2014-2015学年辽宁省沈阳市高一上学期期末数学试卷和解析

2014-2015学年辽宁省沈阳市高一（上）期末数学试卷一、选择题（本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．（5.00分）已知集合A={0，1}，B={1，2}，则A∪B=（）A．∅B．{1}C．{0，2}D．{0，1，2}2．（5.00分）已知函数f（x）的对应关系如表所示，则f[f（5）]的值为（）A．1 B．2 C．4 D．53．（5.00分）在空间直角坐标系Oxyz中，点A（﹣3，﹣4，5）关于平面xOz的对称点的坐标为（）A．（3，﹣4，5）B．（﹣3，﹣4，﹣5）C．（3，﹣4，﹣5） D．（﹣3，4，5）4．（5.00分）过点A（2，﹣4）且与直线2x﹣y+3=0平行的直线方程为（）A．x+2y﹣8=0 B．2x﹣y﹣8=0 C．x+2y﹣4=0 D．2x﹣y=05．（5.00分）函数f（x）=3x+x﹣3的零点所在的区间是（）A．（﹣2，﹣1）B．（﹣1，0）C．（0，1） D．（1，2）6．（5.00分）圆C1：x2+y2+4x+4y+4=0与圆C2：x2+y2﹣4x﹣2y﹣4=0公切线条数为（）A．1 B．2 C．3 D．47．（5.00分）由函数y=lg（1﹣2x）的图象得到函数y=lg（3﹣2x）的图象，只需要（）A．向左平移1个单位B．向右平移1个单位C．向左平移2个单位D．向右平移2个单位8．（5.00分）如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某多面体的三视图，则该多面体的表面积是（）A．42+6B．30+6C．66 D．449．（5.00分）已知幂函数f（x）=（m∈Z）在区间（0，+∞）上是单调增函数，且y=f（x）的图象关于y轴对称，则f（﹣2）的值为（）A．16 B．8 C．﹣16 D．﹣810．（5.00分）已知m、n是两条不同的直线，α、β是两个不同的平面，则下列命题正确的是（）A．若m∥n，m∥α且n∥β，则α∥B．若m⊥n，m∥α且n∥β，则α⊥C．若m∥α且n⊥m，则n⊥D．若m⊥n，m⊥α且n⊥β，则α⊥β11．（5.00分）已知f（x）是定义在R上的奇函数，当x≥0时，f（x）=x2+2x，若f（2﹣a2）＞f（a），则实数a的取值范围是（）A．（﹣∞，﹣1）∪（2，+∞）B．（﹣2，1）C．（﹣1，2）D．（﹣∞，﹣2）∪（1，+∞）12．（5.00分）对于平面直角坐标系中任意两点P（x1，y1），Q（x2，y2），我们将|x1﹣x2|+|y1﹣y2|定义为PQ两点的“耿直距离”．已知A（0，0），B（3，1），C （4，4），D（1，3），设M（x，y）是平面直角坐标系中的一个动点．若使得点M到A、B、C、D的“耿直距离”之和取得最小值，则点M应位于下列哪个图中的阴影区域之内．（）A．B．C．D．二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在答题纸上）13．（5.00分）若=，则x=．14．（5.00分）若直线（m+2）x+3my+1=0与直线（m﹣2）x+（m+2）y﹣3=0互相垂直，则m的值为．15．（5.00分）已知一个球与一个正三棱柱的三个侧面和两个底面都相切，这个球的表面积是4π，则这个三棱柱的体积是．16．（5.00分）已知f（x）=在区间（m2﹣4m，2m﹣2）上能取得最大值，则实数m的取值范围为．三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17．