2010年普通高等学校招生全国统一考试理科数学(全国卷II)

1密码★启用前2010年普通高等学校招生全国统一考试理科数学（全国卷II ）（必修+选修II ）本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，满分150分，考试时间120分钟． 参考公式：如果事件A 、B 互斥，那么()()()P A B P A P B +=+如果事件A 、B 相互独立，那么)(P(A))P(A B P B ⋅=⋅如果事件A 在一次试验中发生的概率是p ，那么n 次独立重复试验中事件A 恰好发生k 次的概率()(1)(0,1,2,)k k n kn n P k C p p k n -=-=… 球的表面积公式24S R π= 其中R 表示球的半径 球的体积公式334V R π=其中R 表示球的半径第I 卷（选择题 共60分）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1. 复数 231i i -⎛⎫=⎪+⎝⎭（ ）A. 34i --B. 34i -+C. 34i -D. 34i +2. 函数1ln(1)(1)2x y x +-=>的反函数是（ ）A. 211(0)x y e x +=->B. 2-11(0)x y e x +=+>C. 211(R)x y ex +=-∈D. 21x y e-=11(R)x x ++∈3. 若变量,x y 满足约束条件1,,325x y x x y -⎧⎪⎨⎪+⎩≥≥≤，则2z x y =+的最大值为（ ）A. 1B. 2C. 3D. 4 4. 如果等差数列{}n a 中，34512a a a ++=，那么127...a a a +++=（ ）A. 14B. 21C. 28D. 355. 不等式2601x x x ---＞的解集为（ ） A. {}2,3x x x -＜或＞ B. {}213x x x -＜，或＜＜ C. {}2113x x x -＜＜，或＜＜}2,3x x x -＜或＞D. {}2113x x x -＜＜，或＜＜ 6. 将标号为1，2，3，4，5，6的6张卡片放入3个不同的信封中．若每个信封放2张，其中标号为1，2的卡片放入同一信封，则不同的放法共有（ ）A. 12种B. 18种C. 36种D. 54种7. 为了得到函数sin(2)3y x π=-的图像，只需把函数sin(2)6y x π=+的图像（ ）2A. 向左平移4π个长度单位B. 向右平移4π个长度单位 C. 向左平移2π个长度单位D. 向右平移2π个长度单位8. ABC ∆中，点D 在边AB 上，CD 平分ACB ∠．若a =CB ，b =，2||,1||==b a ，则=（ ）A. b a 3231+B. b a 3132+C. b a 5453+D. b a 5354+ 9. 已知正四棱锥S ABCD -中，SA =，那么当该棱锥的体积最大时，它的高为（ ）A. 1B.C. 2D. 310. 若曲线12y x -=在点12,a a -⎛⎫ ⎪⎝⎭处的切线与两个坐标轴围成的三角形的面积为18，则a =（ ）A. 64B. 32C. 16D. 811. 与正方体1111ABCD A BC D -的三条棱AB 、1CC 、11A D 所在直线的距离相等的点（ ）A. 有且只有1个B. 有且只有2个C. 有且只有3个D. 有无数个12. 已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=＞＞，过右焦点F 且斜率为(0)k k ＞的直线与C 相交于A B 、两点．若3AF FB =，则k =（ ）A. 1B.C.D. 2第Ⅱ卷（非选择题 共90分）二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中横线上 13. 已知α是第二象限的角，4tan(2)3πα+=-，则tan α ． 14. 若9()a x x-的展开式中3x 的系数是84-，则a = ．15. 已知抛物线2:2(0)C y px p =＞的准线为l ，过(1,0)M线与l 相交于点A ，与C 的一个交点为B ．若AM MB =，则p = ． 16. 已知球O 的半径为4，圆M 与圆N 为该球的两个小圆，AB 为圆M 与圆N 的公共弦，4AB =．若3OM O N ==，则两圆圆心的距离MN = ．三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17. （本小题满分10分）ABC ∆中，D 为边BC 上的一点，33BD =，5sin 13B =，3cos 5ADC ∠=，求AD ．