初一数学讲义(2013.6版)
2013初一数学资料培优汇总(精华)
第一讲 数系扩张--有理数（一）一、【问题引入与归纳】1、正负数，数轴，相反数，有理数等概念。
2、有理数的两种分类：3、有理数的本质定义，能表成m n（0,,n m n ≠互质）。
4、性质：① 顺序性（可比较大小）；② 四则运算的封闭性（0不作除数）；③ 稠密性：任意两个有理数间都存在无数个有理数。
5、绝对值的意义与性质：① (0)||(0)a a a a a ≥⎧=⎨-≤⎩ ② 非负性 2(||0,0)a a ≥≥ ③ 非负数的性质： i ）非负数的和仍为非负数。
ii ）几个非负数的和为0，则他们都为0。
二、【典型例题解析】：1、若||||||0,a b ab ab a b ab+-则的值等于多少？ 2． 如果m 是大于1的有理数，那么m 一定小于它的（ ）A.相反数B.倒数C.绝对值D.平方3、已知两数a 、b 互为相反数，c 、d 互为倒数，x 的绝对值是2，求220062007()()()x a b cd x a b cd -+++++-的值。
4、如果在数轴上表示a 、b 两上实数点的位置，如下图所示，那么||||a b a b -++化简的结果等于（A.2aB.2a -C.0D.2b5、已知2(3)|2|0a b -+-=，求b a 的值是（ ）A.2B.3C.9D.66、 有3个有理数a,b,c ，两两不等，那么,,a b b c c a b c c a a b------中有几个负数？ 7、 设三个互不相等的有理数，既可表示为1，,a b a +的形式式，又可表示为0，b a，b 的形式，求20062007a b +。
8、 三个有理数,,a b c 的积为负数，和为正数，且||||||||||||a b c ab bc ac X a b c ab bc ac=+++++则321ax bx cx +++的值是多少？ 9、若,,a b c 为整数，且20072007||||1a b c a -+-=，试求||||||c a a b b c -+-+-的值。
七年级上册数学培优讲义(有理数的概念)第一讲
模块一 正负数的概念正数：像3．1．0.33+等的数.叫做正数.在小学学过的数.除0外都是正数.正数都大于0.负数：像1-． 3.12-．175-．2008-等在正数前加上“－”（读作负）号的数.叫做负数..负数都小于0. 0既不是正数.也不是负数.一个数字前面的“＋”.“－”号叫做它的符号.正数前面的“＋”可以省略.注意3与3+表示是同一个正数.用正．负数表示相反意义的量：如果正数表示某种意义.那么负数表示它的相反的意义.反之亦然. 譬如：用正数表示向南.那么向北3km 可以用负数表示为3km -.“相反意义的量”包括两个方面的含意：一是相反意义；二是相反意义的基础上要有量.【经典例题1】杭州北高峰高于海平面536米记作+536米.那么吐鲁番艾丁湖湖底低于海平面150米记作（ ）A ．150B ．-150C ．150米D ．-150米 【题目难度】★【解题思路】解题关键是理解“正”和“负”的相对性.明确什么是一对具有相反意义的量．在一对具有相反意义的量中.先规定其中一个为正.则另一个就用负表示．【解题过程】“正”和“负”相对.所以高于海平面536米记作+536米.那么吐鲁番艾丁湖湖底低于海平面150米记作-150米．故选D．【重点考点】解题关键是理解“正”和“负”的相对性.确定一对具有相反意义的量．【经典例题2】飞机上升了-80米.实际上是（）A．上升80米B．下降-80米C．先上升80米.再下降80米D．下降80米【题目难度】★【解题思路】解题的关键是理解“正”和“负”的相对性.确定一对具有相反意义的量．负号表示与上升意义相反.即下降．【解题过程】负号表示与上升意义相反.即下降.则飞机上升了-80米.实际上是下降80米．故选D．【重点考点】解题关键是理解“正”和“负”的相对性.明确什么是一对具有相反意义的量．在一对具有相反意义的量中.先规定其中一个为正.则另一个就用负表示．【经典例题3】下列语句：①不带“-”号的数都是正数；②带“-”号的数一定是负数；③不存在既不是正数也不是负数的数；④0℃表示没有温度．其中正确的有（）A．0个B．1个C．2个D．3个【题目难度】★【解题思路】首先审清题意.明确“正”和“负”所表示的意义；再根据题意作答．【解题过程】①0不带“-”号.但是它不是正数．②-0带负号.但是它不是负数．③0既不是正数也不是负数．④0℃表示有温度.温度为0度.温度可以为负数（零下）也可以为正数（零上）．【重点考点】解题关键是理解“正”和“负”的相对性.明确正数和负数的定义.并且注意0这个特殊的数字.既不是正数也不是负数．【经典例题4】生活中常有用正负数表示范围的情形.例如某种药品的说明书上标明保存温度是（20±2）℃.由此可知在___18℃～22℃范围内保存该药品才合适．【题目难度】★【解题思路】这是一道给出中心值根据误差判断药品的保存温度范围的问题．【解题过程】根据题意某种药品的说明书上标明保存温度是（20±2）℃表示20℃以上记作“正”.低于20℃记作负.由此可知在18℃～22℃范围内保存该药品才合适．故答案为18℃～22℃范围内保存该药品才合适．【重点考点】解题关键是理解“正”和“负”的相对性.确定一对具有相反意义的量．【经典例题5】台风“桑美”给我县的电力造成严重的影响.一突击队乘汽车抢修供电线路.南记为正.则北记为负．某天自A地出发.所走路程（单位：千米）为：+8.-6.-2.+4.-5.+2问：①最后他们是否回到出发点？若没有.则在A地的什么位置？答：他们____（填：有或没有）回到出发点.在A地的正______南方向.距A地____千米．②若每千米耗油1.5升.则今天共耗油_______40.5升.【题目难度】★★【解题思路】首先审清题意.明确“正”和“负”所表示的意义；再根据题意作答．【解题过程】①根据题意可得：南记为正.北记为负.则距A的距离为（+8）+（-6）+（-2）+（+4）+（-5）+（+2）=+1．最后他们没有回到出发点.在A地的正南方向.距A地1千米．②从A地出发.汽车共走了|+8|+|-6|+|-2|+|+4|+|-5|+|+2|=27km；故从A地出发到收工时耗油量为27×1.5=40.5（升）．【重点考点】解题关键是理解“正”和“负”的相对性.明确什么是一对具有相反意义的量．在一对具有相反意义的量中.先规定其中一个为正.则另一个就用负表示．模块二有理数的分类有理数:整数与分数统称有理数.()⎧⎧⎫⎪⎬⎪⎨⎭⎪⎪⎪⎨⎩⎪⎧⎪⎨⎪⎩⎩正整数自然数整数零有理数按定义分类负整数正分数分数负分数()()⎧⎧⎪⎨⎩⎪⎪⎨⎪⎧⎪⎨⎪⎩⎩正整数正有理数正分数有理数按符号分类零零既不是正数,也不是负数负整数负有理数负分数注：⑴正数和零统称为非负数；⑵负数和零统称为非正数；⑶正整数和零统称为非负整数；⑷负整数和零统称为非正整数.【经典例题6】下列各数中：+3．-2.1．．9．．-（-8）．0．-|+3|.负有理数有（）A．2个B．3个C．4个D．5个【题目难度】★【解题思路】把各式化简得：3.-2.1.- .9.1.4.8.0.-3．【解题过程】-2.1为负数有限小数.- 为负数无限循环小数.- 是负整数.所以是负有理数．共3个．【重点考点】判断一个数是有理数还是无理数.要把它化简成最后形式再判断．概念：无限不循环小数和开根开不尽的数叫无理数整数和分数统称为有理数【经典例题7】下列四种说法：①0是整数；②0是自然数；③0是偶数；④0是非负数．其中正确的有（）A．4个B．3个C．2个D．1个【题目难度】★【解题思路】根据0的特殊规定和性质对各选项作出判断后选取答案.注意：2002年国际数学协会规定.零为偶数；我国2004年也规定零为偶数．【解题过程】①0是整数.故本选项正确；②0是自然数.故本选项正确；③能被2整除的数是偶数.0可以.故本选项正确；④非负数包括正数和0.故本选项正确．所以①②③④都正确.共4个．故选A．【重点考点】本题主要对0的特殊性的考查.熟练掌握是解题的关键．【经典例题8】下列说法正确的是（）A．非负有理数就是正有理数B．零表示没有.是有理数C．正整数和负整数统称为整数D．整数和分数统称为有理数【题目难度】★【解题思路】根据有理数的分类.采用排除法判断． 【解题过程】0是非负有理数.但不是正有理数.A 错误；零不是没有.它是整数.也是有理数.B 错误； 0也是整数.C 错误；整数和分数统称为有理数.这是定义.D 正确． 故选D ．【重点考点】本题主要考查有理数学习中概念的理解.必须熟练掌握．【经典例题9】既是正数.又是分数的数是（ ）A ．+2B ．0C ．3.5D ．312- 【题目难度】★【解题思路】按照有理数的分类进行选择即可．【解题过程】A ．+2虽然是正数.但不是分数.不合题意.故A 错误；B ．0既不是正数.也不是分数.故B 错误；C ．符合题意.故C 正确；D ．312-虽然是分数.但不是正数.故D 错误． 故选C ．【重点考点】认真掌握正数．负数．整数．分数的定义与特点．注意整数和正数的区别.注意0是整数.但不是正数．【经典例题10】最小的正整数是 _____1.最大的负整数是 _______. 【题目难度】★【解题思路】根据有理数的相关知识进行解答． 【解题过程】最小的正整数是1.最大的负整数是-1．【重点考点】认真掌握正数．负数．整数的定义与特点．需注意的是：0是整数.但0既不是正数也不是负数．【巩固练习】请写出三个既是负数.又是分数的有理数：__________【题目难度】★【解题思路】：按照有理数的分类填写【解题过程】- ．-0.5．．-0.25．等都符合题意．【重点考点】本题主要考查了有理数的分类．在解答时.认真掌握正数．负数．整数．分数．正有理数．负有理数．非负数的定义与特点．【巩固练习】有理数中.是整数而不是正数的数是_______0和负整数.是负数而不是分数的是________. 【题目难度】★【解题思路】①按照有理数的分类填写②有理数分成正数．0．负数．正数又分成正整数和正分数.负数分成负整数和负分数．【解题过程】零既不是正数也不是负数．故在有理数中.是整数而不是正数的数是0和负整数；是负数而不是分数的是负整数．故答案为：0和负整数；负整数．【重点考点】本题主要考查的是有理数的定义．本题容易在0的分类上出错.注意：零既不是正数也不是负数．模块三数轴数轴：规定了原点．正方向和单位长度的直线.注意：⑴原点．正方向．单位长度称为数轴的三要素.三者缺一不可.⑵单位长度和长度单位是两个不同的概念.前者指所取度量单位的长度.后者指所取度量单位的名称.即单位长度是一条人为规定的代表“1’的线段.这条线段可长可短.按实际情况来规定.同一数轴上的单位长度一旦确定.则不能再改变.⑶数轴的画法及常见错误分析①画一条水平的直线；②在这条直线上适当位置取一实心点作为原点：③确定向右的方向为正方向.用箭头表示；④选取适当的长度作单位长度.用细短线画出.并对应标注各数.同时要注意同一数轴的单位长度要一致.数轴画法的常见错误举例：有理数与数轴的关系：一切有理数都可以用数轴上的点表示出来.在数轴上.右边的点所对应的数总比左边的点所对应的数大.正数都大于0.负数都小于0.正数大于一切负数.注意：数轴上的点不都代表有理数.如 .利用数轴比较有理数的大小：数轴上右边的数总大于左边的数.因此.正数总大于零.负数总小于零.正数大于负数.【经典例题11】数轴上有一个点从原点开始向左移动3个长度单位.再向右移动5个长度单位后.它所表示的有理数是（）A．3 B．5 C．-3 D．2【题目难度】★【解题思路】根据数轴上的点表示的数从原点开始左减右加的原则进行计算．【解题过程】数轴上的点表示的数从原点开始左减右加的原则可知.此点所表示的数为：0-3+5=2．故选D．【重点考点】本题考查的是数轴上点的坐标特点.解答此题的关键是熟知数轴上的点表示的数从原点开始左减右加的原则．【经典例题12】与在数轴上表示数2的点距离等于3个单位的点所表示的数是（）A．-1 B．5 C．3或-3 D．-1或5【经典例题13】有理数a．b在数轴上的位置如图所示.则下列各式正确的是（）aA．a＞b B．a＞-b C．a＜b D．-a＜b【题目难度】★★【解题思路】数轴上右边表示的数总大于左边表示的数．原点左边的数为负数.原点右边的数为正数．从图中可以看出0＜b＜1.a＜-1.|b|＜|a|．【解题过程】根据数轴上a.b两点的位置可知.a＜-1＜0＜b＜1.|a|＞|b|.∴a＜b.-a＞b.-b＞a；故选C．【重点考点】本题主要考查了利用数轴来比较有理数大小的题目．此类题目比较简单.可根据数轴上各点的坐标特点利用取特殊值的方法进行比较.以简化计算．【经典例题14】在数轴上.-2与-5之间的有理数有（）个．A．无数个B．4个C．3个D．2个【题目难度】★★【解题思路】数轴上的点和实数是一一对应的.两个数之间有无数个点.则对应的有理数或无理数有无数个．【解题过程】在数轴上任意两个有理数之间都有无数个的有理数．故选A．【重点考点】本题主要考查了数轴与实数之间的关系：数轴上任意两个有理数之间都有无数个的有理数．【经典例题15】老师在黑板上画数轴.取了原点O后.用一个铁丝做的圆环作为工具.以圆环的直径在数轴上画出单位长1.再将圆环拉直成一线段.在数轴的正方向上以此线段长自原点O起截得A点.则A点表示的数是__________.【重点考点】考查了数轴的几何意义．【经典例题16】已知在纸面上有一数轴（如图）.折叠纸面．（1）若折叠后.数1表示的点与数-1表示的点重合.则此时数-2表示的点与数_____表示的点重合；（2）若折叠后.数3表示的点与数-1表示的点重合.则此时数5表示的点与数_____表示的点重合；若这样折叠后.数轴上有A．B两点也重合.且A．B两点之间的距离为9（A在B的左侧）.则A点表示的数为______.B点表示的数为______【题目难度】★★★【解题思路】（1）数1表示的点与数-1表示的点重合.则这两点关于原点对称.求出-2关于原点的对称点即可；（2）若折叠后.数3表示的点与数-1表示的点重合.则这两点一定关于1对称.即两个数的平均数是1.若这样折叠后.数轴上有A．B两点也重合.且A．B两点之间的距离为9（A在B的左侧）.则这两点到1的距离是4.5.即可求解．【解题过程】（1）2．（2）-3；A表示-3.5.B表示5.5．【重点考点】本题借助数轴理解比较直观.形象．由于引进了数轴.我们把数和点对应起来.也就是把“数”和“形”结合起来.二者互相补充.相辅相成.把很多复杂的问题转化为简单的问题.在学习中要注意培养数形结合的数学思想．模块四 相反数相反数：只有符号不同的两个数互称为相反数．特别地.0的相反数是0. 相反数的性质：⑴代数意义：只有符号不同的两个数叫做互为相反数.特别地.0的相反数是0． 相反数必须成对出现.不能单独存在．例如5+和5-互为相反数.或者说5+是5-的相反数.5-是5+ 的相反数. 而单独的一个数不能说是相反数．另外.定义中的“只有”指除符号以外.两个数完全相同.注意应与“只要符号不同”区分开． 例如3+与3-互为相反数.而3+与2-虽然符号不同.但它们不是相反数．⑵几何意义：一对相反数在数轴上应分别位于原点两侧.并且到原点的距离相等．这两点是关于原点对称的．⑶求任意一个数的相反数.只要在这个数的前面添上“—”号即可． 一般地.数a 的相反数是a -；这里以a 表示任意一个数.可以为正数．0．负数.也可以是任意一个代数式．注意a -不一定是负数．当0a >时.0a -<；当0a =时.0a -=；当0a <时.0a ->. ⑷互为相反数的两个数的和为零.即若a 与b 互为相反数.则0a b +=.反之.若0a b +=.则a 与b 互为相反数．⑸多重符号的化简：一个正数前面不管有多少个“＋”号.都可以全部去掉； 一个正数前面有偶数个“－”号.也可以把“－”号全部去掉；一个正数前面有奇数个“－”号.则化简后只保留一个“－”号.既“奇负偶正”（其中“奇偶”是指正数前面的“－”号的个数的奇偶数.“负正”是指化简的最后结果的符号）.【经典例题17】12-的相反数是（ ）A ．2B ．12 C ．-2 D ．12- 【题目难度】★【解题思路】根据相反数的定义.只有符号不同的两个数是互为相反数.- 的相反数为 ． 【解题过程】与- 符号相反的数是 .所以- 的相反数是 ； 故选B ．【重点考点】本题主要相反数的意义.只有符号不同的两个数互为相反数.a 的相反数是-a ．【经典例题18】如果a表示有理数.那么下列说法中正确的是（）A．+a和-（-a）互为相反数B．+a和-a一定不相等C．-a一定是负数D．-（+a）和+（-a）一定相等【题目难度】★★【解题思路】根据相反数的定义去判断各选项．【解题过程】A．+a和-（-a）互为相反数；错误.二者相等；B．+a和-a一定不相等；错误.当a=0时二者相等；C．-a一定是负数；错误.当a=0时不符合；D．-（+a）和+（-a）一定相等；正确．故选D．【重点考点】本题考查了相反数的定义及性质.在判定时需注意0的界限．【经典例题19】若a.b互为相反数.则下列各对数中不是互为相反数的是（）A．-2a和-2b B．a+1和b+1 C．a+1和b-1 D．2a和2b【题目难度】★★★【解题思路】若a.b互为相反数.则a+b=0.根据这个性质.四个选项中.两个数的和只要不是0的.一定不是互为相反数．【解题过程】∵a.b互为相反数.∴a+b=0．A中.-2a+（-2b）=-2（a+b）=0.它们互为相反数；B中.a+1+b+1=2≠0.即a+1和b+1不是互为相反数；C中.a+1+b-1=a+b=0.它们互为相反数；D中.2a+2b=2（a+b）=0.它们互为相反数．故选B．【重点考点】本题考查了互为相反数的意义和性质：只有符号不同的两个数互为相反数.0的相反数是0；一对相反数的和是0．【经典例题20】相反数不大于它本身的数是（）A．正数B．负数C．非正数D．非负数【题目难度】★★【解题思路】设这数是a.得到a的不等式.求解即可；也可采用特殊值法进行筛选．【解题过程】设这个数为a.根据题意.有-a≤a.所以a≥0．故选D．【重点考点】理解相反数的定义．实数a的相反数为-a；同时要理解不大于．不小于．非负数．非正数的含义．【巩固练习】的相反数是它本身．【题目难度】１星【解题思路】只有符号不同的两个数.绝对值相等叫做互为相反数．【解题过程】∵在数轴上.绝对值相等的两个互为相反数的实数是0.故答案是：0．【重点考点】本题主要考查了相反数的定义．①在数轴上.互为相反数（0除外）的两个点位于原点的两旁.并且关于原点对称；②正数的相反数是负数.负数的相反数是正数；③0的相反数是0．【经典例题21】已知代数式3x+1与代数式5-2x的值互为相反数.则x=_________【题目难度】★★★【解题思路】根据相数的定义列出关于x的方程.3x+1+5-2x=0.解方程即可．【解题过程】根据题意.有3x+1+5-2x=0.解之得x=-6．故答案为-6．【重点考点】熟练掌握相反数的概念和一元一次方程的解法．若两个数互为相反数.则它们的和为零.反之也成立．模块五 绝对值绝对值的几何意义：一个数a 的绝对值就是数轴上表示数a 的点与原点的距离.数a 的绝对值记作a . 绝对值的代数意义：一个正数的绝对值是它本身；一个负数的绝对值是它的相反数；0的绝对值是0. 注意：①取绝对值也是一种运算.运算符号是“”.求一个数的绝对值.就是根据性质去掉绝对值符号. ②绝对值的性质：一个正数的绝对值是它本身；一个负数的绝对值是它的相反数；0的绝对值是0. ③绝对值具有非负性.取绝对值的结果总是正数或0.④任何一个有理数都是由两部分组成：符号和它的绝对值.如：5-符号是负号.绝对值是5. 求字母a 的绝对值：①(0)0(0)(0)a a a a a a >⎧⎪==⎨⎪-<⎩ ②(0)(0)a a a a a ≥⎧=⎨-<⎩ ③(0)(0)a a a a a >⎧=⎨-≤⎩A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个【重点考点】本题主要考查的是正数和负数.及绝对值．去括号的法则是：①括号前面有“+“号.把括号和它前面的“+”号去掉.括号里各项的符号不改变；③括号前面是“-“号.把括号和它前面的“-”号去掉.括号里各项的符号都要改变为相反的符号．【经典例题23】下列说法.不正确的是（）A．数轴上的数.右边的数总比左边的数大B．绝对值最小的有理数是0C．在数轴上.右边的数的绝对值比左边的数的绝对值大D．离原点越远的点.表示的数的绝对值越大【题目难度】★★【解题思路】：根据实数与数轴的对应关系以及实数的意义即可判定选项A．C．D是否正确.0的上绝对值是0．【解题过程】：A：一般来说.当数轴方向朝右时.右边的数比左边的数大.故此选项正确；B：绝对值最小的有理数是0.故此选项正确；C：-3在-2的左边.-3的绝对值大于-2的绝对值.故此选项错误；D：离原点越远的点.表示的数的绝对值越大.故此窜项正确．故选C．【重点考点】本题主要考查了数轴和有理数之间的关系.0的绝对值是0．【经典例题24】如图.下列各数中.数轴上点A表示的可能是（）A．2的平方B．-3.4的绝对值C．-4.2的相反数D．的倒数【题目难度】★★★【解题思路】先根据数轴上A点的位置确定A的取值范围.