2013年成人高考专升高等数学(一)真题(完整版)-17602
2013年高数1(上)考题及答案
D． y C1 (e x x) C 2 (e x x) x 得 分
－2（高等数学Ⅰ）－
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
14、. 求极限 lim (sin x) x
x 0
解： (sin x) x e x ln sin x ，
lim x ln sin x lim
f ( x) 。
x ( x t ) f (t )dt 解： f ( x) e x 0
令y f ( x )
x x f (t )dt xf ( x) xf ( x) e x 0 f (t )dt 则 y' c x 0
y ' ' e x f ( x)
得 分
1 x 1 x2
。
2
3 ． 抛 物 线 y2 4x 及 直 线 x 2 所 围 图 形 绕 x 轴 旋 转 所 得 旋 转 体 的 体 积 为
8
。
cot 2 ydx或 1 dx ( x y) 2
4、设 tan y x y ，则 dy
x f (t ) dy 5、设 ，其中 f可导 ，且 f (0) 0, 则 3t dx y f (e 1)
x0 x 0 在 x = 0 处连续，则（ B ） x0
B a = 0，b = 1； D a = 1，b = 1.
－1（高等数学Ⅰ）－
8、当 x 0 时，下列各式中不成立的是（ （A） sin x 2 ～ x 2 ； （C） e 2 x 1 ～2 x ； 9、曲线 y xe （D ）
（A）没有渐近线 （C）仅有斜渐近线
11、设 f ( x)具有二阶连续导数，且 f (1) 0, lim A． f (1)是f ( x)的极大值
专升本试题及解答(西华2013)
2013年西华大学专升本《高等数学》考试题一、填空题：（每题3分，共15分） 1、设2)1(='f ，则=∆∆--→∆xx f f x )1()1(lim；【2】 【知识点】导数的定义。
2、若矩阵⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=x x x x A sin cos cos sin ，则=-1A ；【⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-x x x x sin cos cos sin 】 【知识点】伴随矩阵法求逆矩阵。
解析：求逆矩阵的方法有： （1）定义法：E AA =-1；（2）矩阵的初等行变换求逆矩阵：)|()|(1-→A E E A ； （3）伴随矩阵法：*11A AA=-（其中：*A 是矩阵A 的伴随矩阵）。
x A sin 11=，x A cos 12=，x A cos 21-=，x A sin 22=，⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=x x x x A sin cos cos sin *，1cos sin sin cos cos sin 22=+=-=x x x x x x A ， 所以，⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-==-x x x x A A Asin cos cos sin *11。
3、若方程z z y x =++222确定函数),(y x z z =，则=dz ；【zydyxdx 2122-+】【知识点】全微分dy z dx z dz y x '+'=，隐函数的偏导数。
4、若c x dx x f +=⎰2)(，则=-⎰dx x xf )1(2 ；【c x +--22)1(21】 【知识点】凑微分法。
5、⎰⎰⎰=dx x f d d d )( ；【dx x f )(】 【知识点】积分与微分的互逆性质。
解析：⎰⎰⎰=dx x f d d d )(⎰⎰=dx x f d d )(dx x f dx x f d )()(=⎰二、判断正误（每小题2分，共10分） 1、设∑∞=1n nu为常数项级数，若∑∞=1n nu收敛，则∑∞=1n nu收敛。
2013成人高考试题及答案
2013成人高考试题及答案[考试试题]第一部分：语言能力Section ADirections: In this section, there are ten incomplete statements for each statement there are four choices marked A, B, C and D. Choose the one that best completes the statement and mark your answer on the answer sheet.1. ______ it is not very cold, Bill wears a heavy coat.A. AlthoughB. UnlessC. IfD. As2. ______ the health benefits of exercise, many people still choose to live a sedentary lifestyle.A. GivenB. To giveC. GivingD. Given that3. You will receive a discount ______ you buy more than ten items in this shop.A. whetherB. providedC. untilD. although4. I'll lend you my dictionary, ______ you promise to return it tomorrow.A. butB. whileC. unlessD. so5. It was not the trip itself, but the people I met ______ made my holiday memorable.A. whoB. whatC. whenD. where6. Not until I came home ______ that I had lost my key.A. had I realizedB. I realizedC. I didn't realizeD. didn't I realize7. The letter was delivered ______ a few days after it was sent.A. shortB. shortlyC. for a short whileD. in a short while8. He was ______ his mother in the park when he suddenly heard someone calling him from behind.A. walking besideB. walking withC. walking byD. walking away9. Only if you work hard ______ succeed in achieving your goals.A. you canB. can youC. you willD. will you10. The TV series, as well as a few movies, ______ scheduled to air tonight.A. isB. areC. wereD. wasSection BDirections: In this section, you will hear a short passage. Listen carefully and then fill in the numbered blanks with the information you have heard. Fill in each blank with no more than three words.The History of PhotographyPhotography is the process of capturing an image using a camera. The first photograph was (11) ______ using a camera obscura in the 1820s by Joseph Nicephore Niepce. However, it wasn't until 1839 that Louis Daguerre developed the daguerreotype, the first publicly available photographic process. The daguerreotype required an exposure (12) ______ of several minutes, making it difficult to photograph moving objects.In the 1860s, portable box cameras were introduced, allowing photography to become accessible to more people. A significant development was made by George Eastman, who introduced film in the 1880s, replacing heavy and fragile glass plates. This made photography more convenient and led to the establishment of Kodak, one of the leading companies in the industry today.Photography continued to evolve with the introduction of color film in the mid-20th century. Digital photography, which began to gain popularity in the 1990s, brought about a revolution in the industry by eliminating the need for film and allowing instant image viewing and editing.Today, photography is more accessible than ever, with cameras integrated into smartphones, making everyone a potential photographer capturing moments in their daily lives.[考试答案]1. A2. D3. B4. C5. A6. A7. B8. B9. B 10. B11. Taken 12. Time(文章字数：530字，接下来将继续补充内容以满足字数限制)。
2013专升本高等数学(一)
全国各类成人高等学校专升本招生复习考试大纲高等数学（一）本大纲适用于工学、理学(生物科学类、地理科学类、环境科学类、心理学类等四个一级学科除外)专业的考生。
总要求考生应按本大纲的要求，了解或理解“高等数学”中极限和连续、一元函数微分学、一元函数积分学、空间解析几何、多元函数微积分学、无穷级数、常微分方程的基本概念与基本理论；学会、掌握或熟练掌握上述各部分的基本方法．应注意各部分知识的结构及知识的内在联系；应具有一定的抽象思维能力、逻辑推理能力、运算能力、空间想像能力；能运用基本概念、基本理论和基本方法正确地推理证明，准确地计算；能综合运用所学知识分析并解决简单的实际问题。
本大纲对内容的要求由低到高，对概念和理论分为“了解”和“理解”两个层次；对方法和运算分为“会”、“掌握”和“熟练掌握”三个层次。
复习考试内容一、极限和连续(一)极限1．知识范围(1)数列极限的概念与性质数列极限的定义唯一性有界性四则运算法则夹逼定理单调有界数列极限存在定理(2)函数极限的概念与性质函数在一点处极限的定义左、右极限及其与极限的关系 x趋于无穷(x→∞，x→+∞，x→-∞)时函数的极限唯一性四则运算法则夹逼定理(3)无穷小量与无穷大量无穷小量与无穷大量的定义无穷小量与无穷大量的关系无穷小量的性质无穷小量的比较(4)两个重要极限,2．要求(1) 理解极限的概念(对极限定义中“”、“”、“”等形式的描述不作要求)。
会求函数在一点处的左极限与右极限，了解函数在一点处极限存在的充分必要条件．(2)了解极限的有关性质，掌握极限的四则运算法则．(3)理解无穷小量、无穷大量的概念，掌握无穷小量的性质、无穷小量与尤穷大量的关系．会进行无穷小量阶的比较(高阶、低阶、同阶和等价)．会运用等价无穷小量代换求极限．(4)熟练掌握用两个重要极限求极限的方法．(二)连续1．知识范围(1)函数连续的概念函数在一点处连续的定义左连续和右连续函数在一点连续的充分必要条件函数的间断点(2)函数在一点处连续的性质连续函数的四则运算复合函数的连续性反函数的连续性(3)闭区间上连续函数的性质有界性定理最大值与最小值定理介值定理(包括零点定理)(4)初等函数的连续性2．要求(1)理解函数在一点处连续与间断的概念，理解函数在——点处连续与极限存在的关系，掌握函数(含分段函数)在一点处的连续性的方法．(2)会求函数的间断点．(3)掌握在闭区间上连续函数的性质，会用介值定理推证一些简单命题．(4)理解初等函数在其定义区间上的连续性，会利用连续性求极限．二、一元函数微分学(一)导数与微分1．知识范围(1)导数慨念导数的定义左导数与右导数函数在一点处可导的充分必要条件导数的几何意义与物理意义可导与连续的关系(2)求导法则与导数的基本公式导数的四则运算反函数的导数导数的基本公式(3)求导方法复合函数的求导法隐函数的求导法对数求导法由参数方程确定的函数的求导法求分段函数的导数(4)高阶导数高阶导数的定义高阶导数的计算(5)微分微分的定义微分与导数的关系微分法则一阶微分形式不变性2．要求(1)理解导数的概念及其几何意义，了解可导性与连续性的关系，掌握用定义求函数在一点处的导数的方法(2)会求曲线上一点处的切线方程与法线方程．(3)熟练掌握导数的基本公式、四则运算法则及复合函数的求导方法，会求反函数的导数(4)掌握隐函数求导法、对数求导法以及由参数方程所确定的函数的求导方法，会求分段函数的导数．(5)理解高阶导数的概念，会求简单函数的n阶导数．(6)理解函数的微分概念，掌握微分法则，了解可微与可导的关系，会求函数的一阶微分．(二)微分中值定理及导数的应用1．知识范围(1)微分中值定理罗尔(Rolle)定理拉格朗日(Lagrange)中值定理(2)洛必达(L'Hospital)法则(3)函数增减性的判定法(4)函数的极值与极值点最大值与最小值(5)曲线的凹凸性、拐点(6)曲线的水平渐近线与铅直渐近线2．要求(1)理解罗尔定理、拉格朗日中值定理及它们的几何意义．会用拉格朗日中值定理证明简单的不等式．(2)熟练掌握用洛必达法则求，型未定式的极限的方法．(3)掌握利用导数判定函数的单调性及求函数的单调增、减区间的方法，会利用函数的单调性证明简单的不等式．(4)理解函数极值的概念．掌握求函数的驻点、极值点、极值、最大值与最小值的方法，会解简单的应用问题．(5)会判断曲线的凹凸性，会求曲线的拐点．(6)会求曲线的水平渐近线与铅直渐近线．三、一元函数积分学(一)不定积分1．知识范围(1)不定积分原函数与不定积分的定义原函数存在定理不定积分的性质(2)基本积分公式(3)换元积分法第一换元法(凑微分法) 第二换元法(4)分部积分法(5)一些简单有理函数的积分2．要求(1)理解原函数与不定积分的概念及其关系，掌握不定积分的性质，了解原函数存在定理(2)熟练掌握不定积分的基本公式．(3)熟练掌握不定积分第一换元法，掌握第二换元法(限于三角代换与简单的根式代换)．(4)熟练掌握不定积分的分部积分法．(5)会求简单有理函数的不定积分．(二)定积分1．知识范围(1)定积分的概念定积分的定义及其几何意义可积条件(2)定积分的性质(3)定积分的计算变上限积分牛顿—莱布尼茨(Newton-Leibniz)公式换元积分法分部积分法(4)无穷区间的广义积分(5)定积分的应用平面图形的面积旋转体的体积2．