数学数理统计PPT课件
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数理统计的基本知识.ppt
设 x1, x2,…, xn 是相应于样本 X1, X2, …,Xn 的样本值，则称 g(x1，x2，…, xn) 是统计量T = g(X1,X2,…,Xn)的观察值．
二、样本矩
下面给出几个常用的统计量．设(X1，X2，…，Xn)是来自总体 X 的一个样
本，(x1，x2，…，xn)是样本观察值，定义:
频数
2 0 0 2 2 8 13 23 24 21 14 6 2 2 0 1
组中值
0.645 0.665 0.685 0.705 0.725 0.745 0.765 0.785 0.805 0.825 0.845 0.865 0.885 0.905 0.925 0.945
直方图中第 i 个小矩形面积 yiΔt=fi (i=1，2，…，k)，k 个小矩形的面积之 和为1．
由于样本观察值的 n 个数值 x1，x2，…，xn是从总体X 中独立抽取的，它 们落入区间 (ti-1,ti] 的频率 fi 近似等于随机变量 X 在该区间内取值的概率，即
fi≈P{ti-1<X≤ti}=pi，i=1，2，…，k，
一、样本分布函数
样本能够反映总体X的信息，总体X的分布函 数F(x)是否能由样本来“表示”？回答是肯定的， 我们用下面介绍的样本函数来近似表示总体X的 分布函数．
定义 设x(1)，x(2)，…，x(n)是总体X的顺序统计量的一组观察值，对于任 意的实数x，定义函数
0, x x(1) ;
Fn
(
x)
i n
,
x(i) x x(i1) ,
1, x x(n) .
i 1, 2,, n 1;
称 Fn(x) 为 总 体 X 的 样 本 分 布 函 数 (或 经 验 分 布 函 数)．
数理统计的基本概念PPT精品文档40页
则样本的联合分布为
n
n
P { X 1 x 1 ,X 2 x 2 , ,X n x n } P { X i x i} p i．
i 1
i 1
§6.2 抽样分布
6.2.1 统计量的概念
由样本推断总体的某些情况时，需要对样本进行“ 加工”，构造出若干个样本的已知 (确定)的函数， 其作用是把样本中所含的某一方面的信息集中起来 。这种不含任何未知参数的样本的函数称为统计量。 它是完全由样本所决定的量。
统计量的分布称为抽样分布，下面介绍来自正 态总体的几个重要统计量的分布，称为统计学的三 大分布： 2 分布，t分布和F分布.
6.2.2 χ 2 分布
定义4: 设 X1, X2, …, Xn 是来自总体 N(0, 1), 的样本，则称统计量
与总体X具有相同的概率分布，则称随机变量 X1,X2, ,Xn为来自总体X的容量为n的简单随机 样本，简称样本．
它们的 x1,x观 2, ,x 察 n称值 为,样 又本 称值 为 X的 n个独立 . 的观察值
注意：样本的二重性。
6.1.2 样本的分布 样本 X1,X2,…,Xn 可以被看作n维随机向量,自
定义2：设 X1,X2, ,Xn是来自总体X的样本， g(X 1,X 2, ,X n)是样本 X1,X2, ,Xn的函数，如果 g(X 1,X 2, ,X n)中不包含任何未知参数，则称它
是一个统计量。
定义３：几个常用的统计量
样本均值
X
1 n
n i1
Xi
反映总体 均值的信息
样本方差 S2n11in1(Xi X)2n11(in1 Xi2nX2)
200 20 00 20 00 20 00 20 00 20 000
高等数学与工程数学课件第十章数理统计基础.ppt
14.70，15.21，14.90，14.91，15.32，15.32， 假设滚珠直径总体分布的方差为0.05，问能否认为这一批滚珠
的平均直径为15.25 mm? ( 0.05) 解 提出原假设： 0 15.25，
由于方差已知，故选统计量
U X 0 ~ N (0,1) n
由P{|U | } P{U } P{U } 1 () () 2 2 () 0.05 .
由P{ 2
2}
2
0.025， 2
~
2 (15)，查表得2
27.5，
由P{ 2
1}
1
2
0.975， 2
~
2 (15)，查表得1
6.26.
故 2的95%的置信区间为
15
0.00244，15 27.5
0.00244 6.26
即 [0.0013，0.0058] .
二、假设检验的方法
假设检验的一般步骤如下： (1) 提出原假设 H0，明确所要检验的对象， (2) 构造合适的统计量 ， (3) 求出临界值，确定拒绝域，
6
9.05.
S2 1 6 5 i1
2
Xi X
1 0.052 0.252 0.052 0.252 0.152 0.152
5
0.035.
返回
4、解： X N u， 2 且已知 2
选取统计量
U
X
n
该统计量服从标准正态分布，即：U N 0，1.
ห้องสมุดไป่ตู้
返回
机变量
X1，X
，
2
，X n 的函数称为样本函数，若样本函
数不含未知参数且是连续的，我们称之为统计量.(不含
未知参数的样本函数叫统计量.)
的平均直径为15.25 mm? ( 0.05) 解 提出原假设： 0 15.25，
由于方差已知，故选统计量
U X 0 ~ N (0,1) n
由P{|U | } P{U } P{U } 1 () () 2 2 () 0.05 .