再根据每个选项中的数值进行判断即可．【解题过程】由数轴上A 点所表示的位置可知.3＜A ＜4.A ．22=4.故本选项错误；B ．|-3.4|=3.4.3＜3.4＜4.故本选项正确；C ．4.2的相反数是4.2＞4.故本选项错误；D ．的倒数是=2.4.2.4＜3.故本选项错误．故选B ．【重点考点】本题考查的是数轴的特点及相反数．倒数的定义.能根据数轴的特点确定出A 的取值范围是解答此题的关键．板块六．科学计数法．有效数字科学记数法：把一个大于10的数表示成10n a ⨯的形式（其中110a ≤<.n 是整数）.此种记法叫做科学记数法．例如：5200000210=⨯就是科学记数法表示数的形式． 710200000 1.0210=⨯也是科学记数法表示数的形式．有效数字： 从一个数的左边第一个非0数字起.到末位数字止.所有数字都是这个数的有效数字． 如：0.00027有两个有效数字：2.7 ；1.2027有5个有效数字：1.2.0.2.7． 注意：万410=.亿810=常考点及易错点：科学计数法中的单位转换.精确到什么位与保留有效数字的差别．记忆方法：移动几位小数点问题．比如：1800000要科学记数法.实际就是小数点向左移动到1和8之间.移动了6位.故记为61.810⨯．【经典例题25】我国第六欢人口普查的结果表明.目前肇庆市的人口约为4050000人.这个数用科学记教法表示为（ ）A ．410405⨯ B ．51005.4⨯C ．61005.4⨯D ．71005.4⨯【题目难度】★【解题思路】科学记数法的表示形式为a×10n 的形式.其中1≤|a|＜10.n 为整数．确定n 的值时.要看把原数变成a 时.小数点移动了多少位.n 的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值＞1时.n 是正数；当原数的绝对值＜1时.n 是负数．【解题过程】61005.44050000⨯= 故选：C ．【重点考点】此题主要考查了科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n 的形式.其中1≤|a|＜10.n 为整数.表示时关键要正确确定a 的值以及n 的值．【经典例题26】某种鲸的体重约为1.36×105kg ．关于这个近似数.下列说法正确的是（ ）A ．精确到百分位.有3个有效数字B ．精确到个位.有6个有效数字C ．精确到千位.有6个有效数字D ．精确到千位.有3个有效数字 【题目难度】★★【解题思路】有效数字的计算方法是：从左边第一个不是0的数字起.后面所有的数字都是有效数字．用科学记数法表示的数的有效数字只与前面的a 有关.与10的多少次方无关．【解题过程】1.36×105kg 最后一位的6表示6千.共有1．3．6三个有效数字．故选D ．【重点考点】此题考查了科学记数法表示的数的有效数字的确定方法.要注意10的n 次方限定的乘号前面的最后一位数表示的数位．【经典例题27】用四舍五入法按要求对0.05049分别取近似值.其中错误的是（ ）A ．0.1（精确到0.1）B ．0.05（精确到百分位）C ．0.05（精确到千分位）D ．0.050（精确到0.001）【题目难度】★★【解题思路】根据近似数与有效数字的概念对四个选项进行逐一分析即可．【解题过程】A ．0.05049精确到0.1应保留一个有效数字.故是0.1.故本选项正确；B ．0.05049精确到百分位应保留一个有效数字.故是0.05.故本选项正确；C ．0.05049精确到千分位应是0.050.故本选项错误；D ．0.05049精确到0.001应是0．050.故本选项正确． 故选C ．【重点考点】本题考查的是近似数与有效数字.即从一个数的左边第一个不是0的数字起到末位数字止.所有的数字都是这个数的有效数字．【经典例题28】据国家统计局2011年4月28日发布的《2011年第六次全国人口普查主要数据公报（第一号）》.总人口为1370536875人.这一数字用科学记数法表示为（ ）（保留四个有效数字）A ．91037.1⨯ B ．81037.1⨯ C ．910371.1⨯ D ．810371.1⨯ 【题目难度】★★【解题思路】科学记数法的表示形式为na 10⨯的形式.其中1≤|a|＜10.n 为整数．确定n 的值是易错点.由于1370536875有10位.所以可以确定n=10-1=9．有效数字的计算方法是：从左边第一个不是0的数字起.后面所有的数字都是有效数字． 用科学记数法表示的数的有效数字只与前面的a 有关.与10的多少次方无关．【解题过程】1370536875=9910371.110370536875.1⨯≈⨯故选：C ．【重点考点】此题主要考查了科学记数法的表示方法.以及用科学记数法表示的数的有效数字的确定方法．练习1. 在下列选项中.具有相反意义的量是（ ）A ．胜二局与负三局B ．盈利3万元与支出3万元课堂检测C．气温升高3℃与气温为-3℃D．向东行20米和向南行20米【题目难度】★【解题思路】首先审清题意.明确“正”和“负”所表示的意义.再分析选项.选择正确答案．【解题过程】A．胜二局与负三局.符合相反意义的量.故选项正确；B．盈利与亏损才符合相反意义的量.而盈利与支出不是相反意义.应为盈利3万元与亏损3万元.故选项错误；C．升高与下降才符合相反意义的量.而升高3℃与气温本身为-3℃不是相反意义的量.应为气温升高3℃与气温下降-3℃.故选项错误；D．东行和西行才符合相反意义的量.而东行和南行则不是相反意义量.应为向东行20米和向西行20米.故选项错误．故选A．【重点考点】解题关键是理解“正”和“负”的相对性.明确什么是一对具有相反意义的量．在一对具有相反意义的量中.先规定其中一个为正.则另一个就用负表示．练习2. 在有理数中.不存在这样的一个数a.它（）A．既是自然数又是整数B．既是分数又是负数C．既是非正的数又是非负的数D．既是正数又是负数【题目难度】★★【解题思路】本题需要根据有理数的分类．自然数．整数．分数．负数．正数的特点及定义对各个选项逐个分析.找出正确选项即可．【解题过程】因为自然数是整数.所以A错因为负分数即是分数由是负数.所以B错因为0既是非正的数又是非负的数.所以C错故选D．。
2013届中考数学复习讲义(01-05)
2013届中考数学复习讲义第1课时有理数七（上）第二章编写：尤兴桂班级＿＿＿＿＿＿姓名＿＿＿＿＿＿＿［课标要求］1、理解有理数的意义，能用数轴上的点表示有理数，能比较有理数的大小.2、借助数轴理解相反数和绝对值的意义，掌握求有理数的相反数与绝对值的方法，知道|a|的含义（这里a表示有理数.3、理解乘方的意义，掌握有理数的加、减、乘、除、乘方及简单的混合运算（以上三步以内为主）.4、理解有理数的运算律，能运用运算律简化运算.5、能运用有理数的运算解决简单的问题.［基础训练］1、－1, 0， 0.2，71， 3 中正数一共有个．2、既不是正数也不是负数的数是 .3、如图是一个正方体盒子的展开图，请把－10，8，10，－2，－8，2分别填入六个小正方形，使得按虚线折成的正方体相对面上的两数互为相反数．4、数轴上点A、B的位置如图所示，若点B关于点A的对称点为C，则点C表示的数为＿＿＿＿＿＿．5、已知a与b互为倒数，c和d互为相反数，且|x|＝6，则3ab－（c＋d）＋x2＝6、若|a|＝3，则a＝＿＿＿＿＿7、下列四个数中，是负数的是（）A、|－2|B、（－2）2C、－2D、2)2(8、如图，数轴上的点P表示的数是－1，将点P向右移动3个单位长度得到点P’，则点P’表示的数是：．［要点梳理］1、＿＿＿＿＿与＿＿＿＿＿统称为有理数2、规定了＿＿＿＿＿、＿＿＿＿＿和＿＿＿＿＿的直线叫做数轴．3、如果两个数符号不同，绝对值相同，那么我们称其中一个数为另一个数的相反数，也称这两个数互为相反数．0的相反数是．4、数轴上表示一个数的点与原点的叫做该数的绝对值．正数的绝对值是；负数的绝对值是；0的绝对值是5、数轴上两个点表示的数，右边的总比左边的＿＿＿；正数＿＿＿0，负数＿＿＿＿0，正数＿＿负数；两个负数比较大小，＿＿＿＿＿＿＿6、乘积为 1的两个有理数互为＿＿＿＿＿．7、有理数分类应注意：（1）0是整数但不是正整数；（2）整数分为三类：正整数、零、负整数，易把整数误认为分为二类：正整数、负整数．（3）整数还可以分为自然数和负整数两类或分为偶数和奇数两类.8、两个数a、b互为相反数，则a＋b＝＿＿＿＿＿．9、绝对值是易错点：如绝对值是5的数应为±5，易丢掉－5．10、乘方的意义：求n个相同因数a的积的运算叫做＿＿＿＿，乘方的结果叫做＿＿11、科学计数法：＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿［问题研讨］例1、如果零上2℃记作+2℃，那么零下3℃记作（）A、－3℃B、－2℃C、+3℃D、+2℃例2、如图，若A是实数a在数轴上对应的点，则关于a，－a，1的大小关系表示正确的是（）A、a＜1＜－aB、a＜－a＜1C、1＜－a＜aD、－a＜a＜1例3、首届中国（北京）国际服务贸易交易会（京交会）于2012年6月1日闭幕，本届京交会期间签订的项目成交总金额达60 110 000 000美元，将60 110 000 000用科学记数法表示应为（）A、96.01110⨯B、960.1110⨯C、106.01110⨯D、110.601110⨯★例4、a是不为1的有理数，我们把11a-称为a的差倒数．如：2的差倒数是1112=--，1-的差倒数是111(1)2=--．已知113a=-，2a是1a的差倒数，3a是2a的差倒数，4a是3a的差倒数，…，依此类推，则a2012＝＿＿＿＿．例5、根据如图所示的程序计算，若输入x的值为1，则输出y的值为＿＿＿＿＿0 1例6、观察下面的变形规律：211⨯ ＝1－12； 321⨯＝12－31；431⨯＝31－41；…… 解答下面的问题： （1）若n为正整数，请你猜想)1(1+n n ＝ ；（2）证明你猜想的结论；（3）求和：211⨯＋321⨯＋431⨯＋…＋201220111⨯★（4）探究并计算：201220101861641421⨯++⨯+⨯+⨯ . ［规律总结］1、搞清有理数的三种常见形式：① 整数 ；②分数；③无限循环小数，如0.01010101…… .2、绝对值的性质——要注意正确区分数的三种情况，尤其是负数去掉绝对值应变为其相反数.3、有理数的混合运算应灵活运用运算律. 乘方计算时注意：（1）注意分清底数，如：－an 的底数是 a ，而不是－a ；（2）注意运算顺序，运算时先算乘方，如 3 ×52＝3 ×25＝75；［强化训练］1、31-的相反数是 ( )A 、31 B 、－31 C 、3 D 、－32、下面的数中，与－3的和为0的是 （ ）A 、3B 、－3C 、31 D 、31-3、—8的相反数是（ ）A 、8B 、－8C 、81D 、81-4、若|a|＝7，|b|＝5，a ＋ b ＞0，那么a －b 的值是（ ） A 、2或 12 B 、2或－12 C 、－2或－12 D 、－2或 125、为改善学生的营养状况，中央财政从2011年秋季学期起，为试点地区在校生提供营养餐膳食补助，一年所学资金约为160亿元，用科学计数法表示为 元.6、2008年5月12日，四川省汶川县发生了里氏8.0级大地震．新疆各族群众积极捐款捐物，还紧急烤制了2×104个饱含新疆各族人民深情的特色食品——馕（nán g ），运往灾区．每个馕厚度约为2cm ，若将这批馕摞成一摞，其高度大约相当于（ ）A 、160层楼房的高度（每层高约2.5m ）B 、一棵大树的高度C 、一个足球场的长度D 、2000m 的高度7、数轴上点A 到原点的距离是5，则A 表示的数是＿＿＿＿＿8、比较大小：－56 ＿＿＿＿＿－679、若a 的相反数是最大的负整数，b 是绝对值最小的数，则a ＋b ＝＿＿＿＿＿．★10、观察下列等式71＝7,72＝49,73＝343,74＝2401, …,由此可判断7100的个位数字是＿＿＿＿.11、计算（1）（－3）×13 ÷(－13)×3 （2）)1()32(32101-+-+-+⎪⎭⎫ ⎝⎛- 2013届中考数学复习讲义第2课时 实数 八（上）第二章 2.3～2.6编写：尤兴桂 班级＿＿＿＿＿＿姓名＿＿＿＿＿＿＿［课标要求］1、了解平方根、算术平方根、立方根的概念，会用根号表示数的平方根、算术平方根、立方根.2、了解乘方与开方与为逆运算，会用平方运算求百以内整数的平方根，会用立方运算求百以内整数（对应的负整数）的立方根，会用计算器求平方根和立方根.3、了解无理数和实数的概念，知道实数与数轴上的点一一对应，能求实数的相反数与绝对值.4、能用有理数估计一个无理数的大致范围.5、了解近似数，在解决实际问题中，能用计算器进行近似计算，并会按问题的要求结果取近似值.6、了解二次根式、最简二次根式的概念，了解二次根式（根号下仅限于数）加、减、乘、除运算法则，会用它们进行有关的简单四则运算. ［基础训练］1、4的平方根是＿＿＿＿＿. 算术平方根是＿＿＿＿＿.2、如果一个数的平方根等于本身，则这个数是＿＿＿＿.如果一个数的算术平方根等于本身，则这个数是＿＿＿＿.如果一个数的立方根等于本身，则这个数是＿＿＿＿.3、下列四个实数中，是无理数的为（ ）A ．0 BC ．－2 D ． 274、（1）81-的立方根是＿＿＿＿＿；（2）已知x3＝8，则x ＝＿＿＿＿＿.5、已知实数x,y 满足x-2 +（y+1）2＝0,则x －y 等于＿＿＿6、用四舍五入法把0.7096精确到千分位的近似值是＿＿＿＿＿.7、今年某市约有108000名应届初中毕业生参加中考，按四舍五入保留两位有效数字，108000用科学计数法表示为（ ）A 、0.10×106B 、1.08×105C 、0.11×106D 、1.1×1058、一个正方形的面积是15,估计它的边长大小在 ( )A 、2与3之间B 、3与4之间C 、4与5之间D 、5与6之间9、3―a 在实数范围内有意义，则a 的取值范围是( ) A 、a ≥3 B 、a ≤3 C 、a ≥―3 D 、a ≤―310、计算：()11π32sin 458-⎛⎫-+︒- ⎪⎝⎭.［要点梳理］1、平方根及立方根的定义与性质（1）（2）算术平方根：正数a 的正的平方根叫做a 的算术平方根，0的算术平方根是0.（3）数的开方与数的乘方互为逆运算. 2、实数（1）无理数的定义及表示形式 （2）实数的分类（3）实数的大小比较的方法、运算性质，及运算律与有理数相同.3、实数与数轴上的点是一一对应的.4、有效数字：对一个近似数，从左面第一个不是0的数字起，到末位数字止，所有的数字都称为这个近似数的有效数字.［问题研讨］例1、（1）如图，矩形OABC的边OA长为2 ，边AB长为1，OA在数轴上，以原点O为圆心，对角线OB的长为半径画弧，交正半轴于一点，则这个点表示的实数是A、2.5B、2 2C、 3D、 5（2）数轴上的点并不都表示有理数，如所画图中数轴上的点P所表示的数是＿＿＿.这种说明问题的方式体现的数学思想方法是＿＿＿＿＿＿＿例2、把下列各数填到相应的集合里：3－1，8，327，－π，3.14，0.1010010001…722，sin30°，tan45°，－3，－3.212012001，｜－3.2｜整数集合：｛…｝分数集合：｛…｝有理数集合：｛…｝无理数集合：｛…｝注：严格地按照定义来分类.例3、比较大小注：有理数大小的比较方法在实数范围内仍然适用，如作差法，作商法，两个负数绝对值大的反而小等等.例4、（1）3.5万精确到＿＿＿＿＿位，有＿＿＿＿个有效数字;1.35×103精确到＿＿＿＿＿位，有＿＿＿＿个有效数字.（2）用四舍五入法，按要求对下列各数取近似数，并用科学记数法表示.①地球上七大洲的总面积约为149480000km2（保留2个有效数字）.②某人一天饮水1890mL （精确到1000mL ） ③小明身高1.595m （保留3个有效数字）④人的眼睛可以看见的红光的波长为0.000077cm （精确到0.00001cm ）. ［规律总结］1、实数是初中数学的基础内容，试题分值5～8分，多以选择题、填空题、计算题出现.2、牢固掌握实数的有关概念，掌握数形结合的思想.3、掌握实数的各种运算，在混合运算中注意符号和运算顺序.4、对于体现创新意识的问题，可采用猜想、归纳、计算、验证等综合方法解题［强化训练］1、在实数π3 ,sin300,－ 3 ,4 中,无理数的个数为( )A 、1B 、2C 、3D 、42、计算17＋ 的值在（ ）??、12??????????????12．（填“>”、??“<”或“＝”）2b??、实数a、b b a >，则化简ba a +-2的结果为（ ）A 、b a +2B 、b a +-2C 、bD 、b a -26、若0＜x ＜1，则x ，x1，x2的大小关系是（ ）A 、x1＜x ＜x2 B 、x ＜x1＜x2 C 、x2＜x ＜x1 D 、x 1＜x2＜x 7、如果aa ||＝－1，则a 的取值是（ ）A 、a ＜0B 、a ≤0C 、a ≥0D 、a ＞0 8、计算（1）()1611130sin 202+⎪⎭⎫⎝⎛-+-︒+--π（2）|1＋(－1)2013＋(8－π8)0(13)－1 2013届中考数学复习讲义第3课时 用字母表示数七（上）第三章 七（下）第八章幂的运算aob编写：尤兴桂 班级＿＿＿＿＿＿姓名＿＿＿＿＿＿＿【课标要求】1、借助现实情境了解代数式，进一步理解用字母表示数的意义.2、能分析具体问题中的简单数量关系，并用代数式表示.3、会求代数式的值；能根据特定的问题查阅资料，找到所需要的公式，并会代入具体的值进行计算.4、整式的有关概念，如单项式、多项式、同类项等，简单的整式加、减、乘法运算.5、整数指数幂的意义与基本性质.6、会解释一些简单代数式的实际背景或几何意义. 【基础练习】1、“x 的21与y 的和”用代数式可以表示为（ ） A 、21（x ＋y ） B 、x ＋21＋y C 、x ＋21y D 、21x ＋y2、某超市进了一批商品，每件进价为a 元，若要获利25%，则每件商品的零售价应定为（ ）A 、25%aB 、（1－25%）aC 、（1＋25%）aD 、%251+a3、下列运算中，正确的是（ ）．A 、x3·x 2＝x5B 、x ＋x2＝x3C 、2x3÷x 2＝xD 、2x 233=⎪⎭⎫ ⎝⎛x4、下列运算中，正确个数为（ ）个①x2＋x3＝x5 ②（x2）3＝x6 ③30×2－1＝5 ④－|－5|＋3＝8 ⑤1÷212⨯＝1A 、1B 、2C 、3D 、4 5、如果的取值是和是同类项，则与n m y x y x m m n 31253--（ ）A 、3和－2B 、－3和2C 、3和2D 、－3和－26、若实数a 满足2210a a -+=，则2245a a -+=＿＿＿＿＿.7、已知10m ＝2，10n ＝3，则103m ＋2n ＝＿＿＿＿8、52314222-+-+-a a a a 与的差是＿＿＿＿＿. 【要点梳理】1、用运算符号（加、减、乘、除、乘方、开方）把数和＿＿＿＿连接而成的式子，叫做代数式，单独一个数或一个字母也是代数式.2、代数式的值：一般地，用＿＿＿＿＿＿代替代数式里的字母，按照代数式中的运算关系，计算得出的结果，叫做代数式的值.3、＿＿＿＿＿＿和＿＿＿＿＿＿＿统称为整式.⑴单项式是＿＿＿＿＿＿的积，其含义是：①不含加减运算，②字母不出现在分母里，③单独的一个数或字母也是单项式.＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿叫做单项式的系数；＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿叫做单项式的次数.⑵多项式是＿＿＿＿＿＿＿的和，其含义有：①由单项式组成；②体现和的运算法则＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿叫做多项式的一个项；＿＿＿＿＿＿＿＿＿叫做这个多项式的次数．4、⑴同类项应必须同时具备两个条件：①＿＿＿＿＿；②＿＿＿＿＿.⑵合并同类项的法则是＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿.5、幂的运算法则（1）am·a n＝＿＿＿＿＿＿＿；（2）(am)n＝＿＿＿＿＿＿；（3）(ab)n＝＿＿＿＿＿＿＿＿；（4）am÷a n＝＿＿＿＿（a≠0）；（5）a0＝1（）；（6）a－p＝＿＿＿＿＿（a≠0）.【问题研讨】例1、填空（1）a的系数是＿＿＿＿，次数是＿＿＿＿＿（2）3ab的系数是＿＿＿＿＿，次数是＿＿＿＿＿例2、单项式4xa＋2by8与－3x2y3a＋4b和仍是单项式，求a＋b的值.例3、按下列程序计算，把答案写在表格内：（1）填写表格：输入n 321－2 －3 …输出答案 1 1（2）请将题中计算程序用代数式表达出来，并给予化简.分析：明确计算程序是正确解答本题的前提.例4、如图，将连续的奇数1、3、5、7 ……，排列成如下的数表，用十字框框出5个数.问：（1）十字框框出5个数字的和与框子正中间的数17有什么关系？（2）若将十字框上下左右平移，可框住另外5个数，若设中间的数为a，用代数式表示十字框框住的5个数字之和；（3）十字框框住的5个数字之和能等于2000吗？