2013高中数学 函数的基本性质专题教学案(无答案)新人教A版必修1
高中数学函数的基本性质教案人教版必修1A
1.3 函数的基本性质1.3.1 单调性与最大〔小〕值第一课时 函数的单调性三维目标定向〖知识与技能〗〔1〕结合具体函数，理解函数的单调性及其几何意义；〔2〕能利用函数图象理解和研究函数的单调性；〔3〕能利用定义判定一些简单函数的单调性。
〖过程与方法〗借助二次函数体验单调性概念的形成过程，领会数形结合的数学思想，学会运用概念进行判断推理，养成细心观察，严谨论证的良好思维习惯。
〖情感、态度与价值观〗渗透由具体到抽象的认识，通过合作交流，培养学生反思学习、善于思考的习惯。
教学重难点〖重点〗函数单调性的概念。
〖难点〗熟练运用定义判断、证明函数的单调性。
教学过程设计一、问题情境设疑引例：画出一次函数x x f =)(和二次函数2)(x x f =的图象。
〔几何画板〕问题：以上两个图象有什么特征？——“上升〞、“下降〞上升：随着x 的增大，相应的f (x )也增大；下降：随着x 的增大，相应的f (x )减小。
二、核心内容整合1、函数的单调性的概念：问题：如何用数学语言描述“随着x 的增大，相应的f (x )也增大〞？——学生探究。
增函数：如果对于定义域I 内某个区间D 上的任意两个自变量的值x 1 , x 2，当x 1 < x 2时，都有f (x 1) < f (x 2)，那么就说函数f (x )在区间D 上是增函数。
学生类比得出减函数：如果对于定义域I 内某个区间D 上的任意两个自变量的值x 1 , x 2，当x 1 < x 2时，都有f (x 1) > f (x 2)，那么就说函数f (x )在区间D 上是减函数。
〖知识提炼〗同增异减注意：〔1〕函数的单调性是在定义域内的某个区间上的性质，是函数的局部性质； 〔2〕必须是对于区间D 内的任意两个自变量x 1，x 2；当12x x <时，总有12()()f x f x <或12()()f x f x >，分别是增函数和减函数。
《3.2 函数的基本性质》最新教研教案教学设计(统编人教A版高中必修第一册)
第2课时奇偶性的应用学习目标1.掌握用奇偶性求解析式的方法.2.理解奇偶性对单调性的影响并能用以比较大小、求最值和解不等式．(知识点一 用奇偶性求解析式如果已知函数的奇偶性和一个区间 [a ，b ]上的解析式，想求关于原点的对称区间 [－b ，－a ]上的解析式，其解决思路为：(1)“求谁设谁”，即在哪个区间上求解析式，x 就应在哪个区间上设． (2)要利用已知区间的解析式进行代入．(3)利用 f(x)的奇偶性写出－f(x)或 f(－x)，从而解出 f(x)．知识点二 奇偶性与单调性若函数 f(x)为奇函数，则 f(x)在关于原点对称的两个区间[a ，b ]和[－b ，－a ]上具有相同的单调性；若函数 f(x)为偶函数，则 f(x)在关于原点对称的两个区间[a ，b ]和[－b ，－a ]上具有相 反的单调性．预习小测 自我检验1．若 f(x)的定义域为 R ，且 f(x)为奇函数，则 f(0)＝________.答案 02．若 f(x)为 R 上的奇函数，且在[0，＋∞)上单调递减，则 f(－1)________f(1)．填“>”“＝” 或“<”)答案 >解析 f(x)为 R 上的奇函数，且在[0，＋∞)上单调递减，∴f(x)在 R 上单调递减，∴f(－1)>f(1)．3．如果奇函数 f(x)在区间[－7，－3]上是减函数，那么函数 f(x)在区间[3,7]上是________函数．答案 减解析 ∵f(x)为奇函数，∴f(x)在[3,7]上的单调性与[－7，－3]上一致，∴f(x)在[3,7]上是减函f f数．4．函数 f(x)为偶函数，若 x >0 时，f(x)＝x ，则 x <0 时，f(x)＝________. 答案 －x解析 方法一 令 x <0，则－x >0，∴f(－x)＝－x ，又∵f(x)为偶函数，∴f(－x)＝f(x)，∴f(x)＝－x(x<0)．方法二 利用图象(图略)可得 x <0 时，f(x)＝－x.一、利用函数的奇偶性求解析式命题角度 1 求对称区间上的解析式例 1 函数 f(x)是定义域为 R 的奇函数，当 x >0 时，(x)＝－x ＋1，求当 x <0 时，(x)的解析式． 考点 函数奇偶性的应用题点 利用奇偶性求函数的解析式解 设 x <0，则－x >0，∴f(－x)＝－(－x)＋1＝x ＋1，又∵函数 f(x)是定义域为 R 的奇函数，∴当 x <0 时，f(x)＝－f(－x)＝－x －1.反思感悟 求给定哪个区间的解析式就设这个区间上的变量为 x ，然后把 x 转化为－x ，此时2x －1例 2 设 f(x)是偶函数，g (x)是奇函数，且 f(x)＋g (x)＝ ，求函数 f(x)，g (x)的解析式．∴f(x)－g (x)＝ ，②－x 成为了已知区间上的解析式中的变量，通过应用奇函数或偶函数的定义，适当推导，即可得所求区间上的解析式．跟踪训练 1 已知 f(x)是 R 上的奇函数，且当 x ∈(0，＋∞)时，f(x)＝x(1＋x)，求 f(x)的解析式．解 因为 x ∈(－∞，0)时，－x ∈(0，＋∞)，所以 f(－x)＝－x [1＋(－x)]＝x(x －1)．因为 f(x)是 R 上的奇函数，所以 f(x)＝－f(－x)＝－x(x －1)，x ∈(－∞，0)． f(0)＝0.⎧⎪x (1＋x )，x ≥0，所以 f(x)＝⎨⎪⎩－x (x －1)，x<0.命题角度 2 构造方程组求解析式1x －1考点 函数奇偶性的应用题点 利用奇偶性求函数的解析式解 ∵f(x)是偶函数，g (x)是奇函数，∴f(－x)＝f(x)，g (－x)＝－g (x)，由 f(x)＋g (x)＝ 1.①x －1用－x 代替 x ，得 f(－x)＋g (－x)＝ 1，－x －11 －x －1(①＋②)÷2，得 f(x)＝ 1；x 2－1x(①－②)÷2，得 g (x)＝ .反思感悟f(x)＋g (x)＝ 1对定义域内任意 x 都成立，所以可以对 x 任意赋值，如 x ＝－x.x －1利用f(x)，g(x)一奇一偶，把－x的负号或提或消，最终得到关于f(x)，g(x)的二元方程组，从中解出f(x)和g(x)．跟踪训练2设f(x)是偶函数，g(x)是奇函数，且f(x)＋g(x)＝x2＋2x，求函数f(x)，g(x)的解析式．考点函数奇偶性的应用题点利用奇偶性求函数的解析式解∵f(x)是偶函数，g(x)是奇函数，∴f(－x)＝f(x)，g(－x)＝－g(x)，由f(x)＋g(x)＝2x＋x2.①用－x代替x，得f(－x)＋g(－x)＝－2x＋(－x)2，∴f(x)－g(x)＝－2x＋x2，②(①＋②)÷2，得f(x)＝x2；(①－②)÷2，得g(x)＝2x.二、利用函数的奇偶性与单调性比较大小例3设偶函数f(x)的定义域为R，当x∈[0，＋∞)时，f(x)是增函数，则f(－2)，f(π)，f(－3)的大小关系是()A．f(π)>f(－3)>f(－2)B．f(π)>f(－2)>f(－3)C．f(π)<f(－3)<f(－2)D．f(π)<f(－2)<f(－3)答案A解析因为函数f(x)为R上的偶函数，所以f(－3)＝f(3)，f(－2)＝f(2)．又当x∈[0，＋∞)时，f(x)是增函数，且π>3>2，所以f(π)>f(3)>f(2)，故f(π)>f(－3)>f(－2)．反思感悟利用函数的奇偶性与单调性比较大小(1)自变量在同一单调区间上，直接利用函数的单调性比较大小；(2)自变量不在同一单调区间上，需利用函数的奇偶性把自变量转化到同一单调区间上，然后<0 的解集为________．利用单调性比较大小．跟踪训练 3 (1)已知偶函数 f(x)在[0，＋∞)上单调递减，则 f(1)和 f(－10)的大小关系为()A ．f(1)>f(－10)C ．f(1)＝f(－10) B ．f(1)<f(－10)D ．f(1)和 f(－10)关系不定答案 A解析 ∵f(x)是偶函数，且在[0，＋∞)上单调递减，∴f(－10)＝f(10)<f(1)．(2)定义在 R 上的奇函数 f(x)为增函数，偶函数 g (x)在区间[0，＋∞)上的图象与 f(x)的图象重合，设 a >b >0，下列不等式中成立的有________．(填序号)①f(a)>f(－b )；③g (a)>g (－b )；②f(－a)>f(b )；④g (－a)<g (b )；⑤g (－a)>f(－a)．答案 ①③⑤解析 f(x)为 R 上奇函数，增函数，且 a >b >0，∴f(a)>f(b )>f(0)＝0，又－a <－b <0，∴f(－a)<f(－b )<f(0)＝0，∴f(a)>f(b )>0>f(－b )>f(－a)，∴①正确，②错误．