垂径定理练习题4套

1、已知：AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点P，CD＝10cm，AP:PB＝1:5，则⊙O的半径为_______。

2、在⊙O中，P为其内一点，过点P的最长的弦为8cm，最短的弦长为4cm，则OP ＝____ _。

3、已知圆的半径为5cm，一弦长为8cm，则该弦的中点到弦所对的弧的中点的距离为__ _____。

4、已知圆心到圆的两条平行弦的距离分别是2和3，则两条平行弦之间的距离为_ ____。

5、在半径为5cm的圆内有两条互相平行的弦，一条弦长为8cm，另一条弦长为6cm，则这两条弦之间的距离为_____ _。

6、如图，在⊙O中，OA是半径，弦AB＝cm，D是弧AB的中点，OD交AB于点C，若∠OAB＝300，则⊙O的半径____cm。

7、在⊙O中，半径OA＝10cm，AB是弦，C是AB弦的中点，且OC:AC=3:4，则AB=_____。

8、在弓形ABC中，弦AB=24，高CD=6，则弓形所在圆的半径等于。

9．如图，在以O为圆心的两个同心圆中，大圆的弦AB交小圆于C、D两点，AB＝10cm，CD＝6cm，则AC的长为_____。

1、已知：AB 是⊙O 的直径，弦CD ⊥AB 于点P ，CD ＝10cm ，AP:PB ＝1:5，则⊙O 的半径为_______。

2、在⊙O 中，P 为其内一点，过点P 的最长的弦为8cm ，最短的弦长为4cm ，则OP ＝____ _。

3、已知圆的半径为5cm ，一弦长为8cm ，则该弦的中点到弦所对的弧的中点的距离为__ _____。

4、已知圆心到圆的两条平行弦的距离分别是2和3，则两条平行弦之间的距离为_ ____。

5、在半径为5cm 的圆内有两条互相平行的弦，一条弦长为8cm ，另一条弦长为6cm ，则这两条弦之间的距离为_____ _。

6、如图，在⊙O 中，OA 是半径，弦AB ＝310cm ，D 是弧AB 的中点，OD 交AB 于点C ，若∠OAB ＝300，则⊙O 的半径____cm 。

7、在⊙O 中，半径OA ＝10cm ，AB 是弦，C 是AB 弦的中点，且OC:AC=3:4，则AB=_____。

8、在弓形ABC 中，弦AB=24，高CD=6，则弓形所在圆的半径等于 。

9．如图，在以O 为圆心的两个同心圆中，大圆的弦AB 交小圆于C 、D 两点，AB ＝10cm ，CD ＝6cm ，则AC 的长为_____。

10、如图，AB 是⊙O 的直径，CD ⊥AB 于E ，CD=10，BE=1，则AB= 。

11、如图，AB 是⊙O 的直径，CD 为弦，CD ⊥AB 于E ，则下列结论中不一定成立的是（ ）
A ．∠COE ＝∠DOE
B ．CE ＝DE
C ．OE ＝BE
D ．BD =BC
12、如图所示，P 为弦AB 上一点，CP ⊥OP 交⊙O 于点C ，AB ＝8，AP:PB ＝1:3，求PC 的长。

13、如图，在⊙O 中，弦AB 所对的劣弧为圆的31
，圆的半径
为2cm ，求AB 的长。

10题图
6题图
O
A C
D 11题图
C
D
A
O
B
E
O A P B
C
14、如图所示，⊙O 的直径AB和弦CD相交于点E，已知，AE＝6cm，EB ＝2cm，∠CEA＝300，求CD的长。

15、如图所示，在Rt△ABC中，∠C＝900，AC＝3，BC＝4，以点C为
圆心，CA为半径的圆与AB、BC分别交于点D、E，求AB和AD的长。

16、如图所示，⊙O表示一个圆形工件，图中标注了有关尺寸，并且MB:MA
＝1:4，求工件的半径的长。

17、如图，一条公路的转弯处是一段圆弧，点O是的圆心，E为上一点，OE⊥CD，垂足为F．已知CD = 600m，EF = 100m，求这段弯路的半径．
O
A B
M
15cm
8cm
O
A
C
D
E
C
A
B
D
E
C
O
D
E
F
17题图
18、我市某居民区一处圆形地下水管道破裂，修理工人准备更换一段新管道，经测量得到如图所示的数据，修理工人应准备内径多大的管道？若此题只知下面弓形的高和AB 的长，你仍然会做吗？
19、一工厂的厂门是由一个半圆与矩形组成的。

