苏教版高中数学选修2-2《1.3.1 单调性》教案

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(教师用书)高中数学 1.3.1 单调性同步备课课件苏教版选修2-2

1 1 【提示】大于 0.由于 y′＝1－ 2＞0(x＞1)，y＝x＋在 x x (1，＋∞)上是增函数．
1．一般地，在某区间上函数 y＝f(x)的单调性与导数有如下关系：
导数 f′(x)＞0
函数的单调性
增函数 f(x)为该区间上的_______
f′(x)＜0 f(x)为该区间上的________ 减函数 2.如果在区间(a，b)内恒有 f′(x)＝0，则 y＝f(x)在这个区
1 ·x－ln x 1－ln x x 所以 f′(x)＝＝ . x2 x2 由于 0＜x＜2，所以 ln x＜ln 2＜1，x2＞0. 1－ln x 故 f′(x)＝＞0. x2 ∴函数 f(x)在区间(0，2)上是单调递增函数．
求函数的单调区间
bx 设 f(x)＝ 2 ，x∈(－1，1)，常数 b≠0，试求函 x －1 数 f(x)的单调区间．
变化得快，这时，函数的图象大，那么函数在这个范围内__________ “陡峭” “平缓”一些．就比较_______ ；反之，函数的图象就_________
判断(证明)函数的单调性
求证：函数 f(x)＝ex－x－1 在(0，＋∞)内是增函数，在(－∞，0)内是减函数．【思路探究】根据函数的单调性与导数正负的关系，
当 b＜0 时，f′(x)＞0， ∴函数 f(x)在(0，1)上是增函数；又函数 f(x)是奇函数，且 f(0)＝0. ∴当 b＞0 时，f(x)在(－1，1)上是减函数；当 b＜0 时，f(x)在(－1，1)上是增函数．因此，当 b＞0 时，f(x)的递减区间是(－1，1)；当 b＜0 时，f(x)的递增区间是(－1，1)．
●教学建议让学生“动起来”，为突出学生学习的主体地位，运用 “问题解决”课堂教学模式，采用发现式、启发式的教学方式．通过问题激发学生求知欲，使学生主动参与教学实践活动，在教师的指导下发现、分析和解决问题，总结规律，培养积极探索的科学精神．采用多媒体课件等辅助手段以加大课堂容量，通过数形结合，图、表并用，使抽象的知识直观化、形象化，以促进学生的理解．

2019-2020学年苏教版高中数学选修2-2《1.3.1单调性》教案

2019-2020学年苏教版数学精品资料教学目标：1．正确理解利用导数判断函数的单调性的原理；2．掌握利用导数判断函数单调性的方法．教学重点：利用导数判断函数单调性．教学过程：一、问题情境1．问题情境．怎样利用函数单调性的定义来讨论其在定义域的单调性？2．探究活动．由定义证明函数的单调性的一般步骤是什么？二、建构数学1．函数的导数与函数的单调性的关系：我们已经知道，曲线y＝f(x)的切线的斜率就是函数y＝f(x)的导数．从函数243＝－＋的图象y x x可以看到：x)y＝f(x)＝x2－4x＋3 切线的斜率 f ′（在区间（2，＋∞）内，切线的斜率为正，函数y ＝f(x)的值随着x 的增大而增大，即y ′＞0时，函数y ＝f(x)在区间（2，＋∞）内为增函数；在区间（－∞，2）内，切线的斜率为负，函数y ＝f(x)的值随着x 的增大而减小，即y ′＜0时，函数y＝f(x)在区间（－∞，2）内为减函数．定义：一般地，设函数y ＝f(x)在某个区间内有导数，如果在这个区间内，有y ′＞0，那么函数y ＝f(x)为在这个区间内的增函数；如果在这个区间内y ′＜0，那么函数y ＝f(x)为在这个区间内的减函数．2．用导数求函数单调区间的步骤：①求函数f(x)的导数()f x ．②令()f x ＞0解不等式，得x 的范围就是递增区间．③令()f x ＜0解不等式，得x 的范围就是递减区间．三、数学运用例1确定函数f(x)＝2x 3－6x 2＋7在哪个区间内是增函数，哪个区间内是减函数．21f x = 2x 3-6x 2+7xOy解 f ′（x)＝(2x 3－6x 2＋7)′＝6x 2－12x令6x 2－12x ＞0，解得x ＞2或x ＜0∴当x ∈(－∞，0)时，f ′（x)＞0，f(x)是增函数．当x ∈(2，＋∞)时，f ′（x)＞0，f(x)是增函数．令6x 2－12x ＜0，解得0＜x ＜2．∴当x ∈(0，2)时，f ′（x)＜0，f(x)是减函数．(2，＋∞) 增函数正＞0(－∞，2)减函数负＜0例2已知函数y ＝x ＋x1，试讨论出此函数的单调区间．-22-11f x = x+1xxOy 解法一：(用定义的方法) 法二：(用导数方法)点评用导数方法判别或证明函数在给定区间上的单调性，相对于用定义法解决单调性问题是十分简捷的；用导数的符号判别函数的增减性更能显示出它的优越性．练习1．确定下列函数的单调区间（1）y ＝x 3－9x 2＋24x（2）y ＝x －x32．讨论二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c(a ＞0)的单调区间．3．求下列函数的单调区间（1）y ＝2x x ＋（2）y ＝29xx －（3）y ＝x ＋x ．四、回顾小结f(x)在某区间内可导，可以根据f ′（x)＞0或f ′（x)＜0求函数的单调区间，或判断函数的单调性，或证明不等式．以及当 f ′（x)＝0在某个区间上，那么f(x)在这个区间上是常数函数．五、课外作业课本第29页第1，2，3题．。

高中数学新苏教版精品教案《苏教版高中数学选修2-2 1.3.1 单调性》0

利用导数研究函数的单调性
【学习目标】
1、了解函数的单调性与导数的关系；
2、能利用导数研究函数的单调性；
【学习重点】
能利用导数研究函数的单调性
【学习过程】
一、知识回忆：
1 利用导数研究函数的单调性
在某个区间a,b内,如果f'≥0且在a,b的任意子区间上,那么函数=f在这个区间内单调递增; 如果f'≤0且在区间a,b的任意子区间上,那么函数=f 在这个区间内单调递减
2 判定函数单调性的一般步骤
1 确定函数=f的定义域;
2 求导函数f';
3 在函数f的定义域内解不等式f'>0或f'<0;
4 根据3的结果确定函数的单调区间
二、课前热身
1、函数＝f，其导函数＝f′的图象如下图，
那么＝f的单调减区间为
2、函数的单调区间为。

3、函数f＝－n 的单调减区间为________ ．
4、函数f＝3＋a－2在区间1，＋∞上是增函数，那么a的取值范围为______________．
三典型例题
例11函数f=n -2的单调减区间是
(2)函数=3-2e的单调增区间是
例2函数,a∈R当时,讨论f的单调性
例3 函数,如果函数f在1,∞上单调,求实数a的取值范围
变式：函数f＝3＋1－a2－aa＋2＋ba，b∈R．假设函数f在区间－1,1上不单调，求a的取值范围
四、当堂检测
1、函数的单调减区间为
2、函数的单调递增区间为〔-1,1〕，那么=
3、假设在〔1，〕上是减函数，那么b的取值范围
4、函数,讨论函数f的单调性
五、学后反思。