要求(1)理解定积分的概念及其几何意义，了解函数可积的条件．(2)掌握定积分的基本性质．(3)理解变上限的积分是变上限的函数，掌握对变上限积分求导数的方法．(4)熟练掌握牛顿一莱布尼茨公式．(5)掌握定积分的换元积分法与分部积分法．(6)理解无穷区间的广义积分的概念，掌握其计算方法．(7)掌握直角坐标系下用定积分计算平面图形的面积以及平面图形绕坐标轴旋转所生成的旋转体的体积四、空间解析几何(一)平面与直线1．知识范围(1)常见的平面方程点法式方程一般式方程(2)两平面的位置关系(平行、垂直)(3)空间直线方程标准式方程(又称对称式方程或点向式方程) 一般式方程(4)两直线的位置关系(平行、垂直)(5)直线与平面的位置关系(平行、垂直和直线在平面上)2．要求(1)会求平面的点法式方程、一般式方程．会判定两平面的垂直、平行(2)了解直线的一般式方程，会求直线的标准式方程．会判定两直线平行、垂直．(3)会判定直线与平面间的关系(垂直、平行、直线在平面上)．(二)简单的二次曲面1．知识范围球面母线平行于坐标轴的柱面旋转抛物面圆锥面椭球面2．要求了解球面、母线平行于坐标轴的柱面、旋转抛物面、圆锥面和椭球面的方程及其图形．五、多元函数微积分学(一)多元函数微分学1．知识范围(1)多元函数多元函数的定义二元函数的几何意义二元函数极限与连续的概念(2)偏导数与全微分偏导数全微分二阶偏导数(3)复合函数的偏导数(4)隐函数的偏导数(5)二元函数的五条件极值与条件极值2．要求(1)了解多元函数的概念、二元函数的几何意义．会求二元函数的表达式及定义域．了解二元函数的极限与连续概念(对计算不作要求)．(2)理解偏导数概念，了解偏导数的几何意义，了解全微分概念，了解全微分存在的必要条件与充分条件．(3)掌握二元函数的一、二阶偏导数计算方法．(4)掌握复合函数一阶偏导数的求法．(5)会求二元函数的全微分．(6)掌握由方程F(x，y，z)=0所确定的隐函数z=z(x，y)的一阶偏导数的计算方法．(7)会求二元函数的五条件极值．会用拉格朗日乘数法求二元函数的条件极值．(二)二重积分1．知识范围(1)二重积分的概念二重积分的定义二重积分的几何意义(2)二重积分的性质(3)二重积分的计算(4)二重积分的应用2．要求(1)理解二重积分的概念及其性质．(2)掌握二重积分在直角坐标系及极坐标系下的计算方法．(3)会用二重积分解决简单的应用问题(限于空间封闭曲面所围成的有界区域的体积、平面薄板的质量)．六、无穷级数(一)数项级数1．知识范围(1)数项级数数项级数的概念级数的收敛与发散级数的基本性质级数收敛的必要条件 (2)正项级数收敛性的判别法比较判别法比值判别法(3)任意项级数交错级数绝对收敛条件收敛莱布尼茨判别法2．要求(1)理解级数收敛、发散的概念．掌握级数收敛的必要条件，了解级数的基本性质．(2)会用正项级数的比值判别法与比较判别法．(3)掌握几何级数、调和级数与P级数的收敛性．(4)了解级数绝对收敛与条件收敛的概念，会使用莱布尼茨判别法．(二)幂级数1．知识范围(1)幂级数的概念收敛半径收敛区间(2)幂级数的基本性质(3)将简单的初等函数展开为幂级数2．要求(1)了解幂级数的概念．(2)了解幂级数在其收敛区间内的基本性质(和、差、逐项求导与逐项积分)．(3)掌握求幂级数的收敛半径、收敛区间(不要求讨论端点)的方法．(4)会运用头的麦克劳林(Maclaurin)公式，将一些简单的初等函数展开为或-的幂级数．七、常微分方程(一)一阶微分方程1．知识范围(1)微分方程的概念微分方程的定义阶解通解初始条件特解(2)可分离变量的方程(3)一阶线性方程2．要求(1)理解微分方程的定义，理解微分方程的阶、解、通解、初始条件和特解．(2)掌握可分离变量方程的解法．(3)掌握一阶线性方程的解法．(二)二阶线性微分方程1．知识范围(1)二阶线性微分方程解的结构(2)二阶常系数齐次线性微分方程(3)二阶常系数非齐次线性微分方程2．要求(1)了解二阶线性微分方程解的结构．(2)掌握二阶常系数齐次线性微分方程的解法．(3)掌握二阶常系数非齐次线性微分方程的解法[自由项限定为，其中为的次多项式，为实常数]．考试形式及试卷结构试卷总分：150分考试时间：150分钟考试方式：闭卷，笔试试卷内容比例：极限和连续约13％一元函数微分学约25％一元函数积分学约25％多元函数微积分(含空间解析几何) 约20％无穷级数约7％常微分方程约10％试卷题型比例：选择题约27％填空题约27％解答题约46％试题难易比例：容易题约30％中等难度题约50％较难题约20％。
成考高起专数学真题解析参考答案-2013版
参考答案第一章 集合和简易逻辑1. D U 作为全集的A 补集(表示为A C u )，就是从全集U 中元素去掉A 中元素所组成的集合．故选D.2. C 集合{}3,2,1的子集有：∅,{}1,{}2,{}3,{}2,1,{}3,1,{}3,2,{}3,2,1，共8个，故选C ． 一般的,如果一个集合中有n 个元素,那么它的子集个数为n 2,真子集个数为12-n ．3. A 由{}1,2,3,,A a b =,{}c B ,6,5,3=和{}6,,4,3,2,1b B A = ，得 {}1,2,3,5,6,,,{1,2,3,4,,6}a b c b =可知5b =，a 和b 中至少有一个等于4；b 代入A 中得{}5,,3,2,1a A =,又由{}c B ,6,5,3=，{}a B A ,5,3= ,假定4,4a c ≠=则6a =,假定 4=a ，则c=a=4．故选A ．4. A 本题中，022=+x x 的解为0和21-，所以{}{}220,0M x x x x Z =+=∈⊇．所以答案 A 正确．5. C 求两个集合的交集就是找两个集合的共同元素，所以=B A {}40≤≤x x ．6. C 本题中，当ax bx =时,可能是a b =或是0=x ；另一方面，当a b =时,ax bx =一定成立.所以本题的答案为C ．7. C 本题中，当a b +为偶数时，a 和b 可能都是偶数，也可能都是奇数；另外,当,a b 都是偶数时，a b +一定为偶数．故选C ．8. 【解析】 求两个集合的交集就是找两个集合的公共元素，B A {}1,1=-， B C {}0,1=，C A {}1=．9. 【解析】不等式()213x x +<+的解为1x <，集合A 可表示为{}1x x <； 不等式324x ->的解为2x >，集合B 可表示为{}2x x >． 所以{}{}{}1212A B x x x x x x x =<>=<> 或,A B = {1}{2}x x x x φ<>= ． 10. 【解析】 因为I R =，{}2A x x =>所以{}2I C A x x =≤ 又I R =，{}24B x x =<≤ 所以{}2,4I C B x x x =≤>或．第二章 不等式和不等式组1. C 本题中,可用特值法来验证．由0>+b a 和0<b ,令5=a ,1-=b ．可以看出C 是正确的． 2. B 本题中,对于0<<b a ,令5-=a ,1-=b ．可以看出B 是正确的． 3. A 原不等式可化为：131x -≤+≤,即24-≤≤-x ．故选A ． 4. B 解方程2320x x -+=()()120x x ⇒--=，解得11x =,22x =．2320x x -+<的解为12x <<，所以不等式2320x x -+<解集为{}12x x <<．故选B ．5. D 不等式组的解集为不等式组内各不等式解集的交集．本题中，先解211>-x ，即23>x ；再解132->+x ,即1->x ．所以该不等式组的解为23>x ．故选D ． 6. D 不等式01692>++x x 可转化为()0132>+x ．我们知道()0132≥+x 是成立的(也即：一个数的平方是非负的)，所以()0132>+x 的解为R ,31∈-≠x x ．故选D ．7. B 不等式02≥-xx,可转化为()02≥-x x (2≠x ), 也即为()02≤-x x (2≠x )．()02≤-x x (2≠x )的解为20<≤x ．故选B ．8. B 对于一元次方程02=++c bx ax ：① 有两个不等实数根⇔240b ac ->；② 有两个相等实数根⇔042=-ac b ；③ 无实数根⇔042<-ac b .本题中,由题意()2240a -->，解得1a <．故选B ．9. {}52><x x x 或 不等式()()05201072>--⇔>+-x x x x,52><⇒x x 或.所以不等式01072>+-x x 的解集为{}52><x x x 或．10. {}22<<-x x 不等式2021<⇔>-x x 22<<-⇒x ．所以不等式021>-x 的解集为{}22<<-x x ．11. 012<<-m 由题意，()()0342<---m m ，即()012<+m m , 解得012<<-m ．12. 271<<x 由题意,13212<-<-x 即⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧<-->-13212321x x, 解2321->-x ,得27<x ；解1321<-x,得1>x ．所以不等式13212<-<-x的解为271<<-x ．第三章 指数与对数1. C ()1515151515log 3log 5log 351log 51log 31m +=⨯=⇒=-=-．2. C ()()236666log 9log 32log 21log 221a ===-=-．3. C 2222822222log 9log 32log 3log 9log 8233log 3log 3log 3log 33====． 4. A ()()()()()()()3232323222log2log 2log27log 2log 3log 23log 33log 33log3===⨯=． 5. (1) 2；(2) 2- ；(3) 2- ；(4) 4；(5) 1 ； (6) 0 l o g b a a N N b=⇒=．6. 4 ()1112320137272512lg 5196492764-⎛⎫⎛⎫⎛⎫++=++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎛⎫ ⎪⎝⎭51114334=+=++=．7. 5 1144411lg 4lg 25lg100813--⎡⎤⎛⎫⎛⎫++=+⎢⎥ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦14411122325313⎛⎫⨯- ⎪⎝⎭⎛⎫=+=+=+= ⎪⎝⎭⎛⎫ ⎪⎝⎭．8. (1) 12；(2) 19（1）()222101010101012x yx y x y +=⨯=⨯=；（2）()2-222111010339y y --====．第四章 函 数1. C 函数22log (65)y x x =--要求：2650x x -->，即(1)(6)0x x -+<，得61x -<<．2. D 函数11)(-+=x x x f 要求⎩⎨⎧≠-≥+0101x x 解得1-≥x 且1≠x ，故选D ． 3. B 本题中，我们可以采用描点的方法画出各选项中函数的图象，来进行判断其是增函数或是减函数．4. B 因为38,2x x ==则，所以2(8)log 21f ==．5. B 幂函数ny x =，当0n >时是增函数，所以3y x =增函数．又因为33()()()f x x x f x -=-=-=-， 也即()()f x f x -=-，所以3y x =是奇函数．另外，本题也可以画出选项中各个函数的图象，找出正确答案． 6. B 对数函数的底大于1时为增函数．故选B ．7. D ()22()f x x x f x -=--=-=，也即()()f x f x -=，显然是偶函数．8. C 因为()xxx f -+=11， 所以1111111-+=-+=⎪⎭⎫ ⎝⎛x x xx x f ．故选C ． 9. C 7)(35+-=bx ax x f ，由题意得：1733)3(35=+⨯-⨯=b a f 那么63335-=⨯-⨯b a所以()()()13733733)3(3535=+⨯-⨯-=+-⨯--⨯=-b a b a f ．10. A 由韦达定理可知：两个根1,2x x 之间的关系1212b x x ac x x a ⎧+=-⎪⎪⎨⎪⋅=⎪⎩，设21,4x =由1212x x x x +=得 111111,443x x x +==-则，所以124111(),484312c x x a a a ===⨯-=-=-则．11. D 由()24f =，得214,2a a -==则，所以1()2xf x -=，那么11(1)(1)()22f f --===，21(2)(2)()42f f -=-==，31(3)()82f --==， 比较后得出()()32f f ->-．12. A xxx f -+=33)(，x xx f 33)(+=--，故答案为A ．13. D 101≥⇒≥-x x ，即1-≤x 或1≥x ．14. B 函数223y x x =-+的图像是一个以1=x 为对称轴，且开口向上．故答案选B ．15. B 函数图像过)0,0(和)0,4(-，则⎩⎨⎧==⇒⎩⎨⎧=-=404160p q p q ． 4)2(422-+=+=x x x y ，所以y 的最小值为4-．16. －3，－12. －9． 由题意得⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧=+⨯+⨯=-=-0113442222c b a a b ac a b ⎪⎩⎪⎨⎧=++=--=⇒012442c b a a b ac a b()()⎩⎨⎧=+-+=--⇒0412442c a a a a ac 整理得⎩⎨⎧=-=-0334a c a c 39a c =-⎧⇒⎨=-⎩． 方程组的解为3,12,9a b c =-==-．17. {}71x x x ≥≤-或 需满足2670x x --≥，也即(7)(1)0x x -+≥，解得71x x ≥≤-或． 18. {}24x x -<< 需满足31x -->0,也即13x -< 313x ⇒-<-< ，解得24x -<<．19. 3x =；(3,8)-． 二次函数对称轴方程32bx a=-=，由顶点坐标24(,)24b ac b a a --，得顶 点坐标为(3,8)-．另外也可用配方法得2(3)8y x =-- ，写出本题的答案．20. 2254x x -+ 令21x t =-，故12x t += ，代入得211()2222x x f x ++⎛⎫⎛⎫=-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭=2254x x -+．第五章 数 列1. 10；1025n - ()1551551551010a a a a d d -=+-⇒==； ()()55255101025n n a a n d a n n =+-⇒=+-⨯=-． 2. 4；34n - 6426416a a q q -=⋅⇒=,又数列{}n a 是正项等比数列， 所以 4q =，4434444n n n n a a q ---=⋅=⨯=．3. 7 三个数2,,16x -成等差数列, x 就称为2,16-的等差中项, 22167x x =-+⇒=．4. 8± 三个数2,,32x 成等比数列, x 就称为2,32的等比中项, 22328x x =⨯⇒=±．5. 1 由第3题知, ()261101m m ⨯=++⇒=．6. 9± 由第4题知, 23279a a =⨯⇒=±．7. B 9125895954S a a a a a a =++⋅⋅⋅++⋅⋅⋅+==． 8. C 614101014106242a a a a a a a +=+⇒=-=．9. A255195532a a a a a a ⋅=⋅⇒=⇒=±451a a q =⨯，1a 0>，所以5a 0>，故排除5a=-．10. C 由韦达定理可知,14441a a ⋅==,所以, 23144a a a a =⋅=． 11. (1)()63636333a a a a d d -=+-⨯⇒==，所以，公差3d =． (2) ()()33233n a a n d n =+-=+-⨯ 所以通项公式 37n a n =-, 从而 1010310723a a =⨯-⇒=. (3) ()()()1437311222n n n a a n n n n S +-+--===. 