由P{ 2
2}
2
0.025， 2
~
2 (15)，查表得2
27.5，
由P{ 2
1}
1
2
0.975， 2
~
2 (15)，查表得1
6.26.
故 2的95%的置信区间为
15
0.00244，15 27.5
0.00244 6.26
即 [0.0013，0.0058] .
二、假设检验的方法
假设检验的一般步骤如下： (1) 提出原假设 H0，明确所要检验的对象， (2) 构造合适的统计量 ， (3) 求出临界值，确定拒绝域，
6
9.05.
S2 1 6 5 i1
2
Xi X
1 0.052 0.252 0.052 0.252 0.152 0.152
5
0.035.
返回
4、解： X N u， 2 且已知 2
选取统计量
U
X
n
该统计量服从标准正态分布，即：U N 0，1.
ห้องสมุดไป่ตู้
返回
机变量
X1，X
，
2
，X n 的函数称为样本函数，若样本函
数不含未知参数且是连续的，我们称之为统计量.(不含
未知参数的样本函数叫统计量.)
数理统计的基本知识概要PPT课件
总体就可以用一个随机变量及其分布来描述. 因此在理论上可以把总体与概率分布等同起来.
第7页/共43页
一、总体和样本
例如: 研究某批灯泡的寿命时，关心的数量指标 就是寿命，那么，此总体就可以用随机变量X表示， 或用其分布函数F(x)表示.
总体
寿命 X 可用一概率 （指数）分布来刻划
某批灯泡的寿命
F(x)
一、总体和样本
2. 样本
总体分布一般是未知，或只知道是包含未知 参数的分布，为推断总体分布及各种特征，按一定
规则从总体中抽取若干个体进行观察试验，以获得
有关总体的信息 ，这一抽取过程称为 “抽样”，所
抽取的部分个体称为样本. 样本中所包含的个体数
目称为样本容量.
从国产轿车中抽5辆 进行耗油量试验
样本容量为5 抽到哪5辆是随机的
第10页/共43页
一、总体和样本
n称为这个样本的容量.
1. 代表性： X1,X2,…,Xn中每一个与所考察的总体有 相同的分布.
2. 独立性： X1,X2,…,Xn是相互独立的随机变量.
一旦取定一组样本X1，… ,Xn ,得到n个具体的数 (x1,x2,…,xn)，称为样本的一次观察值，简称样本值 .
第29页/共43页
三、分布函数的近似求法
0,
x 4
1 10 , 4 x 0
2 10 , 0 x 2
F10 ( x)
4 7
10 , 10 ,
2 x 2.5 2.5 x 3
8 10 , 3 x 3.2 9 10 , 3.2 x 4
1,
x4
第30页/共43页
三、分布函数的近似求法
对于任何实数x，Fn ( x) 等于在n次重复独立试验 中事件 { X x} 的频率，由频率与概率的关系知， Fn ( x) 可作为总体X的分布函数F(x)的近似，且当样 本容量充分大时，Fn ( x) 几乎为F(x).
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一、总体和样本
例如: 研究某批灯泡的寿命时，关心的数量指标 就是寿命，那么，此总体就可以用随机变量X表示， 或用其分布函数F(x)表示.
总体
寿命 X 可用一概率 （指数）分布来刻划
某批灯泡的寿命
F(x)
一、总体和样本
2. 样本
总体分布一般是未知，或只知道是包含未知 参数的分布，为推断总体分布及各种特征，按一定
规则从总体中抽取若干个体进行观察试验，以获得
有关总体的信息 ，这一抽取过程称为 “抽样”，所
抽取的部分个体称为样本. 样本中所包含的个体数
目称为样本容量.
从国产轿车中抽5辆 进行耗油量试验
样本容量为5 抽到哪5辆是随机的
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一、总体和样本
n称为这个样本的容量.
1. 代表性： X1,X2,…,Xn中每一个与所考察的总体有 相同的分布.
2. 独立性： X1,X2,…,Xn是相互独立的随机变量.
一旦取定一组样本X1，… ,Xn ,得到n个具体的数 (x1,x2,…,xn)，称为样本的一次观察值，简称样本值 .
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三、分布函数的近似求法
0,
x 4
1 10 , 4 x 0
2 10 , 0 x 2
F10 ( x)
4 7
10 , 10 ,
2 x 2.5 2.5 x 3
8 10 , 3 x 3.2 9 10 , 3.2 x 4
1,
x4
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三、分布函数的近似求法
对于任何实数x，Fn ( x) 等于在n次重复独立试验 中事件 { X x} 的频率，由频率与概率的关系知， Fn ( x) 可作为总体X的分布函数F(x)的近似，且当样 本容量充分大时，Fn ( x) 几乎为F(x).
