高二数学期末质量检测试题卷(理科)

高二数学期末质量检测试题卷（理科）
本试卷分为试题卷和答题卷两部分，解答写在答题卷相应的位置. 全卷共150分，考试时间为120分钟.
一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请把正确答案的代号填在答题卷相应的位置） 1. 1，3，7，15，( )，63，···，括号中的数字应为
A ．33
B ．31
C ．27
D ．57 2.随机变量ξ服从二项分布ξ～()p n B ,，且,200,300==ξξD
E 则p 等于
A. 32
B. 31
C. 1
D. 0
3.△ABC 的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c.若a 、b 、c 成等比数列，且c = 2a ，则cosB=
A ．14 B.34
C.
D.
4.某医疗机构通过抽样调查（样本容量1000n =），利用2×2列联表和2
x 统计量研究患肺
病是否与吸烟有关.计算得2 4.453x =，经查对临界值表知
2( 3.841)P x ≥0.05≈，现给 出四个结论，其中正确的是
A.在100个吸烟的人中约有95个人患肺病
B.若某人吸烟，那么他有95%的可能性患肺病
C.有95%的把握认为“患肺病与吸烟有关”
D.只有5%的把握认为“患肺病与吸烟有关”
5.已知不等式组(1)(2)(3)(4)0(3)()0x x x x x x a ++--<⎧⎨
+->⎩的解集为{|34}x x <<，则a 取值范围为
A ．a ≤－2或a ≥4
B ．－2≤a ≤－1
C ．－1≤a ≤3
D ．3≤a ≤4
6.从5位男教师和4位女教师中选出3位教师，派到3个班担任班主任（每班1位班主任）,要求这3位班主任中男、女教师都要有，则不同的选派方案共有
A ．420 B.360 C.400 D.380
7.在等差数列{an}中，其前n 项和是Sn ，若S15>0，S16<0，则在S1a1，S2a2，…，S15
a15中最大
的是
A.S1a1
B.S8a8
C.S9a9
D.S15
a15
8. △ABC 中，已知∠A=1200，且2
3b c
=，则sinC 为
A.
C.
9．已知a ，b 都是负实数，则b a b
b a a ++
+2的最小值是
A ．65
B ．2(2-1)
C ．22-1
D ．2(2+1)
10．已知点(,)M a b 在由不等式组0,0,2x y x y ≥⎧⎪
≥⎨⎪+≤⎩
确定的平面区域内,则31624+++a b a 的最大值
是
A ．4
B ．524
C ．316
D ．320
二、填空题（本大题共5小题，每题5分，共计25分.请将正确答案填在答题卷相应位置.） 11．若某同学把英语单词“school ”的字母顺序写错了，则可能出现的错误写法共有 种（以数字作答）.
12．在二项式6
12⎪
⎭⎫ ⎝
⎛
-x x 的展开式中，含2x 的项的系数是 . 13．已知f(x)＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6－m 在x ∈[0，π2]上有两个不同的零点，
则m 的取值范围是_____ ___．
14．十六个图钉组成如图所示的四行四列的方阵，从中任取三个图钉， 则至少有两个位于同行或同列的概率为 .
15．定义在(,0)(0,)-∞⋃+∞上的函数()f x ,如果对于任意给定的等比数列
{}{},()n n a f a 仍是等比数列,则称()f x 为“保等比数列函数”.
现有定义在(,0)(0,)-∞⋃+∞上的如下函数:①2
()f x x =;②
()2x f x =;③()||f x x =;④()ln ||f x x =.
则其中是“保等比数列函数”的()f x 的序号为 .
三、解答题（本大题共6小题，共75分。

解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步
骤）
16．(本小题12分) 已知
57
A 56C n n
=，且（1－2x ）n ＝a0＋a1x ＋a2x2＋a3x3＋……＋anxn ．
（1）求n 的值；
（2）求a1＋a2＋a3＋……＋an 的值．
17.( 本小题12分)
设Sn 是正项数列}
{n a 的前n 项和，且
4321412-+=
n n n a a S ，
（1）求数列}
{n a 的通项公式；
（2）
n
n n n n b a b a b a T b +++==Λ2211,2求已知的值.
18. (本小题12分)
在△ABC 中，内角A ，B ，C 对边的边长分别是a ，b ，c ，已知c ＝2，C ＝π
3
.
(1)若△ABC 的面积等于3，求a ，b ；
(2)若sinC ＋sin(B －A)＝2sin2A ，求△ABC 的面积．
19 .( 本小题12分)
盒内有大小相同的9个球，其中2个红色球，3个白色球，4个黑色球．规定取出1个红色球得1分，取出1个白色球得0分，取出1个黑色球得1-分．现从盒内一次性取3个球． （1）求取出的3个球得分之和恰为1分的概率；
（2）设ξ为取出的3个球中白色球的个数，求ξ的分布列和数学期望.
20.（本小题13分）
已知
[]1,1,12)(2
-∈+-=x ax x x f ，记函数)(x f 的最大值为)(a g ，R a ∈． （1）求)(a g 的表达式；
（2）若对一切R a ∈，不等式2
)(a ma a g -≥恒成立，求实数m 的取值范围.
21．（本小题14分）
数列{}n a 的各项均为正值，11a =，对任意*n N ∈，2
1
14(1)n n n a a a +-=+，2log (1)n n b a =+都成立．
（1）求数列
{}n a 、{}n b 的通项公式；
（2）当7k >且*k N ∈时，证明对任意*n N ∈都有12111113
2n
n n nk b b b b ++-++++>L 成立．
高二数学试题参考答案 (理科)
二、填空题（本大题共5小题，每小题5分，共25分.）
11. 359 12. 240 13． [1,2)
14. 3529
15. ①③
三、解答题（本大题共6小题，共75分。

