量子力学4-2
量子力学4 态和表象-2qz
1
内 容
• （一）力学量算符的矩阵表示
• （二）Q 表象中力学量算符 F 的性质 • （三）Q 有连续本征值的情况
2
（一）力学量算符的矩阵表示
坐标表象：
假设只有分立本征值，将 Q表象： Φ, Ψ按{un(x)}展开：
( x , t ) a m ( t )um ( x ) m 代入 ( x , t ) bm ( t )um ( x ) m
分立谱 连续谱
算符F在Q表象仍是一个矩 阵，矩阵元由下式确定：
un * ( x )，um ( x ) an ( t )，bm ( t )
uq * ( x )，uq ( x )
aq ( t ), bq ( t )
Fqq ˆ uq * ( x )F ( x, i x )uq ( x )dx
{a m ( t )}
{bn ( t )}
坐标表象 ( x, t )
( x, t )
ˆ H ˆ F
H nm
Fnm
bn ( t )
m
Fnm a m ( t )
n 1,2,
写成矩阵形式
F 在 Q 表象中是一个矩阵， Fnm 是其矩阵元
b1 ( t ) F11 b2 ( t ) F21 bn ( t ) Fn1 F12 F22 Fn 2 F1m F2 m Fnm a1 ( t ) a2 ( t ) am (t )
简写成
F * F
17
（二）本征方程
写成矩阵形式
ˆ F ( x ) ( x )
量子力学第四章表象
第四章 表象理论4.1 态的表象变换和态的矩阵表示1．态的表象变换将F 表象中的态函数对力学量算符ˆQ 在F 表象中的本征函数组展开，则展开系数就是在Q 表象中的态函数。
这就是将F 表象中的态函数变换到Q 表象中的态函数的方法。
为了便于求出展开系数，通常要求ˆQ的本征函数组为幺正基组。
以从r 表象变换到Q 表象为例。
r 表象中的态函数为(,)r t ϕ [或()r ϕ]。
设ˆQ的本征值为分立谱Q n ，对应的本征函数为()n r φ 。
当各Q n 都无简并时，(,)r t ϕ 对()n r φ的展开式为：(,)()()n n nr t a t r ϕφ=∑（4.1-1） 若Q n 表示几个对易力学量算符本征值的集合，则上式中的n 应表示几个对应的量子数的集合。
当Q n 存在简并时，展开式为：(,)()()iiin n n r t a t r ϕφ=∑（4.1-2）其中i 为描写简并的角标。
下面只讨论无简并的情况。
在（4.1-1）式中，a n (t)是Q n 与t 的函数，a n (t)相当于a(Q n ,t)的简写。
当Q n 在整个展开系数中变动。
由于Q n 为分立谱，所以函数关系a n (t)-Q n 不是连续的。
a n (t)就是(,)r t ϕ 变换到Ｑ表象中的态函数。
例如，将r表象中的某态函数(,,)r ϕθϕ对2ˆL 与ˆzL 的共同本征函数组(,)lm Y θφ展开： 0(,,)()(,)llm lm l m lr C r Y ϕθφθϕ∞==-=∑∑ （4.1-3）上式相当于（4.1-1）式中的n 表示两个量子数lm 的集合。
上式中的()lm C r 就是在2L 与z L 共同表象中的态函数。
2．本征态的排序本征态的排序可以化为对应的本征值的排序。
若本征值无简并，则参与排序的本征值没有相同者；若本征值有简并，则参与排序的本征值有相同者，其相同本征值的个数应与该本征值的简并度相同。
量子力学 第四版 卷一(曾谨言 著) 答案----第4章-2
ˆ 的本征态下， L x = L y = 0 。（提示：利用 L y L z − Lz L y = iL x ，求平均。） 4.29 证明在 L z
