基于上三角域上的形状控制重心混合有理插值

基于上三角域上的形状控制重心混合有理插值
赵前进;朱六三
【摘要】Barycentric rational interpolation possesses various advantages in comparison with Thiele-type continued fraction, such as good numerical stability, small calculation and arbitrarily high approximation order. At the same time, barycentric rational interpolant had no poles and no unattainable points based on those chosen weights. In this paper, the barycentric-Newton blending rational interpolation was constructed based on the right triangular grid. The optimal model was established by minimizing the Lebesgue constant and using partial derivative, the optimal wights were obtained by solving the optimal model. The method could not only do the interpolation to unknown function but also have effective local control of shape. The numerical example was given to show the effectiveness of the new method.%重心有理插值与Thiele型连分式插值相比，具有数值稳定性好、计算量小、有任意高的逼近阶等优点。

同时，通过选择适当的权可以使得重心有理插值无极点、无不可达点。

基于上三角域上的重心---牛顿二
元混合有理插值，以Lebesgue常数最小为目标函数、偏导数的符号为约束条件
建立了优化模型，求得最优插值权。

此方法不仅可以插值未知函数而且可以有效对形状作局部控制。

数值实例表明了新方法的效果。

【期刊名称】《安徽大学学报（自然科学版）》
【年(卷),期】2014(000)003
【总页数】5页(P1-5)
【关键词】重心有理插值;Lebesgue常数;偏导数;权;形状控制
【作者】赵前进;朱六三
【作者单位】安徽理工大学理学院，安徽淮南 232001;安徽理工大学理学院，安徽淮南 232001
【正文语种】中文
【中图分类】O241
近年来，基于连分式的二元有理插值方法被广泛关注.檀结庆在文献［1－2］中通过对Newton多项式插值和Thiele型连分式插值进行加工，用类似于张量积的方法构造了Newton－Thiele和 Thiele－Newton两种二元混合有理插值.赵前进在文献［3］中通过对插值节点集进行分块，构造了基于块的混合有理插值.但连分式插值会受到可能有不可达点、偏逆差商不存在等瓶颈问题的制约，另外，连分式插值无法避免极点同时又难以控制极点的位置.1945年，Taylor发现了多项式插值的重心公式;1984年Werner给出了重心有理插值方法［4］.利用权的符号可判定重心有理插值在插值区间内的极点个数，通过适当选择权可使重心有理插值避免极点和不可达点［5］.而对于二元重心插值一直存在着图像控制问题，文献［6］作者在矩形域上利用偏导数对图形有效地在y轴单方向上进行形状控制，即y=y0且对x的偏导数大于零(或小于零)时，改变重心权从而有效地调节图像.论文将文献［6］方法应用于上三角域的重心——牛顿复合插值［7］，结合文献［8］中Lebesgue常数最小建立优化模型.给出的实例表明，此方法所得的二元有理插值继承了重心有理插值的计算量小、数值稳定性好、没有极点以及可以避免不可达点等优点，又能有效地对形状进行有效的局部控制.
1 基于上三角网格的重心——牛顿混合插值
网格点分布如下
上述网格点被称作上三角网格，记作SU.
构建有理插值函数
插值函数的构造:
定义
其中
(c)wi(i=0，1，…，n)分别为 x0，x1，…，xn对应的插值权，满足
最优权wi(i=0，1，…，n)可由Lingo优化软件求出.
2 二元重心公式的偏导数
二元重心公式可以写成
或
这样就可以得出偏导数公式［6］
偏导数能作为求权约束条件，能有效地调节双变量重心有理插值形状［1］.
3 基于Lebesgue常数最小的形状控制重心有理插值优化模型
因为重心有理插值取得插值函数是由插值权决定其插值效果，所以就得找到最优权.下面就来建立使用该方法的优化模型.
以插值节点处的权wi(i=0，1，2，…，n)为决策变量，以Lebesgue常数最小，即
最小为目标函数，以有理函数R(x，y)无不可达点、无极点为约束，增加权的规范化约束条件和偏导数符号为约束条件，建立如下优化模型求解最优权
最后使用Lingo优化软件计算出最优权.
4 数值实例
例1 给定上三角域数据如下
记上三角网格上基于Lebesgue常数最小为目标函数用牛顿——重心有理插值为R1(x，y)
令，得到插值函数为R2(x，y);
令，得到插值函数为R(x，y);3
加入偏导数和不加偏导数在y=0.3和y=0.5的形状变化，如图1～3所示.
图1 R1(x，y)Fig.1 R1(x，y)
图2 R2(x，y)Fig.2 R2(x，y)
图3 R3(x，y)Fig.3 R3(x，y)
5 结束语
论文在插值点基于上三角网格的重心——牛顿有理插值法、加以偏导数作为约束条件并利用Lebesgue常数最小为目标函数求得最优权方法，继承了重心有理插值的计算量小、数值稳定性好、没有极点以及可以避免不可达点等优点，由例子图
像可直观看出通过偏导数对上三角域上局部调节效果明显，说明该方法在上三角域上应用是可行的.
参考文献:
［1］ Tan J.Bivariate blending rational interpolants［J］.Approx Theory ＆its Appl，1999，15(2):74-83.
［2］ Tan J，Fang Y.Newton-Thiele's rational interpolants［J］.Numerical Algorithms，2000(24):141-157.
［3］ Zhao Q J，Tan JQ.Block based Newton － like blending rational interpolation［J］.Journal of Computational Mathematics，2006，
24(4):515-526.
［4］ Schneider C，Werner W.Some new aspects of rational interpolation ［J］.Math Comp，1986，175(47):285-299.
［5］ Schneider C，Werner W.Hermite interpolation:the barycentric approach［J］.Computing，1991，46(1):35-51.
［6］ Hoa T N，Annie C，Oliver SC.Shape control in multivariate barycentric rational interpolation［J］.AIP Conf Proc，2010，543:1281. ［7］ Zhao QJ，Du JL.The new bivariate rational interpolation over the triangular grids［J］.Computer Science and Automation Engineering，2012:780-784.
［8］ Zhao O J，Wang B B，Fang X W .Lebesgue constant minimizing shape preserving barycentric rational interpolation optimization algorithm ［J］.Science ＆ Technology Vision，2013(3):30-32.。