数理统计PPT课件
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概率论与数理统计ppt课件
04
理解基本概念和原理
做大量练习题，培养解题能力
05
06
阅读相关书籍和论文，拓宽知识面
02
概率论基础
概率的基本概念
试验
一个具有有限个或无限个 可能结果的随机试验。
事件
试验中的某些结果的总称 。
概率
衡量事件发生可能性的数 值，通常表示为0到1之间 的实数。
必然事件
概率等于1的事件。
不可能事件
概率等于0的事件。
01 点估计
用样本统计量估计总体参数，如用样本均值估计 总体均值。
02 区间估计
给出总体参数的估计区间，如95%置信区间。
03 估计量的性质
无偏性、有效性和一致性。
假设检验
假设检验的基本思想
先假设总体参数具有某种 特性，然后通过样本信息 来判断这个假设是否合理 。
双侧检验
当需要判断两个假设是否 相等时，如总体均值是否 等于某个值。
连续型随机变量
取值无限的随机变 量。
方差
衡量随机变量取值 分散程度的数值。
03
数理统计基础
总体与样本
总体
研究对象的全体。
抽样方法
简单随机抽样、分层抽样、系统抽样等。
样本
从总体中随机抽取的一部分个体，用于估 计和推断总体的特性。
样本大小
样本中包含的个体数量，需要根据研究目 的和资源来确定。
参数估计
单因素方差分析
单因素方差分析的定义
单因素方差分析是方差分析的一种形式，它只涉及一个实验因素。通过对不同组的均值进行比 较，可以确定这个因素对实验结果的影响是否显著。
单因素方差分析的步骤
单因素方差分析通常包括以下步骤：首先，对实验数据进行分组；其次，计算每组的均值；接 着，计算总的均值和总的变异性；然后，计算组间变异性和组内变异性；最后，通过比较这两 种变异，得出因素的显著性。
概率论与数理统计完整ppt课件
化学
在化学领域，概率论与数理统计被用于研究化学反应的速率和化 学物质的分布，如化学反应动力学、量子化学计算等。
生物
在生物学中，概率论与数理统计用于研究生物现象的变异和分布， 如遗传学、生态学、流行病学等。
在工程中的应用
通信工程
01
概率论与数理统计在通信工程中用于信道容量、误码率、调制
解调等方面的研究。
边缘分布
对于n维随机变量(X_1,...,X_n)，在概 率论中，分别定义了X_1的边缘分布 、...、X_n的边缘分布。
04
数理统计基础
样本与抽样分布
01
02
03
总体与样本
总体是包含所有可能数据 的数据集合，样本是总体 的一个随机子集。
抽样方法
包括简单随机抽样、分层 抽样、系统抽样等。
样本分布
描述样本数据的分布情况 ，如均值、中位数、标准 差等。
参数估计与置信区间
参数估计
利用样本数据估计总体的 未知参数，如均值、方差 等。
点估计
用样本统计量作为总体参 数的估计值。
置信区间
给出总体参数的一个估计 区间，表示对总体的参数 有一个可信的估计范围。
假设检验与方差分析
假设检验
通过样本数据对总体参数提出 假设，然后根据假设进行检验
01
定义
设E是一个随机试验，X，Y是定义在E上，取值分别为实数的随机变量
。称有序实数对(X，Y)为一个二维随机变量。
02
分布函数
设(X，Y)是一个二维随机变量，对于任意实数x,y，二元函数
F(x,y)=P({X<=x,Y<=y})称为二维随机变量(X,Y)的分布函数。
03
边缘分布
对于二维随机变量(X,Y)，在概率论中，分别定义了X的边缘分布和Y的
在化学领域，概率论与数理统计被用于研究化学反应的速率和化 学物质的分布，如化学反应动力学、量子化学计算等。
生物
在生物学中，概率论与数理统计用于研究生物现象的变异和分布， 如遗传学、生态学、流行病学等。
在工程中的应用
通信工程
01
概率论与数理统计在通信工程中用于信道容量、误码率、调制
解调等方面的研究。
边缘分布