如图所示，AD ＝2.3米，CD ＝2米，现有一辆集装箱卡车要开进工厂，卡车高2.5米，宽1.6米，请你通过计算说明这辆卡车能否通过厂门？
20、某机械传动装置在静止状态时，如图所示，连杆PB 与点B 运动所形成的圆O 交于点A ，测得PA ＝4cm ，AB ＝5cm ，⊙O 半径为4.5cm ，求点P 到圆心O 的距离。

A
B
C
D
21、如图，为了测量圆形工件的直径，在工作台上用边长都为5cm 的两个立方体小木块顶在圆形工件的两侧，测得两木块间的距离AB ＝40cm ，求圆形工件的直径。

若此题把两个小木块换成小圆柱，其直径为5cm ，你还会做吗？
22、如图，为了测量一圆形工件的直径，一同学想利用一宽为1cm 的矩形纸条放在这个圆形工件上，量得AB ＝BC ＝6cm ，DE ＝5cm ，请你帮助分求得该工件的直径的长度。

23、某地有一座圆弧形拱桥，桥下水面宽度为7.2米，拱顶高出水面2.4米。

现有一艘宽3米、船舱顶部为方形并高出水面2米的货船要经过这里，此货船能顺利通过这座拱桥吗？
A
B
M
N
E
F
C
D
垂径定理练习题3
38题
41、如图，在⊙O 中，弦AB
所对的劣弧为圆的3
1
，圆的半径为2cm ，求AB
的长。

42、如图所示，⊙O 的直径AB 和弦CD 相交于点E ，已知，AE ＝6cm ，EB ＝2cm ，∠CEA ＝300
，求CD 的长。

43、如图所示，在Rt △ABC 中，∠C ＝900
，AC ＝3，BC ＝4，以点C 为圆心，CA 为半径的圆与AB 、BC 分别交于点D 、E ，求AB 和AD 的长。

44、如图所示，⊙O 表示一个圆形工件，图中标注了有关尺寸，并且MB:MA ＝1:4，求工件的半径的长。

45、如图，一条公路的转弯处是一段圆弧，点O 是
的圆心，
E 为
上一点，OE ⊥CD ，垂足为F ．已知CD = 600m ，EF = 100m ，
求这段弯路的半径．
O
B
D
C
O A
B
M
15cm
8cm
O
C
D
E C
A D E
C
O
D
E
F
45题图
48、某机械传动装置在静止状态时，如图所示，连杆PB 与点B 运动所形成的圆O 交于点A ，测得PA ＝4cm ，AB ＝5cm ，⊙O 半径为4.5cm ，求点P 到圆心O 的距离。

51、某地有一座圆弧形拱桥，桥下水面宽度为7.2米，拱顶高出水面2.4米。

现有一艘宽3米、船舱顶部为方形并高出水面2米的货船要经过这里，此货船能顺利通过这座拱桥吗？
52、如图所示，⊙O 的直径AB 垂直于弦CD ，AB 、CD 相交于点E ，∠COD=100°，求∠COE ，∠D 的度数
53、如图，AB 为⊙O 的直径，CD 是⊙O 的弦，AB 、CD 的延长线交于点E ，已知AB=2DE ， ∠E=18°，求∠AOC 的度数．
O
A
B
P
A
B
M
N
E
F
C
D
54、如图所示，P为弦AB上一点，CP⊥OP交⊙O于点C，AB＝8，AP:PB＝
1:3，求PC的长。