若能，分别写出十字框框住的5个数；若不能，请说明理由.【规律总结】1、整体代入法是求代数式值的方法之一2、观察数列中各个数据的数量关系（如和差倍分关系）是解答观察数字型归纳题的一个方法3、要准确理解和辨析单项式次数、系数、同类项等概念，特别要关注简单整式的运算.4、运用公式或法则进行运算，首先要判断题目是否具备某一公式或法则的结构特征，在此基础上正确选择公式或法则进行运算.【强化训练】1、若代数式26x x b-+可化为2()1x a--，则b a-的值是＿＿＿．2、用代数式表示“a、b两数的平方和”，结果为＿＿＿＿＿．3、下列运算正确的是（）Ａ、321x x-=Ｂ、22122xx--=-Ｃ、236()a a a-=·Ｄ、236()a a-=-4、某计算程序编辑如图所示，当输入x＝＿＿＿＿＿时，输出的y＝3.5、已知mmQmP158,11572-=-=（m为任意实数），则P、Q的大小关系为（）A、QP>B、QP=C、QP< D、不能确定★6、某公园计划砌一个图整式乘法单项式乘单单项式乘多多项式乘多乘法公式反过来用因式分解形状如图（1）的喷水池，后来有人建议改为图（2）的形状且外圆的直径不变，喷水池边沿的宽度，高度不变，你认为砌喷水池的边沿（）A、图（1）需要的材料多B、图（2）需要材材料多C、图（1）、图（2）需要的材料一样多D、无法确定7、先化简，再求值：（3x＋2）（3x－2）－5x（x－1）－（2x－1）2，其中x＝－31.8、求（7ab－3a2）－（2b2＋13ab）－（a2－2ab）的值，其中a＝1，b＝－1.2013届中考数学复习讲义第4课时从面积到乘法公式（1）七（下）第三章、七（下）第八章幂的运算编写：尤兴桂班级＿＿＿＿＿＿姓名＿＿＿＿＿＿＿［课标要求］1、会进行简单的整式乘法运算2、能推导乘法公式：（a＋b）（a－b）＝a2－b2，（a±b）2＝a2±2a b＋b2，了解公式的几何背景，并能利用公式进行简单计算.［基础练习］1、21ab2c·（－0.5ab2）·（－2bc2）＝＿＿＿＿＿＿＿2、－3a2（ab2＋31b－1）＝＿＿＿＿＿＿＿＿＿3、二次三项式29x kx-+是一个完全平方式，则k的值是4、如图，从边长为（a+1）cm的正方形纸片中剪去一个边长为（a﹣1）cm的正方形（a＞1），剩余部分沿虚线又剪拼成一个矩形（不重叠无缝隙），则该矩形的面积是（）A．2cm2B．2acm2C．4acm2D．（a2﹣1［要点梳理］1、单项式的乘法法则：单项式乘以单项式，把它们的＿＿＿＿＿＿＿＿＿分别相乘，对于只在一个单项式里含有的字母，则连同它的指数作为积的一个因式．2、单项式与多项式相乘的运算法则：单项式与多项式相乘，就是用单项式去乘多项式的＿＿＿＿＿＿＿，再把所得的＿＿＿＿＿＿＿＿＿．3、多项式乘法法则：多项式与多项式相乘，先用一个多项式的＿＿＿＿＿乘以另一个多项式的＿＿＿＿＿，再把所得的积相加．注意：多项式与多项式相乘的展开式中，有同类项的要合并同类项．4、 写出完全平方公式＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿写出平方差公式 . ［问题研讨］例 1、计算：①()()23232--⋅-a a a ②[(2x －y)(2x ＋y)＋y(y －6x)]÷2x③)3)(52(y x y x -- ④)168()4(2--+x x .例2、（1）已知a ＋b ＝－3，ab ＝2，求a2＋b2 和 (a －b)2的值.（2）已知A ＝2x+y ，B ＝2x －y ，计算A2－B2. （3）已知31=-x ，求代数式4)1(4)1(2++-+x x 的值．例3、由m （a+b+c ）＝ma+mb+mc ，可得：（a+b ）（a2－ab+b2）＝a3－a2b+ab2+a2b －ab2+b3＝a3+b3，即（a+b ）（a2－ab+b2）＝a3+b3． ………………………①我们把等式①叫做多项式乘法的立方公式.下列应用这个立方公式进行的变形不正确的是（ ） A 、（x+4y ）（x2－4xy+16y2）＝x3+64y3 B 、（2x+y ）（4x2－2xy+y2）＝8x3+y3C 、（a+1）（a2＋a+1）＝a3+1D 、x3+27＝（x+3）（x2－3x+9） ［规律总结］1、掌握单项式乘多项式、多项式乘多项式的运算法则；2、二次代数式的几何意义都与面积有关；3、掌握好平方差公式与完全平方公式的特征.平方差公式：（a ＋b ）（a －b ）＝a2－b2 完全平方公式：（a±b ）2＝a2±2a b ＋b2 ［强化训练］1、利用因式分解简便计算：57×99＋44×99－99正确的是（ ）A 、99×（57＋44）＝99×101＝9999B 、99×（57＋44－1）＝99×100＝9900C 、99×（57＋44＋1）＝99×102＝10098D 、99×（57＋44－99）＝99×2＝198 2、如果多项式162++mx x能分解为一个二项式的平方的形式，那么m 的值为：（ ）A 、4B 、8C 、—8D 、±8 3、一套住房的平面图如图所示，其中卫生间、厨房的面积和等于（ ）A 、4xyB 、3xyC 、2xyD 、xy4、如图①是一个长为2m ，宽为2n （m ＞n ）的长方形，用剪刀沿图中虚线（对称轴）剪开，把它分成四块形状和大小都一样的长小方形，然后按图②那样拼成一个正方形，则中间空的部分的面积是（ ）A 、2mnB 、（m ＋n ）2C 、（m －n ）2D 、m2－n25、将图甲中阴影部分的小长方形变换到图乙位置，你 能根据两个图形的面积关系得到的数学 公式是＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿．6、如图是在正方形网格中按规律填成的阴影，根据此规律，第n 个图中的阴影部分小正方形的个数是＿＿＿＿＿7、化简：（a ＋2）（a －2）－a （a ＋1）8、先化简，再求值：2(2)2()()()a a b a b a b a b -++-++，其中1,12a b =-=.★9、有足够多的长方形和正方形的卡片，如下图.3abba1如果选取1号、2号、3号卡片分别为1张、2张、3张，可拼成一个长方形（不重叠无缝隙）.请画出这个长方形的草图，并运用拼图前后面积之间的关系说明这个长方形的代数意义.3 2 233aba －aba －这个长方形的代数意义是 .2013届中考数学复习讲义第5课时从面积到乘法公式（2）七（下）第九章9.5～9.6编写：尤兴桂班级＿＿＿＿＿＿姓名＿＿＿＿＿＿＿［课标要求］1、理解因式分解的意义并感受分解因式与整式乘法是相反方向的变形2、能用提公因式法、公式法（直接利用公式不超过二次）进行因式分解（指数是正整数）.3、会用因式分解法解决相关问题［基础练习］1、因式分解：22a a-＝ .2、分解因式：2168()()x y x y--+-=＿＿＿＿＿.3、分解因式：a2－4b2＝ .4、分解因式=+296-a abab .5、填上适当的数，使等式成立：24x x-+＿＿＿＿＝(x-＿＿＿＿2)6、分解因式2(2)(4)4x x x+++-＝＿＿＿＿＿＿7、下列各式从左向右的变形，属于因式分解的有（） A、(x+2)(x－2)＝x2－4 B、x2－4+3x＝(x+2)(x－2)+3xC、a2－4＝(a+2)(a－2)D、全不对8、下列因式分解错误的是（）A、x2－y2＝（x＋y）（x－y）B、x2＋6x＋9＝（x＋3）2C、x2＋xy＝x（x＋y）D、x2＋y2＝（x＋y）29、下列各式中，不能运用平方差公式的是（）A、－a2+b2B、－x2－y2C、49x2y2－z2D－16m4＋25n2p210、把下列各式分解因式：（1）4x4－25y2 （2）32232a b a b ab-+（3）81(a－b)2－16(a+b)2 （4）16(b－c)2－a2［要点梳理］1、因式分解的概念：2、因式分解的方法：①提公因式法：；②公式法：3、因式分解与整式乘法的关系怎样？4、因式分解法（一种重要的数学思想方法）在解题中的应用.［问题研讨］例1：（1）下列各式由左边到右边的变形中，是分解因式的是（ ）A 、a （x ＋y ）＝ax ＋ayB 、x2－4x ＋4＝x （x －4）＋4C 、10x2－5x ＝5x （2x －1）D 、x2－16＋3x ＝（x ＋4）（x －4）＋3x（2）下列因式分解中，结果正确的是（ ） A 、x2－4＝（x ＋2）（x －2） B 、1－（x ＋2）2＝（x ＋1）（x+3）C 、2m2n －8n3＝2n(m2－4n2)D 、x2－x ＋41＝x2（1－2411xx +）（3）因式分解：－m2＋n2＝___________. （4）分解因式32232a b a b ab -+= ．分析：考察的是因式分解的概念，注意与整式乘法的区别与联系.例2、把下列各式分解因式：（1）;1682++x x （2）;1102524++a a （3）()4)(42++-+n m n m （4）4224167281y y x x +- 例3、已知：0136422=++-+b a b a ,求ab 的值. 说明：此例运用0)(2222≥±=+±b a b ab a 及几个非负数都为零.★例4、（1）两个边长分别为a,b,c 的直角三角形和一个两条直角边都是c 的直角三角形拼成一个新的图形.试用不同的方法计算这个图形的面积，你能发现什么？（2）由四个边长分别为a,b,c 的直角三角形拼成一个新的图形.试用两种不同的方法计算这个图形的面积，并说说你发现了什么.（2）各项没有公因式时，要看能不能用公式法来分解；（3）分解因式，必须进行到每一个多项式都不能再分解.a b c c a b a b［强化训练］1、观察：32－12＝8;52－32＝16;72－52＝24;92－72＝32.……根据上述规律，填空：132－112＝，192－172＝.你能用含n的等式表示这一规律吗？你能说明它的正确性吗？2、（1）观察下面各式规律：2222)121(2)21(1+⨯=+⨯+；2222)132(3)32(2+⨯=+⨯+；2222)143(4)43(3+⨯=+⨯+；……写出第n行的式子，并证明你的结论.(2)计算下列各式，你发现了什么规律？①2011×2013－20122；②210010199-⨯；③210000100019999-⨯.★3、已知P＝3xy－8x+1，Q＝x－2xy－2，当x≠0时，3P －2Q＝7恒成立，求y的值.。
初一数学基础知识讲义
初一数学基础知识讲义初一数学基础知识讲义1. 数的基本概念- 自然数：1、2、3、4……- 整数：0、-1、-2、-3……- 有理数：可以表示为两个整数的比值，包括整数、分数和小数。
- 实数：包括有理数和无理数。
2. 数的运算- 加法：a + b = c，表示将a和b相加得到c。
- 减法：a - b = c，表示从a中减去b得到c。
- 乘法：a × b = c，表示将a和b相乘得到c。
- 除法：a ÷ b = c，表示将a除以b得到c。
3. 整数运算- 整数加法：整数和整数相加。
- 整数减法：整数减去整数。
- 整数乘法：整数和整数相乘。
- 整数除法：整数除以整数。
4. 分数运算- 分数加法：分数和分数相加。
- 分数减法：分数减去分数。
- 分数乘法：分数和分数相乘。
- 分数除法：分数除以分数。
5. 小数运算- 小数加法：小数和小数相加。
- 小数减法：小数减去小数。
- 小数乘法：小数和小数相乘。
- 小数除法：小数除以小数。
6. 不等式- 大于：a > b，表示a比b大。
- 小于：a < b，表示a比b小。
- 大于等于：a >= b，表示a大于等于b。
- 小于等于：a <= b，表示a小于等于b。
7. 几何图形- 点：没有长度、面积和体积，只有位置。
- 直线：由无数个点连成的无限延长线。
- 线段：直线两个端点之间的部分。
- 射线：一端起始，一端无限延长的直线段。
- 平行线：在同一个平面上，永远不会相交的直线。
- 垂直线：与另一条直线相交，形成90度的角。
2013届中考数学复习讲义(12-22)
2013届中考数学复习讲义第12课时 用方程解决问题（1）——整式方程的应用编写：徐建华 沈暄绒 学号＿＿＿＿＿姓名＿＿＿＿＿＿［课标要求］会用整式方程解决简单的实际问题，能检验所得结果是否符合实际意义. ［基础训练］1、某商品经过两次降价，由每件100元调到81元，则平均每次降价的百分率是（ ） A 、8.5% B 、9% C 、9.5 D 、10%2、小悦买书需用48元钱，付款时恰好用了1元和5元的纸币共12张．设所用的1元纸币为x 张，根据题意，下面所列方程正确的是（ ）A 、48)12(5=-+x xB 、48)12(5=-+x xC 、48)5(12=-+x xD 、48)12(5=-+x x 3、某化肥厂一月份生产化肥500吨㎏，从二月份起，由于改进操作技术，使得第一季度共生产化肥1750吨，问第一季度平均每月的增长率是多少？若设第一季度每月的增长率为x ，则可得方程（ ）A 、500（1＋x ）2＝1750B 、500（1＋x ）＋500（1＋x ）2＝1750C 、500＋500（1＋x ）2＝1750D 、500＋500（1＋x ）＋500（1＋x ）2＝1750 ［要点梳理］1、列方程解应用题的一般步骤：①＿＿＿＿＿＿、②＿＿＿＿＿＿、③＿＿＿＿＿＿＿、④＿＿＿＿＿＿、⑤＿＿＿ 2、用方程解决问题时，通常要经历以下过程：3、用方程解决问题的关键是＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿，列出方程［问题研讨］例1、湖南省2011年赴台旅游人数达7.6万人.我市某九年级一学生家长准备中考后全家3人去台湾旅游，计划花费20000元.设每人向旅行社缴纳x 元费用后，共剩5000元用于购物和品尝台湾美食.根据题意，列出方程为 .例2、某商场进了一批皮鞋，每双成本为50元，如果按每双60元出售，可销售800双；如果每双提价5元出售，其销售量就减少100双，现在预算要获利润12000元，问这种皮鞋售价应是多少元？该商品进这种皮鞋多少双？例3、老师布置了一个探究活动作业：仅用一架天平和一个10克的砝码测量壹元硬币和伍角硬币的质量．（注：同种类的每枚硬币质量相同）聪明的孔明同学找来足够多的壹元和伍角的硬币，经过探究得到以下两个探究记录： 记录天平左边天平右边状态记录一 5枚壹元硬币，一个10克的砝码 10枚伍角硬币 平衡 记录二15枚壹元硬币20枚伍角硬币，一个10克的砝码平衡例4、下图是某月的日历表，在此日历表上可以用一个矩形圈出33⨯个位置的9个数（如6，7，8，13，14，15，20，21，22）.若圈出的9个数中，最大数与最小数的积为192，则这9个数的和为（ ）A 、32B 、126C 、135D 、144 ［规律总结］：1、本节运用的主要思想方法是把实际问题转化为数学问题的建模思想.2、解完后要考虑是否符合实际. ［强化训练］1、某地居民生活用电基本价格为0.50元/度.规定每月基本用电量为a 度,超过部分电量的毎度电价比基本用电量的毎度电价增加20%收费,某用户在5月份用电100度,共交电费56元,则a 多少？2、某工程队在我市实施棚户区改造过程中承包了一项拆迁工程，原计划每天拆迁1250m2，因为准备工作不足，第一天少拆迁了20%，从第二天开始，该工程队加快了拆迁速度，第三天拆迁了1440m2.求：（1）该工程队第一天拆迁的面积；（2）若该工程队第二天，第三天每天的拆迁面比前一天增长的百分数相同，求这个百分数.3、某科技开发公司研制出一种新型产品，每件产品的成本为2400 元，销售单价定为3000元．在该产品的试销期间，为了促销，鼓励商家购买该新型产品，公司决定商家一次购买这种新型产品不超过10件时，每件按3000元销售；若一次购买该种产品超过10 件时，每多购买一件，所购买的全部产品的销售单价均降低10元，但销售单价均不低于2600元．(1)商家一次购买这种产品多少件时，销售单价恰好为2600元? (2)设商家一次购买这种产品x 件，开发公司所获的利润为y 元，求y(元)与x(件)之间的函数关系式，并写出自变量x 的取值范围．w ww.(3)该公司的销售人员发现：当商家一次购买产品的件数超过某一数量时，会出现随着一次购买的数量的增多，公司所获的利润反而减少这一情况.为使商家一次购买的数量越多，公司所获的利润越大，公司应将最低销售单价调整为多少元?(其它销售条件不变) .2013届中考数学复习讲义第13课时 用方程解决问题（2）——方程组的应用编写：徐建华 沈暄绒 学号＿＿＿＿＿＿姓名＿＿＿＿＿［课标要求］能根据具体问题中的数量关系，列出二元一次方程组解决简单的实际问题，并能检验解的合理性． ［基础训练］1、某班有40名同学去看演出，购买甲、乙两种票共用去370元，其中甲种票每张10元，乙种票每张8元，设购买了甲种票x 张，乙种票y 张，由此可列出方程组：-．2、在早餐店里，王伯伯买5颗馒头，3颗包子，老板少拿2元，只要50元．李太太买了11颗馒头，5颗包子，老板以售价的九折优待，只要90元．若馒头每颗x 元，包子每颗y 元，则下列哪一个二元一次联立方程式可表示题目中的数量关系？（ ）A 、⎩⎨⎧⨯=++=+9.09051125035y x y x B 、⎩⎨⎧÷=++=+9.09051125035y x y xC 、⎩⎨⎧⨯=+-=+9.09051125035y x y xD 、⎩⎨⎧÷=+-=+9.09051125035y x y x3、某校春季运动会比赛中，八年级（1）班、（5）班的竞技实力相当，关于比赛结果，甲同学说：（1）班与（5）班得分比为6:5；乙同学说：（1）班得分比（5）班得分的2倍少40分．若设（1）班得x 分，（5）班得y 分，根据题意所列的方程组应为（ ）A 、65,240x y x y =⎧⎨=-⎩B 、65,240x y x y =⎧⎨=+⎩C 、56,240x y x y =⎧⎨=+⎩D 、56,240x y x y =⎧⎨=-⎩ 4、甲、乙两种商品原来的单价和为100元，因市场变化，甲商品降价10％，乙商品提价40％，调价后两种商品的单价和比原来的单价和提高了20％．若设甲、乙两种商品原来的单价分别为x 元、y 元，则下列方程组正确的是（ ）A 、⎩⎨⎧+⨯=-++=+201(100)401()101(100000000y x y x B 、⎩⎨⎧⨯=++-=+00000020100)401()101(100y x y xC 、⎩⎨⎧+⨯=++-=+)201(100)401(101(100000000y x y x D 、⎩⎨⎧⨯=-++=+0000020100)401()101(100y x y x［要点梳理］列方程组解应用题的一般步骤：1、审:分析题意,找出已、未知之间的数量关系和相等关系.2、设:选择恰当的未知数3、列:根据数量和相等关系,正确列出方程组.4、解:解所列的方程组.5、验:检验 ①是否是所列方程组的解;②是否满足实际意义6、答:注意单位和语言完整. ［问题研讨］例1、为了贫困家庭子女能完成初中学业，国家给他们免费提供教科书，下表是某中学免费提供教科书补助的部分情况：为：（ ）⎩⎨⎧=++=++⎩⎨⎧=+=+⎩⎨⎧=+=+⎩⎨⎧=++=++12040941091009519001900941094010095941091201009519009410912040y x y x D y x y x C y x y x B y x y x A 、 、、 、例2、为了鼓励市民节约用水，某市居民生活用水按阶梯式水价计费下表是该市居民“一户一表”已知小王家2012年4月份用水20吨，交水费66元；5月份用水25吨，交水费91元.（1）求a,b 的值.（2）随着夏天的到来用水量将增加，为了节约开支，小王计划把6月份水费控制在家庭月收入的2 %，若小王家月收入为9200元，则小王家6月份最多能用水多少吨？ 例3、某超市经销A 、B 两种商品，A 种商品每件进价20元，售价30元；B 种商品每件进价35元，售价48元．（1）该超市准备用800元去购进A 、B 两种商品若干件，怎样购进才能使超市经销这两种商品所获利润最大（其中B 种商品不少于7件）？（2）在促销活动期间小颖去该超市购买种商品，小华去该超市购买种商品，分别付款210元与268.8元．促销活动期间小明决定一次去购买小颖和小华购买的同样多的商品，他需付款多少元？ ［规律总结］列方程组解应用题的一般步骤是审题、设元、列方程组、解方程组、检验、作答，其中列方程组是关键. ［强化训练］1、某班共有学生49人.一天，该班某男生因事请假，当天的男生人数恰为女生人数的一半.若设该班男生人数为x ，女生人数为y ，则下列方程组中，能正确计算出x 、y 的是（ ）A 、⎩⎨⎧x –y= 49y=2(x+1)B 、⎩⎨⎧x+y= 49y=2(x+1)C 、⎩⎨⎧x –y= 49y=2(x –1)D 、⎩⎨⎧x+y= 49y=2(x –1)2、三个同学对问题“若方程组111222a x b y c a x b y c +=⎧⎨+=⎩的解是34x y =⎧⎨=⎩，求方程组111222325325a x b y c a x b y c +=⎧⎨+=⎩的解.”提出各自的想法.