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新教材苏教版高中数学选择性必修一等式的性质与方程的解集

2.1等式2.1.1等式的性质与方程的解集课标要求 1.了解恒等式，掌握常见的恒等式，会用“十字相乘法”分解二次三项式.2.能利用等式的性质和有关恒等式进行代数变形，求一些方程的解集.素养要求通过利用等式的性质和恒等式的变形培养数学运算、数学抽象、逻辑推理素养.一、等式的性质、恒等式1.思考初中学习的十字相乘法分解因式的关键是什么？提示把二次项和常数项分解，交叉相乘，得到两个因数，再把两个因数相加，看它们的和是不是正好等于一次项系数.2.填空(1)等式的性质：①等式的两边同时加上同一个数或代数式，等式仍成立.②等式的两边同时乘以同一个不为零的数或代数式，等式仍成立.(2)常见的代数恒等式①(a＋b)2＝a2＋2ab＋b2，(a－b)2＝a2－2ab＋b2；②a2－b2＝(a＋b)(a－b)；③a3＋b3＝(a＋b)(a2－ab＋b2)；a3－b3＝(a－b)(a2＋ab＋b2).3.做一做(多选)下列等式中是恒等式的是()A.(x－2)(x＋2)＝x2－4B.(x－2y)2＝x2－4xy＋4y2C.(－3＋m)(3＋m)＝m2－9D.16x2－9＝24x答案ABC二、方程的解集1.思考把方程通过适当变换后，求出的未知数的值都是这个方程的解(根)吗？提示把方程通过变换，求出的未知数的值不一定是这个方程的根，也可能是这个方程的增根.2.填空方程的解(或根)是指能使方程左右两边相等的未知数的值.把一个方程所有解组成的集合称为这个方程的解集.温馨提醒求一元二次方程的解集的一般步骤(1)移项，将一元二次方程的右边化为0；(2)化积，利用提取公因式法、公式法、十字相乘法等将一元二次方程的左边分解为两个一次因式的积；(3)转化，两个因式分别为0，转化为两个一元一次方程；(4)求解，解这两个一元一次方程，它们的解就是原方程的解.3.做一做已知三角形两边长分别为4和7，第三边的长是方程x2－17x＋66＝0的根，则第三边的长为________.答案 6题型一利用恒等式化简例1 (1)化简(m2＋1)(m＋1)(m－1)－(m4＋1)的值是()A.－2m2B.0C.－2D.－1(2)化简：(x＋3y)2－(3x＋y)2＝________.答案(1)C(2)8y2－8x2解析(1)(m2＋1)(m＋1)(m－1)－(m4＋1)＝(m2＋1)(m2－1)－(m4＋1)＝(m4－1)－(m4＋1)＝m4－1－m4－1＝－2.(2)法一(x＋3y)2－(3x＋y)2＝x2＋6xy＋9y2－(9x2＋6xy＋y2)＝x2＋6xy＋9y2－9x2－6xy－y2＝8y2－8x2.法二(x＋3y)2－(3x＋y)2＝[(x＋3y)＋(3x＋y)][(x＋3y)－(3x＋y)]＝(x＋3y＋3x＋y)(x＋3y－3x－y)＝(4x＋4y)(－2x＋2y)＝4(x＋y)×2(－x＋y)＝8y2－8x2.思维升华化简的一般步骤为“一提”“二套”“三检查”“四检验”：(1)先看是否能提取公因式；(2)再看能否套用公式；(3)再检查因式分解是否彻底；(4)最后用多项式乘法检验分解是否正确.训练1 (1)如果(a－b－3)(a－b＋3)＝40，那么a－b＝________.(2)已知a2＋b2＋2a－4b＋5＝0，则2a2＋4b－3的值为________.答案(1)7或－7(2)7解析(1)(a－b－3)(a－b＋3)＝(a－b)2－9＝40，即(a－b)2＝49，即a－b＝±7.(2)a2＋b2＋2a－4b＋5＝(a2＋2a＋1)＋(b2－4b＋4)＝(a＋1)2＋(b－2)2＝0，所以a＝－1，b＝2，所以2a2＋4b－3＝2×(－1)2＋4×2－3＝7.题型二因式分解例2 将下列多项式分解因式：(1)x 2－x －6；(2)2x 2－3x ＋1；(3)－x 2＋(a －2)x ＋2a .解 (1)x 2－x －6＝(x ＋2)(x －3).(2)2x 2－3x ＋1＝(x －1)(2x －1).(3)－x 2＋(a －2)x ＋2a ＝(x ＋2)(－x ＋a )＝－(x ＋2)(x －a ).思维升华 (1)x 2＋Cx ＋D ＝(x ＋a )(x ＋b )需满足C ＝a ＋b ，D ＝ab ；(2)Ex 2＋Fx ＋G ＝(ax ＋b )(cx ＋d )需满足E ＝ac ，F ＝ad ＋bc ，G ＝bd .训练2 将下列各多项式分解因式：(1)x 2－3x ＋2；(2)3a 3b －81b 4；(3)2ax －10ay ＋5by －bx .解 (1)x 2－3x ＋2＝(x －1)(x －2).(2)3a 3b －81b 4＝3b (a 3－27b 3)＝3b (a －3b )(a 2＋3ab ＋9b 2).(3)2ax －10ay ＋5by －bx＝2a (x －5y )－b (x －5y )＝(x －5y )(2a －b ).题型三求方程的解集例3 (1)求关于x 的方程ax ＝1(其中a 是常数)的解集；(2)求方程4x 2－3x －1＝0的解集.解 (1)当a ＝0时，0×x ＝1无解，此时解集为∅；当a ≠0时，在方程ax ＝1两边同时乘以1a ，得x ＝1a ，此时解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a ；综上，当a ＝0时，解集为∅；当a ≠0时，解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a . (2)因为4x 2－3x －1＝(x －1)(4x ＋1)，所以原方程可化为(x －1)(4x ＋1)＝0，所以x －1＝0或4x ＋1＝0，即x ＝1或x ＝－14，故原方程的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫－14，1. 思维升华 1.对于形如ax ＝b (x 为未知数，a ，b 为常数)的方程要注意讨论a 是否为零.2.“十字相乘法”也是解一元二次方程的一种常见方法.训练3 (1)求关于x 的方程ax ＝0(其中a 为常数)的解集；(2)求关于x 的方程3x 2－(6＋t )x ＋2t ＝0(其中t 为常数)的解集.解 (1)当a ＝0时，解集为R ；当a ≠0时，解集为{0}.(2)∵3x 2－(6＋t )x ＋2t ＝(x －2)(3x －t )，原方程可化为(x －2)(3x －t )＝0，∴x －2＝0或3x －t ＝0.即x ＝2或x ＝t 3，∴当t ＝6时，方程的解集为{2}；当t ≠6时，方程的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫2，t 3. [课堂小结]1.恒等式是进行代数变形、化简、运算，转化的基础和方法.2.因式分解的常用方法有：提取公因式、十字相乘法、公式法、分组分解法等.3.求含参数的方程的解集时，要注意是否应对参数进行分类讨论，特别针对最高次项的系数是否为零进行分析.一、基础达标1.若(x＋2)(x－1)＝x2＋mx＋n，则m＋n等于()A.1B.－2C.－1D.2答案 C解析∵原式＝x2＋x－2＝x2＋mx＋n，∴m＝1，n＝－2.∴m＋n＝1－2＝－1，故选C.2.下列分解因式正确的是()A.－x2＋4x＝－x(x＋4)B.x2＋xy＋x＝x(x＋y)C.x(x－y)＋y(y－x)＝(x－y)2D.x2－4x＋4＝(x＋2)(x－2)答案 C解析A中，－x2＋4x＝－x(x－4)，故错误；B中，x2＋xy＋x＝x(x＋y＋1)，故错误；C中，x(x－y)＋y(y－x)＝(x－y)2，故正确；D中，x2－4x＋4＝(x－2)2，故错误.3.下列变形一定正确的是()A.若ax＝bx，则a＝bB.若(a＋1)x＝a＋1，则x＝1C.若x＝y，则x－5＝5－yD.若x＝y，则xa2＋1＝ya2＋1答案 D解析运用等式的性质进行变形时，应注意字母的取值范围.4.下列分解因式正确的是()A.x2＋6xy＋9y2＝(x＋3y)2B.2x2－4xy＋9y2＝(2x－3y)2C.2x2－8y2＝2(x＋4y)(x－4y)D.x2＋(a＋2)x＋2a＝(x－a)(x－2)答案 A解析A中，x2＋6xy＋9y2＝(x＋3y)2，正确；B中，(2x－3y)2＝4x2－12xy＋9y2≠2x2－4xy＋9y2，错误；C中，2x2－8y2＝2(x＋2y)(x－2y)，错误；D中，x2＋(a＋2)x ＋2a＝(x＋2)(x＋a)，错误.5.若4x3－x＝1，则8x4＋12x3－2x2－5x＋5的值是()A.2B.4C.6D.8答案 D解析∵4x3－x＝1，∴8x4＋12x3－2x2－5x＋5＝2x(4x3－x)＋3(4x3－x)－2x＋5＝2x＋3－2x＋5＝8.6.利用十字相乘法分解因式：(1)x2－(2a＋3)x＋6a＝________；(2)6x2－x－1＝________.答案(1)(x－2a)(x－3)(2)(2x－1)(3x＋1)7.若m＝4n＋3，则m2－8mn＋16n2的值是________.答案9解析∵m＝4n＋3，∴m－4n＝3，∴m2－8mn＋16n2＝(m－4n)2＝32＝9.8.把4x4y2－5x2y2－9y2分解因式的结果是________.答案y2(x2＋1)(2x＋3)(2x－3)解析4x4y2－5x2y2－9y2＝y2(4x4－5x2－9)＝y2(4x2－9)(x2＋1)＝y2(x2＋1)(2x＋3)(2x－3).9.分解因式：(1)(2x＋y)2－(x＋2y)2；(2)－8a2b＋2a3＋8ab2.解(1)原式＝[(2x＋y)＋(x＋2y)][(2x＋y)－(x＋2y)]＝3(x＋y)(x－y).(2)原式＝2a(a2－4ab＋4b2)＝2a(a－2b)2.10.分解因式：(1)9x2－81；(2)(x2＋y2)2－4x2y2；(3)3x(a－b)－6y(b－a)；(4)6mn2－9m2n－n3.解(1)原式＝9(x2－9)＝9(x＋3)(x－3).(2)原式＝(x2＋y2＋2xy)(x2＋y2－2xy)＝(x＋y)2(x－y)2.(3)原式＝3(a－b)(x＋2y).(4)原式＝－n(9m2－6mn＋n2)＝－n(3m－n)2.二、能力提升11.(多选)要在二次三项式x2＋()x－6的括号中填上一个整数，使它能按公式x2＋(a＋b)x＋ab＝(x＋a)·(x＋b)分解因式，那么这些数可以是()A.1B.－1C.5D.7答案ABC解析－6可以分解成－2×3，2×(－3)，－1×6，1×(－6)，∴()中填上的整数应该是－6的两个因数的和，即1，－1，5，－5.故选ABC.12.若a＋b＝4，a－b＝1，则(a＋1)2－(b－1)2的值为________.答案12解析 ∵a ＋b ＝4，a －b ＝1，∴(a ＋1)2－(b －1)2＝(a ＋1＋b －1)(a ＋1－b ＋1)＝(a ＋b )(a －b ＋2)＝4×(1＋2)＝12.13.(1)求方程2x 2－x －1＝0的解集.解因为2x 2－x －1＝(2x ＋1)(x －1)，所以(2x ＋1)(x －1)＝0，从而可知2x ＋1＝0或x －1＝0，即x ＝－12或x ＝1，因此方程的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫－12，1. (2)求方程6x 2－7x －5＝0的解集.解因为6x 2－7x －5＝(2x ＋1)(3x －5)，所以(2x ＋1)(3x －5)＝0，从而可知2x ＋1＝0或3x －5＝0，即x ＝－12或x ＝53，因此方程的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫－12，53. 三、创新拓展14.已知6x 2－7xy －3y 2＋14x ＋y ＋a ＝(2x －3y ＋b )(3x ＋y ＋c )，试确定a ，b ，c 的值.解由题设，得6x 2－7xy －3y 2＋14x ＋y ＋a＝(2x －3y ＋b )(3x ＋y ＋c )＝6x 2－7xy －3y 2＋(3b ＋2c )x ＋(b －3c )y ＋bc .比较对应项系数，得⎩⎪⎨⎪⎧3b ＋2c ＝14，b －3c ＝1，bc ＝a .所以⎩⎪⎨⎪⎧a ＝4，b ＝4，c ＝1.。