318. （本小题满分12分）已知数列{}n a 的前n 项和n n n n S 3)(2⋅+=．（Ⅰ）求lim nn na S →∞；（Ⅱ）证明：12222312n n a a a n+++…＞．19. （本小题满分12分）如图，直三棱柱111ABC A B C -中，AC BC =，1AA AB =，D 为1BB 的中点，E 为1AB 上的一点，13AE EB =．（Ⅰ）证明：DE 为异面直线1AB 与CD 的公垂线；（Ⅱ）设异面直线1AB 与CD 的夹角为45°，求二面角111A AC B --的大小．20. （本小题满分12分）如图，由M到N的电路中有4个元件，分别标为T1，T2，T3，T4，电流能通过T1，T2，T3的概率都是p，电流能通过T4的概率是0. 9．电流能否通过各元件相互独立．已知T1，T2，T3中至少有一个能通过电流的概率为0. 999．（Ⅰ）求p；（Ⅱ）求电流能在M与N之间通过的概率；（Ⅲ）ξ表示T1，T2，T3，T4中能通过电流的元件个数，求ξ的期望．21. （本小题满分12分）已知斜率为1的直线l与双曲线C：()2222100x ya ba b-=＞，＞相交于B、D 两点，且BD的中点为()1,3M．（Ⅰ）求C的离心率；（Ⅱ）设C的右顶点为A，右焦点为F，17||||=⋅BFDF，证明：过A、B、D三点的圆与x轴相切．4522. （本小题满分12分） 设函数()1x f x e -=-．（Ⅰ）证明：当x ＞-1时，()1xf x x ≥+； （Ⅱ）设当0x ≥时，()1xf x ax ≤+，求a 的取值范围．62010年普通高等学校招生全国统一考试理科试卷（全国卷Ⅱ）（参考答案与解析）一、选择题 1. 答案：A解析：()()i 432i 6i 82i i 68i 1i 3i 1i 32222--=+=-=+-=⎪⎭⎫⎝⎛+-． 本题考查了复数的运算，属容易题． 2. 答案：D解析：解法一：由1>x 及21)-ln(x 1+=y 得R ∈y ， ln ()121-=-y x ，解得1e 1-2y +=x ，即原函数的反函数为()R 1e 1-2x ∈+=x y ． 解法二：反函数的定义域为R ，值域为1>y ，可排除A 、B 、C ． 本题考查了反函数的求法，互为反函数的性质，属容易题． 3. 答案：C解析：由线性约束条件画出可行域．如图所示．当动直线02=-+z y x 经过点)1,1(A 时，y x z +=2取得最大值．其最大值为2×1+1=3．本题考查了简单的线性规划知识和数形结合的思想方法．属容易题． 4. 答案：C解析:由等差数列性质得45433a a a a =++,由1234=a ,得44=a ,所以()28727471721==+=+++a a a a a a ．本题考查了等差数列的性质及求和公式，掌握好性质，将使解题又快又准确，属容易题．5. 答案：C解析：由0162>---x x x 得()()()0123>-+-x x x ，可用数轴标根法解得3>x 或12<<-x ．7本题考查了利用数轴标根法解高次不等式，因式分解正确是关键，属容易题． 6. 答案：B解析：先放1、2的卡片有13C 种，再将3、4、5、6的卡片平均分成两组再放置有222224A ·A C 种，故共有18C ·C 2413=（种）． 本题考查了排列组合的实际应用,后4张平均分成两组时，要除以组数阶乘，此点易出错，属中档题． 7. 答案：B解析:⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛+=⎪⎭⎫ ⎝⎛+=62sin 32sin ,122sin 62sin πx x y πx πx y π，故应向右平移4612ππ=⎪⎭⎫ ⎝⎛--π个长度单位． 本题考查了三角函数的相位变换，注意相位变换只对x 而言，必须将其系数提出来，否则易出错，这是得分的关键，属中等难度题． 8. 答案：B解析：由角平分线的性质得=，即有()()b a -=-==323232．从而()b a b a b 313232+=-+=+=AD CA CD ．故选B ．本题考查了角平分线的性质和向量的基本运算．在三角形中,任意两边所对应的向量均可作为一组基底．应重视基底在解题中的作用．属中等难度题．9. 答案：C解析：设底面的中心为O ，令高为h ，则221222,12h AO AB h AO -⨯==-=．体积()h h h h V 8321223132+-=-⨯⨯=．求导得V ′=822+-h ．由V ′=0得h =2.本题考查棱锥的基本知识和函数的思想方法．体积公式中的31容易漏写而导致错解．