甲说：“这个题目好象条件不够，不能求解”；乙说：“它们的系数有一定的规律，可以试试”；丙说：“能不能把第二个方程组的两个方程的两边都除以5，通过换元替换的方法来解决”.参考他们的讨论，你认为这个题目的解应该是＿＿＿＿＿＿＿＿＿.3、有甲、乙、丙三种商品，如果购甲3件、乙2件，丙1件共需315元钱，购甲1件、乙2件、丙3件共需285元钱，那么购甲、乙、丙三种商品各一件共需＿＿＿＿元钱． .2013届中考数学复习讲义第14课时 一元一次不等式（组）的解法八（下）第七章 7.1～7.4、7.6编写：徐建华 沈暄绒 学号＿＿＿＿＿姓名＿＿＿＿＿＿［课标要求］1、能够根据具体问题中的大小关系了解不等式的意义，并探索不等式的基本性质.2、会解简单的一元一次不等式，并能在数轴上表示出解集，会解由两个一元一次不等式组成的不等式组，并会用数轴确定解集. ［基础训练］1、如果x 的53与3的差是负数，则所列不等式为＿＿＿＿＿＿＿＿ 2、已知2a －3x2＋3a ＞1是关于x 的一元一次不等式，则a ＝＿＿＿＿，此不等式的解集是＿＿＿＿＿＿＿＿3、若a ＞b 则2a ＿＿＿2b ，3－a ＿＿＿＿3－b4、不等式2x ＋5＞4x －1的正整数解是＿＿＿＿＿＿＿＿5、不等式6≤1－4x ＜10的整数解是＿＿＿＿＿＿＿ ［问题研讨］例1、（1）如果关于x 的不等式（a ＋1）x ＞a ＋1的解集为x ＜1，那么a 的取值范围是（ ）A 、a ＞0B 、a ＜0C 、a ＞－1D 、a ＜－1 （2）实数a 、b 、c 在数据上的位置如图，则下列式子成立的是（ ） A 、ab ＞bc B 、ac ＞bcC 、ac ＞abD 、ab ＞ac 例2、（1）把不等式2x -< 4的解集表示在数轴上，正确的是（2）不等式组21318x x --⎧⎨->⎩≥的解集在数轴上可表示为（ ）． B ．C ．D ． 例3（1）解不等式23-≤1，并把它的解集在数轴上表示出来． （2）解不等式组12(1)532122x x x --⎧⎪⎨-<+⎪⎩≤，并把解集在数轴上表示出来．（3）解不等式组331213(1)8x x x x -⎧++⎪⎨⎪--<-⎩，，≥并写出该不等式组的整数解.例4、（1）若关于x 的不等式组⎩⎨⎧>>mx x 2的解集是2>x ，则m 的取值范围是 ．（2）如果不等式组2223xa xb ⎧+⎪⎨⎪-<⎩≥的解集是01x <≤，那么a b +的值为 ．（3）已知关于x 的不等式组0521x a x -⎧⎨->⎩≥，只有四个整数解，则实数a 的取值范围是 ．例5、试确定实数a 的取值范围，使不等式组10,23544(1)33x x a x x a +⎧+>⎪⎨+⎪+>++⎩恰有两个整数解．［规律总结］1、注意应用数形结合思想，即借助数轴来求解.2、解不等式时，当在不等式两边同时乘以(或除以)一个负数时，不等号的方向要改变.3、对于一些求特殊解(如整数解、正整数解、负整数解等)的问题，应根据题意仔细辨别.［强化训练］1、如果m ＜n ＜0，那么下列结论中错误的是（ ）A B D20 C0 1 2 3 4 0 1 2 3 4 0 1 2 3 4 01 2 3 4A 、mn 11> B 、－m ＞－n C 、m －9＜n －9 D 、n m ＞12、如果（2a －1）x ＞2a －1的解集是x ＞1，则a 的取值范围是（ ） A 、a ＞21 B 、a ＞－21 C 、a ＜21 D 、a ＜－213、关于x 的不等式组153,2223x x x x a +⎧>-⎪⎪⎨+⎪<+⎪⎩只有4个整数解，则a 的取值范围是（ ）A 、－5≤a ＜－143 B 、－5≤a≤－143 C 、－5<a≤－143 D 、－5<a<－143 4、能使不等式21（3x －1）－（5x －2）＞41成立的x 的最大整数值是＿＿＿＿＿＿5、不等式组⎪⎩⎪⎨⎧->++<-x x x x 384325，的解集是＿＿＿＿＿＿＿＿6、已知不等式组⎪⎩⎪⎨⎧->+≤--1324)2(3x x a x x 的解集是1≤x ＜2，则a ＝＿＿＿＿＿＿＿7、已知方程组⎩⎨⎧=++=+3313y x k y x 的解为x 、y ，且2＜k ＜4，则x －y 的取值范围是＿＿8、如图，一次函数y ax b =+的图象经过A 、B 两点，则关于x 的不等式0ax b +<的解集是9、若不等式组⎩⎨⎧->+<121m x m x 无解，则m 的取值范围是＿＿＿＿10、解不等式31221+≥+x x ，并把它的解集在数轴上表示出来. .2013届中考数学复习讲义第15课时 一元一次不等式（组）的应用（1）八（下）7.5及不等式组的应用编写：徐建华 沈暄绒 班级＿＿＿＿＿＿姓名＿＿＿＿＿＿＿［课标要求］能够根据具体情境中的数量关系，列出一元一次不等式和一元一次不等式组，解决简单的问题.［基础训练］1、某班级从文化用品市场购买了签字笔和圆珠笔共l5支，所付金额大于26元，但小于27元．已知签字笔每支2元，圆珠笔每支1.5元，则其中签字笔购买了_____ 支．2、我国从2011年5月1日起在公众场所实行“禁烟”，为配合“禁烟”行动，某校组织开展了“吸烟有害健康”的知识竞赛，共有20道题.答对一题记10分，答错（或不答）一题记5-分.小明参加本次竞赛得分要超过100分，他至少要答对 道题.3、根据如图所示，对a 、b 、c 三种物体的质量判断正确的是（ ） A 、a ＜c B 、a ＜b C 、a ＞c D 、b ＜c ［要点梳理］列出不等式（组）解决实际问题的步骤：（1）找出实际问题中的不等关系，设出未知数，列出不等式（组）； （2）解不等式（组）；（3）从不等式（组）的解集中求出符合题意的答案. ［问题研讨］例1、黄冈某地“杜鹃节”期间，某公司70名职工组团前往参观欣赏，旅游景点规定：①门票每人60元，无优惠；②上山游玩可坐景点观光车，观光车有四座和十一座车，四座车每辆60元，十一座车每人10元.公司职工正好坐满每辆车且总费用不超过5000元，问公司租用的四座车和十一座车各多少辆？例 2、某学校组织八年级学生参加社会实践活动，若单独租用35座客车若干辆，则刚好坐满；若单独租用55座客车，则可以少租一辆，且余45个空座位．（1）求该校八年级学生参加社会实践活动的人数；（2）已知35座客车的租金为每辆320元，55座客车的租金为每辆400元．根据租车资金不超过1500元的预算，学校决定同时租用这两种客车共4辆（可以坐不满）．请你计算本次社会实践活动所需车辆的租金．例3、青青商场经销甲、乙两种商品，甲种商品每件进价15元，售价20元，乙种商品每件进价35元，售价45元，（1）若该商场同时购进甲、乙两种商品共100件恰好用去2700元，求能购进甲、乙两种商品各多少件？（2）该商场为使甲、乙两种商品共100件的总利润（利润＝售价－进价）不少于750元，且不超过760元，请你帮助该商场设计相应的进货方案；打折前一次性购物总金额 优惠措施 不超过300元不优惠 超过300元且不超过400元 售价打九折 超过400元售价打八折种商品打折后一次性付款324元，那么这两天他在该商场购买甲、乙两种商品一共多少件？（通过计算求出所有符合要求的结果）分析：（1）购进甲种商品的总费用＋购进乙种商品的总费用＝2700元.（2）列出不等式组，注意不等式组的整数解.例4、2011年5月20日是第22个中国学生营养日，某校社会实践小组在这天开展活动，调查快餐营养情况．他们从食品安全监督部门获取了一份快餐的信息（如图）．根据信息，解答下列问题．(1)求这份快餐中所含脂肪质量；(2)若碳水化合物占快餐总质量的40%，求这份快餐所含蛋白质的质量；(3)若这份快餐中蛋白质和碳水化合物所占百分比的和不高于85%，求其中所含碳水化合物质量的最大值．例5、为了进一步建设秀美、宜居的生态环境，某村欲购买甲、乙、丙三种树美化村庄，已知甲、乙、丙三种树每棵的价格之比是2:2:3，甲种树每棵200元，现计划用210000元，购买这三种树共1000棵.（1）求乙、丙两种树每棵个多少元？（2）若购买甲种树的棵树是乙种树的2倍，且恰好用完计划资金，求三种树各购买多少棵？（3）若又增加了10120元的购树款，在购买总棵树不变的情况下，求丙种树最多可以购买多少棵？［规律总结］1、根据题目给出的条件能转化为不等式时，要理解关键词，如“至少”、“至多”、“不少于”等等.2、要注意不等式（组）的解集是否符合实际.［强化训练］1、（桂林2010）某校初三年级春游，现有36座和42座两种客车供选择租用，若只租用36座客车若干辆，则正好坐满；若只租用42座客车，则能少租一辆，且有一辆车没有坐满，但超过30人；已知36座客车每辆租金400元，42座客车每辆租金440元.（1）该校初三年级共有多少人参加春游？（2）请你帮该校设计一种最省钱的租车方案．2、某房地产开发公司计划建A、B两种户型的住房共80套，该公司所筹资金不少于2090万元，但不超过2096万元，且所筹资金全部用于建房，两种户型的建房的成本和售价如表：A B成本（万元/套）25 28售价（万元/套）30 34（1）该公司对这两种户型住房有哪几种建房方案？（2）该公司如何建房获利利润最大？（3）根据市场调查，每套B型住房的售价不会改变，每套A型住房的售价将会提高a万元（a＞0），且所建的两种住房可全部售出，该公司又将如何建房获得利润最大？.2013届中考数学复习讲义第16课时一元一次不等式（组）的应用（2）八（下）7.5及不等式组的应用编写：徐建华沈暄绒班级＿＿＿＿＿＿姓名＿＿＿＿＿＿＿［课标要求］能够根据具体情境中的数量关系，列出一元一次不等式或一元一次不等式组，解决简单的问题.［基础训练］1、直线与直线在同一平面直角坐标系中的图象如图所示，则关于的不等式的解集为＿＿＿＿＿＿＿．2、商店为了对某种商品促销，将定价为3元的商品，以下列方式优惠销售：若购买不超过5件，按原价付款；若一次性购买5件以上，超过部分打八折．如果用27元钱，最多可以购买该商品的件数是＿＿＿＿＿＿＿．3、“五·四”青年节，市团委组织部分中学的团员去西山植树．某校九年级（3）班团支部领到一批树苗，若每人植4棵树，还剩37棵；若每人植6棵树，则最后一人有树植，但不足3棵，这批树苗共有＿＿＿＿＿棵．［要点梳理］列出不等式（组）解决实际问题的步骤：（1）找出实际问题中的不等关系，设出未知数，列出不等式（组）；（2）解不等式（组）；（3）从不等式（组）的解集中求出符合题意的答案.［问题研讨］例1、小明利用课余时间回收废品，将卖得的钱去购买5本大小不同的两种笔记本，要求共花钱不超过28元，且购买的笔记本的总页数不低于340页，两种笔记本的价格和页数如下表．为了节约资金，小明应选择哪一种购买方案?请说明理由．大笔记本小笔记本价格（元/本） 6 5页数（页/本）100 60例210台和液晶显示器8台，共需要资金7000元；若购进电脑机箱2台和液晶显示器5台，共需要资金4120元．(1)每台电脑机箱、液晶显示器的进价各是多少元?(2)该经销商计划购进这两种商品共50台，而可用于购买这两种商品的资金不超过22240元．根据市场行情，销售电脑机箱、液晶显示器一台分别可获利10元和160元．该经销商希望销售完这两种商品，所获利润不少于4100元．试问：该经销商有哪几种进货方案?哪种方案获利最大?最大利润是多少?例3、为实现区域教育均衡发展，我市计划对某县A、B两类薄弱学校全部进行改造．根据预算，共需资金1575万元．改造一所A类学校和两所B类学校共需资金230万元；改造两所A类学校和一所B类学校共需资金205万元．（1）改造一所A类学校和一所B类学校所需的资金分别是多少万元？（2）若该县的A类学校不超过5所，则B类学校至少有多少所？（3）我市计划今年对该县A、B两类学校共6所进行改造，改造资金由国家财政和地方财政共同承担．若今年国家财政拨付的改造资金不超过400万元；地方财政投入的改造资金不少于70万元，其中地方财政投入到A、B两类学校的改造资金分别为每所10万元和15万元．请你通过计算求出有几种改造方案？【说明】不等式的运用常常与方程（组）、函数的知识相结合，当不等式作为隐含条件使用的时候，更能反映学生全面思考问题的能力.［规律总结］1、根据题目给出的条件能转化为不等式时，要理解关键词，如“至少”、“至多”、“不少于”等等.2、要注意不等式（组）的解集是否符合实际.［强化训练］1、某大型超市从生产基地购进一批水果，运输过程中质量损失10%，假设不计超市其他费用，如果超市想要至少获得20%的利润，那么这种水果在进价的基础上至少提高（）A、40%B、33.4%C、33.3%D、30%2、某商场的老板销售一种商品，他要以不低于进价20%价格才能出售，但为了获得更多利润，他以高出进价80%的价格标价．若你想买下标价为360元的这种商品，最多降价多少时商店老板才能出售（）A、80元B、100元C、120元D、160元3、为打造“书香校园”，某学校计划用不超过1900本科技类书籍和1620本人文类书籍，组建中、小型两类图书角共30个.已知组建一个中型图书角需科技类书籍80本，人文类书籍50本；组建一个小型图书角需科技类书籍30本，人文类书籍60本．（1）问符合题意的组建方案有几种？请你帮学校设计出来；（2）若组建一个中型图书角的费用是860元，组建一个小型图书角的费用是570元，试说明在（1）中哪种方案费用最低？最低费用是多少元？4、我州某教育行政部门计划今年暑假组织部分教师到外地进行学习，预订宾馆住宿时，有住宿条件一样的甲、乙两家宾馆供选择，其收费标准均为每人每天120元，并且各自推出不同的优惠方案.甲家是35人（含35人）以内的按标准收费，超过35人的，超出部分按九折收费；乙家是45人（含45人）以内的按标准收费，超过45人的，超出部分按八折收费.如果你是这个部门的负责人，你应选哪家宾馆更实惠些？.2013届中考数学复习讲义第17课时数量、位置的变化八（上）第四章编写：徐建华沈暄绒班级＿＿＿＿＿＿姓名＿＿＿＿＿＿＿［课标要求］1、探索具体问题中的数量关系和变化规律2、会用不同的方法描绘数量的变化和物体的位置变化3、灵活运用不同的方式确定物体的位置4、认识并能画出平面坐标系；在给定直角坐标系中，会根据点的坐标描出点的位置，会由点的位置写出点的坐标5、能在方格纸上建立适当的直角坐标系，描述物体的位置.6、在同一平面直角坐标系中，感受图形变化后点的坐标的变化.［基础训练］1、在平面直角坐标系中，点P（－1，3）位于（）A、第一象限B、第二象限C、第三象限D、第四象限2、点P(1,2)关于x轴的对称点1P的坐标是＿＿＿＿＿，点P(1,2)关于原点O的对称点2P的坐标是＿＿＿＿＿.3、P（－3，4）到x轴的距离为（）A、3B、－3C、4D、－44、已知点A（2a＋3b，－2）和点B（8，3a＋2b）关于x轴对称，那么a＋b＝＿＿＿＿＿5、如图所示的围棋盘放置在某个平面直角坐标系内，白棋②的坐标为（－7，－4），白棋④的坐标为（－6，－8），那么，白棋①的坐标应该是＿＿＿＿6、如图,在平面直角坐标系中,正方形ABCD的顶点A、C分别在y轴、x轴上,以AB为弦的⊙M与x轴相切.若点A的坐标为(0,8),则圆心M的坐标为( )A、-4,5)B、(-5,4)C、(5,-4)D、(4,-5)7、在一次“寻宝”游戏中,“寻宝”人找到了如图所标示的两个yxMOCB A标志点A（2，3）、B（4，1）,A、B两点到“宝藏”点的距离都是10，则“宝藏”点的坐标是（）A、()0,1Ｂ、()4,5Ｃ、()0,1或()4,5Ｄ、()1,0或()5,48、在平面直角坐标系中，将点P（-2,3）沿x轴方向向右平移3个单位得到点Q，则点Q的坐标是（）A、(－2,6)B、(－2,0)C、(－5,3)D、(1,3)［要点梳理］1、坐标轴上点的特征x轴上点的＿＿＿＿＿坐标为0，y轴上点的＿＿＿＿＿坐标为02、对称点的坐标特征：点P（x，y）关于x轴对称的点的坐标为＿＿＿＿＿＿＿＿；关于y轴对称的点的坐标为＿＿＿＿＿＿，关于原点对称的点的坐标为＿＿＿＿＿＿3、坐标轴夹角平分线上点的特征：（1）点P（x，y）在第一、三象限平分线上⇔＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿（2）点P（x，y）在第二、四象限平分线上⇔＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿4、平行于坐标轴的直线上的点的特征：（1）平行x轴的直线上，所有点的＿＿＿＿＿＿＿坐标相等；（2）平行于y轴的直线上，所有点的＿＿＿＿＿＿坐标相等.［问题研讨］例1、甲乙两位同学用围棋子做游戏，如图所示，现轮到黑棋下子，黑棋下一子后白棋下一子，使黑棋的5个棋子组成轴对称图形，白棋的5个棋子也成轴对称图形.则下列下子方法不正确的是（）.A、黑（3，7）；白（5，3）B、黑（4，7）；白（6，2）C、黑（2，7）；白（5，3）D、黑（3，7）；白（2，6）例2、在如图所示的直角坐标系中，解答下列问题：（1）分别写出A、B两点的坐标；（2）将△ABC绕点A顺时针旋转90°，画出旋转后的△AB1C1；（3）求出线段B1A所在直线l 的函数解析式，并写出在直线l上从B1到A的自变量x的取值范围.例3、如图，在直角坐标系中，将矩形OABC沿OB对折，使点A落在A1处，已知OA＝3，AB＝1，求点A1的坐标.例4、在平面直角坐标系中等腰三角形ABC的顶点A的坐标为（2，2）（1）若底边BC在x轴上，请写出一组满足条件的点B、点C的坐标：＿＿＿＿＿＿，设点B、点C的坐标分别为（m，0）、（n，0），你认为m、n应满足怎样的条件？答：＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿（2）若底边BC的两端点分别在x轴、y轴上，请写出一组满足条件点B、点C的坐标：＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿；设点B、点C的坐标分别为（m，0）、（0，n），你认为m、n应满足怎样的条件？答：＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿分析：（1）过A点向x轴作垂线；（2）其中有一种情况是：由直线OA垂直平分BC ［规律总结］1、本节课主要运用了数形结合的数学思想；2、本节内容在中考题主要以填空、选择和阅读题为主；3、点P（a，b）到x轴的距离等于｜b｜，到y轴的距离等于｜a｜［强化训练］1、点P在第二象限，若该点到x轴的距离为3，到y轴的距离为1，则点P的坐标是（）A 、（－1，3）B 、（－3，1）C 、（3，－1）D 、（1，3） 2、已知点P （x －1，x ＋3），那么点P 不可能在第＿＿＿＿象限. 3、△OAB 的三顶点坐标为O （0，0），A （1，1），B （1，2），则△OAB 的面积S 为（ ）4、在直角坐标系中，点P(m －3，m ＋1)在第二象限，则m 的取值范围为 （ ） A 、－1＜m ＜3 B 、m ＞3 C 、m ＜－１ D 、m ＞－１5、已知点A （1，5），B （3，－1），点M 在x 轴上，当AM －BM 最大时，点M 的坐标为 .6、在平面直角坐标系中，点A 的坐标为(4)，0，点B 的坐标为(410)，，点C 在y 轴上，且ABC △是直角三角形，则满足条件的C 点的坐标为 ．7、在平面直角坐标系xOy 中，已知点P （2，2），点Q 在y 轴上，△PQO 是等腰三角形，则满足条件的点Q 共有（ ）A 、5个B 、4个C 、3个D 、2个 2013届中考数学复习讲义第18课时 一次函数（1）八（上）第五章 5.1～5.3编写：徐建华 沈暄绒 班级＿＿＿＿＿＿姓名＿＿＿＿＿＿＿［课标要求］1、了解常量、变量的意义，函数的概念和三种表示方法.2、结合图象对简单实际问题的函数关系进行分析.3、确定简单函数式中和简单实际问题中的函数的自变量的取值范围，并求出函数值.4、用适当的函数表示法刻画某些实际问题中变量之间的关系，分析函数关系、预测变量的变化规律.5、结合具体情境体会一次函数和正比例函数意义，根据已知条件确定一次函数关系式6、会画一次函数的图像，能根据一次函数的图像或关系式y ＝kx ＋b （k≠0）探索并 理解其性质（k ＞0或k<0时，图像的变化情况） ［基础训练］1、下列函数中，自变量x 的取值范围为x ＜1的是（ ）A 、 11y x =- B 、 11y x =- C 、1y x =- D 、11y x =-2、如果正比例函数y kx =的图象经过点（1，－2），那么k 的值等于＿＿＿＿＿＿．3、已知一次函数y ＝－3x ＋2，它的图像不经过第＿＿＿＿＿＿象限.4、若一次函数y kx b =+的函数值y 随x 的增大而减小，且图象与y 轴的负半轴相交，那么对k 和b 的符号判断正确的是（ ）A 、0,0k b >>B 、0,0k b ><C 、0,0k b <>D 、0,0k b << 5、两直线1:,12:21+=-=x y l x y l 的交点坐标为（ ） A 、（—2，3） B 、（2，—3） C 、（—2，—3） 、（2，3）6、下列曲线中，表示y 不是x 的函数是 （ ）［要点梳理］1、函数的定义：＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿2、确定自变量的取值范围：一般需从两个方面考虑①自变量的取值必须使其所在代数式有意义；②使实际问题有意义3（2）＿＿＿＿＿＿；（3）＿＿＿＿＿＿4、一次函数的定义：＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿那么y 叫做x 的一次函数，当＿＿＿＿时，一次函数y ＝kx ＋b 就成为y ＝kx （k 是常数，k≠0）这时y 叫做x 的正比例函数（或者说y 与x 成正比例）5、一次函数的图象是＿＿＿＿＿，其性质是：（1）k ＞0，b ＞0时，图象过第＿＿＿＿＿＿象限； （2）k ＞0，b ＜0时，图象过第＿＿＿＿＿＿象限； （3）k ＜0，b ＞0时，图象过第＿＿＿＿＿＿象限； （4）k ＜0，b ＜0时，图象过第＿＿＿＿＿＿象限；6、画正比例函数的图象，一般取＿＿＿＿＿两点，画一次函数的图象，一般取直线与坐标轴的两交点.7、求函数解析式的一般方法是待定系数法. ［问题研讨］例1、如图，A 、B 、C 、D 为圆O 的四等分点，动点P 从圆心O 出发，沿OC CD DO --的路线作匀速运动．设运动时间为t 秒，∠APB 的度数为y 度，则下列图像中表示y （度）与t （秒）之间的函数关系最恰当的是（ ）（2）已知梯形ABCD 的四个顶点的坐标分别为A （－1，0），B （5，0），C （2，2），D （0，2），直线y=kx+2将梯形分成面积相等的两部分，则k 的值为（ ）A x y OB x y OC x y OD x y O。