苏教版选修2-2高中数学1.3.1《单调性》ppt课件

x＜2，函数的单调递减区间为(1,2)．
(2)函数的定义域为{x|x≠0}， f′(x)＝x＋px′＝1－xp2＝x2x－2 p＝x12(x＋ p)(x－ p)．令 f′(x)＞0，则x12(x＋ p)·(x－ p)＞0，解得 x＜－ p或 x＞ p. ∴函数的单调递增区间为(－∞，－ p)和( p，＋∞)．令 f′(x)＜0，则x12(x＋ p)(x－ p)＜0， ∴－ p＜x＜ p，且 x≠0， ∴函数 f(x)的递减区间为(－ p，0)和(0， p)．
(2 分)
要使 f(x)在[2，＋∞)上是单调递增的，
则 f′(x)≥0 在 x∈[2，＋∞)上恒成立，
即2x3x－2 a≥0 在 x∈[2，＋∞)上恒成立．
(6 分)
∵x2＞0，∴2x3－a≥0，即 a≤2x3 在 x∈[2，＋∞)上恒成立．
∴a≤(2x3)min.∵x∈[2，＋∞)，y＝2x3 是单调递增的．
题型三已知单调性求参数的取值范围【例 3】 (14 分)已知函数 f(x)＝x2＋ax(x≠0，常数 a∈R)．若
函数 f(x)在 x∈[2，＋∞)上是单调递增的，求 a 的取值范围．
审题指导可先对函数求导，再将问题转化为
f′(x)≥0在x∈[2，＋∞)上恒成立问题求解．
[规范解答] f′(x)＝2x－xa2＝2x3x－2 a
证明
f′(x)＝xcos
x－sin x2
x，又
x∈2π，π，
则 cos x＜0，∴xcos x－sin x＜0，
∴f′(x)＜0，∴f(x)在π2，π上是减函数．
题型二求函数的单调区间【例 2】求下列函数的单调区间：
(1)y＝x－ln x；(2)y＝21x.

江苏省高中数学1.3.1导数在研究函数中的应用_单调性教案苏教版选修2_2

导数在研究函数中的应用（单调性）教学目标：1.知识与技能(1)探索函数的导数与单调性之间的关系.(2)利用导数与函数单调性之间的关系求函数的单调区间、证明函数的单调性.2.过程与方法通过本节的学习,掌握用导数研究函数单调性的方法.3.情感、态度、价值观教学过程中让学生多动手、勤思考、善总结，引导学生养成自主学习的习惯. 教学重点、难点：探索并应用导数与函数单调性之间的关系求函数的单调区间，证明函数的单调性. 教学方法与教学手段：启发式,多媒体教学.教学过程：一、提出问题师：我们知道，导数作为函数的变化率，它刻画了函数的变化的趋势（上升或下降的陡峭程度），请大家回忆一下，在我们过去学习的知识中，还有什么也是刻画函数的变化趋势的？生:单调性.师：既然导数与单调性都能够刻画函数的变化趋势，那么它们之间有着怎样的联系呢？二、数学建构（1）提出猜想：学生研究，汇报成果，教师引导学生得到两个结论.1.)(x f 单调递增 0)(>'x f 2.0)(>'x f )(x f 单调递增（2）验证猜想：根据下面的图说明猜想2：引导学生通过举反例来否定猜想1.（3）确认结论：师：事实上，数学的很多结论都是实际生活和自然规律的反映.比如，当汽车行驶时，其速度的导数即为瞬时加速度，刚启动时，加速度为正，所以速度越来越快；而在刹车的过程中，加速度为负，所以速度越来越慢.三、数学应用：例1函数34)(2+-=x x x f 的单调区间为 .例2 确定函数762)(23+-=x x x f 的单调增区间. 例3 用导数证明:函数)23,2(,sin )(ππ∈=x x x f 为减函数. 四、回顾反思问题1：我们怎么想到研究导数与单调性之间的关系的？问题2：我们是怎样研究这个问题的？问题3：我们得到了哪些结论？问题4：运用上述结论，解决了哪些问题？五、课堂巩固1.函数x x x f ln )(=的减区间为 .2.用导数证明: (1)x e x f =)(在区间),(+∞-∞上是增函数. (2)x x f ln )(-=在定义域上是减函数.导数在函数中的应用（单调性）教学设计说明函数的导数与单调性是选修2-2第一章第三节的内容。

高中数学第一章导数及其应用 1.3.1 导数在研究函数中的应用—单调性说课稿2 苏教版选修2-2

导数在研究函数中的应用—单调性一、教材分析本节课，是苏教版选修2-2第一章第3节课。

它承接导数的定义和运算，开启了导数在函数中应用的研究，是导数应用的基础知识，地位重要．二、学情分析学生前面已经学习了导数的定义和简单函数四则运算的导数公式，尤其是已经有了“割线逼近切线”这种数学思想，这为本节课提供了充分的思想方法准备．并且，在本节课开头设置的三个问题中，有的问题可以用单调性定义解决，有些通过观察可以直接判断，而有些则并不能一眼看出单调性，这就触动学生要寻找新的解题方法，探索新的思路。

通过数学问题的导引，带领学生走进课堂．在实际教学中，考虑到学生比较容易局限于观察图象，得出结论，缺乏严谨的推理。

事实上，图象只能提供直观感受，并不能作为说理依据。

教师就要引导学生共同思考：怎样从已有的单调性的定义中，找出合理、可行、有效的方法。

师生共同观察、思考、猜想、证明，最终得出结论，比较圆满地完成一个数学知识的学习过程，体验数学发现的乐趣，拓宽师生的数学视野．三、教学目标1 .探索并了解函数的单调性和函数导数的关系；2.比较初等方法与导数方法在研究函数性质过程中的异同，体现导数方法在研究函数性质中的一般性和有效性．四、教学重点、难点我认为本节课的重点是从单调性的定义出发，逐步建立单调性与导数之间的关系。