对于n维随机变量(X_1,...,X_n)，在概 率论中，分别定义了X_1的边缘分布 、...、X_n的边缘分布。
04
数理统计基础
样本与抽样分布
01
02
03
总体与样本
总体是包含所有可能数据 的数据集合，样本是总体 的一个随机子集。
抽样方法
包括简单随机抽样、分层 抽样、系统抽样等。
样本分布
描述样本数据的分布情况 ，如均值、中位数、标准 差等。
参数估计与置信区间
参数估计
利用样本数据估计总体的 未知参数，如均值、方差 等。
点估计
用样本统计量作为总体参 数的估计值。
置信区间
给出总体参数的一个估计 区间，表示对总体的参数 有一个可信的估计范围。
假设检验与方差分析
假设检验
通过样本数据对总体参数提出 假设，然后根据假设进行检验
01
定义
设E是一个随机试验，X，Y是定义在E上，取值分别为实数的随机变量
。称有序实数对(X，Y)为一个二维随机变量。
02
分布函数
设(X，Y)是一个二维随机变量，对于任意实数x,y，二元函数
F(x,y)=P({X<=x,Y<=y})称为二维随机变量(X,Y)的分布函数。
03
边缘分布
对于二维随机变量(X,Y)，在概率论中，分别定义了X的边缘分布和Y的
概率论与数理统计课件(共199张PPT)
P(An|A1A2…An-1).
33
例3. r只红球○ t只白球○
每次任取一只球观 察颜色后, 放回, 再 放回a只同色球
在袋中连续取球4次, 试求第一、二次取到红球且 第三、四次取到白球的概率.
34
(三) 全概率公式和贝叶斯公式:
1. 样本空间的划分
定:义 若 B 1,B 2, ,B n一组事 : 件
计算条件概率有两种方法:
1. 公式法：
先计P算(A)P, (AB然 ), 后按公式计算
P(B| A) P(AB.) P(A)
31
2. 缩减样本空间法：
在A发生的前提下, 确定B的缩减样本空间, 并在其 中计算B发生的概率, 从而得到P(B|A). 例2. 在1, 2, 3, 4, 5这5个数码中, 每次取一个数码, 取 后不放回, 连取两次, 求在第1次取到偶数的条件下, 第2
B
A S
(1) AB
8
2.和事件:
AB{x|xA或xB}称 为 A与B的 和 事 . 件
即AB,中 至 少 有 一 ,称个 为 A与 发 B的生,和 记AB.
可 列 个A1事 , A2,件 的 和 事 件 记 Ak. 为
k1
3.积事件： 事件A B={x|x A 且 x B}称A与B的积，
即事件A与B同时发A生. A B 可简记为AB.
i1
1i jn
P(A i A j Ak )
1i jkn
(1)n1 P(A1 A 2 A n ).
27
例4. 设P(A)=p, P(B)=q, P(AB)=r, 用p, q, r表示下列事 件的概率:
( 1 ) P ( A B ) (; P ( 2 A B ) ( ) ; P ( 3 A B ) ) (; ( 4 A B )
33
例3. r只红球○ t只白球○
每次任取一只球观 察颜色后, 放回, 再 放回a只同色球
在袋中连续取球4次, 试求第一、二次取到红球且 第三、四次取到白球的概率.
34
(三) 全概率公式和贝叶斯公式:
1. 样本空间的划分
定:义 若 B 1,B 2, ,B n一组事 : 件
计算条件概率有两种方法:
1. 公式法：
先计P算(A)P, (AB然 ), 后按公式计算
P(B| A) P(AB.) P(A)
31
2. 缩减样本空间法：
在A发生的前提下, 确定B的缩减样本空间, 并在其 中计算B发生的概率, 从而得到P(B|A). 例2. 在1, 2, 3, 4, 5这5个数码中, 每次取一个数码, 取 后不放回, 连取两次, 求在第1次取到偶数的条件下, 第2
B
A S
(1) AB
8
2.和事件:
AB{x|xA或xB}称 为 A与B的 和 事 . 件
即AB,中 至 少 有 一 ,称个 为 A与 发 B的生,和 记AB.