数理统计的基本概念课件
离散程度
通过方差、标准差等指标 来描述数据的离散程度， 反映数据的变化程度。
数据的中位数、均值和众数
中位数
将数据按照大小顺序排列，处于 中间位置的数值即为中位数。中 位数可以反映数据的集中趋势和
离散程度。
均值
将所有数据相加后除以数据个数 ，得到的数值即为均值。均值可 以反映数据的集中趋势和离散程
度。
拟合优度
决定于所选择的非线性函数形式，常 用的有R²和SSPE（残差平方和）。
显著性检验
一般采用基于参数的假设检验和似然 比检验。
THANKS FOR WATCHING
感谢您的观看
05
假设检验
假设检验的基本思想
统计假设
假设检验的核心是对提出的问题（即假设）进行统计推断，先假设所要考察的 总体参数按某种规律或分布（即统计模型）分布，然后根据样本信息对原假设 进行检验。
假设检验的基本步骤
首先提出假设，然后收集样本数据，接着根据样本数据对原假设进行检验，最 后根据检验结果做出结论。
多元线性回归分析
• β0: 截距 • β1, β2, ...: 斜率
• ε: 误差项
多元线性回归分析
拟合优度
R²，表示模型解释因变量的方差的比例 。
VS
显著性检验
整体显著性检验（F检验）和单个变量的 显著性检验（t检验）。
非线性回归分析
定义
非线性回归分析是研究非线性关系的 统计方法。
模型
Y = f(X) （其中 f 是非线性函数）
• β0: 截距
一元线性回归分析
01
• β1: 斜率
02
• ε: 误差项
03
04
拟合优度：R²，表示模型解 释因变量的方差的比例。
《数理统计》课件
季节性分析
要点一
总结词
季节性分析是时间序列分析的重要环节，通过季节性分析 可以了解时间序列数据中存在的季节性波动。
要点二
详细描述
季节性分析的方法包括季节性分解、季节性自相关图、季 节性指数等。这些方法可以帮助我们识别时间序列数据中 的季节性模式，并基于这些模式进行预测和建模。
THANKS FOR WATCHING
参数与统计量
参数是描述总体特性的指标， 统计量是描述样本特性的指标 。
概率与随机变量
概率用于描述随机事件发生的 可能性，随机变量是表示随机 现象的变量。
估计与检验
估计是用样本数据推断总体参 数的过程，检验是利用样本数
据对假设进行判断的过程。
CHAPTER 02
描述性统计
数据的收集与整理
数据来源
描述数据的来源，如调查、观察、实 验等。
非线性回归分析
总结词
非线性回归分析是数理统计中用于研究非线 性关系的分析方法。
详细描述
非线性回归分析不依赖于最小二乘法原理， 而是通过其他优化方法来拟合非线性模型。 非线性回归分析适用于因变量和自变量之间 存在非线性关系的情况。常见的非线性回归 模型包括多项式回归、指数回归、对数回归 等。非线性回归分析广泛应用于各个领域，
如正态分布、指数分 布等。
随机事件的概率计算
条件概率
在某个事件发生的条件下，另一个事件发生 的概率。
互斥事件的概率计算
两个互斥事件同时发生的概率等于各自发生 概率的和。
独立事件的概率计算
两个独立事件同时发生的概率等于各自发生 概率的乘积。
全概率公式
一个复杂事件的概率可以分解为若干个互斥 事件的概率之和。
单因素方差分析
第六章.ppt数理统计
用频率近似概率
例：从鱼塘里捞一条鱼,这条鱼为鲤鱼的概率?
重复捞取鱼1000次，每次捞一条,有100次左右是鲤鱼,
近似认为再捞一次鱼是鲤鱼的概率为10%。
用频率近似概率
3、主观定义 人们根据经验和所掌握的信息对事件发 生的可能性给以主观的估计。
例：本拉登活着的概率；估计自己能考上大学 的概率；上一个新项目能否赚钱的概率。
（3）不可能事件：每次试验必然不会发生的事件 称为不可能事件。
上例中，观察正反面正面出现的次数为3次——这一事件为不可
能事件
二、事件的关系和运算
（1）包含——事件A发生必然导致B发生， A包含于B
例：抛两个硬币，观察正反面情况：可能结果：①1正2 反，②1反2正，③12全正，④12全反四个基本事件。
解：P（A）=40%，P（B）=50%，P（AB）=30%， P（A+B）=40%+50%-30%=60%； P（A/B）（抽一个公司，已知它进行销售预测，那么它研究 广告效果的概率）=P（AB）/P（B）=30%/50%=60%。 P（B/A）（已知这个公司研究广告效果，那么它进行销售 预测的概率是多少）=P（AB）/P（A）=30%/40%=75%。
（二）概率的运算法则
1、加法公式
两个互斥事件A、B，P（A+B）=P（A）+P（B） A、B互斥（A、B没有交集），P（A+B）（A、B至少 一个发生的概率）=P（A）+P（B）
2、乘法公式
（1）条件概率（事件B已经发生的条件下 事件A发生的概率）。 P（A/B）=P（AB）/P（B）
例：将一枚硬币掷两次，观察出现正反面的情况，设事件 A为“至少一次为正面”，事件B为“两次掷出同一面”， 现在来求已知事件A已经发生的条件下事件B发生的概率 P（B/A）。 解：S={正正、正反、反正、反反}， A={正正、正反、反正}， B={正正，反反}， A已经发生（抛两次硬币后，知道至少有一次正面）， 那么掷出同一面的概率是1/3。
例：从鱼塘里捞一条鱼,这条鱼为鲤鱼的概率?