新教材苏教版高中数学选择性必修一第二课时函数的最大(小)值

第二课时函数的最大(小)值课标要求 1.了解函数的最大(小)值的概念及其几何意义.2.会借助单调性求最值.3.掌握求二次函数在闭区间上的最值的方法.素养要求通过学习求函数最大(小)值的方法，提升学生的数学抽象素养.1.思考函数f(x)＝x2＋1≥1，则f(x)的最小值为1吗？提示当x＝0时，f(x)的最小值为1.2.填空函数的最大(小)值：一般地，设函数f(x)的定义域为D，且x0∈D. (1)如果对任意x∈D，都有f(x)≤f(x0)，则称f(x)的最大值为f(x0)，而x0称为f(x)的最大值点；(2)如果对任意x∈D，都有f(x)≥f(x0)，则称f(x)的最小值为f(x0)，而x0称为f(x)的最小值点；(3)最大值和最小值统称为最值，最大值点和最小值点统称为最值点.温馨提醒求函数最值的常用方法(1)图像法：作出y＝f(x)的图像，观察最高点与最低点，最高(低)点的纵坐标即为函数的最大(小)值.(2)运用已学函数的值域.(3)运用函数的单调性.(4)分段函数的最大(小)值是指各段上的最大(小)值中最大(小)的那个.3.做一做函数y＝f(x)在[－2，2]上的图像如图所示，则此函数的最小值、最大值分别是()A.－1，0B.0，2C.－1，2D.12，2答案 C题型一图像法求函数的最值例1 已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2，－1≤x ≤1，1x ，x >1.求f (x )的最大值、最小值.解作出函数f (x )的图像(如图).由图像可知，当x ＝±1时，f (x )取最大值为f (1)＝f (－1)＝1. 当x ＝0时，f (x )取最小值为f (0)＝0，故f (x )的最大值为1，最小值为0. 思维升华图像法求函数最值的一般步骤训练1 已知函数y ＝－|x －1|＋2，画出函数的图像，确定函数的最值情况，并写出值域.解 y ＝－|x －1|＋2＝⎩⎪⎨⎪⎧3－x ，x ≥1，x ＋1，x <1，图像如图所示，由图像知，函数y＝－|x＋1|＋2的最大值为2，没有最小值，所以其值域为(－∞，2].题型二利用函数的单调性求最值例2 已知函数f(x)＝x－1x＋2，x∈[3，5].(1)判断函数f(x)的单调性，并证明；(2)求函数f(x)的最大值和最小值.解(1)f(x)是增函数，证明如下：任取x1，x2∈[3，5]且x1<x2，f(x1)－f(x2)＝x1－1x1＋2－x2－1x2＋2＝3（x1－x2）（x1＋2）（x2＋2），因为3≤x1<x2≤5，所以x1－x2<0，(x1＋2)(x2＋2)>0，所以f(x1)－f(x2)<0，即f(x1)<f(x2).所以f(x)在[3，5]上为增函数.(2)由(1)知，f(x)在[3，5]上为增函数，则f(x)的最大值为f(5)＝47，f(x)的最小值为f(3)＝2 5.思维升华利用单调性求最值的步骤：(1)判断函数的单调性；(2)利用单调性写出最值.训练2 已知函数f (x )＝2x －1(x ∈[2，6])，求函数的最大值和最小值. 解设x 1，x 2是区间[2，6]上的任意两个实数，且x 1<x 2，则f (x 1)－f (x 2)＝2x 1－1－2x 2－1＝2[（x 2－1）－（x 1－1）]（x 1－1）（x 2－1）＝2（x 2－x 1）（x 1－1）（x 2－1）.由2≤x 1<x 2≤6，得x 2－x 1>0，(x 1－1)(x 2－1)>0，于是f (x 1)－f (x 2)>0，即f (x 1)>f (x 2). 所以，函数f (x )＝2x －1在区间[2，6]上是减函数. 因此，函数f (x )＝2x －1在区间[2，6]上的两个端点处分别取得最大值和最小值，即在x ＝2时取得最大值，最大值是2，在x ＝6时取得最小值，最小值是25. 题型三二次函数的最值问题例3 (1)求二次函数f (x )＝x 2－2ax ＋2在[2，4]上的最小值； (2)求函数f (x )＝x 2－4x －4在闭区间[t ，t ＋1](t ∈R )上的最小值. 解 (1)∵函数图像的对称轴是x ＝a ， ∴当a <2时，f (x )在[2，4]上是增函数， ∴f (x )min ＝f (2)＝6－4a .当a >4时，f (x )在[2，4]上是减函数， ∴f (x )min ＝f (4)＝18－8a .当2≤a ≤4时，f (x )min ＝f (a )＝2－a 2. 设f (x )在[2，4]上的最小值为g (a ).∴g (a )＝⎩⎪⎨⎪⎧6－4a ，a <2，2－a 2，2≤a ≤4，18－8a ，a >4.(2)f (x )＝x 2－4x －4＝(x －2)2－8. 设f (x )在[t ，t ＋1]上的最小值为g (t ). 当t >2时，f (x )在[t ，t ＋1]上是增函数， ∴g (t )＝f (t )＝t 2－4t －4；当t ≤2≤t ＋1，即1≤t ≤2时，g (t )＝f (2)＝－8；当t ＋1<2即t <1时，f (x )在[t ，t ＋1]上是减函数， ∴g (t )＝f (t ＋1)＝t 2－2t －7. 综上，g (t )＝⎩⎪⎨⎪⎧t 2－2t －7，t <1，－8，1≤t ≤2，t 2－4t －4，t >2.思维升华二次函数在闭区间上的最值对于二次函数f (x )＝a (x －h )2＋k (a >0)在区间[m ，n ]上的最值问题，有以下结论： (1)若h ∈[m ，n ]，则y min ＝f (h )＝k ， y max ＝max{f (m )，f (n )}；(2)若h ∉[m ，n ]，则y min ＝min{f (m )，f (n )}， y max ＝max{f (m )，f (n )}(a <0时可仿此讨论).训练3 已知函数f (x )＝x 2－2ax －3，若x ∈[0，2].求函数的最小值. 解 f (x )＝x 2－2ax －3的对称轴为x ＝a . ①当a ≤0时，f (x )在[0，2]上为增函数，∴f(x)min＝f(0)＝－3；②当0<a≤2时，f(x)min＝f(a)＝－a2－3；③当a>2时，f(x)在[0，2]上为减函数，∴f(x)min＝f(2)＝1－4a.综上所述，当a≤0时，最小值为－3；当0<a≤2时，最小值为－a2－3；当a>2时，最小值为1－4a.[课堂小结]1.若函数y＝f(x)有多个单调区间，那就先求出各区间上的最值，再从各区间的最值中取出最大(小)值.函数的最大(小)值是整个值域范围内的最大(小)值.2.函数的最值与单调性的关系：(1)若函数在闭区间[a，b]上是减函数，则f(x)在[a，b]上的最大值为f(a)，最小值为f(b)；(2)若函数在闭区间[a，b]上是增函数，则f(x)在[a，b]上的最大值为f(b)，最小值为f(a).一、基础达标1.函数f(x)＝－2x＋1(x∈[－2，2])的最小值、最大值分别为()A.3，5B.－3，5C.1，5D.5，－3答案 B解析因为f(x)＝－2x＋1在[－2，2]是减函数，所以当x＝2时，函数的最小值为－3.当x＝－2时，函数的最大值为5.2.(多选)下列说法中正确的有()A.若x 1，x 2∈I ，对任意的x 1<x 2时，都有f (x 1)<f (x 2)，则y ＝f (x )在I 上是增函数B.函数y ＝x 2在R 上是增函数C.函数y ＝－1x 在定义域上是增函数D.y ＝1x 的单调递减区间是(－∞，0)和(0，＋∞) 答案 AD解析对于B ，在[0，＋∞)上是增函数；对于C ，在整个定义域内不是增函数，如－3<5，而f (－3)>f (5)，故不正确. 3.函数y ＝x －1x 在[1，2]上的最大值为( ) A.0 B.32 C.2 D.3答案 B解析函数y ＝x 在[1，2]上是增函数，函数y ＝－1x 在[1，2]上是增函数，所以函数y ＝x －1x 在[1，2]上是增函数. 当x ＝2时，y max ＝2－12＝32. 4.函数f (x )＝11－x （1－x ），x ∈[1，2]的最大值是( )A.54B.43C.1D.34答案 C解析令g (x )＝1－x (1－x )＝x 2－x ＋1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122＋34，则g (x )在[1，2]上单调递增，所以g (x )∈[1，3]，所以13≤11－x （1－x ）≤1.故f (x )的最大值为1.5.函数f (x )＝x －1x ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，2的值域为( )A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1，12 B.[－1，2]C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，2D.⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，1 答案 A解析 f (x )＝x －1x ＝1－1x ，当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，2时，函数f (x )为增函数，∴当x ＝12时，函数取得最小值，最小值为f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝1－112＝1－2＝－1，当x ＝2时，函数取得最大值，最大值为f (2)＝1－12＝12，即函数f (x )的值域为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1，12，故选A.6.函数y ＝⎩⎨⎧x ＋1，x ∈[－3，－1]，－x －1，x ∈（－1，4]的最小值为________，最大值为________.答案－5 0解析由题意可知，当x ∈[－3，－1]时，函数y ＝x ＋1单调递增，∴当x ＝－3时，y min ＝－2；当x ∈(－1，4]时，函数y ＝－x －1单调递减，当x ＝4时，y min ＝－5，故最小值为－5，同理可得，最大值为0. 7.函数y ＝1x －1在[2，3]上的最小值为________. 答案 12 解析易知y ＝1x －1在[2，3]上递减， ∴y min ＝f (3)＝12.8.函数f (x )＝6－x －3x 在区间[2，4]上的最大值为________. 答案－4 解析 ∵函数f (x )＝6－x －3x 在区间[2，4]上是减函数，∴f (x )max ＝f (2)＝6－2－3×2＝－4. 9.已知函数f (x )＝61－x＋3(x ∈[2，4])，求函数f (x )的最大值和最小值.解设x 1，x 2是[2，4]上任意两个实数，且x 1<x 2，所以f (x 1)－f (x 2)＝61－x 1＋3－⎝ ⎛⎭⎪⎫61－x 2＋3＝61－x 1－61－x 2＝6（1－x 2）－6（1－x 1）（1－x 1）（1－x 2）＝6（x 1－x 2）（1－x 1）（1－x 2），因为2≤x 1<x 2≤4，所以x 1－x 2<0，1－x 1<0，1－x 2<0，所以f (x 1)－f (x 2)<0，即f (x 1)<f (x 2)，所以f (x )在[2，4]上是增函数，所以f (x )的最大值为f (4)＝1，f (x )的最小值为f (2)＝－3.10.已知函数f (x )＝ax 2－4ax ＋b (a >0)在区间[0，1]上有最大值1和最小值－2. (1)求a ，b 的值；(2)若在区间[－1，1]上，不等式f (x )>－x ＋m 恒成立，求实数m 的取值范围. 解 (1)∵f (x )＝a (x －2)2＋b －4a ，又a >0，∴函数图像开口向上，对称轴x ＝2， ∴f (x )在[0，1]上是减函数，∴f (0)＝b ＝1，且f (1)＝b －3a ＝－2， ∴a ＝b ＝1.(2)f (x )>－x ＋m ⇔x 2－4x ＋1>－x ＋m即x 2－3x ＋1－m >0，要使此不等式在[－1，1]上恒成立，只需使函数g (x )＝x 2－3x ＋1－m 在[－1，1]上的最小值大于0即可. ∵g (x )＝x 2－3x ＋1－m 在[－1，1]上单调递减， ∴g (x )min ＝g (1)＝－m －1，由－m －1>0得，m <－1. 因此满足条件的实数m 的取值范围是(－∞，－1). 二、能力提升11.(多选)如果函数f (x )在[a ，b ]上是增函数，对于任意的x 1，x 2∈[a ，b ](x 1≠x 2)，则下列结论中正确的是( ) A.f （x 1）－f （x 2）x 1－x 2>0B.(x 1－x 2)[f (x 1)－f (x 2)]>0C.f (a )≤f (x 1)<f (x 2)≤f (b )D.f (x 1)>f (x 2) 答案 AB解析由函数单调性的定义可知，若函数y ＝f (x )在给定的区间上是增函数，则x 1－x 2与f (x 1)－f (x 2)同号，由此可知，选项A ，B 正确；对于选项C ，D ，因为x 1，x 2的大小关系无法判断，所以f (x 1)与f (x 2)的大小关系也无法判断，故C ，D 不正确.12.定义min{a ，b }＝⎩⎨⎧a ，a <b ，b ，a ≥b ，设函数f (x )＝min{－x 2＋2x ＋5，x ＋3}，则f (1)＝________；f (x )的最大值为________. 答案 4 5解析由－x 2＋2x ＋5<x ＋3，得x <－1或x >2；由－x 2＋2x ＋5≥x ＋3，得－1≤x ≤2，据题意得f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－x 2＋2x ＋5，x <－1或x >2，x ＋3，－1≤x ≤2，∴f (1)＝4，当x <－1或x >2时，f (x )＝－(x －1)2＋6，则f (x )<5；当－1≤x ≤2时，2≤f (x )≤5，∴f (x )的最大值为5.13.已知函数f (x )＝x 2＋2x ＋a x，x ∈[1，＋∞). (1)当a ＝12时，求函数f (x )的最小值；(2)若对任意的x ∈[1，＋∞)，f (x )>0恒成立，试求实数a 的取值范围.解 (1)当a ＝12时，f (x )＝x 2＋2x ＋12x＝x ＋12x ＋2.设任意x 1，x 2∈[1，＋∞)，且x 1≠x 2，则Δf Δx ＝f （x 1）－f （x 2）x 1－x 2＝1－12x 1x 2 ＝2x 1x 2－12x 1x 2. 因为x 1≠x 2且x 1≥1，x 2≥1，所以x 1x 2>1，2x 1x 2－1>0，所以2x 1x 2－12x 1x 2>0，所以Δf Δx >0，即函数f (x )在[1，＋∞)上是增函数.所以函数f (x )在[1，＋∞)上的最小值为f (1)＝1＋12＋2＝72.(2)因为f (x )＝x 2＋2x ＋a x>0在[1，＋∞)上恒成立，所以x 2＋2x ＋a >0在[1，＋∞)上恒成立.记y ＝x 2＋2x ＋a ，x ∈[1，＋∞)，所以y ＝(x ＋1)2＋a －1在[1，＋∞)上单调递增，故当x ＝1时，y 取得最小值，最小值为3＋a .所以当3＋a>0，即a>－3时，f(x)>0恒成立，所以实数a的取值范围为(－3，＋∞).三、创新拓展14.(多选)已知x≥1，则下列函数的最小值为2的有()A.y＝2x＋x2B.y＝4x＋1 xC.y＝3x－1 xD.y＝x－1＋4 x＋1答案ACD解析A中，x≥1，y＝2x＋x2≥22x·x2＝2，当且仅当x＝2取得最小值2；B中，y＝4x＋1x在[1，＋∞)上递增，可得y的最小值为5；C中，y＝3x－1x在[1，＋∞)上递增，可得y的最小值为2；D中，y＝x－1＋4x＋1＝(x＋1)＋4x＋1－2≥2（x＋1）·4x＋1－2＝2，当且仅当x＝1时，取得最小值2.故选ACD.。

