江西省赣州市博雅文化学校高考数学二轮专题 新题演练 线性规划

江西省赣州市博雅文化学校2016届高三数学二轮专题新题演练
线性规划
1．设变量y x ,满足约束条件⎪⎩
⎪⎨⎧-≥-≤+≥+14422
2y x y x y x ，则目标函数y x z -=3的取值范围是（ ）
A ．⎥⎦⎤⎢⎣⎡-6,23
B ．⎥⎦⎤⎢⎣⎡--1,23
C ．[]6,1-
D ．⎥⎦
⎤⎢⎣⎡-23,6
2．若变量,x y 满足约束条件28
0403x y x y +≤⎧⎪
≤≤⎨⎪≤≤⎩
，则2z x y =+的最大值等于（ ）
A ．7
B ．8
C ．10
D ．11
3．已知,x y 满足2y x x y x a ≥⎧⎪
+≤⎨⎪≥⎩
，且目标函数2z x y =+的最小值为1，则实数a 的值是（ ）
A ．1
B ．
13 C ．14 D ．18
4．已知x,y 满足03040x y x y ≤≤⎧⎪
≤≤⎨⎪-≤⎩
）
2
C.6
5．设y x ,满足约束条件⎪⎩
⎪
⎨⎧≥≥≥+-≤--0,002063y x y x y x ，若目标函数)0.0(>>+=b a by ax z 的最大值为
12，则b a 2
3+的最小值为
A ．625
B ．38
C ．311
D ．4
6．若不等式组0220x y x y y x y a
-≥⎧⎪+≤⎪
⎨≥⎪⎪+≤⎩，表示的平面区域是一个三角形区域，则a 的取值范围是（ ）
A.43a ≥
B.01a <≤
C.413a ≤≤
D.01a <≤或43
a ≥
7．由不等式组⎪⎩
⎪
⎨⎧≤--≥≤0
200
x y y x 确定的平面区域记为1Ω，不等式组⎩⎨⎧-≥+≤+21y x y x ，确定的平面
区域记为2Ω，在1Ω中随机取一点，则该点恰好在2Ω内的概率为（ ） A.
81 B.41 C.43 D.8
7 8．（5分）（2011•广东）已知平面直角坐标系xOy 上的区域D 由不等式组
给定．若
M （x ，y ）为D 上的动点，点A 的坐标为，则z=•的最大值为（ ）
A.3
B.4
C.3
D.4
9．已知实数,x y 满足40
210440x y x y x y +-≤⎧⎪
-+≥⎨⎪+-≥⎩，则3z x y =+-的取值范围是 ．
10．已知(,)M x y 为由不等式组0222x y x ⎧≤≤⎪
≤⎨⎪
≤⎩，所确定的平面区域上的动点，若点)
2,1A
，
则z OM OA =⋅u u u u r u u u r
的最大值为 ．
11．在直角坐标系xoy 中，已知点()1,1A ，()2,3B ，()3,2C ，点(),P x y 在ABC ∆三边围成的区域（含边界）上，且),(R n m AC n AB m OP ∈+=→
→
→
.
（Ⅰ）若3
1
==n m ，求→OP ；
（Ⅱ）用,x y 表示m n -，并求m n -的最小值.
12．若不等式组⎪⎩
⎪
⎨⎧≤≥++≥+-a x y x y x 0101 (其中0a >)表示的平面区域的面积是9．
（1）求a 的值；（2）求3
y
x -的最小值，及此时x 与y 的值．
13．已知集合A ＝{y|y 2
－(a 2
＋a ＋1)y ＋a(a 2
＋1)＞0}，B ＝{y|y ＝
12x 2－x ＋5
2
，0≤x≤3}． (1)若A ∩B ＝∅，求a 的取值范围；
(2)当a 取使不等式x 2
＋1≥ax 恒成立的a 的最小值时，求(∁R A)∩B.
参考答案
1．A
【解析】作出可行域，易知y
x
z-
=3在C处取得最大值且6
=
z，在B处取得最小值且2
3
-
=
z，故]
6,
2
3
[-
∈
z
2．C
【解析】作出不等式组
28
04
03
x y
x
y
+≤
⎧
⎪
≤≤
⎨
⎪≤≤
⎩
所表示的可行域如下图所示，
直线4
x=交直线28
x y
+=于点()
4,2
A，作直线:2
l z x y
=+，则z为直线l在y轴上的截距，当直线l经过可行域上的点A时，直线l在y轴上的截距最大，此时z取最大值，即max
24210
z=⨯+=，故选C．
3．B
【解析】考察2
y x
x y
x a
≥
⎧
⎪
+≤
⎨
⎪≥
⎩
表示的平面区域，平移直线20
x y
+=，为使2
z x y
=+取得最小值1，须其经过直线,
y x x a
==的交点(,)
a a，所以
1
21,,
3
a a a
+==选B．
4．B
【解析】作出可行域，22
(2)(1)
x
y
-++表示阴影部分的点与A（2，-1）的距离的最小值，易知最小值恰为A到直线y x
=的距离
2
d==
32
2
5．D
【解析】
不等式组在直角坐标系中所表示的平面区域如下图中的阴影部分所示:
由)0
.0
(>
>
+
=b
a
by
ax
z得
a z
y x
b b
=-+，当z变化时，它表示经过可行域的一组平行直线，其斜率为
a
b
-，在y轴上的截距为
z
b
，由图可知当直线经过点A时，在y轴上的截距最大，从而z也最大，所以4612
a b
+=即236
a b
+=
所以
322332149
664
66
a b a b
a b a b b a
+⎛⎫⎛⎫
+=+=+++≥
⎪ ⎪
⎝⎭⎝⎭
当且仅当
3
,1
2
a b
==时等号成
立.故选D.
