数学1.2充分条件与必要条件教案新选修21
2019-2020年高中数学《1.2充分条件与必要条件》教案2 新人教A版选修2-1
2019-2020年高中数学《1．2充分条件与必要条件》教案2 新人教A版选修2-1（一）教学目标1.知识与技能：正确理解充分不必要条件、必要不充分条件的概念；会判断命题的充分条件、必要条件．2.过程与方法：通过对充分条件、必要条件的概念的理解和运用，培养学生分析、判断和归纳的逻辑思维能力．３．情感、态度与价值观：通过学生的举例，培养他们的辨析能力以及培养他们的良好的思维品质，在练习过程中进行辩证唯物主义思想教育．（二）教学重点与难点重点：充分条件、必要条件的概念．(解决办法：对这三个概念分别先从实际问题引起概念，再详细讲述概念，最后再应用概念进行论证．)难点：判断命题的充分条件、必要条件。
关键：分清命题的条件和结论，看是条件能推出结论还是结论能推出条件。
教具准备：与教材内容相关的资料。
教学设想：通过学生的举例，培养他们的辨析能力以及培养他们的良好的思维品质，在练习过程中进行辩证唯物主义思想教育．（三）教学过程学生探究过程：1．练习与思考写出下列两个命题的条件和结论，并判断是真命题还是假命题？（1）若x ＞ a2 + b2，则x ＞ 2ab, （2）若ab ＝ 0，则a ＝ 0.学生容易得出结论；命题(1)为真命题，命题(２)为假命题．置疑：对于命题“若p，则q”，有时是真命题，有时是假命题．如何判断其真假的？答：看p能不能推出q，如果p能推出q，则原命题是真命题，否则就是假命题．２．给出定义命题“若p，则q”为真命题，是指由p经过推理能推出q，也就是说，如果p成立，那么q一定成立．换句话说，只要有条件p就能充分地保证结论q的成立，这时我们称条件p是q成立的充分条件．一般地，“若p，则q”为真命题，是指由p通过推理可以得出q．这时，我们就说，由p可推出q，记作：p q．定义：如果命题“若p，则q”为真命题，即p q,那么我们就说p是q的充分条件；q 是p必要条件．上面的命题(1)为真命题，即x ＞ a2 + b2 x ＞ 2ab，所以“x ＞ a2 + b2 ”是“x ＞ 2ab”的充分条件，“x ＞ 2ab”是“x ＞ a2 + b2”＂的必要条件．3．例题分析：例１：下列“若p，则q”形式的命题中，那些命题中的p是q的充分条件？（1）若x ＝1，则x2－ 4x ＋ 3 ＝ 0；（2）若f(x)＝ x，则f(x)为增函数；（3）若x为无理数，则x2为无理数．分析：要判断p 是否是q 的充分条件，就要看p 能否推出q ．解略．例２：下列“若p,则q ”形式的命题中，那些命题中的q 是p 的必要条件?(1) 若x ＝ y ，则x 2 ＝ y 2；(2) 若两个三角形全等，则这两个三角形的面积相等； （3）若a ＞b,则ac ＞bc ．分析：要判断q 是否是p 的必要条件，就要看p 能否推出q ．解略．４、巩固巩固：P12 练习 第1、2、3、4题５．教学反思：充分、必要的定义．在“若p ，则q ”中，若p ⇒q ，则p 为q 的充分条件，q 为p 的必要条件．６．作业 P 14：习题1.2A 组第1(1)(2),2(1)(2)题注：（1）条件是相互的；（2）p 是q 的什么条件，有四种回答方式：① p 是q 的充分而不必要条件；② p 是q 的必要而不充分条件；③ p 是q 的充要条件；④ p 是q 的既不充分也不必要条件．2019-2020年高中数学《2-2数学归纳法的应用举例》教案新人教A 版选修2 数学归纳法是证明与自然数有关的命题的一种方法，应用广泛．在最近几年的高考试卷中体现的特别明显，以下通过几道高考试题来谈一谈数学归纳法的应用。
优秀教案2-充分条件与必要条件
1.2 充分条件与必要条件1.2.1 充分条件与必要条件教材分析充分条件与必要条件是高中人教A 版《数学》选修2-1第一章简单逻辑用语第二节的内容.本节内容的教学至少需要两个课时，而本节课是这一节内容的第一课时.逻辑是研究思维规律的学科，而 “充分条件与必要条件”是数学中常用的逻辑用语，逻辑用语在数学中具有重要的作用，学习数学需要全面准确地理解概念，正确地进行表述、判断和推理，这些都离不开对逻辑知识的掌握和运用.进一步，在日常生活中，为了使我们的语言表达和信息的传递更加准确、清楚，常常需要一些逻辑用语，基本的逻辑知识、常用的逻辑用语是认识问题、研究问题不可缺少的工具.在选修中学习逻辑用语，可以结合逻辑用语的使用对我们已经学习过的必修部分的数学知识加以巩固和提升，同时能够体现出逻辑用语的工具价值，也可以更好地应用于今后的学习.这使得逻辑用语的教学起到了承上启下的作用.课时分配本课时是充分条件与必要条件的第一课时，主要解决的是掌握有关的逻辑知识，以保证推理的合理性和论证的严密性.教学目标重点: 充分条件、必要条件的概念.难点：充分条件、必要条件的判断.知识点：使学生理解充分条件、必要条件的概念；能正确判断是否是充分条件或必要条件. 能力点：通过引导学生观察、归纳，培养学生的观察能力和归纳能力.教育点：通过以学生为主体的教学方法，让学生自己构造数学命题，发展体验获取知识的感受.自主探究点：通过“会观察”，“敢归纳”，“善建构”，培养学生自主学习，勇于创新，敢于把错误的思维过程及弱点暴露出来，并在问题面前表现出浓厚的兴趣和不畏困难、勇于进取的精神. 考试点：通过对充分条件和必要条件与集合的关系的教学，建立概念间的多元联系，培养同学们多角度审视问题的习惯.易错易混点：复杂的问题中分类讨论的标准搞不清楚.拓展点：链接高考.教具准备 实物投影机和粉笔课堂模式 诱思探究一、复习引入复习：命题的概念及命题的常见形式.命题的概念：一般地，在数学中我们把用语言、符号或式子表达的，可以判断真假的陈述句叫做命题.其中判断为真的语句叫做真命题，判断为假的语句叫做假命题.命题的常见形式：“若p ，则q ”，我们把这种形式中的p 的叫做命题的条件，q 叫做命题的结论.【设计意图】通过命题概念的复习，重点强调条件与结论，为新课学习做必要的准备和铺垫.引入：“若p ，则q ”为真，可以将它表示为q p ⇒；“若p ，则q ”为假，可以将它表示为q p ≠> 如：“若教室里的学生是高二1班的学生，则教室里的学生是高二的学生”为真命题.即：教室里的学生是高二1班的学生⇒教室里的学生是高二的学生.又如：“若教室里的学生是高二的学生，则教室里的学生是高二1班的学生”为假命题.即： 教室里的学生是高二的学生≠>教室里的学生是高二1班的学生.【设计意图】命题有真有假，通过对真假两种情况的新的表述方式的引入，意在顺利实现由“已有的知识结构”转入“新知构建”的过程.二、探究新知定义：一般地，如果有q p ⇒，称p 是q 的充分条件，称q 是p 的必要条件.例1：下列“若p ，则q ”形式的命题中，哪些命题中的p 是q 的充分条件？①若3x >，则2x >；②若1x =，则2430x x -+=；③若()f x x =，则()f x 在(,)-∞+∞上为增函数（教师引导学生体验：问题的实质是判断命题是否为真）解：命题①、②、③都是真命题.所以，命题①、②、③中的p 是q 的充分条件.问题：同学们，对于命题①、②、③，我们可不可以回答q 是p 的必要条件呢？答:可以称对于命题①、②、③，q 是p 的必要条件.【设计意图】通过实例分析，将新知（充分条件、必要条件的概念）的构建过程转化为已有知识（命题真假的判断）的应用过程.强调说明：①“q p ⇒”，“ p 是q 的充分条件”，“ q 是p 的必要条件”是同一逻辑关系的三种不同描述形式，前者是符号表示，后两者是文字表示.②充分条件的含义用通俗的语言来说是指“有它就行”， 即“有之必然”；必要条件的含义用通俗的语言来说是指“缺它不行”，即“无之必不然”.【设计意图】提升学生的认识水平，试图从不同角度帮助同学们理解“充分”和“必要”.例2：判断下列问题中，p 是q 的充分条件吗？①p : a b > q : ac bc >；②p : x 为无理数 q :2x 为无理数； ③p : 22x a b >+ q : 2x ab >；④p :两条直线的斜率相等 q :两条直线平行解：因为在问题③和问题④中都有q p ⇒.所以，在问题③和问题④中，p 是q 的充分条件.问题：像在①②两个问题中p 与q 的关系应如何描述？可描述如下：若有q p ≠>，称p 不是q 的充分条件，称q 不是p 的必要条件.【设计意图】概念的否定是概念理解的重要方面，本例意在让学生在直观理解的基础上给出“充分条件”和“必要条件”的否定形式.以帮助学生全面认识和理解概念.例3：判断下列各组问题中，q 是p 的必要条件吗？①p :{}3p x x > q :{}5p x x >；②p : {}0p x x > q :{}0p x x ≥；③p :同位角相等 q :两直线平行；④p :四边形对角线相等 q :四边形是平行四边形解：因为在问题②和问题③中都有q p ⇒.所以，在问题②和问题③中，q 是p 的必要条件.在问题①和问题④中都有q p ≠>.所以，在问题①和问题④中，q 不是p 的必要条件.强调说明：⑴充分条件与必要条件判断的关键：①认清条件与结论；②考察q p ⇒或q p ⇒的真假.⑵充分条件与必要条件和集合的关系:①q p ⇒，相当于P Q ⊆，即 或即：要使x Q ∈成立，只要x P ∈就足够了——有它就行．②q p ⇒，相当于P Q ⊇，即 或即：为使x Q ∈成立，必须要使x P ∈——缺它不行．练习：回答例3中q 是p 的充分条件吗？【设计意图】本例的设计和应用主要目的有：⑴强调条件和结论之间的推出关系，即推出箭头的方向性；⑵从集合关系的角度帮助同学们理解“充分条件”和“必要条件”；⑶体会“充分条件”和“必要条件”的不同表述方式；⑷让学生初步体会充分条件与必要条件的四种不同类型，为下节课提前准备.课堂活动：请同学们自己举例给出p 、q 并判断其二者之间存在的是否是充分条件或必要条件的关系. 例4、用“充分条件”或“必要条件”填空：⑴四边形的对角线相等是四边形为矩形的________；⑵5a >是a 为正数的________.答案：⑴必要条件；⑵充分条件.例5、 填空（写出一个满足题意的即可）⑴“0ab =”的一个充分条件是________.⑵“3x <”的一个必要条件是________.答案：⑴可填：0;0;00a b a b ====且；这三种中的任何一种.⑵可填：4x <(形如x a <，其中3a ≥的答案都是对的).【设计意图】⑴引导学生观察例5的问题的问法和前四个例题有无不同，培养学生的观察能力；⑵从条件判断填空到开放的填写条件有助于彰显学生对问题的理解程度，通过这组练习，可以了解学生“会了什么？”、“还存在什么问题？”，使后面的教学更有针对性！三、运用新知练习：判断下列各组问题中，p 是不是q 的充分条件以及p 是不是q 的必要条件？①p : x x = q : 20x ≥；②p : tan 1α= q :4πα=；③p : 直线l 与平面α内的两条相交线垂直 q : 直线l 与平面α垂直；④p :函数()f x 满足(0)0f = q : 函数()f x 是奇函数.答：①p 是q 的充分条件，p 不是q 的必要条件；②p 不是q 的充分条件，p 是q 的必要条件；③p 是q 的充分条件，p 是q 的必要条件；④p 不是q 的充分条件，p 不是的q 必要条件.结合练习，引导学生归纳如下：从练习中我们发现在p 与q 之间存在以下几种关系①q p ⇒且p q ≠>；②p q ⇒且q p ≠>；③q p ⇒且p q ⇒；④q p ≠>且p q ≠>.对于这几种关系我们应如何描述呢？下节课，我们将解决这一问题.【设计意图】反馈练习的设计，既帮助学生全面掌握本节课的学习内容，再次巩固所学知识和方法，也在前面例3的基础上明确了充分条件与必要条件涉及的四种类型，为顺利进入下节课的学习打下坚实的基础.四、课堂小结师生共同回顾本节课的教学过程，小结如下内容：①充分条件与必要条件的概念；②充分条件与必要条件判断的关键.【设计意图】再现课堂，小结提升，有助于学生明确学习的重点.五、布置作业1、必做题：课本第12页A 组1、2 、B 组12、选做题：判断下列命题的真假：①“a b 0>>”是“22a b >”的充分条件；②“a b >”是“22ac bc >”的必要条件；③“A B ⊆”是“A B =” 的必要条件；（其中A,B 是集合）④“函数()f x 是奇函数”是“()00f =”的充分条件.六、反思提升1. 本节课的亮点是能让学生准确地理解这一概念，和能简单的运用这一知识.并能够通过较为愉悦的课堂环境，使学生保持浓厚的学习兴趣，不要产生畏难情绪.2.本节课的不足之处是还需要加强对学生运用知识解决问题环节的训练.七、板书设计。
人教A版高中数学选修充分条件与必要条件教案新