苏教版高中数学教材必修2

1.2 点、线、面之间的位置关系
直线与平面垂直的判定定理1：如果一条直线和一个平面内的两条相交直线垂直，那么这条直线垂直于这个平面． l⊥a
l⊥b
a⊂ l⊥ * 线线垂直线面垂直
第1章立体几何初步
b⊂
a∩b＝A
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1.2 点、线、面之间的位置关系
直线与平面垂直的判定定理2：求证：如果两条平行直线中的一条垂直于一个平面，那么另一条也垂直于这个平面．
—— 直线a的垂面；

P —— 垂足．
a⊥，l⊂ a⊥l．
第1章立体几何初步
苏教版高中数学教材必修2
1.2 点、线、面之间的位置关系
过一点有无数
条直线与已知直线垂
直；
过一点有且只有一条直线与已知平面垂直；过一点有且只有一个平面与已知直线垂直．
苏教版高中数学教材必修2 第1章立体几何初步
苏教版高中数学教材必修2 第1章立体几何初步
1.2 点、线、面之间的位置关系
P
A
l
一条直线和一个
平面相交但是不垂直，称这条直线为这个平面的斜线；斜线和平面的交点叫做斜足；

R
Q
A’
从平面外一点向平面引斜线，点与斜足间的线
段叫做点到平面的斜线段；过垂足和斜足的直线叫做斜线在这个平面内的
判断：
1．a∥b，b∥c，则a∥c． T
2．a⊥b，b⊥c，则a∥c． F 3．a⊥b，b∥c，则a⊥c． T
苏教版高中数学教材必修2
第1章
立体几何初步
1.2 点、线、面之间的位置关系
直线与平面垂直：
如果一条直线a与一个平面内的任意一

新教材苏教版高中数学选择性必修一不等式的解集

2.2.2不等式的解集课标要求 1.了解不等式(组)解集的概念，会求简单的一元一次不等式(组)的解集.2.了解绝对值不等式的概念，会求形如|x|≤m，|x|≥m的绝对值不等式的解集. 素养要求 1.通过求不等式(组)的解集，提升数学运算素养.2.通过学习绝对值不等式及其解法，提升直观想象及数学运算素养.一、集合的基本概念1.思考解不等式时常用不等式的哪些性质？提示不等式的性质；常用以下四条性质：性质1a>b⇒a＋c>b＋c性质2a>b，c>0⇒ac>bc性质3a>b，c<0⇒ac<bc推论1a＋b>c⇒a>c－b2.填空(1)不等式的解集不等式的所有解组成的集合称为不等式的解集.(2)不等式组的解集对于由若干个不等式联立得到的不等式组来说，这些不等式的解集的交集称为不等式组的解集.温馨提醒(1)求不等式组解集的口诀：同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小找不到(无解).(2)不等式组中若有一个不等式的解集为∅，则不等式组的解集为∅；每一个不等式的解集均不是∅，不等式组的解集也可能是∅.3.做一做(1)不等式4x－511<1的正整数解的个数为________.答案 3(2)不等式组⎩⎨⎧－2x －5≥0，2x －32≥0的解集为________.答案 ∅二、绝对值不等式1.思考方程|x |＝3的解是什么？你能给出|x |>3的解集吗？解绝对值不等式的基本思路是什么？提示方程|x |＝3的解是x ＝±3.结合y ＝|x |＝⎩⎪⎨⎪⎧x ，x ≥0－x ，x <0的图像求得|x |>3的解集为{x |x >3，或x <－3}.去绝对值号，进行等价转化，再解不含绝对值号的不等式. 2.填空 (1)绝对值不等式的概念一般地，含有绝对值的不等式称为绝对值不等式. (2)两种简单的绝对值不等式的解集①关于x 的不等式|x |>m (m >0)的解为x >m 或x <－m ，解集为(－∞，－m )∪(m ，＋∞)；②关于x 的不等式|x |<m (m >0)的解为－m <x <m ，解集为(－m ，m ). (3)数轴上两点之间的距离公式及线段中点的坐标公式①一般地，如果实数a ，b 在数轴上对应的点分别为A ，B ，即A (a )，B (b )，则线段AB 的长为AB ＝|a －b |，这就是数轴上两点之间的距离公式.②如果线段AB 的中点M 对应的数为x ，即M (x )，则x a ＋b2；这就是数轴上的中点坐标公式.温馨提醒 (1)|ax ＋b |≤c 和|ax ＋b |≥c 型不等式的解法 |ax ＋b |≤c ⇔－c ≤ax ＋b ≤c ； |ax ＋b |≥c ⇔ax ＋b ≥c 或ax ＋b ≤－c .(2)|x －a |＋|x －b |≥c 和|x －a |＋|x －b |≤c 型不等式的解法①利用绝对值不等式的几何意义求解，体现了数形结合的思想； ②利用“零点分段法”求解，体现了分类讨论的思想.3.做一做若A ，B 两点在数轴上的坐标分别为A (2)，B (－4)，则AB ＝________，线段AB 的中点M 的坐标为________. 答案 6 －1题型一解不等式组例1 解不等式组：⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1≥－7＋x 2，3（x ＋1）≤5x －1.解不等式组：⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1≥－7＋x 2，①3（x ＋1）≤5x －1，②①式两端同时乘以2，得2x ＋2≥－7－x ，然后两端同时加上x －2，得3x ≥－9，不等式3x ≥－9两端同时乘以13，得x ≥－3，同理，解不等式②得x ≥2，所以不等式组的解集是[2，＋∞). 思维升华一元一次不等式组的解法 (1)分开解：分别解每个不等式，求出其解集.(2)集中判：根据同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小找不到，确定不等式组的解集.(或把不等式的解集在数轴上表示出来，数形结合确定不等式组的解集)训练1 解不等式组：⎩⎪⎨⎪⎧3（x －1）<2x ，①x 3－1＋x 2<1.②解由①得x <3，由②得x >－9.所以原不等式组的解集为(－9，3). 题型二含一个绝对值的不等式的解法例2 求下列绝对值不等式的解集： (1)|3x －1|≤6；(2)3≤|x －2|<4.解 (1)因为|3x －1|≤6⇔－6≤3x －1≤6，即－5≤3x ≤7，从而得－53≤x ≤73，所以原不等式的解集是⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |－53≤x ≤73. (2)因为3≤|x －2|<4，所以3≤x －2<4或－4<x －2≤－3，即5≤x <6或－2<x ≤－1.所以原不等式的解集为：{x |－2<x ≤－1，或5≤x <6}. 思维升华绝对值不等式的解题策略：等价转化法 (1)形如|x |<a ，|x |>a (a >0)型不等式： |x |<a ⇔－a <x <a . |x |>a ⇔x >a 或x <－a .(2)形如a <|x |<b (b >a >0)型不等式： a <|x |<b (0<a <b )⇔a <x <b 或－b <x <－a . 训练2 不等式|2x ＋1|>3的解集是( ) A.{x |x <－2，或x >1} B.{x |－2<x <1} C.{x |x <－2，或x ≥1} D.{x |－2≤x <1} 答案 A解析由|2x ＋1|>3，得2x ＋1>3或2x ＋1<－3，因此x <－2或x >1，所以原不等式的解集为{x|x<－2，或x>1}.题型三解含有两个绝对值的不等式例3 解不等式|x－1|＋|x－2|≤5.解法一①当x≤1时，原不等式变为1－x＋2－x≤5，∴－1≤x≤1；②当1<x≤2时，原不等式变为x－1＋2－x≤5，1≤5恒成立，∴1<x≤2；③当x>2时，原不等式变为x－1＋x－2≤5，∴2<x≤4，综上，原不等式的解集为[－1，4].法二如图，设数轴上与1，2对应的点分别为A，B，那么A，B两点间的距离为1，因此区间[1，2]上的数都是不等式的解.设在A左侧有一点A1到A，B两点的距离和为5，A1对应数轴上的x，所以1－x＋2－x＝5，得x＝－1.同理，设B点右侧有一点B1到A，B两点的距离和为5，B1对应数轴上的x，所以x－1＋x－2＝5，得x＝4.从数轴上可看到，点A1，B1之间的点到A，B的距离之和都小于5，点A1的左侧或点B1的右侧的任何点到A，B的距离之和都大于5，所以原不等式的解集是[－1，4].思维升华 1.去绝对值号，利用零点分段法分类讨论求解.2.利用绝对值的几何意义解决含有两个绝对值的不等式|x－a|＋|x－b|≥c，|x－a|＋|x－b|≤c比较直观，但只适用于数据较简单的情况.训练3 (1)求不等式|x－1|＋|x－2|>2的解集；(2)已知数轴上A(x)，B(－1)，且线段AB的中点到C(1)的距离大于5，求x的取值范围.解 (1)法一设A (1)，B (2)，则AB 的中点M ⎝ ⎛⎭⎪⎫32，则|x －1|＋|x －2|>2⇔⎪⎪⎪⎪⎪⎪x －32>1⇔x－32<－1或x －32>1⇔x <12或x >52，∴原不等式的解集为⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，12∪⎝ ⎛⎭⎪⎫52，＋∞.法二原不等式等价于⎩⎪⎨⎪⎧x ≤1，1－x ＋2－x ＞2或⎩⎪⎨⎪⎧1<x <2，x －1＋2－x >2或⎩⎪⎨⎪⎧x ≥2，x －1＋x －2>2，解得x <12或无解或x >52，∴x <12或x >52.故原不等式的解集为⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，12∪⎝ ⎛⎭⎪⎫52，＋∞.(2)AB 的中点M ⎝⎛⎭⎪⎫x －12，由题意⎪⎪⎪⎪⎪⎪x －12－1>5，即⎪⎪⎪⎪⎪⎪x －32>5，∴|x －3|>10，x －3<－10或x －3>10，即x <－7或x >13，∴x 的取值范围是(－∞，－7)∪(13，＋∞). [课堂小结]1.解不等式的过程中要不断地使用不等式的性质.求不等式组解集时常利用数轴求交集.2.含绝对值的不等式|x |<a 与|x |>a 的解集x ≠0}一、基础达标1.代数式1－m 的值大于－1，又不大于3，则m 的取值范围是( ) A.(－1，3] B.[－3，1) C.[－2，2) D.(－2，2]答案 C解析由题意知－1<1－m ≤3， ∴－2≤m <2.2.(多选)不等式组⎩⎪⎨⎪⎧2x －13>1，x >m ，m ∈N 的解集为(2，＋∞)，则m 的值可以是( )A.0B.1C.2D.3答案 ABC解析由2x －13>1，得x >2.由题意得⎩⎪⎨⎪⎧x >2，x >m ，m ∈N 的解集为(2，＋∞)，∴m ≤2，又m ∈N ，故m ＝0，1，2.3.若方程组⎩⎨⎧x ＋2y ＝1＋m ，2x ＋y ＝3中，未知数x ，y 满足x ＋y >0，则m 的取值范围是( )A.(－4，＋∞)B.[－4，＋∞)C.(－∞，－4)D.(－∞，－4] 答案 A解析解方程组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y ＝1＋m ，2x ＋y ＝3得⎩⎨⎧x ＝5－m3，y ＝2m －13.由x ＋y >0，得5－m 3＋2m －13>0，解得m >－4.4.设不等式|x －a |<b 的解集为(－1，2)，则a ，b 的值分别为( ) A.1，3 B.－1，3 C.－1，－3 D.12，32答案 D解析由|x －a |<b ，得a －b <x <a ＋b . 由题意(a －b ，a ＋b )＝(－1，2)， ∴⎩⎪⎨⎪⎧a －b ＝－1，a ＋b ＝2，∴⎩⎪⎨⎪⎧a ＝12，b ＝32.5.对任意实数x ，若不等式|x ＋1|－|x －2|>k 恒成立，则k 的取值范围为( ) A.(－∞，3) B.(－∞，－3) C.(1，3] D.(－∞，－3] 答案 B解析 |x ＋1|，|x －2|的几何意义分别为数轴上的点X 到表示－1和2的点的距离，|x ＋1|－|x －2|的几何意义为两距离之差，由图可得其最小值为－3，故选B.6.已知数轴上，A (x )，B (1)，且AB ＝72，则x 的值为________. 答案 92或－52解析由题意|x －1|＝72，∴x －1＝±72， ∴x ＝92或x ＝－52.7.不等式组⎩⎪⎨⎪⎧2x －13－5x －12≤1，5x －2<3（x ＋2）的所有正整数解的和为________.答案 6解析解原不等式组，得不等式组的解集是－511≤x ＜4，所以不等式组的正整数解是1，2，3，故它们的和为1＋2＋3＝6. 8.不等式|x ＋1|>|5－x |的解集是________. 答案 (2，＋∞)解析两边平方得(x ＋1)2>(5－x )2，即x 2＋2x ＋1>25－10x ＋x 2，∴x >2. 9.已知数轴上，A (－1)，B (x )，C (6). (1)若A ，B 关于点C 对称，求x 的值；(2)若线段AB 的中点到C 的距离小于5，求x 的取值范围. 解 (1)由数轴上中点坐标公式得6＝－1＋x2， ∴x ＝13.(2)AB 的中点为－1＋x2，由题意得⎪⎪⎪⎪⎪⎪x －12－6<5，即⎪⎪⎪⎪⎪⎪x －132<5，|x －13|<10， ∴－10<x －13<10，3<x <23，即x 的取值范围是(3，23). 10.解不等式3<|2x －3|<5. 解 ∵3<|2x －3|<5，∴3<2x －3<5或－5<2x －3<－3，即3<x <4或－1<x <0.故原不等式的解集为(－1，0)∪(3，4). 二、能力提升11.(多选)|2x －1|>1的充分不必要条件可以是( ) A.x >1 B.x <0 C.x >1或x <0 D.0<x <1答案 AB解析由|2x －1|>1得2x －1>1，或2x －1<－1，解得x >1或x <0，故选AB. 12.若不等式组⎩⎪⎨⎪⎧1＋x <a ，x ＋92＋1≥x ＋13－1有解，则实数a 的取值范围是________. 答案 (－36，＋∞)解析解不等式1＋x ＜a ，得x ＜a －1.解不等式x ＋92＋1≥x ＋13－1，得x ≥－37.因为不等式组有解，所以a －1＞－37，即a ＞－36.13.解不等式|x －1|＋|x ＋2|<5. 解法一记A (1)，B (－2)，则AB 的中点为M ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，|x －1|＋|x ＋2|<5⇔⎪⎪⎪⎪⎪⎪x －⎝ ⎛⎭⎪⎫－12<52，即⎪⎪⎪⎪⎪⎪x ＋12<52， ∴－52<x ＋12<52，－3<x <2，故原不等式的解集为(－3，2). 法二原不等式等价于⎩⎪⎨⎪⎧x ≤－2，－（x －1）－（x ＋2）<5或⎩⎪⎨⎪⎧－2<x <1，－（x －1）＋（x ＋2）<5或⎩⎪⎨⎪⎧x ≥1，（x －1）＋（x ＋2）<5，解得－3<x ≤－2或－2<x <1或1≤x <2，∴－3<x <2.故原不等式的解集为(－3，2).三、创新拓展14.已知不等式|x ＋2|－|x ＋3|＞m ，求出满足下列条件的m 的取值范围.(1)不等式有解；(2)不等式解集为R ；(3)不等式解集为∅.解法一因|x ＋2|－|x ＋3|的几何意义为数轴上任意一点P (x )与两定点A (－2)，B (－3)距离的差.即|x ＋2|－|x ＋3|＝P A －PB .由图像知(P A －PB )max ＝1，(P A －PB )min ＝－1.即－1≤|x ＋2|－|x ＋3|≤1.(1)若不等式有解，m 只要比|x ＋2|－|x ＋3|的最大值小即可，即m ＜1， m 的范围为(－∞，1).(2)若不等式的解集为R ，即不等式恒成立，m 只要比|x ＋2|－|x ＋3|的最小值还小，即m ＜－1，m 的范围为(－∞，－1).(3)若不等式的解集为∅，m 只要不小于|x ＋2|－|x ＋3|的最大值即可，即m ≥1，m 的范围为[1，＋∞).法二由|x ＋2|－|x ＋3|≤|(x ＋2)－(x ＋3)|＝1，|x ＋3|－|x ＋2|≤|(x ＋3)－(x ＋2)|＝1，可得－1≤|x＋2|－|x＋3|≤1.(1)若不等式有解，则m∈(－∞，1).(2)若不等式解集为R，则m∈(－∞，－1).(3)若不等式解集为∅，则m∈[1，＋∞).。