（10.00分）已知函数f（x）=的定义域为A，B={y|y=（）x，﹣4≤x≤0}．（Ⅰ）求A∩B；（Ⅱ）若C={x|m﹣6≤x≤4m}且B⊆C，求m的取值范围．18．（12.00分）已知直线l：3x+4y+3=0和圆C：x2+y2﹣2x﹣2y+1=0．（Ⅰ）判断直线l与圆C的位置关系；（Ⅱ）若P是直线l上的动点，PA是圆C的一条切线，A是切点，求三角形PAC 的面积S的最小值．19．（12.00分）如图，在三棱锥A﹣BCD中，AB=AC，BC=CD，∠BCD=60°．（Ⅰ）求证：AD⊥BC；（Ⅱ）再若AB=CB=4，AD=2，求三棱锥A﹣BCD的体积．20．（12.00分）提高五爱隧道的车辆通行能力可改善附近路段高峰期间的交通状况，现将隧道内的车流速度记作υ（单位：千米/小时），车流密度记作x（单位：辆/千米）．研究表明：当隧道内的车流密度达到180辆/千米时，会造成该路段道路堵塞，此时车流速度为0千米/小时；当车流密度不超过30辆/千米时，车流速度为50千米/小时；当30≤x≤180时，车流速度υ是车流密度x的一次函数．（Ⅰ）当0＜x≤180时，求函数υ（x）的表达式；（Ⅱ）当车流密度x为多少时，车流量（单位时间内通过隧道内某观测点的车辆数，单位：辆/小时）f（x）=x•υ（x）可以达到最大，并求出最大值．21．（12.00分）如图所示，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，D、M、N分别是AB、AA1、BC1的中点．（Ⅰ）求证：MN∥平面ABC；（Ⅱ）再若AC=BC，BB1=AB，试在BB1上找一点F，使A1B⊥平面CDF，并证明你的结论．22．（12.00分）已知圆M的圆心在x轴上，半径为1，直线l：y=3x﹣1被圆M 所截得的弦长为，且圆心M在直线l的下方．（Ⅰ）求圆M的方程；（Ⅱ）设A（0，t），B（0，t+4）（﹣3≤t≤﹣1），过A，B两点分别做圆M的一条切线，相交于点C，求由此得到的△ABC的面积S的最大值和最小值．2014-2015学年辽宁省沈阳市高一（上）期末数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．（5.00分）已知集合A={0，1}，B={1，2}，则A∪B=（）A．∅B．{1}C．{0，2}D．{0，1，2}【解答】解：集合A={0，1}，B={1，2}，则A∪B={0，1，2}．故选：D．2．（5.00分）已知函数f（x）的对应关系如表所示，则f[f（5）]的值为（）A．1 B．2 C．4 D．5【解答】解：由表格可知：f（5）=2，f[f（5）]=f（2）=4．故选：C．3．（5.00分）在空间直角坐标系Oxyz中，点A（﹣3，﹣4，5）关于平面xOz的对称点的坐标为（）A．（3，﹣4，5）B．（﹣3，﹣4，﹣5）C．（3，﹣4，﹣5） D．（﹣3，4，5）【解答】解：空间直角坐标系O﹣xyz中，点A（﹣3，﹣4，5）关于平面xOz的对称点的坐标是（﹣3，4，5）．故选：D．4．（5.00分）过点A（2，﹣4）且与直线2x﹣y+3=0平行的直线方程为（）A．x+2y﹣8=0 B．2x﹣y﹣8=0 C．x+2y﹣4=0 D．2x﹣y=0【解答】解：与直线2x﹣y+3=0平行的直线的斜率为：2，所求直线方程为：y+4=2（x﹣2）．即2x﹣y﹣8=0．故选：B．5．（5.00分）函数f（x）=3x+x﹣3的零点所在的区间是（）A．（﹣2，﹣1）B．（﹣1，0）C．（0，1） D．