【湘教版】八年级数学下期末试题(及答案)

一、选择题
1．某三角形三条中位线的长分别为3、4、5，则此三角形的面积为（ ）
A ．6
B ．12
C ．24
D ．48
2．如图，在平行四边形ABCD 中，下列结论错误的是（ ）
A ．∠BDC ＝∠ABD
B ．∠DAB ＝∠DCB
C ．A
D ＝BC
D ．AC ⊥BD 3．如图，平行四边形ABCD 的对角线AC 与BD 相交于点O ，AB AC ⊥，若6AB =，8AC =，则BD 的长是（ ）
A ．10
B ．13
C ．413
D ．12
4．我国古代著作《四元玉鉴》记载“买椽多少”问题：“六贯二百一十钱，倩人去买几株椽．每株脚钱三文足，无钱准与一株椽．”其大意为：现请人代买一批椽，这批椽的价钱为6210文．如果每株椽的运费是3文，那么少拿一株椽后，剩下的椽的运费恰好等于一株椽的价钱，试问6210文能买多少株椽？设这批椽的数量为x 株，则符合题意的方程是（ ）
A ．62103(1)-=x x
B ．621031x =+
C ．621031-=x x
D ．621031x x =+ 5．在一只不透明的口袋中放入红球5个，黑球1个，黄球n 个，这些球除颜色不同外，其它无任何差别．搅匀后随机从中摸出一个恰好是黄球的概率为
13，则放入口袋中的黄球总数n 是（ ）
A ．3
B ．4
C ．5
D ．6
6．从7-、5-、3-、1-、3、6这六个数中，随机抽取一个数，记为k ，若数k 使关于x 的分式方程
3211
k x x +=--的解为非负数，那么这6个数中所有满足条件的k 的值之和是（ ）
A ．4-
B ．0
C ．3
D ．6 7．因式分解x ﹣4x 3的最后结果是（ ） A ．x （1﹣2x ）2
B ．x （2x ﹣1）（2x+1）
C ．x （1﹣2x ）（2x+1）
D ．x （1﹣4x 2）
8．已知211x =
+，则代数式222x x -+的值为（ ） A ．23 B ．22 C ．21 D ．20
9．小明是一位密码翻译爱好者，在他的密码手册中，有这样一条信息：-a b ，x y -，x y +，+a b ，22x y -，22a b -分别对应下列六个字：头、爱、我、汕、丽、美，现将222222()()x y a x y b ---因式分解，结果呈现的密码信息可能是（ ）
A ．我爱美
B ．汕头美
C ．我爱汕头
D ．汕头美丽 10．已知点A 的坐标为（1，3），点B 的坐标为（2，1）．将线段AB 沿某一方向平移后，点A 的对应点的坐标为（﹣2，1）．则点B 的对应点的坐标为（ ）
A ．（5，3）
B ．（﹣1，﹣2）
C ．（﹣1，﹣1）
D ．（0，﹣1） 11．不等式251x -+≥的解集在数轴上表示正确的是（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
12．如图，在等腰△ABC 中，5AB AC ==，6BC =，O 是△ABC 外一点，O 到三边的垂线段分别为OD ，OE ，OF ，且::1:4:4OD OE OF =，则AO 的长度为（ ）
A ．5
B ．6
C ．407
D ．8017
二、填空题
13．如图，平行四边形ABCD 中，AB=8cm ，AD=12cm ，点P 在AD 边上以每秒1cm 的速度从点A 向点D 运动，点Q 在BC 边上，以每秒4cm 的速度从点C 出发，在CB 间往返运动，两个点同时出发，当点P 到达点D 时停止（同时点Q 也停止），在运动以后，以P 、D 、Q 、B 四点组成平行四边形的次数有______次．
14．在ABCD 中，AE 平分A ∠交边CD 于,E BF 平分B 交边CD 于,F 若4,1,AD EF ==则边AB 的长为________________________．
15．如果30,m n --=那么代数式2⎛⎫-⋅ ⎪+⎝⎭
m n n n m n 的值为______________________． 16．若关于x 的分式方程232
x m x +=-的解是正数，则实数m 的取值范围是_________ 17．分解因式：324x xy -=___________________________________．