x ∈[0，＋∞)时，g (x)＝f(x)，∴g (x)在[0，＋∞)上单调递增，∴g (－a)＝g (a)>g (b )＝g (－b )，∴③正确，④错误．又 g (－a)＝g (a)＝f(a)>f(－a)，∴⑤正确．三、利用函数的奇偶性与单调性解不等式例 4 (1)已知 f(x)是定义在 R 上的偶函数，且在区间(－∞，0)上是增函数．若 f(－3)＝0，则f (x )x答案 {x|－3<x <0 或 x>3}解析 ∵f(x)是定义在 R 上的偶函数，且在区间(－∞，0)上是增函数，∴f(x)在区间(0，＋∞)上是减函数．∴f(3)＝f(－3)＝0.(2)已知偶函数 f(x)在区间[0，＋∞)上单调递增，则满足 f(2x －1)<f ⎝3⎭的 x 的取值范围为( )A.⎝3，3⎭B.⎣3，3⎭C.⎝2，3⎭D.⎣2，3⎭解析 由于 f(x)为偶函数，且在[0，＋∞)上单调递增，则不等式 f(2x －1)<f ⎝3⎭， 即－1<2x －1<1，解得1<x <2. 解得－1≤m<1.所以实数 m 的取值范围为⎡－1， ⎫.当 x >0 时，由 f(x)<0，解得 x >3；当 x <0 时，由 f(x)>0，解得－3<x<0.故所求解集为{x|－3<x <0 或 x>3}．⎛1⎫⎛1 2⎫⎛1 2⎫⎡1 2⎫⎡1 2⎫答案 A⎛1⎫3 33 3反思感悟 利用函数奇偶性与单调性解不等式，一般有两类(1)利用图象解不等式；(2)转化为简单不等式求解．①利用已知条件，结合函数的奇偶性，把已知不等式转化为 f(x 1)<f(x 2)或 f(x 1)>f(x 2)的形式；②根据奇函数在对称区间上的单调性一致，偶函数在对称区间上的单调性相反，脱掉不等式中的“f ”转化为简单不等式(组)求解．跟踪训练 4 设定义在[－2,2]上的奇函数 f(x)在区间[0,2]上是减函数，若 f(1－m )<f(m )，求实数 m 的取值范围．解 因为 f(x)是奇函数且 f(x)在[0,2]上是减函数，所以 f(x)在[－2,2]上是减函数．⎧⎪1－m>m ，所以不等式 f(1－m )<f(m )等价于⎨－2≤m ≤2，⎪⎩－2≤1－m ≤2，21 ⎣ 2⎭) 1．若函数f(x)是R上的偶函数，且在区间[0，＋∞)上是增函数，则下列关系成立的是( A．f(－3)>f(0)>f(1)B．f(－3)>f(1)>f(0)C．f(1)>f(0)>f(－3)D．f(1)>f(－3)>f(0)考点抽象函数单调性与奇偶性题点抽象函数单调性与不等式结合问题答案B解析∵f(－3)＝f(3)，且f(x)在区间[0，＋∞)上是增函数，∴f(－3)>f(1)>f(0)．2．定义在R上的偶函数f(x)在[0，＋∞)上是增函数，若f(a)<f(b)，则一定可得() A．a<b B．a>bC．|a|<|b|D．0≤a<b或a>b≥0考点抽象函数单调性与奇偶性题点抽象函数单调性与不等式结合问题答案C3．已知函数f(x)为偶函数，且当x<0时，f(x)＝x＋1，则x>0时，f(x)＝________.答案－x＋1解析当x>0时，－x<0，∴f(－x)＝－x＋1，又f(x)为偶函数，∴f(x)＝－x＋1.4.奇函数f(x)在区间[0，＋∞)上的图象如图，则函数f(x)的增区间为________．f答案(－∞，－1]，[1，＋∞)解析奇函数的图象关于原点对称，可知函数f(x)的增区间为(－∞，－1]，[1，＋∞)．5．已知偶函数f(x)在[0，＋∞)上单调递减，(2)＝0.若f(x－1)>0，则x的取值范围是________．答案(－1,3)解析因为f(x)是偶函数，所以f(x－1)＝f(|x－1|)．又因为f(2)＝0，所以f(x－1)>0可化为f(|x－1|)>f(2)．又因为f(x)在[0，＋∞)上单调递减，所以|x－1|<2，解得－2<x－1<2，所以－1<x<3.1．知识清单：(1)利用奇偶性，求函数的解析式．(2)利用奇偶性和单调性比较大小、解不等式．2．方法归纳：利用函数的奇偶性、单调性画出函数的简图，利用图象解不等式和比较大小，体现了数形结合思想和直观想象数学素养．3．常见误区：解不等式易忽视函数的定义域．⎩⎧⎪x 2＋x ，x ≥0，1．设函数 f(x)＝⎨且 f(x)为偶函数，则 g (－2)等于( )⎪g (x )，x <0，A ．6B ．－6C ．2D ．－2考点 函数奇偶性的应用题点 利用奇偶性求函数的解析式答案 A解析 g (－2)＝f(－2)＝f(2)＝22＋2＝6.2．如果奇函数 f(x)在区间[－3，－1]上是增函数且有最大值 5，那么函数 f(x)在区间[1,3]上是( )A ．增函数且最小值为－5B ．增函数且最大值为－5C ．减函数且最小值为－5D ．减函数且最大值为－5答案 A解析 f(x)为奇函数，∴f(x)在[1,3]上的单调性与[－3，－1]上一致且 f(1)为最小值，又已知 f(－1)＝5，∴f(－1)＝－f(1)＝5，∴f(1)＝－5，故选 A.3．已知函数 y ＝f(x)是 R 上的偶函数，且 f(x)在[0，＋∞)上是减函数，若 f(a)≥f(－2)，则 a的取值范围是()A ．a ≤－2C ．a ≤－2 或 a ≥2 B ．a ≥2D ．－2≤a ≤2答案 D解析 由 f(a)≥f(－2)得 f(|a|)≥f(2)，∴|a|≤2，∴－2≤a ≤2.4．已知函数 y ＝f(x)是偶函数，其图象与 x 轴有 4 个交点，则方程 f(x)＝0 的所有实根之和是( )A ．4B ．2C ．1D ．0答案 D解析 y ＝f(x)是偶函数，所以 y ＝f(x)的图象关于 y 轴对称，所以 f(x)＝0 的所有实根之和为 0.5．设 f(x)是 R 上的偶函数，且在(0，＋∞)上是减函数，若 x 1<0 且 x 1＋x 2>0，则() A ．f(－x 1)>f(－x 2)B ．f(－x 1)＝f(－x 2)C ．f(－x 1)<f(－x 2)D ．f(－x 1)与 f(－x 2)的大小不确定考点 抽象函数单调性与奇偶性题点 抽象函数单调性与不等式结合问题答案 A解析 ∵x 1<0，x 1＋x 2>0，∴x 2>－x 1>0，又 f(x)在(0，＋∞)上是减函数，∴f(x 2)<f(－x 1)，∵f(x)是偶函数，∴f(－x 2)＝f(x 2)<f(－x 1)．6．设 f(x)是定义在 R 上的奇函数，当 x >0 时，f(x)＝x 2＋1，则 f(－2)＋f(0)＝________.答案 －5解析 由题意知 f(－2)＝－f(2)＝－(22＋1)＝－5，f(0)＝0，∴f(－2)＋f(0)＝－5.7．已知奇函数 f(x)在区间[0，＋∞)上单调递增，则满足 f(x)<f(1)的 x 的取值范围是________．考点 抽象函数单调性与奇偶性题点 抽象函数单调性与不等式结合问题答案 (－∞，1)解析 由于 f(x)在[0，＋∞)上单调递增，且是奇函数，所以 f(x)在 R 上单调递增，f(x)<f(1)等价于 x<1.8．若 f(x)＝(m －1)x 2＋6mx ＋2 是偶函数，则 f(0)，f(1)，f(－2)从小到大的排列是________．答案 f(－2)<f(1)<f(0)解析 ∵f(x)是偶函数，∴f(－x)＝f(x)恒成立，即(m －1)x 2－6mx ＋2＝(m －1)x 2＋6mx ＋2 恒成立，∴m ＝0，即 f(x)＝－x 2＋2.∵f(x)的图象开口向下，对称轴为 y 轴，在[0，＋∞)上单调递减，∴f(2)<f(1)<f(0)，即 f(－2)<f(1)<f(0)．9．已知函数 y ＝f(x)的图象关于原点对称，且当 x >0 时，f(x)＝x 2－2x ＋3.(1)试求 f(x)在 R 上的解析式；(2)画出函数的图象，根据图象写出它的单调区间．考点 单调性与奇偶性的综合应用题点 求奇偶函数的单调区间解 (1)因为函数 f(x)的图象关于原点对称，所以 f(x)为奇函数，则 f(0)＝0.设 x <0，则－x >0，⎧⎪x －2x ＋3，x >0，10．已知函数 f(x)＝ax ＋ ＋c(a ，b ，c 是常数)是奇函数，且满足 f(1)＝ ，f(2)＝ . (2)试判断函数 f(x)在区间⎝0，2⎭上的单调性并证明． ∴－ax － ＋c ＝－ax － －c ， ∴c ＝0，∴f(x)＝ax ＋ . 因为当 x >0 时，f(x)＝x 2－2x ＋3.所以当 x <0 时，f(x)＝－f(－x)＝－(x 2＋2x ＋3)＝－x 2－2x －3.2 于是有 f(x)＝⎨0，x ＝0，⎪⎩－x 2－2x －3，x<0.(2)先画出函数在 y 轴右侧的图象，再根据对称性画出 y 轴左侧的图象，如图．