应用数理统计

§1-2 数理统计的基本概念
一、总体与样本
总体：是指对某一问题的研究对象的全体. 亦称母体。 在数理统计中，总体就是具有确定分布的随机变量。 所以总体通常表示为随机变量的概率分布F(x) 或概率 密度 f(x)。
个体：组成总体的每个研究对象。
一个个体是随机变量的一次观测值。
概率统计
§1-2 数理统计的基本概念
§1-2 数理统计的基本概念
注：样本二阶中心矩与样本方差的区别：
~ 2 n 1 2 S S n
样本矩与总体矩之间的关系：
只要总体的r阶矩存在，则样本小于等于r的
各阶矩依概率收敛到总体的各阶矩。
概率统计
§1-3 抽样分布
抽样分布 —— 统计量的分布. 几种常用的统计统计分布
2 (一 ) 分布 设X1, …, Xn是来自总体N(0, 1)的样
§1-2 数理统计的基本概念
样本值与样本空间：样本(X1, …, Xn)每次抽样得到
的观察值(x1,…, xn) 称为样本值，样本值的集合称为
样本空间。
样本的联合概率分布与密度：
F x1 , , x n F x i
i 1 n n
数理统计的任务
由样本
推断总体
f x1 , , x n f x i
n1=10, n2=25 n1=10, n2=5
3、t 分布只存在k<n阶矩。
概率统计
§1-3 抽样分布
(三) F分布 设 X ~ 2 (m ) , Y ~ 2 (n) , 并且X, Y 相互独立, 则称随机变量
X /m F Y /n 服从自由度为(m,n)的F分布.
记为F ~ F(m, n).
概率统计
§1-3 抽样分布
F分布的概率密度为
本, 则称统计量
X1 X 2 X n 2 服从自由度为n的 分布. 2 2 ~ ( n) . 记为
2 2 2
2
概率统计
§1-3 抽样分布
2分布的概率密度为
n 1 1 x/2 2 x e , n / 2 2 ( n / 2) 2 x0 ( x; n) 其它 0, f (x)
三、统计量
定义：设X1, …, Xn是来自总体X的一个样本, 称不包含
参数的实值函数 T＝φ(X1, …, Xn) 是一个统计量.
统计量是一个随机变量。如： 样本均值
样本方差
概率统计
1 n X Xi n i 1 1 n 2 2 S ( X X ) i n 1 i 1
§1-2 数理统计的基本概念
2 ( n 1 ) / 2
,
t
h(t)
n=∞(正态) n=10
n=1
0
t
概率统计
§1-3 抽样分布
T 分布的特点： 1、其概率密度函数是偶函数。当n>30时， t 分 布与标准正态分布非常接近；当n 趋于无穷大 时，t 分布趋于标准正态分布。
2、t 分布的尾重比正态分布大。
* 1
§1-2 数理统计的基本概念
经验分布与理论分布的关系（Glivenko定理）： 经验分布Fn(x) 以概率1关于x 一致收敛到 理论分布F(x)，即
P lim sup Fn x F x 0 1 n x
概率统计
§1-2 数理统计的基本概念
概率统计
i 1
§1-2 数理统计的基本概念
二、经验分布与理论分布
理论分布＝总体分布 经验分布＝样本分布 经验分布的构建：将样本(X1, …, Xn)的n 个观察值 x1,…, xn 由小到大排列为，x * , , x * ，则相应的 1 n 样本分布为
概率统计
0, x x k * * Fn x , x k x x k 1 n * 1 , x x n
mn 2 m m g( x; m , n) m n n n 2 2 ψ ( y) 0, x
m 1 2
m 1 n
x

mn 2
, x0 其它
样本标准差
n 1 2 S S2 ( X X ) i n 1 i 1
四、样本矩
样本k阶(原点)矩
1 n k Mk Xi , n i 1
k 1,2,
样本k阶中心矩 样本二阶中心矩
概率统计
1 n ( X i X )k , k 1,2, Mk n i 1 ~2 1 n S ( X i X )2 M2 n i 1
2
概率统计
§1-3 抽样分布
(二 )
t分布
设X~N(0, 1), Y ~ 2 ( n) , 并且X, Y独立, 则称随机变量
X t Y /n
服从自由度为n的t分布. 记为t ~ t(n).
概率统计
§1-3 抽样分布
t分布的概率密度为
[( n 1) / 2] x t ( x; n) 1 n n ( n / 2 )
样本：从总体中随机抽取的若干个个体。 样本中个体的个数叫做样本大小或样本容量。 样本中的个体称为样品。 注：样本大小为n 的样本可以看成是一个n维随机 向量(X1, …, Xn)。 简单随机样本(X1, …, Xn) ：X1,…, Xn相互独立，并 与总体X具有具有相同的分布函数Fn=15
0
y
概率统计
§1-3 抽样分布
2分布的性质：
2 2 ~ ( n) ，则 性质1：设
E n , D 2n
2 2

2

2
性质2：设 X 1 ~ ( n1 ) , X 2 ~ ( n2 ) ，则
X 1 X 2 ~ (n1 n2 )
数理统计的基本内容： 1、试验设计：设计有效地获得数据的方法，如正交 设计（第六章） 2、统计和推断：靠抽验得到的数据来推断整体的情 况，包括参数估计（第二章），假设检验（第三章） 3、研究应用统计推断中的基本原理，研究处理线性 模型中的某些问题的方法，如回归分析（第四章）， 方差分析（第五章）
概率统计