重复捞取鱼1000次，每次捞一条,有100次左右是鲤鱼,
近似认为再捞一次鱼是鲤鱼的概率为10%。
用频率近似概率
3、主观定义 人们根据经验和所掌握的信息对事件发 生的可能性给以主观的估计。
例：本拉登活着的概率；估计自己能考上大学 的概率；上一个新项目能否赚钱的概率。
（3）不可能事件：每次试验必然不会发生的事件 称为不可能事件。
上例中，观察正反面正面出现的次数为3次——这一事件为不可
能事件
二、事件的关系和运算
（1）包含——事件A发生必然导致B发生， A包含于B
例：抛两个硬币，观察正反面情况：可能结果：①1正2 反，②1反2正，③12全正，④12全反四个基本事件。
解：P（A）=40%，P（B）=50%，P（AB）=30%， P（A+B）=40%+50%-30%=60%； P（A/B）（抽一个公司，已知它进行销售预测，那么它研究 广告效果的概率）=P（AB）/P（B）=30%/50%=60%。 P（B/A）（已知这个公司研究广告效果，那么它进行销售 预测的概率是多少）=P（AB）/P（A）=30%/40%=75%。
（二）概率的运算法则
1、加法公式
两个互斥事件A、B，P（A+B）=P（A）+P（B） A、B互斥（A、B没有交集），P（A+B）（A、B至少 一个发生的概率）=P（A）+P（B）
2、乘法公式
（1）条件概率（事件B已经发生的条件下 事件A发生的概率）。 P（A/B）=P（AB）/P（B）
例：将一枚硬币掷两次，观察出现正反面的情况，设事件 A为“至少一次为正面”，事件B为“两次掷出同一面”， 现在来求已知事件A已经发生的条件下事件B发生的概率 P（B/A）。 解：S={正正、正反、反正、反反}， A={正正、正反、反正}， B={正正，反反}， A已经发生（抛两次硬币后，知道至少有一次正面）， 那么掷出同一面的概率是1/3。
数理统计 ppt课件
医药数理统计方法
01-04-13
地区
东部 南部 西部 中部
订单百 易碎品订
分比 单百分比
30
25
40
10
20
5
10
3
医药数理统计方法
01-04-14
课堂讨论题 某发报站分别以概率
0.6和0.4发出信号“*”和“–”，若通
讯系统受到种种干扰，当发出信号 “*”时，收报站分别以概率0.8和 0.2收到信号“*”和“–”；当发出信 号为“–”时，收报站分别以概率0.9 和0.1收到信号“–”和“*”。求收报 站收到信号“*”时，发报站确实发 出信号“*”的概率。
n
P(B) P(Ai)P(B|Ai) i1
医药数理统计方法
A3 A2
… B
A1
An
01-04-04
医药数理统计方法
01-04-05
例 有3个外形完全相同的袋子，在 第1个袋子中装有2个白球、1个红球； 在第2个袋子中装有3个白球、1个红 球；在第3个袋子中装有2个白球、2 个红球。先随机地挑选一个袋子，
医药数理统计方法
0.6 “*”
0.8 0.2
0.4 “–”
0.1 0.9
01-04-15
“*” “–”
医药数理统计方法
01-04-16
例 癌症的早期诊断、治疗是提高
疗效的关键。近年来，甲胎蛋白免 疫检测法（简称 AFP 法）被普遍应 用于肝癌的普查和诊断。
医药数理统计方法
01-04-17
设 A={肝癌患者}，B={AFP检验 结果为阳性}；且已知AFP检测方法 的真阳性率 P(B|A)=0.94，假阳性率 P(B| A )=0.04；在人群中肝癌的发病 率 P(A)=0.0004；今有一人 AFP 检测
《数学数理统计》课件
3 展望未来
掌握数学数理统计的知识， 您将迎接未来数据驱动事件发生的条件概率 和独立性的概念。
3 随机变量与分布
介绍随机变量和其分布的 基本概念。
4 数学期望与方差
深入研究数学期望和方差的计算和应用。
5 大数定律与中心极限定理
揭示大数定律和中心极限定理的重要性。
统计学基础
1
参数统计与非参数统计
比较参数统计和非参数统计方法的优劣。
假设检验
未来展望
大数据时代
探讨数学数理统计在大数据时代 的应用和挑战。
机器学习
了解机器学习与数学数理统计的 关系及其未来发展。
人工智能
探索人工智能与数学数理统计的 交叉应用。
总结
1 学以致用
通过数学数理统计，您可 以更好地理解和应用数据 分析技术。
2 不断学习
数学数理统计是一个广阔 的领域，持续学习将使您 保持竞争力。
2
学习如何进行假设检验以及结果的解读。
3
方差分析及回归分析
研究方差分析和回归分析在数据分析中 的重要性。
实际应用
常见问题案例及解决 方法
分析实际案例，展示如何应用 数学数理统计解决常见问题。
分析与可视化工具介 绍
探索各种数据分析和可视化工 具，了解其功能和用途。
软件使用介绍
介绍常见的数据分析软件，帮 助您开始实际应用。
《数学数理统计》PPT课 件
探索《数学数理统计》的精彩世界。了解其意义和应用领域，让您成为数据 分析的专家。
概述
意义
介绍数学数理统计在科学、工程、金融等领域 中的重要性。
应用领域
探索数学数理统计在市场研究、医学实验和风 险评估等领域中的广泛应用。
017第六章 数理统计基本概念PPT课件
10
数理统计是一门应用广泛、内容丰富的学科．在高科 技飞速发展的今天，它是应用于社会经济，工农业生产和 科学试验中必不可少的工具。
数理统计
(1)以概率论为理论基础.