所以前n 项和 ()3112n n n S -=, 从而()5553511102S S ⨯-=⇒=．12. (1) 523528b b q q -=⨯⇒=，所以，公比2q =．(2) 22212n n n n b b q b --=⋅⇒=⨯，所以通项公式 22n n b -=， 从而 6266216b b -=⇒= ．(3) 由(2)中求出的通项公式可得：12112,2b -==()()()111211*********nnn n n b q S q ----===-=--,所以前n 项和 212n n S -=，从而66216322S -==． 13. （Ⅰ）当1n=时，11123a S a ==-，故13a =，当2n ≥时，-11123(23)22n n n n n n n a S S a a a a --=-=---=-， 故12n n a a -=，11122n n n n a aq ---===，所以，11132n n n a a q --==⨯ （Ⅱ）1323222n n n n nna n nb -⨯⨯===， ∵1323(1)1n n nb n q b n n -===-- ，∴{}n b 不是等比数列 ∵13(1)33222n n n n d b b --=-=-=， ∴{}n b 是等差数列 {}n b 的前n 项和：133()()322(1)224n n n n b b n n S n ++⨯===+ 14. （Ⅰ）33213(1)2(1)2(1)(1)14111a q q q q q S q q q---++====---，得26q q +=，12,23()q q =⎧⎨=-⎩不合题意舍去，所以，111222n n n n a a q --==⨯=（Ⅱ）22log log 2n n n b a n ===，数列{}n b 的前20项的和为20(120)20123202102S +⨯=++++==15. (1) 数列{}n a 的通项公式 3433311116222n n n n a a q ----⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⋅=⨯=⨯ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭即 712n n a -⎛⎫= ⎪⎝⎭．(2) 由通项公式712n n a -⎛⎫= ⎪⎝⎭可得 6161164212a -⎛⎫=== ⎪⎝⎭⎛⎫⎪⎝⎭数列{}n a 的前项的和()111241n n a q S q-==-,即 16412112412811241212n n ⎛⎫⎛⎫- ⎪ ⎪ ⎪⎛⎫⎝⎭⎛⎫⎝⎭=⇒-= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭-11241112128232nn⎛⎫⎛⎫-=⇒=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭, 所以 5n =． 16. 设数列的前项为1a ,则711326a a a =+⨯=+，由已知174242a a +⨯=，即1164242a a ++⨯=， 所以13a =，则有13a =，35a =，57a =，79a =．因为2a ，4a ，6a 成等比数列，且24664a a a --=，所以34464,4a a ==． 又因为公比为12，所以428aa q ==，44a =，642a a q =-=．故该数列为3、8、5、4、7、2、9．第六章 导 数1. 7- ()()()()'''''222333161y x x xx xx =-=-=-=-, ()'11617x x y x =-=-=-=-．2. 5 ()512'12=+=-==x x x y ．3. 421591x x -- ； 203()()()()()()''''''5353331331f x x x x x x x =--+=--+()()''53423311591xx xx =--=--,()()()'''42422221591152921203x x f f x x x ====--=⨯-⨯-=．4. (),0-∞和()1,+∞ ； ()0,1()''3222366y x x x x =-=-．令'0y >，即2660x x ->，解得1x >或0x <．所以函数3223y x x =-的单调增加区间是 (),0-∞和()1,+∞；令'0y <，即2660x x -<，解得01x <<．所以函数3223y x x =-的单调减少区间是()0,1． 5. D 12+=x y 的导数为'2y x =．则切线的斜率为： '24x k y=-==-．故选D ．6. D 12++=x x y 的导数为'21y x =+．则切线的斜率为： '01x k y===．当0=x 时，20011y =++=． 切线方程为：()110y x -=⨯-，即为01=+-y x ．7. B 012'=+=x y ，21-=x ．y 的最小值为273212122-=-⎪⎭⎫⎝⎛-+⎪⎭⎫ ⎝⎛-⨯=y ．8. 令22333(1)3(1)(1)0y x x x x '=-=-=+-=， 得11x =，21x =-（不在区间[0,2]内，舍去） 330120, 1312, 2322x x x yyy=====-⨯=-=-⨯=可知函数33y x x =-在区间[0,2]的最大值为2，最小值为2.9. （Ⅰ）因为()f x 在(,0)-∞内递增，在(0,1)内递减，在(1,)+∞内又递增． 所以导数在0x =和1x =处的导数值均为0，即()f x 的导数：2'()32f x ax x b =-+'(0)0f b ==，'(1)320f a b =-+=．解得：23a =，0b =． （Ⅱ）由（Ⅰ）的过程可知32()13f x x x =-+， 2'()22f x x x =-，则'(3)12f =又322(3)331103f =⨯-+=．即切点为(3,10)，所以其切线方程为：1012(3),12260y x x y -=---=即．10. （Ⅰ）因为()f x 是奇函数，且其定义域为R ，所以(0)00+03010f a b =⨯-⨯+-=，即，解得1b =．又1x =是()f x 的一个极值点，所以2'(1)(323)13230f x ax x a =+-==+-=．解得0a =，3()3f x x x =-．（Ⅱ）令'(3)0f =，得1x =-和1x =，且(,1)x ∈-时'()0f x <，(,1)x ∈-∞-和(1,)x ∈+∞ 时'()0f x >则有：1x =-时，3(1)(1)3(1)2f -=--⨯-=为极大值． 1x =时，3(1)1312f =-⨯=-为极小值．又2x =时，3(2)2322f =-⨯=，故[]()-12f x 在，上的最大值为2，最小值为-2．第七章 三角函数及其相关概念1. D 两个角终边相同，则有360k αβ=⋅︒+，即两个角的差是360︒的整数倍.故选D.2. D 按照角的定义即可判断以上四个均是正确的.3. C 可以取一个特殊值代入,例如6πα=-可判断πα-为第三象限角.4. A 因为α是第二象限的角，所以90360180360k k α︒+⋅︒<<︒+⋅︒，则有：45180901802k k α︒+⋅︒<<︒+⋅︒.为了计算上的方便，不妨取 ① 当0k=时,2α是第一象限角；② 当1k =时,2α是第三象限角.5. C 因为sin cos 0αα⋅<，所以sin ,cos αα异号，那么α是第二、四象限角.6. C 由终边过点(4,3)P --可得：4,3x y =-=-,所以4tan 3y x θ==. 7. 1110︒ 3036031110︒+︒⨯=︒(3指的是圈数). 8. 336030⋅︒+︒；一.1110303603︒=︒+︒⨯，所以1110︒和30︒的终边相同, 30︒是第一象限角,故1110︒也是第一象限角. 9. 260︒ 131318026099πππ︒=⨯=︒.10.α终边在第二象限）或α终边在第四象限） ① α终边在第二象限，在终边上取一点()1,1-,可得：1,1,x y r =-===siny r α===；② α终边在第四象限，在终边上取一点()1,1-,可得1,1,x y r ==-=siny r α===11.72︒的角的弧度数是72180π，因此扇形弧长为：72242412 3.1415.072()18055l cm ππ=⨯==⨯=， ∴扇形周长为：215.0722439.07()l R cm +=+≈.扇形面积为：21115.071290.43()22S lR cm ==⨯⨯≈. 12. ∵2,3x y =-=-，r ∴sinyrα∴==cos13xrα===-33tan22yxα-===-，22cot33xyα-===-,secrxα==，cscryα==第八章三解函数式的变换1. A⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-=+,57c o ss i n,51c o ss i nαααα解得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-==,53cos,54sinαα所以34tan-=α．2. B ()222cos sin cos2sin cos sinαααααα-=-+312sin cos4αα=-=即()23cos sin4αα-=,所以cos sinαα-==3. D 由2cossin=+θθ可得, ()2sin cos2θθ+=，22sin2sin cos cos2θθθθ++=12sin cos2θθ⇒+=1sin cos2θθ⇒=,22sin cos sin cos11 tan cot21cos sin sin cos sin cos2ααααθθαααααα++=+====.4. D ()s i n600s i n240360s i n240︒=︒+︒=︒,()sin240sin18060sin60︒=︒+︒=-︒=.5. A1955s i n s i n4s i n666ππππ⎛⎫⎛⎫-=-+=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，51sinsin sin 6662ππππ⎛⎫=-== ⎪⎝⎭. 6. D 由诱导公式()sin sin απα+=-可得()11sin sin 22απα+=-⇒-=-, 所以1sin 2α=,22213cos 1sin 124αα⎛⎫=-=-= ⎪⎝⎭,可得出cos 2α=±.()11cos 7cos 3απα===±+- 7.33()t a n 2010t a n 3360210t an 210︒=⨯︒+︒=︒，tan 210tan(18030)tan 30︒=︒+︒=︒=. 8. 125± 2225144sin 1cos 113169αα⎛⎫=-=--= ⎪⎝⎭,所以12sin 13α=±，12sin 1213tan 5cos 513ααα±===±. 9. 725-由诱导公式πsin cos 2αα⎛⎫+= ⎪⎝⎭,得π33sin cos 255αα⎛⎫+=⇒= ⎪⎝⎭,2237cos 22cos 121525αα⎛⎫=-=⨯-=- ⎪⎝⎭.10.103 2cos sin cos sin =-+αααα两边平方得： 2222sin 2sin cos cos 4sin 2sin cos cos αααααααα++=-+12sin cos 412sin cos αααα+⇒=-12sin cos 48sin cos αααα⇒+=-10sin cos 3αα⇒=所以3sin cos 10αα=. 11. 222124cos 1sin 1525αα⎛⎫=-=-= ⎪⎝⎭所以562cos ±=α，1sintancosααα===(α在一象限时取正号，在二象限时取负号)．12.22cossin=+αα两边平方得：21cossin21coscossin2sin22=+=++αααααα，于是：41cossin-=αα，∴16cossincossincos1sin1222222=+=+αααααα．13.51cossin=+ββ可得：251cossin21coscossin2sin22=+=++ββββββ，于是：2512cossin-=ββ，()2549cossin21cossin2=-=-ββββ，∵0cossin<ββ且πβ<<0，∴0sin>β，0cos<β．于是57cossin=-ββ．第九章三角函数的图象和性质1. A 三角正弦函数最小正周期公式2||Tπω=，正切函数最小正周期公式为||xTω=，s i n2y x=的最小正周期2||Tπω=2|2|ππ==，siny x=的最小正周期2||Tπω=22|1|ππ==，cosy x=的最小正周期2||Tπω==ππ2|1|2=，tan2xy=的最小正周期||Tπω==ππ2|21|=.故选A．2. C 若ϕ=0 则sin(20)sin2y x x=+=是奇函数；若4πϕ=，则sin(2)4y xπ=+是非奇非偶函数；若ϕ=2π，则sin(2)cos22y x xπ=+=是偶函数；若ϕ=π，则sin(2)sin 2y x x π=+=-)是奇函数, 故选C ．3. B 212s i n c o s 2y x x =-=为偶函数,故选B ．4. C 函数y=sinx 的单调递增区间[2,2]()22k k k z ππππ-+∈当1k =时为区间[]25,23ππ，故选C ． 5. A 21c o s 411c o s (2)c o s 4222x y x x +===+．由周期公式2||T πω==242ππ=，故选A ． 6. B x x x y 2c o s 414122c o s 121s i n 212-=-== 由最小正周期公式22||2T πππω===,故选B ． 7. D 由最小正周期公式:||3T ππω==,故选D ．8. B 1cos332(cos33)2y x x x x == 2(sincos3cos sin 3)66x x ππ=-)36(sin(2x -=π.所以由周期公式22||3T ππω==,最大值为2，故选B ．9. 8x π=由sin 2cos 2x x +=(2cos 2)22x x +=)24sin(2x +π=2， 所以)(2224z k k x ∈+=+πππ，2224x k πππ=-+，即 8x k ππ=+，又[]0228k x πππ-==因为在区间，上，故当时，时满足条件.10.322c o s c o s 2y x x =- ()22cos 2cos 1x x =--2112cos cos 142x x ⎛⎫=--+++ ⎪⎝⎭ 2132cos 22x ⎛⎫=--+ ⎪⎝⎭.当1cos 2x =时, y 取得最大值为32.11.2 c o s 3s i n 3y x x =+2(cos33)22x x =+cos sin 3sin ))444x x x πππ=+=-1cos(3)14x π-≤-≤因为，即 cos(3)4x π-≤， 故函数的最大值为2. 12. 13-5125sin 1213(sin cos )1313y x cox x x =+=+13(c o s s i n s i n co x x θθ=+13s i n ()x θ=+ 因为1sin()1x θ-≤+≤ ，所以1313sin()13x θ-≤+≤．故函数的最小值为13-.13. 2π 12(sin )2y x x =2(s i n c o s c o s s i n)2s i n ()333xx x πππ=-=-， 由最小正周期公式222||1T πππω===. 14. π 由最小正周期公式得22||2T πππω===． 15.（1）由题设得 b x a x y +--=sin sin 1214)2(sin 22++++-=b a a x因为2a >,所以12>a.则当01sin max =+=-=b a y x 时，, 当41sin min -=+-==b a y x 时，, 可求得2,2a b ==-.(2)当y 有最大值时，2,2x k k Z ππ=-∈；当y 有最小值时，2,2x k k Z ππ=+∈.第十章 解三角形1. 