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苏教版-----------------------------------必修1----------------------------------- 第1章集合1.1集合的含义及其表示1.2子集、全集、补集1.3交集、并集第2章函数2.1函数的概念2.1.1函数的概念和图象2.1.2函数的表示方法2.2函数的简单性质2.2.1函数的单调性2.2.2函数的奇偶性2.3映射的概念第3章指数函数、对数函数和幂函数3.1指数函数3.1.1分数指数幂3.1.2指数函数3.2对数函数3.2.1对数3.2.2对数函数3.3幂函数3.4函数的应用3.4.1函数与方程3.4.2函数模型及其应用-----------------------------------必修2----------------------------------- 第1章立体几何初步1.1空间几何体1.1.1棱柱、棱锥和棱台1.1.2圆柱、圆锥、圆台和球1.1.3中心投影和平行投影1.1.4直观图画法1.2点、线、面之间的位置关系1.2.1平面的基本性质1.2.2空间两条直线的位置关系1.平行直线2.异面直线1.2.3直线与平面的位置关系1.直线与平面平行2.直线与平面垂直1.2.4平面与平面的位置关系1.两平面平行2.平面垂直1.3空间几何体的表面积和体积1.3.1空间几何体的表面积1.3.2空间几何体的体积第2章平面解析几何初步2.1直线与方程2.1.1直线的斜率2.1.2直线的方程1.点斜式2.两点式3.一般式2.1.3两条直线的平行与垂直2.1.4两条直线的交点2.1.5平面上两点间的距离2.1.6点到直线的距离2.2圆与方程2.2.1圆的方程2.2.2直线与圆的位置关系2.2.3圆与圆的位置关系2.3空间直角坐标系2.3.1空间直角坐标系2.3.2空间两点间的距离-----------------------------------必修3----------------------------------- 第1章算法初步1.1算法的意义1.2流程图1.2.1顺序结构1.2.2选择结构1.2.3循环结构1.3基本算法语句1.3.1赋值语句1.3.2输入、输出语句1.3.3条件语句1.3.4循环语句1.4算法案例第2章统计2.1抽样方法2.1.1简单随机抽样1.抽签法2.随机数表法2.1.2系统抽样2.1.3分层抽样2.2总体分布的估计2.2.1频率分布表2.2.2频率分布直方图与折线图2.2.3茎叶图2.3总体特征数的估计2.3.1平均数及其估计2.3.2方差与标准差2.4线性回归方程第3章概率3.1随机事件及其概率3.1.1随机现象3.1.2随机事件的概率3.2古典概型3.3几何概型3.4互斥事件-----------------------------------必修4----------------------------------- 第1章三角函数1.1任意角、弧度1.1.1任意角1.1.2弧度制1.2任意角的三角函数1.2.1任意角的三角函数1.2.2同角三角函数关系1.2.3三角函数的诱导公式1.3三角函数的图象和性质1.3.1三角函数的周期性1.3.2三角函数的图象与性质1.3.3函数y=Asin(ωx+ψ)的图象1.3.4三角函数的应用第2章平面向量2.1向量的概念及表示2.2向量的线性运算2.2.1向量的加法2.2.2向量的减法2.2.3向量的数乘2.3向量的坐标表示2.3.1平面向量基本定理2.3.2平面向量的坐标运算2.4向量的数量积2.5向量的应用第3章三角恒等变换3.1两角和与差的三角函数3.1.1两角和与差的余弦3.1.2两角和与差的正弦3.1.3两角和与差的正切3.2二倍角的三角函数3.3几个三角恒等式-----------------------------------必修5----------------------------------- 第1章解三角形1．1正弦定理1．2余弦定理1．3正弦定理、余弦定理的应用第2章数列2．1数列2．2等差数列2.2.1等差数列的概念2.2.2等差数列的通项公式2.2.3等差数列的前n项和2．3等比数列2.3.1等比数列的概念2.3.2等比数列的通项公式2.3.3等比数列的前n项和第3章不等式3．1不等关系3．2一元二次不等式3．3二元一次不等式组与简单的线性规划问题3.3.1二元一次不等式表示的平面区域3.3.2二元一次不等式组表示的平面区域 3.3.3简单的线性规划问题3．4基本不等式2b a ab +≤)0,0(≥≥b a 3.4.1基本不等式的证明3.4.2基本不等式的应用-----------------------------------选修1-1-----------------------------------第1章常用逻辑用语1．1命题及其关系1.1.1四种命题1.1.2充分条件和必要条件 1．2简单的逻辑联结词1．3全称量词与存在量词1.3.1量词1.3.2含有一个量词的命题的否定第2章圆锥曲线与方程 2．1圆锥曲线2．2椭圆2.2.1椭圆的标准方程2.2.2椭圆的几何性质2．3双曲线2.3.1双曲线的标准方程2.3.2双曲线的几何性质 2．4抛物线2.4.1抛物线的标准方程2.4.2抛物线的几何性质 2．5圆锥曲线的共同性质第3章导数及其应用3．1导数的概念3.1.1平均变化率3.1.2瞬时变化率——导数3．2导数的运算3.2.1常见函数的导数3.2.2函数的和、差、积、商的导数 3．3导数在研究函数中的应用3.3.1单调性3.3.2极大值和极小值3.3.3最大值和最小值3．4导数在实际生活中的应用-----------------------------------选修1-2-----------------------------------第1章统计案例 1．1独立性检验 1．2回归分析第2章推理与证明2．1合情推理与演绎推理2.1.1合情推理2.1.2演绎推理2.1.3推理案例欣赏 2．2直接证明与间接证明2.2.1直接证明2.2.2间接证明第3章数系的扩充与复数的引入 3．1数系的扩充 3．2复数的四则运算 3．3复数的几何意义第4章框图 4．1流程图 4．2结构图-----------------------------------选修2-1-----------------------------------第1章常用逻辑用语1．1命题及其关系1.1.1四种命题1.1.2充分条件和必要条件 1．2简单的逻辑联结词1．3全称量词与存在量词1.3.1量词1.3.2含有一个量词的命题的否定第2章圆锥曲线与方程 2．1圆锥曲线2．2椭圆2.2.1椭圆的标准方程2.2.2椭圆的几何性质2．3双曲线2.3.1双曲线的标准方程2.3.2双曲线的几何性质 2．4抛物线2.4.1抛物线的标准方程2.4.2抛物线的几何性质 2．5圆锥曲线的统一定义2．6曲线与方程2.6.1曲线与方程2.6.2求曲线的方程2.6.3曲线的交点第3章空间向量与立体几何3．1空间向量及其运算3.1.1空间向量及其线性运算3.1.2共面向量定理3.1.3空间向量基本定理3.1.4空间向量的坐标表示3.1.5空间向量的数量积 3．2空间向量的应用3.2.1直线的方向向量与平面的法向量3.2.2空间线面关系的判定3.2.3空间的角的计算-----------------------------------选修2-2-----------------------------------第一章导数及其应用1．1导数的概念1.1.1平均变化率1.1.2瞬时变化率——导数1．2导数的运算1.2.1常见函数的导数1.2.2函数的和、差、积、商的导数1.2.3简单复合函数的导数1．3导数在研究函数中的应用1.3.1单调性1.3.2极大值和极小值1.3.3最大值和最小值 1．4导数在实际生活中的应用1．5定积分1.5.1曲边梯形的面积1.5.2定积分1.5.3微积分基本定理第二章推理与证明2．1合情推理与演绎推理2.1.1合情推理2.1.2演绎推理2.1.3推理案例欣赏 2．2直接证明与间接证明2.2.1直接证明2.2.2间接证明 2．3数学归纳法第三章数系的扩充与复数的引入 3．1数系的扩充 3．2复数的四则运算 3．3复数的几何意义-----------------------------------选修2-3-----------------------------------第一章计数原理 1．1两个基本原理 1．2排列 1．3组合1．4计数应用题1．5二项式定理1.5.1二项式定理1.5.2二项式系数的性质及用第二章概率2．1随机变量及其概率分布2．2超几何分布2．3独立性2.3.1条件概率2.3.2事件的独立性2．4二项分布2．5随机变量的均值与方差2.5.1离散型随机变量的均值2.5.2离散型随机变量的方差与标准差2．6正态分布第三章统计案例3．1独立性检验3．2回归分析-----------------------------------选修4-1----------------------------------- 1.1 相似三角形的进一步认识1.1.1平行线分线段成比例定理1.1.2相似三角形1.2 圆的进一步认识1.2.1圆周角定理1.2.2圆的切线1.2.3圆中比例线段1.2.4圆内接四边形1.3 圆锥截线1.3.1球的性质1.3.2圆柱的截线1.3.3圆锥的截线学习总结报告-----------------------------------选修4-2----------------------------------- 2.1 二阶矩阵与平面向量2.1.1矩阵的概念2.1.2二阶矩阵与平面列向量的乘法2.2 几种常见的平面变换2.2.1恒等变换2.2.2伸压变换2.2.3反射变换2.2.4旋转变换2.2.5投影变换2.2.6切变变换2.3 变换的复合与矩阵的乘法2.3.1矩阵乘法的概念2.3.2矩阵乘法的简单性质2.4 逆变换与逆矩阵2.4.1逆矩阵的概念2.4.2二阶矩阵与二元一次方程组2.5 特征值与特征向量2.6 矩阵的简单应用学习总结报告-----------------------------------选修4-4----------------------------------- 4.1 直角坐标系4.1.1直角坐标系4.1.2极坐标系4.1.3球坐标系与柱坐标系4.2 曲线的极坐标方程4.2.1曲线的极坐标方程的意义4.2.2常见曲线的极坐标方程4.3 平面坐标系中几种常见变换4.3.1平面直角坐标系中的平移变换4.3.2平面直角坐标系中的伸缩变换4.4 参数方程4.4.1参数方程的意义4.4.2参数方程与普通方程的互化4.4.3参数方程的应用4.4.4平摆线与圆的渐开线学习总结报告-----------------------------------选修4-5----------------------------------- 5.1 不等式的基本性质5.2 含有绝对值的不等式5.2.1含有绝对值的不等式的解法5.2.2含有绝对值的不等式的证明5.3 不等式的证明5.3.1比较法5.3.2综合法和分析法5.3.3反证法5.3.4放缩法5.4 几个著名的不等式5.4.1柯西不等式5.4.2排序不等式5.4.3算术-几何平均值不等式5.5 运用不等式求最大（小）值5.5.1运用算术-几何平均值不等式求最大（小）值5.5.2运用柯西不等式求最大（小）值5.6 运用数学归纳法证明不等式学习总结报告。