可 列 个A1事 , A2,件 的 和 事 件 记 Ak. 为
k1
3.积事件： 事件A B={x|x A 且 x B}称A与B的积，
即事件A与B同时发A生. A B 可简记为AB.
i1
1i jn
P(A i A j Ak )
1i jkn
(1)n1 P(A1 A 2 A n ).
27
例4. 设P(A)=p, P(B)=q, P(AB)=r, 用p, q, r表示下列事 件的概率:
( 1 ) P ( A B ) (; P ( 2 A B ) ( ) ; P ( 3 A B ) ) (; ( 4 A B )
高等数学与工程数学课件第十章数理统计基础.ppt
14.70，15.21，14.90，14.91，15.32，15.32， 假设滚珠直径总体分布的方差为0.05，问能否认为这一批滚珠
的平均直径为15.25 mm? ( 0.05) 解 提出原假设： 0 15.25，
由于方差已知，故选统计量
U X 0 ~ N (0,1) n
由P{|U | } P{U } P{U } 1 () () 2 2 () 0.05 .
由P{ 2
2}
2
0.025， 2
~
2 (15)，查表得2
27.5，
由P{ 2
1}
1
2
0.975， 2
~
2 (15)，查表得1
6.26.
故 2的95%的置信区间为
15
0.00244，15 27.5
0.00244 6.26
即 [0.0013，0.0058] .
二、假设检验的方法
假设检验的一般步骤如下： (1) 提出原假设 H0，明确所要检验的对象， (2) 构造合适的统计量 ， (3) 求出临界值，确定拒绝域，
6
9.05.
S2 1 6 5 i1
2
Xi X
1 0.052 0.252 0.052 0.252 0.152 0.152
5
0.035.
返回
4、解： X N u， 2 且已知 2
选取统计量
U
X
n
该统计量服从标准正态分布，即：U N 0，1.
ห้องสมุดไป่ตู้
返回
机变量
X1，X
，
2
，X n 的函数称为样本函数，若样本函
数不含未知参数且是连续的，我们称之为统计量.(不含
未知参数的样本函数叫统计量.)
的平均直径为15.25 mm? ( 0.05) 解 提出原假设： 0 15.25，
由于方差已知，故选统计量
U X 0 ~ N (0,1) n
由P{|U | } P{U } P{U } 1 () () 2 2 () 0.05 .
由P{ 2
2}
2
0.025， 2
~
2 (15)，查表得2
27.5，
由P{ 2
1}
1
2
0.975， 2
~
2 (15)，查表得1
6.26.
故 2的95%的置信区间为
15
0.00244，15 27.5
0.00244 6.26
即 [0.0013，0.0058] .
二、假设检验的方法
假设检验的一般步骤如下： (1) 提出原假设 H0，明确所要检验的对象， (2) 构造合适的统计量 ， (3) 求出临界值，确定拒绝域，
6
9.05.
S2 1 6 5 i1
2
Xi X
1 0.052 0.252 0.052 0.252 0.152 0.152
5
0.035.
返回
4、解： X N u， 2 且已知 2
选取统计量
U
X
n
该统计量服从标准正态分布，即：U N 0，1.
ห้องสมุดไป่ตู้
返回
机变量
X1，X
，
2
，X n 的函数称为样本函数，若样本函
数不含未知参数且是连续的，我们称之为统计量.(不含
未知参数的样本函数叫统计量.)
数学数理统计PPT课件
b}P{anpnnpbnp}
npq npq npq
(bnp)(anp)
npq
npq
-25-
例 某单位有200台电话分机，每台分机有5%的时间
要使用外线通话。假定每台分机是否使用外线是相互 独立的，问该单位总机要安装多少条外线，才能以 90%以上的概率保证分机用外线时不等待？
解：设有X部分机同时使用外线，则有 X~B(n,p), 其 n 2 中 p 0 0 0. n ,0 1 p 5 n 0 ,- , p p ( 3 ) .0 1 .8 设有N 条外线。由题意有 P{XN}0.9
去掉，代之以 （Markov） 大数定律
1
n2
D n k1
Xk
n0
-11-
二 随机变量的收敛性
定义1 设 X1,X2,,Xn, 为一列随机变量，如果
存在常数 a使得对于任意的 0, 有
ln i P m X n a 1
则称 X n 依概率收敛于 a, 记为 Xn Pa
定义2 设 X1, X2, ,为一列随机变量,X是随机变量
准备工作
1) 切比雪夫不等式
设 X为一随机变量, 其数学期望 E( X )和方差 D( X )
都存在，则对于任意 0, 有
PXE(X) 22
2) A.L.Cauchy－Schwarz不等式.