解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤.） 16.解：（1）由
57
A 56C n n
=得：
n （n －1）（n －2）（n －3）（n －4）＝56 ·1234567)
6)(5)(4)(3)(2)(1(⋅⋅⋅⋅⋅⋅------n n n n n n n
即（n －5）（n －6）＝90
解之得：n ＝15或n ＝－4（舍去）．∴ n ＝15． ………………………6分 （2）当n ＝15时，由已知有：（1－2x ）15＝a0＋a1x ＋a2x2＋a3x3＋……＋a15x15， 令x ＝1得：a0＋a1＋a2＋a3＋……＋a15＝－1， ………………………8分
令x ＝0得：a0＝1， ………………………10分
∴a1＋a2＋a3＋……＋a15＝－2． ………………………12分
17.解：（1）n = 1时，
,43
214112111-+=
=a a s a 解得:a1 = 3 (2)
分
又4sn = an2 + 2an －3 ① 4sn －1 =
21
-n a + 2an －3 (n ≥2) ②
①－②得: 4an = an2－2
1
-n a + 2an －2an －1 即
)(212
12=+----n n n n a a a a
∴
)2)((11=--+--n n n n a a a a
2
011=-∴>+--n n n n a a a a Θ（2≥n ） ……4分
}
{n a 数列∴是以3为首项，2为公差之等差数列，
1
2)1(23+=-+=∴n n a n (6)
分 （2）
n
n n T 2)12(252321⋅+++⨯+⨯=Λ ③
又
1
22)12(2)12(232+++⋅-++⨯=n n n n n T Λ ④
④－③得
1
3212)12()222(223++++++-⨯-=n n n n T Λ
112)12(2286++⋅++⨯-+-=n n n
22)12(1
+-=+n n …………………12分
18．解：(1)由余弦定理及已知条件得，a2＋b2－ab ＝4， …………………2分 又因为△ABC 的面积等于3，所以 1
2
absinC ＝3，得ab ＝4. ………………………3分
联立方程组⎩⎪⎨
⎪⎧
a2＋b2－ab ＝4，
ab ＝4，
解得a ＝2，b ＝2. (5)
分
(2)由题意得sin(B ＋A)＋sin(B －A)＝2sinBcosA ，即sinBcosA ＝2sinAcosA ， ……7分 当cosA ＝0时，A ＝π2，B ＝π6，a ＝433，b ＝23
3
， ………………………9分
当cosA≠0时，得sinB ＝2sinA ，由正弦定理得b ＝2a ，联立方程组⎩⎪⎨
⎪
⎧
a2＋b2－ab ＝4，b ＝2a ，
解得a ＝233，b ＝43
3. ………………11分
所以△ABC 的面积S ＝12absinC ＝23
3. (12)
分
20.解：（1）2
21)()(a a x x f -+-=，]1,1[-∈x
⎩⎨
⎧<-≥+=.022,
022)(a a a a a g …………………6分（对一个式子得3分）
（2）当0=a 时，2
)(a ma a g -≥恒成立，R m ∈ ……………………8分
当0>a 时，2
22a ma a -≥+恒成立，即为
22
++
≤a a m 恒成立
∵22
++
a a 的最小值为222+ ∴222+≤m (10)
分
当0<a 时，2
22a ma a -≥-恒成立，即为
22
-+
≥a a m 恒成立
∵22
-+
a a 的最大值为222-- ∴222--≥m (12)
分
综上所述: ]222,222[+--∈m ………………………13分
21.解：（1）由2
1
14(1)n n n a a a +-=+得，11(21)(21)0n n n n a a a a ++++--= ∵数列{}n a 的各项为正值，1210n n a a +++>，
∴
121n n a a +=+ ，整理为112(1)n n a a ++=+. 又1120a +=≠
∴数列{}1n a +为等比数列．∴111(1)22n n
n a a -+=+⋅=，
∴
21n n a =-，即为数列{}n a 的通项公式． …………5分 ∴2log (211)n n
b n =-+= . …………7分 （2）设
12111111111
121n n n nk S b b b b n n n nk ++-=
++++=++++++-L L
∴
11111111
2()()()()
112231S n nk n nk n nk nk n =++++++++-+-+--L (1) …9分 当
0,0x y >>
时，x y +≥
11x y +≥∴
11
()()4
x y x y
++≥
∴
114x y x y +≥
+, 当且仅当x y =时等号成立． ………………11分
上述（1）式中，7k >，0n >，1,2,,1n n nk ++-L
全为正，所以
44444(1)
21122311n k S n nk n nk n nk nk n n nk ->
++++=
+-++-++--++-L
∴2(1)2(1)223
2(1)2(1)1117121k k S k k k n -->
>=->-=++++- . …………14分。