其间，既有代数变形，又有图形直观；既有大胆的猜想，又有严密推理。

教师和学生在这些思想方法之间灵活穿梭、切换，既有激烈地思想交锋，又有严密地逻辑推理，让看似平静的课堂充满了智慧的碰撞。

五、教学方法与教学手段教师从课本章头图引入课题，自然地把导数和单调性结合起来。

教师通过设置问题串，从“会”到“不会”，激发学生学习兴趣，展开探究。

教师利用多媒体PPT和几何画板，动态演示，确定研究方向，最终得出结论。

六、教学过程教师为了能够真正体现“要提高学生独立获取数学知识，并用数学语言表达问题的能力”这个新课程理念，设计了10个环节。

高中数学新苏教版精品教案《苏教版高中数学选修2-2 1.3.1 单调性》1

导数在研究函数中的应用单调性学习目标：1．结合实例，探索并掌握函数的单调性与导数的关系2.能利用导数研究函数的单调性，并能够利用单调性证明一些简单的不等式3会求函数的单调区间一、问题情境:以前，我们用定义来判断函数的单调性，在假设10；2从最高点到入水，h随t的增加而减小，即ht是减函数，h′t0，是增函数；2在区间－∞，0内，′＝2021增函数；3在区间－∞，＋∞内，′＝32≥0，是增函数；4在区间－∞，0，0，＋∞内，′＝－错误!么函数＝f在这个区间内单调递增；如果f′0；当>4，或0，可知f在此区间内单调递增；当>4，或0解得2，由f ′0，即2·错误!>0，解得－错误!错误!又∵>0，∴>错误!令f ′0，∴00时，函数f 的单调递增区间是[－错误!，错误!]．令f ′≤0时，得3t －32≤0，即t ≤2，当t ≤0时，f ′≤0恒成立，函数f 的单调递减区间是－∞，＋∞；当t >0时，函数f 的单调递减区间是－∞，－错误!]，[错误!，＋∞．综上所述，当t ≤0时，函数f 的单调减区间是－∞，＋∞，无单调增区间；当t >0时，函数f 的单调增区间是[－错误!，错误!]，单调减区间是－∞，－错误!]，[错误!，＋∞．反思与感悟求函数的单调区间的具体步骤：1优先确定f 的定义域；2计算导数f ′；3解f ′>0和f ′0的区间为增区间，定义域内满足f ′ax x x f +=3)(⎪⎭⎫⎢⎣⎡+∞,21()032'≥+=a x x f ⎪⎭⎫⎢⎣⎡+∞,2143-≥a 0和f ′0，即函数f 为增函数；当02时，f ′>0，即函数f 为增函数．观察选项易知④正确．2．函数f ＝n －aa >0的单调增区间为________．答案错误!解析 f 的定义域为{|>0}，由f ′＝错误!－a >0，得00，得>2；令′<0，得<2，所以＝2－4＋a 的单调递增区间为2，＋∞，单调递减区间为－∞，2．。

高中数学第一章导数及其应用 1.3.1 导数在研究函数中的应用—单调性教案5 苏教版选修2-2-

导数在研究函数中的应用——单调性【教学分析】1.教材分析本节课是高中数学苏教版教材选修2-2第节导数在研究函数单调性中的应用.这节内容是导数作为研究函数的工具的起点,是本节的重点,学生对本节的收获直接影响着后面极值、最值的学习.函数单调性是高中阶段讨论函数“变化”的一个最基本的性质.学生在中学阶段对于单调性的学习共分为三个阶段：第一阶段,在初中以具体函数为载体,从图形直观上感知单调性；第二阶段在高中学习必修一时,用运算的性质研究单调性；第三阶段就是在本节课中,用导数的性质研究单调性.本节内容属于导数的应用,是本章的重点,学生在学习了导数的概念、几何意义、基本函数的导数、导数的四则运算的基础上学习本节内容.学好它既可加深对导数的理解,又为研究函数的极值和最值打好基础,具有承前启后的重要作用.研究过程蕴含了数形结合、分类讨论、转化与化归等数学思想方法,以及研究数学问题的一般方法,即从特殊到一般,从简单到复杂,培养了学生应用导数解决实际问题的意识.2.学情分析《普通高中数学新课程标准（实验）》中要求：结合实例,借助几何直观探索并了解函数的单调性与导数间的关系.对于函数的单调性学生已经掌握图象、定义两种判断方法,但是图象和定义法不是万能的.对于不能用这两种方法解决的单调性问题学生需要思考.学生之前学习了导数的概念,经历过从平均变化率到瞬时变化率的过程,研究过导数的几何意义是函数图象在某点处的切线,从数和形的角度认识了导数也是刻画函数变化陡峭程度的量,但是沟通导数和单调性之间的练习对学生来说是教学中要突破的难点和重点.3. 教学目标(1)了解函数的单调性与导数的关系,能利用导数研究函数的单调性,会求不超过三次的多项式函数的单调区间.(2)通过实例,借助几何直观、数形结合探索函数的单调性与导数的关系；通过初等方法与导数方法研究函数性质过程中的比较,体会导数在研究函数性质中的一般性和有效性,同时感受和体会数学自身发展的一般规律.(3)通过教师指导下的学生交流探索活动,激发学生的学习兴趣,培养学生转化与化归的思维方式,并引导学生掌握从特殊到一般,从简单到复杂的思维方法,用联系的观点认识问题,提高学生提出问题、分析问题、解决问题的能力.4. 教学重点：利用导数研究函数的单调性5. 教学难点：发现和揭示导数的正负与函数单调性的关系.6. 教学方法与教学手段：问题教学法、合作学习法、多媒体课件等【教学过程】1.创设情境,激发兴趣情境一：过山车章头图情境二：观看过山车视频【设计意图】通过章头图拉近学生与数学的关系，让学生感受到生活处处有数学，也为本节课的研究埋下伏笔。

高中数学新苏教版精品教案《1.3.1 单调性》

课题：导数在研究函数中的应用--单调性执教者：陈庆广单位：江苏省赣榆高级中学导数在研究函数中的应用——单调性江苏省赣榆高级中学陈庆广【设计思想】1、从学生的知识建构上看：按照新课程标准的要求，本着“学生主体，教师主导〞的原那么，在教学设计上遵循学生的认知规律，遵循辩证唯物主义的认识论，使学生对导数在研究函数的单调性作用从感性到理性的理解，使学生对数学概念和规律的学习并不感到突然和困难．2、从教学方法上看：为了突出重点，突破难点，运用“情境创设——主动探究——归纳总结——体验感知——回忆反思〞的教学方法．具体地，将“学生讨论与教师引导〞融合在一起，让学生体验知识生成的研究方法；启发学生思索由熟悉函数的单调性知识与导数的几何意义建立两者之间的内在联系，层层提出问题，逐步分析创设概念的形成过程，从而体会“理论探究〞的研究方法；从而激发学生自主探索，生成知识的自然过渡，体会数学3、从教学效果上看：由于是新授课，力争做到概念生成自然，结论产生严谨，知识点讲清、讲透，效劳于后续的知识学习．正在概念，轻习题，例题选择简单，仅仅围绕概念设置，表达“从生活到数学，从数学到实际〞的新理念，又具有情感教育的功能．【教材分析】本节课是高中数学选修2-2〔苏教版〕单调性是在初等函数单调性研究的根底上，进一步利用导数的工具研究更为复杂的函数单调性，是高中数学的核心内容，具有工具性的特点．依据?普通高中数学课程标准〔实验〕?，结合学生的认知特点，确定这节课的价值取向是强调本质、再现过程、开展思维、提升能力．【学情分析】1、高二学生认知特点是：从具体的形象思维向抽象逻辑思维过渡，仍需从具体形象的情景背景感性经验逐步转化为理性认识．2、学生在熟悉掌握初等函数的单调性的根底上，在探究图像、定义法解决有困难时，能轻松过渡到导数的几何意义，体验建立导数研究函数单调性的生成过程；本节主要是导数研究函数单调性的生成过程及利用其求函数的单调性．【教学目标】〔一〕知识与技能：知识目标：探索并应用函数的单调性与导数的关系求函数的单调区间；能力目标：利用导数求较为复杂的函数的单调性，能利用单调性画出函数的草图，经历将实际问题抽象为数学概念的过程，体会数学思维的严谨性和数学的简约美，同时掌握思想方法，开展各种能力．〔二〕过程与方法：1、经历“类比、探究〞的发散思维和“体验、总结〞理论探究归纳能力；2、体会用“探究法〞和“理论推导〞相互结合研究问题的方法．〔三〕情感态度与价值观：开展学生的数学应用意识，体验数学文化，丰富学生的学习情感，提升数学素养．【重点难点】教学重点：利用导数研究函数的单调性，会求一些简单的非初等函数的单调区间．教学难点：如何引导学生建立导数与单调性之间的关系，进一步利用导数求函数的单调区间．【教学方法】探究法、讲授法【教学过程】一、问题情境教师：同学们，我们刚刚从教师走到这儿用了几分钟呀？从数学角度，距离与时间建立了什么关系？学生：建立函数关系。

高中数学新苏教版精品教案《苏教版高中数学选修2-2 1.3.1 单调性》3

导数与单调性的教学设计本节的教学内容是在学生学习了导数的概念、计算、几何意义的根底上学习的内容，学好它既可加深对导数的理解，又可为后面研究函数的极值和最值打好根底。