1.2.1充分条件与必要条件教学要求：正确理解充分条件、必要条件及充要条件的概念.教学重点：理解充分条件和必要条件的概念.教学难点：理解必要条件的概念.教学过程：一、复习准备：写出下列命题的逆命题、否命题及逆否命题，并判断它们的真假：（1）若0ab =，则0a =；（2）若0a >时，则函数y ax b =+的值随x 的值的增加而增加.二、讲授新课：1. 认识“⇒”与“”：①在上面两个命题中，命题（1）为假命题，命题（2）为真命题. 也就是说，命题（1）中由“0ab =”不能得到“0a =”，即0ab =0a =；而命题（2）中由“0a >”可以得到“函数y ax b =+的值随x 的值的增加而增加”，即0a >⇒函数y ax b =+的值随x 的值的增加而增加.②练习：教材P12 第1题2. 教学充分条件和必要条件：①若p q ⇒，则p 是q 的充分条件（sufficient condition ），q 是p 的必要条件（necessary condition ）.上述命题（2）中“0a >”是“函数y ax b =+的值随x 的值的增加而增加”的充分条件，而“函数y ax b =+的值随x 的值的增加而增加”则是“0a >”的必要条件.②例1：下列“若p ，则q ”形式的命题中，哪些命题中的p 是q 的充分条件？（1）若1x >，则33x -<-；（2）若1x =，则2320x x -+=；（3）若()3x f x =-，则()f x 为减函数； （4）若x 为无理数，则2x 为无理数.（5）若12//l l ，则12k k =.（学生自练→个别回答→教师点评）③练习：P12页 第2题④例2：下列“若p ，则q ”形式的命题中，哪些命题中的q 是p 的必要条件？（1）若0a =，则0ab =；（2）若两个三角形的面积相等，则这两个三角形全等；（3）若a b >，则ac bc >；（4）若x y =，则22x y =.（学生自练→个别回答→教师点评）⑤练习：P12页 第3题⑥例3：判断下列命题的真假：（1）“x 是6的倍数”是“x 是2的倍数”的充分条件；（2）“5x <”是“3x <”的必要条件. （学生自练→个别回答→学生点评）3. 小结：充分条件与必要条件的理解.三、巩固练习：作业：教材P14页 第1、2题1.2.2充要条件教学要求：进一步理解充分条件、必要条件的概念，同时学习充要条件的概念.教学重点：充要条件概念的理解.教学难点：理解必要条件的概念.教学过程：一、复习准备：指出下列各组命题中，p 是q 的什么条件，q 是p 的什么条件？（1）:p a Q ∈，:q a R ∈；（2）:p a R ∈，:q a Q ∈；（3）:p 内错角相等，:q 两直线平行；（4）:p 两直线平行，:q 内错角相等.二、讲授新课：1. 教学充要条件：①一般地，如果既有p q ⇒，又有q p ⇒，就记作p q ⇔. 此时，我们说，p 是q 的充分必要条件，简称充要条件（sufficient and necessary condition ）.②上述命题中（3）（4）命题都满足p q ⇔，也就是说p 是q 的充要条件，当然，也可以说q 是p 的充要条件.2. 教学典型例题：①例1：下列命题中，哪些p 是q 的充要条件？（1）:p 四边形的对角线相等，:q 四边形是平行四边形；（2）:p 0b =，:q 函数2()f x ax bx c =++是偶函数；（3）:p 0,0x y <<，:q 0xy >；（4）:p a b >，:q a c b c +>+.（学生自练→个别回答→教师点评）②练习教材P14 练习第1、2题③探究：请同学们自己举出一些p 是q 的充要条件的命题来.④例2：已知：O 的半径为r ，圆心O 到直线l 的距离为d . 求证：d r =是直线l 与O 相切的充要条件.（教师引导→学生板书→教师点评）3. 小结：充要条件概念的理解.三、巩固练习：1. 从“⇒”、“”与“⇔”中选出适当的符号填空：（1）1x >- 1x >； （2）a b > 11a b<； （3）2220a ab b -+= a b =； （4）A ⊆∅ A =∅.2. 判断下列命题的真假：（1）“a b >”是“22a b >”的充分条件；（2）“a b >”是“22a b >”的必要条件；（3）“a b >”是“22ac bc >”的充要条件；（4）“5a +是无理数”是“a 是无理数”的充分不必要条件；（5）“1x =”是“2230x x --=”的充分条件.3. 作业：教材P14页 习题第3、4题。
高中数学 专题1.2.1 充分条件与必要条件教案 新人教A版选修21
充分条件与必要条件【教学目标】1、知识与技能（1）、正确理解充分而不必要条件、必要而不充分条件、充要条件、既不充分也不必要条件的定义．（2）、会判断命题的充分条件、必要条件、充分不必要条件、 必要不充分条件、充要条件、 既不充分也不必要条件.（3）、通过学习，使学生明白对条件的判定应该归结为判断命题的真假．2、过程与方法（1）、通过对充分条件、必要条件、充分不必要条件、 必要不充分条件、充要条件、 既不充分也不必要条件概念的理解和运用，培养学生分析、判断和归纳的逻辑思维能力．（2）、在观察和思考中，在解题和证明题中，培养学生思维能力的严密性品质．3、情感、态度与价值观（1）、通过学生的举例，培养他们的辨析能力以及培养他们的良好的思维品质，在练习过程中进行辩证唯物主义思想教育．（2）、激发学生的学习热情，激发学生的求知欲，培养严谨的学习态度，培养积极进取的精神．【教法指导】教学重点（1）、正确区分充分条件、必要条件、充分不必要条件、 必要不充分条件、充要条件、 既不充分也不必要条件的概念.（2）、正确运用“条件”的定义解题.教学难点如何正确判断充分不必要条件、 必要不充分条件、充要条件、 既不充分也不必要条件.【教学过程】 ☆情境引入☆1.命题的常用形式．（学生回答）2.写出命题“若1x =，则21x =”的逆命题、否命题和逆否命题，并分别判断这四种命题的真假． 学生回答：原命题：若1x =，则21x =； 真命题．逆命题：若21x =，则1x =； 假命题．否命题：若1x ≠，则21x ≠； 假命题．逆否命题：若21x ≠，则1x ≠；真命题． ☆探索新知☆在该问题中，原命题为真我们就称“1x =”能推出“21x =”．也就是说：只要有条件“1x =”就能充分保证结论“21x =”成立．提出问题：1.你能举出一个“若p ，则q ”是真命题的例子吗？并说出条件和结论的联系．以上命题中条件和结论之间的这种推出关系，反映了两者之间的一种“充分的”联系．在数学中我们对这种联系可用一种新的定义—充分条件来描述，从而过渡到第2个问题．2.由刚才的分析你能否尝试着归纳出充分条件的概念？ 形成概念（教师板书）：一般地，“若p ，则q ”是真命题，是指由p 通过推理可以得出q ．这时，我们就说，由p 可推出q ，记作“q p ⇒”，并且说p 是q 的充分条件（sufficient conditi on ）；q 是p 的必要条件（necessary condition ）．理解新知提出问题：对于p 是q 的充分条件容易理解，那么，如何理解q 是p 的必要条件呢？ 解释：我们可从原命题与其逆否命题真假相同的角度来理解．在刚才问题中，命题“若1x =，则21x =”的逆否命题“若21x ≠，则1x ≠”为真命题．是说“如果21x =不成立，那么1x =也不成立”．这就是说，要使1x =成立，就必须有21x =成立．因此，“21x =”是“1x =”成立的必要条件．五、运用新知例1.下列“若p ，则q ”形式的命题中，哪些命题中的p 是q 的充分条件？(1)若3x >，则2x >；(2)若1x =，则2430x x -+=；(3)若x 为无理数，则2x 为无理数．分析：判断p q ⇒是否成立即判断命题是否为真．例2.下列“若p ，则q ”的命题中(若不是，请改为这种形式)，哪些命题中的q 是p 的必要条件？(1)若x y =，则22x y =；(2)全等三角形面积相等；(3)若a b >，则ac bc >．例3.下列“若p ，则q ”形式的命题中，哪些p 是q 的充分条件？(1)22:,:2p x a b q x ab >+>；(2):5,:10p x q x >>；(3):0,:0p ab q a ≠≠．答案：命题(1) (3)中的p 是q 的充分条件．例4.判断下列命题的真假：(1)()()0x a x b x a --==是的必要条件；(2)sin sin αβαβ==是的充分条件；(3)四边形对角线相等是四边形是平行四边形的必要条件． 答案：(1)正确，(2) (3)错误．提炼方法：提出问题，组织学生讨论：如何判断充分条件和必要条件？(1)分清谁是条件p ，谁是结论q ；(2)进行两次推理或判断，即判断p q ⇒是否成立，q p ⇒是否成立；(3)根据(2)写出结论．深化概念：集合{}|3P x x =>,集合{}|2Q x x =>．问集合P 与集合Q 是什么关系？探究问题： 如果p 表示某元素x 属于集合P ，q 表示该元素属于集合Q ，如何用集合间的关系理解“p q ⇒”的含义？ 分析：“P Q ⊆” 用图形可以表示为：是指：某元素x 属于集合P ，那么该元素必属于集合Q ，也就是说Q x P x ∈⇒∈，即：“p q ⇒”所以x P ∈是x Q ∈的______条件，x Q ∈是x P ∈的______条件.结论：若P Q ⊆，则x P ∈是x Q ∈的充分条件，x Q ∈是x P ∈的必要条件. ☆课堂提高☆1.在下列电路图中，闭合开关A 是灯泡B 亮的什么条件（用充分条件和必要条件）： 如图(1)所示，开关A 闭合是灯泡B 亮的 条件；如图(2)所示，开关A 闭合是灯泡B 亮的 条件．2.能力提升（开放性题目）填空（写出一个满足题意的即可）(1)“0ab =”的一个充分条件是________；(2)“3x <”的一个必要条件是________.答案：1.(1)充分；(2)必要．2.(1)可填：0,0,00a b a b ====且，这三种中的任何一种；(2)可填：4x < (形如x a <，其中3a ≥的答案都是对的).☆课堂小结☆(1)充分条件与必要条件的概念； (2)如何判断充分条件和必要条件？(3)判断充分条件、必要条件时我们用到了哪些方法？(定义法、等价法（逆否命题）、集合法)(4)数学思想：等价转化.教师总结(一首诗帮助学生记忆)：充分必要逻辑深，核心关键判假真．分清条件和结论，等价命题可判真． ☆课后作业☆1.必做题：课本第12页A 组1、2；2.选做题： B 组1。
1.2充分条件与必要条件 教学设计 教案
教学准备1. 教学目标1．知识目标：①正确理解充分条件、必要条件的概念；②熟练理解四种命题及其真假的判别，并进一步理解充分条件、必要条件的概念；③在理解定义的基础上，自觉地对定义进行转化，转化成推理关系及集合的包含关系.2．能力目标：①培养学生的观察与类比能力：“多观察”，“勤类比”，通过大量的问题，会观察其共性及个性；②培养学生的归纳能力：“善归纳”，对一些事例，观察后进行归纳总结出一般规律；③培养学生的建构能力：“重建构”，通过反复的观察分析和类比，把归纳出的结论，建构到自己的知识体系中.3．情感目标：①通过以学生为主体的教学方法，让学生自己构造数学命题，发展体验获取知识的感受；②通过对命题的四种形式及充分条件，必要条件的理解，培养学生的辩证唯物主义观点；③通过“多观察、勤类比、善归纳、重建构”，培养学生自主学习，勇于创新，多方位审视问题的创造技巧，敢于把错误的思维过程及弱点暴露出来，并在问题面前表现出浓厚的兴趣和不畏困难、勇于进取的精神.2. 教学重点/难点①教学重点：正确理解充分条件、必要条件的定义②教学难点：难点1：学生对“充分条件”的概念相对较易接受,而必要条件的概念则难以理解.对于“B=>A”,称A是B的必要条件难于接受,A本是B推出的结论,怎么变成条件了呢?对这学生难于理解.难点2：充分条件，必要条件的判断3. 教学用具多媒体设备4. 标签教学过程教学过程设计（一）创设情境激发求知情境一当某一天你和你的妈妈在街上遇到老师的时候，你向老师介绍你的妈妈说：“这是我的妈妈”，你想一想这个时候你的妈妈还会补充说你是她的孩子吗？情境二下图是一个简单电路图，开关A闭合，灯泡亮吗？设计意图：两个情境问题是学生生活中常见的，学生非常感兴趣的问题，有利于激发学生的好奇心和求知欲．两个问题分别和语文、物理有关，让学生感受生活中“充分”“必要”的含义，更准确的理解应该以数学定义为依据。
（二）复习回顾，温故知新复习回顾：写出下列原命题的四种命题，并判断真假（1）两个全等三角形的面积相等学生活动：学生独立解答，口答完成教师点拨：（5）直接判断比较困难，可转化为等价的逆否命题设计意图：①复习巩固命题有关知识；②顺其自然，引入本节课的内容．（三）探究新知建构模型1．“若p则q”为真，记作“”；2．充分条件与必要条件定义一般地，如果已知，那么就说，p是q的充分条件，同时称q是p必要条件．理解词语：充分条件、必要条件特征：充分条件：有它就行，没它未必不行必要条件：没它不行，有它未必就行理解：如图：有一个圆A，在其内又含有一个圆B，请回答：p：“A为绿色”，q:“B为绿色”，p是q的什么条件，q是p的什么条件？充分性：条件是充分的，也就是说条件是充足的，足够的，足以保证的。
高中数学选修2-1精品教案1：1.2.1 充分条件与必要条件教学设计