设 r.v (X ,Y) ，满足 EX 2 , EY 2 则有
E(XY)2 EX2EY2
-3-
贝努里（Bernoulli） 大数定律
n i1
Xi
b}P{ani1
Xi n bn
}
n
n
n
(bn)(an)
n
n
-20-
概率论与数理统计-五大数定理-PPT
5
300
P
Xi 0
i 1
n
10
n
P
300
Xi
i 1
5
0
2
2 2 2 2 1 0.9544
15
德莫威尔—拉普拉斯定理
设在独立实验序列中，事件A 在各次实验中发生的概率为
p0 p 1， 随机变量 表Yn示事件A 在n 次实验中发生的次
数，则有
lim
n
P
Yn
Ai 表示“在第 i 次试验中，事件A发生”。
n
Bn Ai 而 P( Ai ) p
i 1
P(Bn )
P n Ai i1
1
P
n i 1
Ai
1 P
A1
A2 An
1 P A1 P A2 P An 1 (1 p)n
显然，当n 时，P(Bn ) 1. [注] 小概率事件尽管在个别试验中不可能发生，但在大量试验
X1 , X 2的, 算, X术n平均值：
X n 的数学期望是：EX n
1 n
n i 1
EX i
X n 的方差为：
DX n
1 n2
n
DX i
i 1
1 n
X n n i1 X i
∴若方差一致有上界，则
DX n
1 n2
nK
K n
由此，当
n
充分大时，
随机变量
X
分散程度是很小的，
n
也就是说， X n的值较紧密地聚集在它的数学期望 EX n的附近.
P200 (6)
26 6!
e2
0.012
此概率很小，据小概率事件的实际不可能性原理，
∴不能相信该工厂的次品率不大于0.01。
300
P
Xi 0
i 1
n
10
n
P
300
Xi
i 1
5
0
2
2 2 2 2 1 0.9544
15
德莫威尔—拉普拉斯定理
设在独立实验序列中，事件A 在各次实验中发生的概率为
p0 p 1， 随机变量 表Yn示事件A 在n 次实验中发生的次
数，则有
lim
n
P
Yn
Ai 表示“在第 i 次试验中，事件A发生”。
n
Bn Ai 而 P( Ai ) p
i 1
P(Bn )
P n Ai i1
1
P
n i 1
Ai
1 P
A1
A2 An
1 P A1 P A2 P An 1 (1 p)n
显然，当n 时，P(Bn ) 1. [注] 小概率事件尽管在个别试验中不可能发生，但在大量试验
X1 , X 2的, 算, X术n平均值：
X n 的数学期望是：EX n
1 n
n i 1
EX i
X n 的方差为：
DX n
1 n2
n
DX i
i 1
1 n
X n n i1 X i
∴若方差一致有上界，则
DX n
1 n2
nK
K n
由此，当
n
充分大时，
随机变量
X
分散程度是很小的，
n
也就是说， X n的值较紧密地聚集在它的数学期望 EX n的附近.
P200 (6)
26 6!
e2
0.012
此概率很小，据小概率事件的实际不可能性原理，
∴不能相信该工厂的次品率不大于0.01。
概率论与数理统计基本概念及抽样分布PPT课件
~
2 (n1 ),
2 2
~
2 (n2 ), 且它们相互独立，
则
2 1
2 2
~
2 (n1
n2 )
《概率统计》
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结束
4. 2分布的百分位点
对给定的α（0＜α＜1）
（1）称满足
P{ 2
2
(n)}
，即
f ( y)dy
x2 ( n)
的点为 2分布的上100α百分位点。
f(y)
（2）称满足
注：在研究中，往往关心每个个体的一个(或几个)数量指标和 该数量指标在总体中的分布情况. 这时，每个个体具有的数量 指标的全体就是总体.
或，总体：研究对象的某项数量指标的值的全体.