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2.3 离散型随机变量的均值与方差 2.4 正态分布第三章统计案例 3.1 回归分析的基本思想及其初步应用 3.2 独立性检验的基本思想及其初步应用
必修一第一章集合 1.1 集合的含义及其表示 1.2 子集、全集、补集 1.3 交集、并集第二章函数 2.1 函数的概念和图象 2.2 指数函数 2.3 对数函数 2.4 幂函数 2.5 函数与方程 2.6 函数模型及其应用必修二第一章立体几何初步 1.1 空间几何体 1.2 点、线、面之间的位置关系 1.3 空间几何体的表面积和体积第二章平面解析几何初步 2.1 直线与方程 2.2 圆与方程 2.3 空间直角坐标系必修三第一章算法初步 1.1 算法的含义 1.2 流程图 1.3 基本算法语句 1.4 算法案例第二章统计 2.1 抽样方法 2.2 总体分布的估计 2.3 总体特征数的估计 2.4 线性回归方程第三章概率 3.1 随机事件及其概率 3.2 古典概型 3.3 几何概型 3.4 互斥事件必修四第一章三角函数 1.1 任意角、弧度 1.2 任意角的三角函数 1.3 三角函数的图象与性质第二章平面向量 2.1 向量的概念与表示
第三章数系的扩充与复数的引入 3.1 数系的扩充和复数的概念 3.2 复数代数形式的四则运算第四章框图 4.1 流程图 4.2 结构图选修 2-1 第一章常用逻辑用语 1.1 命题及其关系 1.2 充分条件与必要条件 1.3 简单的逻辑联结词 1.4 全称量词与存在量词第二章圆锥曲线与方程 2.1 曲线与方程 2.2 椭圆 2.3 双曲线 2.4 抛物线第三章空间向量与立体几何 3.1 空 1.1 变化率与导数 1.2 导数的计算 1.3 导数在研究函数中的应用 1.4 生活中的优化问题举例 1.5 定积分的概念 1.6 微积分的基本定理 1.7 微积分的简单应用第二章推理与证明 2.1 合情推理与演绎推理 2.2 直接证明与间接证明 2.3 数学归纳法第三章数系的扩充与复数的引入 3.1 数系的扩充和复数的概念 3.2 复数代数形式的四则运算选修 2-3 第一章计数原理 1.1 分类加法技术原理与分步乘法计数原理 1.2 排列与组合 1.3 二项式定理第二章随机变量及其分布 2.1 离散型随机变量及其分布列 2.2 二项分布及其应用

苏教版高中数学选修二

苏教版高中数学选修二
《苏教版高中数学选修二》是苏教版高中数学教材的一部分，适用于高中二年级学生学习。

该教材主要内容包括函数、数列与数学归纳法、数理统计与概率、三角函数与解三角形、平面向量等内容。

该教材以培养学生的数学思维能力和解决实际问题的能力为目标，注重理论与实践的结合。

教材内容丰富，包含了大量的例题、习题和思考题，以帮助学生巩固所学的知识。

《苏教版高中数学选修二》还注重培养学生的数学建模能力，通过一些实际问题的引入，让学生将数学知识应用到实际生活中，培养学生的创新思维和解决问题的能力。

该教材注重学科知识的系统性和层次性，通过分章节的方式，将知识点进行有机组织，让学生更好地理解和掌握，从而提高数学水平。

《苏教版高中数学选修二》是一本全面、系统、实用的高中数学教材，适合高中二年级学生使用。

选择性必修一苏教版数学书目录

选择性必修一苏教版数学书目录第一章集合与函数概念1.1集合——阅读与思考集合中元素的个数1.2函数及其则表示——写作与思索函数概念的发展历程1.3函数的基本性质——信息技术应用用计算机绘制函数图形进修作业小结备考参照题第二章基本初等函数（1）2.1指数函数——信息技术应用领域利用信息技术探究指数函数的性质2.2对数函数——阅读与思考对数的发明探究与辨认出互为反函数的两个函数图像之间的关系2.3幂函数小结复习参考题第三章函数的应用领域3.1函数与方程——阅读与思考中外历史上的方程求解信息技术应用领域利用信息技术谋方程的对数求解3.2函数模型及其应用——信息技术应用收集数据并建立函数模型进修作业小结备考参照题关于数学：课本上谈的定理，你可以自己打声自己回去推理小说。

这样不但提升自己的证明能力，也增进对公式的认知。

除了就就是大量练题目。

基本上每课之后都必须搞课余练的题目(不包含老师的作业)。

数学成绩的提高，数学方法的掌握都和同学们良好的学习习惯分不开的，因此。

良好的数学学习习惯包括：听讲、阅读、探究、作业。

听讲：应抓住听课中的主要矛盾和问题，在听讲时尽可能与老师的讲解同步思考，必要时做好笔记。

每堂课结束以后应深思一下进行归纳，做到一课一得。

写作：写作时应认真斟酌，搞清楚弄通每一个概念、定理和法则，对于例题应当与同类参考书联系起至去一同自学，博采众长，快速增长科学知识，发展思维。

探究：要学会思考，在问题解决之后再探求一些新的方法，学会从不同角度去思考问题，甚至改变条件或结论去发现新问题，经过一段学习，应当将自己的思路整理一下，以形成自己的思维规律。

作业：要先复习后作业，先思考再动笔，做会一类题领会一大片，作业要认真、书写要规范，只有这样脚踏实地，一步一个脚印，才能学好数学。

总之，在自学数学的过程中，必须认识到数学的重要性，充分发挥自己的主观能动性，从小的细节特别注意起至，培养较好的数学自学习惯，进而培育思索问题、分析问题和解决问题的能力，最终把数学努力学习。

