数理统计引言及4.1总体与样本(课件)

P X 1 x1P X 2 x2 ... P X n xn
F ( x1 ) F ( x2 ) ... F ( xn )
F ( xi )
i 1
14
n
(1) 若总体X 是连续型的 X ~ f ( x ) 由于 X 1 , X 2 ,..., X n 与总体 X 有相同的分布, 所以
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设总体X的分布函数为 F ( x )
故 因 X 1 , X 2 ,..., X n 都与总体同分布， X 1 , X 2 ,..., X n 的分布函数也是 F ( x ) 故样本 ( X 1 , X 2 ,..., X n ) 的分布函数为：
F ( x1 , x2 , ..., xn ) P X 1 x1 , X 2 x2 , ..., X x n n
6. 顺序统计量 设 ( X 1 , X 2 ,..., X n ) 是来自总体X的样本, 将各分量 按由小到大的次序排列成
X (1) X ( 2) X ( 3) ... X ( n )
称 ( X (1) , X ( 2) ,..., X ( n ) ) 为样本的一组 顺序统计量.
称为样本的极差.
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三、枢轴量 定义 设 ( X 1 , X 2 ,..., X n ) 是来自总体X的样本,
如果函数 g( X 1 , X 2 ,..., X n ; ) 中仅包含总体的一个 未知参数θ并且 g( X 1 , X 2 ,..., X n ; ) 的分布已知,
则称 g( X 1 , X 2 ,..., X n ; ) 为枢轴量. 设总体X的分布中 含有未知参数θ,为了估计θ, 需构造一个包含θ的样本函数 g( X 1 , X 2 ,..., X n ; ) 其分布已知.
X 1 ~ f ( x1 ) X 2 ~ f ( x2 ) ... X n ~ f ( xn )
由于 X 1 , X 2 ,..., X n 相互独立,所以 ( X 1 , X 2 ,..., X n ) 的 联合密度函数为 f ( x , x , ..., x ) f ( x ) f ( x )... f ( x )
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P X 1 ai1 , X 2 ai2 , ... , X n ain