1.2.1分条件与必要条件（一）教学目标1.知识与技能：正确理解充分不必要条件、必要不充分条件的概念；会判断命题的充分条件、必要条件．2.过程与方法：通过对充分条件、必要条件的概念的理解和运用，培养学生分析、判断和归纳的逻辑思维能力．３．情感、态度与价值观：通过学生的举例，培养他们的辨析能力以及培养他们的良好的思维品质，在练习过程中进行辩证唯物主义思想教育．（二）教学重点与难点重点：充分条件、必要条件的概念．(解决办法：对这三个概念分别先从实际问题引起概念，再详细讲述概念，最后再应用概念进行论证．)难点：判断命题的充分条件、必要条件.关键：分清命题的条件和结论，看是条件能推出结论还是结论能推出条件.教具准备：与教材内容相关的资料.教学设想：通过学生的举例，培养他们的辨析能力以及培养他们的良好的思维品质，在练习过程中进行辩证唯物主义思想教育．（三）教学过程学生探究过程：一.复习引入命题的概念及命题的真假性二.思考、分析写出下列两个命题的条件和结论，并判断是真命题还是假命题？（1）若x＞a2+ b2，则x＞2ab, （2）若ab＝0，则a＝0.学生容易得出结论；命题(1)为真命题，命题(２)为假命题．置疑：对于命题“若p，则q”，有时是真命题，有时是假命题．如何判断其真假的？三.归纳总结：答：看p能不能推出q，如果p能推出q，则原命题是真命题，否则就是假命题．四.抽象概括充分条件与必要条件1．p是q的充分条件是指“p成立可充分保证q成立，但是如果没有p，q也可能成立”．2．q是p的必要条件是指“要使p成立必须要有q成立”，或者说“若q不成立，则p一定不成立”；但即使有q成立，p未必会成立．五.例题分析及练习[例1]指出下列各题中，p是q的什么条件(在“充分不必要条件”“必要不充分条件”“充要条件”“既不充分又不必要条件”中选出一种作答)．(1)对于实数x，y，p：x＋y≠8，q：x≠2或y≠6.(2)在△ABC中，p：sin A>sin B，q：tan A>tan B.(3)已知x，y∈R，p：(x－1)2＋(y－2)2＝0，q：(x－1)·(y－2)＝0.[思路点拨]首先判断是否有p⇒q和q⇒p，再根据定义下结论，也可用等价命题判断．[精解详析](2)因为x＝2且y＝6⇒x＋y＝8，即￢q⇒￢p，但￢p⇒/ ￢q，所以p是q的充分不必要条件．(3)取∠A＝120°，∠B＝30°，p⇒/ q，又取∠A＝30°，∠B＝120°，q⇒/ p，所以p是q的既不充分也不必要条件．(4)因为p：A＝{(1,2)}，q：B＝{(x，y)|x＝1或y＝2}，A⇒B，所以p是q的充分不必要条件．[感悟体会](1)若p⇒q且q⇒/ p，则p是q的充分不必要条件；若p⇒/ q且q⇒p，则p是q的必要不充分条件；若p⇒q且q⇒p，则p是q的充要条件；若p⇒/ q且q⇒/ p，则p是q的既不充分也不必要条件．(2)判断A是B的什么条件，常用方法是验证由A能否推出B，由B能否推出A.对于否定性命题，注意利用等价命题来判断．训练题组11．下列命题中，p是q的充分条件的是()A．p：a＝0，q：ab＝0B．p：a2＋b2≥0，q：a≥0且b≥0C．p：x2>1，q：x>1D．p：a>b，q：a>b解析：对A，a＝0时，一定有ab＝0，p⇒q；对B，a2＋b2≥0时，a，b∈R，∴p⇒/ q；对C，x2>1时，x>1或x<－1，∴p⇒/ q；对D ，当a >b >0时，有a >b ，而a >0>b 或0>a >b 时，a 或b 无意义，∴p ⇒/ q .答案：A2．(2012·天津高考)设φ∈R ，则“φ＝0”是“f (x )＝cos (x ＋φ)(x ∈R)为偶函数”的( )A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件解析：φ＝0时，函数f (x )＝cos(x ＋φ)＝cos x 是偶函数，而f (x )＝cos(x ＋φ)是偶函数时，φ＝π＋k π(k ∈Z)．故φ＝0是函数f (x )＝cos(x ＋φ)为偶函数的充分而不必要条件．答案：A3．指出下列各组命题中，p 是q 的什么条件(充分不必要条件，必要不充分条件，充要条件，既不充分也不必要条件)．(1)p ：△ABC 中，b 2>a 2＋c 2，q ：△ABC 为钝角三角形；(2)p ：△ABC 有两个角相等，q ：△ABC 是正三角形；解：(1)△ABC 中，∵b 2>a 2＋c 2，∴cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac<0， ∴B 为钝角，即△ABC 为钝角三角形．反之，若△ABC 为钝角三角形，B 可能为锐角，这时b 2<a 2＋c 2.∴p ⇒q ，q ⇒/ p ，故p 是q 的充分不必要条件．(2)有两个角相等不一定是等边三角形，反之一定成立，∴p ⇒/ q ，q ⇒p ，故p 是q 的必要不充分条件．[例2] 已知p ：实数x 满足x 2－4ax ＋3a 2<0，其中a <0；q ：实数x 满足x 2－x －6≤0.若￢p 是￢q 的必要不充分条件，求实数a 的取值范围．[思路点拨] 解决本题可先求出命题p 和q 成立的条件，再得到￢p ，利用￢p 是￢q 的必要不充分条件，即￢q ⇒￢p 求出a 的取值范围，或利用等价条件p ⇒q 求得a .[精解详析] 由x 2－4ax ＋3a 2<0且a <0得3a <x <a ，∴p ：3a <x <a .由x 2－x －6≤0得－2≤x ≤3，∴q ：－2≤x ≤3.∵￢q ⇒￢p ，∴p ⇒q .∴⎩⎪⎨⎪⎧3a ≥－2，a ≤3，a <0⇒－23≤a <0， ∴a 的取值范围是[－23，0)． [感悟体会] 根据充分条件、必要条件、充要条件求参数的取值范围时，可以先把p ，q等价转化，利用充分条件、必要条件、充要条件与集合间的包含关系，建立关于参数的不等式(组)进行求解．训练题组24．集合A ＝{x |x －1x ＋1<0}，B ＝{x ||x －b |<a }．若“a ＝1”是“A ∩B ”≠∅”的充分条件，则实数b 的取值范围是( )A ．[－2,0)B ．(0,2]C ．(－2,2)D ．[－2,2] 解析：A ＝{x |x －1x ＋1<0}＝{x |－1<x <1}，B ＝{x ||x －b |<a }＝{x |b －a <x <b ＋a }，因为“a ＝1”是“A ∩B ≠∅”的充分条件，所以－1≤b －1<1或－1<b ＋1≤1，即－2<b <2.答案：C5．已知p ：x 2－8x －20>0，q ：x 2－2x ＋1－a 2>0.若p 是q 的充分不必要条件，求正实数a 的取值范围．解：不等式x 2－8x －20>0的解集为A ＝{x |x >10或x <－2}；不等式x 2－2x ＋1－a 2>0的解集为B ＝{x |x >1＋a 或x <1－a ，a >0}．依题意p ⇒q 但q ⇒/ p ，说明A B .于是有⎩⎪⎨⎪⎧ a >0，1＋a ≤10，1－a >－2或⎩⎪⎨⎪⎧a >0，1＋a <10，1－a ≥－2，解得0<a ≤3. 所以正实数a 的取值范围是(0,3].六.课堂小结与归纳1．判断充分、必要条件时，首先要分清条件和结论，然后进行推理和判断．常用的判断方法有以下三种：(1)定义法(直接法).条件p 与结论q 的关系结论 p ⇒q ，但q ⇒/ pp 是q 成立的充分不必要条件 q ⇒p ，但p ⇒/ qp 是q 成立的必要不充分条件 p ⇒/ q ，q ⇒/ pp 是q 成立的既不充分也不必要条件(2)集合法，即用集合的包含关系判断．设命题p ，q 对应的集合分别为A ，B .若A B ，则p 是q 的充分不必要条件若B A ，则p 是q 的必要不充分条件若A不是B的子集，且B不是A的子集，则p既不是q的充分条件，也不是q的必要条件(3)等价转化法，即利用A⇒B与￢B⇒￢A，A⇔B与￢B⇔￢A来判断．一般地，对于条件或结论是否定形式的命题，可运用等价转化法判断．2．在涉及含有字母参数的充要条件的问题中，常利用集合的包含、相等关系来考虑．七.当堂训练1．给定空间中的直线l及平面α，条件“直线l与平面α内无数条直线都垂直”是“直线l与平面α垂直”的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分又不必要条件解析：直线l与平面内无数直线都垂直，不能得到直线l⊥α，因为有可能是直线l在平面α内与一组平行直线垂直．若l⊥α，则直线l垂直于α内的所有直线．答案：B2．(2011·福建高考)若a∈R，则“a＝2”是“(a－1)(a－2)＝0”的()A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充要条件D．既不充分又不必要条件解析：若“a＝2”，则“(a－1)(a－2)＝0”，即a＝2⇒(a－1)·(a－2)＝0.若“(a－1)(a－2)＝0”，则“a＝2或a＝1”，故(a－1)(a－2)＝0不一定能推出a＝2.答案：A3．设甲、乙、丙是三个命题，如果甲是乙的必要条件，丙是乙的充分条件但不是乙的必要条件，那么()A．丙是甲的充分条件，但不是甲的必要条件B．丙是甲的必要条件，但不是甲的充分条件C．丙是甲的充要条件D．丙既不是甲的充分条件，也不是甲的必要条件解析：因为甲是乙的必要条件，所以乙⇒甲．又因为丙是乙的充分条件，但不是乙的必要条件，所以丙⇒乙，但乙⇒/ 丙，如图．综上，有丙⇒甲，但甲⇒/ 丙，即丙是甲的充分条件，但不是甲的必要条件．答案：A4．设p：|x|>1，q：x<－2或x>1，则￢p是￢q的()A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解析：由已知得￢p ：－1≤x ≤1，￢q ：－2≤x ≤1，所以￢p 是￢q 的充分不必要条件． 答案：A5．如果命题“若A ，则B ”的否命题是真命题，而它的逆否命题是假命题，则A 是B 的________________条件．解析：因为逆否命题为假，所以原命题为假，即A ⇒/ B .又因否命题为真，所以逆命题为真，即B ⇒A ,所以A 是B 的必要不充分条件．答案：必要不充分6．已知集合A ＝{y |y ＝x 2－32x ＋1，x ∈[－12，2]}，B ＝{x ||x －m |≥1}，命题p ：x ∈A ，命题q ：x ∈B ，并且命题p 是命题q 的充分条件，求实数m 的取值范围．解：先化简集合A ，由y ＝x 2－32x ＋1，配方，得y ＝(x －34)2＋716. ∵x ∈[－12，2]，∴y ∈[716，2]．∴A ＝{y |716≤y ≤2}．由|x －m |≥1，解得x ≥m ＋1或x ≤m －1. ∴B ＝{x |x ≥m ＋1或x ≤m －1}．∵命题p 是命题q 的充分条件，∴A ⊆B .∴m ＋1≤716或m －1≥2，解得m ≤－916或m ≥3.故实数m 的取值范围是(－∞，－916]∪[3，＋∞)．。
高中数学选修2-1精品教案1：1.2.1 充分条件与必要条件教学设计
1.2.1分条件与必要条件（一）教学目标1.知识与技能：正确理解充分不必要条件、必要不充分条件的概念；会判断命题的充分条件、必要条件．2.过程与方法：通过对充分条件、必要条件的概念的理解和运用，培养学生分析、判断和归纳的逻辑思维能力．３．情感、态度与价值观：通过学生的举例，培养他们的辨析能力以及培养他们的良好的思维品质，在练习过程中进行辩证唯物主义思想教育．（二）教学重点与难点重点：充分条件、必要条件的概念．(解决办法：对这三个概念分别先从实际问题引起概念，再详细讲述概念，最后再应用概念进行论证．)难点：判断命题的充分条件、必要条件.关键：分清命题的条件和结论，看是条件能推出结论还是结论能推出条件.教具准备：与教材内容相关的资料.教学设想：通过学生的举例，培养他们的辨析能力以及培养他们的良好的思维品质，在练习过程中进行辩证唯物主义思想教育．（三）教学过程学生探究过程：一.复习引入命题的概念及命题的真假性二.思考、分析写出下列两个命题的条件和结论，并判断是真命题还是假命题？（1）若x＞a2+ b2，则x＞2ab, （2）若ab＝0，则a＝0.学生容易得出结论；命题(1)为真命题，命题(２)为假命题．置疑：对于命题“若p，则q”，有时是真命题，有时是假命题．如何判断其真假的？三.归纳总结：答：看p能不能推出q，如果p能推出q，则原命题是真命题，否则就是假命题．四.抽象概括充分条件与必要条件1．p是q的充分条件是指“p成立可充分保证q成立，但是如果没有p，q也可能成立”．2．q是p的必要条件是指“要使p成立必须要有q成立”，或者说“若q不成立，则p一定不成立”；但即使有q成立，p未必会成立．五.例题分析及练习[例1]指出下列各题中，p是q的什么条件(在“充分不必要条件”“必要不充分条件”“充要条件”“既不充分又不必要条件”中选出一种作答)．(1)对于实数x，y，p：x＋y≠8，q：x≠2或y≠6.(2)在△ABC中，p：sin A>sin B，q：tan A>tan B.(3)已知x，y∈R，p：(x－1)2＋(y－2)2＝0，q：(x－1)·(y－2)＝0.[思路点拨]首先判断是否有p⇒q和q⇒p，再根据定义下结论，也可用等价命题判断．[精解详析](2)因为x＝2且y＝6⇒x＋y＝8，即￢q⇒￢p，但￢p⇒/ ￢q，所以p是q的充分不必要条件．(3)取∠A＝120°，∠B＝30°，p⇒/ q，又取∠A＝30°，∠B＝120°，q⇒/ p，所以p是q的既不充分也不必要条件．(4)因为p：A＝{(1,2)}，q：B＝{(x，y)|x＝1或y＝2}，A⇒B，所以p是q的充分不必要条件．[感悟体会](1)若p⇒q且q⇒/ p，则p是q的充分不必要条件；若p⇒/ q且q⇒p，则p是q的必要不充分条件；若p⇒q且q⇒p，则p是q的充要条件；若p⇒/ q且q⇒/ p，则p是q的既不充分也不必要条件．(2)判断A是B的什么条件，常用方法是验证由A能否推出B，由B能否推出A.对于否定性命题，注意利用等价命题来判断．训练题组11．下列命题中，p是q的充分条件的是()A．p：a＝0，q：ab＝0B．p：a2＋b2≥0，q：a≥0且b≥0C．p：x2>1，q：x>1D．p：a>b，q：a>b解析：对A，a＝0时，一定有ab＝0，p⇒q；对B，a2＋b2≥0时，a，b∈R，∴p⇒/ q；对C，x2>1时，x>1或x<－1，∴p⇒/ q；对D ，当a >b >0时，有a >b ，而a >0>b 或0>a >b 时，a 或b 无意义，∴p ⇒/ q .答案：A2．(2012·天津高考)设φ∈R ，则“φ＝0”是“f (x )＝cos (x ＋φ)(x ∈R)为偶函数”的( )A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件解析：φ＝0时，函数f (x )＝cos(x ＋φ)＝cos x 是偶函数，而f (x )＝cos(x ＋φ)是偶函数时，φ＝π＋k π(k ∈Z)．故φ＝0是函数f (x )＝cos(x ＋φ)为偶函数的充分而不必要条件．答案：A3．指出下列各组命题中，p 是q 的什么条件(充分不必要条件，必要不充分条件，充要条件，既不充分也不必要条件)．(1)p ：△ABC 中，b 2>a 2＋c 2，q ：△ABC 为钝角三角形；(2)p ：△ABC 有两个角相等，q ：△ABC 是正三角形；解：(1)△ABC 中，∵b 2>a 2＋c 2，∴cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac<0， ∴B 为钝角，即△ABC 为钝角三角形．