(2)根据试验或观测得到的数据，来研
究随机现象.
(3)对研究对象的统计规律性作出种种 合理的估计和推断．
11
数理统计的内容很丰富，我们只介绍参 数估计、假设检验、方差分析和回归分析等 部分内容．
一般定义：统计学是一门收集、整理和分析 统计数据的方法科学，其目的是探索数据内存的数 量规律性，以达到对客观事物的科学认识。
由此可见，统计学的核心是： 搜集数据 分析数据 这里的数据一般是具有随机性的大量数据，
分析的目的是去掉随机因素的干扰，寻求规律 4
一.数理统计的分类
二.数理统计的基本概念
(1)总体(母体)与个体
3
点击输入简要文字内容，文字内容需概括精炼，不用多余 的文字修饰，言简意赅的说明分项内容……
2
什么是统计学？
最早的含义：统计学即国情学，对象是国务
活动家感兴趣的事实，而统计学家则是“处理国务
的人”。
这由统计学（ statistics ）与国家（state ）
的英文单词有同字根可见一斑。
( Statistics 是由德文 statistik 演化而来，
变量X的分布就完全描述了总体中所研
究的数量指标的分布情况．
14
今后，我们把总体与数量指标X 可能取值的全体所组成的集合等同起 来，用随机变量X表示，总体的分布 就是指数量指标X的分布．
总体X作为一个随机变量有一维 与多维，连续型与离散型之分而作为 一个集合，则还有有限总体与无限总 体之分．
15
数理统计是一门应用广泛、内容丰富的学科．在高科 技飞速发展的今天，它是应用于社会经济，工农业生产和 科学试验中必不可少的工具。
数理统计
(1)以概率论为理论基础.
(2)根据试验或观测得到的数据，来研
究随机现象.
(3)对研究对象的统计规律性作出种种 合理的估计和推断．
11
数理统计的内容很丰富，我们只介绍参 数估计、假设检验、方差分析和回归分析等 部分内容．
一般定义：统计学是一门收集、整理和分析 统计数据的方法科学，其目的是探索数据内存的数 量规律性，以达到对客观事物的科学认识。
由此可见，统计学的核心是： 搜集数据 分析数据 这里的数据一般是具有随机性的大量数据，
分析的目的是去掉随机因素的干扰，寻求规律 4
一.数理统计的分类
二.数理统计的基本概念
(1)总体(母体)与个体
3
点击输入简要文字内容，文字内容需概括精炼，不用多余 的文字修饰，言简意赅的说明分项内容……
2
什么是统计学？
最早的含义：统计学即国情学，对象是国务
活动家感兴趣的事实，而统计学家则是“处理国务
的人”。
这由统计学（ statistics ）与国家（state ）
的英文单词有同字根可见一斑。
( Statistics 是由德文 statistik 演化而来，
变量X的分布就完全描述了总体中所研
究的数量指标的分布情况．
14
今后，我们把总体与数量指标X 可能取值的全体所组成的集合等同起 来，用随机变量X表示，总体的分布 就是指数量指标X的分布．
总体X作为一个随机变量有一维 与多维，连续型与离散型之分而作为 一个集合，则还有有限总体与无限总 体之分．
15
数理统计的基本概念PPT模板
3 次序统计量和样本分布函数
例 4 设总体服从泊松分布，容量为 10 的样本观测值如下： 2，1，4，3，5，6，4，8，4，3．
试构造样本的分布函数 F10 (x) ．
解 将样本的观测值由小到大排列为1 2 3 3 4 4 4 5 6 8 ，所以样本的频 率分布如表 5-1 所示．
设 X1 ，X2 ， ，Xn 是总体 X 的样本，则可定义以下统计量．
（1）样本均值为
X
1 n
n i 1
Xi
，
（5-1）
它的观测值记为
x
1 n
n i 1
xi
．
数理统计的基础知识
数理统计的基本概念
1.2 参数与统计量
（2）样本方差为
S2 1 n n 1 i1
Xi X
2
1 n 1
n i 1
数理统计的基本概念
1.2 参数与统计量
由于样本具有二重性，统计量作为样本的函数也具有二重性，即 对一次具体的观察或试验，它们都是具体的数值，但当脱离具体的某 次观察或试验，样本是随机变量，因此统计量也是随机变量．
统计量是用来对总体分布参数进行估计或检验的，它包含了样本 中有关参数的信息，在数理统计中，根据不同的目的构造了许多不同 的统计量．
设 样 本 X1 ，X2 ， ，Xn 的 次 序 统 计 量 为
X (1) X (2)
X(n) ，对应的样本观测值为
x(1) x(2)
x(n) ，令
0 ，x x(1) ，
1 n
，x(1)
x x(2) ，
Fn
(x)
k
n
，x(k )
x x(k 1) ，
1，x x(n) ．
（5-6）
例 4 设总体服从泊松分布，容量为 10 的样本观测值如下： 2，1，4，3，5，6，4，8，4，3．
试构造样本的分布函数 F10 (x) ．