由图象可知函数 f(x)的单调递增区间是(－∞，－1]，[1，＋∞)，单调递减区间是(－1,0)，(0,1)． b 5 17 x 24(1)求 a ，b ，c 的值；⎛ 1⎫考点 单调性与奇偶性的综合应用题点 判断或证明奇偶函数在某区间上的单调性解 (1)∵f(x)为奇函数，∴f(－x)＝－f(x)，b b x xb x又∵f(1)＝5，f(2)＝17， 2 4⎧ 5a ＋b ＝ ，∴a ＝2，b ＝ . (2)由(1)可知 f(x)＝2x ＋ .0， ⎫上为减函数．函数 f(x)在区间⎛1任取 0<x <x < ， 1 1则 f(x )－f(x )＝2x ＋ －2x － 2－＝(x －x )⎛2x1x 2 1 2＝(x －x ) . 0， 上为减函数．∴f(x)在⎝ 2⎭∴⎨2x 1 2x 21 2 ⎝ 2x x ⎭ ∵0<x 1<x 2< ，2 2 42 ⎩2a ＋b ＝17. 1 2综上，a ＝2，b ＝1，c ＝0. 21 2x1 ⎝ 2⎭证明如下：1 2 21 21 2 1 ⎫ 1 24x x －1 1 21∴x 1－x 2<0,2x 1x 2>0,4x 1x 2－1<0.∴f(x 1)－f(x 2)>0，即 f(x 1)>f(x 2)．⎛ 1⎫即f (x )<0， 综上使f (x )<0 的解集为(－∞，－1)∪(1，＋∞)．11．设奇函数 f(x)在(0，＋∞)上为减函数，且 f(1)＝0，则不等式f (x )－f (－x)解析 ∵f(x)为奇函数，f (x )－f (－x )x <0 的解集为(A ．(－1,0)∪(1，＋∞)B ．(－∞，－1)∪(0,1)C ．(－∞，－1)∪(1，＋∞)D ．(－1,0)∪(0,1)答案 Cx <0，x∵f(x)在(0，＋∞)上为减函数且 f(1)＝0，∴当 x >1 时，f(x)<0.∵奇函数图象关于原点对称，∴在(－∞，0)上 f(x)为减函数且 f(－1)＝0，即 x <－1 时，f(x)>0.x12．已知 f(x ＋y)＝f(x)＋f(y)对任意实数 x ，y 都成立，则函数 f(x)是( )A ．奇函数B ．偶函数C ．既是奇函数，也是偶函数 )f D ．既不是奇函数，也不是偶函数答案 A解析 令 x ＝y ＝0，所以 f(0)＝f(0)＋f(0)，所以 f(0)＝0.又因为 f(x －x)＝f(x)＋f(－x)＝0，所以 f(－x)＝－f(x)，所以 f(x)是奇函数，故选 A.13．已知 y ＝f(x)＋x 2 是奇函数且 f(1)＝1，若 g (x)＝f(x)＋2，则 g (－1)＝________.考点 函数奇偶性的应用题点 利用奇偶性求函数值答案 －1解析 ∵y ＝f(x)＋x 2 是奇函数，∴f(－x)＋(－x)2＝－[f(x)＋x 2]，∴f(x)＋f(－x)＋2x 2＝0，∴f(1)＋f(－1)＋2＝0.∵f(1)＝1，∴f(－1)＝－3.∵g (x)＝f(x)＋2，∴g (－1)＝f(－1)＋2＝－3＋2＝－1.14．已知定义在 R 上的函数 f(x)满足 f(1－x)＝f(1＋x)，且 f(x)在[1，＋∞)上为单调减函数，则当 x ＝________时，(x)取得最大值；若不等式 f(0)<f(m )成立，则 m 的取值范围是________．答案 1 (0,2)解析 由 f(1－x)＝f(1＋x)知，f(x)的图象关于直线 x ＝1 对称，又 f(x)在(1，＋∞)上单调递减，则 f(x)在(－∞，1]上单调递增，所以当 x ＝1 时 f(x)取到最大值．由对称性可知 f(0)＝f(2)，所 以 f(0)<f(m )，得 0<m <2，即 m 的取值范围为(0,2)．a ＋b15．已知 f(x)，g (x)分别是定义在 R 上的偶函数和奇函数，且 f(x)－g (x)＝x 3＋x 2＋1，则 f(1)＋g (1)等于( )A ．－3B ．－1C ．1D ．3考点 函数奇偶性的应用题点 利用奇偶性求函数的解析式答案 C解析 ∵f(x)－g (x)＝x 3＋x 2＋1，∴f(－x)－g (－x)＝－x 3＋x 2＋1.∵f(x)是偶函数，g (x)是奇函数，∴f(－x)＝f(x)，g (－x)＝－g (x)．∴f(x)＋g (x)＝－x 3＋x 2＋1.∴f(1)＋g (1)＝－1＋1＋1＝1.f (a )＋f (b ) 16．设 f(x)是定义在 R 上的奇函数，且对任意 a ，b ∈R ，当 a ＋b ≠0 时，都有 >0.(1)若 a >b ，试比较 f(a)与 f(b )的大小关系；(2)若 f(1＋m )＋f(3－2m )≥0，求实数 m 的取值范围．解 (1)因为 a >b ，所以 a －b >0，f (a )＋f (－b ) 由题意得 >0， a －b所以 f(a)＋f(－b )>0.又f(x)是定义在R上的奇函数，所以f(－b)＝－f(b)，所以f(a)－f(b)>0，即f(a)>f(b)．(2)由(1)知f(x)为R上的单调递增函数，因为f(1＋m)＋f(3－2m)≥0，所以f(1＋m)≥－f(3－2m)，即f(1＋m)≥f(2m－3)，所以1＋m≥2m－3，所以m≤4.所以实数m的取值范围为(－∞，4]．。
高中数学 13 函数的基本性质 2 函数的奇偶性学案 新人教A版必修1 学案
函数的奇偶性●知识梳理1.奇函数：对于函数f（x）的定义域内任意一个x，都有f（－x）=－f（x）〔或f（x）+f（－x）=0〕，则称f（x）为奇函数.2.偶函数：对于函数f（x）的定义域内任意一个x，都有f（－x）=f（x）〔或f（x）－f（－x）=0〕，则称f（x）为偶函数.3.奇、偶函数的性质（1）具有奇偶性的函数，其定义域关于原点对称（也就是说，函数为奇函数或偶函数的必要条件是其定义域关于原点对称）.（2）奇函数的图象关于原点对称，偶函数的图象关于y轴对称.（3）若奇函数的定义域包含数0，则f（0）=0.（4）奇函数的反函数也为奇函数.（5）定义在（－∞，+∞）上的任意函数f（x）都可以唯一表示成一个奇函数与一个偶函数之和.●点击双基1.下面四个结论中，正确命题的个数是①偶函数的图象一定与y轴相交②奇函数的图象一定通过原点③偶函数的图象关于y轴对称④既是奇函数，又是偶函数的函数一定是f（x）=0（x∈R）A.1B.2C.3解析：①不对；②不对，因为奇函数的定义域可能不包含原点；③正确；④不对，既是奇函数又是偶函数的函数可以为f（x）=0〔x∈（－a，a）〕.答案：Af（x）=ax2＋bx＋c（a≠0）是偶函数，那么g（x）=ax3＋bx2＋cx是A.奇函数解析：由f（x）为偶函数，知b=0，有g（x）=ax3＋cx（a≠0）为奇函数.答案：Af （x ）在区间［－1，0］上是减函数，α、β是锐角三角形的两个内角，且α≠β，则下列不等式中正确的是A.f （cos α）＞f （cos β）B.f （sin α）＞f （cos β）C.f （sin α）＞f （sin β）D.f （cos α）＞f （sin β）解析：∵偶函数f （x ）在区间［－1，0］上是减函数，∴f （x α、β是锐角三角形的两个内角， ∴α+β＞90°，α＞90°－β.1＞sin α＞cos β＞0.∴f （sin α）＞f （cos β）.答案：Bf （x ）＝ax 2＋bx ＋3a ＋b 是偶函数，且其定义域为［a －1，2a ］，则a ＝___________，b ＝___________. 解析：定义域应关于原点对称，故有a －1＝－2a ，得a ＝31. 又对于所给解析式，要使f （－x ）＝f （x ）恒成立，应b ＝0. 答案：31 0 5.给定函数:①y=x 1（x ≠0）；②y=x 2+1；③y=2x ；④y=log 2x ；⑤y=log 2（x+12 x ）. 在这五个函数中，奇函数是_________，偶函数是_________，非奇非偶函数是__________. 答案：①⑤②③④●典例剖析【例1】 已知函数y=f （x ）是偶函数，y=f （x －2）在［0，2］上是单调减函数，则A.f （0）＜f （－1）＜f （2）B.f （－1）＜f （0）＜f （2）C.f （－1）＜f （2）＜f （0）D.f （2）＜f （－1）＜f （0）剖析：由f （x －2）在［0，2］上单调递减，∴f （x ）在［－2，0］上单调递减.∵y=f （x ）是偶函数，∴f （x ）在［0，2］上单调递增.又f （－1）=f （1），故应选A.答案：A【例2】 判断下列函数的奇偶性：（1）f （x ）=|x+1|－|x －1|；（2）f （x ）=（x －1）·xx -+11； （3）f （x ）=2|2|12-+-x x ； （4）f （x ）=⎩⎨⎧>+<-).0()1(),0()1(x x x x x x 剖析：根据函数奇偶性的定义进行判断.解：（1）函数的定义域x ∈（－∞，+∞），对称于原点.∵f （－x ）=|－x+1|－|－x －1|=|x －1|－|x+1|=－（|x+1|－|x －1|）=－f （x ），∴f （x ）=|x+1|－|x －1|是奇函数.xx -+11≥0，得－1≤x ＜1，其定义域不对称于原点，所以f （x ）既不是奇函数也不是偶函数. （3）去掉绝对值符号，根据定义判断.