2018年7月26日对数与对数运算-2019年高考数学(文)一轮复习
高考数学一轮复习第6讲 对数与对数函数
第6讲对数与对数函数1．对数的定义如果a x＝N(a>0，且a≠1)，那么数x叫做以a为底N的对数，记作01x＝log a N，其中a叫做对数的底数，N叫做真数．2．对数的运算法则如果a＞0，且a≠1，M＞0，N＞0，那么(1)log a(MN)＝02log a M＋log a N，(2)log a MN＝03log a M－log a N，(3)log a M n＝n log a M(n∈R)．3．对数函数的定义函数04y＝log a x(a＞0，且a≠1)叫做对数函数，其中x是自变量．4．对数函数的图象与性质a>10<a<1 图象定义域05(0，＋∞)值域R定点过点06(1,0)单调性07增函数08减函数函数值正负当x＞1时，y＞0；当0＜x＜1时，y＜0当x＞1时，y＜0；当0＜x＜1时，y＞05．反函数指数函数y＝a x(a＞0且a≠1)与对数函数y＝09log a x(a＞0且a≠1)互为反函数，它们的图象关于直线10y＝x对称．1．对数的性质(a＞0且a≠1)(1)log a1＝0；(2)log a a＝1；(3)a log aN＝N.2．换底公式及其推论(1)log a b＝logcblogca(a，c均大于0且不等于1，b＞0)；(2)log a b·log b a＝1，即log a b＝1logba(a，b均大于0且不等于1)；(3)log am b n＝nm log a b；(4)log a b·log b c·log c d＝log a d.3．对数函数的图象与底数大小的比较如图，作直线y＝1，则该直线与四个函数图象交点的横坐标为相应的底数．故0＜c＜d＜1＜a＜b.由此我们可得到以下规律：在第一象限内从左到右底数逐渐增大．1．(2020·全国卷Ⅰ)设a log 34＝2，则4－a ＝( ) A ．116B ．19C ．18D ．16答案 B解析 由a log 34＝2可得log 34a＝2，所以4a＝9，所以4－a＝19，故选B ．2．已知a >0，a ≠1，函数y ＝a x 与y ＝log a (－x )的图象可能是( )答案 B解析 若a >1，则y ＝a x 是增函数，y ＝log a (－x )是减函数；若0<a <1，则y ＝a x 是减函数，y ＝log a (－x )是增函数，故选B ．3．函数f (x )＝错误!的定义域是( ) A ．(－∞，1)∪(3，＋∞) B ．(1,3) C ．(－∞，2)∪(2，＋∞) D ．(1,2)∪(2,3)答案 D解析 由题意知⎩⎪⎨⎪⎧－x2＋4x －3>0，－x2＋4x －3≠1，即⎩⎪⎨⎪⎧1<x<3，x≠2，故函数f (x )的定义域为(1,2)∪(2,3)．故选D ．4．(2021·菏泽高三月考)已知x ＝log 52，y ＝log 25，z ＝3，则下列关系正确的是( )A ．x ＜z ＜yB ．x ＜y ＜zC ．z ＜x ＜yD ．z ＜y ＜x答案 A解析 ∵x ＝log 52＜log 55＝12，y ＝log 25＞1，z ＝3＝13∈⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫12，1.∴x ＜z ＜y .故选A ．5．函数f (x )＝ln (x 2－2x －8)的单调递增区间是( ) A ．(－∞，－2) B ．(－∞，1) C ．(1，＋∞) D ．(4，＋∞)答案 D解析 由x 2－2x －8>0，得x >4或x <－2.设t ＝x 2－2x －8，∵y ＝ln t 为增函数，∴要求函数f (x )的单调递增区间，即求函数t ＝x 2－2x －8的单调递增区间．∵当x ∈(4，＋∞)时，函数t ＝x 2－2x －8为增函数， ∴函数f (x )的单调递增区间为(4，＋∞)．故选D ． 6．计算：log 23×log 34＋(3)log 34＝________.答案 4解析 log 23×log 34＋(3)log 34＝lg 3lg 2×2lg 2lg 3＋3log 34＝2＋3log 32＝2＋2＝4.考向一 对数的化简与求值例1 (1)(2020·海口模拟)《千字文》是我国传统的启蒙读物，相传是南北朝时期梁武帝命人从王羲之的书法作品中选取1000个不重复的汉字，让周兴嗣编纂而成的，全文为四字句，对仗工整，条理清晰，文采斐然．已知将1000个不同汉字任意排列，大约有4.02×102567种方法，设这个数为N ，则lg N 的整数部分为( )A ．2566B ．2567C．2568 D．2569答案 B解析由题可知，lg N＝lg (4.02×102567)＝2567＋lg 4.02.因为1<4.02<10，所以0<lg 4.02<1，所以lg N的整数部分为2567.(2)化简12lg3249－43lg 8＋lg 245＝________.答案1 2解析12lg3249－43lg 8＋lg 245＝12×(5lg 2－2lg 7)－43×32lg 2＋12(lg 5＋2lg 7)＝52lg 2－lg 7－2lg 2＋12lg 5＋lg 7＝12lg 2＋12lg 5＝12lg (2×5)＝12.(3)设2a＝5b＝m，且1a＋1b＝2，则m＝________.答案10解析因为2a＝5b＝m>0，所以a＝log2m，b＝log5m，所以1a＋1b＝1log2m＋1log5m＝log m2＋log m5＝log m10＝2.所以m2＝10，所以m＝10.对数运算的一般思路(1)拆：把底数或真数进行变形，将对数式化为同底数对数的和、差、倍数运算．(2)合：逆用对数的运算性质，转化为同底对数真数的积、商、幂的运算．对数的运算性质以及有关公式都是在式子中所有的对数有意义的前提下才成立的，不能出现log212＝log2[(－3)×(－4)]＝log2(－3)＋log2(－4)的错误．1．(2020·青岛质检)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧3x ，x≤0，－⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫12x ，x>0，则f (f (log 23))＝( )A ．－9B ．－1C ．－13D ．－127 答案 B解析 f (log 23)＝－⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫12log 23＝－2log 23－1＝－13<0，∴f (f (log 23))＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫－13＝3×⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫－13＝－1.2．lg 52＋23lg 8＋lg 5×lg 20＋(lg 2)2的值为________. 答案 3解析 原式＝2lg 5＋2lg 2＋lg 5(1＋lg 2)＋(lg 2)2＝2(lg 5＋lg 2)＋lg 5＋lg 2(lg 2＋lg 5)＝2＋lg 5＋lg 2＝3.3．若log 147＝a,14b ＝5，则用a ，b 表示log 3528＝________. 答案2－a a ＋b解析 ∵a ＝log 147，b ＝log 145，∴a ＋b ＝log 1435.又log 1428＝log 141427＝2－log 147＝2－a ，∴log 3528＝log1428log1435＝2－a a ＋b.考向二 对数函数的图象及其应用例2 (1)(2020·泰安模拟)对数函数y ＝log a x (a ＞0且a ≠1)与二次函数y ＝(a －1)x 2－x 在同一坐标系内的图象可能是( )答案 A解析 由对数函数y ＝log a x (a ＞0且a ≠1)与二次函数y ＝(a －1)x 2－x 可知，①当0＜a ＜1时，此时a －1＜0，对数函数y ＝log a x 为减函数，而二次函数y ＝(a －1)x 2－x 的图象开口向下，且其对称轴为x ＝错误!＜0，故排除C ，D ；②当a ＞1时，此时a －1＞0，对数函数y ＝log a x 为增函数，而二次函数y ＝(a －1)x 2－x 的图象开口向上，且其对称轴为x ＝错误!＞0，故B 错误，而A 符合题意．故选A ．(2)若方程4x ＝log a x 在⎝ ⎛⎦⎥⎥⎤0，12内有解，则实数a 的取值范围为________.答案 ⎝ ⎛⎦⎥⎥⎤0，22 解析 构造函数f (x )＝4x 和g (x )＝log a x .当a >1时不满足条件，当0<a <1时，画出两个函数的大致图象，如图所示．可知，只需两图象在⎝ ⎛⎦⎥⎥⎤0，12上有交点即可，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫12≥g ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫12，即2≥log a 12，则0<a ≤22，所以实数a 的取值范围为⎝⎛⎦⎥⎥⎤0，22.利用对数函数的图象可求解的两类热点问题(1)对一些可通过平移、对称变换作出其对数型函数的图象，在求解其单调性(单调区间)、值域(最值)、零点时，常利用数形结合思想求解．(2)一些对数型方程、不等式问题常转化为相应的函数图象问题，利用数形结合法求解．4．函数f (x )＝log a |x |＋1(0<a <1)的图象大致是( )答案 A解析 由于函数f (x )＝log a |x |＋1(0<a <1)是偶函数，故其图象关于y 轴对称．当x >0时，f (x )＝log a |x |＋1(0<a <1)是减函数；当x <0时，f (x )＝log a |x |＋1(0<a <1)是增函数．再由图象过点(1,1)，(－1,1)，可知应选A ．5．(2020·河南洛阳高三阶段性测试)已知正实数a ，b ，c 满足⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫12a ＝log 3a ，⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫14b ＝log 3b ，c ＝log 32，则( )A ．a ＜b ＜cB ．c ＜b ＜aC ．b ＜c ＜aD ．c ＜a ＜b答案 B解析 在坐标系里画出y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫12x ，y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫14x 与y ＝log 3x 的图象，可得a ＞b ＞1.而c ＝log 32＜1，故c ＜b ＜a .多角度探究突破考向三 对数函数的性质及其应用 角度1 比较对数值的大小例3 (1)(2020·聊城二模)已知a ＝π，b ＝ln π，c ＝log πe ，则a ，b ，c 的大小关系为( )A ．a >c >bB ．b >a >cC ．c >a >bD ．a >b >c答案 D解析 因为a ＝π>π0＝1，b ＝lnπ＝ln (π)＝12ln π，c ＝log πe ＝log π(e )＝12log πe ，又log π1<log πe<log ππ，即c ∈⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫0，12，ln e<ln π<ln e 2，即b ∈⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫12，1，所以a >b >c ，故选D ．(2)(多选)若实数a ，b ，c 满足log a 2<log b 2<log c 2，则下列关系中可能成立的是( )A ．a <b <cB ．b <a <cC ．c <b <aD ．a <c <b答案 BCD解析 由log a 2<log b 2<log c 2的大小关系，可知a ，b ，c 有如下四种可能：①1<c <b <a ；②0<a <1<c <b ；③0<b <a <1<c ；④0<c <b <a <1.作出函数的图象(如图所示)．由图象可知选项B ，C ，D 可能成立．(3)(2020·全国卷Ⅲ)已知55<84,134<85.设a＝log53，b＝log85，c＝log138，则() A．a<b<c B．b<a<cC．b<c<a D．c<a<b答案 A解析∵a，b，c∈(0,1)，ab＝log53log85＝lg 3lg 5·lg 8lg 5＜错误!·错误!2＝错误!2＝错误!2＜1，∴a＜b.由b＝log85，得8b＝5，由55＜84，得85b＜84，∴5b＜4，可得b＜45.由c＝log138，得13c＝8，由134＜85，得134＜135c，∴5c＞4，可得c＞45.综上所述，a＜b＜c.故选A．比较对数值大小的方法6．(2021·长郡中学高三月考)已知实数a，b，c满足lg a＝10b＝1c，则下列关系式中不可能成立的是()A．a＞b＞c B．a＞c＞b C．c＞a＞b D．c＞b＞a 答案 D解析设lg a＝10b＝1c＝t，t＞0，则a＝10t，b＝lg t，c＝1t，在同一坐标系中分别画出函数y＝10x，y＝lg x，y＝1x的图象，如图，当t＝x3时，a＞b＞c；当t＝x2时，a＞c ＞b ；当t ＝x 1时，c ＞a ＞b .故选D ．7．(2020·全国卷Ⅱ)若2x －2y ＜3－x －3－y ，则( ) A ．