函数的单调性是函数极为重要的性质。

在高一学生利用函数单调性的定义、函数的图像来判断函数的单调性，通过本节课学习，利用导数来判断函数的单调性，是导数在研究处理函数性质问题中的一个重要应用。

同时，为下一节学习利用导数研究函数的极值、最值有重要的帮助。

因此，学习本节内容具有承上启下的作用。

【学生学情分析】由于学生在高一已经掌握了单调性的定义，并能用定义判定在给定区间上函数的单调性。

通过本节课的学习，应使学生体验到，用导数判断单调性要比用定义判断简捷得多〔尤其对于三次和三次以上的多项式函数，或图像难以画出的函数而言〕，充分表达了导数解决问题的优越性。

虽然函数单调性的概念在高一学过，但现在可能已忘记；因此对于单调性概念的理解不够准确，同时导数是学生刚学习的概念，如何将导数与函数的单调性联系起来是一个难点。

【教学目标】1知识与能力：会利用导数解决函数的单调性及单调区间。

2过程与方法：通过利用导数研究单调性问题的探索过程,体会从特殊到一般的、数形结合的研究方法。

3情感态度与价值观：通过学生动手、观察、思考、总结，培养学生的探索精神，引导学生养成自主学习的学习习惯。

通过导数研究单调性的步骤的形成和使用，使得学生认识到利用导数解决一些函数〔尤其是三次、三次以上的多项式函数〕的问题，因而认识到导数的实用价值。

【教学重点和难点】对于本节课学生的认知困难主要表达在：用准确的数学语言描述函数单调性与导数的关系，这种由特殊到一般、数到形、直观到抽象的转变，对学生是比拟困难的。

根据以上的分析和新课程标准的要求，我确定了本节课的重点和难点。

教学重点：探索并应用函数的单调性与导数的关系求单调区间。

教学难点：探索函数的单调性与导数的关系。

【教学设计思路】现代教学观念要求学生从“学会〞向“会学〞转变，本节可从单调性与导数的关系的发现到应用都有意识营造一个较为自由的空间，让学生能主动的去观察、猜想、发现、验证，积极的动手、动口、动脑，使学生在学知识同时形成思想、方法。

高中数学新苏教版精品教案《苏教版高中数学选修2-2 1.3.1 单调性》

导数的应用复习目标：1．理解可导函数的单调性与其导数的关系；2．了解可导函数在某点取得极值的必要条件和充分条件导数在极值点两侧异号。

根底热身：1对于总有成立，那么= 。

〔思考：本小题考查函数单调性及恒成立问题的综合运用,表达了分类讨论的数学思想。

要使恒成立，只要在上恒成立。

〕解：当时，，所以，不符合题意，舍去。

当时，即单调递减，，舍去。

当时①假设时在和上单调递增，在上单调递减。

所以②当时在上单调递减，，不符合题意，舍去。

综上可知a=42设函数，其中a为实数。

〔Ⅰ〕函数在处取得极值，求的值；〔Ⅱ〕不等式对任意都成立，求实数的取值范围。

〔思考：第一小题求极值，实际上就是求函数的导数，函数在某一点取得极值，就是在这一点的导数值为零〕解：〔I〕在取得极值即〔Ⅱ〕即〔思考：要求这个式子在上恒成立，此时将a看做变量，这就是一个关于a的一次函数，并且斜率是大于零的〕令即对任意都成立那么即知识梳理：1．单调性与导数①假设在上恒成立，在函数假设在上恒成立，在函数②在区间上是增函数在上恒成立；在区间上为减函数在上恒成立2．极值与导数10设函数在点附近有定义，如果左右，那么是函数的一个极大值;如果左右，那么是函数的一个极小值；如果左右不改变符号，那么在这个根处．注意: ①极值是一个局部概念,不同与最值; ②函数的极值不是唯一的;③极大值与极小值之间大小关系: ；④数的极值点一定出现在区间的内部2021导函数极值的步骤：①；②；③．3．利用导数求函数的最值设函数在上连续，在内可导，那么求在上的最大值与最小值的步骤：①；②．例题分析：例1函数，且是奇函数．〔Ⅰ〕求，的值；〔Ⅱ〕求函数的单调区间．〔思考：从条件来看，求，的值应该从是奇函数着手．〕解：〔Ⅰ〕因为函数为奇函数，所以，对任意的，，即．又所以．所以解得．〔思考：求函数的单调区间，就是讨论导数值大于零，小于零的问题，解题过程中，以图表的形式呈现较为清晰，能够减少失误〕〔Ⅱ〕由〔Ⅰ〕得．所以．当时，由得．变化时，的变化情况如下表：所以，当时，函数在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增．当时，，所以函数在上单调递增．例2函数，．〔Ⅰ〕讨论函数的单调区间；〔Ⅱ〕设函数在区间内是减函数，求的取值范围．〔思考：导函数是一个开口向上的一元二次函数，当≤0时，导函数恒大于等于零，>0时，导函数有大于零，也有小于零的局部，这就需要对a分区间进行讨论〕〔思考：函数在某一区间为减函数，等价于，函数在这一区间的导函数是小于等于零的〕例3函数，R且Ⅰ假设曲线在点处的切线垂直于轴，求实数的值；Ⅱ当时，求函数的最大值和最小值〔思考：函数在某一点的导数的几何意义就是，在这一点切线的斜率，现在题目中要求在P点的切线垂直于轴，说明该点的切线的斜率为零，即P点的导函数值为零〕解：==Ⅰ∵曲线在点处的切线垂直于轴，由导数的几何意义得，∴〔思考：将直接代入，会使方程变得很复杂，这里应该做一个变量替换，替换的同时，也要注意变量的范围也相应的发生了变化〕Ⅱ设，只需求函数的最大值和最小值令，解得或∵，∴当变化时，与的变化情况如下表：函数在和上单调递增；在上单调递减；①当，即时，函数在上为减函数,②当，即时，函数的极小值为上的最小值，∴函数在上的最大值为与中的较大者∵，∴当时，，此时；当时，，此时；当时，，此时综上，当时，的最小值为，最大值为；当时，的最小值为，最大值为；当时，的最小值为，最大值为例4函数有三个极值点。

苏教版高中数学选修(2-2)-1.3《单调性》教学课件1

三、构建数学
一般地，对于给定区间上的函数
f(x)，如果对于属于这个区间的任意两
个自变量的值x1，x2，当x1<x2时，若f(x1)<f(x2)，那么f(x)在这个
区间上是增函数.即x1-x2与f(x1)-f(x2) 同号,即：
f (x1) f (x2 ) 0也即 y 0
x1 x2
x1，x2∈(0，+∞)，设x1＜x2.
• f(x1)－f(x2)= x2 x1 ∵x1＞0，x2＞0，
注:当x=0或2时, f′(x)=0,即函数在该点单调性发生改变. 当x=x0时, f′(x0)=0,且当x＜x0与x＞x0时
f′(x0)异号，则函数在该点单调性发生改变.
例3、求函数f(x)=sinx,x∈[0,2π] 的单调区间.
练习：（1）求函数y=x2(1－x)3的单调区间.
• 解：y′=［x2(1－x)3］′=2x(1－x)3+x2·3(1－x)2·(－1) • =x(1－x)2［2(1－x)－3x］=x(1－x)2·(2－5x) • 令x(1－x)2(2－5x)＞0，解得0＜x＜ 2 .
x
构建数学
增函数时有:
f (x1) f (x2 ) 0也即 y 0
x1 x2
x
减函数时有:
f (x1) f (x2 ) 0也即 y 0
x1 x2
x
构建数学
结论:一般地,设函数y=f(x)在某个区间内可导,则函数在该区间如果f′(x)>0, 则f(x)为增函数; 如果f′(x)<0, 则f(x)为减函数.
又
f (x) ln
1 x2 1 x2
1 [ln(1 x2 ) ln(1 x2 )] 2