O A
P
B
C
垂径定理练习题4
垂径定理
一.选择题 ★1．如图1，⊙O 的直径为10，圆心O 到弦AB 的距离OM 的长为3，那么弦AB 的长是（ ） A ．4 B ．6 C ．7 D ．8
★★2．如图，⊙O 的半径为5，弦AB 的长为8，M 是弦AB 上的一个动点，则线段OM 长的最小值为（ ）
A ．2
B ．3
C ．4
D ．5
★★3．过⊙O 内一点M 的最长弦为10 cm ，最短弦长为8cm ，则OM 的长为（ ） A ．9cm B ．6cm C ．3cm D ．cm 41
★★4．如图，小明同学设计了一个测量圆直径的工具，标有刻度的尺子OA 、OB 在O 点钉在一起，并使它们保持垂直，在测直径时，把O 点靠在圆周上，读得刻度OE=8个单位，OF=6个单位，则圆的直径为（ ）
A ．12个单位
B ．10个单位
C ．1个单位
D ．15个单位
★★5．如图，O ⊙的直径AB 垂直弦CD 于P ，且P 是半径OB 的中点，6cm CD ，则直径AB 的长是（ ）
A ．23cm
B ．32cm
C ．42cm
D ．43cm
★★6．下列命题中，正确的是（ ） A ．平分一条直径的弦必垂直于这条直径
B ．平分一条弧的直线垂直于这条弧所对的弦
C ．弦的垂线必经过这条弦所在圆的圆心
D ．在一个圆内平分一条弧和它所对的弦的直线必经过这个圆的圆心
★★★7．如图，某公园的一座石拱桥是圆弧形（劣弧），其跨度为24米，拱的半径为13米，则拱高为( )
A ．5米
B ．8米
C ．7米
D ．53米
★★★8．⊙O 的半径为5cm ，弦AB//CD ，且AB=8cm,CD=6cm,则AB 与CD 之间的距离为( ) A ． 1 cm B ． 7cm C ． 3 cm 或4 cm D ． 1cm 或7cm
★★★9．已知等腰△ABC 的三个顶点都在半径为5的⊙O 上，如果底边BC 的长为8，那么BC 边上的高为( )
A ．2
B ．8
C ．2或8
D ．3 二.填空题
★1．已知AB 是⊙O 的弦，AB ＝8cm ，OC ⊥AB 与C ，OC=3cm ，则⊙O 的半径为 cm ★2．在直径为10cm 的圆中，弦AB 的长为8cm ，则它的弦心距为 cm ★3．在半径为10的圆中有一条长为16的弦，那么这条弦的弦心距等于 ★★4．已知AB 是⊙O 的弦，AB ＝8cm ，OC ⊥AB 与C ，OC=3cm ，则⊙O 的半径为 cm ★★5．如图，⊙O 的直径AB 垂直于弦CD ，垂足为E ，若∠COD＝120°，OE ＝3厘米，则CD ＝ 厘米
O
图 4
E D
C
B
A
★★6．半径为6cm 的圆中，垂直平分半径OA 的弦长为 cm.
★★7．过⊙O 内一点M 的最长的弦长为6cm ，最短的弦长为4cm ，则OM 的长等于 cm ★★8．已知AB 是⊙O 的直径，弦CD ⊥AB ，E 为垂足，CD=8，OE=1，则AB=____________
★★9．如图，AB 为⊙O 的弦，⊙O 的半径为5，OC ⊥AB 于点D ，交⊙O 于点C ， 且CD ＝l ，则弦AB 的长是
★★10．某蔬菜基地的圆弧形蔬菜大棚的剖面如图所示，已知AB ＝16m ，半径OA ＝10m ，则中间柱CD 的高度为 m
★★11．如图，在直角坐标系中，以点P 为圆心的圆弧与轴交于A 、B 两点，已知P(4，2) 和A(2，0)，则点B 的坐标是
答案：(6，0)
★★12．如图，AB 是⊙O 的直径，OD ⊥AC 于点D ，BC=6cm ，则OD= cm
★★13．如图，矩形ABCD 与圆心在AB 上的圆O 交于点G 、B 、F 、E ，GB=10，EF=8，那么AD=
★★14．如图，⊙O 的半径是5cm ，P 是⊙O 外一点,PO=8cm ，∠P=30º,则AB= cm
P
B
A
O
★★★15．⊙O 的半径为13 cm ，弦AB ∥CD ，AB ＝24cm ，CD ＝10cm ，那么AB 和CD 的距离是 Cm
B A P
O y
x
★★★16．已知AB 是圆O 的弦，半径OC 垂直AB ，交AB 于D ，若AB=8，CD=2，则圆的半径为
★★★17．一个圆弧形门拱的拱高为1米，跨度为4米，那么这个门拱的半径为 米 ★★★18．在直径为10厘米的圆中,两条分别为6厘米和8厘米的平行弦之间的距离是 厘米
★★★19．如图，是一个隧道的截面，如果路面AB 宽为8米，净高CD 为8米，那么这个 隧道所在圆的半径OA 是___________米
★★★20．如图，AB 为半圆直径，O 为圆心，C 为半圆上一点，E 是弧AC 的中点，OE 交弦AC 于点D 。