ln (y －x ＋1)＞0 B ．ln (y －x ＋1)＜0 C ．ln |x －y |＞0 D ．ln |x －y |＜0答案 A解析 由2x －2y ＜3－x －3－y ，得2x －3－x ＜2y －3－y .令f (t )＝2t －3－t ，∵y ＝2x 为R 上的增函数，y ＝3－x 为R 上的减函数，∴f (t )为R 上的增函数．∴x ＜y ，∴y －x ＞0，∴y －x ＋1＞1，∴ln (y －x ＋1)＞0，故A 正确，B 错误．∵|x －y |与1的大小关系不确定，故C ，D 无法确定．故选A ．角度2 解简单的对数不等式例4 (1)设函数f (x )＝错误!若f (a )>f (－a )，则实数a 的取值范围是( ) A ．(－1,0)∪(0,1) B ．(－∞，－1)∪(1，＋∞) C ．(－1,0)∪(1，＋∞) D ．(－∞，－1)∪(0,1) 答案 C解析 由题意可得⎩⎪⎨⎪⎧a>0，log2a>－log2a或错误!解得a >1或－1<a <0.故选C ．(2)(2020·泰安四模)已知函数f (x )是定义在R 上的奇函数，当x ∈(－∞，0]时，f (x )＝－x 2＋2x ，若实数m 满足f (log 2m )≤3，则m 的取值范围是( )A ．(0,2]B ．12，2C ．(0,8]D ．18，8答案 A解析 根据题意，当x ∈(－∞，0]时，f (x )＝－x 2＋2x ＝－(x －1)2＋1，则f (x )在区间(－∞，0]上为增函数，且f (－1)＝(－1)＋2×(－1)＝－3，又f (x )为奇函数，则f (x )在区间[0，＋∞)上为增函数，且f (1)＝－f (－1)＝3，故f (x )在R 上为增函数，f (log 2m )≤3⇒f (log 2m )≤f (1)⇒log 2m ≤1，解得0＜m ≤2，即m 的取值范围为(0,2]．故选A ．解对数不等式的类型及方法(1)形如log a x >log a b 的不等式，借助y ＝log a x 的单调性求解，如果a 的取值不确定，需分a >1与0<a <1两种情况讨论．(2)形如log a x >b 的不等式，需先将b 化为以a 为底的对数式的形式．8.设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧21－x ，x≤1，1－log2x ，x>1，则满足f (x )≤2的x 的取值范围是( )A ．[－1,2]B ．[0,2]C ．[1，＋∞)D ．[0，＋∞)答案 D解析 当x ≤1时，由21－x ≤2得1－x ≤1，∴0≤x ≤1.当x >1时，由1－log 2x ≤2得x ≥12，∴x >1.综上，x 的取值范围为[0，＋∞)．故选D ．9．(2020·北京模拟)已知定义域为R 的偶函数f (x )在[0，＋∞)上是增函数，且f ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫12＝0，则“不等式f (log 4x )＞0的解集”是“⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x|0＜x ＜12”的( )A ．充分不必要条件B ．充要条件C ．必要不充分条件D ．既不充分也不必要条件答案 C解析 ∵定义域为R 的偶函数f (x )在[0，＋∞)上是增函数，且f ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫12＝0，∴f (log 4x )＞0，即f (log 4x )＞f ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫12，即f (|log 4x |)＞f ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫12，即|log 4x |＞12，即log 4x ＞12或log 4x ＜－12，解得x ＞2或0＜x ＜12.⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x|x ＞2或0＜x ＜12是⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x|0＜x ＜12的必要不充分条件．故选C ．考向四 与对数有关的复合函数问题例5 (1)已知函数f (x )＝log a (8－ax )(a >0，且a ≠1)，若f (x )>1在区间[1,2]上恒成立，则实数a 的取值范围是________.答案 ⎝⎛⎭⎪⎪⎫1，83解析 当a >1时，f (x )＝log a (8－ax )在[1,2]上是减函数，由f (x )>1在区间[1,2]上恒成立，得f (x )min ＝log a (8－2a )>1，解得1<a <83.当0<a <1时，f (x )在[1,2]上是增函数， 由f (x )>1在区间[1,2]上恒成立，得f (x )min ＝log a (8－a )>1，得8－2a <0，a >4.a 不存在． 综上可知，实数a 的取值范围是⎝⎛⎭⎪⎪⎫1，83.(2)(2020·海南省高三第一次联考)已知函数f (x )＝3＋log 2x ，x ∈[1,16]，若函数g (x )＝[f (x )]2＋2f (x 2)．①求函数g (x )的定义域； ②求函数g (x )的最值．解 ①函数g (x )＝[f (x )]2＋2f (x 2)满足⎩⎪⎨⎪⎧1≤x≤16，1≤x2≤16，解得1≤x ≤4，即函数g (x )＝[f (x )]2＋2f (x 2)的定义域为[1,4]．②因为x ∈[1,4]，所以log 2x ∈[0,2]． g (x )＝[f (x )]2＋2f (x 2) ＝(3＋log 2x )2＋6＋2log 2x 2＝(log 2x )2＋10×log 2x ＋15＝(log 2x ＋5)2－10， 当log 2x ＝0时，g (x )min ＝15， 当log 2x ＝2时，g (x )max ＝39，即函数g (x )的最大值为39，最小值为15.利用对数函数的性质，求与对数函数有关的函数值域和复合函数的单调性问题，必须弄清三方面的问题：一是定义域，所有问题都必须在定义域内讨论；二是底数与1的大小关系；三是复合函数的构成，即它是由哪些基本初等函数复合而成的．另外，解题时要注意数形结合、分类讨论、转化与化归思想的使用．10.若f (x )＝lg (x 2－2ax ＋1＋a )在区间(－∞，1]上单调递减，则a 的取值范围为( )A ．[1,2)B ．[1,2]C ．[1，＋∞)D ．[2，＋∞)答案 A解析 令函数g (x )＝x 2－2ax ＋1＋a ＝(x －a )2＋1＋a －a 2，对称轴为直线x ＝a ，要使函数在(－∞，1]上单调递减，则有错误!即错误!解得1≤a <2，即a ∈[1,2)．故选A ．11．已知函数f (x )＝log a (x ＋2)＋log a (4－x )(a >0且a ≠1)． (1)求函数f (x )的定义域；(2)若函数f (x )在区间[0,3]上的最小值为－2，求实数a 的值．解 (1)依题意得⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2>0，4－x>0，解得－2<x <4，∴f (x )的定义域为(－2,4)．(2)f (x )＝log a (x ＋2)＋log a (4－x ) ＝log a [(x ＋2)(4－x )]，令t ＝(x ＋2)(4－x )，则变形得t ＝－(x －1)2＋9， ∵0≤x ≤3，∴5≤t ≤9.若a >1，则log a 5≤log a t ≤log a 9，∴f (x )min ＝log a 5＝－2，则a 2＝15<1(舍去)，若0<a <1，则log a 9≤log a t ≤log a 5， ∴f (x )min ＝log a 9＝－2， 则a 2＝19，又0<a <1，∴a ＝13.综上，a ＝13.一、单项选择题1．函数f (x )＝错误!的定义域是( ) A ．(－3,0)B ．(－3,0]C ．(－∞，－3)∪(0，＋∞)D ．(－∞，－3)∪(－3,0)答案 A解析 因为f (x )＝错误!，所以要使函数f (x )有意义，需使错误!即－3<x <0. 2．若函数y ＝f (x )是函数y ＝a x (a >0，且a ≠1)的反函数，且f (2)＝1，则f (x )＝()A．log2x B．1 2xC．log12x D．2x－2答案 A解析由题意知f(x)＝log a x(x>0)．∵f(2)＝1，∴log a2＝1.∴a＝2.∴f(x)＝log2x.3．(2020·北京市平谷区二模)溶液酸碱度是通过pH计算的，pH的计算公式为pH ＝－lg [H＋]，其中[H＋]表示溶液中氢离子的浓度，单位是摩尔/升，若人体胃酸中氢离子的浓度为2.5×10－2摩尔/升，则胃酸的pH是(参考数据：lg 2≈0.3010)() A．1.398 B．1.204C．1.602 D．2.602答案 C解析由题意可得，pH＝－lg (2.5×10－2)＝－(lg 2.5＋lg 10－2)＝－(1－2lg 2－2)＝1＋2lg 2≈1.6020.故选C．4．(2020·滨州二模)设a＝0.30.1，b＝log 15，c＝log526，则a，b，c的大小关系是()A．a>b>c B．c>a>b C．b>a>c D．c>b>a 答案 D解析∵0<0.30.1<0.30＝1，∴0<a<1，∵b＝log 15＝log35，log33<log35<log39，∴1<b<2，∵c＝log526>log525＝2，∴c>2，∴c>b>a.故选D．5．在同一直角坐标系中，函数f(x)＝2－ax，g(x)＝log a(x＋2)(a＞0，且a≠1)的图象大致为()答案 A解析 由题意，知函数f (x )＝2－ax (a ＞0，且a ≠1)为单调递减函数，当0＜a ＜1时，函数f (x )＝2－ax 的零点x ＝2a ＞2，且函数g (x )＝log a (x ＋2)在(－2，＋∞)上为单调递减函数；当a ＞1时，函数f (x )＝2－ax 的零点x ＝2a ＜2，且x ＝2a ＞0，又g (x )＝log a (x＋2)在(－2，＋∞)上是增函数．综上只有A 满足．6．若log a 23<1(a >0且a ≠1)，则实数a 的取值范围是( )A ．⎝⎛⎭⎪⎪⎫0，23B ．⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫23，＋∞C ．⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫23，1∪(1，＋∞)D ．⎝⎛⎭⎪⎪⎫0，23∪(1，＋∞)答案 D解析 因为log a 23<1，所以log a 23<log a a .若a >1，则上式显然成立；若0<a <1，则应满足0＜a ＜23.所以实数a 的取值范围是⎝⎛⎭⎪⎪⎫0，23∪(1，＋∞)．故选D ．7．(2020·泰安一模)已知定义在R 上的函数f (x )的周期为4，当x ∈[－2,2)时，f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫13x －x －4，则f (－log 36)＋f (log 354)＝( ) A ．32B ．32－log 32C ．－12D ．23＋log 32答案 A解析 因为函数f (x )的周期为4，当x ∈[－2,2)时，f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫13x －x －4，∴f (－log 36)＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫log316＝⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫13log 3－log 316－4＝2＋log 36，f (log 354)＝f (3＋log 32)＝f (log 32－1)＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫log323＝⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫13log 3－log 323－4＝32－log 32＋1－4＝－32－log 32，∴f (－log 36)＋f (log 354)＝2＋log 36－32－log 32＝32.故选A ．8．(2020·枣庄模拟)已知a ＞b ＞0，若log a b ＋log b a ＝52，a b＝b a，则ab＝( )A ．2B ．2C ．22D ．4答案 B解析 对a b ＝b a 两边取以a 为底的对数，得log a a b ＝log a b a ，即b ＝a log a b ，同理有a ＝b log b a ，代入log a b ＋log b a ＝52，得ba ＋ab ＝52，因为a ＞b ＞0，所以ab ＞1，所以ab ＝2，ba ＝12，故选B ．9．(2020·海南模拟)函数f (x )＝log 2x4·log 4(4x 2)的最小值为( )A ．－94B ．－2C ．－32D ．0答案 A解析 由题意知f (x )的定义域为(0，＋∞)．所以f (x )＝(－2＋log 2x )(1＋log 2x )＝(log 2x )2－log 2x －2＝⎝⎛⎭⎪⎪⎫log2x －122－94≥－94.当x ＝2时，函数取得最小值．