2021年高中数学苏教版选修2-2教学案：第1章 1.3 1.3.1 单调性

_导数在研究函数中的应用1.3.1 单调性[对应学生用书P13]函数y 1＝x ,y 2＝x 2 ,y 3＝1x.问题1：试作出上述三个函数的图象．提示：图象为问题2：试根据上述图象说明函数的单调性．提示：函数y 1＝x 在R 上为增函数 ,y 2＝x 2在(－∞ ,0)上为减函数 ,在(0 ,＋∞)上为增函数 , y 3＝1x 在(－∞ ,0) ,(0 ,＋∞)上为减函数．问题3：判断它们导函数的正负．提示：y 1′＝1>0 ,y 2′＝2x ,当x >0时 ,y 2′>0 ,当x <0时 ,y 2′<0 ,y 3′＝－1x 2<0.问题4：试探讨函数的单调性与其导函数正负的关系．提示：当f ′(x )>0时 ,f (x )为增函数 ,当f ′(x )<0时 ,f (x )为减函数．一般地 ,在某区间上函数y ＝f (x )的单调性与导数有如下关系：导数函数的单调性 f ′(x )>0 f (x )为该区间上的增函数 f ′(x )<0f (x )为该区间上的减函数上述结论可以用以下图来直观理解．1．根据导数的几何意义,可以用曲线切线的斜率来解释导数与单调性的关系,如果切线的斜率大于零,那么其倾斜角是锐角,函数曲线呈现上升的状态,即函数单调递增；如果切线的斜率小于零,那么其倾斜角是钝角,函数曲线呈现下降的状态,即函数单调递减．2．在某个区间内f′(x)>0(f′(x)<0)是函数f(x) 在此区间内为增(减)函数的充分条件,而不是充要条件．如果出现个别点使f′(x)＝0 ,不会影响函数f(x)在包含该点的某个区间内的单调性．例如函数f(x)＝x3在定义域(－∞,＋∞)上是增函数,但由f′(x)＝3x2知,f′(0)＝0 ,即并不是在定义域内的任意一点处都满足f′(x)>0.[对应学生用书P14]判断(或证明)函数的单调性[例1](1)y＝ax5－1(a>0)；(2)y＝a x－a－x(a>0且a≠1)．[思路点拨]先求出函数的导数,然后通过导数的符号来讨论函数的单调性．[精解详析](1)∵y′＝5ax4且a>0 ,∴y′≥0在R上恒成立,∴y＝ax5－1在R上为增函数．(2)y′＝a x ln a－a－x ln a(－x)′＝(a x＋a－x)ln a ,当a>1时,ln a>0 ,a x＋a－x>0 ,∴y′>0在R上恒成立,∴y＝a x－a－x在R上为增函数．当0<a<1时,ln a<0 ,a x＋a－x>0 ,∴y′<0在R上恒成立,∴y＝a x－a－x在R上为减函数．[一点通]判定函数单调性的方法有两种：(1)利用函数的单调性的定义,在定义域内任取x1 ,x2 ,且x1<x2 ,通过判断f(x1)－f(x2)的符号确立函数的单调性．(2)利用导数判断可导函数f (x )在(a ,b )内的单调性 ,步骤是：①求f ′(x ) ,②确定f ′(x )在(a ,b )内的符号 ,③得出结论．1．以下函数中 ,在区间(－1,1)上是减函数的有________． ①y ＝2－3x 2；②y ＝ln x ；③y ＝1x －2；④y ＝sin x .解析：显然 ,函数y ＝2－3x 2在区间(－1,1)上是不单调的；函数y ＝ln x 的定义域为(0 ,＋∞) ,不满足题目要求；对于函数y ＝1x －2 ,其导数y ′＝－1(x －2)2<0 ,且函数在区间(－1,1)上有意义 ,所以函数y＝1x －2在区间(－1,1)上是减函数；函数y ＝sin x 在⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2π2上是增函数 ,所以函数y ＝sin x 在区间(－1,1)上也是增函数．答案：③2．证明：函数y ＝ln x ＋x 在其定义域内为增函数．证明：显然函数的定义域为{x |x >0} , 又f ′(x )＝(ln x ＋x )′＝1x ＋1 ,当x >0时 ,f ′(x )>1>0 ,故y ＝ln x ＋x 在其定义域内为增函数．3．判断y ＝ax 3－1(a ∈R )在(－∞ ,＋∞)上的单调性．解：因为y ′＝3ax 2 ,又x 2≥0.(1)当a >0时 ,y ′≥0 ,函数在R 上是增函数； (2)当a <0时 ,y ′≤0 ,函数在R 上是减函数； (3)当a ＝0时 ,y ′＝0 ,函数在R 上不具备单调性．求函数的单调区间[例2](1)y ＝x 3－2x 2＋x ；(2)f (x )＝3x 2－2ln x .[思路点拨] 先确定函数的定义域 ,再对函数求导 ,然后求解不等式f ′(x )>0 ,f ′(x )<0 ,并与定义域求交集从而得到相应的单调区间．[精解详析] (1)y ′＝3x 2－4x ＋1. 令3x 2－4x ＋1>0 ,解得x >1或x <13,因此 ,y ＝x 3－2x 2＋x 的单调递增区间为(1 ,＋∞) ,⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫－∞ 13. 再令3x 2－4x ＋1<0 ,解得13<x <1.因此 ,y ＝x 3－2x 2＋x 的单调递减区间为⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫13 1.(2)函数的定义域为(0 ,＋∞) , f ′(x )＝6x －2x ＝2·3x 2－1x .令f ′(x )>0 ,即2·3x 2－1x >0 ,解得－33<x <0或x >33. 又∵x >0 ,∴x >33. 令f ′(x )<0 ,即2·3x 2－1x <0 ,解得x <－33或0<x <33, 又∵x >0 ,∴0<x <33. ∴f (x )的单调递增区间为⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫33 ＋∞ ,单调递减区间为⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫0 33.[一点通] (1)利用导数求函数f (x )的单调区间 ,实质上是转化为解不等式f ′(x )>0或f ′(x )<0 ,不等式的解集就是函数的单调区间．(2)如果函数的单调区间不止一个时 ,应用 "及〞、 "和〞等连接 ,而不能写成并集的形式．如本例(1)中的单调增区间不能写成⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫－∞ 13∪(1 ,＋∞)．(3)要特别注意函数的定义域．4．假设函数f (x )＝x 2－2x －4ln x ,那么函数f (x )的单调递增区间为________．解析：由f (x )的定义域为(0 ,＋∞) ,f ′(x )＝2x －2－4x ＝2x 2－2x －4x,由f ′(x )>0得x 2－x －2>0 ,解得x <－1或x >2 , 又x >0 ,所以函数f (x )的单调递增区间为(2 ,＋∞)．答案：(2 ,＋∞)5．函数f (x )＝x ln x 的单调递增区间为________．解析：∵f (x )＝x ln x (x >0) ,∴f ′(x )＝ln x ＋1 , 令f ′(x )>0 ,那么ln x ＋1>0 ,即ln x >－1. ∴x >1e,即函数f (x )＝x ln x 的单调递增区间为⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫1e ＋∞. 答案：⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫1e ＋∞6．函数f (x )＝ln x ＋ke x(k 为常数 ,e ＝2.718 28…是自然对数的底数) ,曲线y ＝f (x )在点(1 ,f (1))处的切线与x 轴平行．(1)求k 的值； (2)求f (x )的单调区间．解：(1)由f (x )＝ln x ＋ke x,得f ′(x )＝1－kx －x ln xx e x,x ∈(0 ,＋∞) ,由于曲线y ＝f (x )在(1 ,f (1))处的切线与x 轴平行 , 所以f ′(1)＝0 ,因此k ＝1.(2)由(1)得f ′(x )＝1x ex (1－x －x ln x ) ,x ∈(0 ,＋∞) ,令h (x )＝1－x －x ln x ,x ∈(0 ,＋∞) ,当x ∈(0,1)时 ,h (x )>0；当x ∈(1 ,＋∞)时 ,h (x )<0. 又e x >0 ,所以当x ∈(0,1)时 ,f ′(x )>0；当x ∈(1 ,＋∞)时 ,f ′(x )<0. 因此f (x )的单调递增区间为(0,1) , 单调递减区间为(1 ,＋∞)．函数的单调性求参数[例3] 函数f (x )＝x 2＋ax (x ≠0 ,常数a ∈R )．假设函数f (x )在x ∈[2 ,＋∞)上是增函数 ,求a 的取值范围．[思路点拨] 解答此题可先对函数求导 ,再将问题转化为f ′(x )≥0在x ∈[2 ,＋∞)上恒成立问题求解．[精解详析] f ′(x )＝2x －a x 2＝2x 3－ax 2.要使f (x )在[2 ,＋∞)上是增函数 , 那么f ′(x )≥0在x ∈[2 ,＋∞)上恒成立 , 即2x 3－ax 2≥0在x ∈[2 ,＋∞)上恒成立．