6．D
【解析】根据
22
x y
x y
y
-≥
⎧
⎪+≤
⎪
⎨
≥
⎪
⎪⎩
画出平面区域（如图1所示），由于直线x y a
+=斜率为1
-，纵
截距为a
，自直线
x
y a +=经过原点起，向上平移，当01a <≤时，0220x y x y y x y a -≥⎧⎪+≤⎪
⎨≥⎪⎪+≤⎩表示的平
面区域是一个三角形区域（如图2所示）；当413a <<时，0
220x y x y y x y a -≥⎧⎪+≤⎪
⎨≥⎪⎪+≤⎩表示的平面区域是
一个四边形区域（如图3所示），当43a ≥时，0
220x y x y y x y a
-≥⎧⎪+≤⎪
⎨≥⎪⎪+≤⎩表示的平面区域是一个三角形区
域（如图1所示），故选D.
图1 图2 图3 7．D
【解析】依题意，不等式组表示的平面区域如图，易求得)2,0(A ，)0,2(-B ，)1,0(C ，
)23,21(D ，由几何概型公式知，该点落在2Ω内的概率为87222
121121222
1=⨯⨯⨯
⨯-⨯⨯=P ，故选D.
8．B
【解析】首先做出可行域，将z=•的坐标代入变为z=，即y=﹣x+z，此方程表示斜率是﹣的直线，当直线与可行域有公共点且在y轴上截距最大时，z有最大值．解：首先做出可行域，如图所示：z=•=，即y=﹣x+z
做出l0：y=﹣x，将此直线平行移动，当直线y=﹣x+z经过点B时，直线在y轴上截距最大时，z有最大值．
因为B（，2），所以z的最大值为4
故选B
9．[1,7]
【解析】平面区域如图所示：
因为0,
3x y ≥≤，所以333z x y x y x y =+-=+-=-+，即3y x z =+-，则当1
3x y =⎧⎨=⎩时，
1min z =，当4
x y =⎧⎨
=⎩时，7max z =，即z 的取值范围为[1,7]； 10．4
【解析】根据题意画出可行域如图：
cos 3cos OM OA OM OA MOA MOA ⋅=∠=∠u u u u r u u u r u u u u r u u u r u u u r
,其几何意义为向量OM u u u u r 在OA u u u r 上
的投影，当动点M 坐标为
)
2,2，所以(
))
2,12,24OM OA ⋅=
⋅
=u u u u r u u u r
，所以答案为：4．
11．（1）2=→
OP ，（2）n m -的最小值-1.
【解析】
（1）向量的坐标运算主要是利用加、减、数乘运算法则进行的.若已知有向线段两端点的的坐标，则应先求出向量的坐标，解题过程中要注意方程的思想的运用及运算法则的正确使用；（2）利用线性规划求目标函数的最值一般步骤：一画、二移、三求，其关键是准确的作出可行域，理解目标函数的意义；（3）在线性约束条件下，线性目标函数只有在可行域的顶点或者边界上取得最值.在解答选择题和填空题时可以根据可行域的顶点直接进行检验.
x
y
O
(1,3)
(4,0)
(0,1)
解（Ⅰ）→
→
→
+=AC n AB m OP )1,1()1,2(3
1
)2,1(31=+=， ∴2=
→
OP ....................5分
由()()()()n m n m n m y x n m ++=+=+=2,21,22,1,,得，
⎩⎨
⎧+=+=∴n m y n m x 22，⎪⎪⎩
⎪⎪⎨⎧
-=+-=
3232y
x n y x m ，x y n m -=- ΛΛΛ8分 设x y z -=，直线x y z -=过点()2,3B 时，z 取得最小值-1，即n m -的最小值-1分12ΛΛ
12．（1）a 的值为2；（2）3
y
x -的最小值为3-，此时2,3x y ==． 【解析】
（1）不等式组两两联立求出交点，由面积公式可直接求a 的值；（2）把3
y
x -看成点(),x y 与()3,0两点的斜率，即可求出最小值及此时x 与y 的值． （1）三个交点为()()()1,0,1,1a a a a -+--、、，因为0a >,面积为1
(1)(22)92
a a ⋅++= 所以2a = 6分 （2）
-0
3
y x -为点(),x y 与()3,0两点的斜率，由图像知(),x y 落在()2,3时，最小3-，此时2x =，3y =． 12分
13．（1）(
∪
2]
（2）{y|2≤y≤4}
【解析】A ＝{y|y ＜a 或y ＞a 2
＋1}，B ＝{y|2≤y≤4}．
(1)当A ∩B ＝∅时，214
2
a a ⎧+≥⎨≤⎩
或
.
∴a 的取值范围是(
]∪
2]． (2)由x 2
＋1≥ax，得x 2
－ax ＋1≥0，
依题意Δ＝a 2
－4≤0， ∴－2≤a≤2.
∴a的最小值为－2.
当a＝－2时，A＝{y|y＜－2或y＞5}．∴∁R A＝{y|－2≤y≤5}．
∴(∁R A)∩B＝{y|2≤y≤4}．。