证：设 ψ 是 L z 的本征态，本征值为 m ，即 L z ψ
= m ψ
∴
[L
y
, L z = L y L z − L z L y = iL x ， 1 Ψ Ly Lz Ψ i 1 = m Ψ Ly Ψ i
(
1 2 C 2 1 C1 0 = 1 ，相应的几率为 C1 ； 2 4 0
)
1 L x 取 − 的振幅为 1 − 2
总几率为 C1
2
(
1 2 C 2 1 C1 0 = 1 ，相应的几率为 C1 。 2 4 0
)
2） L x 在 l = 2 的空间， L2 , L z 对角化表象中的矩阵 利用
1 − 2 1 6a ， d = − 2a ， e = a ，本征矢为 6 ，在 C 2Y20 态下，测得 L x = − 2 的 4 − 2 1
将它们代入（3）就得到前一法（考虑 l x , l y 对称）得到相同的结果。
l x2 =
1 [(l + m)(l − m + 1) 2 + (l − m)(l + m + 1) 2 ] 4 1 = [l (l + 1) − m 2 ] 2 2
ˆ lˆ , lˆ lˆ 没有贡献，（3）（4）应有相同的结果。第二种方法运用角动量一般理论，这 又从（4）式看出，由于 l + + − −
2
将上式在 lm 态下求平均，因 Lz 作用于 lm 或 lm 后均变成本征值 m ，使得后两项对平均值的贡献互相抵 消，因此 又
4-2 量子结构库仑阻塞效应
库仑阻塞与状态量子化
量子点内能量不再是准连续态,而是 能隙可大于kBT值的一系列分离的准 零维态. 库仑作用使能级重整化,重整化后能 隙E*= E+e2/C, 如果量子点电容C 足够小, E*将主要由e2/C决定. 这样重整后: 间隙大大增加 更规则相间 自旋相反的两电子分离(退简并)
量子点旋转门器件
因而测量量子点电导,就会观察到其随栅压Vg振荡 振荡周期:
Vg e Cg
通常EN+1-EN<<e2/C, 振荡周期变为:e/Cg 如果我们在电荷传输过程中,测量库仑岛两端的电压,就会出 现周期性电压振荡现象. 每当一个电子转移到库仑岛时,岛两端电压发生e/C的跃变, 在量子点的I-V曲线上呈现一系列的库伦台阶,台阶宽度 V=e/C. 振荡频率:f=I/e 这种振荡---单电子隧穿振荡.( 基于库仑阻塞效应) 这个过程必须:kBT<<e2/C
在电极1 在电极1,2上分别加相位差180度,频率为f的交流调制信号 上分别加相位差180度 频率为f 180 来控制量子点接触QPC 的势垒高度. 来控制量子点接触QPC1,QPC2的势垒高度.
实际意义 发展单电子器件 数字逻辑电路;存储器; 数字逻辑电路;存储器;单电子晶体管 电子的维度被约束的越多,电子的波动性或量子性质就 会更突出.如量子点激光器比量子阱具有: 更低的阈值电流密度 更好的温度稳定性 更高的调制速率 更窄的谱线宽度 更小的噪音
样品做在Si的(100)面上
(100)面上磁量子化,简并度eB/h,
(100)面对应k空间[100],[-100]方向两个能谷,简并度2 自旋简并度2
�
单电子振荡
e S
V G e D Cg Vg
设量子点内有N个电子,其电化学势为(N) 调节栅压,使第N+1个电子的电化学势(N+1)与源的势能相 同,低于漏的势能,这是第N+1个电子可以由源共振隧穿 至量子点中,而后,又由量子点隧穿至漏.如此循环. 当电子隧穿过量子点时,其电导出现极大值,否则,将被 库仑阻塞.这样,电导将产生周期性振荡.每一个周期, 将有一个电子由源输运到漏,形成以稳定电流.
