2019年全国卷Ⅰ理数高考试题文档(精校版)

2019年普通高等学校招生全国统一考试
理科数学
本试卷共4页，23小题，满分150分，考试用时120分钟。

注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号和座位号填写在答题卡上。

用2B 铅笔将
试卷类型（B ）填涂在答题卡的相应位置上。

2．作答选择题时，选出每小题答案后，用2B 铅笔在答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案。

答案不能答在试卷上。

3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。

不按以上要求作答无效。

4．考生必须保证答题卡的整洁。

考试结束后，将试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目
要求的。

1．已知集合}242{60{}M x x N x x x =-<<=--<，，则M N I = A ．}{43x x -<<
B ．}42{x x -<<-
C ．}{22x x -<<
D ．}{23x x <<
2．设复数z 满足=1i z -，z 在复平面内对应的点为(x ，y )，则 A ．2
2
+11()x y +=
B ．221(1)x y +=-
C ．22(1)1y x +-=
D ．2
2(+1)1y x +=
3．已知0.20.32
log 0.220.2a b c ===，，，则 A ．a b c <<
B ．a c b <<
C ．c a b <<
D ．b c a <<
4．古希腊时期，0.618，称为黄金分割比例)，著名的“断臂维纳斯”便是如此．此外，最美人体的头顶至咽喉的长度与咽喉至肚
．若某人满足上述两个黄金分割比例，且腿长为105 cm ，头顶至脖子下端的长度为26 cm ，则其身高可能是
A ．165 cm
B ．175 cm
C ．185 cm
D ．190 cm
5．函数f (x )=
2
sin cos ++x x
x x
在[,]-ππ的图像大致为 A ． B ．
C
． D ．
6．我国古代典籍《周易》用“卦”描述万物的变化．每一“重卦”由从下到上排列的6个爻组成，爻分为阳爻“——”和阴爻“— —”，如图就是一重卦．在所有重卦中随机取一重卦，则该重卦恰有3个阳爻的概率是
A ．
516
B ．
1132
C ．
2132
D ．
1116
7．已知非零向量a ，b 满足||2||=a b ，且()-a b ⊥b ，则a 与b 的夹角为 A ．
π6
B ．
π3
C ．
2π3
D ．
5π6
8．如图是求
112122
+
+的程序框图，图中空白框中应填入
A ．A =
1
2A
+ B ．A =12A
+
C ．A =
1
12A
+
D ．A =112A
+
9．记n S 为等差数列{}n a 的前n 项和．已知4505S a ==，，则
A ．25n a n =-
B ． 310n a n =-
C ．2
28n S n n =-
D ．2
122
n S n n =
- 10．已知椭圆C 的焦点为121,01,0F F -()，()，过F 2的直线与C 交于A ，B 两点．若22||2||AF F B =，
1||||AB BF =，则C 的方程为 A ．2
212
x y += B ．22
132x y += C ．22
143x y += D ．22
154
x y += 11．关于函数()sin |||sin |f x x x =+有下述四个结论：
①f (x )是偶函数 ②f (x )在区间（
2
π,π）单调递增
③f (x )在[,]-ππ有4个零点 ④f (x )的最大值为2
其中所有正确结论的编号是 A ．①②④
B ．②④
C ．①④
D ．①③
12．已知三棱锥P -ABC 的四个顶点在球O 的球面上，P A =PB =PC ，△ABC 是边长为2的正三角形，E ，F
分别是P A ，PB 的中点，∠CEF =90°，则球O 的体积为 A ．6π
B ．64π
C ．6π
D 6π
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13．曲线23()e x
y x x =+在点(0)0，处的切线方程为____________．
14．记S n 为等比数列{a n }的前n 项和．若21461
3
a a a ==，，则S 5=____________．
15．甲、乙两队进行篮球决赛，采取七场四胜制（当一队赢得四场胜利时，该队获胜，决赛结束）．根据前
期比赛成绩，甲队的主客场安排依次为“主主客客主客主”．设甲队主场取胜的概率为0.6，客场取胜的概率为0.5，且各场比赛结果相互独立，则甲队以4∶1获胜的概率是____________．
16．已知双曲线C ：22
221(0,0)x y a b a b
-=>>的左、右焦点分别为F 1，F 2，过F 1的直线与C 的两条渐近线
分别交于A ，B 两点．若1F A AB
=u u u r u u u r ，120F B F B ⋅=u u u
r u u u u r ，则C 的离心率为____________． 三、解答题：共70分。