计算失误也是导致错解的直接原因．属中等难度题． 10. 答案：A解析：2321--='x y ，切线的斜率2321--=a k ．切线方程为()a x a ay --=---232121．从而直线的横、纵截距分别为3a 、2123-a ．所以三角形的面积2123321-⨯⨯=a a S =2149a ，由184921=a 得a =64.本题考查了直线的方程和导数的基础知识，解题思路清楚．计算失误是导致错解的主要原因．属中档题． 11. 答案：D解析：易得B 1、D 和正方体的中心O 满足题意．排除A 、B 选项．再考察对角线B 1D 上的点，由于直线B 1D 上任意一点到面A 、ADD 1、面D 1DCC 1、面ABCD 的距离相等，利用三垂线定理易证该点到直线AB 、CC 1、A 1D 1的距离相等．故选D ．8本题考查了点到线的距离，空间想象能力和分析问题、解决问题的实践能力．属较难题． 12. 答案：B解析：解法一：由23122=-==ab ac e 得3,32,2c b c a b a ===．由()⎪⎩⎪⎨⎧-==+c x k y c y x ,343222得()061232222=-++c k cky y k ． 设()()2211,,,y x B y x A ，则221412kcky y +-=+①． 22221123kck y y +-=②．由FB AF 3=得213y y -=③． 联立①②③得2=k ．⋅+=-=ααcos 1cos 1e epe ep 其中e 为离心率，p 为焦准距，a 为直线AB 的倾斜角．由=得ααcos 13cos 1e epe ep +=-，解得33cos =α．从而()02t a n >==k k α．本题考查了直线和椭圆的位置关系，考查了分析问题和解决问题的能力．是一道综合题，有难度．二、填空题 13.答案：21-解析：∵tan （π+α2）=tan2α∴tan2α=34-， 又tan2α=αα2tan 1tan 2-且tan α＜0，解得tan α=21-． 本题考查了三角函数中的诱导公式、倍角公式及三角函数值的符号，记准公式是关键，属中等难度题． 14. 答案：1解析：由1+r T =r9C ·rx -9·rx a ⎪⎭⎫ ⎝⎛-=()r r r x a 299C --，令9－2r =3，r =3，有()393C a -=－84，解得a =1.本题考查了二项式定理的应用，准确记忆二项式展开式的通项公式是关键，属容易题． 15. 答案：2解析：过B 、M 分别作准线的垂线，垂足分别为1B 、1M ．由AM =MB 得1BB =21MM =AM =BM ．所以点M 恰为抛物线的焦点，即2p=1，P =2.9利用平面几何知识和抛物线的定义解答较快捷．若利用直线和抛物线的方程求点B 的坐标，再求P 运算量较大．本题是一道综合题，考查了直线和抛物线的位置关系和数形结合的思想，有一定难度． 16.答案：3解析：由已知得∆AOB 为正三角形，其边长为 4.设AB 的中点为1O ，则1OO =23，又OM=ON=3，1O M =1O N =3，所以MN =2×3233⨯=3.本题考查了球的有关知识和空间想象能力．解题的关键是把球的问题转化成圆的问题，再通过解直角三角形完成．本题是一道难题．三、解答题17.答案：由cos ∠ADC =53＞0知B ＜2π． 由已知得cos B =1312，sin ∠ADC =54．（2分） 从而sin ∠BAD =sin(∠ADC －B )=sin ∠ADC ·cos B －cos ∠AD C · sin B=653313553131254=⨯-⨯．（6分） 由正弦定理得BADBDB AD ∠=sin sin ， 所以AD =BADBBD ∠⋅sin sin=653313533⨯=25.（10分） 解析：本题考查了三角公式和利用正弦定理解三角形问题．解题关键是求sin ∠BAD ．计算错误是导致错解的主要原因．本题是一道容易题．18.答案：（Ⅰ）n n n n nn n S SS S a 1lim lim --∞→∞→=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=-∞→n n n S S 11lim10nn n S S 1lim1-∞→-=，（4分）11lim lim1+-=∞→-∞→n n S S n n n n ·3131=，所以32lim=→∞nn n S a ．