解 将样本的观测值由小到大排列为1 2 3 3 4 4 4 5 6 8 ，所以样本的频 率分布如表 5-1 所示．
设 X1 ，X2 ， ，Xn 是总体 X 的样本，则可定义以下统计量．
（1）样本均值为
X
1 n
n i 1
Xi
，
（5-1）
它的观测值记为
x
1 n
n i 1
xi
．
数理统计的基础知识
数理统计的基本概念
1.2 参数与统计量
（2）样本方差为
S2 1 n n 1 i1
Xi X
2
1 n 1
n i 1
数理统计的基本概念
1.2 参数与统计量
由于样本具有二重性，统计量作为样本的函数也具有二重性，即 对一次具体的观察或试验，它们都是具体的数值，但当脱离具体的某 次观察或试验，样本是随机变量，因此统计量也是随机变量．
统计量是用来对总体分布参数进行估计或检验的，它包含了样本 中有关参数的信息，在数理统计中，根据不同的目的构造了许多不同 的统计量．
设 样 本 X1 ，X2 ， ，Xn 的 次 序 统 计 量 为
X (1) X (2)
X(n) ，对应的样本观测值为
x(1) x(2)
x(n) ，令
0 ，x x(1) ，
1 n
，x(1)
x x(2) ，
Fn
(x)
k
n
，x(k )
x x(k 1) ，
1，x x(n) ．
（5-6）
数理统计的基本概念 ppt课件
称为第一自由度为n1 ，第二自由度为n2的F分 布,其概率密度为
h(y)((n2n1)12(nn0222,))((n11/nnn212)yn1)/(2ny1ynn212)1/02 ,
y0
数理统计的基本概念
2. F分布的分位点 对于：0<<1，
若存在F(n1, n2)>0， 满足
P{FF(n1, n2)}=， 则 称F(n1, n2)为 F(n1, n2)的 上侧分位点；
6.4、统计量及抽样分布
1.统计量
定义：称样本X1， … ，Xn 的函数g(X1， … ，Xn ) 是 总体X的一个统计量,如果g(X1， … ，Xn )不含 未知 参 数
几个常用的统计量 ：
1.样本均 X 值 n1i n1Xi,
2.样本方 S2差 n11in1(Xi X)2
样本均(方 标差 准)差S S2,
数理统计的基本概念
经验分布函数
设 X1, X2, …, Xn 是取自总体分布函数为F(x)的样 本，若将样本观测值由小到大进行排列,为 x(1), x(2), …, x(n)，则称 x(1), x(2), …, x(n) 为有序样本，
用有序样本定义如下函数
0, Fn(x) k/n, 1,
x<x(1) x(k)xx(k1), x(n)x
k1,2,...,n1
数理统计的基本概念
则Fn(x)是一非减右连续函数，且满足 Fn() = 0 和 Fn() = 1
由此可见，Fn(x)是一个分布函数， 并称Fn(x)为经验分布函数。
数理统计的基本概念
例1 某食品厂生产听装饮料，现从生产线上 随机抽取5听饮料，称得其净重（单位：克） 351 347 355 344 354
关于数理统计的基本概念课件
数理统计学是一门应用性很强的学科。它研 究怎样以有效的方式收集、 整理和分析带有随机 性的数据，以便对所考察的问题作出正确的推断 和预测，为采取正确的决策和行动提供依据和建 议。
数理统计不同于一般的资料统计，它更侧 重于应用随机现象本身的规律性进行资料的收 集、整理和分析。
4
第6章 数理统计基础
j1
ij 1,2,(j1,2,,n)
例6.2.4 设总体X～B(1,p)，X1，X2，…，Xn为取自 总体X的样本，求样本X1，X2，…，Xn的联合分布（
称为样本分布）。
解: X的分布律为
P X x p x ( 1 p ) 1 x x 0 , 1
所以样本X1，X2，…，Xn的联合分布律为
6.1.2 样本与抽样
在应用中，我们从总体中抽出的个体必须具有代表 性，样本中个体之间要具有相互独立性，为保证这两 点，一般采用简单随机抽样．
定义6.1 一种抽样方法若满足下面两点，称其为简 单随机抽样：
(1) 总体中每个个体被抽到的机会是均等的； (2) 样本中的个体相互独立． 由简单随机抽样得到的样本称为简单随机样本． 如果没有特殊说明,以后所说样本均指简单随机样本．
关于数理统计的基 本概念
前几章我们学习了概率论的基本知识，从本章 开始将学习数理统计的基本知识、理论和方法． 数理统计是以对随机现象观测所取得的资料（数 据）为出发点，以概率论为基础来研究随机现象 的一门学科．
概率论中，往往是在已知随机变量分布的条件 下，去研究它的性质、特点和规律性，比如求随 机变量取某些特定值的概率、求随机变量的数字 特征、研究多个随机变量之间的关系等．
6.1.2 样本与抽样
设X1，X2，...，Xn是从总体X中抽出的简单随机样 本，由定义可知，X1，X2，...，Xn有下面两个特性：
《数理统计基本概念》课件