《概率统计》
某批 灯泡的 寿命
该批灯泡寿命的 全体就是总体
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结束
为推断总体分布及各种特征，按一定规则从总体中抽取若 干个体进行观察试验，以获得有关总体的信息，这一抽取过程 为 “抽样”.
( x)
（1）称满足条件 P{X＞Xα} =α，
α
即
( x)dx
X
的点Xα为N(0，1)分布的上100α百分位点.
X1－α
0
由于 P{X X } 1 记 －Xα= X1－α
（2）称满足条件 P {| X | X }
2
2
的点 X 为N(0，1)分布的双侧100α百分位点.
X
2
则
E(X )
E(1 n
n i 1
Xi)
1 n
n i 1
E(Xi )
1 n
n
D(X ) D(1 n
n i1
Xi)
第六章.ppt数理统计
用频率近似概率
例：从鱼塘里捞一条鱼,这条鱼为鲤鱼的概率?
重复捞取鱼1000次，每次捞一条,有100次左右是鲤鱼,
近似认为再捞一次鱼是鲤鱼的概率为10%。
用频率近似概率
3、主观定义 人们根据经验和所掌握的信息对事件发 生的可能性给以主观的估计。
例：本拉登活着的概率；估计自己能考上大学 的概率；上一个新项目能否赚钱的概率。
（3）不可能事件：每次试验必然不会发生的事件 称为不可能事件。
上例中，观察正反面正面出现的次数为3次——这一事件为不可
能事件
二、事件的关系和运算
（1）包含——事件A发生必然导致B发生， A包含于B
例：抛两个硬币，观察正反面情况：可能结果：①1正2 反，②1反2正，③12全正，④12全反四个基本事件。
解：P（A）=40%，P（B）=50%，P（AB）=30%， P（A+B）=40%+50%-30%=60%； P（A/B）（抽一个公司，已知它进行销售预测，那么它研究 广告效果的概率）=P（AB）/P（B）=30%/50%=60%。 P（B/A）（已知这个公司研究广告效果，那么它进行销售 预测的概率是多少）=P（AB）/P（A）=30%/40%=75%。
（二）概率的运算法则
1、加法公式
两个互斥事件A、B，P（A+B）=P（A）+P（B） A、B互斥（A、B没有交集），P（A+B）（A、B至少 一个发生的概率）=P（A）+P（B）
2、乘法公式
（1）条件概率（事件B已经发生的条件下 事件A发生的概率）。 P（A/B）=P（AB）/P（B）
例：将一枚硬币掷两次，观察出现正反面的情况，设事件 A为“至少一次为正面”，事件B为“两次掷出同一面”， 现在来求已知事件A已经发生的条件下事件B发生的概率 P（B/A）。 解：S={正正、正反、反正、反反}， A={正正、正反、反正}， B={正正，反反}， A已经发生（抛两次硬币后，知道至少有一次正面）， 那么掷出同一面的概率是1/3。
例：从鱼塘里捞一条鱼,这条鱼为鲤鱼的概率?