由⎩⎨⎧≠-+≥-,02|2|,012x x 得⎩⎨⎧-≠≠≤≤-.40,11x x x 且 故f （x ）的定义域为［－1，0）∪（0，1］，关于原点对称，且有xf （x ）=2212-+-x x =xx 21-，这时有f （－x ）=x x ---2)(1=－xx 21-=－f （x ），故f （x ）为奇函数. （4）∵函数f （x ）的定义域是（－∞，0）∪（0，+∞），并且当x ＞0时，－x ＜0，∴f （－x ）=（－x ）［1－（－x ）］=－x （1+x ）=－f （x ）（x ＞0）.当x ＜0时，－x ＞0，∴f （－x ）=－x （1－x ）=－f （x ）（x ＜0）.故函数f （x ）为奇函数.评述：（1）分段函数的奇偶性应分段证明.（2）判断函数的奇偶性应先求定义域再化简函数解析式.【例3】 （2005年东城区模拟题）函数f （x ）的定义域为D={x|x ≠0}，且满足对于任意x 1、x 2∈D ，有f （x 1·x 2）=f （x 1）+f （x 2）.（1）求f （1）的值；（2）判断f （x ）的奇偶性并证明；（3）如果f （4）=1，f （3x+1）+f （2x －6）≤3，且f （x ）在（0，+∞）上是增函数，求x 的取值X 围.（1）解：令x 1=x 2=1，有f （1×1）=f （1）+f （1），解得f （1）=0.（2）证明：令x 1=x 2=－1，有f ［（－1）×（－1）］=f （－1）+f （－1）.解得f （－1）=0. 令x 1=－1，x 2=x ，有f （－x ）=f （－1）+f （x ），∴f （－x ）=f （x ）.∴f （x ）为偶函数.（3）解：f （4×4）=f （4）+f （4）=2，f （16×4）=f （16）+f （4）=3.∴f （3x+1）+f （2x －6）≤3即f ［（3x+1）（2x －6）］≤f （64）.（*）∵f （x ）在（0，+∞）上是增函数，∴（*）等价于不等式组⎩⎨⎧≤-+>-+64)62)(13(,0)62)(13(x x x x 或⎩⎨⎧≤-+-<-+,64)62)(13(,0)62)(13(x x x x 或⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≤≤--<>537,313x x x 或或⎪⎩⎪⎨⎧∈<<-.,331R x x ∴3＜x ≤5或－37≤x ＜－31或－31＜x ＜3. ∴x 的取值X 围为{x|－37≤x ＜－31或－31＜x ＜3或3＜x ≤5}. 评述：解答本题易出现如下思维障碍：（1）无从下手，不知如何脱掉“f ”.解决办法:利用函数的单调性.（2）无法得到另一个不等式.解决办法：关于原点对称的两个区间上，奇函数的单调性相同，偶函数的单调性相反.深化拓展已知f （x ）、g （x ）都是奇函数，f （x ）＞0的解集是（a 2，b ），g （x ）＞0的解集是（22a ，2b ），2b ＞a 2，那么f （x ）·g （x ）＞0的解集是 A.（22a ，2b ）B.（－b ，－a 2） C.（a 2，2b ）∪（－2b ，－a 2）D.（22a ，b ）∪（－b 2，－a 2） 提示：f （x ）·g （x ）＞0⇔⎩⎨⎧>>0)(,0)(x g x f 或⎩⎨⎧<<.0)(,0)(x g x f ∴x ∈（a 2，2b ）∪（－2b ，－a 2）. 答案：C【例4】 （2004年某某模拟题）已知函数f （x ）=x+x p +m （p ≠0）是奇函数. （1）求m 的值.（2）（理）当x ∈［1，2］时，求f （x ）的最大值和最小值.（文）若p ＞1，当x ∈［1，2］时，求f （x ）的最大值和最小值.解：（1）∵f （x ）是奇函数，∴f （－x ）=－f （x ）.∴－x －x p +m=－x －xp －m. ∴2m=0.∴m=0.（2）（理）（ⅰ）当p ＜0时，据定义可证明f （x ）在［1，2］上为增函数.∴f （x ）max =f （2）=2+2p ，f （x ）min =f （1）=1+p. （ⅱ）当p ＞0时，据定义可证明f （x ）在（0，p ］上是减函数，在［p ，+∞）上是增函数. ①当p ＜1，即0＜p ＜1时，f （x ）在［1，2］上为增函数，∴f （x ）max =f （2）=2+2p ，f （x ）min =f （1）=1+p. ②当p ∈［1，2］时，f （x ）在［1，p ］上是减函数.在［p ，2］上是增函数.f （x ）min =f （p ）=2p .f （x ）max =max{f （1），f （2）}=max{1+p ，2+2p }. 当1≤p ≤2时，1+p ≤2+2p ，f （x ）max =f （2）；当2＜p ≤4时，1+p ≥2+2p ，f （x ）max =f （1）. ③当p ＞2，即p ＞4时，f （x ）在［1，2］上为减函数，∴f （x ）max =f （1）=1+p ，f （x ）min =f（2）=2+2p . （文）解答略.评述：f （x ）=x+xp （p ＞0）的单调性是一重要问题，利用单调性求最值是重要方法.函数的基本性质要点精讲1．奇偶性（1）定义：如果对于函数f(x)定义域内的任意x 都有f(－x)=－f(x)，则称f(x)为奇函数；如果对于函数f(x)定义域内的任意x 都有f(－x)=f(x)，则称f(x)为偶函数。
高中数学《函数的基本性质》教案1新人教A版必修1
高中数学《函数的基本性质》教案1新人教A版必修1课题：§1.3.1函数的单调性及最大、小值教学目的⑴通过已学过的函数特别是二次函数，理解函数的单调性及其几何意义；⑵学会运用函数图象理解和研究函数的性质；⑶够熟练应用定义判断数在某区间上的的单调性．⑷理解函数的最大（小）值及其几何意义；⑸学会运用函数图象理解和研究函数的性质；教学重点函数的单调性及其几何意义．函数的最大（小）值及其几何意义．教学难点利用函数的单调性定义判断、证明函数的单调性．利用函数的单调性求函数的最大（小）值．引入课题⑴观察下列各个函数的图象，并说说它们分别反映了相应函数的哪些变化规律：yyy11某-1-111某-1-111某-1-1①随某的增大，y的值有什么变化？②能否看出函数的最大（小）值？③函数图象是否具有某种对称性？y⑵画出下列函数的图象，观察其变化规律：①f(某)=某1从左至右图象上升还是下降______○2在区间____________上，随着某的增○大，f(某)的值随着________．②f(某)=-2某+11从左至右图象上升还是下降______○2在区间____________上，随着某的增○大，f(某)的值随着________．③f(某)=某21在区间____________上，f(某)的值随○着某的增大而________．2在区间____________上，f(某)的值随○着某的增大而________．y1-1-11某1-11-1某y1-1-11某新课教学一、增（减）函数的定义⑴设函数yf(某)的定义域是Ｉ，区间DI，某1,某2D，当某1某2时，都有f(某1)f(某2)成立，则称f(某)在区间D上是增函数，如图⑴．．．⑵设函数yf(某)的定义域是Ｉ，区间DI，某1,某2D，当某1某2时，都有f(某1)f(某2)成立，则称f(某)在区间D上是减函数，如图⑵．．．注意：①函数的单调性是在定义域内的某个区间上的性质，是函数的局部性质；②必须是对于区间D内的任意两个自变量某1，某2；当某1二、函数的单调性定义及判断步骤⑴单调区间：函数f(某)在区间D上是增函数或减函数，我们就称函数f(某)在这个区间D具有（严格的）单调性，区间D是这个函数的单调区间。
高中数学《函数的基本性质》教案12 新人教A版必修1
函数的单调性与最大〔小〕值〔1〕设计理念新课标指出：“感知数学，体验数学〞是人类生活的一部分，是人类生活劳动和学习不可缺少的工具。
课程内容应与学生生活实际紧密联系，从而让学生感悟到生活中处处有数学，进而有利于数学学习的生活化、情境化。
因此我在教学“交通与数学〞这一节内容的过程中，从实际生活中的实例出发，让学生感受到交通与数学的密切联系，体会到教学在实际生活中的应用，并学会运用所学的知识解决实际生活中的简单的问题。
这样就充分表达学生的主体地位，充分提供让学生独立思考的机会。
本节内容是在学生已经学习和掌握了一位数乘三位数的乘法计算和搭配方法等数学知识的基础上进行教学的。
其目的在于引导学生将学过的知识与生活实际联系起来，综合运用，提高解决问题的能力。
因此，在教学中我尝试以“交通〞为主线，设计密切联系学生实际生活的学习情境；在整个设计中，我始终引导学生在生活情境中提出问题，解决问题，这些都是和学生息息相关的生活问题，因此学生始终能保持较高的学习兴趣，乐于将自己的想法与他人交流，积极性很高。