反之，若△ABC 为钝角三角形，B 可能为锐角，这时b 2<a 2＋c 2.∴p ⇒q ，q ⇒/ p ，故p 是q 的充分不必要条件．(2)有两个角相等不一定是等边三角形，反之一定成立，∴p ⇒/ q ，q ⇒p ，故p 是q 的必要不充分条件．[例2] 已知p ：实数x 满足x 2－4ax ＋3a 2<0，其中a <0；q ：实数x 满足x 2－x －6≤0.若￢p 是￢q 的必要不充分条件，求实数a 的取值范围．[思路点拨] 解决本题可先求出命题p 和q 成立的条件，再得到￢p ，利用￢p 是￢q 的必要不充分条件，即￢q ⇒￢p 求出a 的取值范围，或利用等价条件p ⇒q 求得a .[精解详析] 由x 2－4ax ＋3a 2<0且a <0得3a <x <a ，∴p ：3a <x <a .由x 2－x －6≤0得－2≤x ≤3，∴q ：－2≤x ≤3.∵￢q ⇒￢p ，∴p ⇒q .∴⎩⎪⎨⎪⎧3a ≥－2，a ≤3，a <0⇒－23≤a <0， ∴a 的取值范围是[－23，0)． [感悟体会] 根据充分条件、必要条件、充要条件求参数的取值范围时，可以先把p ，q等价转化，利用充分条件、必要条件、充要条件与集合间的包含关系，建立关于参数的不等式(组)进行求解．训练题组24．集合A ＝{x |x －1x ＋1<0}，B ＝{x ||x －b |<a }．若“a ＝1”是“A ∩B ”≠∅”的充分条件，则实数b 的取值范围是( )A ．[－2,0)B ．(0,2]C ．(－2,2)D ．[－2,2] 解析：A ＝{x |x －1x ＋1<0}＝{x |－1<x <1}，B ＝{x ||x －b |<a }＝{x |b －a <x <b ＋a }，因为“a ＝1”是“A ∩B ≠∅”的充分条件，所以－1≤b －1<1或－1<b ＋1≤1，即－2<b <2.答案：C5．已知p ：x 2－8x －20>0，q ：x 2－2x ＋1－a 2>0.若p 是q 的充分不必要条件，求正实数a 的取值范围．解：不等式x 2－8x －20>0的解集为A ＝{x |x >10或x <－2}；不等式x 2－2x ＋1－a 2>0的解集为B ＝{x |x >1＋a 或x <1－a ，a >0}．依题意p ⇒q 但q ⇒/ p ，说明A B .于是有⎩⎪⎨⎪⎧ a >0，1＋a ≤10，1－a >－2或⎩⎪⎨⎪⎧a >0，1＋a <10，1－a ≥－2，解得0<a ≤3. 所以正实数a 的取值范围是(0,3].六.课堂小结与归纳1．判断充分、必要条件时，首先要分清条件和结论，然后进行推理和判断．常用的判断方法有以下三种：(1)定义法(直接法).条件p 与结论q 的关系结论 p ⇒q ，但q ⇒/ pp 是q 成立的充分不必要条件 q ⇒p ，但p ⇒/ qp 是q 成立的必要不充分条件 p ⇒/ q ，q ⇒/ pp 是q 成立的既不充分也不必要条件(2)集合法，即用集合的包含关系判断．设命题p ，q 对应的集合分别为A ，B .若A B ，则p 是q 的充分不必要条件若B A ，则p 是q 的必要不充分条件若A不是B的子集，且B不是A的子集，则p既不是q的充分条件，也不是q的必要条件(3)等价转化法，即利用A⇒B与￢B⇒￢A，A⇔B与￢B⇔￢A来判断．一般地，对于条件或结论是否定形式的命题，可运用等价转化法判断．2．在涉及含有字母参数的充要条件的问题中，常利用集合的包含、相等关系来考虑．七.当堂训练1．给定空间中的直线l及平面α，条件“直线l与平面α内无数条直线都垂直”是“直线l与平面α垂直”的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分又不必要条件解析：直线l与平面内无数直线都垂直，不能得到直线l⊥α，因为有可能是直线l在平面α内与一组平行直线垂直．若l⊥α，则直线l垂直于α内的所有直线．答案：B2．(2011·福建高考)若a∈R，则“a＝2”是“(a－1)(a－2)＝0”的()A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充要条件D．既不充分又不必要条件解析：若“a＝2”，则“(a－1)(a－2)＝0”，即a＝2⇒(a－1)·(a－2)＝0.若“(a－1)(a－2)＝0”，则“a＝2或a＝1”，故(a－1)(a－2)＝0不一定能推出a＝2.答案：A3．设甲、乙、丙是三个命题，如果甲是乙的必要条件，丙是乙的充分条件但不是乙的必要条件，那么()A．丙是甲的充分条件，但不是甲的必要条件B．丙是甲的必要条件，但不是甲的充分条件C．丙是甲的充要条件D．丙既不是甲的充分条件，也不是甲的必要条件解析：因为甲是乙的必要条件，所以乙⇒甲．又因为丙是乙的充分条件，但不是乙的必要条件，所以丙⇒乙，但乙⇒/ 丙，如图．综上，有丙⇒甲，但甲⇒/ 丙，即丙是甲的充分条件，但不是甲的必要条件．答案：A4．设p：|x|>1，q：x<－2或x>1，则￢p是￢q的()A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解析：由已知得￢p ：－1≤x ≤1，￢q ：－2≤x ≤1，所以￢p 是￢q 的充分不必要条件． 答案：A5．如果命题“若A ，则B ”的否命题是真命题，而它的逆否命题是假命题，则A 是B 的________________条件．解析：因为逆否命题为假，所以原命题为假，即A ⇒/ B .又因否命题为真，所以逆命题为真，即B ⇒A ,所以A 是B 的必要不充分条件．答案：必要不充分6．已知集合A ＝{y |y ＝x 2－32x ＋1，x ∈[－12，2]}，B ＝{x ||x －m |≥1}，命题p ：x ∈A ，命题q ：x ∈B ，并且命题p 是命题q 的充分条件，求实数m 的取值范围．解：先化简集合A ，由y ＝x 2－32x ＋1，配方，得y ＝(x －34)2＋716. ∵x ∈[－12，2]，∴y ∈[716，2]．∴A ＝{y |716≤y ≤2}．由|x －m |≥1，解得x ≥m ＋1或x ≤m －1. ∴B ＝{x |x ≥m ＋1或x ≤m －1}．∵命题p 是命题q 的充分条件，∴A ⊆B .∴m ＋1≤716或m －1≥2，解得m ≤－916或m ≥3.故实数m 的取值范围是(－∞，－916]∪[3，＋∞)．。
人教课标版高中数学选修1-1《充分条件与必要条件》教学设计
1．2充分条件与必要条件一、教学目标【核心素养】培养逻辑推理的能力，形成基本的数学逻辑思维．【学习目标】（1）正确理解充分条件、必要条件、充要条件三个概念．（2）能利用充分条件、必要条件、充要条件三个概念，熟练判断四种命题间的关系．（3）在理解定义的基础上，可以自觉地对定义进行转化，转化成推理关系及集合的包含关系．【学习重点】充分条件、必要条件的概念．【学习难点】充分条件、必要条件的判断．二、教学设计（一）课前设计1．预习任务任务1：预习教材P 9—P 10，思考充分条件与必要条件的内容是什么？任务2：思考什么是必要条件2．预习自测1．已知:p αβ≠，:cos cos q αβ≠，则p 是q 的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件答案：B解析：显然有/p q ⇒，q p ⇒，∴p 是q 的必要不充分条件，故选B ． 考点：判断命题的必要不充分条件．2．设x ∈R ，则2x >的一个必要不充分条件是（ ）A ．1x >B ．1x <C ．3x >D ．3x <答案：A解析：21x x >⇒>，12/x x >⇒>．故选A ． 3．设,x y ∈R ，则“2x ≥且2y ≥”是“224x y +≥”的（ ） A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件答案：A解析：224x y +≥表示以原点为圆心，以2为半径的圆以及圆外的区域，则2x ≥且2y ≥不一定成立，而2x ≥且2y ≥时，224x y +≥，故选A ． （二）课堂设计1．知识回顾在上一节的“若p ，则q “形式的命题中，能否分析下原命题、逆命题、逆否命题真假的不同情形下，命题p 分别是命题q 的什么条件？2．问题探究问题探究一 充分条件与必要条件阅读与思考： p ：鱼缸里的鱼能存活 q ：鱼缸里有水1、说出“若p ，则q ”与“若q ，则p ”形式的命题；2、判断真假．想一想：那么，这在数学中是一层什么样的关系呢？今天我们就来学习这个有意义的课题——充分条件与必要条件．探究：请大家根据以上结论，思考什么叫做充分条件与必要条件？1．推断符号“⇒”的含义：一般地，如果“若p 则q ”为真， 即如果p 成立，那么q 一定成立，记作：p q 如果“若p ，则q ”为假， 即如果p 成立，那么q 不一定成立，记作：p q2．充分条件与必要条件一般地，如果p⇒q，那么称p是q的条件；同时称q是p的条件．问题探究二充要条件思考：指出下列命题中，p是q的什么条件，q是p的什么条件：p：x=0，y=0，q：x2+y2=0．∵x=0，y=0⇒x2+y2=0，∴p是q的条件；又x2+y2=0⇒x=0，y=0，∴q是p的条件．在问题中，p既是q的充分条件，p又是q的必要条件，此时，我们统说，p是q的条件，简称条件．1．相关的概念如果既有p⇒q，又有q⇒p，就记作p⇔q．我们就说，p和q互为充要条件．说明：符号“⇔”叫做等价符号．“p⇔q”表示“p⇒q且p⇐q”；也表示“p等价于q”．1.充要条件的判断方法由上述命题的充分条件、必要条件的判断过程，可确定命题按条件和结论的充分性、必要性可分为四类：(1) p⇒q，而q⇒p，则p是q的条件．(2) p⇏q，而q⇒p ，则p是q的条件．(3)p⇒q，又有q⇒p或(p⇔q)，则p是q的条件．(4) p⇏q，又有q⇏p，则p是q的条件．四种“条件”的情况反映了命题的条件与结论之间的因果关系，所以在判断时应该：⑴确定条件是什么，结论是什么⑵尝试从条件推出结论，从结论推出条件⑶确定条件是结论的什么条件⑷充要性包含：充分性p⇒q，必要性q⇒p这两个方面，缺一不可3．课堂总结【知识梳理】①如果已知p⇒q，则称p是q的充分条件，而q是p的必要条件．②如果既有p⇒q，又有q⇒q，即p⇔q，则称p是q的充要条件．【重难点突破】借助“子集概念”理解充分条件与必要条件．设A，B为两个集合，集合A⊆B是指x⋲A⇒x⋲B．这就是说，“x ⋲A ”是“x ⋲B ”的充分条件，“x ⋲B ”是“x ⋲A ”的必要条件．对于真命题“若p 则q ”，即p ⇒q ，若把p 看做集合A ，把q 看做集合B ，“p ⇒q ”相当于“A ⊆B ”．4．随堂检测1．若p 是q 的充分条件，则q 是p 的（ ）A ．充分条件B ．必要条件C ．既不是充分条件也不是必要条件D ．既是充分条件又是必要条件【知识点：充分必要条件】答案：B解析：因为p 是q 的充分条件，所以p q ⇒，所以q 是p 的必要条件．2．下列命题中，p 是q 的充分条件的是（ ）A ．p ：a =0，q ：ab =0B ．p ：a 2+b 2≥0，q ：a ≥0且b ≥0C ．p ：x 2>1，q ：x >1D ．p ：a >b ，q >【知识点：充分必要条件】答案：A解析：根据充分条件的概念逐一判断．3．若“1x >”是“x a >”的充分条件，则a 的取值范围是________．【知识点：充分必要条件】解：1a ≤因为1x >⇒x a >，所以1a ≤．4．“22x x =”是“0x =”的________条件，“0x =”是“22x x =”的________条件(用“充分”“必要”填空)．【知识点：充分必要条件】答案：必要；充分解析：由于0x =⇒22x x =，所以“22x x =”是“0x =”的必要条件，“0x =”是“22x x =”的充分条件．5．已知命题p ：α=β;命题q ：tanα=tanβ，问p 是q 的什么条件?【知识点：充分必要条件】 解：当2παβ==时，显然tan α与tan β无意义，即p ⇏q ，故p 不是q 的充分条件; 又α=，β=时，tanα=tanβ，所以q ⇏p ，所以p 不是q 的必要条件，综上，p 既不是q 的充分条件，也不是必要条件．（三）课后作业★基础型 自主突破1．“2x =”是“(1)(2)0x x --=”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．非充分非必要条件【知识点：充分必要条件】答案：A2．在ABC ∆中，:,:p a b q BAC ABC >∠>∠，则p 是q 的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．非充分非必要条件【知识点：充分必要条件】答案：C3．“p 或q 是假命题”是“非p 为真命题”的（ ）A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件【知识点：充分必要条件】 答案：A4．若非空集合M N ≠⊂，则“a M ∈或a N ∈”是“a M N ∈”的（）A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件【知识点：充分必要条件】答案：B5．“|x |＝|y |”是“x ＝y ”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件【知识点：充分必要条件】答案：B 解析：因x y x y =⇒=或x y =-，但x y x y =⇒=．6．已知集合A ＝{1，a }，B ＝{1，2，3}，则“a ＝3”是“A ÍB ”的（ ）A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件【知识点：充分必要条件】答案：A解析：当3a =时，{1,3}A =，A B ⊆；反之，当A B ⊆时，2a =或3，所以“3a =”是“A B ⊆”的充分而不必要条件，选A ．