重复捞取鱼1000次，每次捞一条,有100次左右是鲤鱼,
近似认为再捞一次鱼是鲤鱼的概率为10%。
用频率近似概率
3、主观定义 人们根据经验和所掌握的信息对事件发 生的可能性给以主观的估计。
例：本拉登活着的概率；估计自己能考上大学 的概率；上一个新项目能否赚钱的概率。
（3）不可能事件：每次试验必然不会发生的事件 称为不可能事件。
上例中，观察正反面正面出现的次数为3次——这一事件为不可
能事件
二、事件的关系和运算
（1）包含——事件A发生必然导致B发生， A包含于B
例：抛两个硬币，观察正反面情况：可能结果：①1正2 反，②1反2正，③12全正，④12全反四个基本事件。
解：P（A）=40%，P（B）=50%，P（AB）=30%， P（A+B）=40%+50%-30%=60%； P（A/B）（抽一个公司，已知它进行销售预测，那么它研究 广告效果的概率）=P（AB）/P（B）=30%/50%=60%。 P（B/A）（已知这个公司研究广告效果，那么它进行销售 预测的概率是多少）=P（AB）/P（A）=30%/40%=75%。
（二）概率的运算法则
1、加法公式
两个互斥事件A、B，P（A+B）=P（A）+P（B） A、B互斥（A、B没有交集），P（A+B）（A、B至少 一个发生的概率）=P（A）+P（B）
2、乘法公式
（1）条件概率（事件B已经发生的条件下 事件A发生的概率）。 P（A/B）=P（AB）/P（B）
例：将一枚硬币掷两次，观察出现正反面的情况，设事件 A为“至少一次为正面”，事件B为“两次掷出同一面”， 现在来求已知事件A已经发生的条件下事件B发生的概率 P（B/A）。 解：S={正正、正反、反正、反反}， A={正正、正反、反正}， B={正正，反反}， A已经发生（抛两次硬币后，知道至少有一次正面）， 那么掷出同一面的概率是1/3。
概率论与数理统计ppt课件
称这种试验为等可能概型(或古典概型)。
*
例1：一袋中有8个球，其中3个为红球，5个为黄球，设摸到每一球的可能性相等，从袋中不放回摸两球， 记A={恰是一红一黄}，求P(A)． 解：
（注：当L>m或L<0时，记 ）
例2：有N件产品，其中D件是次品，从中不放 回的取n件， 记Ak＝{恰有k件次品}，求P(Ak)． 解：
*
第四章 随机变量的数字特征 4.1 数学期望 4.2 方差 4.3 协方差及相关系数 4.4 矩、协方差矩阵 第五章 大数定律和中心极限定理 5.1 大数定律 5.2 中心极限定理 第六章 数理统计的基本概念 6.1 总体和样本 6.2 常用的分布
*
第七章 参数估计 7.1 参数的点估计 7.2 估计量的评选标准 7.3 区间估计 第八章 假设检验 8.1 假设检验 8.2 正态总体均值的假设检验 8.3 正态总体方差的假设检验 8.4 置信区间与假设检验之间的关系 8.5 样本容量的选取 8.6 分布拟合检验 8.7 秩和检验 第九章 方差分析及回归分析 9.1 单因素试验的方差分析 9.2 双因素试验的方差分析 9.3 一元线性回归 9.4 多元线性回归
解： 设 Ai={ 这人第i次通过考核 }，i=1,2,3 A={ 这人通过考核 }，
亦可：
*
例：从52张牌中任取2张，采用(1)放回抽样，（2）不放 回抽样，求恰是“一红一黑”的概率。
利用乘法公式
与 不相容
（1）若为放回抽样：
（2）若为不放回抽样：
解： 设 Ai={第i次取到红牌}，i=1,2 B={取2张恰是一红一黑}
①
②
①
1 2 N
①
②
1 2 N
……
数理统计ppt课件
解 5卷选集在5个位置上的任一种排列，是一个基本 事件，因此，所有可能的基本事件总数(即样本空间中 的基本事件总数)为5！。
设A={第1卷放在最左边}, B={从左到右正好按卷号排 成。12345},则A包含的基本事件总数为1×4!，B包含的基 本事件总数为1。从而，P(A)=4!/5!，P(B)=1/5!。
n 件,问其中恰有 k(k D) 件次品的概率是多少?
解 在N件产品中抽取n件的所有可能取法共有
N n
种,
在 N 件产品中抽取n件,其中恰有k 件次品的取法
共有
D N D种, k n k
于是所求的概率为 p D N D N . k n k n
16
例 5（分房问题） 有 n 个人，每个人都以同样的概 率 1/N 被分配在N(n N) 间房中的每一间中，试求 下列各事件的概率：
则称这类试验的数学模型为古典概型。
2
２. 古典概型中事件概率的计算公式
设随机试验E为古典概型，其样本空间Ω及 事件A分别为：
Ω={ω1，ω2，…，ωn} A={ωi1，ωi2，…，ωik} 则随机事件 A 的概率为：
P( A) k 事件A中包含的基本事件数
n
中的基本事件总数
3
3. 古典概型的基本模型:摸球模型
1.3 古典概型
一、古典概型的概念 二、例题选讲
三、小结
1
一、古典概型
1. 定义 若一个随机试验(Ω,F, P )具有以下两个特征：
(1) 样本空间的元素(基本事件)只有为有限个， 即Ω={ω1，ω2，…，ωn}；
(2) 每个基本事件发生的可能性是相等的， 即 P(ω1)=P(ω2)=…=P(ωn)。
故
P( A)
设A={第1卷放在最左边}, B={从左到右正好按卷号排 成。12345},则A包含的基本事件总数为1×4!，B包含的基 本事件总数为1。从而，P(A)=4!/5!，P(B)=1/5!。
n 件,问其中恰有 k(k D) 件次品的概率是多少?