（6分）（Ⅱ）当n =1时，1211S a ==6＞3；当n ＞1时，222121aa ++…+2na n=2122121S S S -++…+21n S S n n -- =⎪⎭⎫ ⎝⎛-222111·⎪⎭⎫ ⎝⎛-+2213121S ·2S +…+()⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--22111n n ·211n S n +-·n S ＞222n n n n S n+=·n 3＞n3．（10分） 所以，当n ≥1时，222121a a ++…+2n a n＞n 3．（12分） 解析：本题考查了数列极限、由前n 项和求通项及利用放缩法证明数列不等式，同时还考查了转化与化归的数学思想，本题失分之处在于不能合理放缩，故难度较大．19.答案：解法一：（Ⅰ）连结1A B ，记1A B 与1AB 的交点为F ，因为面B B AA 11为正方形，故1A B ⊥1AB ，且AF =1FB ，又AE =13EB ，所以FE =1EB ，又D 为1BB 的中点，故DE ∥BF ，DE ⊥1AB ．（3分）作CG ⊥AB ，G 为垂足，由AC =BC 知，G 为AB 中点． 又由底面ABC ⊥面1AA B B 1，得CG ⊥面1AA B B 1．连结DG ，则DG ∥1AB ，故DE ⊥DG ，由三垂线定理，得DE ⊥CD ．所以DE 为异面直线1AB 与CD 的公垂线．（6分）（Ⅱ）因为DG ∥1AB ，故∠CDG 为异面直线1AB 与CD 的夹角，∠CDG=︒45． 设AB =2，则1AB =22，DG =2，CG =2，AC =3．作H B 1⊥11C A ，H 为垂足．因为底面111C B A ⊥面1AA C C 1，故H B 1⊥面C C AA 11，又作HK ⊥1AC ，K 为垂足，连结K B 1，由三垂线定理，得K B 1⊥1AC ，因此∠KH B 1为二面角111B AC A --的平面角．（9分）11H B 1=32221C 1121121111=⎪⎭⎫ ⎝⎛-⨯C A B A A B A ， 1HC =33C 21211=-H B B ， 1AC =7)3(222=+，HK =7332111=⨯AC HC AA ，tan ∠1411==HKHB KH B ， 所以二面角111B AC A --的大小为arctan 14．（12分）解法二：（Ⅰ）以B 为坐标原点，射线BA 为x 轴正半轴，建立如图所示的空间直角坐标系xyz B -．设2=AB ，则A （2，0，0），1B （0，2，0），D （0，1，0），⎪⎭⎫ ⎝⎛0,23,21E ，又设()c C ,0,1，则()()c B ,1,1,0,2,2,0,21,211-=-=⎪⎭⎫⎝⎛=．（3分）于是0,01=⋅=⋅DC DE A B DE ， 故DC DE A B DE ⊥⊥,1，所以DE 为异面直线1AB 与CD 的公垂线．（6分） （Ⅱ）因为等于异面直线1AB 与CD 的夹角，故︒=⋅451B ， 即4222222=⨯+⨯c ，解得2=c ，故()2,0,1-=AC ． 又()0,2,011==BB AA ，所以()2,2,111-=+=AA AC AC ． 设平面11C AA 的法向量为()z y x ,,=m ， 则0,011=⋅=⋅m m ， 即022=++-z y x 且02=y ． 令2=x ，则0,1==y z ，故()1,0,2=m ．设平面11C AB 的法向量为()r q p ,,=n ，12则0,011=⋅=⋅B n n ， 即022,022=-=++-p p r p p ． 令2=p ，则2=q ，1-=r ，故()1,2,2-=n ．所以151cos =⋅>=<n m n m n m,． 由于><n m,等于二面角111B AC A --的平面角， 所以二面角111B AC A --的大小为1515arccos．（12分） 解析：本题主要考查三垂线定理、线线垂直和二面角的计算．考查空间想象能力及利用向量的坐标运算进行证明和计算的实践能力．利用通性通法解答即可，属中等偏难题．20.答案：记i A 表示事件：电流能通过4,3,2,1,=i i T ．A 表示事件：321,,T T T 中至少有一个能通过电流．B 表示事件：电流能在M 与N 之间通过．(Ⅰ)321321,,,A A A A A A A ⋅⋅=相互独立，()()()()()()33213211p A P A P A P A A A P A P -==⋅⋅=，又()()001.0999.011=-=-=A P A P ，故()9.0,001.013==-p p （4分）（Ⅱ）32143144A A A A A A A A B ⋅⋅⋅+⋅⋅+=，()()32143144A A A A A A A A P B P ⋅⋅⋅+⋅⋅+= ()()()32143144A A A A P A A A P A P ⋅⋅⋅+⋅⋅+= ()()()()()()()()32143144A P A P A P A P A P A P A P A P ++= =0.9+0.1×0.9×0.9+0.1×0.1×0.9×0.9 =0.9891.