7．在数列{a n }中，“a n ＝2a n －1，n ＝2，3，4，…”是“{a n }是公比为2的等比数列”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件【知识点：充分必要条件】答案：B解析：若“{a n }是公比为2的等比数列，则当n ≥2时，a n ＝2a n －1成立．当a n＝0，n＝1，2，3，4，…时满足a n＝2a n－1，n＝2，3，4，但此时{a n}不是等比数列，∴“a n＝2a n－1，n＝2，3，4，…”是“{a n}是公比为2的等比数列”的必要不充分条件．8．设p：|x|＞1，q：x＜－2或x＞1，则p是q的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【知识点：充分必要条件】答案：B．★★能力型师生共研9．在下列三个结论中，正确的有（）①x2＞4是x3＜－8的必要不充分条件；②在△ABC中，AB2＋AC2＝BC2是△ABC为直角三角形的充要条件；③若a，b∈R，则“a2＋b2≠0”是“a，b不全为0”的充要条件．A．①②B．②③C．①③D．①②③【知识点：充分必要条件】答案：C解析：对于结论①，由x3＜－8⇒x＜－2⇒x2＞4，但是x2＞4⇒x＞2或x＜－2⇒x3＞8或x3＜－8，不一定有x3＜－8，故①正确；对于结论②，当B＝90°或C＝90°时不能推出AB2＋AC2＝BC2，故②错；对于结论③，由a2＋b2≠0⇒a，b不全为0，反之，由a，b不全为0⇒a2＋b2≠0，故③正确．10．如果命题“若A，则B”的否命题是真命题，而它的逆否命题是假命题，则A是B的________条件．【知识点：充分必要条件】答案：必要不充分解析：因为逆否命题为假，所以原命题为假，即A B．又因否命题为真，所以逆命题为真，即B⇒A，所以A是B的必要不充分条件．11．下列不等式：①x＜1；②0＜x＜1；③－1＜x＜0；④－1＜x＜1．其中，可以为x2＜1的一个充分条件的所有序号为________．【知识点：充分必要条件】答案：②③④12．“lg x>lg y”是“x>y”的__________条件．答案：充分不必要解析：【知识点：充分必要条件】由lg x>lg y⇒x>y>0⇒x>y．而x>y有可能出现x>0，y＝0的情况，故x>y lg x>lg y．13．下列命题中，判断条件p是条件q的什么条件．(1)p：f(x)是周期函数，q：f(x)是正弦函数；(2)p：△ABC是直角三角形，q：△ABC是等腰三角形；(3)p：四边形是矩形，q：四边形的对角线互相平分；(4)p：圆x2＋y2＝r2与直线ax＋by＋c＝0相切，q：c2＝(a2＋b2)r2．答案：见解析解析：【知识点：充分必要条件】(1)∵f(x)是周期函数f(x)是正弦函数，但由f(x)是正弦函数⇒f(x)是周期函数，∴p是q的必要不充分条件．(2)∵△ABC是直角三角形△ABC是等腰三角形，△ABC是等腰三角形△ABC是直角三角形，∴p既不是q的充分条件，也不是q的必要条件．(3)∵四边形是矩形⇒四边形的对角线互相平分，四边形的对角线互相平分四边形是矩形，∴p是q的充分不必要条件．(4)若圆x2＋y2＝r2与直线ax＋by＋c＝0相切，则圆心到直线ax＋by＋c＝0的距离等于r，即r＝|c|a2＋b2，∴c2＝(a2＋b2)r2；反过来，若c2＝(a2＋b2)r2，则|c|a2＋b2＝r成立，说明x2＋y2＝r2的圆心(0，0)到直线ax＋by＋c＝0的距离等于r，即圆x2＋y2＝r2与直线ax＋by＋c＝0相切，故p是q的充要条件．14．已知P＝{x|a－4＜x＜a＋4}，Q＝{x|x2－4x＋3＜0}，若x∈P是x∈Q的必要条件，求实数a的取值范围．【知识点：充分必要条件；数学思想：转化与化归】解：由题意知，Q＝{x|1＜x＜3}，∵x∈P是x∈Q的必要条件，即QÍP，∴⎩⎨⎧ a －4≤1，a ＋4≥3，解得-1≤a ≤5．∴实数a 的取值范围是[－1，5]． 15．已知命题p ：⎩⎨⎧x ＋2≥0，x －10≤0，命题q ：1－m ≤x ≤1＋m ，m ＞0．若⌝p 是⌝q 的必要而不充分条件，求实数m 的取值范围．【知识点：充分必要条件；数学思想： 转化与化归】 解：“⌝p 是⌝q 的必要而不充分条件”⇔“p 是q 的充分而不必要条件”．由题意得：12110m m -≤-⎧⎨+≥⎩，解得 m ≥9．16．求方程2(23)10ax a x a +++-=有一个正根和一个负根的充要条件．【知识点：一元二次方程，充分必要条件；数学思想：转化与化归】解：01a a <>或★★★探究型 多维突破17．已知p ：x 2－x ＜0，那么命题p 的一个必要非充分条件是（ ）A ．0＜x ＜1B ．－1＜x ＜1C ．12＜x ＜23D ．12＜x ＜2【知识点：充分必要条件】答案：B解析：x 2－x ＜0⇔0＜x ＜1，运用集合的知识易知．A 中0＜x ＜1是p 的充要条件；B 中－1＜x ＜1是p 的必要条件；C 中12＜x ＜23是p 的充分条件；D 中12＜x ＜2是p 的既不充分也不必要条件．应选B ．18．不等式(a ＋x )(1＋x )＜0成立的一个充分而不必要条件是－2＜x ＜－1，则a 的取值范围是________．【知识点充分必要条件】答案：(2，＋∞)解析：根据充分条件，必要条件与集合间的包含关系，应有{(－2，－1)}⊊{x |(a ＋x )(1＋x )＜0}，故有a ＞2．19．求关于x 的方程ax 2＋2x ＋1＝0至少有一个负的实数根的充要条件．【知识点：一元二次方程，充分必要条件】解：当a ＝0时，x ＝－12符合题意．当a ≠0时，令f (x )＝ax 2＋2x ＋1，由于f (0)＝1＞0，当a ＞0时，若Δ＝4－4a ≥0， 则a ≤1，即0＜a ≤1．当a ＜0时，∵f (0)＝1，Δ＝4－4a ＞0恒成立，∴方程恒有负实数根．综上所述，a ≤1为所求．20．已知集合A ＝{y |y ＝x 2－32x ＋1，x ∈[34，2]}，B ＝{x |x ＋m 2≥1}．若“x ∈A ”是“x ∈B ”的充分条件，求实数m 的取值范围．【知识点：一元二次方程，充分必要条件】解：y ＝x 2－32x ＋1＝(x －34)2＋716， 因为x ∈[34，2]，所以716≤y ≤2．所以A ＝{y |716≤y ≤2}．由x ＋m 2≥1，得x ≥1－m 2，所以B ＝{x |x ≥1－m 2}，因为“x ∈A ”是“x ∈B ”的充分条件，所以A ⊆B ，所以1－m 2≤716，解得m ≥34或m ≤－34，故实数m 的取值范围是(－∞，－34]∪[34，＋∞)． （四）自助餐1．对任意的实数,,a b c ，下列命题是真命题的是（ ）A ．“ac bc >”是“a b >”的必要条件B ．“ac bc =”是“a b =”的必要条件C ．“ac bc <”是“a b >”的充分条件D ．“ac bc =”是“a b =”的必要条件【知识点：充分必要条件】答案：B2．若条件:14p x +≤，条件:23q x <<，则q ⌝是p ⌝的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件C ．非充分非必要条件【知识点：四种命题、充分必要条件】答案：B3．若非空集合,,A B C 满足A B C =，且B 不是A 的子集，则（ ）A ．“x C ∈”是“x A ∈”的充分条件但不是必要条件B ．“xC ∈”是“x A ∈”的必要条件但不是充分条件C ．“x C ∈”是“x A ∈”的充要条件D ．“x C ∈”既不是“x A ∈”的充分条件也不是“x A ∈”必要条件【知识点：充分必要条件】答案：B4．对于实数,x y ，满足:3,:2p x y q x +≠≠或1y ≠，则p 是q 的（）A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件【知识点：充分必要条件】答案：A5．“40k -<<”是“函数2y x kx k =--的值恒为正值”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件【知识点：一元二次方程、充分必要条件】答案：C6．已知条件:2p t ≠，条件2:4q t ≠，则p 是q 的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件【知识点：充分必要条件】答案：B7．已知p 是r 的充分条件而不是必要条件，q 是r 的充分条件，s 是r 的必要条件，q 是s 的必要条件．现有下列命题：①s 是q 的充要条件；②p 是q 的充分条件而不是必要条件；③r 是q 的必要条件而不是充分条件；④s p ⌝⌝是的必要条件而不是充分条件；⑤r 是s 的充分条件而不是必要条件，则正确命题序号是（ ）A ．①③④B ．②③④C ．①②③D ．①②④【知识点：充分必要条件】答案：D8．条件“:1p x >，条件:2q x <-，则p ⌝是q ⌝的 条件．【知识点：充分必要条件】答案：充分而不必要9．在下列四个结论中，正确的是__________．(填上你认为正确的所有答案的序号) ①“x ≠0”是“x ＋|x |>0”的必要不充分条件；②已知a ，b ∈R ，则“|a ＋b |＝|a |＋|b |”的充要条件是ab >0；③“Δ＝2b －4ac <0”是“一元二次方程a 2x ＋bx ＋c =0无实根”的充要条件；④“x ≠1”是“2x ≠1”的充分不必要条件．【知识点：充分必要条件】答案：①③10．指出下列各组命题中，p 是q 的什么条件（充分而不必要条件、必要而不充分条 件、充分条件、既不充分也不必要条件）．（1）:p ABC ∆有两个角相等；:q ABC ∆是正三角形；（2）p ：()1()f x f x -=，q ：y ＝f (x )是偶函数； 【知识点：充分必要条件】答案：（1）p 是q 的必要不充分条件；（2）p 是q 的充分不必要条件．11．已知集合{|12}P x x =-<，2{|(1)0}S x x a x a =+++<．若“x ∈P ”的充要条件是“x ∈S ”， 求a 的值．【知识点：不等式，一元二次方程，充分必要条件】解：由12x -<得13x -<<，故方程2(1)0x a x a +++=就是1-和3，所以3a =-，此时集合S 即2{|230}{x |13}S x x x x =--<=-<<，即3a =-．12．（1）是否存在实数m ，使得20x m +<是(3)(1)0x x -+>的充分条件？（2）是否存在实数m ，使得20x m +<是(3)(1)0x x -+>的必要条件？【知识点：不等式，分必要条件】解：（1）(3)(1)0x x -+>即1x <-或3x >；20x m +<即为2m x <-．由题意得：2m ≥； （2）不存在实数m 时，使20x m +<是2230x x -->的必要条件．数学视野中国古代思想家、哲学家、数学家、逻辑学家、战略家墨子在经上说：“故，小故，有之不必然，无之必不然．体也，若有端．大故，有之（必）无（不）然．若见之成见也”． 译文：原理，小原理，有它不一定产生某种结果，没有它定不会产生某种结果，它是整体的一部分，就好比线上的点．大原理，有它必定产生某种结果，没有它必定不会产生某种结果．好比看到的物体而产生视觉．所谓“故”，就指“物之所以然”．就事物来说，“故”是形成事物变化发展的原因或者道理．“小故”指小原因或者小道理，是事物发展过程中的一个或者部分原因，也可能是一个或者部分道理．这些小原因或者小道理不能成为决定事物发展过程的决定性因素，它们成立时不一定会有结果，而不成立时肯定不会有结果．众多的小原因或者小道理组成了事物完整的大原因或者大道理．所以“大故”可以说是所有“小故”的总合，这样“大故”是事物发展过程的全部原因或者全部道理．因此，“大故”就是成功率为100%的条件，当然“大故”成立时肯定会有结果。
充分条件和必要条件教案（精编新修订）
充分条件和必要条件【教学目标】知识与技能：通过这节课的教学，要求学生正确理解充分条件、必要条件和充要条件三个概念，并能在论证中正确地运用.过程与方法：充要条件是重要的数学概念．它主要讨论命题的条件和结论的关系．通过对充分条件、必要条件和充要条件的概念的理解和运用，培养学生分析、判断和归纳的逻辑思维能力．情感态度与价值观：通过问题情境的引入渗透爱国主义教育。
通过主动探究、合作学习、相互交流，感受探索的乐趣与成功的喜悦，体会数学的理性与严谨，养成实事求是的科学态度和锲而不舍的钻研精神。
【教学重点】充分条件、必要条件和充要条件的概念．【教学难点】充分条件、必要条件和充要条件三个概念在论证中的正确运用.【教学方法】自主、合作、探究【教学过程】创设情境激发求知（多媒体展示）情境一当某一天你和你的妈妈在街上遇到老师的时候，你向老师介绍你的妈妈说：“这是我的妈妈”. 你想一想这个时候你的妈妈还会补充说你是她的孩子吗？情境二播放音乐《没有共产党就没有新中国》，让学生说出其歌名.学生活动 探究新知判断下列命题是真命题还是假命题（1）若，则；（2）若，则；（3）两个全等三角形的面积相等；（4）对角线互相垂直的四边形是菱形.（上述三个问题的设计意图为：①复习巩固上节课知识；②顺其自然，引入本节课的内容。