18．如图，将△ABC 沿BC 方向平移到△DEF ，若A 、D 间的距离为1，CE ＝2，则BF ＝_____．
19．将点()1,2P a a +-向上平移2个单位得到的点在第一象限，则a 的取值范围是____________．
20．如图，∠AOB =30°，点P 在∠AOB 的内部，OP =6cm ，点E 、F 分别为OA 、OB 上的动点，则△PEF 周长的最小值为________cm ．
三、解答题
21．如图，在平行四边形AFCE 中，EF 是对角线，B 、D 是直线EF 上的点，且DE BF =．求证：四边形ABCD 是平行四边形．
22．解答下列两题：
（1）计算：21639
x x --- （2）若不等式组321
x a x <+⎧⎨<-⎩的解集是1x <-，求a 的取值范围． 23．下面是某同学对多项式（x 2－4x+2）（x 2－4x+6）+4进行因式分解的过程． 解：设x 2－4x=y
原式=（y+2）（y+6）+4 （第一步）
= y 2+8y+16 （第二步）
=（y+4）2 （第三步）
=（x 2－4x+4）2（第四步）
回答下列问题：
（1）该同学第二步到第三步运用了因式分解的_______．
A ．提取公因式
B ．平方差公式
C ．完全平方公式
（2）该同学因式分解的结果是否彻底？________．（填“彻底”或“不彻底”），若不彻底，请直接写出因式分解的最后结果_________．
（3）请你模仿以上方法尝试对多项式（x 2－2x ）（x 2－2x+2）+1进行因式分解． 24．如图，一次函数2y x b =+的图像经过点(1,3)M ，且与x 轴，y 轴分别交于,A B 两点．
（1）填空：b = ；
（2）将该直线绕点A 顺时针旋转45至直线l ，过点B 作BC AB ⊥交直线l 于点C ，求点C 的坐标及直线l 的函数表达式．
25．某水果店购买某种水果的进价为18元/千克，在销售过程中有10%的水果损耗，该水果店以a 元/千克的标价出售该种水果．
(1)为避免亏本，求a 的最小值．
(2)若该水果店以标价销售了70%的该种水果，在扣除10%损耗后，剩下的20%水果按10元/千克的价格售完．为确保销售该种水果所得的利润率不低于20%，求a 的最小值． 26．如图，在ABC 中，BC a =厘米，AC b =厘米，AB c =厘米，且a 、b 、c 满足等式2
106(22)0c a c a b -+-+--=．
（1）ABC 是直角三角形吗？请说明理由；
（2）点P 从点B 出发在线段AB 上以1厘米/秒的速度向终点A 运动，设点P 的运动时间
为t （秒）．
①当5t =秒时，求ACP △的面积；
②当BCP 为等腰三角形时，求t 的值．
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一、选择题
1．C
解析：C
【分析】
先根据三角形的中位线定理：三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半，即求出原三角形的边长分别为6、8、10，再根据勾股定理的逆定理判断原三角形的形状，即可根据三角形面积公式求得面积．
【详解】
解：∵三角形三条中位线的长为3、4、5，
∴原三角形三条边长为3264285210⨯=⨯=⨯=，，，
2226810+=，
∴此三角形为直角三角形，
168242
S ∴=⨯⨯=， 故选C ．
【点睛】
本题考查的是三角形的中位线定理、勾股定理的逆定理，属于基础应用题，熟知性质定理是解题的关键．
2．D
解析：D
【分析】
根据平行四边形的性质进行判断即可.
【详解】
∵四边形ABCD 是平行四边形，
∴AB ∥CD ，
∴∠BDC ＝∠ABD ，故选项A 正确；
∵四边形ABCD 是平行四边形，
∴∠DAB＝∠DCB，故选项B正确；
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD＝BC，故选项C正确；
由四边形ABCD是平行四边形，不一定得出AC⊥BD，
故选D.