解 在N件产品中抽取n件的所有可能取法共有
N n
种,
在 N 件产品中抽取n件,其中恰有k 件次品的取法
共有
D N D种, k n k
于是所求的概率为 p D N D N . k n k n
16
例 5（分房问题） 有 n 个人，每个人都以同样的概 率 1/N 被分配在N(n N) 间房中的每一间中，试求 下列各事件的概率：
则称这类试验的数学模型为古典概型。
2
２. 古典概型中事件概率的计算公式
设随机试验E为古典概型，其样本空间Ω及 事件A分别为：
Ω={ω1，ω2，…，ωn} A={ωi1，ωi2，…，ωik} 则随机事件 A 的概率为：
P( A) k 事件A中包含的基本事件数
n
中的基本事件总数
3
3. 古典概型的基本模型:摸球模型
1.3 古典概型
一、古典概型的概念 二、例题选讲
三、小结
1
一、古典概型
1. 定义 若一个随机试验(Ω,F, P )具有以下两个特征：
(1) 样本空间的元素(基本事件)只有为有限个， 即Ω={ω1，ω2，…，ωn}；
(2) 每个基本事件发生的可能性是相等的， 即 P(ω1)=P(ω2)=…=P(ωn)。
故
P( A)
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随机试验的例
E1: 抛一枚硬币，分别用“H” 和“T” 表示出正面和反 面,
观察正反面出现的情况; E2: 将一枚硬币连抛三次，观察正反面出现的情况； E3:将一枚硬币连抛三次，观察正面出现的次数; E4:掷一颗骰子，观察可能出现的点数； E5: 记录某网站一分钟内受到的点击次数； E6:在一批灯泡中任取一只，测其寿命; E7:任选一人，记录他的身高和体重 。
4.差事件(p4) ：A－B称为A与B的差事件。A－B发生 事件A发生而B不发生
何时A-B=? 何时A-B=A？
5. 互斥的事件(p4) ：AB＝ ，表示事件A与B 不可能同时发生。
6. 互逆的事件(p4) 若AB＝ Ω, 且AB＝ ，称A与B 互为逆事件. 表示A,B不可能同时发生， 但必有一个发生。
0.5069
K. Pearson 12000
6019
0.5016
K. Pearson 24000
12012
0.5005
实践证明：当试验次数n增大时， fn(A) 逐渐 趋向一个稳定值。可将此稳定值记作P(A)， 作为事件A的概率. 此为概率的统计定义.
两者的关系
※概率是频率的稳定值; ※频率是概率的反映, 用频率去解释概率.
练习
1.在分别标有1,2,3,4,5,6,7,8的八张卡片中任取一张，
设事件A为“抽得一张标号不大于4的卡片”,事件B为 “抽得一张标号为偶数的卡片”,事件C为“抽得一张标号 为奇数的卡片”,请具体写出下面各事件:
A B ,A,B B ,A B ,B A ,B,B C C
AB{1,2,3,4,6,8}, AB{2,4},B{1,3,5,7}C AB{1,3},BA{6,8},BC , BCS
第一章 概率论基本概念
一.随机事件及其运算 二.概率的定义及其运算 三.条件概率 四.事件的独立性
§1 随机试验
定义
对随机现象的观察，称为随机试验。简称试验。 随机试验的特点(p2 ) 1.可在相同条件下重复进行； 2.试验结果可能不止一个,但能明确所有的可能结果; 3.试验前无法确定是哪个结果会出现。 随机试验可表为E
E i 个事件的关系表示下列事件:
A=“至少一个项目可按期完成” B=“所有项目都可按期完成” C=“没有一个项目可按期完成” D=“仅地区1的项目可按期完成” E=“三个项目中只有一项可按期完成” F=“或仅地区1的项目按期完成或仅另两个项目按期完成”
§3 频率与概率(P6)
某人向目标射击， 以A表示事件“命中目标”，
例如: P(A)=0.8,则应理解为在观察A而做的2000 次试验中,事件A的出现次数应在1600次左右.