）生：（1）、（3）是真命题，（2）、（4）是假命题．（对于命题“若 则 ”，有时是真命题，有时是假命题．如何判断其真假呢？看能不能推出 ，如果能推出 ，则原命题是真命题，否则就是假命题． 对于命题“若 则 ”，如果由经过推理能推出 ，也就是说，如果 成立，那么 一定成立．换句话说，只要有条件就能充分地保证结论 的成立，这时我们称条件是成立的充分条件，记作．）模型构建 数学理论1.充分条件与必要条件定义（板书）一般地，如果已知，那么就说，p 是q 的充分条件(sufficientq p condition)，q 是p 的必要条件(necessary condition)．师：请用充分条件与必要来叙述上述（1）的条件与结论之间的关系．（学生口答）生：“ ”是“ ”成立的充分不必要条件，“”是“”成立的必要不充分条件.运用理论 解决问题例1 ．指出下列各组命题中，p 是q 的什么条件，q 是p 的什么条件：(1) p ：x=y ；q ：x 2=y 2.（2）p ：三角形ABC 的三条边相等；q ：三角形ABC 的三个角相等．解: (1) x=y 是x 2=y 2的充分不必要条件， x 2=y 2是x=y 的必要不充分条件.(2) p 是q 的充分条件且是必要条件，q 是p 的充分条件且是必要条件.(设计意图:①对所学理论直接应用;②引入充要条件的概念.) 模型构建 数学理论2．充要条件定义（板书）一般地，如果是 的充分条件，又是 的必要条件，则称是 的充分必要条件，简称充要条件( sufficient and necessary condition)记作.师：请大家总结出判断充分、必要条件的一个算法.模型构建 数学理论3．用算法表示判断充分、必要条件的基本步骤(板书)Step1:认清条件和结论；Step2:考察和的真假；q p ⇒p q ⇒Step3:下结论.运用理论 解决问题例2.用“必要不充分”，“充分不必要”，“充要”，“既不充分也不必要”填写下表B是是有理数是实数、是奇数是偶数是4的倍数是6的倍数 （学生活动，教师引导学生作出下面回答．） ①因为有理数一定是实数，但实数不一定是有理数，所以是的充分非必要条件，是的必要非充分条件； ②一定能推出，而不一定推出，所以是的充分非必要条件，是的必要非充分条件； ③、是奇数，那么一定是偶数；是偶数，、不一定都是奇数（可能都为偶数），所以是的充分非必要条件，是的必要非充分条件； ④表示或，所以是成立的必要非充分条件； ⑤由交集的定义可知且是成立的充要条件； ⑥由知且，所以是的充分非必要条件； ⑦由知或，所以是，成立的必要非充分条件；⑧易知“是4的倍数”是“是6的倍数”的既非充分又非必要条件；(设计意图：通过对上述几个简单问题的交流、思辩，在争论中得到了正确答案，并加深了对充分条件、必要条件的认识．) 例3.请用“充分不必要”、“必要不充分”、“充要”、“既不充分也不必要”填空：(1) “|x-2|<3”是“0<x<5”的＿＿＿＿＿＿条件；(2)“x2≤0”是“x≥0”的条件;（3）“m是4的倍数”是“m是6倍数” 的条件.分析：(1)应首先对|x-2|<3进行化简,然后再进行判断,还可以从集合的角度加以理解;(必要不充分条件)(2)可以直接判断,更好的方法是考察它的逆否命题;(充分不必要条件)(3)很容易直接判断.(既不充分也不必要条件)(设计意图：①对所学理论进一步应用;②通过解决本题让学生总结出判断充分、必要条件的一般方法和策略.)模型构建数学理论4. 判别充分、必要条件方法和策略(板书)（1）先简化命题;（2）集合法;（3）可将命题转化为等价的逆否命题后再判断;(4) 否定一个命题只要举出一个反例即可.运用理论 巩固练习基础训练（感受、理解）课本（苏教版选修1-1）第8页练习l 、2.（基础训练是所学知识的直接、简单应用，意在使学生理解充分条件、必要条件和充要条件的概念，由学生口答完成.）能力训练（思考、运用）1.用今天所学的知识解决刚开始提出的三个情境问题;解析：①“这是我妈妈”和“我是妈妈的孩子”互为充要条件，所以不需要补充说了；②共产党是新中国成立必须具备的条件；2．直线和平面，的一个充分条件是（ ）,a b ,αβ//a b A. B.//,//a b αα//,//,//a b αβαβC.D. ,,//a b αβαβ⊥⊥,,a b αβαβ⊥⊥⊥3．在中，，，，ABC ∆:p A B >:sin sin q A B >B A m cos cos :<BA n tan tan :>问:p 是q 的什么条件？p 是m 的什么条件？p 是n 的什么条件？分析：第2题是立体几何中常见的题目的变形问法，是对立体几何中有关定理和性质的变相考查，稍加分析可知，本题应选C.第3题是对正弦定理、三角函数的单调性的考查.当然本题的第3个问也可以用举反例的方法加以判别.这两道题与前面所学的知识有效地进行了联系和沟通.）（师生互动，共同完成）解：1、C ；2、p 是q 的充要条件，p 是m 的充要条件，p 是n 的既不充分也不必要条件.（能力训练是知识的变形应用和逆向思维训练，深化概念，发展思维，使学生能比较深刻地理解充分条件、必要条件和充要条件的本质.）创新提高（探究、拓展）1．是否存在实数，使得是的充分条件？m 20x m +<2230x x -->2．是否存在实数，使得是的必要条件？m 20x m +<2230x x -->（1）是否存在实数，使得是的充分条件？m 20x m +<2230x x -->（2）是否存在实数，使得是的必要条件？m 20x m +<2230x x -->解：欲使得是的充分条件，则只要20x m +<2230x x -->或，则只要即，故存{|}{|12m x x x x <-⊆<-3}x >12m-≤-2m ≥在实数时，使是的充分条件．2m ≥20x m +<2230x x -->（2）欲使是的必要条件，则只要20x m +<2230x x -->或，则这是不可能的，故不存在实数{|}{|12mx x x x <-⊇<-3}x >m时，使是的必要条件．20x m +<2230x x -->（创新提高题有一定的难度，供部分有余力的学生做，作为选做题）提炼小结 反思提高（教师启发学生完成，必要时给予补充）（1）充分条件、必要条件、充要条件的概念.（2）判断充分、必要条件的一个算法： ①认清条件和结论； ②考察和的真假；q p ⇒p q ⇒③下结论.（3）判别方法和策略： ① 先简化命题； ② 集合法；③ 将命题转化为等价的逆否命题后再判断;④否定一个命题只要举出一个反例即可.布置作业合情推理【教学目标】掌握归纳推理的技巧，并能运用解决实际问题。
高二数学选修1-1_《充分条件与必要条件》教学教案1
1.2.1充分条件与必要条件学生情况分析：从学生学习的角度看，刚学完命题及其关系，逻辑思维能力的训练不够充分，造成学生在学习充要条件这一概念时的知识储备不够丰富，这也为教师的教学带来一定的困难．因此，根据新课标要求，把学生的学习要求规定为“初步理解充要条件的意义”，这是比较切合教学实际的．由此可见，在充要条件这一内容的新授教学时，不可拔高要求追求一步到位，而要在今后的教学中滚动式逐步深化，使之与学生的知识结构同步发展完善.教学目标：1、知识与技能：理解充分条件、必要条件的概念，掌握它们的判断方法.2、过程与方法：通过对充分条件、必要条件的判定，提高分析问题、解决问题的能力.3、情感、态度与价值观：通过""⇒的判断，感受对立统一的思想，培养辨p q证唯物主义观.教学重点：理解充分条件和必要条件的概念.教学难点：理解必要条件的概念.教学过程：一、复习准备：写出下列命题的逆命题、否命题及逆否命题，并判断它们的真假：（1）若0a>时，则函数y ax b=+的值随x的值的增加而增加;（2）若0a=.ab=，则0二、讲授新课：1. 认识“⇒”与“”：①在上面两个命题中，命题（1）为真命题，命题（2）为假命题.也就是说，命题（1）中由“0a>”可以得到“函数y ax b=+的值随x的值的增加而增加”，即0a>⇒函数y ax b=+的值随x的值的增加而增加；而命题（2）中由“0a=.ab=0a=”，即0ab=”不能得到“0②练习：教材P10 第1题2. 教学充分条件和必要条件：①若p q ⇒，则p 是q 的充分条件（sufficient condition ），q 是p 的必要条件（necessary condition ）.上述命题（2）中“0a >”是“函数y ax b =+的值随x 的值的增加而增加”的充分条件，而“函数y ax b =+的值随x 的值的增加而增加”则是“0a >”的必要条件. ②例1：下列“若p ，则q ”形式的命题中，哪些命题中的p 是q 的充分条件？（1）若1x >，则33x -<-； （2）若1x =，则2320x x -+=；（3）若()3x f x =-，则()f x 为减函数； （4）若x 为无理数，则2x 为无理数. 分析：命题（1）（2）（3）是真命题，命题（4）是假命题.所以，命题（1）（2）（3）中的p 是q 的充分条件. （学生讨论→个别回答→教师点评）③练习1、p ：“1a b +=” 是q ：“2()1a b +=” 的 充分 条件． ④例2：下列“若p ，则q ”形式的命题中，哪些命题中的q 是p 的必要条件？（1）若0a =，则0ab =；（2）若两个三角形的面积相等，则这两个三角形全等；（3）若a b >，则ac bc >；（4）若x y =，则22x y =.分析：命题（1）（4）是真命题，命题（2）（3）是假命题. 所以，命题（1）（4）中的q 是p 的必要条件. 练习2、课本P10，第3题.（学生讨论→个别回答→学生点评）探究：在例2中，p q ⌝⌝是的必要条件吗？:0:0;q ab p a ⌝⌝≠⇒≠分析 (1)p q ⌝⌝（1）是的必要条件 (2) ::q p ⌝⌝⇒两个三角形不全等两个三角形的面积不相等； p q ⌝⌝（2）不是的必要条件(3) ::;q ac bc p a b ⌝⌝≤⇒≤ p q ⌝⌝（3）不是的必要条件22(4) ::.q x y p x y ⌝⌝≠⇒≠ p q ⌝⌝（4）是的必要条件（学生讨论→个别回答→教师点评）3. 小结：（也可让学生进行总结）充分条件与必要条件的理解.思考：已知:210p x -≤≤；22:21(0)q x x m m -+≤> ，若p ⌝是q ⌝的必要不充分条件，求实数m 的取值范围．2(0),11.102,:11..110 912q m m m x m x x q x m x m p q q p m m m ⌝⌝⌝⌝⌝⌝≤>-≤≤+><->+<-⇒+≥⎧∴≥⎨-≤-⎩2分析：由可得(x-1)所以即p:或或因为是的必要不充分条件，所以故只需要满足，（学生讨论→个别回答→教师点评）4、 作业布置：。
高二数学 教案 1.1.2 充分条件和必要条件_苏教版_选修2-1
§1.1.2 充分条件和必要条件编写：赵太田审核：黄爱华知识要点：1.理解必要条件、充分条件与充要条件的意义以及充分条件和必要条件之间的区别和联系；2.结合四种命题形式，理解并掌握充分条件、必要条件与充要条件的判定方法，并进行一些简单的应用；3.培养学生的辩证思维能力。
教学过程：一、问题情境1.情境：命题的四种形式以及相互之间的关系(见教材图1-1)。
2.问题：如果命题“若p 则q ”是真命题，那么p 与q 之间有什么关系？二、学生活动1.分别判断下列命题的真假：⑴若x y =，则22x y =；⑵若22x y =，则x y =。
2.上述命题中，条件和结论之间有什么关系？三、建构数学1.结合问题，引入符号“p q ⇒”和“p q ”。
2.引入充分条件、必要条件和充要条件的有关概念。
3.解释“充分”、“必要”的含义，并举例说明。
注意：充分、必要条件是研究两个语句(条件)之间的逻辑关系，p 是q 的什么条件，是通过“若p 则q ”这种形式的命题的真假来判断。
4.用符号表示充分条件、必要条件、充分不必要条件、必要不充分条件、充要条件、既不充分又不必要条件。
⑴p 是q 的充分条件：p q ⇒；⑵p 是q 的必要条件：q p ⇒；⑶p 是q 的充分不必要条件：p q ⇒，但q p ； ⑷p 是q 的必要不充分条件：q p ⇒，但p q ；⑸p 是q 的充要条件：p q ⇒，q p ⇒(或p q ⇔)；⑹p 是q 的既不充分又不必要条件：p q ，q p 。
四、数学运用例1.指出下列命题中，p 是q 的充分条件还是必要条件：⑴2:1;:1;p x q x >>⑵:p 四边形的对边相等；:q 四边形是矩形；⑶:p 两个三角形相似；:q 两个三角形对应角相等；⑷:p 两条直线垂直；:q 两条直线斜率的乘积是－1例2. 指出下列命题中，p 是q 的什么条件(回答“充分不必要条件”、“必要不充分条件”、“充要条件”、“既不充分又不必要条件”)：⑴:10p x -=；:(1)(2)0q x x -+=；⑵:p 两直线平行；:q 内错角相等；⑶:p a b >；22:q a b >；⑷:p 四边形的四边相等；:q 四边形是正方形。
人教A版高中数学选修一1-2-1 《充分条件与必要条件》教案
§1.2.1 充分条件与必要条件教学目标1、知识与技能（1）理解充分条件、必要条件及充要条件的概念；理解“⇒”的含义。
（2）初步掌握充分、必要条件及充要条件的判断方法。
（3）在理解定义的基础上，能对定义进行转化，转化成推理关系及集合的包含关系。