【点睛】
本题主要考查平行四边形的性质，掌握平行四边形的相关知识点是解答本题的关键．3．C
解析：C
【分析】
由平行四边形的性质得出OB=OD，OA=OC=1
2
AC=4，由AC⊥AB，根据勾股定理求出OB，
即可得出BD的长．
【详解】
解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OB=OD，OA=OC=1
2
AC=4，
∵AB⊥AC，
∴由勾股定理得：
=＝
∴
故选：C．
【点睛】
本题考查了平行四边形的性质、勾股定理；熟练掌握平行四边形的性质，由勾股定理求出OB是解题的关键．
4．A
解析：A
【分析】
根据单价=总价÷数量，结合少拿一株椽后剩下的椽的运费恰好等于一株椽的价钱，即可得出关于x的分式方程．
【详解】
解：∵单价=总价÷数量
所以根据题意得：()6210
31
x
x
-=，
故选：A．
【点睛】
本题考查了由实际问题抽象出分式方程，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键．
5．A
解析：A
【分析】
根据概率公式列出关于n 的分式方程，解方程即可得．
【详解】 解：根据题意可得
51n n ++＝13， 解得：n ＝3，
经检验n ＝3是分式方程的解，
即放入口袋中的黄球总数n ＝3，
故选：A ．
【点睛】
此题考查概率的求法：如果一个事件有n 种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件A 出现m 种结果，那么事件A 的概率P （A ）=m n
． 6．C
解析：C
【分析】
先对分式方程进行求解，即用含k 的代数式表示分式方程的解，然后根据题意可进行求解．
【详解】 解：由3211k x x +=--可得：52
x k =+， ∵分式方程的解为非负数，且1x ≠， ∴
502k +≥且512
k +≠，解得：5k ≥-且3k ≠- ∴满足条件的有5-、1-、3、6，
∴它们的和为51363--++=；
故选C ．
【点睛】 本题主要考查分式方程及一元一次不等式的解法，熟练掌握分式方程及一元一次不等式的解法是解题的关键．
7．C
解析：C
【分析】
原式提取公因式，再利用平方差公式分解即可．
【详解】
原式=x （1﹣4x 2）=x （1+2x ）（1﹣2x ）．
故选C ．
【点睛】
本题考查了提公因式法与公式法的综合运用，熟练掌握因式分解的方法是解答本题的关键．
8．B
解析：B
【分析】
先将多项式因式分解，再将x 的值代入求值.
【详解】
222x x -+=22(1)111)122x -+=-+=，
故选：B.
【点睛】
此题考查了已知式子的值求多项式的值，多项式的因式分解，正确将多项式因式分解是解题的关键.
9．C
解析：C
【分析】
先提取公因式(22x y -)，然后再利用平方法公式因式分解可得.
【详解】
2222222222()()=()()=()()()()x y a x y b x y a b x y x y a b a b -----+-+-
故对应的密码为：我爱汕头
故选：C
【点睛】
本题考查因式分解，注意，当式子可提取公因式时，我们在因式分解中，往往先提取公因式.