量子力学补充习题集1
河北科技师范学院物理专业试用量子力学补充习题集数理系物理教研室二OO五年八月第一章 量子力学的实验基础1-1 求证：﹙1﹚当波长较短(频率较高)。
温度较低时，普朗克公式简化为维恩公式；﹙2﹚当波长较长(频率较低)，温度较高时，普朗克公式简化为瑞利—金斯公式。
1-2 单位时间内太阳辐射到地球上每单位面积的能量为1324J.m -2.s -1，假设太阳平均辐射波长是5500A，问这相当于多少光子？1-3 一个质点弹性系统，质量m=1.0kg ，弹性系数k=20N.m -1。
这系统的振幅为0.01m 。
若此系统遵从普朗克量子化条件，问量子数n 为何？若n 变为n+1，则能量改变的百分比有多大？1-4 用波长为2790A和2450A 的光照射某金属的表面，遏止电势差分别为0.66v 与1.26v 。
设电子电荷及光速均已知，试确定普朗克常数的数值和此金属的脱出功。
1-5 从铝中移出一个电子需要4.2ev 能量，今有波长为2000A 的光投射到铝表面，试问：（1）由此发射出来的光电子的最大动能是多少？（2）铝的红限波长是多少？1-6 康普顿实验得到，当x 光被氢元素中的电子散射后，其波长要发生改变，令λ为x 光原来的波长，λ'为散射后的波长。
试用光量子假说推出其波长改变量与散射角的关系为2sin42θπλλλmc=-'=∆ 其中m 为电子质量，θ为散射光子动量与入射方向的夹角（散射角）1-7 根据相对论，能量守恒定律及动量守恒定律，讨论光子与电子之间的碰撞：（1）证明处于静止的自由电子是不能吸收光子的；（2）证明处于运动状态的自由电子也是不能吸收光子的。
1-8 能量为15ev 的光子被氢原子中处于第一玻尔轨道的电子吸收而形成一光电子。
问此光电子远离质子时的速度为多大？它的德布罗意波长是多少？1-9 两个光子在一定条件下可以转化为正负电子对，如果两个光子的能量相等，问要实现这种转化光子的波长最大是多少？1-10 试证明在椭圆轨道情况下，德布罗意波长在电子轨道上波长的数目等于整数。
量子力学讲义4-2(最新版)
ψ = ∑Cnϕn + ∫ Cλϕλ dλ
n
(36)
2
< A >= ∑ f n Cn + ∫ fλ Cλ d λ
2 n
(37)
∑C
n
2 n
+ ∫ Cλ d λ = 1
2
(38)
而封闭性关系此时可表为
* * ϕn (r )ϕn (r ' ) + ∫ ϕλ (r ' )ϕλ (r )d λ = δ (r − r ' ) ∑ n
*
(27) (28)
对完备系 {ϕn (r )} 有
ψ (r ) = ∑Cnϕn = ∑< ϕn ,ψ > ϕn
n n
* = ∑[∫ϕn (r ' )ψ (r ' )dr ' ]ϕn (r ) n ' * = ∫ dr ψ (r ' )[∑ϕn (r ' )ϕn (r )] n ' = ∫ dr ψ (r ' )δ (r − r ' )
λ 2 即 lˆ 2 的本征值, 需由本征方程确定, 其中
(17)
代入 Y (θ,ϕ) = Θ(θ )ψ (ϕ) , 方程左右乘 可得
2
sin 2 θ (− ), Θψ
sinθ d dΘ 1 dψ 2 2 ≡ µ (18) (sinθ ) + λ sin θ = − 2 dθ Θ dθ ψ dϕ
其中左边仅与 θ 有关,右方仅与 ϕ有关, 故 2 恒等于一常数 µ ,从而可分离成两个方程:
就可得出
1 ˆ ˆ ( ∆ A) ⋅ ( ∆ B ) ≥ [ A, B ] 2
2 2
(9)
(10)
量子力学4-不确定关系
dxdydz
空间某点附近单位体积内出现粒子的概率 概率密度: 空间某点附近单位体积内出现粒子的概率， 而粒子出现在整个空间内的概率应等于1，即：
*
2
归一化条件:
整个空间
2
dv 1
另外 波 数还应该满足如下的标准条件 另外，波函数还应该满足如下的标准条件： (1) 单值： 单值 任意时刻，一个粒子只能出现在一个地方。 (2) 有限： 粒子出现在空间某处的概率不可能大于1。 (3) 连续。 粒子运动过程中概率密度不可能发生突变。
1 sin 0 . 777 50 . 9 极大值出现在 的方 向，与实验符合的很好。
k 1
德布罗意波
例题18-10 电子在铝箔上散射时,第一级最大(k=1)的偏转角 10m,求电子速度。 为 2 ,铝的晶格常数a为4.05 4 05×10-10 求电子速度 解： 参看图示,第 第一级最大的条件是： 级最大的条件是：
3.3 10 8 eV
对氢原子光谱，当 对氢原子光谱 当n不是很大时，这一能级宽度是很小的。所以氢原子谱线系中 不是很大时 这一能级宽度是很小的 所以氢原子谱线系中 的各分立谱线是相当细的。
(2) 由
E h
hc 得： hc E 2
所以 该激发态的平均寿命为 所以，该激发态的平均寿命为：
P Px P sin 1 x
代入德布罗意关系：
h Px 即 x p x h x