解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

第17~21题为必考题，每个试题考生
都必须作答。

第22、23题为选考题，考生根据要求作答。

（一）必考题：共60分。

17．(12分)
ABC △的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，设22(sin sin )sin sin sin B C A B C -=-．
（1）求A ；
（2）若22a b c +=，求sin C ． 18．（12分）
如图，直四棱柱ABCD –A 1B 1C 1D 1的底面是菱形，AA 1=4，AB =2，∠BAD =60°，E ，M ，N 分别是BC ，BB 1，A 1D 的中点．
（1）证明：MN ∥平面C 1DE ； （2）求二面角A-MA 1-N 的正弦值． 19．（12分）
已知抛物线C ：y 2=3x 的焦点为F ，斜率为
3
2
的直线l 与C 的交点为A ，B ，与x 轴的交点为P ． （1）若|AF |+|BF |=4，求l 的方程；
（2）若3AP PB =u u u r u u u r
，求|AB |．
20．（12分）
已知函数()sin ln(1)f x x x =-+，()f x '为()f x 的导数．证明：
（1）()f x '在区间(1,)2
π-存在唯一极大值点；
（2）()f x 有且仅有2个零点． 21．（12分）
为了治疗某种疾病，研制了甲、乙两种新药，希望知道哪种新药更有效，为此进行动物试验．试验方案如下：每一轮选取两只白鼠对药效进行对比试验．对于两只白鼠，随机选一只施以甲药，另一只施以乙药．一轮的治疗结果得出后，再安排下一轮试验．当其中一种药治愈的白鼠比另一种药治愈的白鼠多4只时，就停止试验，并认为治愈只数多的药更有效．为了方便描述问题，约定：对于每轮试验，若施以甲药的白鼠治愈且施以乙药的白鼠未治愈则甲药得1分，乙药得1-分；若施以乙药的白鼠治愈且施以甲药的白鼠未治愈则乙药得1分，甲药得1-分；若都治愈或都未治愈则两种药均得0分．甲、乙两种药的治愈率分别记为α和β，一轮试验中甲药的得分记为X ． （1）求X 的分布列；
（2）若甲药、乙药在试验开始时都赋予4分，(0,1,,8)i p i =L 表示“甲药的累计得分为i 时，最终认为甲药比乙药更有效”的概率，则00p =，81p =，11i i i i p ap bp cp -+=++(1,2,,7)i =L ，其中
(1)a P X ==-，(0)b P X ==，(1)c P X ==．假设0.5α=，0.8β=．
(i)证明：1{}i i p p +-(0,1,2,,7)i =L 为等比数列； (ii)求4p ，并根据4p 的值解释这种试验方案的合理性．
（二）选考题：共10分。