教学内容：本节课是《普通高中课程标准实验教科书.数学1》〔人教版A〕第一章第三节第一课时〔〕《单调性与最大〔小〕值》。
教学目标：1、理解函数单调性的概念，并能判断一些简单函数在给定区间上的单调性；2、启发学生发现问题和提出问题，培养学生分析问题、认识问题和解决问题的能力；3、通过观察——猜想——推理——证明这一重要的思想方法，进一步培养学生的逻辑推理能力和创新意识。
4、通过数形结合的数学思想，对学生进行辩证唯物主义的思想教育。
学情与教材分析：本节课是第一课时。
根据实际情况，将1.3.1划分为三节课〔函数的单调性，函数单调性的应用，函数的最大〔小〕值〕，这是第一节课“函数的单调性〞。
函数的单调性是函数的最重要的基本性质之一，它不仅是求函数最大值与最小值的基础，同时在研究函数及实际生活中的函数问题都有着广泛的应用，所以要重点研究函数的单调性。
高中数学 13函数的性质教案 新人教A版必修1 教案
1.3 函数的基本性质1.3.1 单调性与最大(小)值第一课时函数的单调性学习目标要求：1.理解函数单调性的概念；2.掌握判断函数单调性的一般方法；3.体验数形结合思想在函数性质研究中的价值，掌握其应用。
一、函数单调性的概念1：增函数(1)定义：设函数f(x)的定义域为I，如果对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量的值x1、x 2，当x1<x2时，都有f(x1)<f(x2)，那么就说函数f(x)在区间D上是增函数，区间D称为函数f(x)的单调递增区间。
(2)几何意义：函数f(x)的图象在区间D上是上升的，如图所示：2：减函数(1)定义：设函数f(x)的定义域为I，如果对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量的值x1、x2，当x1<x2时，都有f(x1)>f(x2)，那么就说函数f(x)在区间D上是减函数，区间D称为函数f(x)的单调递减区间。
(2)几何意义：函数f(x)的图象在区间D上是下降的，如图所示：3：单调性与单调区间定义：如果函数y=f(x)在区间D上是增函数或减函数，那么就说函数y=f(x)在这一区间具有(严格的)单调性，区间D叫做y=f(x)的单调区间。
思考：(1)单调性是函数在定义域上的“整体”性质吗?不是，由定义中“定义域I内某个区间D”知函数的单调递增区间或单调递减区间是其定义域的子集，这说明单调性是与“区间”紧密相关的，一个函数在定义域的不同区间可以有不同的单调性。
(2)定义中的“x1、x2”具备什么特征?定义中的x1、x2有以下几个特征：一是任意性，即任意取x1,x2，证明单调性时更不可随意以两个特殊值替换；二是有大小，通常规定x1<x2；三是属于同一个单调递增区间或单调递减区间。
(3)增(减)函数定义的核心是一组不等关系,据此你还能得出什么结论?f(x2)-f(x1)x2-x1f(x2)-f(x1)x2-x1增函数有>0,减函数有<0二、判断函数单调性的一般方法(1)定义法：利用定义严格判断。
高中数学人教A版必修1教案-1.3_函数的基本性质_教学设计_教案
教学准备1. 教学目标求函数值域的方法①直接法：从自变量x的范围出发，推出y=f(x)的取值范围；②二次函数法：利用换元法将函数转化为二次函数求值域；③反函数法：将求函数的值域转化为求它的反函数的定义域；④判别式法：运用方程思想，依据二次方程有根，求出y的取值范围；⑤单调性法：利用函数的单调性求值域；⑥不等式法：利用平均不等式求值域；⑦图象法：当一个函数图象可作时，通过图象可求其值域；⑧求导法：当一个函数在定义域上可导时，可据其导数求最值，再得值域；⑨几何意义法：由数形结合，转化斜率、距离等求值域。
2. 教学重点/难点求函数值域的方法①直接法：从自变量x的范围出发，推出y=f(x)的取值范围；②二次函数法：利用换元法将函数转化为二次函数求值域；③反函数法：将求函数的值域转化为求它的反函数的定义域；④判别式法：运用方程思想，依据二次方程有根，求出y的取值范围；⑤单调性法：利用函数的单调性求值域；⑥不等式法：利用平均不等式求值域；⑦图象法：当一个函数图象可作时，通过图象可求其值域；⑧求导法：当一个函数在定义域上可导时，可据其导数求最值，再得值域；⑨几何意义法：由数形结合，转化斜率、距离等求值域。
3. 教学用具4. 标签教学过程一．知识点1．函数的值域的定义在函数y=f(x)中，与自变量x的值对应的y的值叫做函数值，函数值的集合叫做函数的值域。
2．确定函数的值域的原则①当函数y=f(x)用表格给出时，函数的值域是指表格中实数y的集合；②当函数y=f(x)用图象给出时，函数的值域是指图象在y轴上的投影所覆盖的实数y的集合；③当函数y=f(x)用解析式给出时，函数的值域由函数的定义域及其对应法则唯一确定；④当函数y=f(x)由实际问题给出时，函数的值域由问题的实际意义确定。
3．求函数值域的方法①直接法：从自变量x的范围出发，推出y=f(x)的取值范围；②二次函数法：利用换元法将函数转化为二次函数求值域；③反函数法：将求函数的值域转化为求它的反函数的定义域；④判别式法：运用方程思想，依据二次方程有根，求出y的取值范围；⑤单调性法：利用函数的单调性求值域；⑥不等式法：利用平均不等式求值域；⑦图象法：当一个函数图象可作时，通过图象可求其值域；⑧求导法：当一个函数在定义域上可导时，可据其导数求最值，再得值域；⑨几何意义法：由数形结合，转化斜率、距离等求值域。
函数的基本性质(人教高中课标必修模块一精品教案)
《函数单调性》教学设计基于函数单调性概念是高中教材中形式化程度较强，学生较难理解以及要让学生充分了解概念后面所蕴涵的数学思想的主张，笔者以“数学本原性问题驱动”数学概念教学为指导理念，在对函数单调性概念在高中教材中的地位和作用进行详细分析的基础上进行了新的教学设计及课堂实录。
◆教材分析教材的地位和作用《函数的单调性》是《高中数学人教A版》（必修1）第一章1.31节的内容。
它既是在学生学过函数概念等知识后的延续和拓展，又是后面研究指数函数、对数函数、三角函数等各类函数的单调性的基础，在整个高中数学中起着承上启下的作用。
研究函数单调性的过程体现了数学的数形结合和归纳转化的思想方法，反映了从特殊到一般的数学归纳思维形式，这对培养学生的创新意识、发展学生的思维能力，掌握数学的思想方法具有重大意义。
函数的单调性是函数的四个基本性质之一,在比较几个数的大小、对函数作定性分析（求函数的值域、最值，求函数解析式的参数范围、绘函数图象）以及与不等式等其它知识的综合应用上都有广泛的应用；同时在这一节中利用函数图象来研究函数性质的数形结合的思想将贯穿于我们整个高中数学教学。
教材的重点与难点教学重点：（1）领会函数单调性概念，体验函数单调性的形式化过程，深刻理解函数单调性的本质，并明确单调性是一个局部概念；（2）函数单调性概念的应用教学难点：突破抽象，深刻理解函数单调性形式化的概念。
◆教学目标分析根据新课标的要求和教学内容的结构特征，依据学生学习认知的心理规律和素质教育的要求，结合学生的实际水平，本节课教学目标如下：知识目标：（1）从本质上理解函数单调性概念；（2）运用形式化的函数单调性概念进行判断与应用。
能力目标：（1）培养学生的观察能力，分析归纳能力，领会归纳转化的思想方法。
（2）使学生体验和理解从特殊到一般的数学归纳推理思维方式。
（3）培养学生从具体到抽象的能力。
情感目标：（1）培养学生主动探索、不畏困难、敢于创新的意识和精神。
高中数学《函数的基本性质》教案3 新人教A版必修1
§1.3.1函数的单调性一、教学目标1、知识与技能：（1）建立增（减）函数的概念通过观察一些函数图象的特征，形成增（减）函数的直观认识. 再通过具体函数值的大小比较，认识函数值随自变量的增大（减小）的规律，由此得出增（减）函数单调性的定义 . 掌握用定义证明函数单调性的步骤。
（2）函数单调性的研究经历了从直观到抽象，以图识数的过程，在这个过程中，让学生通过自主探究活动，体验数学概念的形成过程的真谛。
2、过程与方法（1）通过已学过的函数特别是二次函数，理解函数的单调性及其几何意义； （2）学会运用函数图象理解和研究函数的性质；（3）能够熟练应用定义判断与证明函数在某区间上的单调性．3、情态与价值，使学生感到学习函数单调性的必要性与重要性，增强学习 函数的紧迫感.二、教学重点与难点重点：函数的单调性及其几何意义．难点：利用函数的单调性定义判断、证明函数的单调性． 三、学法与教学用具1、从观察具体函数图象引入，直观认识增减函数，利用这定义证明函数单调性。
通过练习、交流反馈，巩固从而完成本节课的教学目标。
