有外生储蓄率的增长模型(the Solow-Swan model)

d ⎡ f (k ) k ⎦⎤ = − ⎡⎣ f (k ) − k ⋅ f ′ (k )⎤⎦ k 2 ，方括号 由于 f (k ) k 对 k 的导数为负（ ⎣ dk
中的式子等于劳动的边际产品，它为正。 ） ，所以（1.14）式的第一项是一负斜率 的曲线。它 k = 0 在时渐进于无穷大，而随着 k 趋于无穷大它接近于 0（注意到
c* = (1− s)⋅ f (k * ) 。因此，在新古典模型中，人均数量 y 、c 和 k 在稳态中都
不增加。 人均数量固定意味着变量 的速率增长。 以生产函数的移动来表示的技术水平的变化、储蓄率的变化、人口增长率及 折旧率的变化都对稳态中的各种人均水平产生影响。但是，值得注意的是：储蓄 率、人口增长率及折旧率的改变并不影响人均产出、资本和消费的稳态增长率， 它们全都为 0。由于这个原因，目前所涉及的索洛—斯旺模型并没有解释长期经 济增长的决定。
Y 、C 和 K 的水平在稳态中以人口增长率 n
2．1．4
资本积累的黄金律和动态无效率
对于一个给定的生产函数和 n 及 δ 的给定值， 对储蓄率 s 的每个值而言只有 唯一一个稳态值 k * > 0 。以 k * ( s ) 来表示这种关系，我们有 dk * ( s ) 人均消费的稳态水平为
* ⎟ ⎜ c* = ⎛ 1− s⎞ ⎟⋅ f (k ( s)) ⎜ ⎝ ⎠
图 2.4
索洛—斯旺模型的动态
通过上述分析，我们知道：对于任何初始值 k (0) > 0 ，经济都将收敛于 其唯一的稳态，即 k * > 0 。 我们还可以研究转移路径中产出的行为，人均产出增长率由：
γy ≡ y
f (k ) = ⎡ k ⋅ f ′ (k ) f (k )⎤ ⋅ γ y = f ′ (k )⋅ k ⎢ ⎥ k
= 0 ，对应于图 2.1 中曲线 s ⋅ 稳态为 k
值k 为
f (k ) 和 (n + δ )⋅ k 的交点，相应的稳态
k
*
。代数上，
k
*
满足条件：
（1.11）
s⋅ f (k * ) = (n + δ )⋅ k *
既然在稳态中， k 是不变的，则
y 和 c 也 分 别 固 定 在 y* = f ( k * ) 和
（1.7）
可以证明，如果生产函数是新古典生产函数，每种投入对生产都是不可缺少 的。 柯布—道格拉斯生产函数是新古典生产函数的最好例子。
Y = AK α L1−α
y = Ak α
(1.8) (1.9)
2．1．2
资本存量的基本动态方程
索洛—斯旺模型中的基本微分方程：
= s ⋅ f (k )−(n + δ )⋅ k k
更一般地，我们可以把（1.14）式中的
γk 代入（1.15）式得到：
（１.１６）
γy = s⋅ f ′(k)−(n +δ)⋅ Sh(k)
其中， Sh(k) ≡ k ⋅ f ′( k) 到：
f (k) 资本份额。如果我们对 k 微分且移项，则我们得
⎡ k ⋅ f ′′(k)⎤ ′ ⎥ ⋅ γ −(n +δ)⋅ f (k) ⋅ ⎡1−Sh(k)⎤ ∂γy ∂k = ⎢⎢ ⎣ ⎦ ⎥ k f ( k) ⎢⎣ f (k) ⎥⎦
不变规模报酬意味着产出可以被写成集约形式：
y = f (k )
从而可以证明要素投入的边际产品为：
（1.6）
∂Y ∂K = f ′ (k )
∂Y ∂L = ⎡⎢ f (k )− k ⋅ f ′ (k )⎤⎥
⎣ ⎦ 稻田条件意味着 lim ⎡⎢ f ′ (k )⎤⎥ = ∞ 和 lim ⎢⎡ f ′ (k )⎥⎤ = 0 。 ⎦ k →0 ⎣ k →∞ ⎣ ⎦
k →0 ⎣
lim ⎡ s ⋅ f (k ) k ⎤⎦ = 0 0 。 我 们 应 用 罗 必 塔 法 则 并 根 据 稻 田 条 件 得 到 ：
⎡ k ⎤⎦ = lim ⎢ s ⋅ f ′ k k →0 ⎣ k →0 ⎡ lim ⎡⎣ s ⋅ f (k ) k ⎤⎦ = klim ⎢s⋅ f ′ →∞ ⎣ k →∞
1，且把每个人工作强度也标准化为 1，那么在 t 时的人口和劳动力就等于：
L (t ) = ent
本和产出的时间路径。
（1.3）