考虑到更高级的衍射图样，则应有：
h p
得出：
h Px P sin 即 x
x p x h
上述讨论只是反映不确定关系的实质，并了一条重要的物理规律： 不确定关系揭示了一条重要的物理规律
量子力学第四章习题(1)
第四章态叠加原理及力学量的算符表示4-1 下列算符哪些是线性的？为什么？ (1) (2) ( )2 (3) (4)4-2 线性算符具有下列性质：，式中C是复数。
下列算符哪些是线性的？（1）（2）（3）（4）（5）（6）4-3 若都是厄米算符，但，试问：（1）是否厄米算符？（2）是否厄米算符？4-4 证明下列算符哪些是厄米算符：4-5 （1）证明（2）4-6试判断下述二算符的线性厄米性，（1）（2）4-7 试证明任意一个算符不可能有两个以上的逆。
又问，算符的情况下，是什么样的算符？4-8 对于一维运动，求的本征函数和本征值。
进而求的本征值。
4-9 若算符有属于本征值为的本征函数，且有：和，证明和也是的本征函数，对应的本征值分别是和。
4-10 试求能使为算符的本征函数的值是什么？此本征函数的本征值是什么？4-11 如果为线性算符的一个本征值，那么为的一个本征值。
一般情况下，设为的多项式，则便为的一个本征值。
试证明之。
4-12 试证明线性算符的有理函数也是线性算符。
4-13 当势能改变一个常数C时，即时，粒子的波函数与时间无关的那部分改变否？能量本征值改变否？4-14 一维谐振子的势能，处于的状态中，其中，问：（1）它的能量有没有确定值？若有，则确定值是多少？（2）它的动量有没有确定值？4-15 在时间时，一个线性谐振子处于用下列波函数所描写的状态：式中是振子的第n个时间无关本征函数。
（a）试求C3的数值。
（b）写出在t时的波函数。
（c）在时振子的能量平均值是什么？在秒时的呢？4-16 证明下列对易关系：，4-17 证明下列对易关系：。
原子物理学杨福家第四版课后答案
目 录第一章 原子的位形 ............................................................................. - 1 - 第二章 原子的量子态：波尔模型 ..................................................... - 7 - 第三章 量子力学导论 ....................................................................... - 12 - 第四章 原子的精细结构：电子的自旋 ........................................... - 16 - 第五章 多电子原子 ......................................................................... - 23 - 第六章 X 射线 ................................................................................... - 28 -第一章 原子的位形 1-1)解：α粒子与电子碰撞，能量守恒，动量守恒，故有：⎪⎩⎪⎨⎧+'='+=e e v m v M v M v M mv Mv 222212121 ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧='-='-⇒222e e v M m v v v Mm v ve v m p=∆e p=mv p=mv ∴∆∆，其大小： (1) 222(')(')(')e m v v v v v v v M-≈+-=近似认为：(');'p M v v v v ∆≈-≈22e m v v v M∴⋅∆=有 212e p p Mmv ⋅∆=亦即： (2)(1)2/(2)得22422210e e m v m p Mmv M -∆===p 亦即：()ptg rad pθθ∆≈=-4～101-2) 解：① 22a b ctg Eθπε=228e ；库仑散射因子：a=4)2)(4(420202EZ e E Ze a πεπε==22279()() 1.44()45.545eZ a fmMev fm E Mev πε⨯=== 当901θθ=︒=时，ctg2122.752b a fm ∴== 亦即：1522.7510b m -=⨯② 解：金的原子量为197A =；密度：731.8910/g m ρ=⨯ 依公式，λ射α粒子被散射到θ方向，d Ω立体角的内的几率： nt d a dP 2sin16)(42θθΩ=(1)式中，n 为原子核数密度，()AA m n n N ρ∴=⋅= 即：A V n Aρ=(2)由（1）式得：在90º→180 º范围内找到α粒子得几率为：(θP 18022490a nt 2sin ()164sin 2d a nt πθθπρθθ︒︒=⋅=⎰将所有数据代入得)(θP 5()9.410ρθ-=⨯这就是α粒子被散射到大于90º范围的粒子数占全部粒子数得百分比。