10．C
解析：C
【分析】
根据点A 、点A 的对应点的坐标确定出平移规律，然后根据规律求解点B 的对应点的坐标即可．
【详解】
∵A （1，3）的对应点的坐标为（﹣2，1），
∴平移规律为横坐标减3，纵坐标减2，
∵点B （2，1）的对应点的坐标为（﹣1，﹣1），
故选C ．
【点睛】
本题考查了坐标与图形变化﹣平移，平移中点的变化规律是：横坐标右移加，左移减；纵坐标上移加，下移减，本题根据对应点的坐标确定出平移规律是解题的关键． 11．C
解析：C
【分析】
解出不等式，在进行判断即可；
【详解】
251x -+≥，
24x -≥-，
2x ≤，
解集表示为：
；
故答案选C ．
【点睛】
本题主要考查了一元一次不等式的解集表示，准去计算是解题的关键．
12．D
解析：D
【分析】
连接OA,OB,OC ，由OD:OE:OF=1:4:4，设OD=x ，OE=4x ，OF=4x ，根据OE=OF ，得到AO 为∠BAC 的角平分线，再根据AB=AC ，得到AO ⊥BC ，根据三线合一及勾股定理求出AD=4，再根据ABC ABO ACO BCO S S S S =+-△△△△，得到方程求解即可．
【详解】
解：连接OA,OB,OC, 由OD:OE:OF=1:4:4，设OD=x,OE=4x,OF=4x ，
∵OE=OF ，
∴AO 为∠BAC 的角平分线，
又∵AB=AC ，
∴AO ⊥BC ，
∴AD 为△ABC 的中线，
∴A 、D 、O 三点共线，
∴BD=3，
在Rt △ABD 中， 222253AB BD -=-=4，
∴ABC ABO ACO BCO S S S S =+-△△△△
∴12=10x+10x−3x ，
∴x=1217
∴AO=4+
1217=8017. 故选：D ．
【点睛】
本题考查了角平分线的判定及性质，熟知等腰三角形的三线合一、角平分线的判定及三角形的面积公式是解题的关键．
二、填空题
13．3【解析】∵四边形ABCD是平行四边形∴BC=AD=12AD∥BC∵四边形PDQB 是平行四边形∴PD=BQ∵P的速度是1cm/秒∴两点运动的时间为12÷1=12s∴Q 运动的路程为12×4=48cm∴
解析：3
【解析】
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴BC=AD=12,AD∥BC，
∵四边形PDQB是平行四边形，
∴PD=BQ，
∵P的速度是1cm/秒，
∴两点运动的时间为12÷1=12s，
∴Q运动的路程为12×4=48cm，
∴在BC上运动的次数为48÷12=4次．
第一次PD=QB时，12−t=12−4t，解得t=0，不合题意，舍去；
第二次PD=QB时，Q从B到C的过程中，12−t=4t−12，解得t=4.8；
第三次PD=QB时，Q运动一个来回后从C到B，12−t=36−4t，解得t=8；
第四次PD=QB时，Q在BC上运动3次后从B到C，12−t=4t−36，解得t=9.6.
∴在运动以后，以P、D. Q、B四点组成平行四边形的次数有3次，
故答案为3.
点睛：本题考查了平行四边形的判定．注意能求出符合条件的所有情况是解此题的关键，注意掌握分类讨论思想的应用．
14．或【分析】如图：根据题意可以作出两种不同的图形所以答案有两种情况因为在中平分交于点平分交于点所以；则求得的周长【详解】解：如图图①图
②四边形是平行四边形平分平分由图①得：由图②得：为7或9故答案为： 解析：7或9
【分析】
如图：根据题意可以作出两种不同的图形，所以答案有两种情况．因为在ABCD 中，4=AD ，AE 平分DAB ∠交CD 于点E ，BF 平分ABC ∠交CD 于点F ，所以4DE AD CF BC ====；则求得ABCD 的周长．
【详解】
解：如图，
图①
图②
四边形ABCD 是平行四边形，
//AB CD ∴，4BC AD ==，AB CD =，
EAB AED ∴∠=∠，ABF BFC ∠=∠，
AE ∵平分DAB ∠，BF 平分ABC ∠，
DAE BAE ∴∠=∠，CBF ABF ∠=∠，
AED DAE ∴∠=∠，BFC CBF ∠=∠，
AD DE ∴=，BC FC =，
4DE CF AD ∴===，
由图①得：4417CD DE CF EF =+-=+-=，
7AB CD ∴==，
由图②得：4419CD DE CF EF =++=++=，
9AB ∴=，
AB ∴为7或9．
故答案为：7或9．
【点睛】
此题考查了平行四边形的性质：平行四边形的对边平行且相等．还考查了等腰三角形的判定与性质．注意如果有平行线与角平分线，一般会存在等腰三角形．解题时还要注意数形结合思想的应用．
15．【分析】将原式进行分式的混合计算化简先算小括号里面的然后算乘法最后整体代入求值【详解】解：===∵∴故答案为：3【点睛】本题考查分式的混
合运算掌握运算顺序和计算法则正确计算是解题关键
解析：3
【分析】
将原式进行分式的混合计算化简，先算小括号里面的，然后算乘法，最后整体代入求值．
【详解】 解：2⎛⎫-⋅ ⎪+⎝⎭
m n n n m n =22m n n m n n ⎛⎫⋅ ⎪⎭
-+⎝ =()()n n m n
m n m n -⋅++ =m n -
∵30m n --=，∴=3m n -
故答案为：3．
【点睛】
本题考查分式的混合运算，掌握运算顺序和计算法则正确计算是解题关键．
16．且m-4【分析】先解方程求出x=m+6根据该方程的解是正数且x-20列得计算即可【详解】2x+m=3（x-2）x=m+6∵该方程的解是正数且x-20∴解得且x-4故答案为：且m-4【点睛】此题考查分
解析：6m >-且m ≠-4
【分析】
先解方程求出x=m+6，根据该方程的解是正数，且x-2≠0列得60620m m +>⎧⎨
+-≠⎩
，计算即可. 【详解】 232
x m x +=- 2x+m=3（x-2）
x=m+6，
∵该方程的解是正数，且x-2≠0，
∴60620m m +>⎧⎨+-≠⎩
， 解得6m >-且x ≠-4，
故答案为：6m >-且m ≠-4.