2、教学用具：投影仪、计算机. 四、教学思路：（一）创设情景，揭示课题1． 观察下列各个函数的图象，并说说它们分别反映了相应函数的哪些变化规律：○1 随x 的增大，y 的值有什么变化？ ○2 能否看出函数的最大、最小值？ ○3 函数图象是否具有某种对称性？ 2． 画出下列函数的图象，观察其变化规律：（1）f(x) = x○1 从左至右图象上升还是下降 ______? ○2 在区间 ____________ 上，随着x 的增 大，f(x)的值随着 ________ ．（2）f(x) = -x+2○1 从左至右图象上升还是下降 ______? ○2 在区间 ____________ 上，随着x 的增 大，f(x)的值随着 ________ ．（3）f(x) = x2○1在区间 ____________ 上，f(x)的值随着x的增大而 ________ ．○2在区间 ____________ 上，f(x)的值随着x的增大而 ________ ．3、从上面的观察分析，能得出什么结论？学生回答后教师归纳：从上面的观察分析可以看出：不同的函数，其图象的变化趋势不同，同一函数在不同区间上变化趋势也不同，函数图象的这种变化规律就是函数性质的反映，这就是我们今天所要研究的函数的一个重要性质——函数的单调性（引出课题）。
高一(人教A版)必修一 第一课时 1.3 函数的基本性质(一) 学案设计(无答案)
必修一 1.3函数的基本性质（一）第一课时单调性与最大（小）值【学习目标】1、理解增（减）函数的定义；掌握函数的单调区间的求法。
2、掌握函数单调性的证明方法；了解复合函数单调性的判断。
3、理解单调性的应用；理解最值问题。
【学习过程】一、课前预习1、什么叫做增函数、减函数和单调函数?2、如何用定义法证明函数的单调性？3、函数单调性有哪些应用？4、什么叫做函数的最大值和最小值？与函数的单调性有什么关系？二、探究活动1、函数的单调性与减函数的定义：2、函数的单调性及单调区间:(1) 、函数()x f y =在区间D 上是增函数或减函数，那么就说函数()x f y =在这个区间具有单调性，区间D 叫做()x f y =的单调性。
(2) 、如果函数在其整个定义域内具有单调性，则称函数是单调函数。
例1、给出下列三个结论：()()()()()()()()()()()()()()()。
在其定义域上是减函数函数上是减函数，则在若函数上是增函数。
，在则函数，且满足，的定义域为若函数xx f a f a f x f x f f f f x f 1,3,1,,20,3210,122=<++∞∞-∞+<<∞+ 其中正确的结论有（ ）A.0个B.1个C.2个D.3个例2、画出下列函数的图象，并写出单调区间：()();1,12x x f -= ()()xx g 1,2=例3、 证明()x x f =在其定义域上是增函数.（二）、函数的最大(小)值1、函数最大(小)值的定义例4、已知函数()[)⎪⎭⎫ ⎝⎛∞+=430f x f y 上是减函数，试比较，在与()12+-a a f 的大小。
例5、已知函数()()⎪⎩⎪⎨⎧>-≤≤-=012)20(2x x x x x x f 则函数()x f 的最大值、最小值分别为 。
（三）函数单调性与最值：1、单调函数在闭区间上必有最值：),1若函数()x f y =在区间[]b a ,上是增函数，则函数的最小值为 ，最大值为 。
人教版数学必修一函数的单调性教辅导教案设计(无答案)
数学辅导教案学生姓名 性别年级高一学科数学 授课教师上课时间第（ ）次课 共（ ）次课课时：2 课时教学课题人教版 高一数学 必修1 第2章 函数的基本性质1预习教案教学目标1.通过对已学函数图象的观察,理解函数的单调性及其几何意 义.能根据图象的升降特征,划分函数的单调区间.理解增 (减)函数的定义,会证明函数在指定区间上的单调性.2.通过对一些熟悉函数的观察，理解函数最大(小)值的定义,并会利用单调性求其最值.教学重点与难点1.求函数的单调性2.函数单调性的运用教学过程【知识梳理】一、函数单调性的定义如果函数)(x f y =在区间D 上是增函数或减函数，那么就说函数)(x f y =在这一区间具有（严格的）单调性，区间D 叫做)(x f y =的单调区间；常见函数的单调性函数的性质定义图像描述函数的 单调性一般地，设函数f (x )的定义域为I ：如果对于定义域I 内某个区间D 上的任意两个自变量的值x 1，x 2当x 1<x 2时，都有f (x 1)<f (x 2)，那么就说函数f (x )在区间D 上是增函数自左向右看图象是上升的当x 1<x 2时，都有f (x 1)>f (x 2)，那么就说函数f (x )在区间D 上是减函数自左向右看图象是下降的（1）一次函数的单调性：对函数y ax b =+(0)a ≠ 当0>a 时，函数)(x f 单调增加； 当0<a 时，函数)(x f 单调减小. （2）反比例函数单调性：对函数(k 0)ky x=≠ 当0k >时，函数)(x f 单调减小； 当0k <时，函数)(x f 单调增加.（3）二次函数的单调性：对函数c bx ax x f ++=2)()0(≠a ，当0>a 时函数)(x f 在对称轴a bx 2-=的左侧单调减小，右侧单调增加； 当0<a 时函数)(x f 在对称轴abx 2-=的左侧单调增加，右侧单调减小.二、函数单调性的证明方法1.定义法：（1）设元：设21,x x 是给定区间上任意两个值，且21x x <； （2）作差：)()(21x f x f -；（3）变形：（如因式分解、配方、有理化等）；（4）定号：即0)()(0)()(2121<->-x f x f x f x f 或； （5）根据定义下结论：若12()()0f x f x -<，则函数为单调递增函数； 若 0)()(21>-x f x f ，则函数为单调递减函数. 2.图象法：借助图象直观判断．3.复合函数单调性判断方法：设()()[][],,,,,y f u u g x x a b u m n ==∈∈若内外两函数的单调性相同，则()y f g x =⎡⎤⎣⎦在x 的区间D 内单调递增， 若内外两函数的单调性相反时，则()y f g x =⎡⎤⎣⎦在x 的区间D 内单调递减． （同增异减）四、最大（小）值前提设函数y＝f(x)的定义域为I，如果存在实数M满足：设函数y＝f(x)的定义域为I，如果存在实数m满足：条件(1)对于任意的的x∈I，都有f(x)≤M；(2)存在x0∈I，使得f(x0)＝M.(1)对于任意的x∈I，都有f(x)≥m；(2)存在x0∈I，使得f(x0)＝m.结论M为最大值m为最小值【典型例题】考点1.根据图像判定函数单调性【例1】右图是定义在闭区间[－5, 5]上的函数y＝f(x)的图象，根据图象说出y＝f(x)的单调区间，以及在每一单调区间上， y＝f(x)是增函数还是减函数．【变式1】如图是定义在闭区间 [-5，6]上的函数y＝f(x)的图象，根据图象说出函数y＝f(x) 的单调区间，以及在每一单调区间上，函数y＝f(x)是增函数还是减函数.考点二.判断函数的单调性【例2】写出下列函数的单调区间（1）,b kx y += （2）3422--=x x y ． （3）||2)(2x x x f -= （4） |2|)(2x x x f -=【例3】函数y=3212-+x x 的单调减区间是（ ） A.)3,(--∞ B.(),1+∞- C.)1,(--∞ D.(),1+∞【变式1】 函数y ＝x 2－6x ＋10在区间(2,4)上是 ( )A ．递减函数B ．递增函数C ．先递减再递增D ．先递增再递减【变式2】讨论函数2()1f x x =-与2()1f x x =-的单调性考点3 用定义法证明函数的单调性【例4】证明函数2()+1f x x =在-∞（，0）上是减函数【变式1】证明函数y=2x+5的单调性【变式2】判断函数f （x ）＝xx 1+在（1,2）上的增减情况．考点四 利用单调性求最值 【例5】已知函数2()2f x x =-（(]2,6x ∈），求函数的最大值和最小值.【变式1】求函数f (x )＝2xx ＋1在区间[1,2]内的最大值和最小值.考点四 单调性的运用【例6】函数2()(1)2f x x m x =+-+在(,4]-∞上是减函数,则求m 的取值范围 ．【例7】函数f （x ）是R 上的减函数,求f （a 2－a ＋1）与f （34）的大小关系 ．【变式1】已知函数[]2()22,5,5f x x ax x =++∈-上是单调函数，a 的取值范围是 ．【变式2】已知y=f(x)是定义在（-2，2）上的增函数，若f(m-1)＜f(1-2m)，则m 的取值范围是 ．【课堂练习】1、122--=ax x y 在)41,(-∞上是减函数，求实数a 的取值范围。
人教版数学必修1函数的基本性质教案