故选A ．10．(2020·全国卷Ⅱ)设函数f (x )＝ln |2x ＋1|－ln |2x －1|，则f (x )( ) A ．是偶函数，且在⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫12，＋∞单调递增B ．是奇函数，且在⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫－12，12单调递减C ．是偶函数，且在⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫－∞，－12单调递增D ．是奇函数，且在⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫－∞，－12单调递减答案 D解析 f (x )＝ln |2x ＋1|－ln |2x －1|的定义域为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x|x≠±12，关于坐标原点对称，又f (－x )＝ln |1－2x |－ln |－2x －1|＝ln |2x －1|－ln |2x ＋1|＝－f (x )，∴f (x )为定义域上的奇函数，可排除A ，C ；当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫－12，12时，f (x )＝ln (2x ＋1)－ln (1－2x )，∵y ＝ln (2x ＋1)在⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫－12，12上单调递增，y ＝ln (1－2x )在⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫－12，12上单调递减，∴f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫－12，12上单调递增，排除B ；当x ∈⎝⎛⎭⎪⎪⎫－∞，－12时，f (x )＝ln (－2x －1)－ln (1－2x )＝ln 2x ＋12x －1＝ln⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫1＋22x －1，∵μ＝1＋22x －1在⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫－∞，－12上单调递减，f (μ)＝ln μ在定义域内单调递增，∴根据复合函数单调性可知f (x )在⎝⎛⎭⎪⎪⎫－∞，－12上单调递减，D 正确．故选D ．二、多项选择题11．(2020·海南省普通高中高考调研测试)若10a ＝4,10b ＝25，则( ) A ．a ＋b ＝2 B ．b －a ＝1 C ．ab >8(lg 2)2 D ．b －a >lg 6答案 ACD解析 由10a ＝4,10b ＝25，得a ＝lg 4，b ＝lg 25，∴a ＋b ＝lg 4＋lg 25＝lg 100＝2，∴b －a ＝lg 25－lg 4＝lg254，∵b －a ＝lg254>lg 6，∴b －a >lg 6，∴ab ＝4lg 2×lg 5>4lg 2×lg 4＝8(lg 2)2.故选ACD ．12．(2020·泰安三模)已知直线y ＝－x ＋2分别与函数y ＝e x 和y ＝ln x 的图象交于点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则下列结论正确的是( )A ．x 1＋x 2＝2B ．e x 1＋e x 2>2eC ．x 1ln x 2＋x 2ln x 1<0D ．x 1x 2>e 2答案 ABC解析 函数y ＝e x 与y ＝ln x 互为反函数，则y ＝e x 与y ＝ln x 的图象关于y ＝x 对称，将y ＝－x ＋2与y ＝x 联立，得x ＝1，y ＝1，由直线y ＝－x ＋2分别与函数y ＝e x 和y ＝ln x 的图象交于点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，作出函数图象如图：则A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)的中点坐标为(1,1)，对于A ，由x1＋x22＝1，解得x 1＋x 2＝2，故A 正确；对于B ，e x 1＋e x 2≥2ex1·ex2＝2ex1＋x2＝2e2＝2e ，因为x 1≠x 2，即等号不成立，所以e x 1＋e x 2>2e ，故B 正确；对于C ，将y ＝－x ＋2与y ＝e x 联立可得－x ＋2＝e x ，即e x ＋x －2＝0，设f (x )＝e x ＋x －2，则函数为单调递增函数，因为f (0)＝1＋0－2＝－1<0，f ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫12＝e ＋12－2＝e －32>0，故函数的零点在⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫0，12上，即0<x 1<12，由x 1＋x 2＝2，则32<x 2<2，x 1ln x 2＋x 2ln x 1＝x 1ln x 2－x 2ln 1x1<x 1ln x 2－x 2ln x 2＝(x 1－x 2)ln x 2<0，故C 正确；对于D ，x 1x 2＝x 1(2－x 1)＝2x 1－x 21，又x 1∈⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫0，12，所以x 1x 2∈⎝⎛⎭⎪⎪⎫0，34，故D 错误．故选ABC ．三、填空题13．计算：lg 5(lg 8＋lg 1000)＋(lg 2)2＋lg 16＋lg 0.06＝________. 答案 1解析 原式＝lg 5(3lg 2＋3)＋3(lg 2)2＋lg ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫16×0.06＝3lg 5·lg 2＋3lg 5＋3(lg 2)2－2＝3lg 2＋3lg 5－2＝1.14．(2020·南昌三模)已知函数f (x )＝2|x |＋x 2，m ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫log213，n ＝f (7－0.1)，p ＝f (log 425)，则m ，n ，p 的大小关系是________.答案 p ＞m ＞n解析 因为f (x )＝2|x |＋x 2，则f (－x )＝2|－x |＋(－x )2＝f (x )，即f (x )为偶函数，当x ＞0时，f (x )＝2x＋x 2单调递增，m ＝f ⎝⎛⎭⎪⎪⎫log213＝f (log 23)，n ＝f (7－0.1)，p ＝f (log 425)＝f (log 25)，又log 25＞2＞log 23＞1＞7－0.1＞0，故p ＞m ＞n .15．函数y ＝log 0.6(－x 2＋2x )的值域是________. 答案 [0，＋∞)解析 －x 2＋2x ＝－(x －1)2＋1≤1，又－x 2＋2x >0，则0<－x 2＋2x ≤1.函数y ＝log 0.6x 为(0，＋∞)上的减函数，则y ＝log 0.6(－x 2＋2x )≥log 0.61＝0，所以所求函数的值域为[0，＋∞)．16．如图，已知过原点O 的直线与函数y ＝log 8x 的图象交于A ，B 两点，分别过A ，B 作y 轴的平行线与函数y ＝log 2x 图象交于C ，D 两点，若BC ∥x 轴，则四边形ABDC 的面积为________.答案433log 23解析 设点A ，B 的横坐标分别为x 1，x 2，由题设知，x 1＞1，x 2＞1.则点A ，B 的纵坐标分别为log 8x 1，log 8x 2.因为A ，B 在过点O 的直线上，所以log8x1x1＝log8x2x2，点C ，D 的坐标分别为(x 1，log 2x 1)，(x 2，log 2x 2)．由BC 平行于x 轴，知log 2x 1＝log 8x 2，即log 2x 1＝13log 2x 2，∴x 2＝x 31.代入x 2log 8x 1＝x 1log 8x 2得x 31log 8x 1＝3x 1log 8x 1.由x 1＞1知log 8x 1≠0，∴x 31＝3x 1.考虑x 1＞1，解得x 1＝3.于是点A 的坐标为(3，log 83)，即A ⎝⎛⎭⎪⎪⎫3，16log23，∴B ⎝⎛⎭⎪⎪⎫33，12log23，C ⎝⎛⎭⎪⎪⎫3，12log23，D ⎝⎛⎭⎪⎪⎫33，32log23.∴梯形ABDC 的面积为S ＝12(AC ＋BD )×BC ＝12×⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫13log23＋log23×23＝433log 23.四、解答题17．已知f (x )是定义在R 上的偶函数，且当x ≥0时，f (x )＝log a (x ＋1)(a ＞0，且a ≠1)．(1)求函数f (x )的解析式；(2)若－1＜f (1)＜1，求实数a 的取值范围． 解 (1)当x ＜0时，－x ＞0， 由题意知f (－x )＝log a (－x ＋1)，又f (x )是定义在R 上的偶函数，∴f (－x )＝f (x )． ∴当x ＜0时，f (x )＝log a (－x ＋1)， ∴函数f (x )的解析式为f (x )＝错误! (2)∵－1＜f (1)＜1，∴－1＜log a 2＜1， ∴log a 1a＜log a 2＜log a a .①当a ＞1时，原不等式等价于⎩⎪⎨⎪⎧1a＜2，a ＞2，解得a ＞2；②当0＜a ＜1时，原不等式等价于⎩⎪⎨⎪⎧1a＞2，a ＜2，解得0＜a ＜12.综上，实数a 的取值范围为⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫0，12∪(2，＋∞)．18．已知函数f (x )＝log 2⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫12x ＋a .(1)若函数f (x )是R 上的奇函数，求a 的值；(2)若函数f (x )的定义域是一切实数，求a 的取值范围；(3)若函数f (x )在区间[0,1]上的最大值与最小值的差不小于2，求实数a 的取值范围．解 (1)若函数f (x )是R 上的奇函数，则f (0)＝0， ∴log 2(1＋a )＝0，∴a ＝0.当a ＝0时，f (x )＝－x 是R 上的奇函数．所以a ＝0. (2)若函数f (x )的定义域是一切实数，则12x ＋a ＞0恒成立．即a ＞－12x 恒成立，由于－12x∈(－∞，0)， 故只要a ≥0，则a 的取值范围是[0，＋∞)．(3)由已知得函数f (x )是减函数，故f (x )在区间[0,1]上的最大值是f (0)＝log 2(1＋a )，最小值是f (1)＝log 2⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫12＋a .由题设得log 2(1＋a )－log 2⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫12＋a ≥2，则log 2(1＋a )≥log 2(4a ＋2)． ∴⎩⎪⎨⎪⎧1＋a≥4a＋2，4a ＋2＞0，解得－12＜a ≤－13.故实数a 的取值范围是⎝ ⎛⎦⎥⎥⎤－12，－13.19．(2021·荆州月考)已知函数f (x )＝log 13(x 2－2mx ＋5)．(1)若f (x )的值域为R ，求实数m 的取值范围；(2)若f (x )在(－∞，2]内为增函数，求实数m 的取值范围．解 (1)由f (x )的值域为R ，可得u ＝x 2－2mx ＋5能取得(0，＋∞)内的一切值， 故函数u ＝x 2－2mx ＋5的图象与x 轴有公共点， 所以Δ＝4m 2－20≥0，解得m ≤－5或m ≥5.故实数m 的取值范围为(－∞，－5]∪[5，＋∞)．(2)因为f (x )在(－∞，2]内为增函数，所以u ＝x 2－2mx ＋5在(－∞，2]内单调递减且恒正， 所以⎩⎪⎨⎪⎧m≥2，9－4m>0，解得2≤m <94.故实数m 的取值范围为2，94.20．已知函数f (x )＝log 4(ax 2＋2x ＋3)． (1)若f (1)＝1，求f (x )的单调区间；(2)是否存在实数a ，使f (x )的最小值为0？若存在，求出a 的值；若不存在，说明理由．解 (1)因为f (1)＝1，所以log 4(a ＋5)＝1， 因此a ＋5＝4，a ＝－1， 此时f (x )＝log 4(－x 2＋2x ＋3)． 由－x 2＋2x ＋3>0得－1<x <3， 即函数f (x )的定义域为(－1,3)． 令t ＝－x 2＋2x ＋3，则t ＝－x 2＋2x ＋3在(－1,1]上单调递增，在(1,3)上单调递减． 又y ＝log 4t 在(0，＋∞)上单调递增，所以f (x )的单调递增区间是(－1,1]，单调递减区间是(1,3)． (2)存在．令h (x )＝ax 2＋2x ＋3，则h (x )有最小值1，因此应有⎩⎪⎨⎪⎧a>0，12a －44a ＝1，解得a ＝12.。
全国通用2018版高考数学一轮复习第二章对数与对数函数课件文北师大版
＝2log23· 2log43＝3×2log43＝3×2log2 3 3
3
＝3 3.