新教材苏教版高中数学选择性必修一第二课时函数奇偶性的应用

第二课时函数奇偶性的应用课标要求 1.掌握函数奇偶性的简单应用.2.了解函数图像的对称轴、对称中心满足的条件.素养要求 1.通过函数奇偶性的应用，熟悉转化、对称等思考方法，提升逻辑推理素养.2.通过函数图像的对称轴、对称中心条件，提升直观想象和数学抽象素养.一、函数的单调性与奇偶性1.思考从两个偶函数的图像中，能否找出偶函数的图像在对称区间上单调性的关系吗？提示偶函数的图像在对称区间上的单调性相反.2.填空(1)若f(x)为奇函数且在区间[a，b](a<b)上为增函数(减函数)，则f(x)在[－b，－a]上为增函数(减函数)，即在关于原点对称的区间上单调性相同.(2)若f(x)为偶函数且在区间[a，b](a<b)上为增函数(减函数)，则f(x)在[－b，－a]上为减函数(增函数)，即在关于原点对称的区间上单调性相反.温馨提醒(1)上述结论可简记为“奇同偶异”.(2)偶函数在关于原点对称的区间上有相同的最大(小)值，取最值时的自变量互为相反数；奇函数在关于原点对称的区间上的最值互为相反数，取最值时的自变量也互为相反数.3.做一做(1)若定义在R上的偶函数f(x)在(0，＋∞)上是增函数，则f(3)，f(4)，f(－π)的大小关系为________.答案f(3)<f(－π)<f(4)(2)已知f(x)是定义在R上的奇函数，当x<0时，f(x)＝x－x2，则当x>0时，f(x)＝________.答案x＋x2二、奇、偶函数的运算性质及对称问题1.思考函数f(x)，g(x)的定义域都为R，且f(x)是奇函数，g(x)是偶函数，则f(x)·g(x)的奇偶性是怎样的？提示依题意得对任意x∈R，都有f(－x)＝－f(x)，g(－x)＝g(x)，因此，f(－x)·g(－x)＝－f(x)·g(x)＝－[f(x)·g(x)]，所以f(x)g(x)是奇函数.2.填空(1)奇偶函数的运算性质在公共定义域内：①两个奇函数的和函数是奇函数，两个奇函数的积函数是偶函数；②两个偶函数的和函数、积函数都是偶函数；③一个奇函数、一个偶函数的积函数是奇函数.(2)函数的对称轴与对称中心①若函数f(x)的定义域为D，对∀x∈D都有f(a＋x)＝f(a－x)(a为常数)，则x＝a 是f(x)的对称轴.②若函数f(x)的定义域为D，对∀x∈D都有f(a＋x)＋f(a－x)＝2b(a，b为常数)，则(a，b)是f(x)的对称中心.温馨提醒奇、偶函数的运算性质及复合函数的奇偶性设f(x)，g(x)有公共的定义域，则有下列结论：3.做一做判断正误(1)若f(x)是偶函数，则f(x)＝f(－x)＝f(|x|).(√)(2)若对f(x)定义域内任意的x都有f(a＋x)＝f(b－x)，则函数f(x)的图像关于x＝a＋b2对称.(√)(3)若奇函数f(x)在[a，b]上有最大值M，则f(x)在[－b，－a]上有最小值－M.(√)(4)若函数y＝f(x)与y＝g(x)的图像关于y轴对称，则f(x)，g(x)是偶函数.(×)提示不一定是偶函数，因为只有自身的图像关于y轴对称的函数才是偶函数.(5)若偶函数y＝f(x)的图像关于直线x＝2对称，且f(3)＝3，则f(－1)＝3.(√)题型一利用奇偶性求函数解析式角度1求对称区间上的解析式例1 (1)已知函数f(x)是R上的偶函数，且当x<0时，f(x)＝x(x－1)，则当x>0时，f(x)＝________.(2)已知函数f(x)为R上的奇函数，当x>0时，f(x)＝－2x2＋3x＋1，则当x<0时，f(x)＝________.答案(1)x(x＋1)(2)2x2＋3x－1解析(1)设任意x>0，则－x<0，所以f(－x)＝－x(－x－1)＝x(x＋1).因为函数f(x)为R上的偶函数，故当x>0时，f(x)＝f(－x)＝x(x＋1)，即x>0时，f(x)＝x(x＋1).(2)设任意x<0，则－x>0，所以f(－x)＝－2(－x)2＋3(－x)＋1＝－2x2－3x＋1.由于f(x)是R上的奇函数，故f(x)＝－f(－x)，所以f(x)＝2x2＋3x－1，即当x<0时，f(x)＝2x2＋3x－1.角度2构造方程组求解析式例2 设f(x)是偶函数，g(x)是奇函数，且f(x)＋g(x)＝1x－1，求函数f(x)，g(x)的解析式.解∵f(x)是偶函数，g(x)是奇函数，∴f(－x)＝f(x)，g(－x)＝－g(x)，由f(x)＋g(x)＝1x－1，①用－x代替x，得f(－x)＋g(－x)＝1－x－1，∴f(x)－g(x)＝1－x－1，②(①＋②)÷2，得f(x)＝1x2－1；(①－②)÷2，得g(x)＝xx2－1.思维升华已知函数f(x)的奇偶性及函数f(x)在某区间上的解析式，求该函数在整个定义域上的解析式的方法如下：(1)求哪个区间上的解析式，x就设在那个区间上；(2)把x对称转化到已知区间上，代入到已知区间上的函数解析式中；(3)利用f(x)的奇偶性将f(－x)用－f(x)或f(x)表示，从而求出f(x).训练1 (1)设函数f(x)是定义在R上的奇函数，当x<0时，f(x)＝－x2－x，求函数f(x)的解析式；(2)设f(x)是偶函数，g(x)是奇函数，且f(x)＋g(x)＝x2＋2x，求函数f(x)，g(x)的解析式.解(1)设任意x>0，则－x<0，∴f(－x)＝－(－x)2－(－x)＝－x2＋x.又f (x )是R 上的奇函数， ∴f (x )＝－f (－x )＝x 2－x .又∵函数定义域为R ，∴f (0)＝0，综上可知f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－x 2－x ，x <0，x 2－x ，x ≥0.(2)∵f (x )是偶函数，g (x )是奇函数， ∴f (－x )＝f (x )，g (－x )＝－g (x )，由f (x )＋g (x )＝2x ＋x 2.① 用－x 代替x ，得f (－x )＋g (－x )＝－2x ＋(－x )2， ∴f (x )－g (x )＝－2x ＋x 2，② (①＋②)÷2，得f (x )＝x 2； (①－②)÷2，得g (x )＝2x . 题型二函数奇偶性的应用角度1 利用函数的单调性与奇偶性比较大小例3 若对于任意实数x 总有f (－x )＝f (x )，且f (x )在区间(－∞，－1]上是增函数，则f (－1)，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－32，f (2)的大小关系为________.答案 f (2)<f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－32<f (－1)解析 ∵对任意实数x 总有 f (－x )＝f (x )， ∴f (x )为偶函数， ∴f (2)＝f (－2).又f (x )在区间(－∞，－1]上是增函数，－2<－32<－1， ∴f (2)<f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－32<f (－1).思维升华比较大小的方法：①自变量在同一单调区间上，直接利用函数的单调性比较大小；②自变量不在同一单调区间上，需利用函数的奇偶性把自变量转化到同一单调区间上，然后利用单调性比较大小. 角度2 利用奇偶性、单调性解不等式例4 (1)设定义在[－3，3]上的奇函数f (x )在区间[0，3]上是减函数，若f (1－m )<f (m )，求实数m 的取值范围；(2)设定义在[－2，2]上的偶函数g (x )，当x ≥0时，g (x )为减函数，若g (1－m )<g (m )成立，求m 的取值范围.解 (1)因为f (x )是奇函数且f (x )在[0，3]上是减函数，所以f (x )在[－3，3]上是减函数.所以不等式f (1－m )<f (m )等价于⎩⎪⎨⎪⎧1－m >m ，－3≤m ≤3，－3≤1－m ≤3，解得－2≤m <12，即m 的取值范围为⎣⎢⎡⎭⎪⎫－2，12.(2)∵g (x )在[－2，2]上为偶函数，且x ≥0时为减函数，∴g (1－m )≤g (m )⇔g (|1－m |)<g (|m |)⇔⎩⎪⎨⎪⎧－2≤1－m ≤2，－2≤m ≤2，|1－m |>|m |⇒⎩⎪⎨⎪⎧－1≤m ≤3，－2≤m ≤2，（1－m ）2>m 2⇒－1≤m <12.即m 的取值范围为⎩⎨⎧⎭⎬⎫m |－1≤m <12.思维升华利用函数奇偶性和单调性解不等式解决此类问题时一定要充分利用已知的条件，把已知不等式转化成f (x 1)>f (x 2)或f (x 1)<f (x 2)的形式，再根据奇函数在关于原点对称的区间上的单调性相同，偶函数在关于原点对称的区间上的单调性相反，列出不等式(组)，同时不能漏掉函数自身定义域对参数的影响.训练2 (1)已知函数f (x )在(－∞，＋∞)上单调递减，且为奇函数.若f (1)＝－1，则满足－1≤f (x －2)≤1的x 的取值范围是( ) A.[－2，2] B.[－1，1] C.[0，4]D.[1，3](2)已知偶函数f (x )和奇函数g (x )的定义域都是(－4，4)，且在(－4，0]上的图像如图所示，则关于x 的不等式f (x )g (x )<0的解集是________.答案 (1)D (2)(－4，－2)∪(0，2) 解析 (1)∵f (x )为奇函数，f (1)＝－1， ∴f (－1)＝1. ∵－1≤f (x －2)≤1， ∴f (1)≤f (x －2)≤f (－1).又∵f (x )在(－∞，＋∞)上单调递减， ∴－1≤x －2≤1，∴1≤x ≤3. (2)设h (x )＝f (x )g (x )，则h (－x )＝f (－x )g (－x )＝－f(x)g(x)＝－h(x)，又h(x)＝f(x)g(x)的定义域为(－4，4)，∴h(x)是奇函数，补全f(x)，g(x)的图像(图略)，由图像可知：当－4<x<－2时，f(x)>0，g(x)<0，此时h(x)<0；当0<x<2时，f(x)<0，g(x)>0，此时h(x)<0，∴h(x)<0的解集为(－4，－2)∪(0，2).故答案为(－4，－2)∪(0，2).题型三奇偶性与对称性的综合应用例5 (1)求证：二次函数f(x)＝－x2－2x＋1的图像关于x＝－1对称.证明任取h∈R，∵f(－1＋h)＝－(－1＋h)2－2(－1＋h)＋1＝－h2＋2，f(－1－h)＝－(－1－h)2－2(－1－h)＋1＝－h2＋2，∴f(－1＋h)＝f(－1－h)，∴f(x)的图像关于x＝－1对称.(2)对于定义在R上的函数f(x)，有下述结论：①若f(x)是奇函数，则f(x－1)的图像关于点A(1，0)对称；②若函数f(x－1)的图像关于直线x＝1对称，则f(x)为偶函数；③函数f(1＋x)与函数f(1－x)的图像关于直线x＝1对称；④若f(x)＋f(x＋2)＝0，且f(4－x)＝f(x)，则f(x)的图像关于坐标原点对称. 其中正确结论的序号为________.答案①②解析∵f(x)为奇函数，∴f(x)的图像关于原点对称，而f(x－1)的图像是将f(x)的图像向右平移1个单位长度得到的，∴f(x－1)的图像关于点A(1，0)对称，故①正确.若g(x)＝f(x－1)的图像关于直线x＝1对称，则有g(x＋1)＝g(－x＋1)，即f(x)＝f(－x)，∴②正确.由图像的对称性知函数y＝f(x＋1)的图像与函数y＝f(1－x)的图像关于y轴对称，∴③不正确.∵f(x)＝－f(x＋2)，∴f(x＋2)＝－f(x＋4)，∴f(x)＝f(x＋4).又f(4－x)＝f(x)，∴f(4＋x)＝f(－x)，∴f(x)＝f(4＋x)＝f(－x)，从而f(x)为偶函数，可知f(x)的图像关于y轴对称，故④不正确.思维升华(1)要证明函数f(x)的图像关于x＝h对称，只需证明对定义域内的任意x，满足f(h－x)＝f(h＋x)；(2)要证明函数f(x)的图像关于点(a，b)对称，只需证明对定义域内的任意x，满足f(a＋x)＋f(a－x)＝2b.(3)函数f(x)的图像关于直线对称若函数f(x)对定义域内任一x，都有①f(a－x)＝f(a＋x)⇔y＝f(x)的图像关于直线x＝a对称；②f(x)＝f(a－x)⇔y＝f(x)的图像关于直线x＝a2对称；③f (a ＋x )＝f (b －x )⇔y ＝f (x )的图像关于直线x ＝a ＋b2对称. (4)函数f (x )的图像关于点对称若函数f (x )对定义域内任一x ，都有①f (a －x )＝－f (a ＋x )⇔y ＝f (x )的图像关于点(a ，0)对称； ②f (x )＝－f (a －x )⇔y ＝f (x )的图像关于点⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2，0对称；③f (a ＋x )＝－f (b －x )⇔y ＝f (x )的图像关于点⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋b 2，0对称.训练3 (1)证明函数f (x )＝xx ＋1的图像关于点(－1，1)对称.证明函数f (x )的定义域为(－∞，－1)∪(－1，＋∞). 任取x ∈(－∞，－1)∪(－1，＋∞)，∵f (－1＋x )＋f (－1－x )＝－1＋x－1＋x ＋1＋－1－x－1－x ＋1＝－1＋x x ＋1＋xx ＝2，即f (－1＋x )＋f (－1－x )＝2×1，由函数对称的性质知f (x )的图像关于点(－1，1)对称.(2)已知定义在R 上的函数f (x )满足f (2－x )为奇函数，函数f (x ＋3)关于直线x ＝1对称，则下列式子一定成立的是( ) A.f (x －2)＝f (x ) B.f (x －2)＝f (x ＋6) C.f (x －2)·f (x ＋2)＝1 D.f (－x )＋f (x ＋1)＝0答案 B解析令F (x )＝f (2－x )，∵f (2－x )为奇函数，∴F (－x )＝－F (x )，即f (2＋x )＝－f (2－x )，∴即f (x )的图像关于点(2，0)对称，令G (x )＝f (x ＋3)，G (x )图像关于直线x ＝1对称，即G(1＋x)＝G(1－x)，f[(1＋x)＋3]＝f[(1－x)＋3]，f(4＋x)＝f(4－x)，即f(x)的图像关于直线x＝4对称，f(x)＝f[4＋(x－4)]＝f[4－(x－4)]＝f(8－x)，用x＋6换表达式中的x，可得f(2－x)＝f(x＋6)，又－f(2＋x)＝f(2－x)，即－f(2＋x)＝f(x＋6)，∴－f(x)＝f(x＋4)，用x＋4换表达式中的x，则－f(x＋4)＝f(x＋8)＝－[－f(x)]＝f(x)，∴函数f(x)的周期为8，故选B.[课堂小结]1.奇函数在关于原点对称的两个区间上有相同的单调性；偶函数在关于原点对称的两个区间上有相反的单调性.2.如果一个奇函数f(x)在x＝0处有定义，那么一定有f(0)＝0；如果函数f(x)是偶函数，那么f(x)＝f(|x|).3.利用奇偶性可以简化研究函数性质的过程，利用奇偶性求函数值、解析式、比较大小、解不等式等的核心是转化.一、基础达标1.已知f(x)＝(m－1)x2＋2mx＋3为偶函数，则f(x)在区间(2，5)上是()A.增函数B.减函数C.有增有减D.增减性不确定答案 B解析由f(x)是偶函数，即f(－x)＝f(x)，得m＝0，所以f(x)＝－x2＋3，画出函数f(x)＝－x2＋3的图像(略)知，在区间(2，5)上为减函数.2.(多选)已知f(x)是定义在R上的偶函数，且有f(3)>f(1).则下列各式中一定成立的是()A.f(－3)>f(－1)B.f(0)<f(5)C.f(－1)<f(3)D.f(2)>f(0)答案AC解析∵f(x)为偶函数，∴f(－3)＝f(3)，f(－1)＝f(1)，又f(3)>f(1)，∴f(－3)>f(－1)，f(3)>f(－1)都成立.3.已知f(x)＝x5＋ax3＋bx－8，f(－2)＝10，则f(2)＝()A.－26B.－18C.－10D.10答案 A解析设g(x)＝x5＋ax3＋bx，函数g(x)定义域为R.∵g(－x)＝(－x)5＋a(－x)3＋b(－x)＝－x5－ax3－bx＝－g(x)，∴g(x)为奇函数.∵f(－2)＝g(－2)－8＝10，∴g(－2)＝18，∴g(2)＝－g(－2)＝－18，∴f (2)＝g (2)－8＝－18－8＝－26.4.已知奇函数f (x )在(－∞，0)上的解析式为f (x )＝x (1＋x )，则f (x )在(0，＋∞)上( )A.最大值－14B.最大值14C.最小值－14D.最小值14答案 B解析法一当x <0时，f (x )＝x 2＋x ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋122－14， ∴f (x )有最小值－14，∵f (x )是奇函数，∴当x >0时，f (x )有最大值14.法二当x >0时，－x <0，∴f (－x )＝－x (1－x ).又f (－x )＝－f (x )，∴f (x )＝x (1－x )＝－x 2＋x ＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122＋14， ∴当x >0时，f (x )有最大值14.5.已知偶函数f (x )在区间[0，＋∞)上单调递增，则满足f (2x －1)<f ⎝ ⎛⎭⎪⎫13的x 的取值范围是( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫13，23 B.⎣⎢⎡⎭⎪⎫13，23 C.⎝ ⎛⎭⎪⎫12，23 D.⎣⎢⎡⎭⎪⎫12，23 答案 A解析由题意得|2x －1|<13⇒－13<2x －1<13⇒23<2x <43⇒13<x <23.6.如果函数F (x )＝⎩⎨⎧2x －3，x >0，f （x ），x <0是奇函数，则f (x )＝________. 答案 2x ＋3解析设x<0，∴－x>0，∴F(－x)＝2(－x)－3＝－2x－3.又∵F(x)为奇函数，∴F(x)＝－F(－x)＝2x＋3，即f(x)＝2x＋3.7.若函数f(x)是定义在R上的偶函数，在(－∞，0]上是增函数，且f(2)＝0，则使得f(x)<0的x的取值范围是________.答案(－∞，－2)∪(2，＋∞)解析∵函数f(x)是定义在R上的偶函数，且在(－∞，0]上是增函数，∴f(x)在[0，＋∞)上是减函数，又∵f(2)＝0，∴f(x)<0⇔f(|x|)<0＝f(2)，即|x|>2，∴x>2或x<－2.8.若函数f(x)＝x2－2ax＋3图像的对称轴为x＝1，则当x∈[－1，2]时，f(x)的值域为________.答案[2，6]解析由对称轴为x＝1得a＝1.∴f(x)＝x2－2x＋3，∴f(x)在[－1，1]上单调递减，在[1，2]上单调递增，∴f(x)min＝f(1)＝2，f(x)max＝f(－1)＝6，∴f(x)∈[2，6].9.已知y＝f(x)是奇函数，在(0，＋∞)上是增函数，且f(x)<0，试问F(x)＝1f（x）在(－∞，0)上是增函数还是减函数？证明你的结论.解F(x)在(－∞，0)上是减函数.证明如下：任取x1，x2∈(－∞，0)，且x1<x2，则有－x1>－x2>0.∵y＝f(x)在(0，＋∞)上是增函数，且f(x)<0，∴f(－x2)<f(－x1)<0.①又∵f(x)是奇函数，∴f(－x2)＝－f(x2)，f(－x1)＝－f(x1)，②由①②得f(x2)>f(x1)>0.于是F(x1)－F(x2)＝f（x2）－f（x1）f（x1）·f（x2）>0，即F(x1)>F(x2)，∴F(x)＝1f（x）在(－∞，0)上是减函数.10.设定义在[－2，2]上的奇函数f(x)＝x5＋x3＋b.(1)求b值；(2)若f(x)在[0，2]上单调递增，且f(m)＋f(m－1)>0，求实数m的取值范围. 解(1)∵函数f(x)是定义在[－2，2]上的奇函数，∴f(0)＝0，解得b＝0(经检验符合题意).(2)∵函数f(x)在[0，2]上是增函数，又f(x)是奇函数，∴f(x)在[－2，2]上是增函数.∵f(m)＋f(m－1)>0，∴f(m－1)>－f(m)＝f(－m)，∴m－1>－m，①又需要不等式f (m )＋f (m －1)>0在函数f (x )定义域内有意义，∴⎩⎪⎨⎪⎧－2≤m ≤2，－2≤m －1≤2② 解①②得12<m ≤2，∴实数m 的取值范围为⎝ ⎛⎦⎥⎤12，2. 二、能力提升11.已知定义在R 上的函数f (x )在(－∞，2)上单调递减，且f (x ＋2)为偶函数，则f (－1)，f (4)，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫112的大小关系为( ) A.f (4)<f (－1)<f ⎝ ⎛⎭⎪⎫112 B.f (－1)<f (4)<f ⎝ ⎛⎭⎪⎫112 C.f ⎝ ⎛⎭⎪⎫112<f (4)<f (－1) D.f (－1)<f ⎝ ⎛⎭⎪⎫112<f (4) 答案 A解析函数y ＝f (x ＋2)为偶函数，则函数y ＝f (x ＋2)的图像关于y 轴对称，函数y ＝f (x )的图像关于直线x ＝2对称，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫112＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－32，f (4)＝f (0)， ∵f (x )在(－∞，2)上单调递减，－32<－1<0，∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－32>f (－1)>f (0)，即f (4)<f (－1)<f ⎝ ⎛⎭⎪⎫112. 12.已知f (x )是定义在R 上的奇函数，且函数y ＝f (x ＋1)为偶函数，当－1≤x ≤0时，f (x )＝x 3，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝________，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫92＝________. 答案 18 18解析由函数y ＝f (x ＋1)为偶函数，得f (－x ＋1)＝f (x ＋1).又f (x )为奇函数，所以f (x ＋2)＝f (－x )＝－f (x )，f (x ＋4)＝－f (x ＋2)＝f (x )，所以f ⎝ ⎛⎭⎪⎫92＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝－f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫－123＝18. 13.设f (x )是定义在R 上的奇函数，且对任意a ，b ∈R ，当a ＋b ≠0时，都有f （a ）＋f （b ）a ＋b>0. (1)若a >b ，试比较f (a )与f (b )的大小关系；(2)若f (1＋m )＋f (3－2m )≥0，求实数m 的取值范围.解 (1)∵a >b ，∴a －b >0，由题意得f （a ）＋f （－b ）a －b>0， ∴f (a )＋f (－b )>0.又f (x )是定义在R 上的奇函数，∴f (－b )＝－f (b )，∴f (a )－f (b )>0，即f (a )>f (b ).(2)由(1)知f (x )为R 上的单调递增函数，且为奇函数，∵f (1＋m )＋f (3－2m )≥0，∴f (1＋m )≥－f (3－2m )，即f (1＋m )≥f (2m －3)，∴1＋m ≥2m －3，所以m ≤4.∴实数m 的取值范围为(－∞，4].三、创新拓展14.证明：若函数y ＝f (x )的图像关于点M (a ，b )对称，则f (2a －x )＝2b －f (x )，反之亦成立.证明设函数y ＝f (x )的图像上任意一点P (x ，f (x ))关于点M (a ，b )对称的点为P ′(2a －x ，2b －f (x ))，当且仅当P′(2a－x，2b－f(x))在函数y＝f(x)的图像上时，有f(2a－x)＝2b－f(x).若函数f(x)满足f(2a－x)＝2b－f(x)，则点P′(2a－x，2b－f(x))在函数f(x)的图像上，∵点P′(2a－x，2b－f(x))与点P(x，f(x))关于点M(a，b)对称，∴函数y＝f(x)的图像关于点M(a，b)对称.。