课程标题函数的基本性质学习目标（1）掌握函数的基本性质（单调性、最大值或最小值、奇偶性），能应用函数的基本性质解决一些问题。
（2）从形与数两方面理解函数单调性的概念，初步掌握利用函数图象和单调性定义判断、证明函数单调性的方法．（3）了解奇偶性的概念,回会利用定义判断简单函数的奇偶性。
重点与难点（1）判断或证明函数的单调性；（2）奇偶性概念的形成与函数奇偶性的判断。
学习过程一、函数的单调性1．单调函数的定义（1）增函数：一般地，设函数()f x 的定义域为I ：如果对于属于I 内某个区间上的任意两个自变量的值1x 、2x ,当1x 2x 时都有12()()f x f x ，那么就说()f x 在这个区间上是增函数。
（2）减函数：如果对于属于I 内某个区间上的任意两个自变量的值1x 、2x ,当1x 2x 时都有12()()f x f x ，那么就说()f x 在这个区间上是减函数。
（3）单调性：如果函数()yf x 在某个区间是增函数或减函数。
那么就说函数()yf x 在这一区间具有（严格的）单调性，这一区间叫做()yf x 的单调区间。
2、单调性的判定方法（1）定义法：判断下列函数的单调区间：21xy（2）图像法：从左往右，图像上升即为增函数，从左往右，图像下降即为减函数。
（3）复合函数的单调性的判断：设)(x f y，)(x g u，],[b a x，],[n m u 都是单调函数，则[()]y f g x 在],[b a 上也是单调函数。
①若)(x f y 是[,]m n 上的增函数，则[()]yf g x 与定义在],[b a 上的函数)(x g u的单调性相同。
②若)(x f y是[,]m n 上的减函数，则[()]yf g x 与定义在],[b a 上的函数)(x g u的单调性相同。
即复合函数的单调性：当内外层函数的单调性相同时则复合函数为增函数；当内外层函数的单调性相反时则复合函数为增减函数。
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2013年高考复习专题：函数的基本性质专题复习求函数定义域的常用方法：无论什么函数，优先考虑定义域1偶次根式的被开方式非负；分母不为0；零指数幂底数不为零；对数真数大于0且底数大于0不等于1；tanx 定义域⎭⎬⎫⎩⎨⎧∈+≠Z k k x x ,2ππ2复合函数的定义域：定义域是x 的范围，f 的作用范围不变1.y=xx x -+||)1(0 2.y=232531xx -+- 3.y=xx x x -+-||2324.y x x =--15115.(21)log x y -=6.)3lg(-=x y7.xx y 2=8.2lg 21x y =9.02)45()34lg()(-++=x x x x f训练：1、函数y=)34(log 25.0x x -的定义域为__________.2、f(x)的定义域是[-1，1]，则f(x+1)的定义域是3、若函数f(x)的定义域是[－1，1]，则函数)(log 21x f 的定义域是（ ）A ．]2,21[B ．]2,0(C ．),2[+∞D ．]21,0(4、已知2()f x 的定义域为[1,1]-，则)(x f 的定义域为 ，(2)xf 的定义域为5、已知函数y f x =+()1定义域是[]-23，，则yf x =-()21的定义域是（ ） A.[]052，B.[]-14，C.[]-55，D.[]-37， 6、函数121)(-++=x x x f 的定义域是 .（用区间表示）． 7、已知函数1)(2+=x x f 的定义域是}2,1,0,1{-，则值域为 ． 8、函数)(x f y =的定义域是[1，2]，则)1(+=x f y 的定义域是 ． 9、下列函数定义域和值域不同的是（ ） （A ）15)(+=x x f （B ）1)(2+=x x f （C ）xx f 1)(=（D ）x x f =)(10、已知函数)(x f y =的图象如图1所示，则函数的定义域是（ ）(A) [－2,0] (B) ]5,1[]0,2[ - (C) [1,5] (D) ]5,1[]0,2[ -11、若函数y=lg(4－a ·2x)的定义域为R ，则实数a 的取值范围是 ( )A ．(0，+∞)B ．(0，2)C ．(-∞，2)D ．(-∞，0)12、为何值时，函数3472+++=kx kx kx y 的定义域为R ．1. 已知函数()23{|15}f x x x x N x =-∈∈≤≤，则函数的值域为 二次函数法（配方法）2. 求下列函数值域：]5,1[,42∈+-=x x x y y =]2,1[,52)(2-∈+-=x x x x f x x y 422+--=3. 函数2y =-的值域是 ( ) A 、[2,2]- B 、[1,2] C 、[0,2] D、[4. 设函数[]m x x x x f ,0,22)(2∈+-=，求)(x f y =的值域。
5. 求函数()211y x x x =--≤≤的最大值，最小值．6. 函数f(x)=-x 2+2x+3在区间[-2，2]上的最大、最小值分别为（ ） A 、4，3 B 、3，-5 C 、4，-5 D 、5，-5 基础训练：1、函数y=2x-1的值域是（ ） A 、R B 、（-∞，0） C 、（-∞，-1） D 、（-1，+∞）2、函数22log (1)y x x =+≥的值域为（ ）A 、()2,+∞B 、(),2-∞C 、[)2,+∞D 、[)3,+∞ 3、数y=3x+2 (x≠-2)在区间[0，5]上的最大（小）值分别为（ ）A 、37 ,0B 、32 ,0C 、32 ,37D 、37,无最小值4、若函数)10(log )(<<=x x x f a 在区间[a, 2a]上的最大值是最小值的3倍，则a 等于（ ） A.41 B.22 C.41 D.215、函数32)(2+-=mx x x f 在区间]2,0[上的值域为]3,2[-则m 值为（ ） A.55或- B.495或C.5D.496、函数y=(31)1822+--x x (-31≤≤x )的值域是7、函数212log (617)y x x =-+的值域是（ ）A 、RB 、[)8,+∞ C 、(),3-∞- D 、[)3,+∞8、下列各组函数中，表示同一函数的是（ ） A ．xx y y ==,1 B ．1,112-=+⨯-=x y x x y C ．33,x y x y == D ． 2)(|,|x y x y ==1．若⎩⎨⎧≥<+=-)2(2)2()2()(x x x f x f x 则)3(-f 值为 （ ）A. 2 B. 8 C. 81D.212．已知函数⎩⎨⎧≤>=)0(3)0(log )(2x x x x f x 则))41((f f =___________3．⎪⎩⎪⎨⎧<≥-=)0(1)0(121)(x xx x x f 若a a f >)(，则实数a 的取值范围是 4．已知f(2x)=)78(log 23+x ，则f(1)的值是（ ）A.2 B ．39log 3 C ．1 D ．15log 3 5．已知x x f 26log )(=，那么)8(f 等于（ ） A ．34B ．8C ．18D ．217．若f(sinx)=2-cos2x,则f(cosx)等于 ( )A.2-sin2xB.2+sin2xC.2-cos2xD.2+cos2x8．已知函数221)(xx x f +=，那么=⎪⎭⎫⎝⎛++⎪⎭⎫⎝⎛++⎪⎭⎫⎝⎛++41)4(31)3(21)2()1(f f f f f f f ______ 9．函数f (x )=x 5+ax 3+bsinx –8，若f (–2)=10，则f (2)= .10．已知22(1)()(12)2(2)x x f x x x x x +≤-⎧⎪=-<<⎨⎪≥⎩，若()3f x =，则x 的值是( )A 、1B 、1或32C 、1，32或D（1）已知f(2x+1)=4x+5,则f(x) （2）已知3311()f x x xx +=+，求()f x ； （3）已知y=f(x)是一次函数，且有f[f(x)]=9x+8,求f(x)解析式。
（4）已知()f x 满足12()()3f x f x x+=，求()f x 基础训练：1.已知2(1)lg f x x+=，求()f x 2.若f(x －221)1x x x +=, 求f(x)3.已知()f x 是一次函数，且满足3(1)2(1)217f x f x x +--=+，求()f x 4．函数)(x f 在R 上为奇函数，且0,1)(>+=x x x f ，则当0<x ，=)(x f .5．已知奇函数f(x)，当x>0时，2)(2+-=x x x f ，那么当x<0时，f(x)= 6．如图是函数y= f(x)的图象,其中在[0,4]上是抛物线的一段，写出y= f(x)的解析式.（1）具有奇偶性的函数的定义域的特征：定义域必须 （2）确定函数奇偶性的基本步骤：①定义域、；②判定：f (x )与f (-x )的关系；或（()()0f x f x ±-=）（3）奇函数的图像关于 对称，奇函数()f x 定义域中含有0，则必有(0)0f =；偶函数的图像关于 对称。