请考生在第22、23题中任选一题作答。

如果多做，则按所做的第一题计分。

22．[选修4—4：坐标系与参数方程]（10分）
在直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为2221141t x t t y t ⎧-=⎪⎪+⎨⎪=⎪+⎩
，（t 为参数）．以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l
的极坐标方程为2cos sin 110ρθθ+=． （1）求C 和l 的直角坐标方程； （2）求C 上的点到l 距离的最小值． 23．[选修4—5：不等式选讲]（10分）
已知a ，b ，c 为正数，且满足abc =1．证明：
（1）
222111
a b c a b c
++≤++； （2）3
3
3
()()()24a b b c c a +++≥++．
2019年普通高等学校招生全国统一考试
理科数学•参考答案
一、选择题
1.答案：C
解答：由题意可知,}32|{<<-=x x N ,又因为}24|{<<-=x x M ,则}22|{<<-=x x N M I ，故选C .
2.答案：C
解答：∵复数z 在复平面内对应的点为(,)x y ，∴z x yi =+ ，
∴1x yi i +-=，∴22
(1)1x y +-=.
3.答案：B
解答：由对数函数的图像可知：2log 0.20a =<；再有指数函数的图像可知：0.221b =>，0.300.21c <=<，
于是可得到：a c b <<. 4.答案：B 解答： 方法一：
设头顶处为点A ，咽喉处为点B ，脖子下端处为点C ，肚脐处为点D ，腿根处为点E ，
足底处为F ，t BD =，
λ=-2
1
5，根据题意可知λ=BD AB ,故t AB λ=； 又t BD AB AD )1(+=+=λ，λ=DF AD ，故t DF λλ1
+=； 所以身高t DF AD h λλ2)1(+=+=，将618.02
1
5≈-=λ代入可得t h 24.4≈.
根据腿长为cm 105，头顶至脖子下端的长度为cm 26可得AC AB <，EF DF >；
即26<t λ，1051>+t λλ，将618.02
1
5≈-=λ代入可得4240<<t ， 所以08.1786.169<<h ，故选B.
方法二：
由于头顶至咽喉的长度与头顶至脖子下端的长度极为接近，故头顶至脖子下端的长度cm 26可估值为头顶至咽喉的长度；根据人体的头顶至咽喉的长度与咽喉至肚脐的长度之比是
215-（618.02
1
5≈-称为黄金分割比例）可计算出咽喉至肚脐的长度约为cm 42；将人体的头顶至咽喉的长度与咽喉至肚脐的长度相
加可得头顶至肚脐的长度为cm 68，头顶至肚脐的长度与肚脐至足底的长度之比是2
1
5-可计算出肚脐至足底的长度约为110；将头顶至肚脐的长度与肚脐至足底的长度相加即可得到身高约为cm 178，与答案cm 175更为接近且身高应略小于cm 178，故选B.
5.答案：D
解答：∵()()()2
sin ()cos x x f x x x ---=
-+-=2
sin cos x x
x x
+-
+()f x =-， ∴()f x 为奇函数，排除A ， 又2
2
sin 422
2
()02
cos
22f π
π
π
π
ππ
π+
+==
>⎛⎫
+ ⎪⎝⎭，排除C ，
()
22
sin ()01cos f πππ
ππππ+==>++，排除B ，故选D. 6.答案：A
解答：每爻有阴阳两种情况，所以总的事件共有62种，在6个位置上恰有3个是阳爻的情况有3
6C 种，所以
3
6620526416
C P ===.
7.答案：B
解答：设a r 与b r
的夹角为θ，∵()a b b -⊥r r r ，
∴2()cos a b b a b b θ-⋅=-r r r r r r =0，∴1cos =2θ，∴=3
πθ.
8.答案：A
解答：把选项代入模拟运行很容易得出结论.
选项A 代入运算可得
1=
1
2+
12+2A ，满足条件，
选项B 代入运算可得
1
=2+
12+2A ,不符合条件， 选项C 代入运算可得1
2
A =,不符合条件，
选项D 代入运算可得1
1+4
A =,不符合条件. 9.答案：A 解析：依题意有415146045
S a d a a d =+=⎧⎨
=+=⎩，可得132a d =-⎧⎨=⎩，25n a n =-，2
4n S n n =-.
10.答案：B
解答：由椭圆C 的焦点为)0,1(1-F ，)0,1(2F 可知1=c ，又Θ||2||22B F AF =，||||1BF AB =，可设
m BF =||2，则m AF 2||2=，m AB BF 3||||1==，根据椭圆的定义可知a m m BF BF 23||||21=+=+，得
a m 21=，所以a BF 2
1
||2=，a AF =||2，可知),0(b A -，
根据相似可得)21,23(b B 代入椭圆的标准方程122
22=+b y a x ，得32=a ，2222=-=c a b ，
∴椭圆C 的方程为12
32
2=+y x .
11.答案：C
解答：因为()sin sin()sin sin ()f x x x x x f x -=-+-=+=，所以()f x 是偶函数，①正确，因为
52,(,)632ππππ∈，而52()()63