不可能事件
概率等于0的事件，表示一定 不会发生。
独立事件
两个事件的发生相互独立，一 个事件的发生不影响另一个事 件的发生。
随机变量及其分布
01
02
03
04
离散型随机变量
随机变量可以取到有限个或可 数无穷个值。
连续型随机变量
随机变量可以取到任何实数值 。
概率分布函数
描述随机变量取值概率的函数 。
概率密度函数
确定因子、提出假设、构造统计量、 进行统计分析、做出推断结论。
方差分析的应用场景
比较不同组数据的均值差异、分析多 因素对结果的影响等。
方差分析的注意事项
满足正态性和方差齐性的假设、注意 组间和组内的比较等。
04
回归分析
一元线性回归
总结词
一元线性回归是数理统计中常用的回归分析方法，用于研究一个因变量与一个自变量之间 的线性关系。
假设检验的类型
单侧检验、双侧检验、独立样本检验、配对 样本检验等。
假设检验的基本步骤
提出假设、构造检验统计量、确定临界值、 做出推断结论。
假设检验的注意事项
避免两类错误、注意样本量和分布情况等。
方差分析
方差分析的概念
方差分析是用来比较不同组数据的变 异程度和分析变异来源的一种统计方 法。
方差分析的基本步骤
详细描述
一元线性回归分析通过最小二乘法拟合一条直线，使得因变量的观测值与自变量的预测值 之间的残差平方和最小。它可以帮助我们了解自变量和因变量之间的相关性和预测因变量 的未来值。
公式
(y = ax + b) 其中，(a) 是斜率，(b) 是截距。
多元线性回归
01
总结词
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b}P{anpnnpbnp}
npq npq npq
(bnp)(anp)
npq
npq
-25-
例 某单位有200台电话分机，每台分机有5%的时间
要使用外线通话。假定每台分机是否使用外线是相互 独立的，问该单位总机要安装多少条外线，才能以 90%以上的概率保证分机用外线时不等待？
解：设有X部分机同时使用外线，则有 X~B(n,p), 其 n 2 中 p 0 0 0. n ,0 1 p 5 n 0 ,- , p p ( 3 ) .0 1 .8 设有N 条外线。由题意有 P{XN}0.9
去掉，代之以 （Markov） 大数定律
1
n2
D n k1
Xk
n0
-11-
二 随机变量的收敛性
定义1 设 X1,X2,,Xn, 为一列随机变量，如果
存在常数 a使得对于任意的 0, 有
ln i P m X n a 1
则称 X n 依概率收敛于 a, 记为 Xn Pa
定义2 设 X1, X2, ,为一列随机变量,X是随机变量
准备工作
1) 切比雪夫不等式
设 X为一随机变量, 其数学期望 E( X )和方差 D( X )
都存在，则对于任意 0, 有
PXE(X) 22
2) A.L.Cauchy－Schwarz不等式.
设 r.v (X ,Y) ，满足 EX 2 , EY 2 则有
E(XY)2 EX2EY2
-3-
贝努里（Bernoulli） 大数定律
n i1
Xi
b}P{ani1
Xi n bn
}
n
n
n
(bn)(an)
n
n
-20-
中心极限定理的意义
前面讲过有许多随机现象服从正态分布 是由于许多彼此没有什么相依关系、对随机现 象谁也不能起突出影响，而均匀地起到微小作 用的随机因素共同作用(即这些因素的叠加)的
结果. 若联系于此随机现象的随机变量为X ，则
n
X1,X2, ,Xn 相互独立，nA Xk
k 1
记Yn
1 n
n k1
Xk
,
E(Yn)p,
D(Yn)pnq
由 Chebyshev 不等式
0PnA n
p
P
n
Xk
k1
n
E(Xk
)
-5-
0PnA n
p
P
n
Xk
k1
n
E(Xk
)
P Y n E (Y n ) 12
pq n
故 limPnAp0
是统计量, 其中 Xi ~N(,2)
但
1
2
n
Xi
i1
2
不是统计量.
若 , 已知,则为统计量
-34-
常用的统计量
设 (X 1,X 2, ,X n)是来自总体 X 的容量
为 n 的样本,称统计量
(1)
X1 n ni1
Xi
为样本均值
(2)
S2 1 n n1i1
2
Xi X
为修正样本方差
S
lni m XnX (a.s.)
四种收敛关系：
以概率１收敛或r-阶收敛 依概率收敛 依分布收敛
-16-
三、 中心极限定理
中心极限定理讨论：随机变量序列
n
n
X i E ( X i)
i1
i1
n
D ( X i) i1
对应的分布函数序列收敛于标准正态分布函数的定理
-17-
定理1（独立同分布的中心极限定理）
-26-
由德莫佛-拉普拉斯定理有
P{XN}P
Xnp
Nnp
np(1p) np(1p)
nN(p1n pp)N 3.0180.