【点睛】
此题考查分式的解的情况求字母的取值范围，解题中注意不要忽略分式的分母不等于零的情况.
17．【分析】先提取公因式再用平方差公式分解即可【详解】解：x3-
4xy2=x(x2-4y2)=x(x+2y)(x-2y)故答案为：x(x+2y)(x-2y)【点睛】本题考查了分解因式分解因式要先提取公因
解析：()()22x x y x y +-
【分析】
先提取公因式，再用平方差公式分解即可．
【详解】
解：x 3-4xy 2，
=x(x 2-4y 2)，
=x(x+2y)(x-2y)，
故答案为：x(x+2y)(x-2y)
【点睛】
本题考查了分解因式，分解因式要先提取公因式，再运用公式；注意：分解要彻底． 18．4【分析】根据平移的性质由AD=1得到BE=1CF=1再根据BF=BE+EC+CF 计算即可得到答案；【详解】解：根据平移的性质由AD=1得：BE=1CF=1由∵BF=BE+EC+CF ∴BF=1+2+
解析：4
【分析】
根据平移的性质，由AD=1得到BE=1，CF=1，再根据BF= BE+EC+CF ，计算即可得到答案；
【详解】
解：根据平移的性质，由AD=1得：
BE=1，CF=1，
由∵BF= BE+EC+CF ，
∴BF= 1+2+1=4，
故答案为：4；
【点睛】
本题主要考查了平移的性质，能根据AD=1得到BE=1，CF=1是解题的关键．
19．【分析】根据点的平移规律可得点P （a+1-2a ）向上平移2个单位得到的点的坐标为（a+1-2a+2）再根据第一象限内点的坐标符号可得建立不等式即可求解【详解】解：点P(a+1-2a)向上平移2个单位
解析：11a -<<
【分析】
根据点的平移规律可得点P （a+1，-2a ）向上平移2个单位得到的点的坐标为（a+1，-2a+2），再根据第一象限内点的坐标符号可得建立不等式即可求解．
【详解】
解：点P(a +1，-2a )向上平移2个单位得到的点的坐标为（a +1，-2a +2），
∵点（a +1，-2a +2）在第一象限，
∴10220a a +>⎧⎨-+>⎩
解得：11a -<<，
故答案为11a -<<．
【点睛】
此题主要考查了点的平移，一元一次不等式组，平面直角坐标系等，熟练掌握点的平移规律是解决本题的关键．
20．6【分析】作点P 关于OA 对称的点作点P 关于OB 对称的点连接与OA 交于点E 与OB 交于点F 此时△PEF 的周长最小然后根据∠AOB=30°结合轴对称的性质证明△是等边三角形从而可得答案【详解】解：如图作点
解析：6
【分析】
作点P 关于OA 对称的点1P ，作点P 关于OB 对称的点2P ，连接
1122,,,OP PP OP 12PP 与OA 交于点E ，与OB 交于点F ，此时△PEF 的周长最小，然后根据∠AOB=30°，结合轴对称的性质证明△12OPP 是等边三角形，从而可得答案．
【详解】
解：如图，作点P 关于OA 对称的点1P ，作点P 关于OB 对称的点2P ，连接
1122,,,OP PP OP 12PP 与OA 交于点E ，与OB 交于点F ，此时△PEF 的周长最小．
此时△PEF 的周长就是12PP 的长，
由轴对称的性质可得：12,,POE POE P OF POF ∠=∠∠=∠12OP OP OP ==
()122222,POP POE POF POE POF AOB ∴∠=∠+∠=∠+∠=∠
∵∠AOB=30°，
∴1260POP ∠=︒，
∴△12OPP 是等边三角形．
6OP =，
∴121 6.PP OP OP ===
∴△PEF 周长的最小值是6．