2、过程与方法通过对充分条件、必要条件、充要条件概念的理解和运用，培养学生分析、判断和归纳的逻辑思维能力．在观察和思考中，在解题和证明题中，培养学生思维能力的严密性品质．3、情感、态度与价值观（1）通过学生的举例，培养他们的辨析能力以及培养他们的良好的思维品质，在练习过程中进行辩证唯物主义思想教育．（2）通过学习本节课体验成功的愉悦，激发学生的学习热情和求知欲，培养严谨的学习态度，培养积极进取的精神．教学重点（1）对充分条件、必要条件、充要条件概念的理解和判断.（2）利用定义法、从集合角度、等价命题解决充要条件问题.教学难点理解充分条件、必要条件、充要条件的判断方法.教学方法小组合作学习，由微课引入课题，用例子的形式和同学一起探究得出问题的解决办法. 教学过程一、微课《水滴石穿》引入新课教师板书课题--1.2 充分条件与必要条件二、新授课1、新的数学符号：“⇒”读作:推出； “⇒/”读作：推不出.2、教师总结板书定义：一般地，“若p ，则q ”为真命题，是指由p 通过推理可以得出q.这时，我们就说，由p 可推出q ，记作：p ⇒q ，并且说p 是q 的充分条件，q 是p 的必要条件.也可以简单说成：⎧⎨⎩前者是后者的充分条件；如果前者能推出后者后者是前者的必要条件. 3、教师板书定义：如果q ⇒p ，那么我们就说，p 是q 的必要条件,q 是p 的充分条件.4、教师板书定义：若p ⇒q 且q ⇒/p ，即p 是q 成立的充分条件，但不是必要条件，我们称p 是q 的充分不必要条件．下面我们对定义加以运用，看下面的例题.221.(1).1,430.(2).(),().(3).,.p q p q x x x f x x f x R x x =-+==例下列“若、则”的命题中，哪些命题中的是的充分条件？若则若则在上是增函数若为无理数则为无理数学生思考分析：因为(1) (2)中p ⇒q ，(3)中p ⇒/q ，所以p 是q 的充分条件.教师点评例2 下列“若p ，则q”形式的命题中，哪些命题中的p 是q 的必要条件？(1)若x 2=y 2，则x=y.(2)若两个三角形的面积相等,则这两个三角形全等.(3)若ac 2>bc 2，则a>b.学生思考分析：命题(1) (2)中q ⇒p ，命题(3)中q ⇒/p ，所以命题(1)(2)中的p 是q 的必要条件. 教师点评加法总结：如何判断p 是q 的充分条件,p 是q 的必要条件？教师板书：1、可以判断命题的真假；2、看p q ⇒是否成立；看q p ⇒是否成立.例3下列“若p ，则q ”形式的命题中，哪些命题中的p 是q 的充分不必要条件？（1）若x y =，则22x y =；（2）若两个三角形全等，则这两个三角形的面积相等；（3）若0ab =，则a=0.学生思考分析：命题（1）（2）中p ⇒q 且q ⇒/p ，所以命题（1）（2）中的q 是p 的充分不必要条件. 教师提问：命题（3）中p ⇒q ，q ⇒p 吗？那么p 是q 的什么条件呢？我们给出新的定义.5、教师板书定义：若p ⇒/q 且q ⇒p ，即p 是q 成立的必要条件，但不是充分条件，我们称p 是q 的必要不充分条件．思考：条件p ：三角形的三条边相等，结论q ：三角形的三个角相等，p ⇒q ，q ⇒p 成立吗？因此，p q 是的什么条件？6、教师板书定义：如果p ⇒q 且q ⇒p ，记作p ⇔q ．这时，p 既是q 成立的充分条件，又是q 的必要条件，我们称p 是q 的充分必要条件，简称p 是q 的充要条件．另外，如果p ⇒/q 且q ⇒/p ，那么称p 是q 的既不充分又不必要条件练习1：下列各组语句中，p 是q 的什么条件？（1）p ：a ＞0，b ＞0，q ：a ＋b ＞0； 充分不必要条件（2）p ：四边形的四条边相等，q ：四边形是正方形； 必要不充分条件（3）p ：|x|＜1，q ：－1＜x ＜1； 充要条件（4） p ：a ＞b ，q ：a 2＞b 2. 既不充分也不必要条件学生小组研究完成，再由学生回答。
高中数学重点《充分条件与必要条件》教案
必要条件》教案•课程介绍与目标•充分条件与必要条件概念解析•逻辑关系判断方法论述•典型例题解析与讨论目•学生自主练习与互动环节•课堂小结与作业布置录01课程介绍与目标使学生理解充分条件、必要条件的定义，掌握判断充分条件、必要条件的方法。
知识与技能过程与方法情感态度与价值观通过实例分析、讨论探究等方式，培养学生的逻辑思维能力和分析问题的能力。
引导学生认识数学在解决实际问题中的重要作用，培养学生的数学应用意识。
030201充分条件、必要条件的定义及判断方法充分条件、必要条件的性质及关系充分条件、必要条件在实际问题中的应用教学方法与手段教学方法采用讲解、讨论、探究等教学方法，引导学生积极参与课堂活动，激发学生的学习兴趣和主动性。
教学手段利用多媒体课件、实物展示等教学手段，帮助学生更好地理解充分条件、必要条件的概念和性质。
同时，结合实际问题进行分析和讨论，提高学生的数学应用能力和解决问题的能力。
02充分条件与必要条件概念解析定义如果命题A的成立导致命题B的成立，那么称A是B的充分条件。
示例若一个数是偶数（命题A），则这个数能被2整除（命题B）。
在这个例子中，“一个数是偶数”是“这个数能被2整除”的充分条件。
定义如果命题B的成立必须依赖于命题A的成立，那么称A是B的必要条件。
示例若一个三角形是等边三角形（命题B），则这个三角形的三个内角都是60度（命题A）。
在这个例子中，“这个三角形的三个内角都是60度”是“这个三角形是等边三角形”的必要条件。
充分必要条件和充分非必要条件区分充分必要条件如果命题A既是命题B的充分条件，又是命题B的必要条件，那么称A是B的充分必要条件。
这意味着A和B是等价的，即A⇔B。
充分非必要条件如果命题A是命题B的充分条件，但不是命题B的必要条件，那么称A是B的充分非必要条件。
这意味着A能推出B，但B不能推出A，即A⇒B但B⇏A。
03逻辑关系判断方法论述03判断方法通过判断两命题间的因果关系，确定谁是充分条件，谁是必要条件。
充分条件与必要条件教案北师大版选修
充分条件与必要条件教案北师大版选修一、教学目标1. 让学生理解充分条件和必要条件的概念。
2. 培养学生判断充分条件和必要条件的能力。
3. 引导学生运用充分条件和必要条件解决实际问题。
二、教学内容1. 充分条件和必要条件的定义。
2. 判断充分条件和必要条件的方法。
3. 充分条件和必要条件在实际问题中的应用。
三、教学重点与难点1. 教学重点：充分条件和必要条件的定义及其判断方法。
2. 教学难点：充分条件和必要条件在实际问题中的应用。
四、教学过程1. 导入：通过生活实例引入充分条件和必要条件的概念。
2. 新课讲解：讲解充分条件和必要条件的定义，举例说明。
3. 课堂练习：学生独立完成练习题，巩固知识点。
4. 案例分析：分析实际问题，运用充分条件和必要条件解决。
5. 总结：回顾本节课所学内容，加深理解。
五、课后作业1. 复习本节课所学内容，整理笔记。
2. 完成课后练习题，巩固知识点。
3. 选取一个实际问题，运用充分条件和必要条件进行分析。
六、教学评价1. 评价目标：评估学生对充分条件和必要条件的理解程度。
2. 评价方法：课堂提问、练习题、案例分析报告。
3. 评价内容：学生对充分条件和必要条件的定义、判断方法及实际应用的掌握情况。
七、教学策略1. 采用问题驱动的教学方法，引导学生主动探究充分条件和必要条件的含义。
2. 通过生活实例和案例分析，帮助学生将理论知识与实际问题相结合。
3. 设计具有层次性的练习题，让学生在练习中巩固知识点，提高解题能力。
八、教学资源1. 教材：北师大版选修《数学》相关章节。
2. 辅助材料：PPT、案例分析资料、练习题。
3. 教学工具：黑板、投影仪、计算机。
九、教学进度安排1. 第1-2课时：讲解充分条件和必要条件的定义及判断方法。
2. 第3-4课时：通过案例分析，引导学生运用充分条件和必要条件解决实际问题。
3. 第5-6课时：课堂练习与课后作业的讲解与点评。
十、教学反思1. 反思教学内容：检查所讲解的充分条件和必要条件知识点是否全面，是否符合学生的学习需求。
人教版高中数学选修1-1第一章1.2充分条件与必要条件教案2
充分条件与必要条件教案教学目标(1)从多个角度加深学生对充分条件、必要条件、充要条件的理解，逐步达到准确地理解、灵活地应用．(2)通过逐步、深化的例题，引导提高学生对充分条件、必要条件、充要条件的掌握应用．教学重点和难点重点：从多角度深刻理解充分条件、必要条件、充要条件，在准确理解的基础上，能熟练地去进行判断．难点：熟练掌握应用充分条件、必要条件和充要条件去进行判断．教学过程设计(一)复习教师边提问，边总结．命题的条件与结论之间的四种关系：充分而不必要条件；必要而不充分条件；充要条件；既不充分也不必要条件．设p，q是两个简单命题．q是p的必要而不充分条件．(二)引入新课教师总结性讲述：充分条件、必要条件是一个十分重要的数学概念，它在我们今后的学习中有着广泛的应用．为带动同学们进一步掌握它，我们再从多个角度来对它进行理解．(1)从命题的角度来理解：命题“若p则q”成立，就是说“有p必有q”命题“若p则q”成立，其逆否命题“若＞q则＞p”成立，就是说“没有q必没有p”，q对p来说，“无之不可”即“无之必不然，有之未必然”．我们说：p是q的充分条件，q是p的必要条件．p是q的充分而不必要条件．p是q的必要而不充分条件．p、q互为充要条件．p既不是q的充分条件也不是q的必要条件．(2)从集合的角度来理解：③p=q，p、q互为充要条件．(三)学生练习，教师讲评例1 下列说法是否正确？请说明理由．[讲评]如x=2，y=－2时，x≠y或x≠－y为真，但x2≠y2为假，只有在x≠y，x≠－y同时为真时，x2≠y2才为真．例2 指出下列各组命题中，p是q的什么条件．(1)p：(x－2)(x－3)=0，q：x－2=0．(2)p：两三角形相似，q：两三角形全等．(3)p：x＞3，q：x2＞9．(4)p：四边形的对角线相等，q：四边形是平行四边形．(7)p：b2－4ac≥0(a≠0)，q：ax2＋bx＋c=0(a≠0)有实根．(8)p：|x|－x≥0，q：x≤0．[讲评]：例3 证明：关于x的方程ax2＋bx＋c=0(a≠0)有一个根x=1的充要条件是a＋b＋c=0．[讲评] 问题是要证明：这里条件是a＋b＋c=0．证明：(1)证条件的充分性：(2)证条件的必要性：ax2＋bx＋c=0(a≠0)有一个根是x=1，把x=1代入，a＋b＋c=0．故方程ax2＋bx＋c=0(a≠0)有一个根x=1的充要条件是a＋b ＋c=0．例4 已知p，q都是r的必要条件，s是r的充分条件，q是s 的充分条件，那么，(1)s是q的什么条件，(2)r是q的什么条件，(3)p是q的什么条件．[讲评] 按照已知条件，把命题间的关系用图表示出来通过图形可以推出，(1)s是q的充分必要条件，(2)r是q的充分必要条件，(3)p是q的必要条件．(四)作业复习题参考题一 A组 12，13 B组 6，7，8。
高中数学第1章常用逻辑用语1.2充分条件与必要条件教学用书教案新人教A版选修2_1
1.2 充分条件与必要条件学习目标核心素养1．理解充分条件、必要条件、充要条件的意义．(重点、难点)2．会求(判断)某些问题成立的充分条件、必要条件、充要条件．(重点)3．能够利用命题之间的关系判定充要关系或进行充要条件的证明．(难点)1．通过充分条件、必要条件概念的学习，培养学生的数学抽象素养．2．借助充分条件，必要条件的判断及应用，提升学生的逻辑推理素养．1．充分条件与必要条件命题真假“若p，则q”是真命题“若p，则q”是假命题推出关系p⇒q p q条件关系p是q的充分条件q是p的必要条件p不是q的充分条件q不是p的必要条件思考1：(1)p是q的充分条件与q是p的必要条件所表示的推出关系是否相同？(2)以下五种表述形式：①p⇒q；②p是q的充分条件；③q的充分条件是p；④q是p的必要条件；⑤p的必要条件是q．这五种表述形式等价吗？[提示](1)相同，都是p⇒q．(2)等价．2．充要条件(1)一般地，如果既有p⇒q，又有q⇒p，就记作p⇔q．此时，我们说，p是q的充分必要条件，简称充要条件．概括地说，如果p⇔q，那么p与q互为充要条件．(2)若p⇒q，但q p，则称p是q的充分不必要条件．(3)若q⇒p，但p q，则称p是q的必要不充分条件．(4)若p q，且q p，则称p是q的既不充分也不必要条件．(5)从集合的角度判断充分条件、必要条件和充要条件若A⊆B，则p是q的充分条件；若A B，则p是q的充分不必要条件若B⊆A，则p是q的必要条件；若B A，则p是q的必要不充分条件若A＝B，则p，q互为充要条件若A B且B A，则p既不是q的充分条件，也不是q的必要条件思考2：(1)若p是q的充要条件，则命题p和q是两个相互等价的命题，这种说法对吗？(2)“p是q的充要条件”与“p的充要条件是q”的区别在哪里？[提示](1)正确．若p是q的充要条件，则p⇔q，即p等价于q．(2)①p是q的充要条件说明p是条件，q是结论．②p的充要条件是q说明q是条件，p是结论．1．“x＞0”是“3x2＞0”成立的()A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．既不充分也不必要条件D．充要条件A[当x＞0时，3x2＞0成立；但当3x2＞0时，得x2＞0，则x＞0或x＜0，此时不能得到x＞0．]2．对于任意的实数a，b，c，在下列命题中，真命题是()A．“ac>bc”是“a>b”的必要条件B．“ac＝bc”是“a＝b”的必要条件C．“ac<bc”是“a<b”的充分条件D．“ac＝bc”是“a＝b”的充分条件B[若a＝b，则ac＝bc；若ac＝bc，则a不一定等于b，故“ac＝bc”是“a＝b”的必要条件．]3．“|x－2|≤3”是“－1≤x≤5”的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件C[由|x－2|≤3得－1≤x≤5，故选C．]4．下列各题中，p 是q 的充要条件的是________(填序号)． ①p ：b ＝0，q ：函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c 是偶函数； ②p ：x >0，y >0，q ：xy >0； ③p ：a >b ，q ：a ＋c >b ＋c ．①③ [在①③中，p ⇔q ，所以①③中p 是q 的充要条件，在②中，q p ，所以②中p不是q 的充要条件．]充分条件、必要条件、充要条件的判断件”“充分必要条件”“既不充分也不必要条件”中选出一种作答)．(1)在△ABC 中，p ：∠A >∠B ，q ：BC >AC ； (2)对于实数x ，y ，p ：x ＋y ≠8，q ：x ≠2或y ≠6； (3)p ：(a －2)(a －3)＝0，q ：a ＝3； (4)p ：a ＜b ，q ：ab＜1．思路探究：判断p ⇒q 与q ⇒p 是否成立，当p 、q 是否定形式，可判断q 是p 的什么条件．