1116由余弦定理：222416911cos 222416AB CA BC A AB CA +-+-===⋅⨯⨯. 2. 5 由余弦定理：2222cos120BC AB AC AB AC =+-⋅⋅︒将已知3AB =，7BC =代入上式：21499232AC AC =++⨯⨯⨯， 化简得：04032=-+AC AC .设AC x =，则04032=-+x x ，0)8)(5(=+-x x ，解得5x =或8x =-（舍去）故5AC χ==.3. 12- 由余弦定理：222222357925491cos 22352352AB BC AC b AB BC +-+-+-====-⋅⋅⨯⨯⨯⨯.4.由正弦定理：R C c B b A a 2sin sin sin === 得C AB A BC sin sin =，即︒=︒30sin 105sin 1AB1sin105sin(6045)sin 60cos 45cos60sin 452︒=︒+︒=︒︒+︒︒==+因为所以AB =.5. D ∵222AC BC AB =+，∴ABC ∆为直角三角形，且90ABC ∠=︒，可知21sin ==AC BC A ，故选D ． 6. D 由题设180A B C ++=︒，30C =︒，故150A B +=︒， 所以23150cos )cos(sin sin cos cos -=︒=+=-B A B A B A ．故选D ． 7. B 由,,A B C 成等差数列知2B A C =+∴2180B B =︒-，由此得3180B =︒，60B =︒，故选B ． 8. C 由余弦定理：222222cos 46246cos60AC AB BC AB BC ABC =+-⋅⋅∠=+-⨯⨯⨯︒1163648282=+-⨯=，故选C ． 9. 由三角形内角和定理得1804530105C ∠=︒-︒-︒=︒. 由正弦定理，有︒=︒105sin 26.2330sin AC ， 所以0.1204.12105sin 63.11105sin 26.2321≈=︒=︒⨯=AC ．答：AC 的长约为12.0. 10. 已知60A ∠=︒，BC =，由正弦定理，有CABBC sin 60sin =︒ 即,2160sin sin ==︒BC AB C ∴612.06123.0462321sin ≈==⨯=C答：sin C 约为0.612.11. 由余弦定理，得41101522010152cos 222222-=⨯⨯-+=-+=bc a c b A ，415411cos 1sin 22=⎪⎭⎫⎝⎛--=-=A A ．∴11sin 151022S ABC bc A ∆==⨯⨯=. 12. 证明：由余弦定理，得：B ac c a b cos 2222-+= ︒-+=60cos 222ac c a=ac c a -+22.∴22()b c a a c -=-.第十一章 平面向量1. 2 a·b 11221212(,)(,)()x y x y x x y y =⋅=+=243(2)2⨯+⨯-=．2. 122y x =-+ 由于直线垂直于向量a (1,2)=,可设直线方程为12y x b =-+，又直线过 点(2,1)，代入方程得12,22b y x ==-+．3. B 由cos ||||a ba b θ⋅=得, cos θ=2425=. 4. D 由||||cos (a b a b a b θθ⋅=⋅为与向量之间夹角)知,c o s 4A BA C AB AC B A C ⋅=⋅∠=⨯ c o s 60︒⨯=. 5. D 设所求点的坐标为(,)x y ,由两点对称的坐标公式知：(1)31,022x y-++==⇒3,3x y ==-,即所求的点的坐标为(3,3)-. 6. D 由cos ||||a ba b θ⋅==2====, 所以6πθ=.7. 直线和向量(1,2)平行,所以可以设直线方程为2y x b =+， 又因为过点(6,7)，所以726b =⨯+， 求出5b =-，所以函数解析式25y x =-. 8.根据两点之间的公式d =得AB=d =AB 的距离为AB =5第十二章 直 线1. A2222)5()3()1()1(-+-=-++y x y x ,化简得04=-+y x .2. C 直线210x y +-=的斜率为12k =-，所求直线的斜率为2k '=，由点斜式方程可知 应选C ．3. 280x y +-= 直线在y 轴的正半轴上的截距为4，表明点（0，4）为该直线上的点， 由斜截式: y kx b =+ 知, 142y x =-+,化简得280x y +-=. 4. 10x y -+= 由两点式: 1121212121(,)y y x x y y x x y y x x ----=≠≠知, 214231y x --=--,化简得10x y -+=．5. 3270x y ++= 由两个直线平行知: 12k k = 且 12b b ≠ ,所以12k k ==32-,又直线过 点(1,2)--,由点斜式得， 32(1)2y x +=-+,化简得3270x y ++=． 6. 3y x =+ 由垂直平分线性质知,所求直线与线段AB 垂直且过线段AB 中点， 由题意得， 121k k =-, 15112(2)k -==--,所以21k =-,AB 中点坐标(0,3),再由点斜式得31(0)y x -=-⨯-,化简得3y x =+．7.5555)1(212)1(12222200=-++⨯-+⨯=+++=B A C By Ax d .8. 60直线2y =+的斜率为的度数为3,故倾角为60. 9. 点到直线的距离: 点00(,)x y 直线0Ax By C ++=．由点到直线的距离公式d =125d ==.10. 依题意设()y f x kx b ==+，得{(1)8(2)21f k b f k b =+=-=-+=-得{35k b ==，所以()35f x x =+，那么(11)=38f ．第十三章 圆锥曲线第一节 圆1. 225x y += 圆的一般方程： 220x y Dx Ey F ++++=, 将()()()1,3,1,0,0,3A B C --带入方程即得.2. 2220x y += 圆的标准方程: 222()()x a y b r -+-=,圆心在x 轴上0b =, 即222()x a y r -+=,再将()()1,2,1,2A B --带入即得.3. A 对2245x y x +-=进行配方化成222()()x a y b r -+-=的形式得222(2)(0)3x y -+-=,所以圆心(2,0),半径是3．4. B 由22(1)(1)4x y -+-=知圆心o (1,1),2r =,圆心到直线4330x y ++=的距离2d ==,而圆o 的半径为2，即d r =，所以相切．5. A 通过配方为标准方程: 22(4)4x y +-=,11(0,1),1o r = 22(0,4),2o r = 所以123o o =,123r r +=,两者相等,两圆外切.6. B 这条直线满足两个条件(1)圆心到它的距离等于半径;(2)过点()2,0P .7. 因为直线过原点,所以可设y kx =得出22(2)()1x kx -+=22(1)430k x x ⇒+-+=因为只有一个公共点,所以0∆=，2241612(1)0b ac k ∆=-=-+=求出k =，所以 y x =．8.2222(1)(1)16490x y x y x y -+-=+--+=⎧⎨⎩， 求出交点记为()1,2M ，92,55N ⎛⎫ ⎪⎝⎭．求出M N 两点后,可以求出M N 两点的中垂线,M N 的中点坐标是76(,)55斜率为2-，直线M N 的中垂线方程为 617()525y x -=-， 即: 210x y -+=． 又因为圆心在直线2y x =上. 所以求出圆心坐标为12(,)33，半径r ==由以上条件求出圆的方程为： 221220()()339x y -+-=.第二节 椭 圆1. 8, 6,4,和(,x =由22916144x y +=可得229161144x y +=221169x y ⇒+=(焦点在x 轴上)． 所以216a =29b =,2221697c a b =-=-=．即4,3,a b c ===长轴长28a =,短轴长26b =,离心率c e a ==准线方程2a x c ===2.221164x y += 由长半轴长为4可得4a =，2c e a ==解得c =．(2222244b a c =-=-=．焦点在x 轴上椭圆的方程22221x y a b +=数值代入得221164x y +=. 3. C 由22259225x y +=得222591225x y +=， 即221925x y +=(焦点在y 轴上)． 所以225a =即5a =，12||||210PF PF a +==．4. A 由 22159x y +=(焦点在y 轴上)可得29a =25b =， 所以222954c a b =-=-=即2c =．故焦点()()0,2,0,2-．5. C ()222214942x y x y ⎧+=⎪⎨⎪++=⎩()2222943642x y x y ⎧+=⎪⇒⎨++=⎪⎩()2222943624x y y x ⎧+=⎪⇒⎨=-+⎪⎩. ()()22942436x x ⇒+-+=．即2532960x x --=．因为()()23245960∆=--⨯⨯->所以()222214942x y x y ⎧+=⎪⎨⎪++=⎩有两组解, 交点个数2.6. A 焦点为（0，4）即可得22216c a b =-=，且焦点在y 轴上，又过点（3，0），观察比较四个选项即可得出答案为A.7. 因为关于坐标轴对称,所以可以设椭圆方程为：22221x y a b+=．又因为焦点为(0,2),( 0,-2) ，所以224b a -=，且过点，所以2221b+= ，求出答案，22148x y +=．第三节 双曲线1. 4, 2, ()()-和, 5x =±, 12y x =±. 由22416x y -=可得224116x y -=,即221164x y -=(焦点在x 轴上)． 所以2222216,4,20a b c a b ===+=。
2013年浙江专升本高等数学真题与答案解析(详细)
浙江省 2013 年选拔优秀高职高专毕业生进入本科学习统一考试高等数学请考生按规定用笔将所有试题的答案涂、写在答题纸上。
选择题部分注意事项:1.答题前,考生务必将自己的姓名、 准考证号用黑色字迹的签字笔或钢笔填写在答题纸规定的位置上。
2.每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题纸上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。
不能答在试题卷上。
一、选择题: 本大题共5小题,每小题4分,共 20分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.设()sin(cos 2),x f x x =-∞<<+∞，则此函数是 AA.有界函数B.奇函数C.偶函数D.周期函数 解：正弦函数都是有界的。
2.若函数y=f(x)是区间[1,5]上的连续函数，则该函数一定 A A.在区间[1,5]上可积 B 在区间（1,5）上有最小值 C.在区间（1,5）上可导 D.在区间（1,5）上有最大值 解：连续必定可积。
3.π0cos x xdx ⎰= DA. 0B.1C.-1D.-2解：000cos sin sin sin cos 2x xdx xd x x x xdx x πππππ==-==-⎰⎰⎰4.由曲线y =y x =所围成的平面图形的面积是 D A.3/2 B.1/2 C.1/3 D.1/6 解：交点为()()0,0,1,1，)13122002121132326S x dx x x ⎛⎫==-=-= ⎪⎝⎭⎰5.二阶微分方程263sin cos x y y y e x x '''+-=，则其特解的形式为B A 2(cos sin )x e a x b x + B.)2sin 2cos (2x b x a e x +C.2(cos sin )x xe a x b x +D.2(cos 2sin 2)xxe a x b x + 解：22363sin cos sin 22xx y y y e x x e x '''+-==，齐次方程的特征方程为：212603,2r r r r +-=⇒=-=，而2λ=，所以22ϖ±不是特征根，故选择B非选择题部分注意事项:1.用黑色字迹的签字笔或钢笔将答案写在答题纸上，不能答在试题卷上。
2013年成人高考(文史类)数学试题参考答案
……6 分
2 . 3
2 2 或 x 0 时， f ( x ) 0 ；当 0 x 时， f ( x ) 0 . 3 3 2 2 f ( x) 的单调区间为 (, 0) ， (0, ) 和 ( , ) . 3 3 2 2 f ( x) 在区间为 (, 0) 和 ( , ) 为增函数，在区间 (0, ) 为减函数. 3 3
……13 分
内部资料，请勿外传
东莞常平·刘义江
2
(23) 解：由已知得 由余弦定理得
……12 分
1 3 AB sin 60 3 3 ，所以 AB=4. 2
BC 2 AB 2 AC 2 2 AB AC cos 60
……6 分
16 9 2 4 3
1 13 2
……12 分
BC 13 .
1 1 1 (12)取 a=2，则 log a 2 log 2 2 1 0 ，而 2 2 4 1 ， 1 4 a )直线过点（0，0）和（1，-1） ，画简图（如右）知直线过第一、二、四象限 选(A) (14) a 2 a1 a 3 a 2 2a 2 a1 a3 2 6 8 a 2 4 (15) x 1 x 1 ，而 x 1 x 1 (16) x
1 3 3 2 . 2 2 2
……12 分
(25) 解：(Ⅰ) f ( x) 3 x 2 2ax . 由 f (1) 1 ，得 3 2a 1 ，所以 a 1 . 又点(1，1)在曲线上，得 1 a b 1 ，所以 b 1 . (Ⅱ) f ( x) 3 x 2 x . 令 f ( x ) 0 ，解得 x 0 或 x 当x
2013年成人高等学校招生全国统一考试数学(理工农医类)
1 2 x ，且 f (0) 0 ． 2
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共4 页
（C） y 1
（D） y 1
（8）一个正三棱锥，高为 1 ，底面三角形边长为 3 ，则这个正三棱锥的体积为 （A ）
3 3 4
（B） 3直线 y 0 垂直的直线方程为 （A ） x 2
5
（B） x 1
（C） y 2
（D） y 1
1 （D） 1 a
2
（13）直线 3x y 2 0 经过 （A）第一、二、四象限 （C）第二、三、四象限 （B）第一、二、三象限 （D）第一、三、四象限
（14）等差数列 an 中，若 a1 =2 ， a3 =6 ，则 a2 = （A ） 3 （B） 4 （C） 8 （D） 12
．
（19）已知球的一个小圆的面积为 ，球心到小圆所在平面的距离为 2 ，则这个球
第 2 页 共4 页
的表面积为
． ．
（20）函数 f ( x) 2 x3 3x 2 1 的极大值为 （21）已知随机变量 的分布列是
P
则 E ．
1
1 3
0
1
1 6
2
1 4
1 4
三、解答题：本大题共 4 小题，共 49 分．解答应写出推理、演算步骤，并将其写在答 题卡相应题号后． （22） （本小题满分 12 分） 已知公比为 q （Ⅰ）求 q ； （Ⅱ）求 an 的通项公式．
x2 y 2 1 a 2 b2
a b 0 的离心率为
1 ，且 a2 ， 2 3 ， b2 成等比数列． 2
（Ⅰ）求 C 的方程； （Ⅱ）设 C 上一点 P 的横坐标为 1 ， F1 ， F1 为 C 的左、右焦点，求 PF1 F2 的面积．
2013年浙江专升本高等数学真题与答案解析(详细)
浙江省 2013 年选拔优秀高职高专毕业生进入本科学习统一考试高等数学请考生按规定用笔将所有试题的答案涂、写在答题纸上。
选择题部分注意事项:1.答题前,考生务必将自己的姓名、 准考证号用黑色字迹的签字笔或钢笔填写在答题纸规定的位置上。
2.每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题纸上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。
不能答在试题卷上。