（1，2）【解答】解：易知函数f（x）=3x+x﹣3在R上是增函数且连续，f（0）=1+0﹣3＜0，f（1）=3+1﹣3＞0；故函数f（x）=3x+x﹣3的零点所在的区间是（0，1）；故选：C．6．（5.00分）圆C1：x2+y2+4x+4y+4=0与圆C2：x2+y2﹣4x﹣2y﹣4=0公切线条数为（）A．1 B．2 C．3 D．4【解答】解：∵圆C1：x2+y2+4x+4y+4=0的圆心C1（﹣2，﹣2），半径r1=2，圆C2：x2+y2﹣4x﹣2y﹣4=0的圆心C2（2，1），半径r2=3，|C1C2|==5，∵|C1C2|=r1+r2，∴圆C1：x2+y2+4x﹣4y+4=0与圆C2：x2+y2﹣4x﹣10y+13=0相外切，∴圆C1：x2+y2+4x+4y+4=0与圆C2：x2+y2﹣4x﹣2y﹣4=0公切线条数为3条．故选：C．7．（5.00分）由函数y=lg（1﹣2x）的图象得到函数y=lg（3﹣2x）的图象，只需要（）A．向左平移1个单位B．向右平移1个单位C．向左平移2个单位D．向右平移2个单位【解答】解：函数y=lg（1﹣2x）的图象向右平1个单位可得函数y=lg[1﹣2（x ﹣1）]=lg（3﹣2x）．故选：B．8．（5.00分）如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某多面体的三视图，则该多面体的表面积是（）A．42+6B．30+6C．66 D．44【解答】解：由三视图可得多面体的底面是侧视图，高为3的四棱柱，所以该多面体的表面积是+2×3+4×3+3××2=42+6，故选：A．9．（5.00分）已知幂函数f（x）=（m∈Z）在区间（0，+∞）上是单调增函数，且y=f（x）的图象关于y轴对称，则f（﹣2）的值为（）A．16 B．8 C．﹣16 D．﹣8【解答】解：∵幂函数f（x）=（m∈Z）的图象关于y轴对称，∴函数f（x）=（m∈Z）是偶函数，又∵幂函数f（x）=（m∈Z）在（0，+∞）上为增函数，∴﹣m2+2m+3是偶数且﹣m2+2m+3＞0，∵m∈N*，∴m=1，∴幂函数f（x）=x4，f（﹣2）=16．故选：A．10．（5.00分）已知m、n是两条不同的直线，α、β是两个不同的平面，则下列命题正确的是（）A．若m∥n，m∥α且n∥β，则α∥B．若m⊥n，m∥α且n∥β，则α⊥C．若m∥α且n⊥m，则n⊥D．若m⊥n，m⊥α且n⊥β，则α⊥β【解答】解：A．若m∥n，m∥α且n∥β，则α∥β或α与β相交．故A错误，B．若m⊥n，m∥α且n∥β，则α⊥β或α与β相交．故B错误，C．若m∥α且n⊥m，则n⊥α或n∥α或n⊂α，故C错误，D．若m⊥n，m⊥α，则n∥α或n⊂α，若n⊥β，则α⊥β，故D正确，故选：D．11．（5.00分）已知f（x）是定义在R上的奇函数，当x≥0时，f（x）=x2+2x，若f（2﹣a2）＞f（a），则实数a的取值范围是（）A．（﹣∞，﹣1）∪（2，+∞）B．（﹣2，1）C．（﹣1，2）D．（﹣∞，﹣2）∪（1，+∞）【解答】解：∵f（x）=x2+2x=（x+1）2﹣1在（0，+∞）上单调递增又∵f（x）是定义在R上的奇函数根据奇函数的对称区间上的单调性可知，f（x）在（﹣∞，0）上单调递增∴f（x）在R上单调递增∵f（2﹣a2）＞f（a）∴2﹣a2＞a解不等式可得，﹣2＜a＜1故选：B．12．（5.00分）对于平面直角坐标系中任意两点P（x1，y1），Q（x2，y2），我们将|x1﹣x2|+|y1﹣y2|定义为PQ两点的“耿直距离”．已知A（0，0），B（3，1），C （4，4），D（1，3），设M（x，y）是平面直角坐标系中的一个动点．