∵x 2>0 ,∴2x 3－a ≥0 ,∴a ≤2x 3在x ∈[2 ,＋∞)上恒成立． ∴a ≤(2x 3)min .∵x ∈[2 ,＋∞) ,y ＝2x 3是增函数 , ∴(2x 3)min ＝16 ,∴a ≤16.当a ＝16时 ,f ′(x )＝2x 3－16x 2≥0(x ∈[2 ,＋∞))恒成立．∴a 的取值范围是a ≤16.[一点通] (1)f (x )在区间(a ,b )上的单调性 ,求参数范围的方法：①利用集合的包含关系处理：f (x )在(a ,b )上单调 ,那么区间(a ,b )是相应单调区间的子集； ②利用不等式的恒成立处理：f (x )在(a ,b )上单调 ,那么f ′(x )≥0或f ′(x )≤0在(a ,b )内恒成立 ,注意验证等号是否成立．(2)两个非常重要的转化： ①m ≥f (x )恒成立⇔m ≥f (x )max ； ②m ≤f (x )恒成立⇔m ≤f (x )min .7．函数f (x )＝x 3－mx 2＋m －2的单调递减区间为(0,3) ,那么m ＝________. 解析：∵f (x )＝x 3－mx 2＋m －2 , ∴f ′(x )＝3x 2－2mx .令f ′(x )＝0 ,那么x ＝0或x ＝23m ,又∵函数f (x )的单调递减区间为(0,3) , ∴23m ＝3 ,即m ＝92. 答案：928．假设f (x )＝－12(x －2)2＋b ln x 在(1 ,＋∞)上是减函数 ,那么b 的取值范围是________．解析：由题意可知f ′(x )＝－(x －2)＋bx ≤0在(1 ,＋∞)上恒成立 ,即b ≤x (x －2)在x ∈(1 ,＋∞)上恒成立 ,由于φ(x )＝x (x －2)＝x 2－2x (x ∈(1 ,＋∞))的值域是(－1 ,＋∞) ,故只要b ≤－1即可．答案：(－∞ ,－1]9．函数f (x )＝2ax －1x 2 ,x ∈(0,1]．假设f (x )在(0,1]上是增函数 ,求a 的取值范围．解：由得f ′(x )＝2a ＋2x 3 ,∵f (x )在(0,1]上单调递增 ,∴f ′(x )≥0 ,即a ≥－1x 3在x ∈(0,1]上恒成立．而g (x )＝－1x 3在(0,1]上单调递增 ,∴g (x )max ＝g (1)＝－1 ,∴a ≥－1. 当a ＝－1时 ,f ′(x )＝－2＋2x 3.对x ∈(0,1]也有f ′(x )≥0.∴a ＝－1时 ,f (x )在(0,1]上为增函数． ∴综上 ,f (x )在(0,1]上为增函数 , a 的取值范围是[－1 ,＋∞)．1．在利用导数来讨论函数的单调区间时 ,首|先要确定函数的定义域 ,解决问题的过程中只能在定义域内通过讨论导数的符号来判断函数的单调区间．2．一般利用使导数等于零的点来对函数划分单调区间． 3．如果函数在某个区间内恒有f ′(x )＝0 ,那么f (x )为常数函数．[对应课时跟踪训练(六)]一、填空题1．函数y ＝x 3－x 2－40x ＋80的增区间为________ ,减区间为________．解析：y ′＝3x 2－2x －40＝(3x ＋10)(x －4) , 由y ′>0 ,得x >4或x <－103；由y ′<0 ,得－103<x <4.所以函数的单调增区间为⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫－∞ －103和(4 ,＋∞) ,单调减区间为⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫－103 4.答案：⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫－∞ －103和⎝ ⎛⎭⎪⎫4＋∞⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫－103 4 2．函数f (x )＝xln x 的单调递减区间是________．解析：令f ′(x )＝ln x －1ln 2x <0 ,解得0<x <e ,又因为函数f (x )的定义域为(0,1)∪(1 ,＋∞) , 所以函数f (x )＝xln x 的单调递减区间是(0,1) ,(1 ,e)．答案：(0,1) ,(1 ,e)3．函数y ＝12x 2－ln x 的单调减区间为________．解析：y ′＝x －1x,由y ′<0 ,得x <－1或0<x <1.又∵x >0 ,∴0<x <1.即函数的单调减区间为(0,1)．答案：(0,1)4.(浙江（高|考）改编)函数y ＝f (x )的图象是以下四个图象之一 ,且其导函数y ＝f ′(x )的图象如下图 ,那么该函数的图象是________．解析：由函数f (x )的导函数y ＝f ′(x )的图象自左至|右是先增后减 ,可知函数y ＝f (x )图象的切线的斜率自左至|右先增大后减小．答案：②5．函数f (x )为定义在(0 ,＋∞)上的可导函数 ,且f (x )>xf ′(x )．那么不等式x 2f ⎝⎛⎭⎫1x －f (x )<0的解集为________．解析：令φ(x )＝f (x )x ,那么φ′(x )＝xf ′(x )－f (x )x 2<0.∴φ(x )在(0 ,＋∞)上单调递减 , 又x 2f ⎝⎛⎭⎫1x <f (x ) ,∴xf ⎝⎛⎭⎫1x <f (x )x . 即f ⎝⎛⎭⎫1x 1x <f (x )x,∴φ⎝⎛⎭⎫1x <φ(x )．故1x >x .又∵x >0 ,∴0<x <1. 答案：(0,1) 二、解答题6．求以下函数的单调区间： (1)f (x )＝x 4－2x 2＋3；(2)f (x )＝sin x (1＋cos x )(0<x <π)．解：(1)函数f (x ) 的定义域为R .f ′(x )＝4x 3－4x ＝4x (x 2－1)＝4x (x ＋1)(x －1)．令f ′(x )>0 ,那么4x (x ＋1)(x －1)>0 ,解得－1<x <0或x >1 ,所以函数f (x )的单调递增区间为(－1,0)和(1 ,＋∞)．令f ′(x )<0 ,那么4x (x ＋1)(x －1)<0. 得x <－1或0<x <1.所以函数f (x )的单调递减区间为(－∞ ,－1)和(0,1)．(2)f ′(x )＝cos x (1＋cos x )＋sin x (－sin x )＝2cos 2x ＋cos x －1＝(2cos x －1)(cos x ＋1)． ∵0<x <π ,∴cos x ＋1>0 , 由f ′(x )>0得0<x <π3；由f ′(x )<0得π3<x <π ,故函数f (x )的单调增区间为⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫0 π3 ,单调减区间为⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫π3 π.7．设函数f (x )＝ax －2－ln x (a ∈R )．(1)假设f (x )在点(e ,f (e))处的切线为x －e y －2e ＝0 ,求a 的值； (2)求f (x )的单调区间．解：(1)∵f (x )＝ax －2－ln x (x ＞0) , ∴f ′(x )＝a －1x ＝ax －1x.又f (x )在点(e ,f (e))处的切线为x －e y －2e ＝0 , ∴f ′(e)＝a －1e ＝1e ,故a ＝2e.(2)由(1)知：f ′(x )＝a －1x ＝ax －1x (x ＞0) ,当a ≤0时 ,f ′(x )＜0在(0 ,＋∞)上恒成立 , ∴f (x )在(0 ,＋∞)上是单调减函数．当a ＞0时 ,令f ′(x )＝0解得：x ＝1a,当x 变化时 ,f ′(x ) ,f (x )随x 的变化情况如下表：公众号：惟微小筑由表可知：f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫0 1a 上是单调减函数 ,在⎝ ⎛⎭⎪⎪1a ＋∞上是单调增函数．综上所述：当a ≤0时 ,f (x )的单调减区间为(0 ,＋∞)；当a ＞0时 ,f (x )的单调减区间为⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫0 1a ,单调增区间为⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫1a ＋∞.8．假设函数f (x )＝13x 3－12ax 2＋(a －1)x 在区间(1,4)上单调递减 ,在区间(6 ,＋∞)上单调递增 ,试求实数a 的取值范围．解：f ′(x )＝x 2－ax ＋(a －1) ,因为f (x )在(1,4)上单调递减 ,所以f ′(x )≤0在(1,4)上恒成立 ,即a (x －1)≥x 2－1在(1,4)上恒成立 ,所以a ≥x ＋1.因为2<x ＋1<5 ,所以a ≥5.因为f (x )在(6 ,＋∞)上单调递增 ,所以f ′(x )≥0在(6 ,＋∞)上恒成立 ,所以a ≤x ＋1. 因为x ＋1>7 ,所以a ≤7.综上可知 ,实数a 的取值范围是5≤a ≤7.。