一、选择题: 本大题共5小题,每小题4分,共 20分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.设()sin(cos 2),x f x x =-∞<<+∞，则此函数是 AA.有界函数B.奇函数C.偶函数D.周期函数 解：正弦函数都是有界的。
2.若函数y=f(x)是区间[1,5]上的连续函数，则该函数一定 A A.在区间[1,5]上可积 B 在区间（1,5）上有最小值 C.在区间（1,5）上可导 D.在区间（1,5）上有最大值 解：连续必定可积。
3.π0cos x xdx ⎰= DA. 0B.1C.-1D.-2解：000cos sin sin sin cos 2x xdx xd x x x xdx x πππππ==-==-⎰⎰⎰4.由曲线y =y x =所围成的平面图形的面积是 D A.3/2 B.1/2 C.1/3 D.1/6 解：交点为()()0,0,1,1，)13122002121132326S x dx x x ⎛⎫==-=-= ⎪⎝⎭⎰5.二阶微分方程263sin cos x y y y e x x '''+-=，则其特解的形式为B A 2(cos sin )x e a x b x + B.)2sin 2cos (2x b x a e x +C.2(cos sin )x xe a x b x +D.2(cos 2sin 2)xxe a x b x + 解：22363sin cos sin 22xx y y y e x x e x '''+-==，齐次方程的特征方程为：212603,2r r r r +-=⇒=-=，而2λ=，所以22ϖ±不是特征根，故选择B非选择题部分注意事项:1.用黑色字迹的签字笔或钢笔将答案写在答题纸上，不能答在试题卷上。
2013年10月高等数学 附答案
由于试题为两套，所以两套都分享了，都是同道中人，请大家勿自己知道就行，别到处公布。
部分答案由于操作原因，木有啊，需要自己做了绝密★考试结束前全国2013年10月高等教育自学考试高等数学（一）试题 课程代码：00020请考生按规定用笔将所有试题的答案涂、写在答题纸上。
选择题部分注意事项：1．答题前，考生务必将自己的考试课程名称、姓名、准考证号用黑色字迹的签字笔或钢笔填写在答题纸规定的位置上。
2．每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题纸上对应题目的答案标号涂黑。
如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。
不能答在试题卷上。
一、单项选择题（本大题共5小题，每小题2分，共10分）在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其选出并将“答题 纸”的相应代码涂黑。
错涂、多涂或未涂均无分。
1．设函数()21f x x x +=+，贝f(x)= A. x (x+1) B ．x (x-1)C. (x+1) (x-2)D ．(x-1) (x+2)2．若x →0时函数f (x )为x 2的高阶无穷小量，则2()lim x f x x →= A ．0 B ．12 C ．1D ．∞3．设函数()()2931f x x x x =++，则高阶导数()(12)f x = A ．12! B ．11! C ．10!D ．04．曲线23xy x =+ A ．仅有铅直渐近线B ．仅有水平渐近线C ．既有水平渐近线又有铅直渐近线D ．无渐近线5．设函数f (x )连续，()()d a xx tf t t Φ=⎰,则()x 'Φ=A . x f (x )B ．a f (x )C ．-x f (x )D ．-a f (x )非选择题部分注意事项：用黑色字迹的签字笔或钢笔将答案写在答题纸上，不能答在试题卷上。
二、填空题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 6．设函数()21lg 7x f x -=，则f(x)的定义域为____x>1/2______. 7．极限()212lim l 2x x x→-=______E-2___．8．某商品需求量Q 与价格P 的函数关系为Q =150-2P 2，则P =6时的边际需求为__________. 9．函数()2f x x =在区间［0，1］上满足拉格朗日中值定理的中值ξ=__________．10．函数()43413f x x x =-+在区间［-1,1］上的最小值为__________．11．极限0sin lim(1)ln(1)x xx x →=++__________. 12．定积分11cos d x x x -=⎰__________.13．微分方程xy y '=的通解为__________． 14．若()3d 3e xf x x C =+⎰，则f(x)=__________． 15．设函数z=()e sin y x y -，则zy∂∂=__________． 三、计算题（一）（本大题共5小题，每小题5分，共25分） 16．讨论函数31e cos2,0()(13),x x x f x x x ⎧≥⎪-⎨⎪+<⎩在x =0处的连续性．17．设函数arcsin e x y =，求d y ． 18．求不定积分-2e d x x x ⎰．19．设函数21,01()1,0x x f x x x ⎧≥⎪+=⎨⎪+<⎩，计算定积分11()d f x x -I =⎰.20．计算二重积分d d Dx x y I =⎰⎰，其中区域D 由曲线21y y x x==，及直线x =2围成．四、计算题（二）（本大题共3小题，每小题7分，共21分） 21．设函数2011d lnarctan ,12d x x yy x x x=+=--求.22．求曲线2e x y x =的凹凸区间及拐点．23．计算定积分1202d 1x x xI =-⎰.五、应用题（本题9分）24．设某企业生产一定量的某产品时可用两种原料，第一种为x （千吨），第二种为y （千吨），其电能消耗量N （万度）与两种原料使用量的关系为222246105N x xy y x y =++--+问如何使用两种原料方可使电能消耗达到最低，并求此时的最低能耗． 六、证明题（本题5分）25．证明当x>0时，3arctan x-3x x >．绝密 ★ 考试结束前全国2013年10月高等教育自学考试高等数学(一)试题课程代码：00020试卷总体分析：第一章 第二章 第三章 第四章 第五章 第六章 合计一、单项选择题（2*5） 22 2 2 2 0 10 二、填空题（3*10）3 3 6 6 9 3 30 三、计算题（一）（5*5） 0 5 5 0 10 5 25 四、计算题(二)（7*3） 0 0 7 7 7 0 21 五、应用题（9*1） 0 0 0 0 0 9 9 六、证明题（5*1）0 0 05 0 0 5试卷详解：请考生按规定用笔将所有试题的答案涂、写在答题纸上。
2013年贵州省专升本招生统一考试《高等数学》真题及答案解析
2013年贵州省专升本招生统一考试高 等 数 学 试 卷注意事项：1.答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上，认真核对条形码上的姓名、准考证号，并将条形码粘贴在答题卡的指定位置上。
2.考生作答时，将答案答在答题卡上，在本试卷上答题无效。
考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
3.选择题部分必须使用 2B. 铅笔填涂，如需改动，用橡皮擦干净之后，再选涂其他答案标号；非选择题部分必须使用 0.5 毫米的黑字签字笔书写，字体工整、笔记清楚。
4.请按照题号顺序在各个题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。
5.保持卷面清洁，不要折叠、不要弄破，禁用涂改液、涂改胶条。
6.本试题共4页，共150分。
第I 卷（选择题）一、选择题：（本题共10个小题，每小题4分，共40分。
）1.函数()192−−=x x x f 的定义域是（ ）A.[]3,3−B.()3,3−C.[)(]3,11,3 −D.()(]3,11,3 −2.xx x x x 2314lim 323++−∞→的极限值是（ ） A.43 B.34 C.0 D.∞3.已知函数()xxx f sin 1−=，若()x f 为无穷小量，则x 的趋向必须是（ ） A.+∞→xB.−∞→xC.1→xD.0→x4.已知()x e x f −=31，则⎪⎭⎫⎝⎛''31f 是（ ） A.e 3−B.e3−C.3e D.e3 5.方程()0,012222>>=+b a b y a x 确定变量y 为x 的函数，则导数dx dy （ ）A.xb ya 22−B.ya xb 22−C.yb x a 22−D.xa yb 22−6.若函数x3为()x f 的一个原函数，则函数()=x f （ ）A.13−x x B.3ln 3xC.1311++x xD.3ln 3x 7.如()()x f x F ='，则()=−⎰dx xxf （ ） A.()C x F +−−2 B.()C x F x+−1C.()C x F+−D.()C x F +−−218.定积分()⎰'xt dt e 02（ ）A.2x eB.C ex +2C.12+x eD.12−x e9.已知函数()x f 在点0x 处可导，则下列极限中（ ）等于导数()0x f ' A ()()hx f h x f h 2lim000−+→B.()()hx f h x f h 22lim000−−→C.()()hh x f h x f h 2lim000−−+→D.()()hx f h x f h 0002lim−+→10.一阶导数=⎰10arctan xdx dxd （ ） A.0B.2πC.x arctanD.211x +第II 卷（非选择题）二、填空题（本题共10个小题，每小题4分，共40分。
2013年河南专升本高数真题+答案解析
河南省2013年普通高等学校选拔优秀本科毕业生本科阶段学习考试高等数学一、单项选择题(每小题2分，共60分)1．函数y 的定义域是（ ）A ．[]0,2B ．(1,)+∞C ．(1,2]D ．[]1,2【答案】C【解析】为使函数有意义，须有11110x x -≤-≤⎧⎨->⎩，即12x <≤，故函数的定义域为(1,2]，应选C ．2．设1()1f x x=-，那么[]{}()f f f x =（ ）A ．1xB ．11x - C ．211x- D ．x【答案】D 【解析】由1()1f x x =-得[]11()111x f f x x x-==---，[]{}1()11f f f x x x x ==-+，故选D ．3．函数()y x =-∞<<+∞是（ ）A ．偶函数B ．奇函数C ．非奇非偶函数D ．既奇又偶函数【答案】B【解析】()()f x f x -====-，即()y f x =为奇函数，故选B ．4．设sin 2()xf x x=，则0x =是()f x 的（ ）A ．连续点B ．可去间断点C ．跳跃间断点D ．无穷间断点【答案】B【解析】00sin 2lim ()lim2x x xf x x→→==，故0x =是()f x 的可去间断点，选B ．5． 当0x →）A ．xB ．2xC ．2xD ．22x【答案】A【解析】b ax ，则0lim 1b x x x x ax→→→===，则1a =，1b =，故选A ．6． 已知(0)f a '=，(0)g b '=，且(0)(0)f g =，则0()()limx f x g x x→--=（ ）A ．a b -B ．2a b +C ．a b +D ．b a -【答案】C 【解析】00()()()(0)()(0)limlim (0)(0)00x x f x g x f x f g x g f g a b x x x →→-----⎡⎤''=+=+=+⎢⎥---⎣⎦，故选C ．7．曲线cos (0,0)sin x a t a b y b t=⎧>>⎨=⎩，则4t π=对应点处的法线斜率为（ ） A ．baB ．a b C ．b a -D ．a b-【答案】B【解析】cos cot sin dy dy b t b dt t dx dx a t a dt===--，故4t π=对应点处的法线斜率为a b，应选B ．8．设()()f x g x '=，则2(sin )df x =（ ） A ．2()sin g x xdx B ．()sin 2g x xdxC ．(sin 2)g x dxD ．2(sin )sin 2g x xdx【答案】D【解析】222(sin )(sin )(sin )2sin cos df x f x dx f x x xdx ''⎡⎤==⋅⎣⎦，又()()f x g x '=，故2(sin )df x = 2(sin )sin 2g x xdx ，应选D ．9．设函数()f x 具有任意阶导数，且[]2()()f x f x '=，则()()n f x =（ ）A ．[]1!()n n f x +B ．[]1()n n f x +C ．[]1(1)()n n f x ++D ．[]1(1)!()n n f x ++【答案】A【解析】[]2()()f x f x '=，[]3()2()()2()f x f x f x f x '''==， [][]24()23()()23()f x f x f x f x ''''=⋅=⋅，()()n f x =[]1!()n n f x +，故选A ．10．由方程x y xy e +=确定的隐函数()x y 的导数dxdy=（ ）A ．(1)(1)x y y x --B ．(1)(1)y x x y --C ．(1)(1)y x x y +-D ．(1)(1)x y y x +-【答案】A【解析】方程两边对y 求导，其中x 看作y 的函数，(1)x y x y x e x +''+=+，所以dx x dy'== (1)(1)x y x y e x x y y e y x ++--=--，故选A ．11．若()0(0)f x x a ''><<，且(0)0f =，则下面成立的是（ ） A ．()0f x '> B ．()f x '在[]0,a 上单调增加C ．()0f x >D ．()f x 在[]0,a 上单调增加【答案】B【解析】()0f x ''>只能说明()f x '是[]0,a 上的增函数，而A 、C 、D 中的结论无法得到．12．点(0,1)是曲线32y x bx c =++的拐点，则（ ） A ．0b =，1c = B ．1b =-，0c =C ．1b =，1c =D ．1b =-，1c =【答案】A【解析】232y x bx '=+，62y x b ''=+，当0x =时，20y b ''==，则0b =，又曲线过点(0,1)， 即1c =，故选A ．13．曲线2216x y x x +=+--的垂直渐近线共有（ ）A ．1条B ．2条C ．3条D ．4条【答案】A 【解析】222116(2)(3)x x y x x x x ++=+=+--+-，显然2x =-为可去间断点，3lim x y →=∞，故3x =为曲线的垂直渐近线，故应选A ．14．函数()x x f x e e -=-的一个原函数是（ ） A ．()x x F x e e -=- B ．()x x F x e e -=+C ．()x x F x e e -=-D ．()x x F x e e -=--【答案】B【解析】()()x x x x f x dx e e dx e e C --=-=++⎰⎰，结合选项可知B 正确．15．若()f x '连续，则下列等式正确的是（ ） A ．()()df x f x =⎰ B ．()()d f x dx f x =⎰C ．()()f x dx f x '=⎰D ．22()()d f x dx f x dx =⎰【答案】D【解析】()()df x f x C =+⎰，A 错；()()d f x dx f x dx =⎰，B 错；()()f x dx f x C '=+⎰，C 错；22()()d f x dx f x dx =⎰，D 正确．16．2sin x xdx ππ-=⎰ （ ）A ．πB ．π-C ．1D ．0【答案】D【解析】2sin y x x =为[],ππ-上的奇函数，故2sin 0x xdx ππ-=⎰，应选D ．