1 答案 － 2
3 5．若 loga4<1(a>0，且 a≠1)，则实数 a 的取值范围是________． 解析 3 3 3 当 0<a<1 时， loga4<logaa＝1， 解得 0<a<4； 当 a>1 时， loga4
10 2×10＝
－
答案 (1)A (2)－20
规律方法
(1)在对数运算中，先利用幂的运算把底数或真数
进行变形，化成分数指数幂的形式，使幂的底数最简，然后 正用对数运算法则化简合并． (2)先将对数式化为同底数对数的和、差、倍数运算，然后逆 用对数的运算法则，转化为同底对数真数的积、商、幂再运 算． (3)ab＝N⇔b＝logaN(a>0，且a≠1)是解决有关指数、对数问题
n
；
(3)对数的重要公式 logaN ①换底公式：logbN＝ log b ( a，b 均大于零且不等于 1)； a 1 ②logab＝log a，推广 logab· logbc· logcd＝ logad . b
3．对数函数及其性质 (1)概念：函数y＝logax(a＞0，且a≠1)叫作对数函数，其中 x是自变量，函数的定义域是(0，＋∞)．
知识梳理 1．对数的概念 一般地，如果a(a>0，a≠1)的b次幂等于N，即ab＝N，那么 logaN＝.b 其中a叫作对数
数b叫作以a为底Nபைடு நூலகம்对数，记作
的底数，N叫作真数．
2．对数的性质、换底公式与运算性质 (1)对数的性质：①alogaN＝ N ；②logaab＝b(a>0，且 a≠1) (2)对数的运算法则 如果 a>0 且 a≠1，M>0，N>0，那么 ①loga(MN)＝ logaM＋logaN M ②loga ＝ logaM－logaN ； N ③logaMn＝ nlogaM (n∈R)； n ④loga mM ＝ logaM(m，n∈R，且 m≠0)． m
2019届高考(文科)江苏版一轮复习：第2章 7 第7讲 对数与对数函数
[解析] 对①，根据 y＝log0.5x 为单调减函数易知正确． 对②，由 log34>log33＝1＝log55>log65 可知正确． 4 6 6 对③，由 log34＝1＋log3 >1＋log3 >1＋log5 ＝log56 可知正 3 5 5 确． 对④，由 π>e>1 得，logeπ>1>logπe 可知错误．
2．对数的运算法则 如果 a>0，且 a≠1，M >0，N>0，那么：
logaM＋logaN ； ①loga(M· N)＝________________
M logaM－log aN ②log a ＝_____________ __ ___； N
nlogaM ③logaMn＝____________ (n∈R)；
对数式的化简与求值
4 3 － 3 (1)若 a＝log43，则 2a＋2 a＝________ ．
1 1 10 (2)设 2 ＝5 ＝m，且 ＋ ＝2，则 m＝________． a b
a b
（1－log63）2＋log62·log618 1 (3) ＝________ ． log64
【解析】 ＝ 3＋
n ④logamM ＝ logaM. m
n
3．对数函数的图象与性质 a>1 0<a<1
图象
定义域 值域
(0，＋∞) __________
R
a>1 定点 单调性
0<a<1
(1，0) 过点__________
在(0，＋∞)上是 在(0，＋∞)上是
增函数 __________
当 x>1 时，y>0； 当 0<x<1 时，y<0
高考数学一轮复习对数与对数函数
2．谨防2个失误点 (1)凡涉及对数型函数，其真数与底数的取值范围一定不能忽略． (2)在解决对数型复合函数时，当底数a的范围没有明确时，必须分0<a<1
和a>1两种情况讨论．
考法一 对数式的化简与求值(自主练通)
1．(2020·全国Ⅰ卷)设 alog34＝2，则 4－a＝
()
1 A.16
B．19
靠近 y 轴，但不会与 y 轴相交． (2)不论 a>1 还是 0<a<1，对数函数 y＝logax(a>0，且 a≠1)的图象都经过
点1a，－1，(1,0)，(a,1)，且图象都在 y 轴右侧，据此可以快速画出对 数函数 y＝logax(a>0，且 a≠1)的大致图象． (3)对数函数在同一直角坐标系中的图象如图所示，其中图象 (C1，C2，C3，C4 对应的底数依次为 a，b，c，d)的相对位 置与底数大小有关．图中 0<c<d<1<a<b.
恒等式
注意loga1＝0，logaaN＝N，alogaN＝N的应用
将真数化为积、商或底数的指数幂形式，正用对数的运算法则 拆分
化简
将对数式化为同底数对数的和、差、倍数形式，然后逆用对数 合并
的运算法则，转化为同底对数真数的积、商、幂的运算
考法二 对数函数的图象及其应用 [典例] (1)函数 f(x)＝loga|x|＋1(0<a<1)的图象大致为
答案：D
2．若方程 4x＝logax 在 0，12上有解，则实数 a 的取值范围为________．
解析：构造函数 f(x)＝4x 和 g(x)＝logax，当 a>1 时不满
足条件，当 0<a<1 时，画出两个函数在 0，12上的图象，
2018年高三数学(理)一轮复习课件 对数与对数函数
(n∈R).
M
n
第二章
知识梳理 双基自测
2.5
对数与对数函数
知识梳理 核心考点
-4-
1
2
3
4
5
(2)对数的性质 ①������lo g ������ ������ = N . ②logaaN= N (a>0 且 a≠1). (3)对数的重要公式
log������ ������ ①换底公式:logbN= log ������ (a,b 均大于零且不等于 ������ 1 ②logab=log ������,推广 logab· logbc· logcd= logad . ������
故0<c<d<1<a<b,即在第一象限内从左到右底数逐渐增大.
第二章
知识梳理 双基自测
2.5
对数与对数函数
知识梳理 核心考点
-8-
1
2
3
4
5
5.反函数 y=logax 指数函数y=ax(a>0,且a≠1)与对数函数 (a>0,且 y=x a≠1)互为反函数,它们的图象关于直线 对称.
第二章
知识梳理 双基自测
2.5
对数与对数函数
第二章
知识梳理 双基自测
2.5
对数与对数函数
知识梳理 核心考点
-2-
1
2
3
4
5
1.对数的概念 (1)根据下图的提示填写与对数有关的概念: 指数 对数 幂 真数
底数
(2)a的取值范围: a>0,且a≠1 .
第二章
知识梳理 双基自测
2.5
对数与对数函数
知识梳理 核心考点
-3-
最新-2018届高三数学一轮复习 26 对数、对数函数课件 理 大纲 精品
8.(2010·上海模拟)若函数y=loga(ax+1)的值域为（0,+∞), 则实数a的取值范围是____. 【解析】∵ax+1∈(1,+∞), ∴要使函数的值域为（0,+∞),需a>1. 答案：a>1
三、解答题（共16分）
9.（8分）已知集合A={x|2≤x≤π},定义在集合A上的函数
y=logax的最大值比最小值大1，求a的值.
(2)若该函数在［1,+∞）上的最小值为0,求a与b的关系式及a
的取值范围.
【解析】（1）设g(x)=ax-bx,则g(x)>0,
∴ax-bx>0,ax>bx>0,∴（a )x>1.
∵a>1>b>0,∴a
b >1,∴x>0.
b
(2)∵ax与-bx均为增函数,
∴g(x)=ax-bx为增函数,
∴f(x)=loga(ax-bx)在［1,+∞）上递增，
4.函数f(x)=log2(x2-2ax+4)在［6,+∞）上递增，则实数a的 取值范围是（ ）
(A)a>3
(B)a>0
【解析】选C.易知a≤6,
(C)a< 10
3
(D)a<0
又∵x2-2ax+4>0在［6,+∞）上恒成立，
∴36-2a×6+4>0,∴a<10 .
3
5.设函数f(x)=
log2(x-1) (x1≥2)
(A)0
(B)1
(C)-1
(D)2
【解析】选B.令f(x)=1,则log2(4x-2)=1, ∴4x-2=2,x=1，即f-1(1)=1.
北京市2018届高三数学文一轮复习 2.6 对数与对数函数课件 精品
∴3－2a>0， loga3－a＝1，
a<32， 即a＝32.
故不存在这样的实数a，使得函数f(x)在区间[1,2]上为减函数，并且
最大值为1.
跟踪训练3
(1)设a＝log32，b＝log52，c＝log23，则( D )
A.a>c>b
B.b>c>a
C.c>b>a
D.c>a>b
解析 ∵ 3<2<3,1<2< 5，3>2，
性 负数和零没有对数
质 1的对数是__零__：loga1＝__0_
底数的对数是_1__：logaa＝__1_
对数恒等式：
＝_N__
loga(M·N)＝ logaM＋logaN
运算 性质
logaMN ＝
logaM－logaN
logaMn＝ nlogaM (n∈R)
a>0，且 a≠1， M>0，N>0
2
2
B.
22，1
C.(1， 2)
D.( 2，2)
跟踪训练2
(1)已知lg a＋lg b＝0，则函数f(x)＝ax与函数g(x)＝－logbx的图象可能是( B )
解析 ∵lg a＋lg b＝0，∴ab＝1， ∵g(x)＝－logbx的定义域是(0，＋∞)，故排除A. 若a>1，则0<b<1， 此时f(x)＝ax是增函数，g(x)＝－logbx是增函数. 故选B.