初一数学讲义
第一章有理数1.1正数与负数一、预习目标知识与技能：知道正数和负数是怎样产生的；知道什么是正数和负数；描述数0表示的量的意义。
二、重点、难点、疑点及解决办法1．重点：会判断正数、负数，运用正负数表示具有相反意义的量。
2．难点：负数的引入。
3．疑点：负数概念的建立。
三、预习过程设计（一）创设情境，复习导入提出问题：举例说明小学数学中我们学过哪些数？看谁举得全？提出问题：小学数学中我们学过的最小的数是谁？有没有比零还小的数呢？（二）探索新知，讲授新课为了研究这个问题，我们看两个实例1.在冬日一天中，一个测量员测了中午12点，晚6点，夜间12点，早6点的气温，如下：10,3，-10，-2.你能读出它们所表示的温度各是多少吗？（单位℃）2.再看一个例子，中国地形图上，可以看到我国有一座世界最高峰—珠穆朗玛峰，图上标着8848，在西北部有一吐鲁番盆地，地图上标着－155米，这两个数表示的高度是相对海平面说的，你能说说8848米，－155米各表示什么意义吗？正数的概念：___________________；负数的概念：_______________________。
注意：0既不是正数也不是负数。
（三）尝试反馈，巩固练习1．所有的正数组成正数集合，所有负数组成负数集合，把下列各数中的正数和负数分别填在表示正数集合和负数集合的圈里“－11，4.8，＋7.3，0，－2.7，－1 6，16，712，－8.12，－342．自己任意写出6个正数与6个负数分别把它填在相应的大括号里。
正数集合（）负数集合（）3．（1）某地一月份某日的平均气温大约是零下3℃，可用_________数表示，记作__________。
（2）地图册上洲西部地中海旁有一个死海湖，图上标有－392，这表明死海湖面与海平面相比怎样？4．（1）一个月内，小明体重增加2kg，小华体重减少1kg，小强体重无变化，写出他们这个月的体重增长值；（2）2001年下列国家的商品进出口总额比上年的变化情况是：美国减少6.4%，德国增长1.3%，法国减少2.4%，英国减少3.5%，意大利增长0.2%，中国增长7.5%。
2013-2014华师版数学七年级上下全册讲义(精讲)
七年级上第二章 有理数1．用正负数表示相反意义的量 2．正数和负数像+21，+12，1.3，258等大于0的数（“+”通常不写）叫正数。
像-5，-2.8，-43等在正数前面加“—”（读负）的数叫负数。
【注】0既不是正数也不是负数。
+15表示加15分，那么扣20分表示 。
则向东行驶30m 记做 ，向西行驶20m 记做 ，原地不动记做 ，—5m 表示向 行驶5m ，+16m 表示向 行驶16m.。
1）收入—2000元，表示 。
（2）如果下降8米记为—8米，那么上升15米记为 。
3．有理数（1）整数：正整数、零和负整数统称为整数。
分数：正分数和负分数统称为分数。
有理数：整数和分数统称为有理数。
（2）有理数分类1）按有理数的定义分类 2）按正负分类正整数 正整数 整数 0 正有理数有理数 负整数 有理数 正分数 正分数 0 负整数分数 负有理数负分数 负分数把%10,43,031.0,210,7,542,1312,9.6,0,3.6,5,21-----+-填在相应的括号内。
正有理数集合：{}⋅⋅⋅ 整数集合： {}⋅⋅⋅ 非负数集合： {}⋅⋅⋅ 负分数集合：{}⋅⋅⋅19,94,172,89,01.0,43.7,234,444.2---76%,，负数有 个，正数有 个，整例2：下列说法正确的是 。
（1）一个数，如果不是正数，必定就是负数（2）正有理数是正整数和正分数的统称。
（3）一个有理数不是分数就是正数。
（4）整数不是奇数就是偶数。
（5）0是最小的有理数。
练习：下列说法正确的是：（ ）A 3.1415926 不是分数B 正整数和负整数统称为整数。
C 奇数是正数D 有理数包括整数和分数作业：下列说法错误的是( ) A —B 0不是正数也不是负数。
C 0是自然数，不是整数。
D 没有最小的有理数。
例3：找规律填空（1）3，—3，3，—3，3，—3， ， ，……（2）,71,51,31,1-- ， ， ，…… 第199个数是 。
七年级下数学讲义六
第六次课 一次方程组【授课范围】7.3三元一次方程组及其解法；7.4实践与探索知识点一：三元一次方程组的概念✧ 由三个一次方程组成的含有三个未知数的方程组，叫做三元一次方程组。
✧ 满足条件①一共有三个未知数②含未知数项的次数是1③方程中共有3个整式方程知识点二：三元一次方程组的解法✧ 基本思想：消元✧ 方法：⎩⎨⎧加减消元法代入消元法✧ 目的：三元一次方程组−−→−消元二元一次方程组−−→−消元一元一次方程→求解 822=+-z y x ，①例如：解方程组 52-=-+z y x ，②44=++z y x 。
③解：由方程①，得822-+=z x y ④将④分别代入方程②和③得 ⎩⎨⎧=+-++-=--++482245)822(2z z x x z z x x 整理，得⎩⎨⎧=+=+12361135z x z x 解这个二元一次方程组，得⎩⎨⎧==21z x 代入④，得2-=y 所以原方程的解是⎪⎩⎪⎨⎧=-==221z y x例题一：解方程组⎪⎩⎪⎨⎧=++=++=++35515570101020351055z y x z y x z y x知识点五：三元一次方程组的实际应用例题三：某市举办足球联赛活动，这次足球联赛共赛11轮，胜一场记3分，平一场记1分，负一场记0分。
某校队所负场数是胜的场数的21，结果共得20分。
问：该校队胜、平、负各多少场？ 知识点六：灵活消元求三元一次方程组1、先消去系数最简单的未知数。
如解方程组⎪⎩⎪⎨⎧=++=-+=+-121132323z y x z y x z y x2、先消去某个方程中缺少的未知数。
如解方程组⎪⎩⎪⎨⎧=++=++=-232181531794z y x z y x z x这份讲义将记录你的自信、执着、智慧和收获。
3、先消去系数的绝对值相等（或成倍数关系）的未知数。
如解方程组⎪⎩⎪⎨⎧=+-=+-=++13765115239242z y x z y x z y x4、整体代入消元法。
2013年七年级(下)讲义
AB C OD EABC OD FE平行线与相交线1.余角定义：2.补角定义：3.对顶角定义：4.互余性质：5.互补性质：6.对顶角性质：7.平行线的三个判定：8.平行线的三个性质：9.一般地，平面上有n 个点（任意三个点不在一条直线上），最多可确定直线的条数是：)2)(1(21)1(4321≥-=-+++++n n n n 其中10.n 条直线两两相交，最多将平面分成)2(21)1(21143222++=++=+++++n n n n n例1 若βα∠∠与互为补角，γα∠∠与互为余角，且o 240=∠+∠γβ，求β∠的度数。
拓展变式练习11.一个角的余角与这个角补角之比为2:7，求这个角的度数。
2.如图，已知直线AB 、CD 相交于点O ，BOE DOE ∠=∠，o BOD AOD 60+∠=∠，求COE ∠的度数。
3.如图，已知直线AB 、CD 相交于点O ，CD OE ⊥，OF 平分BOD ∠，018=∠AOE ，求BOF ∠的度数。
ABCO DFEABCD12A BOMNABCDFE12A BC DF E1234.如图，已知直线AB 、CD 相交于点O ，OF OE ⊥，BOE BOF ∠=∠2，AOC AOE ∠=∠2. 求DOE ∠的度数。
例2已知BE 平分ABD ∠，DE 平分BDC ∠，并且21∠∠与互为余角，直线AB 与直线CD 平行吗？请说明理由。
拓展变式练习21.已知NOA BOA ∠=∠，A 、B 分别在OP 、OM 上，BAO BOA ∠=∠，那么AB ∥ON ，为什么？2.如图，21,,∠=∠⊥⊥AD CD AD AB ，请问：DF 与AE 平行吗？请说明理由。
3.如图，,80,1003,2100=∠=∠∠=∠B 请问：DC 与EF 平行吗？请说明理由。
ABCDEABCOD E ABCFDGE123ABC DPABC DE FG124.如图，0703040=∠︒=∠︒=∠BCD D B ，，，试说明AB ∥DE .例3如图，21∠=∠⊥⊥，，BC AD BC EF 。
七年级 数学下册讲义
七年级数学下册讲义姓名：正方体的11种展开图第五章相交线与平行线第一讲基本知识【知识点1】邻补角、对顶角的定义和性质1、两直线相交所成的个角中，有一条公共边，它们的另一边互为反向延长线，具有这种关系的两个角，互为_____________.如：2、如果两个角有______顶点，并且其中一个角的两边分别是另一个角两边的___________________，那么具有这种位置关系的两个角叫做对顶角．3、对顶角的重要性质是_________________．如：例1 如图，直线AB、CD相交于O点，∠AOE＝90°．(1)∠1和∠2叫做______角；∠1和∠4互为______角；∠2和∠3互为_______角；∠1和∠3互为______角；∠2和∠4互为______角．(2)若∠1＝20°，那么∠2＝______；∠3＝∠BOE－∠______＝______°－______°＝______°；∠4＝∠______－∠1＝______°－______°＝______°．练习1、判断正误1．如果两个角相等，那么这两个角是对顶角．( ) 2．如果两个角有公共顶点且没有公共边，那么这两个角是对顶角．( ) 3．有一条公共边的两个角是邻补角．( ) 4．如果两个角是邻补角，那么它们一定互为补角．( ) 5．对顶角的角平分线在同一直线上．( ) 6．有一条公共边和公共顶点，且互为补角的两个角是邻补角．( )2、如图，直线AB 与CD 相交于O 点，且∠COE ＝90°，则(1)与∠BOD 互补的角有________________________； (2)与∠BOD 互余的角有________________________； (3)与∠EOA 互余的角有________________________；(4)若∠BOD ＝42°17′，则∠AOD ＝__________；∠EOD ＝______；∠AOE ＝______． 3、如图，直线AB 与CD 相交于点O ，若AOD AOC ∠=∠31，则∠BOD 的度数为( )．(A)30° (B)45° (C)60° (D)135°4、已知：如图，直线AB ，CD 相交于点O ，OE 平分∠BOD ，OF 平分∠COB ，∠AOD ∶∠DOE ＝4∶1．求∠AOF 的度数．5、回答下列问题：(1)三条直线AB ，CD ，EF 两两相交，图形中共有几对对顶角(平角除外)?几对邻补角?(2)四条直线AB ，CD ，EF ，GH 两两相交，图形中共有几对对顶角(平角除外)?几对邻补角?(3)m条直线a1，a2，a3，…，a m－1，a m相交于点O，则图中一共有几对对顶角(平角除外)?几对邻补角?【知识点2】垂线1. 当两条直线相交所成的四个角中，有一个角是直角时，就说这两条直线______，其中一条直线叫做另一条直线的______线，它们的交点叫做______．2．垂线的性质性质1：平面内，过一点____________与已知直线垂直．性质2：连接直线外一点与直线上各点的_________中，_________最短．3．直线外一点到这条直线的__________________叫做点到直线的距离．4. 垂线的画法：在同一平面内，可用三角尺或量角器画，步骤：一落，二，三。
七年级数学讲义
一加一教育七年级数学寒假讲义第1课时单项式乘单项式预学目标1．通过课本P56“电视墙面积”的情境，初步感受单项式乘单项式的运算方法．2．观察课本P57例题，尝试完成课本P56“做一做”．3．通过解题，体会单项式的乘法法则，初步了解乘法交换律、乘法结合律、同底数幂的运算性质是进行单项式乘法的依据．知识梳理1．温故单项式是表示数与字母的______的代数式．例如：2a表示2×a；4mn表示4______m ______n；－12a2bc4表示＝______×______×______×______．2．单项式乘法的一般步骤及依据例如:－6a2b·(12abc3)．解：原式＝－6×12·a2·a·b·b·c3→乘法______律＝(－6×12)·(a2·a)·(b·b) ·c3→乘法______律＝－3a3b2c3→有理数______法则和______运算性质3．单项式乘法的运算法则根据上述解题步骤，我们发现：单项式与单项式相乘，把它们的______、______分别相________，对于只在一个单项式里含有的字母，则连同它的______作为积的一个______．说明：单项式乘法的运算法则适用于两个以上的单项式乘法运算．例题精讲例1 计算：(1)(－4xy2)·(－2x)；(2)25x2y2·516xyz；(3)(12x3y2)·(－14x2y3)2；(4)(2×103)×(3×106)．提示：本题中都是单项式的乘法运算，可根据法则进行运算．(1)运算时要注意符号；(2)注意第(2)小题中出现的字母z，仍要保留在积中；(3)要注意运算顺序；(4)用科学记数法表示两个数相乘，同样是把系数相乘，作为积的系数，再把10的指数相加．点评；在进行单项式的乘法运算中，要注意以下几点：一是运算顺序；二是运算符号；三是只在一个因式中出现的字母应保留在乘积的结果中．例2．计算：(1)(－0.25xy3)(－45xy) ·(0.5x2y3)；(2)(－2x2y)·(－12xy2)·(－x2y2 )xyz．提示：两个以上的单项式相乘，可以把单项式与单项式相乘的运算法则进行推广，即所有单项式中系数的乘积作为积的系数；相同字母相乘为同底数幂相乘，底数不变，指数相加；只在某一个因式中出现的字母则连同它的指数保留在乘积中．点评：系数相乘要注意符号；相同字母相乘底数不变，指数相加；几个单项式的乘积仍是一个单项式，它包含乘积中所有的字母．热身练习1．化简(－3x2)2x3的结果是( )A．－6x5B．－3x5C．2x5D．6x52．下列各题的计算中，正确的是( )A．(－7a)·(－5a)2＝35a3B．7a2·8a3＝15a5C．3x3·5x3＝15x9D．(－3x4)·(－4x3)＝12x73．计算(－23×103)2×(1.5×104)2的结果是( )A．－1.5×1011B．23×1010C．1014D．－10144．若等式－( )·(3a2b)＝12a5b2c成立，则括号内应填上( )A．4a3bc B．36a3bc C．－4a3bc D．－36a3bc5．(1) (ax2)(a2x)＝______；(－3x3y)·(－x4)．(－y3)＝______．(2)－6a2b·(12abc)2＝______；(－3a2b3)2·4(－a3b2)5＝______．(3) 15x n y·2x n－1·y n－1＝______；(1.2×103)×(2.5×1011)×(4×109)＝______．(4)(－2xy2)·(__________)＝8x3y2z；(_________)·(x2y)2＝－x5y3．6．计算：(1)4y·(－2xy3)；(2) (－4xy3)·(－2x)；(3)25x2y3·516xyz·(－2x2y)；(4)(12x3y2)·(－14x2y3)2；(5)8x n y n+1·32x2y；(6)3x2y·2xy－xy2·3xy．7．已知x＝4，y＝－18，求代数式17xy2·14(xy)2·14x5的值，第2课时单项式乘多项式预学目标1．观察课本P58图9－2中面积的两种计算方法，感受乘法分配律的应用．2．尝试完成课本P58“做一做”，体会将单项式乘多项式转化为单项式相乘的基本运算方法．3．观察课本P59例1，进一步感受乘法分配律和单项式乘法法则是进行单项式乘多项式运算的依据．知识梳理1．温故多项式是表示几个单项式______的代数式．例如：2a＋b表示2a与b的______；4mn－m2n表示______与______的和；－12abc3－13b2c表示______与______的和．注意：多项式中的每一项均包含前面的符号．2．单项式乘多项式的一般步骤及依据例如：6a2b．(－12abc3－13b2c)．3．单项式乘多项式的运算法则对照上述解题的步骤，我们发现：单项式与多项式相乘，用单项式乘____________，再把所得的积______．例题精讲例1 计算：(1)(－3xy)·(－12xy2＋xy－1)；(2) (0.125m2n－0.75mn2－58n3)·(－8mn2)；(3) 3xy2(5－13xy4)＋(－14xy3)2；(4)[23(a－b)2n－(a－b)1－2n]．[－12(b－a)3]．提示：第(1)题中的单项式为－3xy，多项式中含有三项：－12xy2 ,xy,－1，所以乘积的结果有三项；第(2)题中，将小数化为分数；第(3)题中，有乘方的先算乘方；第(4)题中，(b－a)3＝－(a－b)3．点评：(1)单项式分别与多项式中的每一项相乘时，要注意确定积的各项符号：同号相乘得正，异号相乘得负；(2)小数变分数，计算会更简单；(3)运算时要乘上多项式的每一项，不要漏乘，特别是常数项；(4)整式的运算顺序与有理数的运算顺序相同．例2 已知ab2＝－6，求－ab(a2b5－ab3－b)的值．提示：由ab2＝－6无法直接求出a、b的值，可以考虑整体利用已知条件，把结果化为含有ab2形式的式子．点评：结合单项式乘多项式的运算法则，逆用积的乘方的运算性质，将未知项转化为已知项．热身练习1．下列运算中，正确的是( )A．－2(a－b)＝－2a－b B．－2(a－b)＝－2a＋bC．－2(a－b)＝－2a－2b D．－2(a－b)＝－2a＋2b2．已知一个长方体的长、宽、高分别是3x－4、2x和x，则它的体积为( )A．12(3x－4)·2x＝3x3－4x3 B．12x·2x＝x2C．(3x－4)·2x·x＝6x3－8x2D．(3x－4)·2x＝6x2－8x3．填空：(1)－15x(3x2－4x＋5)＝____________．(2)(a－b)2[(a－b)2－4(a－b)＋3]＝______________．(3)若B是一个单项式，且B(－2x2y＋3xy2)＝6x3y2－9x2y3，则B为______．(4)当m＝______时，2m(3m－5)＋3m(1－2m)＝14．4．计算：(1)(－12xy)·(23x2y－32xy2＋65y)；(2)(a＋b2－c2)·(－2a2)；(3)(－2mn2)2－4mn3(mn＋1)；(4) 3a2(a3b2－2a)－4a(－a2b)2．5．先化简，再求值：(1)已知a＝2 011，求－3a2(a2－2a－3)＋3a(a3－2a2－3a)＋2 011的值．(2) x n(x n＋9x－12)－3(3x n＋1－4x n)，其中x＝－2，n＝3．6．当m、n为何值时，12x[x(x＋m)＋nx(x＋1)＋m]的展开式中，不含有x2和x3的项？7．已知x2＋x－1＝0，求x3＋2x2＋3的值．第3课时多项式乘多项式预学目标1．观察课本P61图9－4中面积的两种计算方法，感受乘法分配律的应用．2．尝试完成课本P61“做一做”，体会将多项式乘多项式转化为单项式乘多项式的基本运算方法．3．观察课本P62例题，进一步体会乘法分配律和单项式乘法法则是进行多项式乘多项式运算的依据．知识梳理1．多项式乘多项式的一般步骤及依据例如：()2323211623a b a c abc b c⎛⎫-∙+⎪⎝⎭2．多项式乘多项式的运算法则对照上述解题的步骤，我们发现：多项式与多项式相乘，先用一个多项式的______乘另一个多项式的______，再把所得的积相______．