '>' 那么始于)0,(1x 和)0,(2x 的特征线在p 点相交（0>t ），在p 点解是超定的．因为不同的特征线相交，每一个特征线代表不同的u 值，很容易得到解是不连续的．这种解的不连续问题对应于力学中的激波现象．
图2-2 )(0x u 是非增的
上述结论与f 和)(0x u 是否光滑无关，无论初始条件多么光滑，都会出现不连续解．这是拟线性双曲方程最重要的特征，也是与线性双曲方程最根本的不同．
定理2.1.1 假设)(u f 是定义在R I ⊂上的一条光滑的函数，并且满足凸性条件．那么对于0>t ，当且仅当)(0x u 是非减函数则初值问题（*）/（2.3）的解是一个连续单值解．
引理2.1.2 在定理（2.1.1）的假设条件下，对于0>t ，当)(0x u 是减函数时，间断解)(x u 总会出现．
2.2 黎曼问题
- 5 -
- 6 - 这叫做
中心疏散波，用R
表示(见图)．
图2-3 图2-4。