17．设221()x x f t dt xe ++=⎰，则()f x '=（ ）A ．x xeB ．(1)x x e -C ．(2)x x e +D ．2x xe +【答案】A【解析】方程两边对x 求导，得22(2)x x f x e xe +++=+，所以()(2)x x f x e x e =+-，()f x '=x xe ，故选A ．18．下列广义积分收敛的是（ ）A ．1dxx+∞⎰B ．1+∞⎰C ．21dx x+∞⎰D ．31ln xdxx+∞⎰【答案】C【解析】11ln dxx x+∞+∞==+∞⎰，发散；1+∞==+∞⎰，发散；12111dx x x+∞+∞=-=⎰，收敛；334111ln 1ln ln ln 4xdx xd x x x +∞+∞+∞===+∞⎰⎰，发散，故选C ．19．微分方程22()()0y y y y '''++=的阶数是（ ）A ．1B ．2C ．3D ．4【答案】B【解析】微分方程的阶数为方程中最高阶导数的阶数，故选B ．20．微分方程220dy xy dx -=满足条件(1)1y =-的特解是（ ）A ．21y x =B ．21y x =-C ．2y x =D ．2y x =-【答案】B【解析】对微分方程分类变量，得22dy xdx y =，两边积分，得21x C y-=+，代入(1)1y =-，得0C =，故方程的特解为21y x =-，应选B ．21．下列各组角中，可以作为向量的方向角的是（ ）A ．,,443πππB ．,,643πππC ．,,334πππD ．,,432πππ【答案】C【解析】向量的方向角须满足222cos cos cos 1αβγ++=，计算可知只有C 满足．22．直线124:231x y z L -+-==-与平面:2340x y z π-+-=的位置关系是（ ） A ．L 在π上 B ．L 与π垂直相交C ．L 与π平行D ．L 与π相交，但不垂直【答案】B【解析】由于直线的方向向量与平面的法向量平行，故L 与π垂直相交，应选B ．23．下列方程在空间直角坐标系中所表示的图形为柱面的是（ ） A ．22273x z y +=B ．22144x y z -=-C ．22214169x y z =--D ．2220x y x +-=【答案】D【解析】D 中，曲面在xOy 平面上的投影为圆，故D 为柱面，其他均不是，应选D ． 24．00x y →→=（ ）A ．0B ．1C ．14-D ．不存在【答案】C【解析】0014x x x y y y →→→→→→==-=-．25．设22(,23)z f x y x y =-+，则zy∂=∂（ ）A ．1223yf f ''+B ．1223yf f ''-+C ．1222xf f ''+D ．1222xf f ''-【答案】B 【解析】1212(2)323zf y f yf f y∂''''=⋅-+⋅=-+∂，故选B ．26．设222002(,)(,)x I dx f x y dy f x y dy =+⎰⎰⎰，则交换积分次序后，I 可以化为（ ） A．2(,)dy f x y dx ⎰B．222(,)x dy f x y dx ⎰⎰C．22(,)x f x y dx ⎰⎰D．202(,)dy f x y dx ⎰⎰【答案】A【解析】画出积分区域如图，交换积分次序得I=2(,)dy f x y dx ⎰，故选A ．27．积分1221dx x ydy =⎰⎰（ ）A ．2B ．13C ．12D ．0【答案】C【解析】121223110311222dx x ydy x dx x ===⎰⎰⎰．28．设是抛物线2x y =上从(0,0)O 到(1,1)A 的一段弧，则曲线积分22Lxydx x dy +=⎰（ ）A ．0B ．2C ．4D ．1【答案】D【解析】112244512(22)551Lxydx x dy y y y y dy y dy y +=⋅⋅+===⎰⎰⎰．29．幂级数1(1)n n n x ∞=+∑的收敛区间为（ ）A ．(0,1)B ．(,)-∞+∞C ．(1,1)-D ．(1,0)-【答案】C 【解析】12lim lim 11n n n na n a n ρ+→∞→∞+===+，故收敛半径1R =，收敛区间为(1,1)-．30．下列级数收敛的是（ ）A ．11(1)1nn n ∞=-+∑B ．11ln 1n n ∞=⎛⎫+ ⎪⎝⎭∑C ．11sin n n ∞=∑D ．1!nn n n ∞=∑【答案】A【解析】A 为交错级数，且1lim 01n n →∞=+，11n +单调递减，故收敛；1ln 1lim 11n n n→∞⎛⎫+ ⎪⎝⎭=，1sinlim 11n n n→∞=，而11n n ∞=∑发散，故B 、C 均发散；11(1)!1lim lim lim (1)!n n n n n n n na n n n e a n n n ρ++→∞→∞→∞++⎛⎫==⋅== ⎪+⎝⎭， 1ρ>，发散，故选A ．二、填空题(每小题2分，共20分)31．函数()f x 在点0x 有定义是极限0lim ()x x f x →存在的________条件．【答案】既不充分也不必要【解析】()f x 在点0x 有定义表明()f x 定义域中包含0x ，0lim ()x x f x →存在等价于lim ()lim ()x x x x f x f x -+→→=，二者没有什么本质的联系．32． 已知23lim 1pxx e x -→∞⎛⎫-= ⎪⎝⎭，则p =________．【答案】23【解析】(3)33233lim 1lim 1xpxp p x x e e x x -⋅---→∞→∞⎛⎫⎛⎫-=-== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故23p =．33．函数,0()cos 2,0ax e a x f x a x x x ⎧-≤=⎨+>⎩是连续函数，则a =________．【答案】12【解析】0lim ()lim()1ax x x f x e a a --→→=-=-，00lim ()lim(cos2)x x f x a x x a ++→→=+=，由()f x 的连续性，知1a a -=，即12a =．34．设函数421f x x ⎛⎫= ⎪⎝⎭，则()f x '=________．【答案】32x -【解析】421f x x ⎛⎫= ⎪⎝⎭，21()f x x =，32()f x x '=-．35．不定积分2cos 2sin xdx x x+=+⎰________．【答案】ln 2sin x x C ++ 【解析】2cos 1(2sin )ln 2sin 2sin 2sin x dx d x x x x C x x x x+=+=++++⎰⎰．36．向量{}1,0,1=a 与向量{}1,1,0=-b 的夹角是________． 【答案】23π【解析】1cos ,2⋅==-a b a b a b ，故2,3π=a b ．37．微分方程0y y x '+-=的通解是________． 【答案】1x y x Ce -=+-【解析】由一阶线性微分方程的通解公式得微分方程的通解为()()1dx dxx xxx x x y e xe dx C exe dx C exe e C x Ce ----⎛⎫⎰⎰=+=+=-+=+- ⎪⎝⎭⎰⎰，其中C 为任意常数．38．设方程220x y z xyz ++-=所确定的隐函数为(,)z z x y =，则01x y zx==∂=∂________．【答案】5-【解析】方程两边对x 求偏导，得120z z y z x x x ∂∂⎛⎫+-+= ⎪∂∂⎝⎭，012x y z ===-，代入得015x y zx==∂=-∂．39．曲面22z x y =+在点(1,2,5)处的切平面方程是________． 【答案】245x y z +-=【解析】令22(,,)F x y z x y z =+-，2x F x =，2y F y =，1z F =-，故点(1,2,5)处的切平面法向量为(2,4,1)-，所以切平面的方程为2(1)4(2)(5)0x y z -+---=，即245x y z +-=．40．将1()f x x =展开成(4)x -的幂级数是________． 【答案】10(1)(4)4nn n n x ∞+=--∑，(0,8)x ∈【解析】01(1)1n n n x x ∞==-+∑，100111114(1)()(1)(4)444444414nn n n n n n x f x x x x x ∞∞+==--⎛⎫===⋅=-=- ⎪-+-⎝⎭+∑∑，(0,8)x ∈．三、计算题(每小题5分，共50分) 41．011lim ln(1)x x x →⎡⎤-⎢⎥+⎣⎦． 【答案】12-【解析】2000001111ln(1)ln(1)111lim lim lim lim lim ln(1)ln(1)22(1)2x x x x x x x x x x x x x x x x x →→→→→-⎡⎤+-+--+-=====-⎢⎥+++⎣⎦．42．已知函数()x x y =由方程arctan yx=dx dy ．【答案】x y x y-+ 【解析】方程arctan yx =y 求导，得22211x yx y x x''-⋅=+()x y x y x '-=+，即dx x yx dy x y -'==+．43．求不定积分⎰．【答案】x C 【解析】t ，则2x t =，2dx tdt =，2222221arctan arctan arctan 111t tdt t t dt t t dt t t ⎛⎫==-=-- ⎪++⎝⎭⎰⎰⎰⎰2arctan arctan t t t t C x C =-++=．44．设21,0(),0x x x f x e x ⎧+≤⎪=⎨>⎪⎩，求31(2)f x dx -⎰．【答案】13e +【解析】3311221111(2)(2)(2)()(1)t x t f x dx f x d x f t dt t dt e dt =----=--−−−→=++⎰⎰⎰⎰⎰30111133tt t e e -⎛⎫=++=+⎪⎝⎭．45．求微分方程23x y y y e '''+-=的通解． 【答案】121232x xx y C e C ee -=++，其中12,C C 为任意常数 【解析】对应齐次方程的特征方程为2210r r +-=，特征根为11r =-，212r =，所以原方程对应齐次方程的通解为1212x xy C e C e -=+，12,C C 为任意常数， 设*x y Ae =为方程的特解，代入方程解得32A =， 故原方程的通解为121232x xx y C e C ee -=++，其中12,C C 为任意常数．46．设2sin 2xy u x y e =++，求全微分du ． 【答案】(2)(2cos2)xy xy x ye dx y xe dy +++ 【解析】2xy ux ye x∂=+∂，2cos2xy u y xe y ∂=+∂，故 (2)(2cos2)xy xy u udu dx dy x ye dx y xe dy x y∂∂=+=+++∂∂．47．一平面过点(1,0,1)-且平行于向量{}2,1,1=-a 和{}1,1,2=-b ，求此平面的方程． 【答案】534x y z --=【解析】所求平面的一个法向量为21153(1,5,3)112=-=--=---i j kn i j k ，又平面过点(1,0,1)-，所以所求平面的方程为(1)53(1)0x y z ---+=，即534x y z --=．48． 计算x yDe dxdy ⎰⎰，其中D 是由1y =，y x =，2y =，0x =所围成的闭区域．【答案】3(1)2e - 【解析】积分区域{}(,)12,0D x y y x y =≤≤≤≤，故222211113(1)(1)(1)22x x yyyDe e dxdy dy e dx y e dy e y -==-=-⋅=⎰⎰⎰⎰⎰．49．计算积分2222(210)(215)Lx xy y dx x xy y dy +-++--+⎰，其中L 为曲线cos y x =上从点,02A π⎛⎫ ⎪⎝⎭到点,02B π⎛⎫- ⎪⎝⎭的一段弧． 【答案】31012ππ--【解析】22(,)210P x y x xy y =+-+，22(,)215Q x y x xy y =--+，22P Qx y y x∂∂=-=∂∂，所以所求积分与路径无关，可以沿直线0y =积分，故32222222(210)(215)(10)1012Lxxy y dx x xy y dy x dx ππππ-+-++--+=+=--⎰⎰．50．求幂级数0(1)2(1)nn n x n ∞=-+∑的收敛域．【答案】[1,3)-【解析】112(1)1limlim 2(2)2n n n n n na n a n ++→∞→∞+==+，所以幂级数的收敛半径为2， 从而12x -<，即收敛区间为(1,3)-，当1x =-时，原级数为0(1)1n n n ∞=-+∑，收敛；当3x =时，原级数为011n n ∞=+∑，故原幂级数的收敛域为[1,3)-．四、应用题(每小题6分，共12分)51．某房地产公司有50套公寓要出租，当月租金定为2000元时，公寓会全部租出去，当月租金每增加100元时，就会多一套公寓租不出去，而租出去的公寓每月需花费200元的维修费，试问租金定为多少可获得最大收入？最大收入为多少？【答案】当租金定为3600元时，可获得最大收入，最大收入为115600元． 【解析】设租金定为x 元时对应的收入为y 元，则200050(200)100x y x -⎛⎫=-- ⎪⎝⎭，即27214000100x y x =-+-，2000x ≥，令72050x y '=-+=，得唯一驻点3600x =，且1050y ''=-<，结合实际问题，知当租金定为3600元时，可获得最大收入，最大收入为115600元．52．曲线3(0)y x x =≥，直线2x y +=以及y 轴围成一平面图形D ，试求平面图形D 绕y 轴旋转一周所得旋转体的体积． 【答案】1415π 【解析】平面图形如图阴影部分所示，所求的体积 512221323101314(2)(2)5315x V dy y dy y y πππππ=⋅+-=+-=⎰⎰．五、证明题(8分)53．设()f x 在区间[]0,1上连续，且()1f x <，证明：方程02()1xx f t dt -=⎰在区间(0,1)内有且仅有一个实根．【解析】令0()2()1xF x x f t dt =--⎰，则()F x 为[]0,1上连续函数，且(0)10F =-<，10(1)1()F f t dt =-⎰，又()1f x <，则1()1f t dt <⎰，从而(1)0F >，由零点定理知，()F x 在(0,1)内至少有一个零点，又()2()0F x f x '=->，()F x 在(0,1)上单调增加， 故方程02()1xx f t dt -=⎰在区间(0,1)内有且仅有一个实根．。
2013年专升本《高等数学》试卷及答案
考生所在学校：
考生公共课准考证 号：
注：装订线内不要 答题，个人信息不 能写到装订线外。
北京建筑大学 2013 年专升本考试高等数学试卷
题号
一
题分
30
得分
阅卷人
复核人
二
三
56
14
总分
一、选择题：（共 30 分，每题 3 分）
1.函数 y sin x 1 的定义域是( C ). A. ,0 B. 0, C. , D. ,0 0,
令y' 0得x 3
所以h 6
此时抗弯强度最大
三、应用题（共 14 分，每题 7 分）
1. 一物体作直线运动，其速度 v 1 t （单位： m / s ），试求该物体自运 动开始到 8 秒末的位移.
8
52
0
1 tdt 3
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.
x0
x
考生姓名 考生所在学校：
考生公共课准考证 号：
cos2 x
4． 求由方程 x3 y3 xБайду номын сангаас 0 所确定的隐函数 y 的导数 dy . dx
注：装订线内不要 答题，个人信息不 能写到装订线外
y 3x2 3y2 x
5． 设 y arctan ex ， 求 dy .
ex 1 e2x dx
2.极限
lim
n
1
1 n
n2
(
B
A. e B. e C. 2e
).
D.
3.下列级数中，收敛的级数是( D ).
1
A.