查表得 (1.2)80.9.0
故N应满足条件 N-101.28, 3.08
即 N1.9 3.4 取 N1,4 即至少 1条 4要外 安
-27-
第2章 数理统计的基本概念
1 n
D(X)D( ni1
Xi)
1 n2
n
D(
i1
Xi )
1 n2 nD(Xi )
D( X i ) n
-38-
2）
E(Sn2)
n12
n
E(S2)2
E(S 2 )
设 n ~b(n,p)则对于任意实数 x,
有 lim P
nnp x x
1
- t2
e 2 dt
n np(1p)
- 2
(x)
其中 (x)为标准正态分布的分布函数。
这个定理表明，二项分布的极限分布是正态分布
当 n很大时，我们便可以利用定理 2 来近似计算二
项分布的概率。
-24-
对任意 ab有，
P{an
S2 nn11in1(Xi X)2 (Xi22XiXX2)
i1
n
n
Xi22X Xi nX2
i1
i1
n
n
Xi22nXXnX2 Xi2 nX2
i1
i1
-37-
常见统计量的性质：
(1)E(X)E(X)
1 n
E(X)E( ni1
Xi
)
1 n
n
E(
i 1
Xi
)
E(Xi ) E(X)
(2) D(X) D(X) n
数学数理统计PPT课件
一 大数定律
要解决的问题
答复
1. 为何能以某事件发生的频率 2. 作为该事件的 概率的估计？ 大数 2. 为何能以样本均值作为总体 定律 3. 期望的估计？
3. 为何正态分布在概率论中占
4. 有极其重要的地位？ 4. 大样本统计推断的理论基础
5. 是什么？
中心极 限定理
-2-
描述统计—学—
数 理
对随机现象进行观测、试验，
统
以取得有代表性的观测值
计 推断统计—学—
的
对已取得的观测值进行整理、
分
分析,作出推断、决策,从而
类
找出所研究的对象的规律性
-28-
推断 统计学
参数估计 (第3章) 假设检验 (第4章) 回归分析 (第5章) 方差分析 (第6章)
-29-
§ 2.1 基本概念
1n n1i1
2
Xi X
为修正样本标准差
-35-
(3)
Ak
1 n
n i1
Xik
为样本的k 阶原点矩
(4)
Bk 1nin1
Xi
k
X
为样本的k
阶中心矩
例如 A1X
B2
n1S2 n
1 n ni1
Xi
2
X
Sn2
-36-
注 样本方差 S与2 样本二阶中心矩
1） 关系式 S2 nn1Sn2
的S 不n2 同
它可被看成为许多相互独立的起微小作用的因
素Xk的总和 X，k 而这个总和服从或近似服从
k
正态分布.
-21-
对此现象还 可举个有趣 的例子——
高尔顿钉板 试验—— 加 以说明.
•• • •• •• • •
N(0, n) n— 钉子层数
3 0 3
-22-
X k 表示某一个小球在第k次碰了钉子后向左 或向右落下这一随机现象联系的随机变量，
则称随机变量g(X1,X2, ,Xn)为统计量.
若(x1,x2,,xn)是一个样本值,
称
g(x1,x2, ,xn)
为统计量 g(X1,X2, ,Xn)的一个样本值
-33-
例 X~N (,2是),未, 知2参数,
(X 1,X 2, ,X n) 是一样本, 则
1n
Xni 1X i,
S2n1 1i n1X iX2
X k 满足中心极限定理条件，
E(Xk)0,D (Xk)1
n
X n X k
lim P Xn x ( x )
k 1
n
n
P{aXn b}
P{ a Xn nn
b} n
n 16,
( b )( a )
n
n
独立投入１００个小球， P{0Xn 1}
(1)(0)0.0987
4
-23-
定理 2 （德莫佛—拉普拉斯）
总体和样本 总体 —— 研究对象全体元素组成的集合
所研究的对象的某个(或某些)数量指标 的全体,它是一个随机变量(或多维随机变 量).记为X .
X 的分布函数和数字特征称为总体的 分布函数和数字特征.
-30-
个体 —— 组成总体的每一个元素 即总体的每个数量指标,可看作随机
变量 X 的某个取值.用 表X i示.
记为
Fn(x) W F(x)
定义：如果 Fn(x) W F(x)则称 { X n } 依分布收敛于X，记为 Xn L X
-13-
可以证明：
（１）若 Xn PX则，Xn L X
（２）设C为常数，则
X n P C X n L C Fn(x) W F(x)
F(x)是X=C的分布函数，即
定义：设对随机变量Xn及X，r>0为常数，如果
EXnr ,EXr ,
且，
lni mEXn
Xr
0,
则称 { X n } r－阶收敛于X,记作 Xn r X
特别：１－阶收敛为平均收敛，２－阶为均方收敛
-15-
４：以概率１收敛 定义：若存在一随机变量X,使
P{lni m Xn X}1,
我们称随机序列 { X n } 以概率为１收敛于X,或说 几乎处处收敛于X，并记为Xn a .s.X
设事件 A在每次试验中出现的概率为 p, 且 在n次重复独立试验中出现的频率为 nA / n