f f ππ<，所以②错误， 画出函数()f x 在[],ππ-上的图像，很容易知道()f x 有3零点，所以③错误， 结合函数图像，可知()f x 的最大值为2，④正确，故答案选C.
12.答案：D
解答：设PA x =，则2222222
-42
cos =22PA PC AC x x x PAC PA PC x x x ++--∠==
⋅⋅⋅， ∴222
2cos CE PE PC PE PC PAC =+-⋅⋅∠22222222424
x x x x x x x -=+-⋅⋅⋅=+，
∵90CEF ∠=︒，1,22x
EF PB CF ===
∴222
CE EF CF +=,即222344
x x ++=，解得x =
∴PA PB PC ===2AB BC AC ===， 易知,,PA PB PC 两两相互垂直，
故三棱锥P ABC -的外接球的半径为
2
∴三棱锥P ABC -的外接球的体积为3
43π⋅=⎝⎭
，故选D. 二、填空题 13.答案：3y x =
解答：∵2
3(21)3()x
x
y x e x x e '=+++2
3(31)x
x x e =++，
∴结合导数的几何意义曲线在点(0,0)处的切线方程的斜率3k =，∴切线方程为3y x =. 14.答案：5S =121
3
解答：∵113a =
，246a a =，设等比数列公比为q ，∴325
11()a q a q =，∴3q =，∴5S =
1213
. 15.答案：0.18
解答：甲队要以4:1，则甲队在前4场比赛中输一场，第5场甲获胜，由于在前4场比赛中甲有2个主场2
个客场，于是分两种情况：
1221220.60.40.50.60.60.50.50.60.18C C ⋅⋅⋅⋅+⋅⋅⋅⋅=.
16.答案：2
解答：由112,0F A AB F B F B =⋅=uuu r uu u r uuu r uuu r 知A 是1BF 的中点，12F B F B ⊥uuu r uuu r
，又O 是12,F F 的中点，所以OA 为中位
线且1OA BF ⊥，所以1OB OF =，因此1FOA BOA ∠=∠，又根据两渐近线对称，1
2FOA F OB ∠=∠，所
以260F OB ∠=︒，2e ===.
三、解答题
17．解：（1）由已知得2
2
2
sin sin sin sin sin B C A B C +-=，故由正弦定理得2
2
2
b c a bc +-=．
由余弦定理得2221
cos 22
b c a A bc +-=
=． 因为0180A ︒
︒
<<，所以60A ︒
=．
（2）由（1）知120B C ︒
=-()
2sin 1202sin A C C ︒+-=，
即
631cos sin 2sin 222C C C ++=，可得()2
cos 602
C ︒+=-． 由于0120C ︒
︒
<<，所以(
)2
sin 60
2
C ︒
+=
，故 ()sin sin 6060C C ︒︒=+-
()()sin 60cos60cos 60sin 60C C ︒︒︒︒=+-+
62
+=
． 18．解：（1）连结B 1C ，ME ．
因为M ，E 分别为BB 1，BC 的中点，
所以ME ∥B 1C ，且ME =
1
2
B 1
C ． 又因为N 为A 1
D 的中点，所以ND =
1
2
A 1D ． 由题设知A 1
B 1=P D
C ，可得B 1C =P A 1
D ，故M
E =
P ND ，
因此四边形MNDE 为平行四边形，MN ∥ED ． 又MN ⊄平面EDC 1，所以MN ∥平面C 1DE ． （2）由已知可得DE ⊥DA ．
以D 为坐标原点，DA uuu r
的方向为x 轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系D -xyz ，则
(2,0,0)A ，A 1(2,0,4)，3,2)M ，(1,0,2)N ，1(0,0,4)A A =-u u u r ，1(13,2)A M =--u u u u r
，1(1,0,2)A N =--u u u u r ，(0,3,0)MN =u u u u r
．
设(,,)x y z =m 为平面A 1MA 的法向量，则110
A M A A ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩u u u u r u u u r m m ， 所以32040x z z ⎧-+-=⎪⎨-=⎪⎩，
．可取3,1,0)=m ．
设(,,)p q r =n 为平面A 1MN 的法向量，则100MN A N ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩u u u u r
u u u u
r ，
．
n n 所以3020q p r ⎧=⎪⎨--=⎪⎩，
．
可取(2,0,1)=-n ．
于是2315
cos ,||25⋅〈〉=
==
⨯‖m n m n m n ， 所以二面角1A MA N --的正弦值为
10
5
． 19．解：设直线()()11223
:,,,,2
l y x t A x y B x y =
+．
（1）由题设得3,04F ⎛⎫
⎪⎝⎭
，故123||||2AF BF x x +=++，由题设可得1252x x +=．
由232
3y x t y x
⎧
=+⎪⎨⎪=⎩，可得22912(1)40x t x t +-+=，则1212(1)9t x x -+=-． 从而12(1)592t --
=，得7
8