n1 n
1
B. sin
n 1
n
1
高考专升本高数模拟试题及答案解析1
２0１3年成人高考专升本高数模拟试题及答案解析1２013年成人高考专升本高数（一）模拟试题及答案解析一、选择题(每小题2 分，共60 分)在每小题的四个备选答案中选出一个正确答案，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．1。
函数⎪⎪⎪⎪⎪+＝43sｉn πx y 的最小正周期是（C ）。
A．π2; Ｂ。
3π； C.32π； D. ２３π。
２．函数ｘｙ 8=的反函数是（Ｃ）。
A. ）0(ｌoｇ 32>=x x ｙ；Ｂ。
x y －＝8;C． )0（ｌｏｇ 312>＝x x y ；D。
）0(8>—=xｙｘ .３．设⎪⎪⎪⎪⎪＝-，，10，1７为偶数当为奇数，当n n n x n 则（D)A. ０ｌiｍ＝∞→n ｎx ；Ｂ。
７10lim —∞→=ｎｎｘ ; C. ⎪⎪⎪＝－∞→.，１０，０lim7为偶数为奇数，n n ｘn n D．ｎ n ｘ∞→ｌｉm不存在． 4。
（）＝—→x f x x ０lim ()x ｆ xｘ+→0lｉm 是（）xｆ x x0ｌiｍ→存在的（C ）A。
充分条件但非必要条件；Ｂ。
必要条件但非充分条件；C。
充分必要条件；Ｄ.既不是充分条件也不是必要条件。
5．若ｘ是无穷小,下面说法错误的是（C ）Ａ． 2x 是无穷小 ;B。
x 2是无穷小 ;Ｃ． 00０１。
0－ｘ是无穷小;Ｄ. x-是无穷小 .6.下列极限中，值为1的是(Ｃ）A.ｘ x x siｎ．2ｌｉm π∞→B。
ｘxｘ sｉｎ。
2lｉｍ0π→Ｃ. x xｘsin ．2lim2ππ→ D. ｘｘx ｓin。
2lim ππ→7．=⎪⎪⎪⎪⎪-→xｘxｘｘsin11sin ｌｉm 0(Ａ）A。
1- Ｂ。
1 C. 0 D. 不存在解：01sin lim ０=→ｘx x ；１sin。
1lim0=→x x x ,所以.１１0sｉn 1１sin liｍ 0-=－=⎪⎪⎪⎪⎪—→x ｘｘ x x ８。
2013年专升本高数真题答案解析
浙江省2013年选拔优秀高职高专毕业生进入本科学习统一考试高等数学参考答案选择题部分一、选择题:本大题共5小题,每小题4分,共20分。
题号12345答案AADDB1.A 解析:因为1)2sin(cos1≤≤-x，所以函数)2sin(cos )(x x f =是有界函数，而且是非奇非偶函数，非周期函数，所以选项A 正确。
2.A 解析:由可积的充要条件可知，函数)(x f 在闭区间]5,1[上的连续，可推得)(x f 在闭区间]5,1[上可积，所以选项A 正确。
3.D 解析:()()2cos sin sin )(sin cos 0000-==-==⎰⎰⎰πππππx xdx x x x xd xdx x ，可见选项D 正确。
4.D 解析:根据题意可知：6121322132211231=-=-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=-⎰x dx x ，所以选项D 正确。
5.B 解析:21x e x f x 2sin 23)(2=，（利用公式x x x 2sin 21cos sin =），故设特解为:)2sin 2cos(2x b x a e y x +=*，可见选项B 正确。
非选择题部分二、填空题:本大题共10小题，每小题4分，共40分。
6.0解析:0)cos(2lim )()sin()cos(2lim 1)sin(ln lim )sin(ln lim 2022202020=-=-⋅==→→→→x x x x x x xx x x x x x x7.[]()2,(21)ππ+∈k k k z 解析:由0sin 1≤≤x ，解得()2(21)ππ≤≤+∈k x k k z 8.2-解析:000(1)(1)(1)(1)(1)(1)limlim lim ∆→∆→∆→-∆-+∆-∆--+∆=+∆∆∆x x x f x f x f x f f f x x x x0(1)(1)(1)(1)limlim 2(1)2∆→∆→-∆--+∆'=--=-=--∆-∆x x f x f f f x f x x9.yxe e y ycos 1sin sin -解析:隐函数方程求导可知，方程sin 1=+yy xe两边同时对x 求导，得：sin sin cos ''=+⋅yyy e xey y ，即：yxe e y y ycos 1sin sin -='10.C x +ln ln （C 为任意常数）解析:(ln )ln ln ln ln ==+⎰⎰dx d x x C x x x （C 为任意常数）11.1sin ⎰x xdx解析:利用定积分的定义求极限可知，原式10111122331lim (sin sin sin sin1)lim sin sin →∞→∞==+++⋅⋅⋅+=⋅=∑⎰n n n i n i i x xdxn n n n n n n n n nn 12.(1,1)-解析:2123211lim )()(lim )(x x n n x x u x u x n n n nn n =⋅+==++∞→+∞→ρ，令1)(2<=x x ρ，解得：()1,1-∈x ，因此收敛区间为：()1,1-13.])([1)()(C dx e x Q eydx x P dxx P +⎰⎰⋅-⎰=-（C 为任意常数）解析:由伯努利方程，令y z 1=，z y 1=，dxdzz dx dy ⋅-=21，所以原方程可化为：221)(1)(1z x Q z x P dx dz z ⋅=⋅+⋅-，即：)()(x Q z x P dxdz -=⋅-，由一阶线性微分方程的通解公式可得：])([)()(C dx e x Q e z dx x P dx x P +⎰⎰⋅-⎰=-，即：])([1)()(C dx e x Q eydxx P dxx P +⎰⎰⋅-⎰=-（C 为任意常数）14.0323=-+-z y x 解析:由点法式可知，平面方程为：0)1(2)0(3)1(=-+---z y x ，即：0323=-+-z y x 15.264-解析:球心坐标为：)2,0,0(，半径2=R ，球心到平面2260+-+=x y z 的距离为：64)1(12262222=-+++-=h ，故所求距离为：264-=-=R h d三、计算题：本题共有8小题，其中16-19小题每小题7分，20-23小题每小题8分，共60分。
2013年河北省专接本数学一(理工类)真题试卷(题后含答案及解析)
2013年河北省专接本数学一（理工类）真题试卷(题后含答案及解析) 题型有：1. 选择题 2. 填空题 4. 解答题 5. 综合题选择题在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的。
1．设函数f(x一1)=x2+x+1，则f(x)=( )．A．x2一x+3B．x2+3x+3C．x2—3x+3D．x2一x一3正确答案：B解析：令x一1=t，得f(t)=t2+3t+3，即f(x)=x2+3x+3．2．=( )．A．e-2B．e2C．2eD．一2e正确答案：A解析：3．函数在x=0处连续，则a=( )．A．e2B．e-1C．1D．0正确答案：C解析：根据连续义，可知极限值=函数值，所以a=1．4．已知y=f(x)是由方程ex一ey=xy所确定，则=( )．A．B．C．D．正确答案：B解析：ex一ey—xy=0，5．设有两个级数和则下列结果中正确的是( )．A．若0≤an≤bn，且收敛，则一定收敛B．若an≤bn，且收敛，则一定收敛C．若an≤bn，且发散，则一定发散D．若0≤an≤bn，且发散，则一定发散正确答案：A解析：根据正项级数的比较判别法．6．已知向量则=( )．A．一4B．一24C．4D．24正确答案：D解析：根据向量的点乘公式．7．设三为抛物线y=x2上从O(0，0)到A(1，1)的一段弧，则曲线积分∫6xydx+x2dy=( )．A．1B．0C．2D．一1正确答案：C解析：8．若行列式则=( )．A．12B．一12C．6D．一6正确答案：D解析：9．用待定系数法求微分方程y’’+2y’=3的特解时，应设特解为( )．A．y*=aB．y*=ax2C．y*=axD．y*=ax2+bx正确答案：C解析：特征方程是r2+2r=0，r1=0，r2=一2．应设特解形式为y*=Ax．10．已知矩阵方程则X=( )．A．B．C．D．正确答案：A解析：填空题11．=___________.正确答案：解析：12．若cosx为f(x)的一个原函数，则∫xf’(x)dx=__________.正确答案：一xsinx-cosx+C解析：(cosx)=f(x)，即f(x)=一sinx，∫xf’(x)dx=∫xdf(x)=xf(x)一∫f(x)dx=-xsinx-cosx+C.13．由曲线y=x3与所围成平面图形的面积为=_____________.正确答案：解析：14．一阶微分方程的通解为=___________.正确答案：ey=ex+2x2+C解析：∫eydy=∫(ex+4x)dx=ey+2x2+C15．幂级数的收敛半径为=__________.正确答案：1解析：根据幂级数的收敛半径公式．解答题解答时应写出推理、演算步骤。
2013年成人高考专升本高等数学一考试真题及参考答案
2013年成人高考专升本高等数学一考试真题及参考答案第一篇：2013年成人高考专升本高等数学一考试真题及参考答案2013年成人高考专升本高等数学一考试真题及参考答案一、选择题：每小题4分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求。
参考答案：C参考答案：A参考答案：B参考答案：D参考答案：B参考答案：A参考答案：D参考答案：B参考答案：C参考答案：A二、填空题：本大题共10小题。
每小题4分，共40分，将答案填在题中横线上。
参考答案：2e参考答案：2(x+3)参考答案：2ex-1参考答案：参考答案：sin(x+2)+C参考答案：2(e-1)参考答案：2x-y+x=0参考答案：ydx+xdy参考答案：1参考答案：π三、解答题：本大翘共8个小题，共70分。
解答应写出推理，演算步骤。
第二篇：2012年成人高考专升本高等数学一考试真题及参考答案2012年成人高考专升本高等数学一考试真题及参考答案一、选择题：每小题4分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求。
参考答案：A参考答案：C参考答案：D参考答案：A参考答案：B参考答案：D参考答案：C参考答案：B参考答案：A参考答案：B二、填空题：本大题共10小题。
每小题4分，共40分，将答案填在题中横线上。
第11题参考答案：0 第12题设y=sin(x+2)，则Y'=_________ 参考答案：cos(x+2)第13题设y=ex-3，则dy=_________．第14题参考答案：5sinx+C 第15题第16题曲线Y=x2-x在点(1，0)处的切线斜率为_________．参考答案：1 第17题设y=x3+2，则y''=__________．参考答案：6x 第18题设z=x2-y，则dz=_________．参考答案：2xdx-dy 第19题过点M(1，2，3)且与平面2x—Y+z=0平行的平面方程为_________．参考答案：2x—y+z=3 第20题参考答案：3π三、解答题：本大翘共8个小题，共70分。
13年专升本高数真题答案
2023年河南省普通高等学校选拔优秀专科毕业生进入本科阶段学习考试高等数学 解析及解析一、选择题（每小题2分,共60分）1．解析:C【解析】:易知,需满足⎩⎨⎧>-≤≤-0111x x ,即21≤<x ,故应选C.2．解析:D【解析】:因为1()1f x x =-,则()[]x x x x f f 11111-=--=,{}[()]f f f x =()[]x xx x f f =--=111,故应选D.3．解析:B【解析】:因为()x x -+21ln 为奇函数,则)y x =-∞<<+∞也为奇函数,应选B.4．解析:B 【解析】:因为22lim 2sin lim 00==→→x xxx x x ,故0x =是()f x 地可去间断点,应选B.5．解析:A【解析】:当0x →时,()1112lim 11lim00=-++=--+→→x x x xxx x x x ,则x x --+11与x 是等价无穷小量,应选A.6．解析:C【解析】:因0()()lim x f x g x x →--=()()()()()()()()b a x x g g x f x f x x g g f x f x x x +=--+-=--+-→→→0lim 0lim 00lim 000,应选C.7．解析:B【解析】:因为曲线cos (0,0)sin x a t a b y b t=⎧>>⎨=⎩,则t a b t a t b dt dx dt dy dx dy cot sin cos //-=-==,故4π=t 对应点处地法线斜率为ba,应选B.8．解析:D【解析】: 因为()()f x g x '=,则2d (sin )f x =()()xdx x g xdx x x f 2sin sin cos sin 2sin 22=',应选D.9．解析:A【解析】:设函数()f x 具有任意阶导数,且2()[()]f x f x '=,则()()()()[]322x f x f x f x f ='=''；()()[]()()[]42!332x f x f x f x f ='⨯='''；()()()[]()()[]534!4432x f x f x f x f ='⨯⨯=()()n f x =1![()]n n f x +10．解析:A【解析】:方程x yxy e+=两边对y 求导,其中x 看作y 地函数,()1+'⋅=+'+x ex y x yx ,所以()()11--=--=--=='++x y y x y xy xy x y e e x dy dx x y x y x ,应选A.11．解析:B【解析】:因为()0(0)f x x a ''><<,则()f x '在[0,]a 上单调增加,应选B.12．解析:A【解析】:点(0,1)是曲线32y x bx c =++地拐点,则()()00,10=''=y y ,故0,1b c ==,应选A.13.解析:A【解析】:因为2216x y x x +=+--()()3221-+++=x x x ,则()()543221lim 621lim 222=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+++=⎪⎭⎫ ⎝⎛--++-→-→x x x x x x x x ；()()∞=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+++=⎪⎭⎫ ⎝⎛--++→→3221lim 621lim 323x x x x x x x x ；故3=x 是曲线地垂直渐近线,应选A.14.解析:B【解析】: 因为()xxf x e e -=-,则()()C e e dx e ex F x x x x++=-=--⎰,故应选B.15.解析:D【解析】: 根据不定积分地相关性质,易知,22d ()d ()d f x x f x x =⎰正确,应选D.16．解析:D【解析】:因为x x sin 2为奇函数,故0sin 2=⎰-dx x x ππ,应选D.17．解析:A 【解析】:方程221()d x x f t t xe ++=⎰两边对x 求导,得()x x xe e x f +++=+222,则()()x x e x e x f 2-+=,故()f x '=x xe ,应选A.18．解析:C【解析】:由P 无穷广义积分地结论可知,应选C.19．解析:B【解析】:微分方程地阶数是指微分方程中最高导数地阶数,应选B.20．解析:B【解析】:对方程2d 2d 0y xy x -=分离变量,得xdx y dy 22=,两边积分,得C x y+=-21,代入(1)1y =-,0=C ,故方程地特解是21y x-=,应选B.21．解析:C【解析】:向量地方向角需满足1cos cos cos 222=++γβα,应选C.22．解析:B【解析】:直线地方向向量与平面法向量平行,故L 与π垂直相交,应选B.23．解析:D【解析】:缺少变量地二次曲面方程为柱面,应选D.24．解析:C 【解析】:00x y →→=()()41421lim 42lim 0000-=++-=++-→→→→xy xy xy xy y x y x ,应选C.25．解析:B【解析】:因为22(,23)z f x y x y =-+,则zy∂=∂1223yf f ''-+26．解析:A 【解析】:因为2 22 00 2d (, )d (, )d x I x f x y y x f x y y =+⎰⎰⎰为X 型积分,则交换积分次序后,Y 型积分地积分区域为:(){}282,20,y x y y y x -≤≤≤≤,故I可以化为2d (, )d y f x y x ⎰⎰,应选A.27.解析:C 【解析】: 积分 1221d d x x y y =⎰⎰21213121210321102=⋅=⋅⎰⎰x x ydy dx x ,应选C.28. 解析:D【解析】:L 参数方程()10,2≤≤⎩⎨⎧==y yy y x ,则22d d Lxy x x y +=⎰[]1522105141042===+⋅⋅⎰⎰y dy y dy y ydy y y,应选D.29.解析:C 【解析】:因为121lim lim 1=++=∞→+∞→n n u u n n n n ,则收敛半径1=R ,收敛区间为(1,1)-,应选C.30．解析:A【解析】:A 为交错级数,且11+n 单调递减,011lim=+∞→n n ,故收敛；B 、C 中111sinlim ,1111ln lim ==⎪⎭⎫ ⎝⎛+∞→∞→nn n n n n ,且∑∞=11n n发散,故B 、C 均发散；D 中∞=∞→!lim n n nn ,故D 发散；应选A.二、填空题（每小题2分,共20分）31．解析:既不充分也不必要【解析】:函数()f x 在点0x 有定义与极限0lim ()x x f x →存在没有关系,故为既不充分也不必要条件.32．解析:32【解析】:因为2331lim --∞→==⎪⎭⎫⎝⎛-e e x p pxx ,故p =32.33．解析:21【解析】:因为函数为连续函数,则()()a x x a a a e x axx =+-=-+-→→2cos lim ,1lim 0,得a a =-1,故21=a .34．