高考数学一轮复习试题 123 理

高考数学一轮复习试题 123 理
(时间：40分钟满分：60分)
一、选择题(每小题5分，共25分)
1．取一根长度为4 m的绳子，拉直后在任意位置剪断，那么剪得的两段都不少于1 m的概率是( )．
A.1
4
B.
1
3
C.
1
2
D.
2
3
解析把绳子4等分，当剪断点位于中间两部分时，两段绳子都不少于1 m，故所求概率为P ＝
2
4
＝
1
2
.
答案 C
2．在长为12 cm的线段AB上任取一点M，并以线段AM为边作正方形，则这个正方形的面积介于36 cm2与81 cm2之间的概率为( )．
A.
1
4
B.
1
3
C.
4
27
D.
4
15
解析面积为36 cm2时，边长AM＝6，
面积为81 cm2时，边长AM＝9，∴P＝
9－6
12
＝
3
12
＝
1
4
.
答案 A
3．(2011·济南模拟)在如图所示的正方形中随机掷一粒豆子，
豆子落在正方形内切圆的上半圆(圆中阴影部分)中的概率是( )．
A.
1
4
B.
1
8
C.
π
4
D.
π
8
解析设正方形的边长为2，则豆子落在正方形内切圆的上半圆中的概率为
1
2
π×12
4
＝
π
8
.
答案 D
4．(2011·西安模拟)如图所示，边长为2的正方形中有一封闭曲线围成的阴影区域，在正方形中随机撒一粒豆子，它落在阴影区域内的概率为
2
3
，则阴影区域的面积为( )．
A.
4
3
B.
8
3
C.
2
3
D．无法计算
解析由几何概型知，
S阴
S 正方形
＝
2
3
，故S阴＝
2
3
×22＝
8
3
.
答案 B
5．在面积为S的△ABC的边上AB上任取一点P，则△PBC的面积大于
S
4
的概率是
( )．A.
1
4
B.
1
2
C.
3
4
D.
2
3
解析由△ABC，△PBC有公共底边BC，所以只需P位于线段BA靠近B的四分之一分点E与A 之间，这是一个几何概型，∴P＝
AE
AB
＝
3
4
.
答案 C
二、填空题(每小题4分，共12分)
6．如图，在平面直角坐标系xOy中，设D是横坐标与纵坐标的绝对值均不大于2的点构成的区域，E是到原点的距离不大于1的点构成的区域，向D中随机投一点，则落入E中的概率为________．
解析如题图所示，区域D表示边长为4的正方形的内部(含边界)，区域E表示单位圆及其内部，因此P＝
π×12
4×4
＝
π
16
.
答案
π
16
7．(2011·江西)小波通过做游戏的方式来确定周末活动，他随机地往单位圆内投掷一点，若此点到圆心的距离大于
1
2
，则周末去看电影；若此点到圆心的距离小于
1
4
，则去打篮球；否则，在家看书．则小波周末不在家看书的概率为________．
解析设A＝{小波周末去看电影}，
B＝{小波周末去打篮球}，C＝{小波周末在家看书}，
D＝{小波周末不在家看书}，如图所示，
则P(D)＝1－
1
2
2π－
1
4
2π
π
＝
13
16
.
答案
13 16
8．(2011·南京模拟)已知平面区域U＝{(x，y)|x＋y≤6，x≥0，y≥0}，A＝{(x，y)|x≤4，y≥0，x－2y≥0}，若向区域U内随机投一点P，则点P落入区域A的概率为________．
解析依题意可在平面直角坐标系中作出集合U与A所表示的平面区域(如图)，由图可知S U ＝18，S A＝4，则点P落入区域A的概率为P＝
S A
S U
＝
2
9
.
答案
2
9
三、解答题(共23分)
9．(11分)如图所示，在单位圆O的某一直径上随机的取一点Q，求过点Q且与该直径垂直的弦长长度不超过1的概率．
解弦长不超过1，即|OQ|≥
3
2
，而Q点在直径AB上是随机的，事件A＝{弦长超过1}．
由几何概型的概率公式得P(A)＝
3
2
×2
2
＝
3
2
.
∴弦长不超过1的概率为1－P(A)＝1－
3
2
.
10．(12分)已知关于x的一次函数y＝mx＋n.
(1)设集合P＝{－2，－1,1,2,3}和Q＝{－2,3}，分别从集合P和Q中随机取一个数作为m和n，求函数y＝mx＋n是增函数的概率；
(2)实数m，n满足条件
⎩⎪
⎨
⎪⎧
m＋n－1≤0，
－1≤m≤1，
－1≤n≤1，
求函数y＝mx＋n的图象经过一、二、三象限的概率．
解(1)抽取的全部结果的基本事件有：
(－2，－2)，(－2,3)，(－1，－2)，(－1,3)，(1，－2)，(1,3)，(2，－2)，(2,3)，(3，
－2)，(3,3)，共10个基本事件，设使函
数为增函数的事件为A ，则A 包含的基本事件有：(1，－2)，(1,3)，(2，－2)，(2,3)，(3，－2)，(3,3)，共6个基本事件，所以，P (A )
＝610＝3
5
.