新教材苏教版高中数学选择性必修一第二课时集合的表示方法

第二课时集合的表示方法课标要求 1.掌握集合的两种表示方法：列举法和描述法.2.掌握用区间表示数集.3.能够运用集合的两种表示方法表示一些简单集合.素养要求通过学习集合的两种表示方法表示一些简单集合，提升学生的数学抽象和直观想象素养.一、列举法1.思考观察下列集合：(1)中国古代四大发明组成的集合；(2)20的所有正因数组成的集合.上述两个集合中的元素能一一列举出来吗？如何表示上述两个集合？提示能一一列出.(1)中的集合可表示为：{造纸术、印刷术、指南针、火药}；(2)中的集合可表示为：{1，2，4，5，10，20}.2.填空(1)定义：把集合中的元素一一列举出来(相邻元素之间用逗号分隔)，并写在大括号内，以此来表示集合的方法称为列举法.(2)使用说明①用列举法表示集合时，一般不考虑元素的顺序.②如果一个集合的元素较多，且能够按照一定的规律排列，那么在不致于发生误解的情况下，可按照规律列出几个元素作为代表，其他元素用省略号表示.③无限集有时也可用列举法表示.温馨提醒(1)列举法对有限集情有独钟，自然数集、整数集也可用列举法来表示，但不能用来表示实数集.(2)a与{a}的区别与联系：a表示一个元素，{a}表示一个集合，a∈{a}.同样∅∈{∅}，0∈{0}.3.做一做判断正误(1)用1，1，2，3组成的集合可用列举法表示为{1，1，2，3}.(×)(2)集合{(1，2)}中的元素是1和2. (×)提示集合{(1，2)}中的元素是(1，2).(3)不等式x－3＜2且x∈N*的解集用列举法可表示为{1，2，3，4}.(√)二、描述法1.思考观察下列集合：(1)不等式x－2≥3的解集；(2)函数y＝x2－1的图像上的所有点.这两个集合能用列举法表示吗？如何表示这两个集合？提示因为元素不能一一列出，所以不能用列举法表示.(1)中集合可表示为{x|x －2≥3}；(2)中集合可表示为{(x，y)|y＝x2－1}.2.填空(1)定义：一般地，如果属于集合A的任意一个元素x都具有性质p(x)，而不属于集合A的元素都不具有这个性质，则性质p(x)称为集合A的一个特征性质.此时，集合A可以用它的特征性质p(x)表示为{x|p(x)}.这种表示集合的方法，称为特征性质描述法，简称为描述法.(2)使用说明集合{x|p(x)}中所有在另一集合I中的元素组成的集合，可以表示为{x∈I|p(x)}. 温馨提醒描述法表示集合要关注竖线“|”左边代表元素的形式(即代表元素是什么)，是数，还是点(有序实数组).竖线“|”右边p(x)是元素的共有性质.3.做一做由大于－1小于5的自然数组成的集合用列举法表示为________，用描述法表示为________.答案{0，1，2，3，4}{x∈N|－1＜x＜5}二、区间及其表示1.思考能否用更为简洁的符号表示A＝{x|－3<x≤2}?提示可以用更加简洁的符号表示，可以用区间表示为(－3，2].这是一种新的表示方法.2.填空(1)区间：设a，b∈R，且a＜b.{x |a ≤x ≤b } 闭区间 [a ，b ] {x |a ＜x ＜b } 开区间 (a ，b ) {x |a ≤x ＜b } 半开半闭区间 [a ，b ) {x |a ＜x ≤b }半开半闭区间(a ，b ](2)无穷区间的表示定义 {x |x ≥a } {x |x ＞a } {x |x ＜a } {x |x ≤a } R 符号[a ，＋∞)(a ，＋∞)(－∞，a )(－∞，a ](－∞，＋∞)温馨提醒 “∞”是一个符号，而不是一个数.以“－∞”或“＋∞”为端点时，区间这一端必须是小括号. 3.做一做用区间表示下列集合： (1){x |－1≤x ≤2}：________； (2){x |1＜x ≤3}：________； (3){x |x ＞2}：________； (4){x |x ≤－2}：________.答案 (1)[－1，2] (2)(1，3] (3)(2，＋∞) (4)(－∞，－2]题型一列举法表示集合例1 用列举法表示下列集合. ①不大于10的非负偶数组成的集合； ②方程x 2＝x 的所有实数解组成的集合； ③直线y ＝2x ＋1与y 轴的交点所组成的集合； ④方程组⎩⎨⎧x ＋y ＝1，x －y ＝－1的解集.解 ①因为不大于10是指小于或等于10，非负是大于或等于0的意思，所以不大于10的非负偶数集是{0，2，4，6，8，10}. ②方程x 2＝x 的解是x ＝0或x ＝1，所以方程的解组成的集合为{0，1}.③由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝2x ＋1，x ＝0得交点为(0，1)，故两直线的交点组成的集合是{(0，1)}. ④解方程组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝1，x －y ＝－1得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝0，y ＝1，∴方程组的解集是{(0，1)}.思维升华用列举法表示集合应注意的两点(1)应先弄清集合中的元素是什么，是数还是点，还是其他元素.(2)若集合中的元素是点时，则应将有序实数对用小括号括起来表示一个元素. 训练1 用列举法表示下列给定的集合： (1)大于1且小于6的整数组成的集合A ； (2)方程x 2－9＝0的实数根组成的集合B ；(3)一次函数y ＝x ＋2与y ＝－2x ＋5的图像的交点组成的集合C .解 (1)因为大于1且小于6的整数包括2，3，4，5，所以A ＝{2，3，4，5}. (2)方程x 2－9＝0的实数根为－3，3，所以B ＝{－3，3}. (3)由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x ＋2，y ＝－2x ＋5得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝3，所以一次函数y ＝x ＋2与y ＝－2x ＋5的图像的交点为(1，3)，所以C ＝{(1，3)}. 题型二描述法表示集合例2 用描述法表示下列集合：(1)所有不在第一、三象限的点组成的集合； (2)所有被3除余1的整数组成的集合； (3)使y ＝1x 2＋x －6有意义的实数x 组成的集合.(4)方程(x－2)2＋(y＋3)2＝0的解集.解(1)∵不在第一、三象限的点分布在第二、四象限或坐标轴上，∴所有不在第一、三象限的点组成的集合为{(x，y)|xy≤0，x∈R，y∈R}. (2)∵被3除余1的整数可表示为3n＋1，n∈Z，∴所有被3除余1的整数组成的集合为{x|x＝3n＋1，n∈Z}.(3)要使y＝1x2＋x－6有意义.则x2＋x－6≠0.由x2＋x－6＝0，得x1＝2，x2＝－3.∴使y＝1x2＋x－6有意义的实数x组成的集合为{x∈R|x≠2且x≠－3}.(4)由(x－2)2＋(y＋3)2＝0，解得x＝2，y＝－3.∴方程的解集为{(x，y)|x＝2，y＝－3}.思维升华用描述法表示集合时应注意的四点：(1)写清楚该集合中元素的代号；(2)说明该集合中元素的性质；(3)所有描述的内容都可写在集合符号内；(4)在描述法的一般形式{x∈I|p(x)}中，“x”是集合中元素的代表形式，I是x的范围，“p(x)”是集合中元素x的共同特征，竖线不可省略.训练2 下列三个集合：①A＝{x|y＝x2＋1}；②B＝{y|y＝x2＋1}；③C＝{(x，y)|y＝x2＋1}.(1)它们是不是相同的集合？(2)它们各自的含义分别是什么？解(1)不是.(2)集合A＝{x|y＝x2＋1}的代表元素是x，且x∈R，所以{x|y＝x2＋1}＝R，即A ＝R，可以认为集合A表示函数y＝x2＋1中自变量x的取值范围；集合B＝{y|y＝x2＋1}的代表元素是y，满足条件y＝x2＋1的y的取值范围是y≥1，所以{y|y＝x2＋1}＝{y|y≥1}，可以认为集合B表示函数y＝x2＋1中因变量的取值范围.集合C＝{(x，y)|y＝x2＋1}的代表元素是(x，y)，是满足y＝x2＋1的数对，可以认为集合C是由坐标平面内满足y＝x2＋1的点(x，y)构成的.题型三区间及其表示例3 将下列集合用区间及数轴表示出来：(1){x|x＜2}；(2){x|x≥3}；(3){x|－1≤x＜5}.解(1){x|x＜2}用区间表示为(－∞，2)，用数轴表示如下：(2){x|x≥3}用区间表示为[3，＋∞)，用数轴表示如下：(3){x|－1≤x＜5}用区间表示为[－1，5)，用数轴表示如下：思维升华用区间表示数集的原则和方法(1)用区间表示数集的原则：①数集是连续的；②左小右大；③区间的开闭不能弄错.(2)用区间表示数集的方法：①区间符号里面的两个数字(或字母)之间用“，”隔开；②用数轴表示区间时，要特别注意实心点与空心点的区别.训练3 (1)不等式x －2≥0的所有解组成的集合表示成区间是( ) A.(2，＋∞) B.[2，＋∞) C.(－∞，2)D.(－∞，2](2)若[a ，3a －1]为一确定区间，则a 的取值范围为________. 答案 (1)B (2)⎝ ⎛⎭⎪⎫12，＋∞解析 (1)不等式x －2≥0的所有解组成的集合为{x |x ≥2}，表示成区间为[2，＋∞).(2)由区间的定义可知3a －1＞a ，即a ＞12. 题型四集合表示方法的综合应用例4 已知集合A ＝{x |kx 2－8x ＋16＝0}，若集合A 中只有一个元素，求实数k 的值组成的集合.解 ①当k ＝0时，方程kx 2－8x ＋16＝0变为－8x ＋16＝0，解得x ＝2，满足题意；②当k ≠0时，要使集合A ＝{x |kx 2－8x ＋16＝0}中只有一个元素，则方程kx 2－8x ＋16＝0有两个相等的实数根，所以Δ＝64－64k ＝0，解得k ＝1，此时集合A ＝{4}，满足题意.综上所述，k ＝0或k ＝1，故实数k 的值组成的集合为{0，1}.思维升华 (1)若已知集合是用描述法给出的，读懂集合的代表元素及其属性是解题的关键，如本例集合A 中的元素就是所给方程的根，由此便把集合的元素个数问题转化为方程的根的个数问题.(2)在学习过程中要注意数学素养的培养，如本例中用到了等价转化思想和分类讨论的思想.训练4 (1)本例若将条件“只有一个元素”改为“有两个元素”，其他条件不变，求实数k 的值组成的集合.(2)本例若将条件中“集合A 中只有一个元素”改为“A 为空集”，其他条件不变，求实数k 的值组成的集合.解 (1)由题意可知，方程kx 2－8x ＋16＝0有两个不等实根，故k ≠0，且Δ＝64－64k >0，即k <1，且k ≠0. 所以实数k 的值组成的集合为{k |k <1，且k ≠0}. (2)由题意可知，方程kx 2－8x ＋16＝0无解，故⎩⎪⎨⎪⎧k ≠0，Δ＝64－64k <0，即k >1，所以实数k 的值组成的集合为{k |k >1}. [课堂小结]用自然语言、列举法和描述法表示集合时各自的特点(1)自然语言是最基本的语言形式，适用范围广泛，但是具有多义性，有时难于表达；(2)列举法直观、明了，但有局限性，多适用于元素个数较少的有限集； (3)描述法具有抽象概括、普遍性的特点，适用于性质明显的有限集或无限集.一、基础达标1.用列举法表示集合{x |x 2－2x －3＝0}为( ) A.{－1，3} B.{(－1，3)} C.{x ＝1} D.{x 2－2x －3＝0}答案 A2.下列集合中不同于另外三个集合的是( ) A.{x |x ＝1} B.{x |x 2＝1} C.{1} D.{y |(y －1)2＝0} 答案 B解析 {x |x 2＝1}＝{－1，1}，另外三个集合都是{1}，故选B.3.集合⎩⎨⎧⎭⎬⎫3，52，73，94，…用描述法可表示为( )A.⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x ＝2n ＋12n ，n ∈N *B.⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x ＝2n ＋3n ，n ∈N *C.⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x ＝2n －1n ，n ∈N *D.⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x ＝2n ＋1n ，n ∈N * 答案 D解析由3，52，73，94，…，即31，52，73，94，…，从中发现规律，x ＝2n ＋1n ，n ∈N *，故可用描述法表示为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪x ＝2n ＋1n ，n ∈N *.4.(多选)方程组⎩⎨⎧x ＋y ＝3，x －y ＝－1的解集可以表示为( )A.⎩⎨⎧⎭⎬⎫（x ，y ）⎪⎪⎪⎩⎨⎧x ＋y ＝3，x －y ＝－1 B.⎩⎨⎧⎭⎬⎫（x ，y ）⎪⎪⎪⎩⎨⎧x ＝1，y ＝2 C.{1，2}D.{(x ，y )|x ＝1，y ＝2} 答案 ABD解析原方程组的解为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝2，其解集中只含有一个元素，故选ABD.5.设集合A ＝{1，2，3}，B ＝{4，5}，M ＝{x |x ＝a ＋b ，a ∈A ，b ∈B }，则M 中元素的个数为( ) A.3 B.4 C.5 D.6答案 B解析 1，2，3与4，5分别相加可得5，6，6，7，7，8，根据集合中元素的互异性可得集合M 中有4个元素.6.能被2整除的正整数的集合，用描述法可表示为________________. 答案 {x |x ＝2n ，n ∈N ＋}解析正整数中所有的偶数均能被2整除.7.若[2a ＋1，3a －1]为一确定区间，则实数a 的取值范围为________. 答案 (2，＋∞)解析由题意知3a －1＞2a ＋1，即a ＞2.8.已知－5∈{x |x 2－ax －5＝0}，则集合{x |x 2－4x －a ＝0}中所有元素之和为________. 答案 2解析由－5∈{x |x 2－ax －5＝0}，得(－5)2－a ×(－5)－5＝0，∴a ＝－4，∴{x |x 2－4x ＋4＝0}＝{2}，∴集合中所有元素之和为2. 9.用适当的方法表示下列集合： (1)方程组⎩⎨⎧2x －3y ＝14，3x ＋2y ＝8的解集；(2)方程x 2－2x ＋1＝0的实数根组成的集合； (3)平面直角坐标系内所有第二象限的点组成的集合；(4)二次函数y ＝x 2＋2x －10的图像上所有点的纵坐标组成的集合. 解 (1)解方程组⎩⎪⎨⎪⎧2x －3y ＝14，3x ＋2y ＝8，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4，y ＝－2，故解集可用描述法表示为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫（x ，y ）|⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4，y ＝－2，也可用列举法表示为{(4，－2)}.(2)方程x 2－2x ＋1＝0的实数根为1，因此可用列举法表示为{1}，也可用描述法表示为{x ∈R |x 2－2x ＋1＝0}.(3)集合的代表元素是点，可用描述法表示为{(x ，y )|x <0，且y >0}.(4)二次函数y ＝x 2＋2x －10的图像上所有点的纵坐标组成的集合中，代表元素为y ，故可用描述法表示为{y |y ＝x 2＋2x －10}.10.已知集合A ＝{a ＋3，(a ＋1)2，a 2＋2a ＋2}，若1∈A ，求实数a 的值.解 ①若a ＋3＝1，则a ＝－2，此时A ＝{1，1，2}，不符合集合中元素的互异性，舍去.②若(a ＋1)2＝1，则a ＝0或a ＝－2.当a ＝0时，A ＝{3，1，2}，满足题意；当a ＝－2时，由①知不符合条件，故舍去.③若a 2＋2a ＋2＝1，则a ＝－1，此时A ＝{2，0，1}，满足题意.综上所述，实数a 的值为－1或0.二、能力提升11.(多选)给出下列说法，其中不正确的是( )A.集合{x ∈N |x 3＝x }用列举法表示为{－1，0，1}B.实数集可以表示为{x |x 为所有实数}或{R }C.方程组⎩⎨⎧x ＋y ＝3，x －y ＝－1的解组成的集合为{x ＝1，y ＝2} D.方程(x －2)2＋(y ＋3)2＝0的所有解组成的集合为{(2，－3)}答案 ABC解析对于A ，由x 3＝x ，即x (x 2－1)＝0，得x ＝0或x ＝1或x ＝－1.因为－1∉N ，所以集合{x ∈N |x 3＝x }用列举法表示应为{0，1}.对于B ，集合表示中的符号“{ }”已包含“所有”“全体”等含义，而符号“R ”已表示所有的实数构成的集合，所以实数集正确的表示应为{x |x 为实数}或R .对于C ，方程组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝3，x －y ＝－1的解是有序实数对，而集合{x ＝1，y ＝2}表示两个等式组成的集合，方程组的解组成的集合正确的表示应为{(1，2)}或⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫（x ，y ）|⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1y ＝2. 对于D ，由(x －2)2＋(y ＋3)2＝0，得x －2＝0，y ＋3＝0，解得x ＝2，y ＝－3，故集合为{(2，－3)}.12.已知集合A ＝{－1，0，1}，集合B ＝{y |y ＝|x |，x ∈A }，则B ＝________. 答案 {0，1}解析 ∵x ∈A ，∴当x ＝－1时，y ＝|x |＝1；当x ＝0时，y ＝|x |＝0；当x ＝1时，y ＝|x |＝1.∴B ＝{0，1}.13.设集合B ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ∈N |62＋x ∈N . (1)试判断元素1和2与集合B 的关系；(2)用列举法表示集合B .解 (1)当x ＝1时，62＋1＝2∈N ；当x ＝2时，62＋2＝32∉N ，所以1∈B ，2∉B .(2)因为62＋x∈N ，x ∈N ，所以2＋x 只能取2，3，6，相应的x 只能取0，1，4，所以B ＝{0，1，4}.三、创新拓展14.若一数集的任一元素的倒数仍在该集合中，则称该数集为可倒数集，则集合A ＝{－1，1，2}________(填“是”或“不是”)可倒数集.试写出一个含三个元素的可倒数集________(答案不唯一).答案不是 ⎩⎨⎧⎭⎬⎫1，2，12 解析由于2的倒数12不在集合A 中，故集合A 不是可倒数集.若一个元素a ∈A ，则1a ∈A .若集合中有三个元素，故必有一个元素a ＝1a ，即a ＝±1，故可取的集合有⎩⎨⎧⎭⎬⎫1，2，12，⎩⎨⎧⎭⎬⎫－1，3，13等.。