t =-． 所以l 的方程为37
28
y x =
-． （2）由3AP PB =u u u r u u u r
可得123y y =-．
由232
3y x t y x
⎧=+⎪⎨⎪=⎩，可得2220y y t -+=． 所以122y y +=．从而2232y y -+=，故211,3y y =-=．
代入C 的方程得121
3,3
x x ==
．
故||AB =
． 20．解：（1）设()()g x f 'x =，则1
()cos 1g x x x
=-
+，2
1sin ())(1x 'x g x =-++. 当1,2x π⎛
⎫∈- ⎪⎝⎭时，()g'x 单调递减，而(0)0,()02g'g'π><，可得()g'x 在1,2π⎛
⎫- ⎪⎝⎭
有唯一零点，
设为α.
则当(1,)x α∈-时，()0g'x >；当,
2x α⎛
π⎫
∈ ⎪⎝⎭
时，()0g'x <. 所以()g x 在(1,)α-单调递增，在,2απ⎛⎫ ⎪⎝⎭单调递减，故()g x 在1,2π⎛
⎫- ⎪⎝⎭存在唯一极大值点，
即()f 'x 在1,2π⎛
⎫- ⎪⎝
⎭存在唯一极大值点.
（2）()f x 的定义域为(1,)-+∞.
（i ）当(1,0]x ∈-时，由（1）知，()f 'x 在(1,0)-单调递增，而(0)0f '=，所以当(1,0)x ∈-时，()0f 'x <，故()f x 在(1,0)-单调递减，又(0)=0f ，从而0x =是()f x 在(1,0]-的唯一零点.
（ii ）当0,2x ⎛π⎤∈ ⎥⎝⎦时，由（
1）知，()f 'x 在(0,)α单调递增，在,2απ⎛⎫
⎪⎝⎭单调递减，而(0)=0f '，
02f 'π⎛⎫< ⎪⎝⎭，所以存在,2βαπ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，使得()0f 'β=，且当(0,)x β∈时，()0f 'x >；当,2x βπ⎛⎫
∈ ⎪
⎝⎭时，()0f 'x <.故()f x 在(0,)β单调递增，在,2βπ⎛⎫
⎪⎝⎭
单调递减.
又(0)=0f ，1ln 1022f ππ⎛⎫⎛⎫=-+> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以当0,2x ⎛π⎤∈ ⎥⎝⎦时，()0f x >.从而，()f x 在0,2⎛⎤
⎥
⎝⎦
π没有零点.
（iii ）当,2x π⎛⎤∈π ⎥⎝⎦时，()0f 'x <，所以()f x 在,2π⎛⎫
π ⎪⎝⎭单调递减.而
02f π⎛⎫
> ⎪⎝⎭
，()0f π<，所以()f x 在,2π⎛⎤
π ⎥⎝⎦
有唯一零点.
（iv ）当(,)x ∈π+∞时，ln(1)1x +>，所以()f x <0，从而()f x 在(,)π+∞没有零点. 综上，()f x 有且仅有2个零点.
21．解：X 的所有可能取值为1,0,1-.
(1)(1)(0)(1)(1)(1)(1)P X P X P X αβαβαβαβ=-=-==+--==-，
，
，
所以X 的分布列为
（2）（i ）由（1）得0.4,
0.5,0.1a b c ===.
因此11=0.4+0.5 +0.1i i i i p p p p -+，故()()110.10.4i i i i p p p p +--=-，即
()114i i i i p p p p +--=-.
又因为1010p p p -=≠，所以{}1(0,1,2,,7)i i p p i +-=L 为公比为4，首项为1p 的等比数列． （ii ）由（i ）可得
()()()88877610087761013
4 1
p p p p p p p p p p p p p p p -=-+-++-+=-+-++-=L L .
由于8=1p ，故18
3
41
p =
-，所以 ()()()()44433221101411
.325 7
p p p p p p p p p p -=-+-+-+=-=
4p 表示最终认为甲药更有效的概率，由计算结果可以看出，在甲药治愈率为0.5，乙药治愈率为0.8时，认为甲药更有效的概率为41
0.0039257
p =≈，此时得出错误结论的概率非常小，说明这种试验方案合理.
22．解：（1）因为221111t t --<≤+，且()
2
2
2
22
222141211y t t x t t ⎛⎫-⎛⎫+=+= ⎪ ⎪+⎝⎭⎝⎭+，所以C 的直角坐标方程为2
2
1(1)4
y x x +=≠-.
l
的直角坐标方程为2110x +=.
（2）由（1）可设C 的参数方程为cos ,
2sin x y αα
=⎧⎨
=⎩（α为参数，ππα-<<）.
C 上的点到l
π4cos 11
α⎛
⎫-+ ⎪=当2π3α=-
时，π4cos 113α⎛
⎫-+ ⎪⎝
⎭取得最小值7，故C 上的点到l
.
23．解：（1）因为2
2
2
2
2
2
2,2,2a b ab b c bc c a ac +≥+≥+≥，又1abc =，故有
222111
ab bc ca a b c ab bc ca abc a b c
++++≥++=
=++.
所以
222111
a b c a b c
++≤++. （2）因为, , a b c 为正数且1abc =，故有
333()()()a b b c c a +++++≥ =3(+)(+)(+)a b b c a c
3≥⨯⨯⨯
=24.
所以3
3
3
()()()24a b b c c a +++++≥.。