(2)m 、n 满足条件⎩⎪⎨⎪
⎧
m ＋n －1≤0，－1≤m ≤1，
－1≤n ≤1
的区域如图所示：
要使函数的图象过一、二、三象限，则m ＞0，n ＞0，故使函数图象过一、二、三象限的(m ，
n )的区域为第一象限的阴影部分，
∴所求事件的概率为P ＝1
272
＝1
7.
B 级 综合创新备选 (时间：30分钟 满分：40分)
一、选择题(每小题5分，共10分)
1．ABCD 为长方形，AB ＝2，BC ＝1，O 为AB 的中点，在长方形ABCD 内随机取一点，取到的点到O 的距离大于1的概率为( )．
A.π4 B ．1－π4 C.π8 D ．1－π8
解析 如图，要使图中点到O 的距离大于1，
则该点需取在图中阴影部分，故概率为P ＝2－
π
22＝1－π
4.
答案 B
2．(2011·郑州模拟)分别以正方形ABCD 的四条边为直径画半圆，重叠部分如图中阴影区域所示，若向该正方形内随机投一点，则该点落在阴影区域的概率为
( )．
A.
4－π2 B.π－2
2
C.
4－π4 D.π－2
4
解析 设正方形边长为2，阴影区域的面积的一半等于半径为1的圆减去圆内接正方形的面积，即为π－2，则阴影区域的面积为2π－4，所以所求概率为P ＝2π－44＝π－22.
答案 B
二、填空题(每小题4分，共8分)
3．在区间[0,1]上任取两个数a ，b ，则关于x 的方程x 2
＋2ax ＋b 2
＝0有实数根的概率为________．
解析 由题意得Δ＝4a 2
－4b 2
≥0， ∵a ，b ∈ [0,1]，∴a ≥b .∴⎩⎪⎨⎪
⎧
0≤a ≤1，0≤b ≤1，
a ≥
b ，
画出该不
等式组表示的可行域(如图中阴影部分所示)．故所求 概率等于三角形面积与正方形面积之比，即所求概率为1
2.
答案 12
4．(2011·北京西城模拟)如图所示，在直角坐标系内，射线OT 落在30°角的终边上，任作一条射线OA ，则射线OA 落在∠yOT 内的概率为________．
解析 如题图，因为射线OA 在坐标系内是等可能分布的，则OA 落在∠yOT 内的概率为60360＝1
6.
答案 16
三、解答题(共22分)
5．(★)(10分)已知|x |≤2，|y |≤2，点P 的坐标为(x ，y )，求当x ，y ∈R 时，P 满足(x －2)2
＋(y －2)2
≤4的概率．
思路分析 由题意画出图象可求面积之比． 解 如图，点P 所在的区域为正方形ABCD 的内 部(含边界)，满足(x －2)2
＋(y －2)2
≤4的点的区域 为以(2,2)为圆心，2为半径的圆面(含边界)．
∴所求的概率P 1＝14π×224×4＝π
16
.
【点评】 解决几何概型的概率问题一般利用图形辅助解题，分析题目，找到区域，对照定义可求得结果，较好地体现了数形结合思想的重要性.
6．(12分)已知集合A ＝{－2,0,2}，B ＝{－1,1}，设M ＝{(x ，y )|x ∈A ，y ∈B }，在集合M 内随机取出一个元素(x ，y )．
(1)求以(x ，y )为坐标的点落在圆x 2
＋y 2
＝1上的概率；
(2)求以(x ，y )为坐标的点位于区域D ：⎩⎪⎨⎪
⎧
x －y ＋2≥0，x ＋y －2≤0，
y ≥－1
内(含边界)的概率．
解 (1)记“以(x ，y )为坐标的点落在圆x 2
＋y 2
＝1上” 为事件A ，则基本事件总数为6.因落在圆x 2
＋y 2
＝1上
的点有(0，－1)，(0,1)2个，即A 包含的基本事件数为2，所以P (A )＝26＝1
3.
(2)记“以(x ，y )为坐标的点位于区域内”为事件B ， 则基本事件总数为6，由图知位于区域D 内(含边界) 的点有：(－2，－1)，(2，－1)，(0，－1)，(0,1)， 共4个，即B 包含的基本事件数为4，故P (B )＝46＝2
3.。