概率的公理化定义(p8)
1933年，前苏联科学家柯尔摩哥洛夫，给出了 概率的公理化定义
注
任何事件均对应着样本空间的某个子集.
例1 E4: 掷一颗骰子，考察可能出现的点数。
Ω4={1,2,3,4,5,6}; A=“掷出偶数点”
B=“掷出大于4的点
”
={2，4，6}
={5，6}
定义
C=“掷出奇数点”={1，3，5}
样本空间的子集称为随机事件。
事件A发生当且仅当子集A中的某个样本点出现。 几个特殊事件: 必然事件Ω 、不可能事件、 基本事件{ω}(p3)
P（A）=？
定义 (p5) 在相同条件下, 进行n次试验，在这
n次试验中事件A发生的次数nA，称为事件A发 生的频数，比值nA/n称为事件A发生的频率，
记为fn(A). 即 fn(A)＝ nA/n.
频率的性质(p6)
(1) 0 fn(A) 1； (2) fn(Ω)＝1； fn( )=0 (3) 可加性：若A1,A2,······,Ak两两不相容，则
A的对立事件 A， 记易作见ABAB
事件的运算(p5)
1、交换律：AB＝BA，AB＝BA 2、结合律：(AB)C＝A(BC)，
(AB)C＝A(BC) 3、分配律：(AB)C＝(AC)(BC)，
(AB)C＝(AC)(BC) 4、对偶(De Morgan)律：
ABAB, ABAB
可推 广 Ak Ak, Ak Ak.
fn(A1∪A2∪···∪Ak)＝ fn(A1) +···+fn(Ak). (4) 随机波动性。 (5) 当n充分大时，具有稳定性。
历史上曾有人做过试验,试图证明抛掷匀质硬币时， 正反面的机会均等。
实验者 De Morgan
n 2048
nH 1061
fn(H) 0.5181
Buffon
4040
2048
§2 样本空间、随机事件(P2)
定义
1、样本空间：试验的所有可能结果所组成的集合称 为样本空间，记为Ω={ω}；
2、样本点: 试验的每一个结果或样本空间的每个元素 称为一个样本点,记为ω.
EX 给出E1-E7的样本空间
定义 试验中可能出现也可能不出现的情况叫“随机事件”，
简称“事件”(P3)。记作A、B、C等。
练习
2. 请叙述下述事件的对立事件: (1)A=“掷二枚硬币,皆为正面” (2)B=“射击三次,皆命中目标” (3)C=“加工四个产品,至少有一个正品”
答案:(1) “掷二枚硬币,至少出现一次反面” (2) “射击三次,至少有一次没有命中” (3) “加工四个产品,皆为次品”
练习
3. 某建筑公司在三个地区各承建一个项目,定义如下三个事件: = “地区i的项目按合同可按期完成”, i=1,2,3, 用这三
事件间的关系
1.包含关系(p3) AB “A发生必导致B发生”。 A＝B AB且BA.
2.和事件： (p4)“事件A与B至少有一个发生” AB发生
n
2’n个事件A1, A2,…, An至少有一个发生
A发i 生
i1
3. 积事件(p4) :A与B同时发生 AB＝AB发生 3’n个事件A1, A2,…, An同时发生 A1A2…An发生
k
k
k
k
例2 甲、乙、丙三人各向目标射击一发子弹，以A、 B、C分别表示甲、乙、丙命中目标，试用A、B 、C的运算关系表示下列事件：
A1 :“至少有一人命中目标 ”: A 2 :“ 恰 有一 人 命中 目 标” : A 3 :“ 恰 有两 人 命中 目 标” : A4 :“最多有一人命中目标 ”: A5 :“ 三 人均 命 中目 标 ” : A6 :“ 三 人均 未 命中 目 标” :