[推荐学习]高考数学二轮专题复习 专题三 3.3 平面向量及其综合应用能力训练 新人教A版

专题能力训练8 平面向量及其综合应用
(时间:60分钟满分:100分)
一、选择题(本大题共7小题,每小题5分,共35分)
1.(2015四川,文2)设向量a=(2,4)与向量b=(x,6)共线,则实数x=()
A.2
B.3
C.4
D.6
2.(2015浙江宁波鄞州5月模拟,文2)已知点A(-1,1),B(1,2),C(-3,2),则向量方向上的投影为()
A.-
B.
C.-
D.
3.(2015浙江温州三适,文6)已知向量|a|=|b|=|a-b|=1,则|2b-a|=()
A.2
B.
C.3
D.2
4.(2015浙江宁波期末考试,文8)已知a,b满足|a|=5,|b|≤1,且|a-4b|≤,则a·b的最小值为()
A. B.-5
C. D.-
5.已知P是△ABC所在平面内一点,若,则△PBC与△ABC的面积的比为()
A. B. C. D.
6.已知a,b,c满足|a|=|b|=,a·b=,|c-a-b|=1,则|c|的最大值为()
A.4
B.+1
C.3+
D.2
7.(2015浙江湖州第三次教学质量调测,文8)已知向量a⊥b,|a-b|=2,定义:cλ=λa+(1-λ)b,其中0≤λ≤1.若cλ·,则|cλ|的最大值为()
A. B. C.1 D.
二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分)
8.(2015浙江嘉兴教学测试(二),文10)若向量a与b满足|a|=,|b|=2,(a-b)⊥a,则向量a与b 的夹角等于;|a+b|=.
9.(2015安徽,文15)△ABC是边长为2的等边三角形,已知向量a,b满足=2a,=2a+b,则下列结论中正确的是.(写出所有正确结论的编号)
①a为单位向量;②b为单位向量;③a⊥b;④b∥;⑤(4a+b)⊥.
10.(2015浙江宁波鄞州5月模拟,文15)在△ABC中,AC=3,∠A=,点D满足=2,且AD=,则BC的长为.
11.(2015浙江第一次五校联考,文15)设a1,a2,…,a n,…是按先后顺序排列的一列向量,若
a1=(-2 014,13),且a n-a n-1=(1,1),则其中模最小的一个向量的序号n=.
三、解答题(本大题共3小题,共45分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)
12.(本小题满分14分)如图,已知在△OCB中,点C是以A为中点的点B的对称点,D是将分成2∶1的一个内分点,DC和OA交于点E,设=a,=b.
(1)用a和b表示向量;
(2)若=λ,求实数λ的值.
13.(本小题满分15分)已知向量m=(1,3cos α),n=(1,4tan α),α∈,且m·n=5.
(1)求|m+n|;
(2)设向量m与n的夹角为β,求tan(α+β)的值.
14.(本小题满分16分)(2015陕西,文17)△ABC的内角A,B,C所对的边分别为a,b,c.向量m=(a,b)与n=(cos A,sin B)平行.
(1)求A;
(2)若a=,b=2,求△ABC的面积.
参考答案
专题能力训练8平面向量及其综合应用
1.B解析:由a=(2,4),b=(x,6)共线,可得4x=12,即x=3.
2.C解析:由题意可知=(2,1),=(-2,1),所以向量方向上的投影为=-.故选C.
3.B解析:因为|a|=|b|=|a-b|=1,
所以|a-b|2=|a|2-2a·b+|b|2=1.所以a·b=.所以|2b-a|2=4|b|2-4a·b+|a|2=4-4×+1=3.所以|2b-a|=.故选B.
4.A解析:因为|a-4b|≤,所以|a|-4|b|≤,
即|b|≥.所以|b|2≥.
因为|a-4b|2=(a-4b)2=a2-8a·b+16b2=|a|2-8a·b+16|b|2=25-8a·b+16|b|2≤21,所以a·b≥+2|b|2≥.