故答案为：6．
本题考查轴对称最短路径问题，关键是确定E ，F 的位置，本题的突破点是证明△12OPP 是等边三角形．
三、解答题
21．见解析
【分析】
连接AC 交BD 于点O ，根据平行四边形的对角线互相平分可得OA=OC ，OE=OF ，然后求出OB=OD ，再根据对角线互相平分的四边形是平行四边形即可证明．
【详解】
连接AC 交BD 于点O ，如图所示：
∵四边形AFCE 是平行四边形，
∴OA=OC ，OE=OF ，
∵DE=BF ，
∴OE+DE=OF+BF ，
即OB=OD ，
∴四边形ABCD 是平行四边形．
【点睛】
本题考查了平行四边形的判定与性质，熟练掌握平行四边形的判定与性质，证出OB=OD 是解题的关键．
22．（1）
13
x +；（2）1a ≥- 【分析】
（1）根据分式通分化简即可；
（2）根据已知条件得到321a +≥-，求解即可；
【详解】 （1）计算：
21639x x ---=163(3)(3)x x x --+-=3(3)(3)x x x -+-=13
x +； （2）由条件得321a +≥-，解得1a ≥-，所以a 的取值范围是1a ≥-； 【点睛】
本题主要考查了分式加减和不等式组的应用，准确计算是解题的关键．
23．（1）C ；（2）不彻底，（x-2)4 ；（3） (x-1)4
【分析】
（1）观察多项式结构发现利用了完全平方公式；
（2）观察发现分解不彻底，最后一步括号里还能利用完全平方公式分解；
（3）类比例题中的方法将原式分解即可．
解：（1）该同学第二步到第三步运用了因式分解的完全平方公式，
故选：C ；
（2）∵x 2－4x+4=（x-2)2 ，
∴该同学因式分解的结果不彻底，最后结果为（x-2)4 ，
故答案为：不彻底，（x-2)4 ；
（3）设x 2－2x=y ，则:
原式=y(y+2)+1
=y 2+2y+1
=(y+1)2
=( x 2－2x+1)2
=(x ﹣1)4．
【点睛】
本题考查利用换元法和公式法进行因式分解，熟记完全平方公式，熟练掌握因式分解的各种方法是解答的关键．
24．（1）1；（2）11,2C ⎛⎫ ⎪⎝⎭，11:36
l y x =
+ 【分析】
（1）直接把点(1,3)M 代入，即可求出b 的值；
（2）先求出直线AB 的解析式，以及点A 、B 的坐标，过点C 作CD ⊥y 轴，垂足为D ，由旋转的性质，则AB=BC ，然后证明△ABO ≌△BCD ，得到BD=AO ，CD=BO ，即可求出点C 的坐标，然后求出直线AC 的解析式即可．
【详解】
解：（1）根据题意，
∵一次函数2y x b =+的图像经过点(1,3)M ，
∴321b =⨯+，
∴1b =，
故答案为：1；
（2）由（1）可知，直线AB 的解析式为：21y x =+，
令x=0，则y=1，
令y=0，则12x =-， ∴点A 为（12-
，0），点B 为（0，1）， ∴OA=12
，OB=1； 由旋转的性质，得AB BC =，
∵BC AB ⊥
∴∠ABC=90°，
过点C 作CD ⊥y 轴，垂足为D ，如图：
∵∠BDC=90°，
∴∠CBD+∠BCD=∠CBD+∠ABD=90°，
∴∠BCD=∠ABD ，
同理，∠CBD=∠BAO ，
∵AB=BC ，
∴△ABO ≌△BCD ，
∴BD=AO=12
，CD=BO=1， ∴OD=11122OB BD -=-
=， ∴点C 的坐标为（1，12
）； 设直线l 的表达式为y mx n =+，
∵直线经过点A 、C ，则