若AC=8cm ，DE=2cm ，则OD 的长为 cm
★★★21．已知等腰△ABC 的三个顶点都在半径为5的⊙O 上，如果底边BC 的长为8，那么BC 边上的高为
★★★22．如图，将半径为2cm 的圆形纸片折叠后，圆弧恰好经过圆心O ，则折痕AB 的长为
★★★23．如图，⊙O 的的半径为5，直径AB ⊥弦CD ，垂足为E ，CD=6，那么 ∠B 的余切值
为_________
三.解答题
★★1．已知⊙O 的弦AB 长为10，半径长R 为7，OC 是弦AB 的弦心距，求OC 的长
O
D A B
Ｏ
Ａ Ｂ
★★2．已知⊙O 的半径长为50cm ，弦AB 长50cm.
求：（1）点O 到AB 的距离；（2）∠AOB 的大小
★★3．如图，直径是50cm 圆柱形油槽装入油后，油深CD 为15cm ，求油面宽度AB
★★4．如图，已知⊙O 的半径长为R=5，弦AB 与弦CD 平行，他们之间距离为7，AB=6求：弦CD 的长．
★★5．如图，已知AB 是⊙O 的直径，CD ⊥AB ，垂足为点E ，如果BE=OE ，AB=12m ，求△ACD 的周长
★★6．如图，已知C 是弧AB 的中点，OC 交弦AB 于点D ．∠AOB=120°，AD=8．求OA 的长
B
C
★★7．已知：如图，AD 是⊙O 的直径，BC 是⊙O 的弦，AD ⊥BC ，垂足为点E ，BC=8，AD=10． 求：（1）OE 的长；
★★★8．如图所示，破残的圆形轮片上，弦AB 的垂直平分线交弧AB 于点C ，交弦AB 于点D 。

已知：AB=24cm ，CD=8cm
（1）求作此残片所在的圆（不写作法，保留作图痕迹）；
（2）求（1）中所作圆的半径.
A C D B
★★★9．如图，⊙O 是△ABC 的外接圆，圆心O 在这个三角形的高AD 上，AB=10，BC=12． 求⊙O 的半径
A
B C E
O ．
★★★10．如图，已知⊙O的半径长为25，弦AB长为48，C是弧AB的中点．求AC的长．
O
A B
C
★★★11．1300 多年前，我国隋代建造的赵州石拱桥的桥拱是圆弧形，它的跨度（弧所对的弦长）为37.4米，拱高（弧的中点到弦的距离，也叫拱形高）为7.2米，求桥拱的半径（精确到0.1米）
★★★12．已知：在△ABC中，AB=AC=10, BC=16.求△ABC的外接圆的半径.
★★★13．本市新建的滴水湖是圆形人工湖。

为测量该湖的半径，小杰和小丽沿湖边选取A 、
B 、
C 三根木柱，使得A 、B 之间的距离与A 、C 之间的距离相等，并测得BC 长为240米，A 到BC 的距离为5米，如图5所示。

请你帮他们求出滴水湖的半径。

★★★15．一根横截面为圆形的下水管道的直径为1米，管内有少量的污水（如图），此时的水面宽AB 为0.6米．
（1）求此时的水深（即阴影部分的弓形高）；
（2）当水位上升到水面宽为0.8米时，求水面上升的高度．
★★★16．已知：如图，AB 是O 的直径，C 是O 上一点，CD ⊥AB ，垂足为点D ，F 是
AC 的中点，OF 与AC 相交于点E ，AC =8 cm ，2EF =cm.
（1）求AO 的长；
A B O
A
B C
D
O
E F
四.证明题
★★1．如图，AB 是⊙O 的弦（非直径），C 、D 是AB 上的两点，并且AC=BD 。

求证：OC=OD
★★2．如图，AB 是⊙O 的弦，点D 是弧AB 中点，过B 作AB 的垂线交AD 的延长线于C ． 求证：AD ＝DC
★★3．已知：如图所示：是两个同心圆，大圆的弦AB 交小圆于CD ，求证：AC=BD
B A
D C O ·
★★★4．如图，AB 、CD 是⊙O 的弦，且AB=CD ，OM ⊥AB ，ON ⊥CD ，垂足分别是点M 、N ， BA 、DC 的延长线交于点P ．
求证：PA=PC
★★★5．已知：如图，点P 是⊙O 外的一点，PB 与⊙O 相交于点A 、B ，PD 与⊙O 相交于C 、D ，AB=CD ．
求证：（1）PO 平分∠BPD ；（2）PA=PC
★★★6． 已知：如图所示，点P 是⊙O 外的一点，PB 与⊙O 相交于点A 、B ，PD 与⊙O 相交于C 、D ，AB=CD .求证：（1）PA=PC ；（2）AE EC
O
B
A
C
D O
D
C P A B。