围是( C )
2
A.(－1,0)∪(0,1) B.(－∞，－1)∪(1，＋∞)
C.(－1,0)∪(1，＋∞)
D.(－∞，－1)∪(0,1)
解析
a>0， 由题意可得
2019版高考数学(文)高分计划一轮：2.6 对数与对数函数 3
2．6 对数与对数函数[知识梳理]1．对数2．对数函数的概念、图象与性质3．反函数概念：当一个函数的自变量和函数值成一一对应时，可以把这个函数的因变量作为一个新的函数的自变量，而把这个函数的自变量作为新的函数的因变量，我们称这两个函数互为反函数．4．对数函数与指数函数的关系指数函数y＝a x(a>0且a≠1)与对数函数y＝log a x(a>0且a≠1)互为反函数．(1)对数函数的自变量x恰好是指数函数的函数值y，而对数函数的函数值y恰好是指数函数的自变量x，即二者的定义域和值域互换．(2)由两函数的图象关于直线y＝x对称，易知两函数的单调性、奇偶性一致．特别提示：底数a对函数y＝log a x(a>0且a≠1)的图象的影响(1)底数a与1的大小关系决定了对数函数图象的“升降”：当a>1时，对数函数的图象“上升”；当0<a<1时，对数函数的图象“下降”．(2)底数的大小决定了图象相对位置的高低：不论是a>1还是0<a<1，在第一象限内，自左向右，图象对应的对数函数的底数逐渐变大．(3)作直线y＝1与所给图象相交，交点的横坐标为该对数函数的底数，由此可判断多个对数函数底数的大小关系．[诊断自测] 1．概念思辨(1)若log a M 2＝log a N 2，则M ＝N ；若M ＝N ，则log a M 2＝log a N 2.( ) (2)当x>1时，若log a x>log b x ，则a<b.( )(3)函数f(x)＝lg x －2x ＋2与g(x)＝lg (x －2)－lg (x ＋2)是同一个函数．( )(4)对数函数y ＝log a x(a>0且a ≠1)的图象过定点(1,0)，且过点(a,1)，⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ，－1.( ) 答案 (1)× (2)× (3)× (4)√2．教材衍化(1)(必修A1P 72例8)设a ＝log 36，b ＝log 510，c ＝log 714，则( ) A ．c>b>a B ．b>c>a C ．a>c>b D ．a>b>c答案 D解析 解法一：由对数运算法则得a ＝log 36＝1＋log 32，b ＝1＋log 52，c ＝1＋log 72，由对数函数图象得log 32>log 52>log 72，所以a>b>c.故选D.解法二：由对数运算法则得a ＝1＋log 32，b ＝1＋log 52，c ＝1＋log 72，∵log 27>log 25>log 23>0，∴1log 27<1log 25<1log 23，即log 72<log 52<log 32，故a>b>c.故选D. (2)(必修A1P 75T 11)(lg 5)2＋lg 2·lg 50＝________. 答案 1解析 原式＝(lg 5)2＋lg 2·[lg (2×52)] ＝(lg 5)2＋2lg 5·lg 2＋(lg 2)2＝(lg 5＋lg 2)2＝1. 3．小题热身(1)(2017·衡阳八中一模)f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧⎝ ⎛⎭⎪⎫13x (x ≤0)，log 3x (x>0)，则f ⎣⎢⎡⎦⎥⎤f ⎝ ⎛⎭⎪⎫19＝( )A ．－2B ．－3C ．9D ．－9答案 C解析 ∵f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧⎝ ⎛⎭⎪⎫13x (x ≤0)，log 3x (x>0)，∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫19＝log 319＝－2，∴f ⎣⎢⎡⎦⎥⎤f ⎝ ⎛⎭⎪⎫19＝f(－2)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13－2＝9.故选C.(2)(2018·郑州模拟)已知lg a ＋lg b ＝0(a>0且a ≠1，b>0且b ≠1)，则f(x)＝a x与g(x)＝－log b x 的图象可能是()答案 B解析 ∵lg a ＋lg b ＝0，∴a ＝1b，又g(x)＝－log b x ＝log 1b x ＝log a x(x>0)，∴函数f(x)与g(x)的单调性相同．故选B.题型1 对数的运算典例1 (2017·郑州二检)若正数a ，b 满足2＋log 2a ＝3＋log 3b ＝log 6(a ＋b)，则1a ＋1b 的值为( ) A ．36 B ．72 C ．108D.172对数式转化成指数式．答案 C解析 设2＋log 2a ＝3＋log 3b ＝log 6(a ＋b)＝k ，可得a ＝2k －2，b ＝3k －3，a ＋b ＝6k，所以1a ＋1b ＝a ＋b ab＝6k2k －23k －3＝6k2k 4×3k 27＝6k6k 108＝108.故选C. 典例2 (2018·镇江模拟)已知log 189＝a,18b＝5，求log 3645.换底公式．解 因为log 189＝a,18b＝5，所以log 185＝b ，于是log 3645＝log 1845log 1836＝log 18(9×5)1＋log 182＝a ＋b 1＋log 18189＝a ＋b2－a.方法技巧对数运算的一般思路1．对于指数式、对数式混合型条件的化简求值问题，一般可利用指数与对数的关系，将所给条件统一为对数式或指数式，再根据有关运算性质求解．见典例2.2．在对数运算中，可先利用幂的运算性质把底数或真数变形，化成分数指数幂的形式，使幂的底数最简，然后运用对数的运算性质、换底公式，将对数式化为同底数对数的和、差、倍数运算．对于连等式，注意设等式为k ，见典例1.冲关针对训练1．已知3a ＝4b＝12，则1a ＋1b ＝( )A.12 B ．1 C ．2 D. 2答案 C解析 因为3a＝4b＝12， 所以a ＝log 312，b ＝log 412， 1a ＝log 123，1b ＝log 124， 所以1a ＋1b ＝log 12 3＋log 12 4＝log 12 12＝2.故选C.2．(log 32＋log 92)·(log 43＋log 83)＝________. 答案 54解析 原式＝⎝ ⎛⎭⎪⎫log 32＋12log 32·⎝ ⎛⎭⎪⎫12log 23＋13log 23＝log 322·log 2⎝ ⎛⎭⎪⎫3 12 ·3 13 ＝32lg 2lg 3·56lg 3lg 2＝54. 题型2 对数函数的图象及应用典例 (2018·长春模拟)当0＜x ≤12时，4x＜log a x ，则a 的取值范围是( ) A.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，22 B ．⎝⎛⎭⎪⎫22，1C ．(1，2)D ．(2，2)数形结合法，排除法．答案 B解析 解法一：构造函数f(x)＝4x和g(x)＝log a x ，当a ＞1时不满足条件，当0＜a ＜1时，画出两个函数在⎝ ⎛⎦⎥⎤0，12上的图象，可知f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＜g ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，即2＜log a 12，a ＞22，则a 的取值范围为⎝ ⎛⎭⎪⎫22，1.故选B. 解法二：∵0＜x ≤12，∴1＜4x ≤2，∴log a x ＞4x＞1，∴0＜a ＜1，排除选项C ，D ；取a ＝12，x ＝12，则有4 12 ＝2，log 1212＝1，显然4x＜log a x 不成立，排除选项A.故选B.[条件探究] 若本典例变为：若不等式x 2－log a x<0对x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12恒成立，求实数a 的取值范围．解 由x 2－log a x<0得x 2<log a x ，设f 1(x)＝x 2，f 2(x)＝log a x ，要使x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12时，不等式x 2<log a x 恒成立，只需f 1(x)＝x 2在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12上的图象在f 2(x)＝log a x 图象的下方即可．当a>1时，显然不成立；当0<a<1时，如图所示，要使x 2<log a x 在x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12上恒成立，需f 1⎝ ⎛⎭⎪⎫12≤f 2⎝ ⎛⎭⎪⎫12，所以有⎝ ⎛⎭⎪⎫122≤log a12，解得a ≥116，所以116≤a<1， 即实数a 的取值范围是⎣⎢⎡⎭⎪⎫116，1.方法技巧利用对数函数的图象可求解的两类热点问题1．对一些可通过平移、对称变换作出其图象的对数型函数，在求解其单调性(单调区间)、值域(最值)、零点时，常利用数形结合思想求解．2．一些对数型方程、不等式问题常转化为相应的函数图象问题，利用数形结合法求解． 冲关针对训练1．(2017·郑州一模)若函数y ＝a |x|(a>0且a ≠1)的值域为{y|y ≥1}，则函数y ＝log a |x|的图象大致是( )答案 B解析 由于y ＝a |x|的值域为{y|y ≥1}， ∴a>1，则y ＝log a x 在(0，＋∞)上是增函数， 又函数y ＝log a |x|的图象关于y 轴对称． 因此y ＝log a |x|的图象应大致为选项B.故选B. 2．(2017·青岛统考)已知函数f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧－x 2＋x ，x ≤1，log 13x ，x>1，g(x)＝|x －k|＋|x －1|，若对任意的x 1，x 2∈R ，都有f(x 1)≤g(x 2)成立，则实数k 的取值范围为________．答案 ⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，34∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫54，＋∞解析 对任意的x 1，x 2∈R ，都有f(x 1)≤g(x 2)成立，即f(x)max ≤g(x)min ，由f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧－x 2＋x ，x ≤1，log 13x ，x>1的图象(如图)可知，当x ＝12时，f(x)取最大值，f(x)max ＝14；因为g(x)＝|x －k|＋|x －1|≥|x －k －(x －1)|＝|k －1|，所以g(x)min ＝|k －1|，所以|k －1|≥14，解得k ≤34或k ≥54，故答案为k ≤34或k ≥54.题型3 对数函数的性质及应用角度1 比较对数值的大小典例 (2016·全国卷Ⅰ)若a>b>1,0<c<1，则( ) A ．a c<b cB ．ab c <ba cC ．alog b c<blog a cD ．log a c<log b c利用指数函数、对数函数的单调性，结合不等式的性质比较大小；也可用特值法．答案 C解析 解法一：由a>b>1,0<c<1，知a c>b c，A 错误； ∵0<c<1，∴－1<c －1<0，∴y ＝x c －1在x ∈(0，＋∞)上是减函数，∴bc －1>ac －1，又ab>0，∴ab·bc －1>ab·a c －1，即ab c >ba c，B 错误；易知y ＝log c x 是减函数，∴0>log c b>log c a ， ∴log b c<log a c ，D 错误；由log b c<log a c<0，得－log b c>－log a c>0，又a>b>1>0，∴－alog b c>－blog a c>0，∴alog b c<blog a c ，故C 正确．故选C.解法二：依题意，不妨取a ＝4，b ＝2，c ＝12.易验证A ，B ，D 均是错误的，只有C 正确．故选C.角度2 解对数不等式典例 (2017·江西名校联考)设函数f(x)＝log 12 (x 2＋1)＋83x 2＋1，则不等式f(log 2x)＋f(log 12 x)≥2的解集为( )A ．(0,2]B ．⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，2 C ．[2，＋∞)D.⎝ ⎛⎦⎥⎤0，12∪[2，＋∞)利用函数的奇偶性、单调性，结合换元法解不等式．答案 B解析 ∵f(x)的定义域为R ，f(－x)＝log 12 (x 2＋1)＋83x 2＋1＝f(x)，∴f(x)为R 上的偶函数．易知其在区间[0，＋∞)上单调递减， 令t ＝log 2x ，则log 12x ＝－t ，则不等式f(log 2x)＋f(log 12 x)≥2可化为f(t)＋f(－t)≥2，即2f(t)≥2，所以f(t)≥1.又∵f(1)＝log 12 2＋83＋1＝1，f(x)在[0，＋∞)上单调递减，在R 上为偶函数，∴－1≤t ≤1，即log 2x∈[－1,1]，∴x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，2.故选B. 角度3 对数函数性质的综合应用 典例 已知函数f(x)＝log a (3－ax)．(1)当x ∈[0,2]时，函数f(x)恒有意义，求实数a 的取值范围；(2)是否存在这样的实数a ，使得函数f(x)在区间[1,2]上为减函数，并且最大值为1？如果存在，试求出a 的值；如果不存在，请说明理由．运用复合函数的单调性“同增异减”．解 (1)∵a>0且a ≠1，设t(x)＝3－ax ， 则t(x)＝3－ax 为减函数，x ∈[0,2]时，t(x)的最小值为3－2a ， 当x ∈[0,2]时，f(x)恒有意义， 即x ∈[0,2]时，3－ax>0恒成立． ∴3－2a>0，∴a<32.又a>0且a ≠1，∴a ∈(0,1)∪⎝ ⎛⎭⎪⎫1，32. (2)t(x)＝3－ax ，∵a>0，∴函数t(x)为减函数． ∵f(x)在区间[1,2]上为减函数，∴y ＝log a t 为增函数，∴a>1，x ∈[1,2]时，t(x)最小值为3－2a ，f(x)最大值为f(1)＝log a (3－a)，∴⎩⎪⎨⎪⎧3－2a>0，log a (3－a )＝1，即⎩⎪⎨⎪⎧a<32，a ＝32.故不存在这样的实数a，使得函数f(x)在区间[1,2]上为减函数，并且最大值为1.方法技巧对数函数的性质及应用问题的常见题型与解题策略1．对数型函数定义域的求解列出对应的不等式(组)求解，注意对数函数的底数和真数的取值范围．2．比较对数式的大小．①若底数为同一常数，则可由对数函数的单调性直接进行判断；若底数为同一字母，则需对底数进行分类讨论；②若底数不同，真数相同，则可以先用换底公式化为同底后，再进行比较；③若底数与真数都不同，则常借助1,0等中间量进行比较．3．解对数不等式，形如log a x>log a b的不等式，借助y＝log a x的单调性求解，如果a的取值不确定，需分a>1与0<a<1两种情况讨论；形如log a x>b的不等式，需先将b化为以a为底的对数式的形式．4．对数函数性质的应用多用在复合函数的单调性上，即求形如y＝log a f(x)的复合函数的单调区间，其一般步骤为：①求定义域，即满足f(x)>0的x的取值集合；②将复合函数分解成基本初等函数y＝log a u 及u＝f(x)；③分别确定这两个函数的单调区间；④若这两个函数同增或同减，则y＝log a f(x)为增函数，若一增一减，则y＝log a f(x)为减函数，即“同增异减”．冲关针对训练1．(2018·河南模拟)设a ＝60.4，b ＝log 0.40.5，c ＝log 80.4，则a ，b ，c 的大小关系是( ) A ．a<b<c B ．c<b<a C ．c<a<b D ．b<c<a答案 B解析 ∵a ＝60.4>1，b ＝log 0.40.5∈(0,1)，c ＝log 80.4<0，∴a>b>c.故选B.2．(2017·南昌调研)a>0，a ≠1，函数f(x)＝log a |ax 2－x|在[3,4]上是增函数，则a 的取值范围是( ) A.16≤a<14或a>1 B ．a>1C.18≤a<14D.15≤a ≤14或a>1 答案 A解析 ∵a>0，a ≠1，令g(x)＝|ax 2－x|⎝ ⎛⎭⎪⎫x ≠0，x ≠1a 作出其图象如右：∵函数f(x)＝log a |ax 2－x|在[3,4]上是增函数， 若a>1，则⎩⎪⎨⎪⎧ 12a≥4，a>1或⎩⎪⎨⎪⎧1a <3，a>1，解得a>1；若0<a<1，则⎩⎪⎨⎪⎧12a≤3，1a >4，解得16≤a<14.故选A.题型4 指数函数、对数函数的综合应用典例1 (2018·西安模拟)设方程log 2x －⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ＝0，log 12x －⎝ ⎛⎭⎪⎫12x＝0的根分别为x 1，x 2，则( )A ．x 1x 2＝1B ．0<x 1x 2<1C ．1<x 1x 2<2D ．x 1x 2≥2数形结合法．答案 B解析 由方程log 2x －⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ＝0得log 2x ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x，log 12 x －⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ＝0得log 12x ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x，分别画出左右两边函数的图象，如图所示．由指数与对数函数的图象知：x 1>1>x 2>0，于是有log 2x 1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x 1<⎝ ⎛⎭⎪⎫12x2<log 12x 2，得x 1<1x 2，所以0<x 1x 2<1.故选B.典例2 设函数f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧2x，x ≤0，log 2x ，x>0，函数y ＝f[f(x)]－1的零点个数为________．分类讨论法．答案 2解析 当x ≤0时，y ＝f[f(x)]－1＝f(2x)－1＝log 22x－1＝x －1，令x －1＝0，则x ＝1，表明此时y ＝f[f(x)]－1无零点．当x>0时，分两种情况：①当x>1时，log 2x>0，y ＝f[f(x)]－1＝f(log 2x)－1＝log 2(log 2x)－1，令log 2(log 2x)－1＝0，即log 2(log 2x)＝1，log 2x ＝2，解得x ＝4；②当0<x ≤1时，log 2x ≤0，y ＝f[f(x)]－1＝f(log 2x)－1＝2log2x －1＝x －1，令x －1＝0，解得x ＝1，因此函数y ＝f[f(x)]－1的零点个数为2.方法技巧解指数函数与对数函数综合题的方法1．首先考虑函数的定义域，见典例2.2．注意联想数形结合思想．见典例1. 冲关针对训练1．(2018·天津模拟)已知f(x)＝ln (x 2＋1)，g(x)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x －m ，若∀x 1∈[0,3]，∃x 2∈[1,2]，使得f(x 1)≥g(x 2)，则实数m 的取值范围为( )A.⎝⎛⎦⎥⎤－∞，14 B ．⎣⎢⎡⎭⎪⎫14，＋∞C.⎣⎢⎡⎭⎪⎫12，＋∞D.⎝⎛⎦⎥⎤－∞，－12答案 B解析 ∵f(x)＝ln (x 2＋1)在[0,3]上单调递增，g(x)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x －m 在[1,2]上单调递减，∴f(x)min ＝f(0)＝0，g(x)min ＝g(2)＝14－m.又∀x 1∈[0,3]，∃x 2∈[1,2]，使得f(x 1)≥g(x 2)， ∴f(x)min ≥g(x)min ，即14－m ≤0，∴m ≥14.故选B.2．设点P 在曲线y ＝12e x上，点Q 在曲线y ＝ln (2x)上，则|PQ|的最小值为( )A ．1－ln 2B ．2(1－ln 2)C ．1＋ln 2 D.2(1＋ln 2)答案 B解析 根据函数y ＝12e x和函数y ＝ln 2x 的图象可知两函数图象关于直线y ＝x 对称，故要求|PQ|的最小值可转化为求与直线y ＝x 平行且与两曲线相切的直线间的距离，设曲线y ＝12e x上的切点为A(m ，n)，则A 到直线y ＝x 的距离的2倍即所求最小值．因为y ′＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12e x ′＝12e x ，则12e m ＝1，所以m ＝ln 2，切点A 的坐标为(ln 2,1)，切点到直线y ＝x 的距离为d ＝|ln 2－1|2＝1－ln 22，所以2d ＝2(1－ln 2)．故选B.1．(2017·北京高考)根据有关资料，围棋状态空间复杂度的上限M 约为3361，而可观测宇宙中普通物质的原子总数N 约为1080.则下列各数中与M N最接近的是( )(参考数据：lg 3≈0.48)A ．1033B ．1053C ．1073D ．1093答案 D解析 由题意，lg M N ＝lg 33611080＝lg 3361－lg 1080＝361lg 3－80lg 10≈361×0.48－80×1＝93.28.又lg 1033＝33，lg 1053＝53，lg 1073＝73，lg 1093＝93， 故与M N最接近的是1093.故选D.2．(2018·山西模拟)函数y ＝ln sinx(0<x<π)的大致图象是( )答案 C解析 因为0<x<π，所以0<sinx ≤1，所以ln sinx ≤0.故选C.3．(2018·江西九江联考)若函数f(x)＝log 2(x 2－ax －3a)在区间(－∞，－2]上是减函数，则实数a 的取值范围是( )A ．(－∞，4)B ．(－4,4]C ．(－∞，4)∪[2，＋∞)D ．[－4,4)答案 D解析 由题意得x 2－ax －3a>0在区间(－∞，－2]上恒成立且函数y ＝x 2－ax －3a 在(－∞，－2]上递减，则a 2≥－2且(－2)2－(－2)a －3a>0，解得实数a 的取值范围是[－4,4)．故选D.4．(2015·福建高考)若函数f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧－x ＋6，x ≤2，3＋log a x ，x>2(a>0，且a ≠1)的值域是[4，＋∞)，则实数a 的取值范围是________．答案 (1,2]解析 当x ≤2时，f(x)＝－x ＋6，f(x)在(－∞，2]上为减函数，∴f(x)∈[4，＋∞)．当x>2时，若a ∈(0,1)，则f(x)＝3＋log a x 在(2，＋∞)上为减函数，f(x)∈(－∞，3＋log a 2)，显然不满足题意，∴a>1，此时f(x)在(2，＋∞)上为增函数，f(x)∈(3＋log a 2，＋∞)，由题意可知(3＋log a 2，＋∞)⊆[4，＋∞)，则3＋log a 2≥4，即log a 2≥1，∴1<a ≤2.[基础送分提速狂刷练]一、选择题1．(2018·安阳检测)若点(a ，b)在y ＝lg x 图象上，a ≠1，则下列点也在此图象上的是( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ，b B ．(10a,1－b) C.⎝⎛⎭⎪⎫10a ，b ＋1D ．(a 2,2b)答案 D解析 当x ＝a 2时，y ＝lg a 2＝2lg a ＝2b ，所以点(a 2,2b)在函数y ＝lg x 图象上．故选D. 2．已知函数f(x)＝2＋log 2x ，x ∈[1,2]，则函数y ＝f(x)＋f(x 2)的值域为( ) A ．[4,5]B ．⎣⎢⎡⎦⎥⎤4，112C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤4，132D ．[4,7]答案 B解析 y ＝f(x)＋f(x 2)＝2＋log 2x ＋2＋log 2x 2＝4＋3log 2x ，注意到为使得y ＝f(x)＋f(x 2)有意义，必有1≤x 2≤2，得1≤x ≤2，从而4≤y ≤112.故选B.3．(2018·太原调研)已知函数f(x)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13x－log 2x ，若实数x 0是方程f(x)＝0的解，且0<x 1<x 0，则f(x 1)( )A ．恒为负值B ．等于0C ．恒为正值D ．