因此，如果 L (t ) 由（1.3）给定且缺乏技术进步，则（1.2）式就决定了资
2．2
索洛—斯旺的新古典模型 新古典生产函数
2．1．1
如果忽略技术进步，则生产函数可以写成如下形式：
ds > 0 。
。 由 （ 1.11 ） 式 可 知
s⋅ f (k * ) = (n + δ )⋅ k * ，因此我们可以 c 把的表达式写作：
*
⎞ ⎟⋅ k * ( s) ⎜ c* (s) = f (k * ( s)) −⎛ n + δ ⎟ ⎜ ⎝ ⎠
由此，可以求出对应于最大人均消费 c* 的 s ，即：
由此，在一个时点上物质资本存量的净增加等于总投资减去折旧：
= I − δ K = sF ( K , L, t )− δ K K
（1.2）
第六，劳动力 L 由于人口增长而持续变化，其参与率改变，标准工人的工作 时间也在转变。但是，为了简化，我们假设人口一不变的、外生的速率增长
L = n ≥ 0 ，而且每个工人的劳动强度给定。如果我们把 0 时的人数标准化为 L
（1.12）
dc* ( s) =0 ds
⎡ ⎢ ⎢ ⎣⎢
*⎞ ⎥ ⋅ dk = 0 ⎟ ⎜ f ′⎛ k − n + δ ⎟ ( ) ⎜ ⎟ ⎥ ds ⎜ ⎝ ⎠ ⎦⎥
⎤
*
如果我们以 kgold 来表示对应于 c* 的最大值的 k * 值 ，那么决定 kgold 的条件 是：
f ′ (kgold ) = n + δ
2．2．8
绝对与条件收敛
（1.14）式意味着 γk 对 k 的导数为负：
∂γ k
s ⋅ ⎡⎣ f ′ (k ) − f (k ) k ⎤⎦ ∂k = <0 k
其他情况相同， k 的值越小， γk 的值越大。于是一个重要问题油然而生：这一 结果是不是意味着有更低的人均资本的经济趋于在人均项目上更快地增长？换 言之，是否存在各经济之间的收敛？ 绝对收敛：如果不以经济的任何其他特征为条件，在人均量上穷国趋于比 富国增长更快的假说，被称为绝对收敛。
由于 0 < Sh (k ) < 1 ，等式右边的后一项为负。如果 项非正，从而 ∂γy
γ k ≥ 0 ，则等式右边的第一
∂k <0。于是在 γ
的上升（因而随着 y 上升） ，
γ y 必然下降。反之，如果 γk < 0 ，则符号不确定。
k
* ≥ 0 即 k ≤ k 的区域中，随着人均资本 k
然而， 如果经济接近稳态， 那么 也一定成立。
γk 的数量将很小， 从而即使 k > k
*
∂γy ，
∂k <0
在假定了一个不变的储蓄率的索洛—斯旺模型中，人均消费水平由
c =(1−s)⋅ y 给定。因此，该模型中的 γy
出与产出相同的动态。
= γc 适用于一切试点。消费也呈现
2． 2． 6
政策试验
图 2.5
储蓄率增加的影响
在索洛—斯旺模型中， 这些种类的政策变化也对经济增长率有着暂时的但不 久远的影响。
相应的储蓄率可以被表示为
（1.13）
sgold
，与之相联系的稳态人均消费水平是
cgold = f (kgold )−(n + δ )⋅ kgold 。
式（1.13）中的条件被称作资本积累的黄金律（参见费尔普斯[1966]） 。这 个名字来源于《圣经》中的行为的黄金律： “己所不欲，勿施与人” 。经济学意 义上的黄金律结果可以被理解为： “如果我们对每一当前和未来世代的成员提供 相同数量的消费——也就是说我们给予未来世代的并不比给予我们自己的要少 ——则人均消费的最大数量即为 cgold 。 ” 图 2.3 描述了黄金律的运作。一个问题是一些储蓄率是否优于另一些。虽然 目前我们无法确定最佳储蓄率（这需要储蓄率的内生化） ，但是在目前的框架中 我们可以证明一直超过 sgold 的储蓄率是无效率的，因为通过降低储蓄率，我们
⎣ ⎦
（1.15）
给定。最右端方括号中的式子通常被称为资本份额，也就是资本的租金收入占总 k 之间的关系依赖于资本份额的行为。而在柯布 γ y 是 γk 的 α 部分。因此，
—道格拉斯生产函数中， 资本份额是一常数 α ， 从而
γ y 的行为是对 γk 的模仿。
（1.5a）
F (λ K ,λ L) = λ F ( K , L) ，对所有的 λ > 0 。