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2019新版高中数学教材目录（人教B）（必修四册，选修三册）必修一目录第一章集合与常用逻辑用语1.1 集合1.1.1 集合及其表示方法 (3)1.1.2 集合的基本关系 (9)1.1.3 集合的基本算 (14)1.2 常用逻辑用语1.2.1 命题与量词 (22)1.2.2 全称量词命题与存在量词命题的否定 (27)1.2.3 充分条件、必要条件 (30)本章小结 (37)第二章等式与不等式2.1等式2.1.1 等式的性质与方程的解集 (43)2.1.2 一元二次方程的解集及其根与系数的关系 (47)2.1.3 方程组的解集 (51)2.2 不等式2.2.1 不等式及其性质 (58)2.2.2 不等式的解集 (64)2.2.3 一元二次不等式的解法 (68)2.2.4 均值不等式及其应用 (72)本章小结 (79)第三章函数3.1 函数的概念与性质3.1.1 函数及其表示方法 (85)3.1.2 函数的单调性 (95)3.1.3 函数的奇偶性 (104)3.2 函数与方程、不等式之间的关系 (112)3.3 函数的应用(一) (121)3.4 数学建模活动：决定苹果的最佳出售时间点..125本章小结 (131)必修二目录第四章指数函数、对数函数与幂函数4.1 指数与指数函数4.1.1 实数指数幂及其运算 (3)4.1.2 指数函数的性质与图像 (9)4.2 对数与对数函数4.2.1 对数运算 (15)4.2.2 对数运算法则 (20)4.2.3 对数函数的性质与图像 (24)4.3 指数函数与对数函数的关系 (30)4.4 幂函数 (33)4.5 增长速度的比较 (38)4.6 函数的应用(二) (42)4.7 数学建模活动：生长规律的描述 (46)本章小结 (50)第五章统计与概率5.1 统计5.1.1 数据的收集 (55)5.1.2 数据的数字特征 (61)5.1.3 数据的直观表示 (68)5.1.4 用样本估计总体 (77)5.2 数学探究活动：由编号样本估计总数及其模拟 (90)5.3 概率5.3.1 样本空间与事件 (93)5.3.2 事件之间的关系与运算 (98)5.3.3 古典概型 (102)5.3.4 频率与概率 (108)5.3.5 随机事件的独立性 (114)5.4 统计与概率的应用 (119)本章小结 (126)第六章平面向量初步6.1 平面向量及其线性运算6.1.1 向量的概念 (133)6.1.2 向量的加法 (137)6.1.3 向量的减法 (142)6.1.4数乘向量 (145)6.1.5 向量的线性运算 (147)6.2 向量基本定理与向量的坐标6.2.1 向量基本定理 (152)6.2.2 直线上向量的坐标及其运算 (157)6.2.3 平面向量的坐标及其运算 (160)6.3 平面向量线性运算的应用 (168)必修三目录第七章三角函数7.1 任意角的概念与弧度制7.1.1 角的推广 (3)7.1.2 弧度制及其与角度制的换算 (8)7.2 任意角的三角函数7.2.1 三角函数的定义 (14)7.2.2 单位圆与三角函数线 (18)7.2.3 同角三角函数的基本关系式 (22)7.2.4诱导公式 (27)7.3 三角函数的性质与图像7.3.1 正弦函数的性质与图像 (36)7.3.2 正弦型函数的性质与图像 (43)7.3.3 余弦函数的性质与图像 (50)7.3.4 正切函数的性质与图像 (54)7.3.5 已知三角函数值求角 (57)7.4 数学建模活动：周期现象的描述 (64)本章小结 (66)第八章向量的数量积与三角恒等变换8.1 向量的数量积8.1.1 向量数量积的概念 (71)8.1.2 向量数量积的运算律 (76)8.1.3 向量数量积的坐标运算 (81)8.2 三角恒等变换8.2.1 两角和与差的余弦 (87)8.2.2 两角和与差的正弦、正切 (90)8.2.3 倍角公式 (96)8.2.4 三角恒等变换的应用 (99)本章小结 (107)必修四目录第九章解三角形9.1 正弦定理与余弦定理9.1.1 正弦定理 (3)9.1.2 余弦定理 (8)9.2 正弦定理与余弦定理的应用 (13)9.3 数学探究活动：得到不可达两点之间的距离 (17)本章小结 (19)第十章复数10.1 复数及其几何意义10.1.1 复数的概念 (25)10.1.2 复数的几何意义 (29)10.2 复数的运算10.2.1 复数的加法与减法 (33)10.2.2 复数的乘法与除法 (36)10.3 复数的三角形式及其运算 (43)本章小结 (50)第十一章立体几何初步11.1 空间几何体11.1.1 空间几何体与斜二测画法 (55)11.1.2 构成空间几何体的基本元素 (60)11.1.3 多面体与棱柱 (66)11.1.4 棱锥与棱台 (72)11.1.5 旋转体 (76)11.1.6 祖暅原理与几何体的体积 (82)11.2 平面的基本事实与推论 (91)11.3 空间中的平行关系11.3.1 平行直线与异面直线 (96)11.3.2 直线与平面平行 (100)11.3.3 平面与平面平行 (103)11.4 空间中的垂直关系11.4.1 直线与平面垂直 (110)11.4.2平面与平面垂直 (116)本章小结 (123)选择性必修第一册目录第一章空间向量与立体几何1.1 空间向量及其算 (3)1.1.1 空间向量及其运算 (3)1.1.2 空间向量基本定理 (12)1.1.3 空间向量的坐标与空间直角坐标系 (17)1.2 空间向量在立体几何中的应用 (29)1.2.1空间中的点、直线与空间向量 (29)1.2.2 空间中的平面与空间向量 (37)1.2.3直线与平面的夹角 (42)1.2.4 二面角 (47)1.2.5 空间中的距离 (52)本章小结 (61)第二章平面解析几何2.1坐标法 (67)2.2 直线及其方程 (71)2.2.1直线的倾斜角与斜率 (71)2.2.2 直线的方程 (78)2.2.3两条直线的位置关系 (86)2.2.4点到直线的距离 (92)2.3圆及其方程 (98)2.3.1圆的标准方程 (98)2.3.2圆的一般方程 (102)2.3.3直线与圆的位置关系 (105)2.3.4 圆与圆的位置关系 (111)2.4曲线与方程 (117)2.5 椭圆及其方程 (123)2.5.1椭圆的标准方程 (123)2.5.2椭圆的几何性质 (129)2.6双曲线及其方程 (137)2.6.1双曲线的标准方程 (137)2.6.2双曲线的几何性质 (142)2.7抛物线及其方程 (150)2.7.1抛物线的标准方程 (150)2.7.2抛物线的几何性质 (154)2.8 直线与圆锥曲线的位置关系 (160)第三章排列、组合与二项式定理3.1 排列与组合 (3)3.1.1 基本计数原理 (3)3.1.2排列与排列数 (9)3.1.3 组合与组合数 (15)3.2 数学探究活动:生日悖论的解释与模拟 (26)3.3 二项式定理与杨辉三角 (29)第四章概率与统计 (39)4.1条件概率与事件的独立性 (41)4.1.1 条件概率 (41)4.1.2 乘法公式与全概率公式 (45)4.1.3 独立性与条件概率的关系 (55)4.2随机变量 (61)4.2.1随机变量及其与事件的联系 (61)4.2.2 离散型随机变量的分布列 (66)4.2.3 二项分布与超几何分布 (71)4.2.4随机变量的数字特征 (80)4.2.5 正态分布 (87)4.3统计模型 (97)4.3.1 -元线性回归模型 (97)4.3.2 独立性检验 (112)4.4 数学探究活动:了解高考选考科目的确定是否与性别有关 (120)本章小结 (122)第五章数列5.1 数列基础 (3)5.1.1 数列的概念 (3)5.1.2 数列中的递推 (9)5.2 等差数列 (16)5.2.1 等差数列 (16)5.2.2 等差数列的前n项和 (22)5.3 等比数列 (28)5.3.1 等比数列 (28)5.3.2 等比数列的前n项和 (36)5.4 数列的应用 (43)5.5 数学归纳法 (50)第六章导数及其应用6.1 导数 (61)6.1.1 函数的平均变化率 (61)6.1.2 导数及其几何意义 (66)6.1.3 基本初等函数的导数 (73)6.1.4 求导法则及其应用 (79)6.2 利用导数研究函数的性质 (88)6.2.1导数与函数的单调性 (88)6.2.2 导数与函数的极值、最值 (92)6.3 利用导数解决实际问题 (98)6.4 数学建模活动:描述体重与脉搏率的关系 (104)本章小结 (106)。