p2

§4.2 统计量 定义4.3 设 ( X 1 , X 2 ,..., X n )是来自总体X的样本, 称 X 1 , X 2 ,..., X n 任一不含未知参数 的函数, g( X 1 , X 2 ,..., X n ) 为统计量.
观测值.
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二、常用的统计量 设 ( X 1 , X 2 ,..., X n )是来自总体X的样本,
1.样本均值
1 n 1 X X 1 X 2 ... X n X i n i 1 n
2.样本方差
未修正样本方差
1 n 2 S ( Xi X ) n i 1
数理统计的基础知识
1
1. 某电视机厂全年生产的电视机， 设X为任一 电视机的寿命，X 服从什么分布？ 在任意一个小时内 通过的车辆 2.某个交通路口， 数为X，X 服从什么分布？
3.某汽车在高速公路上行驶, 任一时刻的速度 为X, X 服从什么分布？ 4.有一大批工业产品,其中有正品和次品,从中 X 服从0—1 分布: 任取一件,记 该产品为正品 0 1 1
X 0
该产品为次品
X ~ q p 其中参数 p ?
2
数理统计 就是研究怎样有效地收集、整理和 分析, 带有随机性的数据, 以便对所考察的问题 作出推断和预测, 直至为采取一定的决策和行动 提供依据和建议. 这种由局部观察来对总体下结论 必须建立在 科学的方法基础上,否则就会犯错误.数理统计的
抽样应满足下面两个条件: (1)随机性: 总体中的每一个个体 有同等的机会 被抽到. (2)独立性:每次抽取的结果,不受其它抽取结果
的影响,也不影响其它抽取结果. 满足以上两个条件的抽样 称为简单随机抽样 简单随机样本 X 1 , X 2 ,..., X n 一定相互独立, 且每个
X 1 , X 2 ,..., X n 都与总体 X 有相同的分布.
1 2 n
1
2
n
(2) 若总体X 是离散型的,其概率分布为 由于X 1 , X 2 ,..., X n与X同分布, 独立,所以
X P a1 p1 a2 ... ... an pn ... ...
P X 1 ai1 P X 2 ai ... P X n ain pi pi ... pi 1 2 n 2
5
1.抽样分布 是进行统计推断的基础理论部分. 2. 参数估计 假设总体的分布类型已知,估计其中的参数. 3. 假设检验 对总体的分布或分布中的参数提出假设,讨论 怎样利用 样本信息 对假设作出成立与否的判断. 4. 回归分析 根据样本信息,对两个或两个以上 随机变量 之间的相互关系, 进行统计推断.
X (1) min( X 1 , X 2 ,..., X n ) 称为样本极小值; X ( n ) max( X 1 , X 2 ,..., X n ) 称为样本极大值; X ( n ) X (1) max( X 1 , X 2 ,..., X n ) min( X 1 , X 2 ,..., X n )
为总体, 并把随机变量 ( 或随机向量 ) X的分布 7 称为总体分布.
总体中所含个体的数量 称为总体容量. 容量有限的总体 称为有限总体; 容量无限的总体 称为无限总体;
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说明: 也可以是 表示总体的X 既可以是随机变量， 随机向量. 如果只关心每一个体的 一项数量指标， 则总体是随机变量； 如果关心两项 或两项以上 数量指标， 则总体就是随机向量. 但为简化讨论， 本书只考察 一项数量指标的情形, 因此, 今后总体 都是随机变量.
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二、样本与样本分布
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从总体X中 随机抽取n个个体 X 1 , X 2 ,..., X n 这n个 个体 称为总体X的 一个容量为 n 的样本, n称为 样本容量. 由于X1 , X 2 ,..., X n是从总体X中随机抽取出来的 可能 结果,所以样本 X 1 , X 2 ,..., X n 是n个随机变量, 通常 也把它们看成一个 n 元随机向量 X 1 , X 2 ,..., X n 但当一次抽样实现后,它们就变成了n个具体的 数值: x1 , x2 ,..., xn 称它们为样本值 或样本观测值. 每当提到总体 X 的 一个容量为n的样本时, 常有 双重意义:一是指某次抽取的具体数值,即样本值 x1 , x2 ,..., xn 有时泛指 一次抽取的可能结果,这时 11 是指样本随机变量 X1 , X 2 ,..., X n
g( X 1 , X 2 ,..., X n ; ) ~ 已知分布
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§4.3 常用的统计分布
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一、分位数 定义4.4 设随机变量X 的分布函数为 F ( x ) 对给定 的实数α, ( 0 1) 如果实数 F 满足条件 P{ X F } 则称 F 为X的分布的 水平α的上侧分位数. P{ X F } P X F 1


( X i X ) X 2 2 X X X 2 i i i 1
2 n 2 n n 2 n 2
n
i1
n

2 1 n X i 2 X X i X X i 2 n X X i n X i 1 i 1 i 1 n i 1 i 1
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§4.1 总体与样本 一、总体与总体分布 总体：研究的对象的全体 构成的集合. 个体：组成总体的每一个成员. 统计学中关心的不是每个个体的 所有特性, 而仅仅关心它的某一项 或某几项 数量指标. 数量指标. 用X表示每个个体的 这一项（几项） 总体是一个随机变量.( 或随机向量 ) 总体的分布 称为总体分布. 定义4.1 统计学中 称随机变量( 或随机向量 )X
5.样本k阶中心矩
1 n Bk X i X n i 1


k
k 2,3,... 2 1 n 2 S0 B2 X i X n i 1


1~5 统称为矩统计量, 简称为样本矩. 它们都可表为样本的显式函数.
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5.样本k阶中心矩
1 n Bk X i X n i 1
ห้องสมุดไป่ตู้


k
k 2,3,...
k 1 时， 1 1 n 1 n Xi X n Xi X n i 1 i 1





1 X 1 X X 2 X ... X n X n
1 1 X 1 X 2 ... X n n X X 1 X 2 ... X n X n n X X 0 21
X i 2n X n X X i 2 n X 2 i 1
2
2
n
2
n
i 1
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1 样本方差 S n 1
2
X
n i 1
i
X

2
1 n 2 ( Xi X ) 3.样本标准差 S n 1 i 1 1 n k k 1,2,... 4.样本k阶原点矩 Ak X i n i 1 1 n 1 A1 X i X n i 1
由于统计量 g ( X 1 , X 2 ,..., X n ) 中不含未知参数, 对样本 X 1 , X 2 ,..., X n 的一次观测值 x1 , x2 ,..., xn 就可以算出 g( x1 , x2 ,..., xn )
g ( x1 , x2 ,..., xn ) 称为统计量 g ( X 1 , X 2 ,..., X n ) 的