例题精讲例1 计算：(1)(x＋2y)(5a＋3b)；(2)(2x－3)(x＋4)；(3)(x＋y)(x2－xy＋y2)；(4) (2a3＋3a＋1)(3a3－2a－1).提示：可先把前面的因式看成一个整体，转化为单项式与多项式相乘，再展开，也可以直接按法则运算．点评：把多项式乘多项式转化为单项式乘多项式或按运算法则展开后，有同类项的合并同类项，最后应按某一字母的降幂顺序排列．例2如图，大正方形的边长为a＋b，小正方形的边长为a－b，求阴影部分的面积．提示：阴影部分的面积为：大正方形的面积一空白长方形的面积－小正方形的面积．解答：阴影部分的面积为：点评：求阴影部分的面积，一般有两种方法：一是直接求法，二是间接求法，本题中所用的方法是间接求法，即阴影部分(不规则图形)的面积等于已知几个规则图形的面积之和．热身练习1．下列各式中，运算结果错误的是()A．(x＋2)(x－3)＝x2－x－6 B．(x－4)(x＋4)＝x2－16C．(2x＋3)(2x－6)＝2x2－3x－18 D．(2x－1)(2x＋2)＝4x2＋2x－22．下列各式中，运算结果为x2－5x－6的是( )A．(x－2)(x－3) B．(x－1)(x＋6) C．(x－6)(x＋1) D．(x＋2)(x＋3)3．设多项式A是一个三项式，B是一个五项式，则A×B的结果中，多项式的项数一定( ) A．多于8项B．不多于8项C．多于15项D．不多于15项4．(1)(x－2)(x＋1)＝______；(2)(x－2y)(x＋2y)＝______；(3) (x－2)(x＋3)＝______；(4)(x－2y) (2x＋y)＝______；(5)(－1－2p)(1－2p)＝______；(6)(－3x－2)2＝______．5．计算(1＋x)(2x2＋ax＋1)的结果中x2项的系数为－2，则a的值为______．6．若(x＋m)(x＋2)＝x2－6x＋n，则m＝______，n＝______．7．若(x2＋nx＋3)(x2－3x＋m)的展开式中不含x2和x3项，则(－m)n＝______．8．已知a＋b＝32，ab＝1，则化简(a－2)(b－2)的结果是______．9．我们已经知道，完全平方式可以用平面几何图形的面积来表示．实际上，还有一些代数恒等式也可以用这种形式表示．例如：(2a＋b)(a＋b)＝2a2＋3ab＋b2，就可以用图①或图②等图形的面积表示．(1)请写出图③所表示的代数恒等式：(2)试画出一个几何图形，使它的面积能表示为(a＋b) (a＋3b) ＝a2＋4ab＋3b2．(3)请仿照上面的方法另写一个含有a、b的代数恒等式，并画出与之对应的几何图形．第4课时乘法公式(1)预学目标1．观察课本P64图9－5中面积的两种表示方法，直观感受完全平方公式的几何意义．2．尝试根据多项式乘多项式的运算法则了解完全平方公式的推导过程．3．通过课本P65例2，初步了解完全平方公式在多项式乘法中的应用条件及方法．知识梳理1．完全平方公式的几何意义从整体考虑：图形是边长为______的______形，它的面积可以表示为____________．从局部考虑：图形是由一个边长为______的______形，一个边长为______的______形以及两个长______、宽______的______形组成．它的面积可以表示为____．综上所述，可以发现：______＝________________________．2．完全平方公式的代数意义(1)根据幂的意义：(a＋b)2＝______·______．根据多项式乘法的运算法则：(a＋b)·(a＋b)＝________________．由上述可得：(a＋b)2＝___________，即两数和的平方等于__________________．(2)根据幂的意义：(a－b)2＝______·______．根据多项式乘法的运算法则：(a－b)·(a－b)＝__________．由上述可得：(a－b)2＝____________，即两数差的平方等于____________．综上所述，我们把____________或____________称为____________公式．注意：公式中的a、b既可以代表单项式，又可以代表多项式．例题精讲例1利用完全平方公式计算：(1)(3a＋b)2；(2)(－x＋3y)2；(3)(－m－n)2；(4)(b＋c)(－b－c).提示：第(1)题可直接套用两数和的完全平方公式；第(2)题中，(－x＋3y)2＝(3y－x)2，选用两数差的完全平方公式；第(3)题中，(－m－n)2＝[－(m＋n)]2＝(m＋n)2，选用两数和的完全平方公式；第(4)题中，(－b－c)＝－(b＋c)，原式可变形为－(b＋c)2，选用两数和的完全平方公式．解答：点评：为了方便运用完全平方公式，有时需要对两项的符号进行适当地变换，然后选用两数和或差的完全平方公式进行计算，例2 计算：(1)99.82；(2)2012．提示：先变形，使之符合完全平方公式，解答：点评：利用完全平方公式计算一些数的平方时，关键是把已知的底数凑成两数和或两数差的形式，而且这两个数的平方要容易计算．热身练习1．下列运算中，正确的是( )A．(m－n)2＝m2－n2B．(－3p＋q)2＝3p2－6pq＋q2C．222112x xx x⎛⎫-=+-⎪⎝⎭D．(a＋2b)2＝a2＋2ab＋4b22．下列各式中，计算结果是2mn－m2－n2的是()A ．(m －n )2B ．－(m －n )2C ．－(m ＋n )2D ．(m ＋n )23．下列计算：①(2a －3b )2＝4a 2－9b 2；②(a ＋3b )2＝a 2＋3ab ＋9b 2；③2221124a b a ab b ⎛⎫+=++ ⎪⎝⎭；④222319311051002525a b a ab b ⎛⎫-=++ ⎪⎝⎭．其中，正确的有 ( ) A ．0个 B ．1个 C ．2个 D ．3个 4．运用公式计算：(1)(2a ＋b )2； (2)(a －26)2； (3)(2x ＋3y )2；(4)(2a 2－3b )2(5) 2211210a ⎛⎫- ⎪⎝⎭ (6)2142a ⎛⎫-- ⎪⎝⎭5．简便计算：(1) 9992； (2) 30.82．6．如图，一块直径为a ＋b 的圆形铁皮，从中间挖去两个直径分别为a 和b 的圆，求剩余铁皮的面积．第5课时 乘法公式(2)预学目标1．观察课本P66图9－6，思考“想一想”，直观感受平方差公式的几何意义． 2．尝试根据多项式乘多项式的运算法则了解平方差公式的推导过程．3．通过课本P66例题，初步了解平方差公式在多项式乘法中的应用条件及方法． 知识梳理1．平方差公式的几何意义从局部考虑：图形中的阴影部分可以看成两个底边长分别为______、 ______，高为______的______形，所以阴影面积用代数式可以表示为___ ________．从整体考虑：图形中阴影部分的面积可以看做两个边长分别为______ 和______的______形的面积之______，用代数式可以表示为____________． 综上所述，可以发现：____________＝__________________．2．平方差公式的代数意义根据多项式乘法的运算法则：(a ＋b )(a －b )＝______＋______＋______＋______．化简可得：(a ＋b )(a －b )＝______，即两数之和与这两数之差的积等于______．我们将这个等式称为______公式．注意：公式中的a 、b 既可以代表单项式，又可以代表多项式． 例题精讲例1 计算：(1)112244x y x y ⎛⎫⎛⎫---+ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭；(2)11112332a b b a ⎛⎫⎛⎫+- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭；(3)(－4a －1)(4a －1)．提示：第(1)题可直接应用平方差公式；第(2)、(3)题需调整项的位置，将相同的项放在前面，相反的项放在后面．点评：若公式中的a 、b 是一个单项式或多项式时，结果中应添加括号，若两个多项式中相同的项不都在前面，相反的项不都在后面，应先根据加法交换律调整位置，将相同的项放在前面，相反的项放在后面，再套用平方差公式，例2 用乘法公式计算：(1)9.9×10.1； (2) 19992－2000×1998． 提示：第(1)题可以写成(10－0.1)(10＋0.1)；第(2)题中，2000×1998＝(1999＋1)(1999－1)，再运用乘法公式计算．解答：点评：运用乘法公式计算，首先要把算式改写成乘法公式的形式．一般地，给出的算式是可以写成乘法公式所要求的形式的，利用乘法公式也确实能简化计算．热身练习1．下列多项式的乘法中，可以利用平方差公式计算的是 ( ) A ．(a －nb ) (nb －a ) B ．(－1－a )(a ＋1) C ．(－m ＋n )(－m －n ) D ．(ax ＋b )(a －bx ) 2．下列运算中，结果为m 2－36n 2的是 ( )A ．－(m ＋6n )(m －6n )B ．(m －6n )(m ＋6n )C ．(m ＋4n )(m －9n )D ．(m －6n ) (6n －m ) 3．计算(m 2－n 2)－(m －n )(m ＋n )的结果是 ( )A ．－2n 2B ．0C ．2m 2D ．2m 2－2n 2 4．若x 2－y 2＝6，x ＋y ＝－3，则x －y 的值为 ( )A ．－3B ．3C ．2D ．－25．计算：(1)(4a＋3)(4a－3)；(2)(－x＋1)(－x－1)；(3)(－2x－y)(2x－y)；(4) (a＋2b)(a－2b)－12b(a－8b)；(5)9.6×10.4．6．用公式计算：(1)22008200820092007-⨯(2)20103－2009×2010×2011.第6课时乘法公式(3)预学目标1．进一步熟悉完全平方公式、平方差公式，紧扣公式的特征，正确地选择公式进行运算．2．观察课本P67例5、例6，感受乘法公式的灵活运用．知识梳理1．整体思想的运用(1)三项式的平方例如：(a＋b＋c)2＝[(a＋b)＋c]2或(a＋b＋c)2＝[a＋(b＋c)]2，我们一般将括号内的任意两项看成一个整体，使之符合运用______公式的形式．试一试：(a＋b－c)2＝[(________)－c]2或[a＋(________)]2；(a－b＋c)2＝[(________)＋c]2或[a－(________)]2；(a－b－c)2＝[( ______)－c]2或[a－(________)]2．(2)三项式乘三项式例如：(a＋b＋c)·(a＋b－c)＝[(a＋b)＋c]．[(a＋b)－c]，我们一般将括号内的______的两项或______的两项看成一个整体，使之符合______公式的形式，试一试：(a＋b＋c)．(a－b－c)＝[______＋(______)]·[______－(______)]；(a－b＋c)·(a＋c＋c)＝[(______)－______]·[(______)＋______]；(a－b－c)·(a＋b－c)＝[(______)－______]·[(______)＋______]．2．乘法公式的变形(1)由(a＋b)2＝(a2＋b2)＋2ab，得a2＋b2＝____________，ab＝____________；(2)由(a－b)2＝(a2＋b2)－2ab，得a2＋b2＝____________，ab＝____________；(3)由(a＋b)2＝(a2＋b2)＋2ab，(a－b)2＝(a2＋b2)－2ab，得a2＋b2＝____________；(4))由(a＋b)2＝(a2＋b2)＋2ab，(a－b)2＝(a2＋b2)－2ab，得ab＝____________；(5))由(a＋b)2＝(a2＋b2)＋2ab，(a－b)2＝(a2＋b2)－2ab，得(a＋b)2＝___________；(6)由(a＋b)2＝(a2＋b2)＋2ab，(a－b)2＝(a2＋b2)－2ab，得(a－b)2＝____________．例题精讲例1用乘法公式计算：(a－b＋c)2．提示：本题中，底数不是两数差或和的形式，但可以把其中任意两项看成一个整体，然后运用两数和或差的完全平方公式进行计算．解答点评：乘法公式是具有共同特征的某一类运算的概括总结，因此具有代表性，公式中的字母不但可以表示具体的数，还可以表示单项式或多项式．本题中，可以把三个数中的任意两个看成一个整体．例2 计算：(1)(a－b＋c)(a＋b－c)；(2) (3a＋2b－4c) (3a＋2b＋4c) ．提示：两个小题中，两个多项式中三项的绝对值分别相等，但它们的符号有些相同，有些不同．这时，我们把符号相同的项看成第一个数，符号不同的数看成第二个数，运用乘法公式计算．第(1)题中，a的符号相同，看成第一个数，b与c的符号不同，把(b－c)看成第二个数；第(2)题中，3a与2b的符号相同，把(3a＋2b)看成第一个数，再把符号不同的4c看成第二个数．解答：．点评：在平方差公式中，“a”、“b”可以是单项式，也可以是多项式，在平方时，应给单项式和多项式加上括号，尤其是两个含三项并且这三项的绝对值分别相等的多项式相乘，要根据它们的符号用括号把它们分类为第一个数和第二个数．例3 计算：2222111224x x x⎛⎫⎛⎫⎛⎫-++⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭提示：显然不能直接运用完全平方公式展开，否则三项乘三项乘三项为27项，计算量大．可逆用积的乘方a n b n c n＝(abc)n，将12x⎛⎫-⎪⎝⎭、12x⎛⎫+⎪⎝⎭、214x⎛⎫+⎪⎝⎭连乘，再运用平方差公式求积的乘方．点评：灵活运用平方差公式可以使相关计算简便，计算过程中有时需要对所求的算式进行适当地变形．热身练习1．如果x2＋ax＋121可以写成两个数的和的平方，那么a的值为( )A．22 B．11 C．±22 D．±112．若(3x＋2y)2＝(3x－2y)2＋A，则代数式A为( )A．－12xy B．12xy C．24xy D．－24xy3．填空：(1)(13m－12)2＝19m2＋( )＋14；(2)(a＋b－c－d)(a－b－c＋d)＝[(______)＋(______)][(______)－(______)]．4．利用乘法公式计算：(1)(x＋1)(x－1)(x2＋1)(x4＋1)；(2)(x－2y－＋1)(x＋2y－1)；(3)(m－n－3) 2；(4)(2x＋3y) 2 (2x－3y)2；(5) (2x＋3) 2－2(2x＋3)(3x－2)＋(3x－2)2；(6) (16x4＋y4)(4x2＋y2)(2x－y)(2x＋y) ．5．已知a＋b＝1，ab＝－1，求：(1) 5a2＋5b2；(2) 3(a－b)2．6．已知x＋1x＝3，求：(1)x2＋21x；(2)(x－1x)2．7．试求(2＋1)(22＋1)(24＋1)…(232＋1)＋1的个位数字．第7课时单项式乘多项式法则的再认识——因式分解(一) 预学目标1．通过课本P70单项式乘多项式法则的逆向表示，初步了解公因式的概念．2．通过课本P70“议一议”，初步感受确定公因式的方法．3．体会因式分解与整式乘法的关系，了解因式分解的基本方法——提公因式法．知识梳理1．因式分解的意义归纳：把一个多项式化成____________形式，叫做把这个多项式__________．2．关于公因式(1)公因式的概念例如：多项式2x2－4xy中2x2可以表示为x·______，－4xy可以表示为－2y·______，于是我们称______是多项式2x 2－4xy的______．归纳：一个多项式中每一项都含有的因式，称为这个多项式各项的公因式．(2)确定公因式的方法①确定公因式中的系数——取各项系数的____________；例如：6a3b－9a2b2c＋3a2b中各项的系数分别为______、______、______，它们的最大公约数为______，故公因式的系数为______．②确定公因式中的字母——取各项的______；例如：6a3b－9a2b2c＋3a2b中各项的字母分别为______、______、______，它们的相同字母为______，故公因式的字母为______．③确定公因式中字母的指数——取相同字母的______；例如：6a3b－9a2b2c＋3a2b中字母a的指数分别为______、______、______，最低次数为______；字母b的指数分别为______、______、______，最低次数为______，故公因式中字母a的指数为______，字母6的指数为______．综上所述，可知：6a3b－9a2b2c＋3a2b各项的公因式为___________．3．提公因式法通过提取______，把多项式化成______与另一个多项式的______的形式，这种分解因式的方法叫____________．例题精讲例1 判断下列各式的变形是不是多项式的因式分解，并说明理由．(1) 12a2b＝3A·4ab；(2) a2－4＋3a＝(a－2)(a＋2)＋3a；(3) 3x2－2xy＋x＝x(3x－2y)；(4) (a＋2)(a－5)＝a2－3a－10；(5) x2－6x＋9＝(x－3)2；(6)x2y＋x＝x2(y＋1x)．提示：本题主要考查对因式分解的意义的理解，主要注意三点：一是要化成积的形式；二是所得因式应为整式；三是变形的过程应是恒等变形．解答：点评：判断一个多项式的变形是否是因式分解，关键是看其是否满足：(1)左边是多项式，右边是整式的积的形式；(2)恒等变形．例2 把下列各式分解因式：(1)3a2－6a；(2) 6a2b3＋10ab2c－4ab3；(3)－4a3b2＋6a2b－2ab；(4) 4x(x－y)2－12(y－x)3．提示：当多项式的第一项是负数时，一般要提出“－”号，而括号内的第一项必须为正．在提“－”号时，多项式的各项都要变号．“1”作为系数时，通常省略不写，但单独成一项时，在因式分解时不能漏掉．解答：点评：提公因式法分解因式，最重要的是确定公因式，必须从各项系数、字母以及字母的指数三个方面考虑．热身练习1．下列各式：①15x2y＝3x·5xy；②(a＋b)(a－b)＝a2－b2；③a2－2a＋1＝(a－1)2；④x2＋3x＋4＝x(x＋3＋4x)；⑤x2－9＋x＝(x－3)(x＋3)＋x．其中，属于因式分解的有( )A．1个B．2个C．3个D．4个2．下列多项式中，没有公因式的是( )A．3x－4y B．3x＋4xy C．4x2－3xy D．4x2＋3x2y 3．多项式－5mx3＋25mx2－10mx的公因式是( )A．5mx2B．－5mx3C．mx D．－5mx 4．填空：(1)分解因式：x2＋3x＝__________；ax－ay＝__________．(2)对6m2(x－y)2－3m(x－y)3因式分解时，应提取的公因式是__________．(3)若a＋b＝6，ab＝7，则a2b＋ab2的值为__________．(4)若多项式4x3y－m可以分解为4xy(x2－y2＋ab)，则m为__________．5．把下列各式分解因式：(1)18a3bc－45a2b2c2；(2)－20a－15ab；(3)18x n＋1－24x n；(4)(m＋n)(x－y)－(m＋n)(x＋y)(5)15(a－b)2－3y(b－a)；(6)－ab(a－6)2＋a(b－a)2－ac(a－b)2．6．计算：(1) 39×37－13×81；(2) 29×20.1＋72×20.1＋13×20.1－20.1×14.7．已知2x－y＝13，xy＝2，求2x4y3－x3y4的值．第8课时乘法公式的再认识——因式分解(二)(1)预学目标1．通过课本P72“议一议”，初步了解逆运用平方差公式的意义．2．尝试课本P72“做一做”，初步感受符合运用平方差公式分解因式的主要特征．3．观察课本中的例题，尝试归纳运用平方差公式分解因式的一般步骤．知识梳理1．平方差公式与因式分解对比上述内容，我们发现：逆运用平方差公式可以把一些具有平方差特征的多项式进行因式分解．2．逆运用平方差公式分解因式(1)应用公式的特征根据a2－b2＝(a＋b)·(a－b)，发现，左边是两项的______的形式．(2)应用公式的步骤①分析题目是否具备a2－b2的形式要求，确定a和b．说明：转化过程中体现了______性质的逆运用．②套用a 2－b 2＝(a ＋b ) ·(a －b )，正确表达(a ＋b )·(a －b ).例如：4x 2－y 2＝(2x )2－y 2＝(______＋______)·(______－______)；9x 2－25y 2＝(3x )2－(5y )2＝(______＋______)·(______－______)； 例题精讲例1 分解因式：(1)1－25b 2； (2)49m 2－0.01n 2； (3) 25(a ＋b )2－9(a －b )2．点评：(1)套用平方差公式分解因式，二次项必须先写成a 2－b 2的形式，这样便于确定公式中的a 、b 分别代表哪一个式子，然后进行因式分解；(2)因式分解后各因式必须化简，如第(3)题中，首先运用平方差公式分解得到[5(a ＋b )＋3(a －b )][5(a ＋b )－3(a －b )]，还应继续化简、合并，直到各因式都不能再分解为止．