解析:32x -【解析】:因为421f x x ⎛⎫=⎪⎝⎭,则()21x x f =,故()32x x f -='．35．解析:C x x ++sin 2ln 【解析】:2cos d 2sin x x x x +=+⎰()Cx x x x x x d ++=++⎰sin 2ln sin 2sin 236．解析:π32【解析】:21221,cos -=⋅-=⋅⋅>=<→→→→→→ba ba b a ,则32,π>=<→→b a ．37．解析:1-+=-xCex y 【解析】:由一阶线性微分方程地通解公式得,()1-+=+=⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎰⎰=---⎰⎰xxxdx dx Cex C dx xe e C dx xe e y .38．解析:-5【解析】:令()xyz z y x y x F 22,-++=,则xy F yz F z x 21,21-='-=',将1,0==y x 代入方程,则2-=z ,故52121101010-=---=''-=∂∂======y x y x z x y x xyyz F F xz.39．解析:542=-+z y x 【解析】:令()1,2,2,,,22-='='='-+=z y x F y F x F z y x z y x F ,故点()5,2,1处地切平面法向量{}1,4,2-,故切平面方程为()()()052412=---+-z y x ,即542=-+z y x .40．解析:()()nn n n x 44101-⋅-∑∞=+【解析】:()()()()∑∑∞=+∞=--=⎪⎭⎫ ⎝⎛--=-+⋅=-+==010441441414411414411n nn n nn n x x x x x x f .三、计算题（每小题5分,共50分）41．011lim ln(1)x x x →⎡⎤-⎢⎥+⎣⎦．【解析】:原式=()()()()21211lim 2111lim 1ln lim 1ln 1ln lim 200200-=+-=-+=-+=+-+→→→→x x x x x x x x x x x x x x .42．已知函数()x x y =由方程arctanyx=所确定,求d d x y .【解析】:方程两边同时对y 求导,可知,2222222222111yx y x x yx x x y x xy ++'⋅+='-⋅+,即2222y x y x x y x x y x ++'=+'-,故d d x y yx yx y x x y x x +-=+'-='=22.43.求不定积分x ⎰．【解析】:Cx x x x C t t t t dt tt t t dtt t t t tdt dx x tx tdt dx ++-=++-⋅=+-+-⋅=+-⋅==⎰⎰⎰⎰==arctan arctan arctan arctan 111arctan 1arctan arctan arctan 222222222.44．设21,0(),0x x x f x e x ⎧+≤⎪=⎨>⎪⎩,求31(2)d f x x -⎰.【解析】:()()()e e t t dt e dt t dt tf dx x f ttt x +=+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+=++==----=-⎰⎰⎰⎰3131210131001211312.45．求微分方程23xy y y e '''+-=地通解．【解析】:原方程对应地齐次方程为02=-'+''y y y ,则特征方程为0122=-+r r ,特征根为21,121=-=r r ,故原方程对应地齐次方程地通解为()为任意常数2121211,,C C e C eC y x x+=-.又知1=λ不是特征根,则原方程地特解可设为xAe y =*,代入原方程可得xxxx e Ae Ae Ae 32=-+,即23=A ,故原方程地通解为x x xe e C e C y 232121++=-.46．设2+sin2+xyu x y e =,求全微分d u ．【解析】:方法一:由题意可知,,2cos 2,2xy xy xe y yuye x x u +=∂∂+=∂∂所以()()dy xe y dx ye x dy yudx x u du xy xy +++=∂∂+∂∂=2cos 22.方法二:对等式两边同时求微分,可知()()()()dyxe y dx ye x ydx xdy e ydy xdx xy d e ydy xdx de y d dx du xy xy xy xy xy +++=+⋅++=++=++=2cos 222cos 222cos 222sin 2.47．一平面过点(1,0,1)-且平行于向量{2,1,1}a =-和{1,1,2}b =- ,求此平面方程.【解析】:由题意可知,所求平面平行于向量{2,1,1}a =-和{1,1,2}b =- ,则所求平面地法向量→→→⨯=b a n ,即{}3,5,135211112--=--=--=⨯=→→→→→→→→→k j i kj ib a n ,又知平面过点(1,0,1)-,由平面地点法式方程可知,平面方程为()()01351=+---z y x ,即435=--z y x .48．计算d d xyDex y ⎰⎰,其中D 是由1,,2,0y y x y x ====所围成地闭区域.【解析】:由题意可知,如下图所示,该区域为Y 型区域,则d d x yDex y ⎰⎰()()()1232112122121021-=-=-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛==⎰⎰⎰⎰e y e dy e y dy ye dx e dy y y x yyx.49．计算积分2222(210)d (215)d Lx xy y x x xy y y +-++--+⎰,其中L 为曲线cos y x =上从点π,02A ⎛⎫ ⎪⎝⎭到点π,02B ⎛⎫- ⎪⎝⎭一段弧.【解析】:由题意可知,()()152,,102,2222+--=+-+=y xy x y x Q y xy x y x P ,则y x xQ y x y P 22,22-=∂∂-=∂∂,即x Q y P ∂∂=∂∂,说明该曲线积分与积分路径无关,选取直线路径⎪⎭⎫ ⎝⎛-→=22:,0ππx y ,故2222(210)d (215)d Lxxy y x x xy y y +-++--+⎰()ππππππ1012103103222232--=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+=+=⎰--x x dx x .50．求幂级数0(1)2(1)nn n x n ∞=-+∑地收敛域．【解析】:该幂级数地为非标准不缺项地类型,令t x =-1,则原幂级数可变形为()∑∞=+012n n nn t ,因为()()2221121lim lim11=++=+∞←+∞←n n u u n n n n nn ,则幂级数()∑∞=+012n nn n t 地收敛半径为2=R ,故幂级数()∑∞=+012n n n n t 地收敛区间为()2,2-；当2-=t 时,级数()()∑∞=+-011n n n 收敛；当2=t 时,级数()∑∞=+011n n 收敛发散；则幂级数()∑∞=+012n n n n t 地收敛域为[)2,2-,故原幂级数0(1)2(1)nn n x n ∞=-+∑地收敛域为[)3,1-.四、应用题（每小题6分,共12分）51．某房地产公司有50套公寓要出租,当月租金定为2000元时,公寓会全部租出去,当月租金每增加100元时,就会多一套公寓租不出去,而租出去地公寓每月需花费200元地维修费,试问租金定为多少可获得最大收入?最大收入是多少?【解析】:设租金定位x 元时,收入为()x S ,则()()200100200050-⎪⎭⎫⎝⎛--=x x x S ,即()()2000,14000721002≥-+-=x x x x S ,令()07250=+-='x x S ,得唯一地驻点3600=x ,又知()0501<-=''x S ,则3600=x 为()x S 地极小值点,结合实际情况,也就是对应地最大值,所以当租金定位3600元时,有最大收入,最大收入为115600元.52．曲线3(0)y x x =≥,直线2x y +=以及y 轴围成一平面图形D ,试求平面图形D 绕y 轴旋转一周所得旋转体地体积.【解析】:由题意可知,如下图所示,该区域为X 型区域,则体积=()()ππππ151453222221053214213=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=--=--⎰⎰x x x dx x x x dx x x x .五、证明题（8分）53．设()f x 在区间[0,1]上连续,且()1f x <,证明:方程02()d 1xx f t t -=⎰在区间（0,1）内有且仅有一个实根.【证明】:存在性:令()()[]1,0,120∈--=⎰x dt t f x x F x,因为()f x 在区间[0,1]上连续,则()x F 在区间[0,1]上也连续,而且()()()()()1,011,101<>-=-=⎰x f dt t f F F ,由零点定理可知,在区间（0,1）内至少存在一点ξ,使得()0=ξF ；唯一性:因为()()()()1,02<>-='x f x f x F ,则()x F 在区间（0,1）内单调递增,故方程02()d 1xx f t t -=⎰在区间（0,1）内至多有一实根；综上所述,方程02()d 1xx f t t -=⎰在区间（0,1）内有且仅有一个实根.。
2013河南专升本真题
2013年专升本高等数学试题选拔优秀专科毕业生进入本科阶段学习考试高等数学 试卷一、单项选择题（每小题20分，共60分。
在每小题的的四个备选答案中选出一个正确答案，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选出其他答案标号.） 1.函数()11arcsin --=x x y 的定义域是 （ ）2.[]2,0.A ()+∞,1.B (]2,1.C []2,1.D =⎰⎰y d x x dx 21201 （ ）2.设xx f -=11)(，那么= （ ） x A 1. 11.-x B 211.xC - xD . 3.函数()()+∞<<∞--+=x xx y 21ln 1是 （ ）.A 偶函数 .B 奇函数 .C 非奇非偶函数 .D 既奇又偶函数4.设xxx f 2sin )(=，则0=x 是)(x f 的 （ ）.A 连续点 .B 可去间断点 .C 跳跃间断点 .D 无穷间断点5.当0→x 时，下列无穷小量中与x x --+11等价的是 （ ）.A x .B x 2 .C 2x .D 22x6.已知a f =')0(，b g =')0(，且)0()0(g f =，则=--→xx g x f x )()(lim0 （ ）.A b a - .B b a +2 .C b a + .D a b -7.曲线⎩⎨⎧>>==)0,0(sin cos b a t b y t a x ，则4π=t 对应点处的法线斜率为 （ ）a b A . b a B . a b C -. baD -. 8.设)()(x g x f ='，则=)(sin 2x df （ ）xdx x g A sin )(2.xdx x g B 2sin )(.dx x g C )2(sin .x d xx g D 2s i n )(s i n .2 9.设函数)(x f 具有任意阶倒数，且[]2)()(x f x f ='，则 =)()(x fn （ ）[]1)(!.+n x f n A []1)(.+n x f n B []1)()1.(++n x f n C D.()1][+n x f n10.由方程xy=e y x +确定的隐函数x 的导数dydx= ()A.()()x y y x --11 B.()()y x x y --11 C.()()11-+y x x y D ()()11-+x y y x 11.若()x f ''<0()a x <<0，且()00=f ，则下面成立的是 ()A ()0>'x f B.()x f '在[]a ,0上单调增加 C.()0>x f D.()x f 在[]a ,0上单调增加 12.点()1,0是曲线c bx x y ++=23的拐点，则 ()A.1,0==c bB.0,1=-=c bC.1,1==c bD.1,1=-=c b 13.曲线6212--++=x x x y 的垂直渐近线共有() A.1条 B.2条 C.3条 D.4条14.函数()x x e e x f --=的一个原函数是 ()A.()x x e e X F --= B ()x x e e x F -+= C.()x x e e x F ---= D.()x x e e x F ---= 15.若()x f '连续，则下列等式正确的是 ()A.()()⎰=x f x df B.()()x f dx x f d=⎰ C.()()x f dx x f ='⎰ D.()()dx x f dx x f d 22=⎰16. ⎰=-x d x x s i n 2ππ()A.πB.π-C.1D.0 17.设()⎰+=+xxe dt t f x 212，则()='x f ()A.x xeB.()xe x 1- C.()x e X 2+ D.2+x xe18.下列广义积分收敛的是()A.x dx⎰∞+1 B.x dx ⎰∞+1 C.21x dx⎰∞+ D.xxdx 3ln 1⎰∞+ 19.微积分方程()()022=+''+'y y y y 的阶数是 ()A1 B.2 C3 D.420.微分方程022=-dx xy dy 满足条件()11-=y 的特解是 ()A.21x y =B.21xy -= C.2x y = D.2x y -= 21.下列各组角中，可以作为向量的方向角的是 ()22.直线143221:-=-+=-z y x L 与平面0432:=-+-z y x π的位置关系是() A L 在π上 B.L 与π垂直相交C.L 与π平行D.L 与π相交，但不垂直23.下列方程在空间直角坐标系中所表示的图形柱面的是()A 22237y z x =+B 44122y x z -=-C .91614222z y x --= D 0222=-+x y x24.=+-→→xy xy y x 42lim()A.0B.1 C 41-D.不存在 25.设(),32,22y x y x f z +-=则=∂∂yz()A 2132f f y '+'B 2132f f y '+'-C 2122f f x '+'D 2122f f x '-'26.设()()⎰⎰⎰⎰-+=dy y x f x dx y x f x dx I ,08222,020222，则交换次序后，I 可以化为()A.()⎰⎰-dx y x f yydy ,28022B.()⎰⎰-dx y x f x y dy ,280222B. C.()⎰⎰-dx y x f xx dy ,2802222 D ()⎰⎰dx y x f dy ,22202 27.积分⎰⎰=ydy x dx 21201()A.2B.31 C.21D.028.设L 是抛物线2y x =上从()0,0O 到()1,1A 的一段弧，则曲线积分()⎰=+dy x xydx L22A.0B.2C.4D.129.幂级数()nn x n 11+∑∞=的收敛区间为()A.()1,0B.()+∞∞-,C.()1,1-D.()0,1-30.下列级数收敛的是()A.()1111+-∑∞=n nn B.⎪⎭⎫⎝⎛+∑∞=n n 11ln 1 C.n n 1sin 1∞=∑ D.n!n n n ∞=∑1二·填空题（每小题2分，共20分）31.函数()x f 在点0x 有定义是极限()x f ox x →lim 存在的 条件.32.已知231lim -∞→=⎪⎭⎫ ⎝⎛-e x pxx 则=p .33.函数()⎩⎨⎧>+≤-=0,2cos 0,x x x a x a e x f ax 是连续函数，则a= .34.设函数421x x f =⎪⎭⎫⎝⎛，则()='x f . 35.不定积分⎰=++dx x x xsin 2cos 2 .36.向量}{1,0,1=a 与向量}{0,1,1-=b 的夹角是 . 37.微分方程0=-+'x y y 的通解是 .38.设方程022=-++xyz z y x 所确定的隐函数为(),,y x z z =则===∂∂1y x xz .39.曲线22y x z +=在点()5,2,1出的切平面方程是 .40.将()xx f 1=展成()4-x 的幂级数是 . 三．计算题（每小题5分，共50分） 41.()⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-→x x x 1ln 11lim 042.已知函数()y x x =由方程22ln arctany x x y +=所确定，求.dy dx43.求不定积分⎰dx x arctan44.设()⎩⎨⎧>≤+=,0,0,12x e x x x f x 求全微分du45求微分方程x e y y y 32=-'+''的通解. 46.设,2sin 2xy e y x u ++=求全微分.du47.一平面过点()1,0,1-且平行于向量{}1,1,2-=a 和{},2,1,1-=b 求此平面的方程.48.计算⎰⎰Dyxdxdy e,其中D 是由0,2,,1====x y x y y 所谓成的闭区域.49.计算积分()()⎰+--++-+,1521022222dy y xy x dx y xy xL 其中L 为曲线x y cos =上从点A ⎪⎭⎫⎝⎛0,2π到点⎪⎭⎫⎝⎛-0,2πB 的一段弧. 50.求幂级数()()1210+-∑∞=n x n nn 的收敛域. 四、应用题（每小题6分，共12分）51.某方地产公司有50套公寓要出租，当月租金定为2000元时，公寓会全部租出去，当月租金每增加100元时，就会多一套公寓租不出去，而租出去的公寓每月需花费200元的维修费，试问租金定为多少可获得最大收入？最大收入是多少？52.曲线(),03≥=x x y 直线2=+y x 以及y 轴围成一平面图形,D 试求平面图形D 绕y 轴旋转一周所得旋转体的体积. 五、证明题（8分）53.设()x f 在区间[]1,0上连续，且(),1<x f 证明：方程()⎰=-102dt t f xx 在区间()1,0内有且仅有一个实根.。