若使得点M到A、B、C、D的“耿直距离”之和取得最小值，则点M应位于下列哪个图中的阴影区域之内．（）A．B．C．D．【解答】解：由题意可知M（2，2）满足椭圆，点M到A、B、C、D的“耿直距离”之和为：12．当M（1，1）时，点M到A、B、C、D的“耿直距离”之和为12．排除C，当M（0，0）时，点M到A、B、C、D的“耿直距离”之和为16．排除A，当M（1，3）时，点M到A、B、C、D的“耿直距离”之和为12．排除D，故选：B．二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在答题纸上）13．（5.00分）若=，则x=．【解答】解：∵=，∴=2﹣3，∴log3x=﹣3，∴x=3﹣3=，故答案为：．14．（5.00分）若直线（m+2）x+3my+1=0与直线（m﹣2）x+（m+2）y﹣3=0互相垂直，则m的值为或﹣2．．【解答】解：∵直线（m+2）x+3my+1=0与直线（m﹣2）x+（m+2）y﹣3=0互相垂直，∴（m+2）（m﹣2）+3m（m+2）=0，即（m+2）（m﹣2+3m）=0，解得m=或﹣2故答案为：或﹣215．（5.00分）已知一个球与一个正三棱柱的三个侧面和两个底面都相切，这个球的表面积是4π，则这个三棱柱的体积是．【解答】解：如图所示，设球心为O，上下底面的中心分别为O1，O2，球O与三个侧面相切的切点分别A，B，C．设球的半径为R，∵球的表面积是4π，∴4πR2=4π，解得R=1．∴O1O2=2，为三棱柱的高．在等边三角形中，由OA=OB=OC=1，可得AB==，可得三棱柱的底面边长=．∴三棱柱的底面面积S==3．∴这个三棱柱的体积=S•O1O2=6．故答案为：6．16．（5.00分）已知f（x）=在区间（m2﹣4m，2m﹣2）上能取得最大值，则实数m的取值范围为（1，3] ．【解答】解：作函数f（x）=的图象如下，结合图象可知，；解得，1＜m≤3；故实数m的取值范围为（1，3]；故答案为：（1，3]．三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17．（10.00分）已知函数f（x）=的定义域为A，B={y|y=（）x，﹣4≤x≤0}．（Ⅰ）求A∩B；（Ⅱ）若C={x|m﹣6≤x≤4m}且B⊆C，求m的取值范围．【解答】解：（Ⅰ）由题意得，log2（x﹣1）≥0，故x≥2；故A=[2，+∞），∵﹣4≤x≤0，∴1≤（）x≤16，故B=[1，16]，故A∩B=[2，16]；（Ⅱ）∵C={x|m﹣6≤x≤4m}，B=[1，16]，且B⊆C，∴，解得，4≤m≤7．18．（12.00分）已知直线l：3x+4y+3=0和圆C：x2+y2﹣2x﹣2y+1=0．（Ⅰ）判断直线l与圆C的位置关系；（Ⅱ）若P是直线l上的动点，PA是圆C的一条切线，A是切点，求三角形PAC 的面积S的最小值．【解答】解：圆C：x2+y2﹣2x﹣2y+1=0化为标注方程为：（x﹣1）2+（y﹣1）2=1，圆心坐标为C（1，1），半径为r=1（I）∵圆心C（1，1）到直线l：3x+4y+3=0的距离为d==2＞r∴直线l与圆相离；（II）由切线的性质可知，PA⊥AC，且AC=1∴当PC⊥l时，PC取得最小值2∴PA的最小值为===此时，△PAC面积取得最小值S△PAC19．（12.00分）如图，在三棱锥A﹣BCD中，AB=AC，BC=CD，∠BCD=60°．（Ⅰ）求证：AD⊥BC；（Ⅱ）再若AB=CB=4，AD=2，求三棱锥A﹣BCD的体积．【解答】（I）证明：如图所示，取BC的中点O，连接OD，AD．∵BC=CD，∠BCD=60°．