高中数学选修2-2课件1.3.1《函数的单调性与导数》课件

y y=x
y y = x2
y y = x3
y
y1 x
O
x
O
x
O
x
x
O
在某个区间(a,b)内,如果 f (x) 0 ,那么函数 y f (x)在这个区间内单调递增; 如果 f (x) 0 ,那
么函数 y f (x) 在这个区间内单调递减.
如果恒有 f '(x) 0 ，则 f (x) 是常数。
h
h
h
h
O
t
(A)
O
t
(B)
O
t
(C)
O
t
(D)
一般地, 如果一个函数在某一范围内导数的绝对值较大, 那么函数在这个范围内变化得快, 这时, 函数的图象就比较“陡峭”(向上或向下); 反之, 函数的图象就“平缓”一些.
如图,函数 y f (x) 在 (0,b)或 (a,0)内的图象“陡峭”,在(b,) 或(, a)
练习2
已知函数f(x)=2ax - x3，x (0,1],a 0,
若f(x)在（0，1]上是增函数，求a的取值范围。
[
3 2
,)
例3：方程根的问题
求证：方程 x 1 sin x 0 只有一个根。
2
f ( x ) x - 1 sin x,x ( , ) 2
f '( x ) 1 1 cos x 0 2
在（－ ∞ ，1）上是减函数，在（1, ＋∞）上是增函数。
在(－ ∞,＋∞)上是增函数
(1)函数的单调性也叫函数的增减性； (2)函数的单调性是对某个区间而言的，它是个局部概
念。这个区间是定义域的子集。 (3)单调区间：针对自变量x而言的。

高中数学新苏教版精品教案《苏教版高中数学选修2-2 1.3.1 单调性》2

导数在研究函数中的应用-----单调性无锡市辅仁高级中学过大维一、教学目标：1．通过定义，回忆“以直代曲〞的微分思想，帮助学生建立导数与单调性的关系．2．通过定义，回忆“割线逼近切线〞的数学方法，帮助学生认识导数作为函数的瞬时变化率的具体含义，进而找到用导函数的正负来研究函数单调性的方法．3．通过实例，帮助学生理解用导数研究函数单调性的适用性与优越性，体会高中教材引进导数的必要性，学会用导数研究一些非初等复合函数的单调性问题．二、教学重点、难点：重点：探索导数与单调性的关系及利用导数求函数的单调区间．难点：导数与函数单调性关系的探索过程．三、教学方法与手段：1．教学方法：本节课运用“问题解决〞课堂教学模式，采用发现式、启发式的教学方法．通过问题激发学生求知欲，使学生主动参与教学实践活动，在教师的指导下发现、分析和解决问题，总结规律，培养积极探索的科学精神．2．教学手段：本节课采用多媒体课件等辅助手段以加大课堂容量，通过数形结合，使抽象的知识直观化，形象化，以促进学生的理解．四、教学过程：一、引入：前面我们研究了导数，知道导数作为函数的变化率刻画了函数上升或者下降的变化趋势，而在以往的学习中，我们也曾经研究过函数的一个性质，也能够刻画函数的这种变化趋势，是什么？〔单调性〕既然导数和单调性都可以用来刻画函数变化趋势，他们有什么联系,导数对我们研究函数有什么帮助呢？这节课，我们来探究导数在研究函数中的应用---单调性〔t展示标题，板书〕二、新授：我们先来看这么一个问题：求的单调区间学生提出用定义证明师：函数单调性的定义是怎样的？〔t〕学生做，投影，采访学生的困惑师：能求出单调性来吗？〔两个变量的范围不好确定，而且括号的正负情况也不能判断〕那么这个方法看来走不通，还有没有其他方法？师：请大家回忆，如果是一个二次函数，比方，你可以怎么求解？〔图像法〕你会画图吗？〔描点〕师：在计算机如此兴旺的现代，让计算机描点作图成为了可能，我们让计算机给我们话一张图〔现场作图〕师：通过计算机作图，我们发现肯定是单调增区间，但是还有一段很明显也是单调增的，只是从哪里开始我们通过直观的看图并不能很精确的知道，而且我们也不可能随时身边有个计算机给你作图，所以这么研究单调性显然不可取。