例2 利用因式分解计算：(1)22221111*********⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫---- ⎪⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭(2)1.222×9－1.332×4．提示：(1)可以先利用平方差公式逐个因式分解，再进行计算；(2)利用积的乘方的逆运算将原式变形为可以运用平方差公式的形式．点评：本题中的两个小题若直接计算，计算量太大，故考虑利用因式分解的方法进行变形． 热身练习1．下列各式中，可以运用平方差公式因式分解的是 ( )A ．x 2＋y 2B ．－x 2＋(－y )2C ．－x 2－y 2D ．x 3－y 22．下列多项式中，不能用平方差公式因式分解的是 ( )A ．14a 2b 2－1 B ．4－0.25m 2 C ．1＋a 2 D ．－a 4＋1 3．下列各式中，可以分解为－(2x ＋y )(2x －y )的是 ( )A ．4x 2－y 2B ．4x 2＋y 2C ．－4x 2＋y 2D ．－4x 2－y 24．若分解因式14a 2－9(b －c )2所得的一个因式是12a －3b ＋3c ，则另一个因式是 ( )A ．12a －3b －3cB ．12a ＋3b ＋3cC ．12a ＋3b －3cD ．12a －3b ＋3c ．5．把下列各式分解因式：(1) 36－x 2＝__________； (2) a 2－19b 2＝__________；(3)x 2－16y 2＝__________； (4) 4x 2－9y 2＝__________； (5)x 2y 2－9＝__________ ； (6)x 2y 2－z 2＝__________；(7) 14-x 4＋9y 2＝__________；(8) 0.25(x ＋y )2－0.81(x －y )2＝__________． 6．利用因式分解计算：(1)22100120032001- ；(2)已知4m ＋n ＝90，2m －3n ＝10，求(m ＋2n )2－(3m －n )2的值．第9课时 乘法公式的再认识——因式分解(二)(2)预学目标1．通过课本P73“议一议”，初步了解逆运用完全平方公式的意义．2．尝试课本P74“做一做”，初步感受符合运用完全平方公式分解因式的主要特征． 3．观察课本中的例题，尝试归纳运用完全平方公式分解因式的一般步骤． 知识梳理1．完全平方公式与因式分解对比上述内容，我们发现：逆运用完全平方公式可以对一些多项式进行因式分解．2．逆运用完全平方公式分解因式(1)应用公式的特征根据：a2＋2ab＋b2＝(a＋b)2或a2－2ab＋b2＝(a－b)2；发现：左边是______项式，可记作“首尾同号算平方，积的两倍摆中央”．(2)应用公式的步骤①分析题目是否具备a2＋2ab＋b2或a2－2ab＋b2的形式，确定a和b．说明：转化的过程中体现了____________性质的逆运用．②套用a2＋2ab＋b2＝(a＋b)2或a2－2ab＋b2＝(a－b)2，正确表达(a＋b)2或(a－b)2．例如：4x2＋4xy＋y2＝(______)2＋2·______·______＋(______)2＝( )2；9x2－30xy＋25y2＝(______)2－2·______·______＋(______)2＝( )2；例题精讲例1把下列多项式分解因式：(1) x2＋6x＋9；(2) 4x2－20x＋25；(3) 4(m＋n)2－12(m－n)＋9；(4) 16(a＋b)2＋40(a＋b)(a－6)＋25(a－b)2．提示：运用完全平方公式分解因式，一定要认准公式的特征，有时需要对多项式进行变形后方可运用完全平方公式分解，其中，先提取公因式是常见的变形方式．解答：点评：把多项式化成完全平方式，直接运用公式分解因式．当第二项是“＋”号时，运用和的完全平方式；当第二项是“－”号时，运用差的完全平方式；当平方项有“－”号时，先把“－”号提到括号外面．例2 给多项式4x2＋1加上一个单项式后，使它能化成一个整式的完全平方的形式，则加上的单项式可以是______ (填上一个你认为正确的答案即可，不必考虑所有的可能情况)．提示：要求最后的结果可以化成一个整式的完全平方的形式，整式可以是单项式，也可以是多项式，若是单项式，易得结果；若要成为多项式的完全平方，则需要配“首项”或“首项与尾项之积的2倍”或“尾项”．若结果是一个单项式的完全平方，加上－4x2或－1均可；若结果是一个多项式的完全平方，则有4x2＋4x＋1＝(2x＋1)2，4x2－4x＋1＝(2x－1)2，4x4＋4x2＋1＝(2x2＋1)2．解答：在－1、4x、－4x、－4x2、4x4中任意选择一个．点评：在配方时，我们容易想到两数和的平方和两数差的平方是完全平方，另外，配方一定要按某一个字母排列后，再根据题意确定配哪一项．热身练习1．下列多项式：①x2－4＋4；②6x2＋3x＋1；③4x2－4x＋1；④x2＋4xy＋2y2；⑤9x2＋16y2－20xy，其中，可以直接用完全平方公式分解因式的是( )A．①③B．②④C．③④D．①⑤2．若x2＋2(m－3)x＋16可以用完全平方公式分解因式，则m的值为( )A．－5 B．3 C．7 D．7或－13．(1)若l00x2＋k xy＋49y2可以分解成(10x－7y)2，则k的值为______．(2)如果a2－8ab＋16b2＝0，且b＝2.5，那么a的值为______．(3)当x＝56，y＝44时，则代数式12x2＋xy＋12y2的值为______．(4)已知a＝2275，b＝2544，则代数式(a＋b)2－(a－b)2的值为______．4．把下列各式分解因式：(1)22193nn-+；(2)22251610a b ab+-；(3) a4b4＋4a2b2c＋4c2；(4)x2＋14－x；(5)－a2－9b2＋6ab；(6) 16m2n－64m4－n2(7) a2－6a(b－c)＋9(b－c)2；(8) 4(x＋y)2＋25－20(x＋y)．5．利用因式分解计算：(1) 342＋34×32＋162；(2) 38.92－2×38.9×48.9＋48.92；(3) 54.52－30×16.35＋4.52．6．已知x、y为任意有理数，M＝x2＋y2，N＝2xy，你能确定M.N的大小关系吗？为什么？第10课时乘法公式的再认识——因式分解(二)(3)预学目标1．复习因式分解的常用方法，即提公因式法、公式法．2．观察课本P75例5，感受因式分解应先考虑提公因式法的必要性．2．观察课本P75例6，感受因式分解中公式法应用的彻底性．3．尝试归纳因式分解的一般步骤及注意点．知识梳理因式分解的一般步骤及注意点第一步：提公因式(做一般因式分解的题目时首先考虑提公因式)．(1)提出各项系数的__________．(2)提出各项的______字母(或代数式)，取______的指数．(3)如果某一项整体是公因式被提出，那么此项在括号内为1，而不是0．(4)避免首项为负，可以提出“一”号，则括号内各项必须______．第二步：提出公因式后，观察括号内有几项．(1)若括号内为两项，看能否化为a2－b2．①不能，则此括号内因式分解结束．②能，则用公式__________________________分解．(2)若括号内为三项，看能否化为a2±2ab＋b2．①不能，则此括号内因式分解结束，②能，则用公式_____________分解，注意有些题目需要交换位置，甚至提取“一”号．第三步：观察分解的结果(尤其是括号内)，注意以下几点：(1)括号内是否可以继续运用公式法分解(具体方法参照第二步)，注意先完全平方再平方差分解时，结果必然要进行积的乘方运算．例如：a4－2a2b2＋b4＝(a2－b2)2＝[(a＋b)(a－b)]2＝(a＋b)2(a－b)2．(2)括号内首项是否为负，为避免首项为负，可提出“－”号，括号内各项必须变号．(3)括号内是否需要合并同类项，合并后是否又产生了新的公因式，注意提公因式时是否需要运算．例如：①(7x＋5y)2－(3x－y)2＝[(______)＋(______)][(______)－(______)]＝(10x＋4y) (4x－6y)＝______ (5x＋2y) ·______ (2x＋3y)＝4(5x＋2y) (2x＋3y)；②(4x＋3y)2－2(4x＋3y)(x－3y)＋(x－3y)2＝[(______)－(______)]2＝(3x＋6y)2＝[(______) (x＋2y)]2＝______ (x＋2y)2．(4)结果中相同的因式必须写成______的形式．在因式分解的题目中经常会含有括号，一般情况下分以下几种处理方法．(1)若题目中各项括号内是相同或相反的代数式，一般情况下不展开，看成整体处理，可以作为公因式提出，例如：①3a(x－5y)2－2b(x－5y) ②3a(x－5y)－2b(5y－x)＝(x－5y)[3a(x－5y)－2b] ＝3a(x－5y)－2b[－(x－5y)]＝(x－5y)(3ax－15ay－2b)；＝(3a＋2b)(x－5y).(2)若题目中括号内的代数式既不相同也不相反，但可以作为公式法分解因式的一部分，一般情况下不展开，看成整体处理．(3)若题目中的括号影响到解题(既不能作为公因式，又不能参与公式法分解)，此种情况下，观察括号后合理展开，重新整理成熟悉的形式，以便进一步分解．例如：x(x＋2)＋1＝x2＋2x＋1＝(x＋1)2．例题精讲例1将下面各式因式分解：(1)m4－2m2n2＋n4；(2)(x＋y)2＋4(x－y)2－4(x2－y2) ．提示：第(1)题先运用完全平方公式，再运用平方差公式；第(2)题中，先对－4(x2－y2)运用平方差公式分解因式，再与其他两项整体考虑，其得出的结果恰好是完全平方公式的结构．解答：点评：分解因式后要使结果中的每个因式不能再分解．例2把下列多项式因式分解：(1)－12a2＋2b2；(2)(a－l)＋b2(1－a)；(3)－3ax2＋－6axy－3ay2；(4)64m2n2－(m2＋16n2)2．提示：对不能直接运用公式分解的多项式可以先提取公因式，再运用平方差公式或完全平方公式进行分解．解答：点评：如果多项式的各项中含有公因式，那么先提取公因式，再运用平方差公式，注意分解因式必须进行到每一个多项式的因式都不能再分解为止．热身练习1．把多项式2x2－8x＋8分解因式，结果正确的是( )A．(2x－4)2B．2(x－4)2C．2(x－2)2 D．2(x＋2)22．下列代数式：①10am－15a；②4xm2－9x；③4am2－12am＋9a；④－4m2－9．其中，含有因式2m－3的有( )A．1个B．2个C．3个D．4个3．(1)(2010．江西)因式分解：2a2－8＝______．(2)(2010．东阳)因式分解：x3－x＝______．(3)(2010．嘉兴)因式分解：2mx2－4mx＋2m＝______．(4)(2010．崇文)因式分解：a3b－2a2b2＋ab3＝______．4．把下列各式因式分解：(1) a3－a2＋14a；(2) (x2＋y2)2－4x2y2；(3) 8x2y2－x4－16y4；(4) (x＋y＋z)2－(x－y－z)2；(5)(c2－c)2＋12(c2－c)＋116；(6) (3a2＋2a－8)2－(a2－2a－8)2．5．已知a、b、c是△ABC中三条边的长，试利用因式分解说明：当b2＋2ab＝c2＋2ac时，△ABC是等腰三角形．第11课时小结与思考(教材P78)预学目标1．梳理知识结构，掌握相关的运算法则，并会应用运算法则进行计算．2．进一步感受从图形面积的计算得出整式乘法法则、整式乘法公式的过程，并会理解计算的算理，发展符号感，发展有条理的思考和表达能力．知识梳理例题精讲例1 计算：2481511111111122222⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++++⎪⎪⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭．提示：通过恒等变形构造因式(1－12)，运用平方差公式就能迎刃而解．点评：巧用乘法公式可以简化一些复杂的运算．例2 (1)已知x＋y＝10，xy＝24，求x2＋y2的值．(2)已知x＋1x＝2，求x2＋21x的值．提示：运用完全平方公式的变形来求解．点评：完全平方公式的变形主要揭示了a＋b、ab和a2＋b2之间的关系，在以后的学习中经常用到．例3 试说明817－279－913能被45整除．提示：要说明817－279－913能被45整除，只要说明817－279－913能分解出45这个因式即可．点评：解决这类题的关键是先将式子因式分解，然后将结果写成含除数的乘积形式．热身练习1．下列各式中，计算正确的是( )A．(－3a2b)(－2ab2)＝6a3b2B．(－2×102)×(6×103)＝－1.2×105C．－2a2(12ab－b2)＝－a3b－2a2b2 D．(－ab2)3＝－a3b62．已知mx4·(4x k)＝－12x12，则m、k的值分别为( )A．3、8 B．－3、8C．8、3 D．－3、－33．化简(3x－2)(x－3)－3(x2＋2)的结果是( )A．11x B．－11x C．6x2－8x＋12 D．x2－1 4．已知A＝(x－3)(x－7)，B＝(x－2)(x－8)，则A、B的大小关系为( ) A．A>B B．A<B C．A＝B D．无法确定5．若(x＋3)(x＋m)＝x2－k x－15，则m＋k的值为( )A．－3 B．5 C．－2 D．26．如果a－b＝3，a－c＝1，那么(a－b)2＋(b－c)2＋(c－a)2的值为( ) A．14 B．13 C．12 D．117．已知a2＋a－3＝0，那么a2(a＋4)的值是( )A．9 B．－12 C．－18 D．－15 8．若单项式－6x2y m与13x n－1y3是同类项，则这两个单项式的积是______．9．已知ab2＝－3，则－ab(a2b5－ab3－b)＝____．10．若a2＋a＝1，则(5－a)(6＋a)＝______．11．观察下列等式：1×(1＋2)＝12＋2×1，2×(2＋2)＝22＋2×2，3×(3＋2)＝32＋2×3，…，则第n个等式可以表示为______．12．用一张包装纸包一本长、宽、厚如图所示的书(单位：cm)，若将封面和封底每一边都包进去3 cm，则需长方形的包装纸______cm2．13．计算：(1)5ab3·(－34a3b2)．(－23ab4c)3；(2)x(x－1)(x＋3)－x2(x＋1)＋3x－1．14．分解因式：(1) 2a(x2＋1)2－8ax2；(2)(a－b)(3a＋b)2＋(a＋3b)2(b－a) ．15．观察下列等式：(x－1)(x＋1)＝x2－1；(x－1)(x2＋x＋1)＝x3－1；(x－1)(x3＋x2＋x＋)＝x4－1……(1)请你猜想一般规律：(x－1)(x n＋x n－1＋x n－2＋…＋x2＋x＋1)＝______．(2)已知x3＋x2＋x＋1＝0，求x2008的值．。
初一数学讲义(学生新版整理)
第一讲 和绝对值有关的问题一、 知识结构框图： 二、 绝对值的意义：(1)几何意义：一般地，数轴上表示数a 的点到原点的距离叫做数a 的绝对值，记作|a|。
(2)代数意义：①正数的绝对值是它的本身；②负数的绝对值是它的相反数；③零的绝对值是零。
也可以写成： ()()()||0a a a a a a ⎧⎪⎪=⎨⎪-⎪⎩当为正数当为0当为负数三、 典型例题例1．（数形结合思想）已知a 、b 、c 在数轴上位置如图：则代数式 | a | + | a+b | + | c-a | - | b-c | 的值等于（ ） A ．-3a B ． 2c －a C ．2a －2b D ． b例2．已知：z x <<0，0>xy ，且x z y >>， 那么y x z y z x --+++的值（ ）A ．是正数B ．是负数C ．是零D ．不能确定符号 例3．（分类讨论思想）已知甲数的绝对值是乙数绝对值的3倍，且在数轴上表示这两数的点位于原点的两侧，两点之间的距离为8，求这两个数；若数轴上表示这两数的点位于原点同侧呢？ 例4．（整体思想）方程x x -=-20082008 的解的个数是（ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．无穷多个 例5．（非负性）已知|a b －2|与|a －1|互为相互数，试求下式的值．()()()()()()1111112220072007ab a b a b a b ++++++++++ 例6．（距离问题）观察下列每对数在数轴上的对应点间的距离 4与2-，3与5，2-与6-，4-与3. 并回答下列各题：（1）你能发现所得距离与这两个数的差的绝对值有什么关系吗？答：___ . （2）若数轴上的点A 表示的数为x ，点B 表示的数为―1，则A 与B 两点间的距离可以表示为 ________________.（3）结合数轴求得23x x -++的最小值为 ，取得最小值时x 的取值范围为 ___. （4）满足341>+++x x 的x 的取值范围为 ______ .第二讲：代数式的化简求值问题一、知识链接1．“代数式”是用运算符号把数字或表示数字的字母连结而成的式子。
5[1].3.2命题、定理、证明(2013新版人教版)课件(七年级)55555555
![5[1].3.2命题、定理、证明(2013新版人教版)课件(七年级)55555555](https://img.taocdn.com/s3/m/aefc14f29f3143323968011ca300a6c30c22f1c0.png)
如：相等的角是对顶角。
2、如果一个句子没有对某一件事情作出任何判断，那么它就不是命
题。 如：画线段AB=CD。
第4页，共24页。
问题2 判断下列语句是不是命题？
√ （1）两点之间，线段最短；（ ）
（2）请画出两条互相平行的直线； （ ） （3）过直线外一点作已知直线的垂线； （ ）
第8页，共24页。
命题的结构
在数学中，许多命题是由题设（或已知条件）、结论两部分 组成的．题设是已知事项；结论是由已知事项推出的事 项．这样的命题常可写成“如果……，那么……”的形式．用
“如果”开始的部分就是题设，而用“那么”开始的部分就是结 论．
（1）如果两个角是对顶角，那么这两个角相等；
题设
结论
的，这样得到的真命题叫做定理． 定理也可以作为继续推理的依据．
问题2 你能写出几个学过的定理吗？
第14页，共24页。
命题1 在同一平面内，如果一条直线垂直于两条平行 线中的一条，那么它也垂直于另一条． （3）这个命题的题设和结论分别是什么呢？ 题设：在同一平面内，一条直线垂直于两条平行线中的一 条；
如果两个数互为相反数，那么这两个数相加得0； （4）同旁内角互补；
如果两个角是同旁内角，那么这两个角互补； （5）对顶角相等．
如果两个角互为对顶角，那么这两个角相等．
第10页，共24页。
问题7 问题5中哪些命题是正确的，哪些命题是错误 的？
（1）两条直线被第三条直线所截，同旁内角互补；
√ （2）等式两边都加同一个数，结果仍是等式； √ （3）互为相反数的两个数相加得0；
√ （4）如果两个角的和是90º，那么这两个角互余．（ ）
北师大版初一数学上册教案全册(2013新版)
1.1 生活中的立体图形（一）教学目标1、知识：认识简单的空间几何棱柱、圆柱、圆锥、球等，掌握其中的相同之处和不同之处2、能力：通过比较，学会观察物体间的特征，体会几何体间的联系和区别，并能根据几何体的特征，对其进行简单分类。
3、情感：有意识地引导学生积极参与到数学活动过程中，培养与他人合作交流的能力。
教学重点：认识一些基本的几何体，并能描述这些几何体的特征教学难点：描述几何体的特征，对几何体进行分类。
教学过程：一、设疑自探1．创设情景，导入新课在小学的时候学习了那些平面图形和几何图形，在生活你还见到那些几何体？2．学生设疑让学生自己先思考再提问3．教师整理并出示自探题目①生活常见的几何体有那些？②这些几何体有什么特征③圆柱体与棱柱体有什么的相同之处和不同之处④圆柱体与圆锥体有什么的相同之处和不同之处⑤棱柱的分类⑥几何体的分类4.学生自探（并有简明的自学方法指导）举例说说生活中的物体那些类似圆柱、圆锥、正方体、长方体、棱柱、球体？说说它们的区别二．解疑合探1．针对圆柱、圆锥、正方体、长方体、棱柱、球体特征的认识不彻底进行再探2、对这些类似圆柱、圆锥、正方体、长方体、棱柱、球体的分类2．活动原则：学困生回答，中等生补充、优等生评价，教师引领点拨提升总结。
三．质疑再探：说说你还有什么疑惑或问题（由学生或老师来解答所提出的问题）四．运用拓展：1．引导学生自编习题。
请结合本节所学的知识举例说明生活简单基本的几何体，并说说其特征2．教师出示运用拓展题。
（要根据教材内容尽可能要试题类型全面且有代表性）3．课堂小结4．作业布置五、教后反思1.1 生活中的立体图形（二）教学目标1、知识：认识点、线、面的运动后会产生什么的几何体2、能力：通过点、线、面的运动的认识几何体的产生什么3、情感：有意识地引导学生积极参与到数学活动过程中，培养与他人合作交流的能力。