[解] (1)在△ABC 中，显然有∠A >∠B ⇔BC >AC ，所以p 是q 的充分必要条件． (2)因为x ＝2且y ＝6⇒x ＋y ＝8，即q ⇒p ，但p q ，所以p 是q 的充分不必要条件．(3)由(a －2)(a －3)＝0可以推出a ＝2或a ＝3，不一定有a ＝3；由a ＝3可以得出(a －2)(a －3)＝0．因此，p 是q 的必要不充分条件．(4)由于a ＜b ，当b ＜0时，ab＞1；当b ＞0时，a b ＜1，故若a ＜b ，不一定有ab ＜1；当a ＞0，b ＞0，ab ＜1时，可以推出a ＜b ；当a ＜0，b ＜0，ab＜1时，可以推出a ＞b ．因此p 是q 的既不充分也不必要条件．充分条件与必要条件的判断方法 (1)定义法(2)等价法：将命题转化为另一个等价的又便于判断真假的命题． (3)逆否法：这是等价法的一种特殊情况．若p ⇒q ，则p 是q 的必要条件，q 是p 的充分条件； 若p ⇒q ，且qp ，则p 是q 的必要不充分条件；若p ⇔q ，则p 与q 互为充要条件； 若p q ，且q p ，则p 是q 的既不充分也不必要条件．[跟进训练]1．(1)设x ∈R ，则“⎪⎪⎪⎪x －12＜12”是“x 3＜1”的( ) A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件A [由⎪⎪⎪⎪x －12＜12得－12＜x －12＜12，解得0＜x ＜1． 由x 3＜1得x ＜1．当0＜x ＜1时能得到x ＜1一定成立；当x ＜1时，0＜x ＜1不一定成立．所以“⎪⎪⎪⎪x －12＜12”是“x 3＜1”的充分而不必要条件．] (2)设函数f (x )＝cos x ＋b sin x (b 为常数)，则“b ＝0”是“f (x )为偶函数”的( ) A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件C[∵f(x)＝cos x＋b sin x为偶函数，∴对任意的x∈R，都有f(－x)＝f(x)，即cos(－x)＋b sin(－x)＝cos x＋b sin x，∴2b sin x＝0．由x的任意性，得b＝0．故f(x)为偶函数⇒b＝0．必要性成立．反过来，若b＝0，则f(x)＝cos x是偶函数．充分性成立．∴“b＝0”是“f(x)为偶函数”的充分必要条件．故选C．]充要条件的探求与证明A．0<x<4B．0<x<2C．x>0 D．x<4(2)求证：一元二次方程ax2＋bx＋c＝0有一正根和一负根的充要条件是ac<0．思路探究：(1)先解不等式x2－4x<0得到充要条件，则充分不必要条件应是不等式x2－4x<0的解集的子集．(2)充要条件的证明可用其定义，即条件⇒结论且结论⇒条件．如果每一步的推出都是等价的(⇔)，也可以把两个方面的证明合并在一起，用“⇔”写出证明．(1)B[由x2－4x<0得0<x<4，则充分不必要条件是集合{x|0<x<4}的子集，故选B．](2)证明：充分性(由ac<0推证方程有一正根和一负根)，∵ac<0，∴一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的判别式Δ＝b2－4ac>0，∴原方程一定有两不等实根，不妨设为x1，x2，则x1x2＝ca<0，∴原方程的两根异号，即一元二次方程ax2＋bx＋c＝0有一正根和一负根．必要性(由方程有一正根和一负根推证ac<0)，∵一元二次方程ax2＋bx＋c＝0有一正根和一负根，不妨设为x1，x2，∴由根与系数的关系得x1x2＝ca<0，即ac<0，此时Δ＝b2－4ac>0，满足原方程有两个不等实根．综上可知，一元二次方程ax2＋bc＋c＝0有一正根和一负根的充要条件是ac<0．1．探求充要条件一般有两种方法：(1)探求A成立的充要条件时，先将A视为条件，并由A推导结论(设为B)，再证明B是A的充分条件，这样就能说明A成立的充要条件是B，即从充分性和必要性两方面说明．(2)将原命题进行等价变形或转换，直至获得其成立的充要条件，探求的过程同时也是证明的过程，因为探求过程每一步都是等价的，所以不需要将充分性和必要性分开来说明．2．充要条件的证明(1)证明p是q的充要条件，既要证明命题“p⇒q”为真，又要证明“q⇒p”为真，前者证明的是充分性，后者证明的是必要性．(2)证明充要条件，即说明原命题和逆命题都成立，要注意“p是q的充要条件”与“p 的充要条件是q”这两种说法的差异，分清哪个是条件，哪个是结论．[跟进训练]2．(1)不等式x(x－2)<0成立的一个必要不充分条件是()A．x∈(0,2)B．x∈[－1，＋∞)C．x∈(0,1) D．x∈(1,3)B[由x(x－2)<0得0<x<2，因为(0,2)[－1，＋∞)，所以“x∈[－1，＋∞)”是“不等式x(x－2)<0成立”的一个必要不充分条件．](2)设α，β为两个平面，则α∥β的充要条件是()A．α内有无数条直线与β平行B．α内有两条相交直线与β平行C．α，β平行于同一条直线D．α，β垂直于同一平面[答案]B充分条件、必要条件、充要条件的应用[探究问题]1．记集合A＝{x|p(x)}，B＝{x|q(x)}，若p是q的充分不必要条件，则集合A、B的关系是什么？若p是q的必要不充分条件呢？[提示]若p是q的充分不必要条件，则A B，若p是q的必要不充分条件，则B A．2．记集合M＝{x|p(x)}，N＝{x|q(x)}，若M⊆N，则p是q的什么条件？若N⊆M，M＝N 呢？[提示]若M⊆N，则p是q的充分条件，若N⊆M，则p是q的必要条件，若M＝N，则p是q的充要条件．【例3】已知p：x2－8x－20≤0，q：x2－2x＋1－m2≤0(m>0)，且p是q的充分不必要条件，则实数m的取值范围为________．思路探究：→列不等式组求解{m|m≥9}(或[9，＋∞))[由x2－8x－20≤0，得－2≤x≤10，由x2－2x＋1－m2≤0(m>0)，得1－m≤x≤1＋m(m>0)．因为p是q的充分不必要条件，所以p⇒q且q p．即{x|－2≤x≤10}是{x|1－m≤x≤1＋m，m>0}的真子集，所以⎩⎪⎨⎪⎧m>0，1－m<－2，1＋m≥10或⎩⎪⎨⎪⎧1－m≤－2，m>0，1＋m>10，解得m≥9．所以实数m的取值范围为{m|m≥9}．]1．本例中“p是q的充分不必要条件”改为“p是q的必要不充分条件”，其他条件不变，试求m的取值范围．[解]由x2－8x－20≤0得－2≤x≤10，由x2－2x＋1－m2≤0(m>0)得1－m≤x≤1＋m(m>0)，因为p是q的必要不充分条件，所以q⇒p，且p q．则{x|1－m≤x≤1＋m，m>0}{x|－2≤x≤10}，所以⎩⎪⎨⎪⎧m >0，1－m ≥－21＋m ≤10，，解得0<m ≤3．即m 的取值范围是(0,3]．2．若本例题改为：已知P ＝{x |a －4<x <a ＋4}，Q ＝{x |1<x <3}，“x ∈P ”是“x ∈Q ”的必要条件，求实数a 的取值范围．[解] 因为“x ∈P ”是“x ∈Q ”的必要条件，所以Q ⊆P ．所以⎩⎪⎨⎪⎧a －4≤1，a ＋4≥3，解得－1≤a ≤5，即a 的取值范围是[－1,5]．利用充分、必要、充要条件的关系求参数范围 (1)化简p 、q 两命题；(2)根据p 与q 的关系(充分、必要、充要条件)转化为集合间的关系； (3)利用集合间的关系建立不等式； (4)求解参数范围.1．充要条件的判断有三种方法：定义法、等价命题法、集合法． 2．充要条件的证明与探求(1)充要条件的证明分充分性的证明和必要性的证明．在证明时要注意两种叙述方式的区别：①p 是q 的充要条件，则由p ⇒q 证的是充分性，由q ⇒p 证的是必要性； ②p 的充要条件是q ，则由p ⇒q 证的是必要性，由q ⇒p 证的是充分性．(2)探求充要条件，可先求出必要条件，再证充分性；如果能保证每一步的变形转化过程都可逆，也可以直接求出充要条件．1．“|x |＝|y |”是“x ＝y ”的( ) A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件B[若x＝1，y＝－1，则|x|＝|y|，但x≠y；若x＝y，则|x|＝|y|，故选B．]2．“x＝5”是“x2－4x－5＝0”的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件A[由x2－4x－5＝0得x＝5或x＝－1，则当x＝5时，x2－4x－5＝0成立，但x2－4x－5＝0时，x＝5不一定成立，故选A．]3．下列条件中，是x2<4的必要不充分条件是()A．－2≤x≤2 B．－2<x<0C．0<x≤2 D．1<x<3A[由x2<4得－2<x<2，必要不充分条件的x的范围真包含{x|－2<x<2}，故选A．]4．若“x＜m”是“(x－1)(x－2)＞0”的充分不必要条件，则m的取值范围是________．(－∞，1][由(x－1)(x－2)＞0可得x＞2或x＜1，由已知条件，知{x|x＜m}{x|x＞2或x＜1}，∴m≤1．]。
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1.2.1充分条件与必要条件
教学要求：正确理解充分条件、必要条件及充要条件的概念.
教学重点：理解充分条件和必要条件的概念.
教学难点：理解必要条件的概念.
教学过程：
一、复习准备：
写出下列命题的逆命题、否命题及逆否命题，并判断它们的真假：
（1）若0ab =，则0a =；
（2）若0a >时，则函数y ax b =+的值随x 的值的增加而增加.
二、讲授新课：
1. 认识“⇒”与“”：
①在上面两个命题中，命题（1）为假命题，命题（2）为真命题. 也就是说，命题（1）中由
“0ab =”不能得到“0a =”，即0ab =0a =；而命题（2）中由“0a >”可以得到“函数y ax b =+的值随x 的值的增加而增加”，即0a >⇒函数y ax b =+的值随x 的值的增加而增加.
②练习：教材P12 第1题
2. 教学充分条件和必要条件：
①若p q ⇒，则p 是q 的充分条件（sufficient condition ），q 是p 的必要条件（necessary condition ）.
上述命题（2）中“0a >”是“函数y ax b =+的值随x 的值的增加而增加”的充分条件，而“函数y ax b =+的值随x 的值的增加而增加”则是“0a >”的必要条件.
②例1：下列“若p ，则q ”形式的命题中，哪些命题中的p 是q 的充分条件？
（1）若1x >，则33x -<-；
（2）若1x =，则2320x x -+=；
（3）若()3
x f x =-，则()f x 为减函数； （4）若x 为无理数，则2x 为无理数.
（5）若12//l l ，则12k k =.
（学生自练→个别回答→教师点评）
③练习：P12页 第2题
④例2：下列“若p ，则q ”形式的命题中，哪些命题中的q 是p 的必要条件？
（1）若0a =，则0ab =；
（2）若两个三角形的面积相等，则这两个三角形全等；
（3）若a b >，则ac bc >；
（4）若x y =，则22x y =.
（学生自练→个别回答→教师点评）
⑤练习：P12页 第3题
⑥例3：判断下列命题的真假：
（1）“x 是6的倍数”是“x 是2的倍数”的充分条件；（2）“5x <”是“3x <”的必要条件. （学生自练→个别回答→学生点评）
3. 小结：充分条件与必要条件的理解.
三、巩固练习：
作业：教材P14页 第1、2题
1.2.2充要条件
教学要求：进一步理解充分条件、必要条件的概念，同时学习充要条件的概念.
教学重点：充要条件概念的理解.
教学难点：理解必要条件的概念.
教学过程：
一、复习准备：
指出下列各组命题中，p 是q 的什么条件，q 是p 的什么条件？
（1）:p a Q ∈，:q a R ∈；
（2）:p a R ∈，:q a Q ∈；
（3）:p 内错角相等，:q 两直线平行；
（4）:p 两直线平行，:q 内错角相等.
二、讲授新课：
1. 教学充要条件：
①一般地，如果既有p q ⇒，又有q p ⇒，就记作p q ⇔. 此时，我们说，p 是q 的充分必要条件，简称充要条件（sufficient and necessary condition ）.
②上述命题中（3）（4）命题都满足p q ⇔，也就是说p 是q 的充要条件，当然，也可以说q 是p 的充要条件.
2. 教学典型例题：
①例1：下列命题中，哪些p 是q 的充要条件？
（1）:p 四边形的对角线相等，:q 四边形是平行四边形；
（2）:p 0b =，:q 函数2()f x ax bx c =++是偶函数；
（3）:p 0,0x y <<，:q 0xy >；
（4）:p a b >，:q a c b c +>+.
（学生自练→个别回答→教师点评）
②练习教材P14 练习第1、2题
③探究：请同学们自己举出一些p 是q 的充要条件的命题来.
④例2：已知：O 的半径为r ，圆心O 到直线l 的距离为d . 求证：d r =是直线l 与O 相切的充要条件.
（教师引导→学生板书→教师点评）
3. 小结：充要条件概念的理解.
三、巩固练习：
1. 从“⇒”、“”与“⇔”中选出适当的符号填空：
（1）1x >- 1x >； （2）a b > 11a b
<； （3）2220a ab b -+= a b =； （4）A ⊆∅ A =∅.
2. 判断下列命题的真假：
（1）“a b >”是“22a b >”的充分条件；（2）“a b >”是“22a b >”的必要条件；
（3）“a b >”是“22ac bc >”的充要条件；
（4）“5a +是无理数”是“a 是无理数”的充分不必要条件；
（5）“1x =”是“2230x x --=”的充分条件.
3. 作业：教材P14页 习题第3、4题。