苏教版数学高二- 选修2-2教案 1.3.1《函数的单调性与导数》

1.3.1 函数的单调性与导数教案一、教学目的1.正确理解利用导数判断函数的单调性的原理；2.掌握利用导数判断函数单调性的方法.二、教学重点利用导数判断函数单调性. 三、教学难点利用导数判断函数单调性. 四、教学过程【复习引入】1. 常见函数的导数公式：0'=C ； 1)'(-=n n nx x ； x x cos )'(sin =； x x sin )'(cos -=x x 1)'(ln =； e xx a a log 1)'(log =； x x e e =)'( ； a a a xx ln )'(= 2.法则1 '''[()()]()()f x g x f x g x ±=±．法则2 [()()]'()()()'()f x g x f x g x f x g x '=+, [()]'()cf x cf x '=法则3 '2()'()()()'()(()0)()()f x f x g x f x g x g x g x g x ⎛⎫-=≠⎪⎝⎭【讲解新课】函数单调性：函数 y = f (x) 在给定区间 G 上，当 x 1、x 2 ∈G 且 x 1＜ x 2 时: 1）都有 f ( x 1 ) ＜ f ( x 2 )，则 f ( x ) 在G 上是增函数； 2）都有 f ( x 1 ) ＞ f ( x 2 )，则 f ( x ) 在G 上是减函数.导数与函数的单调性有什么关系？【问题探究】1. 函数的导数与函数的单调性的关系：我们已经知道，曲线y=f(x)的切线的斜率就是函数y=f(x)的导数.从函数342+-=x x y 的图像可以看到：在区间（2，＋∞）内，切线的斜率为正，函数y=f(x)的值随着x 的增大而增大，即/y >0时，函数y=f(x) 在区间（2，＋∞）内为增函数；在区间（－∞，2）内，切线的斜率为负，函数y=f(x)的值随着x 的增大而减小，即/y <0时，函数y=f(x) 在区间（－∞，2）内为减函数.定义：一般地，设函数y=f(x) 在某个区间内有导数，如果在这个区间内/y >0，那么函数y=f(x) 在为这个区间内的增函数；如果在这个区间内/y <0，那么函数y=f(x) 在为这个区间内的减函数【构建数学】一般地，对于给定区间上的函数f(x)，如果对于属于这个区间的任意两个自变量的值x 1，x 2，当x 1<x 2时，f(x 1)<f(x 2)，那么f(x)在这个区间上是增函数.即x 1-x 2与f(x 1)-f(x 2)同号，即：1212()()00f x f x yx x x-∆>>-∆也即:增函数时有1212()()00f x f x yx x x -∆>>-∆也即:减函数时有1212()()00f x f x yx x x-∆<<-∆也即结论：一般地,设函数y=f(x)在某个区间内可导，则函数在该区间：如果f′(x)>0，则f(x)为增函数；如果f′(x)<0，则f(x)为减函数.【数学应用】例1 确定函数f(x)=x 2－2x+4在哪个区间内是增函数，哪个区间内是减函数.解：f′(x)=(x 2－2x+4)′=2x －2. 令2x －2＞0，解得x ＞1.∴当x ∈(1，+∞)时，f′(x)＞0，f(x)是增函数. 令2x －2＜0，解得x ＜1.∴当x ∈(－∞，1)时，f′(x)＜0，f(x)是减函数.例2 确定函数f(x)=2x 3－6x 2+7在哪个区间内是增函数，哪个区间内是减函数. 解：f′(x)=(2x 3－6x 2+7)′=6x 2－12x 令6x 2－12x ＞0，解得x ＞2或x ＜0∴当x ∈(－∞，0)时，f′(x)＞0，f(x)是增函数. 当x ∈(2，+∞)时，f′(x)＞0，f(x)是增函数. 令6x 2－12x ＜0，解得0＜x ＜2.∴当x ∈(0，2)时，f′(x)＜0，f(x)是减函数. 例3 证明函数f(x)=x1在(0，+∞)上是减函数. 证法一：(用以前学的方法证)任取两个数x 1，x 2∈(0，+∞)设x 1＜x 2. f(x 1)－f(x 2)=21122111x x x x x x -=- ∵x 1＞0，x 2＞0，∴x 1x 2＞0 ∵x 1＜x 2，∴x 2－x 1＞0， ∴2112x x x x -＞0 ∴f(x 1)－f(x 2)＞0，即f(x 1)＞f(x 2) ∴f(x)=x1在(0，+∞)上是减函数. 证法二：(用导数方法证)∵/()f x =(x 1)′=(－1)·x －2=－21x，x ＞0，∴x 2＞0，∴－21x＜0. ∴/()0f x <， ∴f(x)=21x在(0，+∞)上是减函数. 点评：比较一下两种方法，用求导证明是不是更简捷一些.如果是更复杂一些的函数，用导数的符号判别函数的增减性更能显示出它的优越性.例4 已知函数y=x+x1，试讨论出此函数的单调区间. 解：y′=(x+x1)′ =1－1·x －2=222)1)(1(1x x x x x -+=- 令2)1)(1(xx x -+＞0. 解得x ＞1或x ＜－1. ∴y=x+x1的单调增区间是(－∞，－1)和(1，+∞). 令2)1)(1(xx x -+＜0，解得－1＜x ＜0或0＜x ＜1. ∴y=x+x1的单调减区间是(－1，0)和(0，1) 四、课堂练习1．确定下列函数的单调区间 (1)y=x 3－9x 2+24x (2)y=x －x 3(1)解：y′=(x 3－9x 2+24x)′=3x 2－18x+24=3(x －2)(x －4) 令3(x －2)(x －4)＞0，解得x ＞4或x ＜2.∴y=x 3－9x 2+24x 的单调增区间是(4，+∞)和(－∞，2)令3(x －2)(x －4)＜0，解得2＜x ＜4.∴y=x 3－9x 2+24x 的单调减区间是(2，4) (2)解：y′=(x －x 3)′=1－3x 2=－3(x 2－31)=－3(x+33)(x －33)令－3(x+33)(x －33)＞0，解得－33＜x ＜33. ∴y=x －x 3的单调增区间是(－33，33). 令－3(x+33)(x －33)＜0，解得x ＞33或x ＜－33. ∴y=x －x 3的单调减区间是(－∞，－33)和(33，+∞) 2.讨论二次函数y=ax 2+bx+c(a ＞0)的单调区间. 解：y′=(ax 2+bx+c)′=2ax+b, 令2ax+b ＞0，解得x ＞－ab2 ∴y=ax 2+bx+c(a ＞0)的单调增区间是(－ab2，+∞) 令2ax+b ＜0，解得x ＜－ab 2. ∴y=ax 2+bx+c(a ＞0)的单调减区间是(－∞，－ab 2) 3.求下列函数的单调区间(1)y=x x 2+ (2)y=92-x x(3)y=x +x (1)解：y′=(x x 2+)′=2222x x x x -=--∵当x≠0时，－22x＜0，∴y′＜0. ∴y=xx 2+的单调减区间是(－∞，0)与(0，+∞) (2)解：y′=(92-x x )′222)9(29-⋅--=x x x x 222222)9(9)9(9-+-=---=x x x x 当x≠±3时，－222)9(9-+x x ＜0，∴y′＜0.∴y=92-x x的单调减区间是(－∞，－3)，(－3，3)与(3，+∞). (3)解：y′=(x +x)′12112121+=+=-xx .当x ＞0时x21+1＞0，∴y′＞0. ∴y=x +x 的单调增区间是(0，+∞)五、小结根据导数确定函数的单调性 1.确定函数f(x)的定义域. 2.求出函数的导数.3.解不等式f ′(x)>0,得函数单增区间；解不等式f′(x)<0,得函数单减区间.六、课后作业。