基础训练： 1、函数31()f x x x=-是（ ）A 、奇函数 B 、偶函数C 、既是奇函数又是偶函数D 、非奇非偶函数2、已知函数f(x)是奇函数，当x>0时，f(x)=x(1+x);当x<0时，f(x)=( )A 、-x(1-x)B 、x(1-x)C 、-x(1+x)D 、x(1+x)3、设偶函数f(x)的定义域为R ，当x ],0[+∞∈时f(x)是增函数，则f(-2),f(π),f(-3)的大小关系是（ ）A 、f(π)>f(-3)>f(-2)B 、f(π)>f(-2)>f(-3)C 、f(π)<f(-3)<f(-2)D 、f(π)<f(-2)<f(-3) 4、已知)(x f 是奇函数，)(x g 是偶函数，且)(x f +)(x g =11-x ,则)(x f = __ 5、)(x f 是定义在R 上的奇函数，下列结论中，不正确．．．的是( ) A 、0)()(=+-x f x f B 、)(2)()(x f x f x f -=-- C 、)(x f ·)(x f -≤0 D 、1)()(-=-x f x f 6、函数f(x)=x-2 +2-x 是（ ）A 、奇函数 B 、偶函数C 、既是奇函数又是偶函数D 、非奇非偶函数 7、函数)()lgf x x =是 （奇、偶）函数。
8、已知8)(35-++=bx ax x x f 且10)2(=-f ，那么=)2(f9、已知函数)(x f 是定义在[]6,6-上的偶函数，)(x f 的部分图象如图所示，求不等式0)(>x xf 的解集．10、已知函数14)(2--=x x x f ．（1）求证函数)(x f 是偶函数；（2）试画出函数)(x f 的图象； （3）根据函数图象，试写出函数)(x f 的单调区间．一次函数单调性：1. 函数b x k y ++=)12(在实数集上是增函数，则（ ）A ．21->k B ．21-<k C ．0>b D ．0>b 二次函数单调性：2. 函数x x y 322+-=的单调递增区间是________；调递减区间是_________.3. 函数c bx x y ++=2))1,((-∞∈x 是单调函数时，b 的取值范围 （ ） A ．2-≥b B ．2-≤b C ．2->b D ． 2-<b4. 函数f(x)=-x 2+2(a-1)x+2在区间（-∞，2]上单调递增，则a 的取值范围是（ ） A 、[3，+∞) B、（-∞，3] C 、（-∞，-3] D 、[-3，+∞) 5. 函数f(x)=x 2-2ax-3在区间[1，2]上是单调函数的条件是 （ ）A. (,1]a ∈-∞B.[2,)a ∈+∞C.[1,2]a ∈D.(,1][2,)a ∈-∞⋃+∞ 结合图形判断单调性：1. 函数f(x)=(a-1)x在R 上是减函数，则a 的取值范围（ ）A 、0<a<1B 、1<a<2C 、a>1D 、a>2 2. y=(2-a)x在定义域内是减函数，则a 的取值范围是3. 已知⎩⎨⎧≥<+-=1,log ,1,4)13()(x x x a x a x f a是),(+∞-∞上的减函数，则a 的取值范围是（ ）A )1,0(B )31,0(C )31,71[ D )1,71[4. 函数f(x)=1-1x的单调递增区间是不等式判断：1. 设)(x f 是()+∞∞-,上的减函数，又若R a ∈，则( )A 、))2()(a f a f >B 、))()(2a f a f < C 、))()(2a f a f > D 、))()1(a f a f <+2. 在区间)0,(-∞上为增函数的是（ ）A ．1=yB ．21+-=xxy C ．122---=x x yD ．21x y +=3. 已知)(x f 在实数集上是减函数，若0≤+b a ，则下列正确的是 （ ） A ．)]()([)()(b f a f b f a f +-≤+ B ． )()()()(b f a f b f a f -+-≤+C ．)]()([)()(b f a f b f a f +-≥+D ．)()()()(b f a f b f a f -+-≥+ 4. 下列函数中既是奇函数，又在区间（0，+∞）上单调递增的是( )A 、2y x =- B 、()12x y g = C 、1y x x=+ D 、||x e y =综合判断：5. 函数)(x f 在),(b a 和),(d c 都是增函数，若),(),,(21d c x b a x ∈∈，且21x x <那么（ ）A ．)()(21x f x f <B ．)()(21x f x f >C ．)()(21x f x f =D ．无法确定6. 函数)(x f 在区间]3,2[-是增函数，则)5(+=x f y 的递增区间是 （ ）A ．]8,3[B ． ]2,7[--C ．]5,0[D ．]3,2[-7. 函数y=-|x|在[a ，+∞)上是减函数，则a 的取值范围是8．已知函数)(x f 是定义在[]4,4-上奇函数，且在[]4,4-单调增．若0)3()1(<-++a f a f ，求实数a 的取值范围．1、函数的单调性是对区间而言的，如果f(x)在区间(a ，b)与(c ，d)上都是增(减)函数，不能说 f(x)在(a ，b)∪(c ，d)上一定是增(减)函数．2、设函数y=f(u)，u=g(x)都是单调函数，那么复合函数y=f[g(x)]在其定义域上也是单调函数．若y=f(u)与u=g(x)的单调性相同，则复合函数y=f[g(x)]是增函数；若y=f(u)，u=g(x)1、若函数)(x f 在区间（a ，b ）上为增函数，在区间（b ，c ）上也是增函数，则函数)(x f 在区间（a ，c ）上（ ）（A ）必是增函数 （B ）必是减函数 （C ）是增函数或是减函数 （D ）无法确定增减性2、已知函数f （x ）、g （x ）定义在同一区间D 上，f （x ）是增函数，g （x ）是减函数，且g （x ）≠0,则在D 上 ( )A 、f(x)+g(x)一定是减函数B 、f(x)-g(x)一定是增函数C 、f(x)·g(x)一定是增函数D 、)()(x g x f 一定是减函数3、函数22)21(++-=x x y 得单调递增区间是（ ）A ．]21,1[- B ．]1,(--∞ C ．),2[+∞D ．]2,21[4、)23(log 23+-x x 的单调递增区间是 .5、函数y=3232x -的单调递减区间是 .6、①y=2443x x ++的单调减区间是 .② y=的单调增区间是 .7、下列函数中为增函数的是（ ） A 、2xy -= B 、1()3x y = C 、2xy = D 、11()3x y -+=1. 若函数)(x f 是定义在R 上的偶函数，在(]0,∞-上是减函数，且0)2(=f ，则使得0)(<x f 的x 的取值范围是( ) A 、()2,∞- B 、)(2,+∞ C 、2,2)(－ D 、),2()2,(+∞⋃--∞2. 已知()f x 是定义(),-∞+∞上的奇函数，且()f x 在[)0,+∞上是减函数．下列关系式中正确的是( ) Ａ.()()55f f >- Ｂ.()()43f f > Ｃ.()()22f f ->Ｄ.()()88f f -≥3. 如果奇函数()f x 在区间[3，7]上是增函数且最小值为5，那么()f x 在区间[]7,3--上是( )Ａ．增函数且最小值为5- Ｂ．增函数且最大值为5-Ｃ．减函数且最小值为5- Ｄ．减函数且最大值为5-4. 函数()f x 是偶函数，而且在()0,+∞上是减函数，判断()f x 在(),0-∞上是增函数还是减函数．5. 如果奇函数f(x)在[2，5]上是减函数，且最小值是-5，那么f(x)在[-5,-2]上的最大值为 6. 知f(x)是实数集上的偶函数，且在区间[0,+)∞上是增函数，则f(-2),f(-),f(3)π的大小关系是（ ） Ａ．f (-)>f (-2)>f πＢ．f (3)>f (-)>f (πＣ．f(-2)>f(3)>f(-)π Ｄ．f(-)>f(3)>f(-2)π7. 已知f(x)是奇函数，定义域为{x|x ∈R 且x ≠0},又f(x)在（0，+∞）上是增函数，且f(-1)=0,则满足f(x)>0的x 取值范围是________. 8. 若f(x)是定义在R 上的偶函数，且当x ≥0时为增函数，那么使f(π)<f(a)的实数a的取值范围是_______. 9. 求函数11()()142xxy =-+在[]3,2x ∈-上的值域。