（8分）（Ⅲ）由于电流能通过各元件的概率都是0.9且电流能否通过各元件相互独立，故ξ~()9.0,4B ，6.39.04=⨯=ξE ．(12分)解析：本题考查了对立事件、相互独立事件的概率以及二项分布，同时还考查了简单的识图能力，运算量较大，易出现计算失误，难度不大，是一道中档题． 21.答案：（Ⅰ）由题设知，l 的方程为2+=x y ．（2分）代入C 的方程，并化简，得()0442222222=----b a a x a x a b．设()11,y x B 、()22,y x D ，则2222221222214,4a b b a a x x a b a x x -+-=⋅-=+，①13由()31，M 为BD 的中点知1221=+x x ，故 1421222=-⨯a b a ，即223a b =，② 故a b a c 222=+=， 所以C 的离心率2==ace ． （Ⅱ）由①、②知，C 的方程为22233a y x =-， ()()0234,2,0,2,0,22121<+-=⋅=+a x x x x a F a A ，故不妨设1x ≤2,x a -≥a ． ()()12212121123322x a a x a x y a x BF -=-+-=+-=， ()()a x a x a x y a x FD -=-+-=+-=222222222223322()()a x x a FD BF --=⋅2122()84524222121++=-++-=a a a x x a x x ． 又17=⋅FD BF ， 故178452=++a a ，解得1=a 或59-=a （舍去）．故2221=-=x x BD ．()6421221=-+x x x x ．连结MA ，则由()()3,1,0,1M A 知3=MA ，从而MD MB MA ==，且x MA ⊥轴，因此以M 为圆心，MA 为半径的圆经过A 、B 、D 三点，且在点A 处与x 轴相切．所以过A 、B 、D 三点的圆与x 轴相切．解析：本题考查了直线、圆、双曲线及其有关知识．考查了弦长和弦中点问题，考查了运算的技巧和能力．综合性较强，运算量较大，是一道难题．22.答案：（Ⅰ）当1->x 时，()x f ≥1+x x当且仅当x e ≥1+x ．令()1e --=x x g x ，则()1e -='x x g ．14当x ≥0时()x g '≥0，()x g 在[)+∞,0是增函数； 当x ≤0时()x g '≤0，()x g 在(]0,∞-是减函数．于是()x g 在x =0处达到最小值，因而当∈x R 时，()x g ≥()0g ，即e x ≥1+x ． 所以当1->x 时, 1)(+≥x xx f ． （Ⅱ）由题设0≥x ,此时0)(≥x f ．当0<a 时，若a x 1->，则01<+ax x ，1)(+≤ax x x f 不成立； 当0≥a 时，令x x f x axf x h -+=)()()(，则1)(+≤ax xx f 当且仅当0)(≤x h ． )()()(1)()()()(x f ax x axf x af x f x axf x af x h -+-=-'+'+='．（i ） 当210≤≤a 时，由（I ）知())(1x f x x +≤， （ii ）()()0)(12)()(1)()()(≤-=-++-≤'x f a x f x f x a x axf x af x h ，()x h 在[)+∞,0是减函数，0)0()(=≤h x h ，即1)(+≤ax xx f ． （ii ）当21>a 时，由（i ）知)(x f x ≥， ())(12)()()()()()()()(x f ax a x f x af x axf x af x f ax x axf x af x h --=-+-≥-+-='，当a a x 120-<<时，()0>'x h ，所以0)0()(=>h x h ，即1)(+>ax xx f ． 综上，a 的取值范围是⎢⎣⎡⎥⎦⎤21,0．解析：本题是一道函数、导数以及不等式证明、解不等式的综合性大题，是一道难题，考查了构造函数、利用导数证明不等式以及解不等式，考查了函数与方程、分类与整合以及转化与化归的数学思想．同时本题作为压轴题，还体现了分层设问的命题特征，亦即有效利用前问的结论，是解决下一问的关键，也是难点所在．。