教学重点：几何体是什么运动形成的教学难点：对“面动成体”的理解教学过程：一、设疑自探1．创设情景，导入新课我们上节课认识了生活中的基本几何体，它们是由什么形成的呢？2．学生设疑点动会生成什么几何体？线动会生成什么几何体？面动会生成什么几何体？3．教师整理并出示自探题目教师根据学生的設疑情况梳理、归纳、细化得出自探题目(自探要求)4.学生自探（讨论）二．解疑合探举例分析那些几何体由什么运动形成的？那些图形运动可以形成什么几何体？三．质疑再探：说说你还有什么疑惑或问题（由学生或老师来解答所提出的问题）四．运用拓展：1．引导学生自编习题。
新初一数学讲义4份
初一数学专用讲义2012年初一暑假班讲义第一讲数的概念【典型例题】[例1]计算解：中学求分式中的取值范围[例2] 小学解方程中学解方程：（1）（2）[例3] 小学：如图，求图中阴影部分的周长是多少？中学：已知，如图点C是AB的中点，CD∥BE，且CD=BE.求证：.[例4] 七年级三班学生参加义务劳动，原来每组8人，后来根据需要重新编组，每组14人，这样比原来减少3组.问这个班共有学生多少人？[例5]一个三位数三个数字之和是24，十位数字比百位数字少2，如果这个三位数减去两个数字都与百位数字相同的一个两位数所得的数也是三位数，而这三位数三个数字的顺序和原来三位数的数字的顺序恰好颠倒，求原来的三位数.[例6]现在儿子的年龄是8岁，父亲的年龄是儿子年龄的4倍，几年后父亲的年龄是儿子年龄的3倍.四、下面我们来学习一些初中数学的一些知识：1. 正数与负数：负数：0以外的数前面加上负号.正数：0以外的数与负数具有相反的意义.2. 有理数：正整数、0、负整数统称整数、正分数和负分数统称分数，整数和分数统称有理数.3. 数轴：通常用一条直线上的点表示数，这条直线叫做数轴.数轴必须满足3个条件：（1）在直线上任取一点表示数0，这个点叫做原点.（2）通常规定直线上从原点向右为正方向.（3）选取适当长度为单位长度.4. 相反数：只有符号不同的两个数叫做相反数5. 绝对值：数轴上表示的点与原点的距离叫做的绝对值，记作.一个正数的绝对值是它本身，一个负数的绝对值是它的相反数，0的绝对值是0.[例1] 用正负数表示下列各题中的数量：（1）如果零上5℃记作5℃，那么零下4℃记作 .（2）1000米表示向东走1000米，那么向西走2000米记作 .（3）球赛时，如果胜3局记作+3，那么－2表示 .（4）+2000米表示高出海平面2000米，低于海平面200米，表示为 . （5）2月份中的一天，大连市最低温度零下15℃，记作；同一天，海口市最高温度是零上15℃，记作 .（6）若万元表示亏损4万元，那么盈余5万元表示为 .[例2] 把下列各数分别填入相应的大括号内：+3，，，3.14，0，，95%，，+（1）整数集合{ ……}（2）分数集合{ ……}（3）正数集合{ ……}（4）负数集合{ ……}（5）自然数集合{ ……}（6）负分数集合{ ……}[例3] 为计算一小组12个同学数学考试成绩平均分，以85分为起点，85分以上记为正，85分以下的记为负，若12个同学的分数顺次记为：，，，，，，，，，，，，求这12个同学的数学平均分.[例4] 指出下列数轴上各点表示的数，并按从小到大的顺序用“”号连接起来.[例5] 数轴上有一个点A，它表示有理数3，现把A向右移动2个单位到B点，再由B点向左移动9个单位到达C点，则C点表示的有理数是多少？[例6] 与原点距离等于5的点有几个，表示的数是多少？[例7] 比较下列每对数的大小并说明理由.（1），（2）+5，0 （3） ,[例8] 如果∣a∣=4,那么a=_________,如果∣-a∣=4,那么a=________,若()2120,______,________.a b a b-++===则【模拟试题】一. 填空：1. 设收入为正，收入20元，记作，支出30元，记作 .2. 如果+15吨表示运进15吨，那么—10吨表示 .3. 某日的最高气温是2℃，最低气温是－8℃，该日的温差是 .4. 大于－4且小于2的整数是 .5. 一个数从数轴上表示－2的点开始，先向右移动3个单位长度，再向左移动5个单位长度，此时点所对应的数是 .6. 与原点的距离为7个单位长度的点有个，它们分别表示有理数.7. 在数轴上，原点和原点左边的点所表示的数统称为 .8. 用“”或“”填空.（1）143144（2）0.1 －100 （3）－1.2 0二. 选择：1. 下列说法中，① 0是自然数② 0是整数③ 0是正数④ 0是非负数，正确的个数为（）A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个2. 下列语句中，错误的是（）A. 正整数和负整数统称为整数B. 零既不是正数也不是负数C. 整数和分数统称为有理数D. 分数、小数都属于分数集合3. 在数轴上点A 表示数，点B 表示数，且，下面说法正确的是（ ）A. 点A 在点B 的右边B. 点A 在点B 的左边C. 点A 在原点右边，点B 在原点的左边D. 点A 和点B 都在原点的右边 4. 在数轴上－3与－6间的有理数有（ ）A. 2个B. 3个C. 4个D. 无数个5. 如图，根据有理数，，在数轴上的位置，下列关系正确的是（ ）A. B. C.D.6. 下列说法正确的是（ ） A. 数轴是一条直线B. 数轴上右边的数表示正数，左边的数表示负数C. 距离数轴越远的点，表示的数就越大D. 任何一个有理数，都可以用数轴上的点表示出来三. 解答题：1. 指出数轴上A 、B 、C 、D 、E 各点分别表示什么数？2. 画出数轴，在数轴上表示与3，114，－1，－2.5离原点距离相等的数，并用“”号连接起来. 第二讲：有理数加减法一、有理数加法法则：1. 同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加。
2013届中考数学复习讲义(06-11)
2013届中考数学复习讲义第6课时 分式八（下）第八章8.1～8.4编写：徐建华 施建军 班级＿＿＿＿＿＿姓名＿＿＿＿＿＿＿［课标要求］1、理解分式的意义，会求分式有意义、无意义以及分式的值为零的条件.2、熟练掌握分式的基本性质，会进行分式的约分，通分和加减乘除的四则运算．3、能解决一些与分式有关的数学问题，具有一定的分析问题、解决问题的能力 ［基础训练］1、下列式子是分式的是（ ）A 、2xB 、1+x xC 、y x +2D 、3x 2、化简11122-÷-x x 的结果是（ ） A 、12-x B 、122-x C 、12+x D 、()12+x3、要使分式x1有意义，x 的取值满足（ ） A 、x ＝0 B 、x ≠0 C 、x ＞0 D 、x ＜0 4、若分式12x x -+的值为0,则( ) A 、x ＝－2 B 、x ＝0 C 、x ＝1或x ＝－2 D 、x ＝15、若分式1||322--+x x x 的值为零，则x 的值为（ ）A 、x ＝－3B 、x ＝3C 、x ＝－3或x ＝1D 、x ＝3或x ＝－1 6、已知两个分式：A ＝442-x ，B ＝x x -++2121，其中x≠±2，则A 与B 的关系是（ ）A 、相等B 、互为倒数C 、互为相反数D 、A 大于B7、当99a =时，分式211a a --的值是．8、已知13x x +=，则代数式221x x+的值为_________． ［要点梳理］1、分式的定义：一般地，如果A 、B 表示两个整式，并且B 中含有＿＿＿＿＿，那么代数式B A 叫做分式；分式B A 有意义的条件为＿＿＿＿，分式BA无意义的条件为＿＿＿，分式BA＝0的条件为＿＿＿＿＿＿＿； 2、最简分式：＿＿＿＿＿_________________________________＿＿＿＿＿＿＿； 3、分式的约分：把分式的分子和分母中的＿＿＿＿＿＿＿约去；4、分式的通分：把几个＿＿＿分母的分式化成＿＿＿分母的分式；通分的关键是确定最简公分母，最简公分母应为各分母系数的最小公倍数与所有相同因式的最高次幂的积；5、分式的基本性质： ，用式子表示为＿＿＿＿＿＿＿；6、同分母分式相加减法则：＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿；异分母分式相加减法则＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿；7、分式乘法法则：＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿； 分式除法法则：＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿；8、分式的混合运算顺序，先算＿＿＿＿＿，再算＿＿＿＿＿，最后＿＿＿＿＿，有括号先算括号里面的． ［问题研讨］例1、（1）若分式yx yx -+中的x 、y 的值都变为原来的3倍，则此分式的值（ ） A 、不变 B 、原来的3倍 C 、是原来的31 D 、是原来的61 （2）若分式32122---b b b 的值为0，则b 的值为（ ）A 、1B 、－1C 、±1D 、2例2、（1）已知：11a b +=（a ≠b ），求()()a bb a b a a b ---的值。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
第一讲 和绝对值有关的问题例1．（数形结合思想）已知a 、b 、c 在数轴上位置如图：则代数式 | a | + | a+b | + | c-a | - | b-c | 的值等于（ ） A ．-3a B ． 2c －a C ．2a －2b D ． b例2．已知：z x <<0，0>xy ，且x z y >>， 那么y x z y z x --+++的值（ ） A ．是正数 B ．是负数 C ．是零 D ．不能确定符号 例3．（分类讨论思想）已知甲数的绝对值是乙数绝对值的3倍，且在数轴上表示这两数的点位于原点的两侧，两点之间的距离为8，求这两个数；若数轴上表示这两数的点位于原点同侧呢？例4．（整体思想）方程x x -=-20082008 的解的个数是（ ） A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．无穷多个 例5．已知|a b －2|与|a －1|互为相互数，试求下式的值．()()()()()()1111112220072007ab a b a b a b ++++++++++例6．观察下列每对数在数轴上的对应点间的距离 4与2-，3与5，2-与6-，4-与3. 并回答下列各题：（1）你能发现所得距离与这两个数的差的绝对值有什么关系吗？答：___ . （2）若数轴上的点A 表示的数为x ，点B 表示的数为―1，则A 与B 两点间的距离可以表示为 ________________. （3）结合数轴求得23x x -++的最小值为 ，取得最小值时x 的取值范围为 ___. （4） 满足341>+++x x 的x 的取值范围为 ______ .第二讲：代数式的化简求值问题例1．若多项式()x y x x x mx 537852222+--++-的值与x 无关，求()[]m m m m +---45222的值.例2．x=-2时，代数式635-++cx bx ax 的值为8，当x=2时，代数式635-++cx bx ax 的值？例3．当代数式532++x x 的值为7时,求代数式2932-+x x 的值.例4． 已知012=-+a a ，求2007223++a a 的值.例5．（实际应用）A 和B 两家公司都准备向社会招聘人才，两家公司招聘条件基本相同，只有工资待遇有如下差异：A 公司，年薪一万元，每年加工龄工资200元；B 公司，半年薪五千元，每半年加工龄工资50元。
从收入的角度考虑，选择哪家公司有利？例7．如图，平面内有公共端点的六条射线OA ，OB ，OC ，OD ，OE ，OF ，从射线OA 开始按逆时针方向依次在射线上写出数字1，2，3，4，5，6，7，…． （1）“17”在射线 ____上， “2008”在射线___________上． （2）若n 为正整数，则射线OA 上数字的排列规律可以用含n 的 代数式表示为__________________________．例8． 将正奇数按下表排成5列:第一列 第二列 第三列 第四列 第五列 第一行 1 3 5 7 第二行 15 13 11 9第三行 17 19 21 23 第四行 31 29 27 25根据上面规律，2007应在A ．125行,3列 B. 125行,2列 C. 251行,2列 D . 251行,5列 例9．（2006年嘉兴市）定义一种对正整数n 的“F ”运算：①当n 为奇数时，结果为3n ＋5；②当n 为偶数时，结果为k n 2（其中k 是使kn2为奇数的正整数），并且运算重复进行．例如，取n ＝26，则：A BD CEF O 1 7283 94 10 511 6 12 26134411第一次F ② 第二次F ① 第三次F ② …若n ＝449，则第449次“F 运算”的结果是__________．第三讲：与一元一次方程有关的问题一、典型例题例1．若关于x 的一元一次方程2332x k x k--+=1的解是x=-1，则k 的值是例2．若方程3x-5=4和方程0331=--xa 的解相同，则a 的值为多少？例3.（方程与代数式联系）a 、b 、c 、d 为实数，现规定一种新的运算 bc ad d c b a -=.（1）则2121-的值为 ；（2）当185)1(42=-x 时，x = .例4．（方程的思想）如图，一个瓶身为圆柱体的玻璃瓶内装有高a 厘米的墨水，将瓶盖盖好后倒置，墨水水面高为h 厘米，则瓶内的墨水的体积约占玻璃瓶容积的（）A ．b a a + B ．b a b + C ．h a b+ D ．h a h + 例5． 小杰到食堂买饭，看到A 、B 两窗口前面排队的人一样多，就站在A 窗口队伍的里面，过了2分钟，他发现A 窗口每分钟有4人买了饭离开队伍，B 窗口每分钟有6人买了饭离开队伍，且B 窗口队伍后面每分钟增加5人。
此时，若小李迅速从A 窗口队伍转移到B 窗口后面重新排队，将比继续在A 窗口排队提前30秒买到饭，求开始时，有多少人排队。
例7．问当a 、b 满足什么条件时，方程2x+5-a=1-bx ：（1）有唯一解；（2）有无数解；（3）无解。
例9． 解下列方程523x -= 例10． 解方程21513x --= 不考虑瓶子的厚度.第四讲：二元一次方程组二、典型例题1．下列方程组中，不是二元一次方程组的是（ ） Ａ．123x y =⎧⎨+=⎩，． Ｂ．10x y x y +=⎧⎨-=⎩，． Ｃ．10x y xy +=⎧⎨=⎩，．Ｄ．21y x x y =⎧⎨-=⎩，．2．已知方程组⎩⎨⎧=+=-9.30531332b a b a 的解是⎩⎨⎧==2.13.8b a ，则方程组()()()()⎩⎨⎧=-++=--+9.301523131322y x y x 的解是（ ） A ．⎩⎨⎧==2.13.8y x B ．⎩⎨⎧==2.23.10y x C ．⎩⎨⎧==2.23.6y x D ．⎩⎨⎧==2.03.10y x3．若下列三个二元一次方程：3x-y=7；2x+3y=1；y=kx-9有公共解，求k 的取值。
4.当a 为何值时，方程组2133ax y x y +=⎧⎨+=⎩有唯一的解23．（本题10分）有这样的一列数1a 、2a 、3a 、……、n a ，满足公式1(1)n a a n d =+-，已知297a =，585a =.（1）求1a 和d 的值；（2）若0k a >，10k a +<，求k 的值.11．为了改善住房条件，小亮的父母考察了某小区的A 、B 两套楼房，A 套楼房在第3层楼，B 套楼房在第5层楼，B 套楼房的面积比A 套楼房的面积大24平方米，两套楼房的总房价相同。
第3层楼和第5层楼的房价分别是平均价的1.1倍和0.9倍。
为了计算两套楼房的面积。
12．某水果批发市场香蕉的价格如下表：购买香蕉数 （千克） 不超过20千克20千克以上但不超过40千克40千克以上每千克价格6元5元4元张强两次共购买香蕉50千克（第二次多于第一次），共付出264元，请问张强第一次、第二次分别购买香蕉多少千克？第五讲：线段和角二、典型问题：（一）数线段——数角——数三角形问题1、直线上有n 个点，可以得到多少条线段？问题2．如图，在∠AOB 内部从O 点引出两条射线OC 、OD ，则图中小于平角的角共有（ ）个(A) 3 (B) 4 (C) 5 (D) 6拓展3： 在∠AOB 内部从O 点引出n 条射线图中小于平角的角共有多少个？典型例题：1．由下列条件一定能得到“P 是线段AB 的中点”的是（ ）（A ）AP=21AB （B ）AB ＝2PB （C ）AP ＝PB （D ）AP ＝PB=21AB 2．若点B 在直线AC 上，下列表达式：①AC AB 21=；②AB=BC ；③AC=2AB ；④AB+BC=AC ．其中能表示B 是线段AC 的中点的有（ ） A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个3．已知线段MN ，P 是MN 的中点，Q 是PN 的中点，R 是MQ 的中点，那么MR = ______ MN ． 4．如图所示，B 、C 是线段AD 上任意两点，M 是AB 的中点，N 是CD 中点，若MN=a ，BC=b ，则线段AD 的长是（ ）A 2（a-b ）B 2a-bC a+bD a-b （三）与角有关的问题1． 已知：一条射线OA ，若从点O 再引两条射线OB 、OC ，使∠AOB=600，∠B OC =200，则∠A OC =____________度（分类讨论） 3．如图，已知直线AB 和CD 相交于O 点，COE ∠是直角，OF 平分AOE ∠，34COF =∠，求BOD ∠的度数．5．如图，O 是直线AB 上一点,OC 、OD 、OE 是三条射线,则图中互补的角共有（ ）对 (A) 2 (B) 3 (C) 4 (D) 56．已知∠1、∠2互为补角，且∠1＞∠2，则∠2的余角是（ ）A.12（∠1＋∠2）B.12∠1C.12（∠1－∠2）D.12∠2 A DB MC ND CBA DC BAF ED C BA l 3l 2l 1 O34l 3l 2l 112第六讲：相交线与平行线二、典型例题1.下列说法正确的有( )①对顶角相等;②相等的角是对顶角;③若两个角不相等,则这两个角一定不是对顶角; ④若两个角不是对顶角,则这两个角不相等. A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 2.如图所示,下列说法不正确的是( )A.点B 到AC 的垂线段是线段AB;B.点C 到AB 的垂线段是线段ACC.线段AD 是点D 到BC 的垂线段;D.线段BD 是点B 到AD 的垂线段3.下列说法正确的有( )①在平面内,过直线上一点有且只有一条直线垂直于已知直线;②在平面内,过直线外一点有且只有一条直线垂直于已知直线;③在平面内,过一点可以任意画一条直线垂直于已知直线;④在平面内,有且只有一条直线垂直于已知直线.A.1个B.2个C.3个D.4个 4．一学员驾驶汽车，两次拐弯后，行驶的方向与原来的方向相同， 这两次拐弯的角度可能是（ ）A. 第一次向左拐30°第二次向右拐30°B. 第一次向右拐50°第二次向左拐130°C. 第一次向右拐50°第二次向右拐130°D. 第一次向左拐50°第二次向左拐130°5．如图，若AC ⊥BC 于C ，CD ⊥AB 于D ，则下列结论必定成立．．．．的是（ ） A. CD>AD B.AC<BC C. BC>BD D. CD<BD6．如图,已知AB ∥CD,直线EF 分别交AB,CD 于E,F,EG •平分∠BEF,若∠1=72°,则∠2=______.7．如图,AB ∥EF ∥CD,EG ∥BD,则图中与∠1相等的角(∠1除外)共有( ) •A.6个 B.5个 C.4个 D.3个8．如图，直线l 1、l 2、l 3交于O 点，图中出现了 对对顶角，若n 条直线相交呢？ 9. 如图，在44⨯的正方形网格中，321∠∠∠，，的大小关系是_________．10. 如图所示,L 1,L 2,L 3交于点O,∠1=∠2,∠3:∠1=8:1,求∠4的度数.( 方程思想)1 2 3A B 1 EF 2 C PDAB CIABCP22．（6分）如图，点E 在直线DF 上，点B 在直线AC 上，若∠AGB=∠EHF ，∠C=∠D ． 则∠A=∠F ，请说明理由． 解：∵∠AGB=∠EHF ______ ___ ∠AGB= _________ （对顶角相等） ∴∠EHF=∠DGF ∴DB ∥EC _________ ∴∠ _________ =∠DBA （ 两直线平行，同位角相等） 又∵∠C=∠D ∴∠DBA=∠D ∴DF ∥ _________ （内错角相等，两直线平行） ∴∠A=∠F ______ ___ ．12．如图，若AB//EF ，∠C= 90°，求x+y-z 度数。