第三，稻田条件（Inada,1963）:
K →0
（1.5b）
lim ( FK ) = lim ( FL ) = ∞
L→0
K →∞
lim ( FK ) = L lim (F ) = 0 →∞ L
（1.5c）
（1.10）
注：资本存量的持续变化有（1.2）给出，如果两边同时除以 L ，则我们得 到：
L = s⋅ K
利用
f (k ) − δ k
≡ d ( K / L) = K k
dt
L − nk
图 2.1
索洛—斯旺模型
2．1．3
稳态
稳态定义： 一种其中各种数量都以不变速率增长的状况。 索洛—斯旺模型的
lim ⎣⎡ s ⋅ f (k )
( )⎤⎥⎦ = ∞ (k )⎤⎥⎦ = 0 ）
。 。
同
理
得
到
：
第二项 n + δ 则是一条水平线。 这条曲线与直线之间的垂直距离等于人均资 本的增长率，其交点对应于稳态。由于 n + δ > 0 且 s⋅ f
(k) k 从无穷大单调下
降到 0，这条曲线和直线交且仅交一次。因此，稳态资本/劳动比率 k * > 0 存在 且唯一。
这一性质对应于等产量曲线的重新编号以至于希克斯中性生产函数可被写117其中是一个技术状态指数且哈罗德把一个创新定义为中性哈罗德中性如果对于一个给定的资本产出比率相对投入份额点表示
第二讲 有外生储蓄率的增长模型（索洛—斯旺模型）
2.1 2.1.1
基本结构 结构
首先，居民户（或家庭）拥有经济中的所有投入和资产，包括在企业中的所 有权，并选择其收入中用于消费和储蓄的比例。每个家庭决定要生多少孩子，是 否加入劳动力市场以及工作多少时间。 其次，企业雇用诸于劳动和资本之类的投入，而且利用这些投入来生产卖给 家庭或其他企业的产品。企业拥有持续演进的技术，使得它们可以把投入转化为 产出。 再次，企业向家庭或其他企业出售产品以及家庭向企业出售投入，这就构成 了市场。需求和供给的数量决定了投入与所生产出的产品的相对价格。 为了简化，我们采取一个排除市场和企业的简化框架，可以设想一个类似于 鲁滨逊式家庭——既是一个消费单位又是一个生产单位。
可以在所有时点上获得更高数量的人均消费。 一个过度储蓄的经济被称为动态无效率的，因为其消费路径在所有时点都 位于另一条可行路径之下。
图 2.2
资本积累的黄金律
图 2.3
黄金律与动态无效率
2．2．5
转移动态
索洛—斯旺模型中的长期增长完全被外生因素所决定。因此，有关长期的主 要实质性结论都是消极的，譬如稳态增长独立于储蓄率和生产函数水平。但模型 确实也有一些有关转移动态的更为有趣的含义。 这一转移显示出一个经济的人均 收入是如何收敛于其自身的稳态值和其他经济的人均收入的。 把（1.10）式的两边同除以 k 意味着 k 的增长率由：
2.1.2
假设
第一，假设仅有两种投入，劳动和资本，从而生产函数具有如下形式：
Y (t ) = F ⎡⎢ K (t ), L (t ), t ⎤⎥
⎣ ⎦
（1.1）
生产函数对时间 t 的依赖反映了技术进步。 第二， 假设一个单部门生产技术， 其中产出是一种可被消费 C (t ) ， 或投资 I (t ) 以创造新的物质资本单位 K (t ) 的同质产品。 第三，假定经济是封闭的，在一个封闭经济中，产出等于收入，投资等与储 蓄额。 第四，储蓄率是一不变的外生常数， s (.) = s 。 第五，资本以常率 δ > 0 折旧。
γk ≡ k k = s ⋅ f (k )
例如：
k −(n + δ )
（1.14）
给定。注意，在所有时点上，一个变量水平的增长率等于其人均增长率加上 n ，
γ K = γk + n
注：
) dt K = γk ≡ k k = d ( KK/ L L
= K − n = γ −n K K
L − n ⋅( K L) K L
Y = F ( K , L)
如果它满足以下三个性质，则称为新古典生产函数。
（1.4）
第一，对所有 K > 0 和 L > 0 ， F (.) 呈现出对每一种投入的正且递减的边 际产品：
∂F ∂2 F > 0, <0 ∂K ∂K 2
∂F ∂2 F > 0, <0 ∂L ∂L2
第二， F (.) 呈现出不变规模报酬：