∴△BCD是正三角形，∴OD⊥BC，又∵AB=AC，∴OA⊥BC．∵OA∩OD=O，∴BC⊥平面OAD．∴AD⊥BC．（II）解：又AB=CB=4，AB=AC，∴△ABC是正三角形，∵△BCD是正三角形，∴OA=OD=2，∴△OAD是正三角形，==3．∴S△OAD∴三棱锥A﹣BCD的体积V===4．20．（12.00分）提高五爱隧道的车辆通行能力可改善附近路段高峰期间的交通状况，现将隧道内的车流速度记作υ（单位：千米/小时），车流密度记作x（单位：辆/千米）．研究表明：当隧道内的车流密度达到180辆/千米时，会造成该路段道路堵塞，此时车流速度为0千米/小时；当车流密度不超过30辆/千米时，车流速度为50千米/小时；当30≤x≤180时，车流速度υ是车流密度x的一次函数．（Ⅰ）当0＜x≤180时，求函数υ（x）的表达式；（Ⅱ）当车流密度x为多少时，车流量（单位时间内通过隧道内某观测点的车辆数，单位：辆/小时）f（x）=x•υ（x）可以达到最大，并求出最大值．【解答】解：（Ⅰ）由题意知，当0≤x≤30时，v（x）=50；当30≤x≤180时，设v（x）=ax+b，由已知可得，解得．所以函数υ（x）=（Ⅱ）由（Ⅰ）可知f（x）=当0≤x≤30时，f（x）=50x为增函数，∴当x=30时，其最大值为1500．当30≤x≤180时，f（x）=﹣x2+60x=﹣（x﹣90）2+2700，当x=90时，其最大值为2700，综上，当车流密度为90辆/千米时，车流量最大，最大值为2700辆．21．（12.00分）如图所示，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，D、M、N分别是AB、AA1、BC1的中点．（Ⅰ）求证：MN∥平面ABC；（Ⅱ）再若AC=BC，BB1=AB，试在BB1上找一点F，使A1B⊥平面CDF，并证明你的结论．【解答】解：（Ⅰ）证明：连接A1H（H为B1C1的中点），由M、N分别为AA1、BC1的中点可得，MN∥A1H，又∵A1H⊂平面A1B1C1，MN⊄平面A1B1C1，∴MN∥平面A1B1C1．∴由ABC﹣A1B1C1是直三棱柱，从而有MN∥平面ABC；（Ⅱ）解：作DE⊥A1B交A1B于E，延长DE交BB1于F，连接CF，则A1B⊥平面CDF，点F即为所求．∵CD⊥平面AA1B1B，A1B⊂平面AA1B1B，∴CD⊥A1B．又A1B⊥DF，DF∩CD=D，∴A1B⊥平面CDF．∴此时点F为靠近B的四等分点．22．（12.00分）已知圆M的圆心在x轴上，半径为1，直线l：y=3x﹣1被圆M 所截得的弦长为，且圆心M在直线l的下方．（Ⅰ）求圆M的方程；（Ⅱ）设A（0，t），B（0，t+4）（﹣3≤t≤﹣1），过A，B两点分别做圆M的一条切线，相交于点C，求由此得到的△ABC的面积S的最大值和最小值．【解答】解：（Ⅰ）设M（a，0）由题设知，M到直线l的距离是d=，l被圆M所截得的弦长为，则2=，解得d=，由=，解得a=1或﹣，由圆心M在直线l的下方，则a=1，即所求圆M的方程为（x﹣1）2+y2=1；（Ⅱ）设过A（0，t）的切线为y=kx+t，由直线和圆相切的条件：d=r=1，可得=1，解得k=，即切线方程为y=x+t①同理可得过B的切线方程为y=x+t+4②，由①②解得交点C（，），由﹣3≤t≤﹣1，则1≤4+t≤3，t++4∈[，2]，又|AB|=4+t﹣t=4，则△ABC的面积为S=|AB|•=4=4（1﹣），由﹣3≤t≤﹣1，可得t2+4t+1=（t+2）2﹣3∈[﹣3，﹣2]，则当t=﹣2时，△ABC的面积S取得最小值，且为；当t=﹣1或﹣3时，S取得最大值，且为6．。