所以a·b的最小值是.故选A.
5.
A解析:如图,以B为原点,BC所在直线为x轴,建立平面直角坐标系,
设A(x A,y A),P(x P,y P),C(x C,0),则,
即(x P-x A,y P-y A)=(x C,0)-(x A,y A),所以x P-x A=x C-x A,y P-y A=0-y A,y P=y A.故.
6.A解析:∵|a|=|b|=,a·b=,
∴a与b的夹角为60°.
设=a,=b,=c,建立如图所示的坐标系,
则a=(,0),b=.
设c=(x,y),则c-a-b=.
又|c-a-b|=1,∴=1,
即点C的轨迹是以为圆心,1为半径的圆.
∵|c|=表示点(x,y)到原点(0,0)的距离,
∴|c|max=+1=4.故选A.
7.C解析:由题意可设a=(a,0),b=(0,b),
则由|a-b|=2可得a2+b2=4,由cλ·可得a2+b2=⇒λa2+(1-λ)b2=1.
又|cλ|2=λ2a2+(1-λ)2b2,
且λa2+(1-λ)b2-λ2a2-(1-λ)2b2=λ(1-λ)·(a2+b2)≥0,所以|cλ|2=λ2a2+(1-λ)2b2≤1.故选C.
8. 解析:∵(a-b)⊥a,∴(a-b)·a=0.
∴a2=a·b=2.∴cos<a,b>=.
∴<a,b>=,|a+b|=.
9.①④⑤解析:在正三角形ABC中,=2a,||=2,所以|a|=1,①正确;由=2a+b,得=b,因此④正确,
②不正确;由的夹角为120°,知a与b的夹角为120°,所以③不正确;因为=b,所以
(4a+b)·=4a·b+b2=4×1×2×+22=0,所以(4a+b)⊥.故⑤正确.
10.3解析:因为)=,
所以|2+|·||cos 45°+|2,即13=|2+|·3··32,解得AB=3.又由余弦定理得
BC2=AB2+AC2-2AB·AC·cos 45°=9,所以BC=3.
11.1 001或1 002解析:设a n=(x n,y n),
∵a1=(-2 014,13),且a n-a n-1=(1,1),
∴数列{x n}是首项为-2 014,公差为1的等差数列,数列{y n}是首项为13,公差为1的等差数列.
∴x n=n-2 015,y n=n+12.
∴|a n|2=(n-2 015)2+(n+12)2=2n2-4 006n+2 0152+122.
∴可知当n=1 001或1 002时,|a n|取到最小值.
12.解:(1)由题意知,A是BC的中点,且,
由平行四边形法则,得=2.
故=2=2a-b,
=(2a-b)-b=2a-b.
(2)如题图,.
又∵=(2a-b)-λa=(2-λ)a-b,=2a-b,∴,解得λ=.
13.解:(1)由题意知m·n=1+12cos αtan α=1+12sin α=5,
即sin α=.因为α∈,
所以cos α=,tan α=.
所以m=(1,2),n=(1,),m+n=(2,3).
所以|m+n|=.
(2)由(1)知m=(1,2),n=(1,),
则cos β=,
sin β=,
所以tan β=.
所以tan(α+β)=.
14.解:(1)因为m∥n,所以a sin B-b cos A=0.
由正弦定理,得sin A sin B-sin B cos A=0.
又sin B≠0,从而tan A=.
由于0<A<π,所以A=.
(2)解法一:由余弦定理,得a2=b2+c2-2bc cos A,而a=,b=2,A=,得7=4+c2-2c,即c2-2c-3=0.
因为c>0,所以c=3.
故△ABC的面积为bc sin A=.
解法二:由正弦定理,得,从而sin B=.又由a>b,知A>B,所以cos B=.
故sin C=sin(A+B)=sin
=sin B cos+cos B sin.
所以△ABC的面积为ab sin C=.。