不大于0答案 C解析 作出y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13x和y ＝log 2x 的图象，如图．由图可知有0<x 1<x 0时，⎝ ⎛⎭⎪⎫13x1>log 2x 1.即⎝ ⎛⎭⎪⎫13x1－log 2x 1>0.∴f(x 1)>0.故选C.4．(2017·河南二模)函数y ＝2xln |x|的图象大致为( )答案 B 解析 函数y ＝2x ln |x|的定义域为{x|x ≠0且x ≠±1}，故排除A ；∵f(－x)＝－2x ln |x|＝－2xln |x|＝－f(x)，∴排除C ；当x ＝2时，y ＝4ln 2>0，故排除D.故选B. 5．(2015·湖南高考)设函数f(x)＝ln (1＋x)－ln (1－x)，则f(x)是( ) A ．奇函数，且在(0,1)上是增函数 B ．奇函数，且在(0,1)上是减函数 C ．偶函数，且在(0,1)上是增函数 D ．偶函数，且在(0,1)上是减函数 答案 A解析 解法一：函数f(x)的定义域为(－1,1)，任取x ∈(－1,1)，f(－x)＝ln (1－x)－ln (1＋x)＝－f(x)，则f(x)是奇函数．当x ∈(0,1)时，f ′(x)＝11＋x ＋11－x ＝21－x2>0，所以f(x)在(0,1)上是增函数．综上，故选A.解法二：同解法一知f(x)是奇函数． 当x ∈(0,1)时，f(x)＝ln1＋x 1－x ＝ln 2－(1－x )1－x ＝ln ⎝ ⎛⎭⎪⎫21－x －1.∵y ＝21－x (x ∈(0,1))是增函数，y ＝ln x 也是增函数，∴f(x)在(0,1)上是增函数．综上，故选A.6．已知函数f(x)＝log 12 (x 2－ax －a)在⎝⎛⎦⎥⎤－∞，－12上是增函数，则实数a 的取值范围是( )A ．[－1，＋∞)B ．⎣⎢⎡⎭⎪⎫－1，12C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1，12 D ．(－∞，－1]答案 B解析 f(x)＝log 12(x 2－ax －a)在⎝⎛⎦⎥⎤－∞，－12上是增函数，说明内层函数μ(x)＝x 2－ax －a 在⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，－12上是减函数且μ(x)>0成立，只需对称轴x ＝a 2≥－12且μ(x)min＝μ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12>0，∴解得a ∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫－1，12.故选B.7．(2017·安徽安庆二模)已知函数y ＝f(x)是定义在R 上的偶函数，当x ∈(－∞，0]时，f(x)为减函数，若a ＝f(20.3)，b ＝f(log 124)，c ＝f(log 25)，则a ，b ，c 的大小关系是( )A ．a>b>cB ．c>b>aC ．c>a>bD ．a>c>b答案 B解析 函数y ＝f(x)是定义在R 上的偶函数，当x ∈(－∞，0]时，f(x)为减函数，∴f(x)在[0，＋∞)上为增函数，∵b ＝f(log 124)＝f(－2)＝f(2)，1<20.3<2<log 25，∴c>b>a.故选B.8．(2017·广东模拟)若函数f(x)＝(e x－e －x)x ，f(log 5x)＋f(log 15 x)≤2f(1)，则x 的取值范围是( )A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤15，1 B ．[1,5]C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤15，5 D.⎝⎛⎦⎥⎤－∞，15∪[5，＋∞) 答案 C解析 ∵f(x)＝(e x－e －x)x ，∴f(－x)＝－x(e －x －e x )＝(e x －e －x)x ＝f(x)(x ∈R)，∴函数f(x)是偶函数． ∵f ′(x)＝(e x－e －x)＋x(e x＋e －x)>0在(0，＋∞)上恒成立， ∴函数f(x)在(0，＋∞)上单调递增． ∵f(log 5x)＋f(log 15 x)≤2f(1)，∴2f(log 5x)≤2f(1)，即f(log 5x)≤f(1)， ∴|log 5x|≤1，∴15≤x ≤5.故选C.9．(2017·河北五校质检)函数y ＝log a (x ＋3)－1(a>0，且a ≠1)的图象恒过定点A ，若点A 在直线mx ＋ny ＋2＝0上，其中m>0，n>0，则2m ＋1n的最小值为( )A ．22B ．4 C.52 D.92答案 D解析 由函数y ＝log a (x ＋3)－1(a>0，且a ≠1)的解析式知：当x ＝－2时，y ＝－1，所以点A 的坐标为(－2，－1)，又因为点A 在直线mx ＋ny ＋2＝0上，所以－2m －n ＋2＝0，即2m ＋n ＝2，又m>0，n>0，所以2m ＋1n ＝2m ＋n m ＋2m ＋n 2n ＝2＋n m ＋m n ＋12≥52＋2＝92，当且仅当m ＝n ＝23时等号成立，所以2m ＋1n 的最小值为92.故选D.10．(2017·江西红色七校二模)已知函数f(x)＝ln ex e －x ，若f ⎝ ⎛⎭⎪⎫e 2017＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫2e 2017＋…＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫2016e 2017＝504(a ＋b)，则a 2＋b 2的最小值为( )A ．6B ．8C ．9D ．12答案 B解析 ∵f(x)＋f(e －x)＝ln ex e －x ＋ln e (e －x )x ＝ln e 2＝2，∴504(a ＋b)＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫e 2017＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫2e 2017＋…＋f ⎝⎛⎭⎪⎫2016e 2017＝12⎣⎢⎡⎦⎥⎤f ⎝ ⎛⎭⎪⎫e 2017＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫2016e 2017＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫2e 2017＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫2015e 2017＋…＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫2016e 2017＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫e 2017＝12×(2×2016)＝2016，∴a ＋b ＝4，∴a 2＋b 2≥(a ＋b )22＝422＝8，当且仅当a ＝b ＝2时取等号．∴a 2＋b 2的最小值为8.故选B. 二、填空题11．(2018·禅城区月考)已知函数f(x)＝|lg x|，若0<a<b ，且f(a)＝f(b)，则2a ＋b 的取值范围是________．答案 [22，＋∞)解析 画出y ＝|lg x|的图象如图： ∵0<a<b ，且f(a)＝f(b)， ∴|lg a|＝|lg b|且0<a<1，b>1，∴－lg a ＝lg b ，∴ab ＝1，∴2a ＋b ≥22ab ＝2 2. 当2a ＝b 时等号成立， ∴2a ＋b ≥2 2.12．函数f(x)＝log 2x ·log 2(2x)的最小值为________． 答案 －14解析 显然x>0，∴f(x)＝log 2x ·log2(2x)＝12log 2x·log 2(4x 2)＝12log 2x·(log 24＋2log 2x)＝log 2x ＋(log 2x)2＝⎝⎛⎭⎪⎫log 2x ＋122－14≥－14，当且仅当x ＝22时，取“＝”，故f(x)min ＝－14.13．(2017·山西质检)已知函数f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧|2x ＋1|，x<1，log 2(x －m )，x>1，若f(x 1)＝f(x 2)＝f(x 3)(x 1，x 2，x 3互不相等)，且x 1＋x 2＋x 3的取值范围为(1,8)，则实数m 的值为________．答案 1解析 作出f(x)的图象，如图所示，可令x 1<x 2<x 3，则由图知点(x 1,0)，(x 2,0)关于直线x ＝－12对称，所以x 1＋x 2＝－1.又1<x 1＋x 2＋x 3<8，所以2<x 3<9.由f(x 1)＝f(x 2)＝f(x 3)(x 1，x 2，x 3互不相等)，结合图象可知点A 的坐标为(9,3)，代入函数解析式，得3＝log 2(9－m)，解得m ＝1.14．(2017·辽宁沈阳一模)已知函数f(x)＝|log 3x|，实数m ，n 满足0<m<n ，且f(m)＝f(n)，若f(x)在[m 2，n]上的最大值为2，则n m＝________. 答案 9解析 ∵f(x)＝|log 3x|，实数m ，n 满足0<m<n ，且f(m)＝f(n)，∴m<1<n ，－log 3m ＝log 3n ，∴mn ＝1.∵f(x)在区间[m 2，n]上的最大值为2，函数f(x)在[m 2,1)上是减函数，在(1，n]上是增函数，∴－log 3m 2＝2或log 3n ＝2.若－log 3m 2＝2，则m ＝13，从而n ＝3，此时log 3n ＝1，符合题意，则n m ＝3÷13＝9. 若log 3n ＝2，则n ＝9，从而m ＝19，此时－log 3m 2＝4，不符合题意． 三、解答题15．已知函数f(x)是定义在R 上的偶函数，且f(0)＝0，当x>0时，f(x)＝log 12x.(1)求函数f(x)的解析式；(2)解不等式f(x 2－1)>－2.解 (1)当x<0时，－x>0，则f(－x)＝log 12(－x)．因为函数f(x)是偶函数，所以f(－x)＝f(x)＝log 12(－x)，所以函数f(x)的解析式为 f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧ log 12 x ，x>0，0，x ＝0，log 12(－x )，x<0. (2)因为f(4)＝log 12 4＝－2，f(x)是偶函数， 所以不等式f(x 2－1)>－2转化为f(|x 2－1|)>f(4)．又因为函数f(x)在(0，＋∞)上是减函数，所以|x 2－1|<4，解得－5<x<5，即不等式的解集为(－5，5)．16．设x ∈[2,8]时，函数f(x)＝12log a (ax)·log a (a 2x)(a ＞0且a ≠1)的最大值是1，最小值是－18，求a 的值．解 由题意知f(x)＝12(log a x ＋1)·(log a x ＋2) ＝12[(log a x)2＋3log a x ＋2]＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫log a x ＋322－18.当f(x)取最小值－18时，log a x ＝－32. 又∵x ∈[2,8]，∴a ∈(0,1)．∵f(x)是关于log a x 的二次函数，∴函数f(x)的最大值必在x ＝2或x ＝8时取得．若12⎝⎛⎭⎪⎫log a 2＋322－18＝1，则a ＝2－13 ， 此时f(x)取得最小值时，x ＝(2－13 )－32 ＝2∉[2,8]，舍去．若12⎝ ⎛⎭⎪⎫log a 8＋322－18＝1，则a ＝12， 此时f(x)取得最小值时，x ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12－32 ＝22∈[2,8]，符合题意，∴a ＝12.。
2019高考数学一轮复习第二章函数2.4对数与对数函数课件
§2.4 对数与对数函数
知识清单
方法技巧
方法 1 对数函数的图象及其应用
1.对一些可通过平移、对称变换等作出函数图象的问题,在求解函数的
单调性(单调区间)、值域(最值)、零点时,常利用数形结合法.
2.一些对数型方程、不等式问题的求解,常转化为相应函数图象问题,利
用数形结合法求解,特别地,要注意底数a>1和0<a<1两种不同情况.
即loga(3-a)=1,
所以a= 3 ,
2
此时f(x)=lo g32 3- 32 x .
当x=2时,f(x)没有意义,
故这样的实数a不存在.