12102m n m n ⎧+=⎪⎪⎨⎪-+=⎪⎩，解得：1316m n ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩
， ∴直线l 的表达式为1136
y x =
+． 【点睛】
本题考查了旋转的性质，全等三角形的判定和性质，一次函数的性质，以及余角的性质，解题的关键是熟练掌握所学的知识，正确作出辅助线，构造全等三角形进行解题． 25．（1）a 的最小值为20；（2）28a ≥．
【分析】
（1）根据只能售出所进商品的110%-，且销售额大于等于进价即可列出不等式，求解即可；
（2）根据70％按照标价a 元/千克出售，20%水果按10元/千克出售，且销售额应该大于等于(120%)18+⨯列出不等式求解即可．
【详解】
解：（1）由题意得：
(110%)18a -≥，
解得20a ≥，即a 的最小值为20；
（2）由题意得:
70%20%10(120%)18a ⋅+⨯≥+⨯，
解得28a ≥．
【点睛】
本题考查一元一次不等式的应用．熟记商品销售时所用的常用公式是解题关键．注意本题与销售了多少千克无关．
26．（1）ABC 是直角三角形，理由见解析；（2）①12ACP S =，②当6t s =或7.2t s =或5t s =时，BPC △为等腰三角形．
【分析】
（1
2
6(22)0a c a b -+--=，可得6,8,10,a b c === 再利用勾股定理的逆定理可得结论；
（2）①当5t s =时，5BP =， 可得,AP BP = 结合90,ACB ∠=︒ 可得1,2ACP BCP ACB S S S == 从而可得答案；②当BCP 为等腰三角形时，分三种情况讨论，当6BP BC ==时，直接可得时间6,t s = 当CP CB =时，如图，过C 作CE AB ⊥于,E 可得,PE BE =再利用 11,22
AB CE AC BC
= 求解 4.8,CE = 3.6,BE == 可得时间7.2,t s = 当PC PB =时，证明5,CP AP BP === 可得5.t s = 从而可得答案．
【详解】 解：（1） 2
6(22)0a c a b -+--=， 10060220c a c a b -=⎧⎪∴-=⎨⎪--=⎩
， 解得：6810a b c =⎧⎪=⎨⎪=⎩
， 2222226810010,a b c ∴+=+=== 90ACB ∴∠=︒，
∴ ABC 是直角三角形．
（2）①当5t s =时，5BP =，
1055,AP ∴=-=
,AP BP ∴=
90,ACB ∠=︒ 1116812.222
ACP BCP ACB S S S ∴===⨯⨯⨯= ②当BCP 为等腰三角形时，分三种情况讨论，
当6BP BC ==时，66.1t s == 当CP CB =时，如图，过C 作CE AB ⊥于,E
,PE BE ∴=
由11,22
AB CE AC BC = 68 4.8,10
CE ⨯∴== 22226 4.8 3.6,BE BC CE ∴=-=-=
27.2,PB BE ∴==
7.27.2.1
t s ∴== 当PC PB =时，
,PBC PCB ∴∠=∠
90,ACB ∠=︒
90,ACP BCP A ABC ∴∠+∠=︒=∠+∠
,A ACP ∴∠=∠
,AP CP ∴=
5,CP AP BP ∴===
55.1
t s ∴== 综上：当6t s =或7.2t s =或5t s =时，BPC △为等腰三角形．
【点睛】
本题考查的是算术平方根的非负性，勾股定理及勾股定理的逆定理，等腰三角形的判定与性质，掌握以上知识是解题的关键．。