例1 不等式logax>(x-1)2恰有三个整数解,则a的x>(x-1)2恰有三个整数解,得a>1.在同一直角坐标系
中画出y=logax与y=(x-1)2的图象,可知不等式的整数解集为{2,3,4},则应
满足
log log
a a
4 5
(4 (5
1)2 , 1)2 ,
解析 (1)令g(x)=3-ax,由题设知3-ax>0对一切x∈[0,2]恒成立,
因为a>0,所以g(x)=3-ax在[0,2]上为减函数,
由g(2)=3-2a>0,
解得a< 3 ,
2
所以a的取值范围为(0,1)∪ 1, 32
.
(2)不存在.理由如下:
假设存在这样的实数a.
由题设知f(1)=1,
得 16
5
≤a< 9 4
.
答案 [ 16 5 , 9 4 )
方法 2 对数函数的性质及其应用
1.比较对数值大小的类型及相应方法
2019精品届高考数学一轮复习讲义第二章对数与对数函数化学
一般对数 常用对数 自然对数
底数为 a(a>0 且 a≠1)
底数为 10 底数为 e
logaN lg N ln N
要点梳理
忆一忆知识要点
2.对数的性质与运算法则
(1)对数的运算法则
如果 a>0 且 a≠1，M>0，N>0，那么
①loga(MN)＝
logaM＋logaN；②logaMN ＝
logaM－logaN； n
探究提高
作一些复杂函数的图象，首先应分析它可以从哪一个基本函 数的图象变换过来．一般是先作出基本函数的图象，通过平 移、对称、翻折等方法，得出所求函数的图象．
变式训练 2 |lg x|， 0<x≤10，
已知函数 f(x)＝－12x＋6， x>10，
若 a，b，c 互不相
等，且 f(a)＝f(b)＝f(c)，则 abc 的取值范围是___(_1_0_,1__2_)_．
方法与技巧
1．指数式 ab＝N 与对数式 logaN＝b 的关系以及这两种形式 的互化是对数运算法则的关键．
解 (1)设 P(x，y)为 g(x)图象上任意一点，则 Q(－x，－y) 是点 P 关于原点的对称点， ∵Q(－x，－y)在 f(x)的图象上，∴－y＝loga(－x＋1)， 即 y＝g(x)＝－loga(1－x)．
(2)f(x)＋g(x)≥m，即 logax1＋－1x≥m. 设 F(x)＝loga11－＋xx，x∈[0,1)，由题意知，只要 F(x)min≥m 即可．
要点梳理
忆一忆知识要点
3．对数函数的图象与性质
a>1
0<a<1
图象
(1)定义域：(0，＋∞)
(2)值域： R
高考数学一轮复习全程复习构想数学(文)【统考版】第六节 对数与对数函数(课件)
(3)与对数型函数有关的方程或不等式问题常常结合对数函数的图象 来解决，即数形结合法．
【对点训练】 1．函数y＝2log4(1－x)的图象大致是( )
可以先用换底公式化为同底后，再进行比较
常借助1，0等中间量进行比较
答案：B
反思感悟 求解对数不等式的两种类型及方法
类型 形如
logax>logab 形如
logax>b
方法
借助y＝logax的单调性求解，如果a的取值不确定，需 分a>1与0<a<1两种情况讨论
需先将b化为以a为底的对数式的形式，再借助y＝logax 的单调性求解
角度3 对数型函数性质的综合应用
[例4] 已知函数f(x)＝log4(ax2＋2x＋3)．
(1)若f(1)＝1，求f(x)的单调区间； (2)是否存在实数a，使f(x)的最小值为0？若存在，求出a的值；若不 存在，说明理由．
反思感悟 求解与对数函数有关的复合函数单调性的步骤
一求 求出函数的定义域，所有问题都必须在定义域内讨论．
判断对数函数的底数与1的关系，分a>1与0<a<1两种情
二判
况 判断内层函数和外层函数的单调性，运用复合函数“同
增异减”原则判断函数的单调性
答案：B
2．已知函数f(x)＝loga(8－ax)(a>0，且a≠1)，若f(x)>1在区间[1，2] 上恒成立，则实数a的取值范围是________．
微专题❾ 巧借运算性质 拟合函 数破压轴
答案：C 解析：函数y＝2log4(1－x)的定义域为(－∞，1)，排除A，B项；函数y＝2log4(1 －x)在定义域上单调递减，排除D项，故选C项．
高考数学一轮复习 26对数与对数函数课件 理
基础诊断
考点突破
课堂总结
• 2．(2014·四川卷改编)已知b＞0，log5b＝a，lg b＝c,5d＝10， 给出下列等式：①d＝ac；②a＝cd；③c＝ad；④d＝a＋c.其 中一定成立的是________(填序号)．
解析 由已知得 b＝5a，b＝10c,5d＝10， ∴5a＝10c,5d＝10，同时取以 10 为底的对数可得， alg 5＝c，dlg 5＝1，∴ac＝1d，即 a＝cd. 答案 ②
基础诊断
考点突破
课堂总结
3．(2014·安徽卷)1861 ＋log354＋log345＝________.
解析
16 81
＋log354＋log345＝23
＝323＋0＝287.
答案
27 8
＋log354×45＝23－3＋log31
• 1．对数的概念
• 如果ax＝N(a>0，且a≠1)，那么数x叫做以a为底N的对数，
• 记作
，其中 叫做对数的底数， 叫做真数．
• 2．对x数＝的lo性ga质N 与运算a性质
N
• (1)对数的性质
•
①alogaN＝
；②logaaN＝____(a>0且a≠1)；
• ③零和负数没有对数．
N
N
基础诊断
考点突破
基础诊断
考点突破
课堂总结
• 4．(苏教版必修1P85T3(3)改编)函数f(x)＝log5(2x＋1)的单调增 区间是________．
高考数学第一轮基础复习 对数与对数函数课件
对数的运算与性质
[例 1] (1)已知函数 f(x)＝lg11－＋xx，若 f(a)＝b，则 f(－
a)＝( )
A．b
B．－b
1 C.b
D．－1b
(2)(2011·苏 北 四 市 二 模 )(lg2)2 ＋ lg2lg5 ＋ lg5 ＝ ________.
分析：(1)由11－ ＋aa与11＋ －aa的倒数关系及对数运算法则 logaNn＝nlogaN 求解．
A．n>m>p
B．m>p>n
C．m>n>p
D．p>m>n
解析：由 a>1 得 a2＋1>2a>a－1>0， ∴loga(a2＋1)>loga(2a)>loga(a－1)．
答案：B
(理)已知 log2 x1＝logax2＝loga＋1x3>0,0<a<1，则 x1、
a
x2、x3 的大小关系是( )
答案：D
(理)设 a>0 且 a≠1，函数 f(x)＝logax 在区间[a,2a]上
的最大值与最小值之差为12，则 a 等于( )
A. 2
B．2 或12
C．2 2
D．4 或14
解析：当 0<a<1 时，f(x)在[a,2a]上单调递减，由题 意得，logaa－loga2a＝12，∴loga2＝－12，∴a＝14.
答案：C
点评：关于含对数式的不等式求解，一般都是用单 调性或换元法求解．
已知 0<a<b<1<c，m＝logac，n＝logbc，则 m 与 n 的大小关系是________．
2
(－∞，1)；函数 y＝loga(ax－1)(a>0 且 a≠1)的定义域在 a>1 时为(0，＋∞)；在 0<a<1 时为(－∞，0)．
2018届高三数学文一轮总复习江苏专用课件：第二章 第七节 对数与对数函数 精品
3．若实数 a 满足 loga23<1，则 a 的取值范围是________． 解析：∵logaa＝1，∴loga23<logaa. 当 a>1 时，得 a>23，∴a>1； 当 0<a<1 时，得 0<a<23. 综上，得 a 的取值范围是0，23∪(1，＋∞)． 答案：0，23∪(1，＋∞)
考点一 对数式的化简与求值 基础送分型考点——自主练透 [题组练透]
0<x<1 时，_y_>_0__
在区间(0，＋∞)上是增__ 在区间(0，＋∞)上是_减_
函数
函数
[小题体验] 1．(教材习题改编)计算：(lg 5)2＋lg 2×lg 50＝________.
解析：原式＝(lg 5)2＋lg 2×(1＋lg 5)＝lg 5(lg 2＋lg 5)＋lg 2＝lg 5＋lg 2＝1. 答案：1
运算 法则
loga(M·N)＝ logaM ＋_l_o_g_aN__ logaMN＝ logaM －__lo_g_a_N__ logaMn＝ nlogaM (n∈R)
a>0，且 a≠1， M >0，N>0
换底 换底公式：logab＝llooggccab(a>0，且 a≠1，c>0，且 c≠1， 公式
b>0)
2.对数函数的图象与性质
y＝logax
a>1
图象
0<a<1
y＝logax
a>1
0<a<1
定义域为__(0_，__＋__∞__)__
值域为 R
过定点_(_1_,0_)__，即 x＝ 1 时，y＝_0__
性质 当 x>1 时， y>0 ；当 当 x>1 时，y<0 ；当
对数与对数运算 2019年高考数学(文)一轮复习 Word版含解析
典例在线
根据有关资料，围棋状态空间复杂度的上限M约为3361，而可观测宇宙中普通物质的原子总数N约为1080．则下列各数中与最接近的是
（参考数据：lg3≈0.48）
A．1033B．1053
C．1073D．1093
【参考答案】D
【试题解析】设，两边取对数，
，所以，即最接近
，故选D.
【解题必备】本题考查了转化与化归能力，本题以实际问题的形式给出，但本质就是对数的
运算关系，以及指数与对数运算的关系，难点是令，并想到两边同时取对数进行
求解，对数运算公式包含，，
.
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1．若正数a，b满足，则的值为A． B．72
C．108 D．
2．若，，且，则的最小值为__________．
1．【答案】C
2．【答案】
【解析】因为，，所以，，
，所以，即.
所以
.
当且仅当，即，此时时取等号.
所以最小值为.。
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根据有关资料，围棋状态空间复杂度的上限
M 约为3361，而可观测宇宙中普通物质的原子总数N 约为1080．则下列各数中与M
N 最接近的是
（参考数据：lg3≈0.48）
A ．10
33B ．1053C ．1073D ．1093
【参考答案】D
【试题解析】设36180310M
x N
，两边取对数，36136180803lg lg lg3lg10361lg38093.2810x ，所以93.2810x ，即M
N 最接近9310，故选 D.学%科网
【解题必备】本题考查了转化与
化归能力，本题以实际问题的形式给出，但本质就是对数的运算关系，以及指数与对数运算的关系，难点是令361
80310x ，并想到两边同时取对数进行求解，对数运算公式包含
log log log a a a M N MN ，log log log a a a M M N N ，log log n a a M n M .
1．若正数a ，b 满足
2362log 3log log ()a b a b ，则11a b 的值为A ．136B ．72
C ．108
D ．1
72
2．若，，且，则
的最小值为__________．
1．【答案】 C
2．【答案】
【解析】因为，，所以，，，所以，即.
所以
.
当且仅当，即，此时
33
31
2
x
y
时取等号.
所以最小值为.。