量子力学第四章-表象理论(3部分)
∑a
n
n
*(t )an (t ) + ∫ aq *(t )aq (t )dq = 1
|aq(t)|2dq 是在 是在Ψ(x,t) 态中 测量力学量 Q 所得结果在 q → q + d q之间的几率。 之间的几率。 之间的几率
在这样的表象中， 在这样的表象中，Ψ 仍可以用一个列矩阵 表示： 表示：
a1(t) a 2(t) M Ψ = a n (t) M aq (t)
将Ψ(x,t) 按 Q 的 本征函数展开： 本征函数展开：
Ψ( x, t ) = ∑ an (t )un ( x)
n
证：
1 = ∫ Ψ * ( x, t )Ψ( x.t )dx
=
an (t ) = ∫ un * ( x)Ψ( x.t )dx
a1(t), a2(t), ..., an(t), ... ...,
∫
ψ p * ( x )ψ p ′ ( x ) e
− iE p′ t / h
dx
所以，在动量表象中， 所以，在动量表象中， 具有确定动量p 的粒 具有确定动量p’的粒 子的波函数是以动量 函数。 p为变量的δ- 函数。 换言之， 换言之，动量本征函 数在自身表象中是一 函数。 个δ函数。
=e
− iE p′ t / h
假设只有分立本征值将q表象的表达方式代入一力学量算符的矩阵表示22211211nm是其矩阵元写成矩阵形式q表象的表达方式11101011计算中使用了公式由此得l在自身表象中具有最简单形式是一个对角矩阵对角元素就是1力学量算符用厄密矩阵表示dx所以厄密算符的矩阵表示是一厄密矩阵
第四章 态和力学量表象
§1 态的表象 §2 算符的矩阵表示 §3 量子力学公式的矩阵表述 §4 Dirac 符号 §5 Hellmann – Feynman 定理及应用 §6 占有数表象 §7 么正变换矩阵
量子力学解答(4章)
< n | [ A, H ] | k >=< n | AH − HA | k >=< n | AH | k > − < n | HA | k > = n < n | A | k > −n < n | A | k >= 0
4-9 粒子在均匀力场(F)中作一维运动，V(x)=−Fx，写出并解动量表象中的定态 Schrodinger 方程。
c* ⎞ ⎟ . 分别考虑 B 的 d* ⎟ ⎠
| α >= 对应本征值为 1 和−1 的两个本征矢， 在 A 表象中为： ⎛1⎞ ⎛0⎞
象有：对本征值为 1 的本征态，
以S+左乘上式，利用S+S=1, ⎜ ⎜
同理，对本征值为−1 的本征态，
案
⎛ 0⎞ ⎛ a b ⎞ 1 ⎛ 1 ⎞ ⎜ ⎟ ⎜ ⎜1⎟ ⎟=⎜ ⎜ ⎟ ⎜ −iδ ⎟ ⎟， ⎝ ⎠ ⎝c d ⎠ 2 ⎝− e ⎠
co
m
1 ⎛ 1 ⎞ 1 ⎛ 1 ⎞ ⎜ ⎟, | β >= ⎜ −iδ ⎟ − iδ ⎟ ⎜ ⎟， 2 ⎝e ⎠ 2⎜ ⎝− e ⎠
本征矢分别为： | a >= ⎜ ⎜0⎟ ⎟, | b >= ⎜ ⎜1⎟ ⎟ ，为： | α >= ⎝ ⎠ ⎝ ⎠
⎛1⎞
⎛0⎞
1 ⎛ 1 ⎞ 1 ⎛ 1 ⎞ ⎜ ⎟, | β >= ⎜ −iδ ⎟ − iδ ⎟ ⎜ ⎟ 。于是， 2 ⎝e ⎠ 2⎜ ⎝− e ⎠
H ( p)ϕ ( p) = (
2m
− Fx)ϕ ( p) = Eϕ ( p) ，即
2m
改写为：
dϕ
ϕ
=
i p2 (E − )dp ，积分，得： hF 2m
苏汝铿量子力学课后习题及答案chapter4
（4.40）
K dp 1 = [ p,V (r )] dt i=
（4.41）
在座标表象中， p = −i=∇ ，于是，
K
K K dp = −∇V = F dt
（4.42）
当 λ = 1 时，
（4.19）
B12 −λ
= 0 ⇒ λ = ±1
（4.20）
b1 = e− iα b2 , b2 = eiα b1
再结合归一化条件： (b1
*
（4.21）
b * ⎛ 1⎞ b2 )⎜ ⎟ =1 ⎝ b2 ⎠
b1 =
为方便讨论，取 γ = α = 0
1 iγ 1 i (γ +α ) e , b2 = e 2 2
由对易关系， px y − ypx = −i=δ xy ，可以得
K K K K [r , p 2 ] = [ x, px 2 ]i + [ y, p y 2 ] j + [ z , pz 2 ]k
易知， [ x, px ] = 2i=px ，所以，
2
（4.39）
K K dr p = 。 dt m
同理可得，
左乘 p ，得
∫
由
p (T + V ) p ' ϕ ( p ')dp ' = E ∫ p p ' ϕ ( p ')dp ' p '2 p2 p p' = δ ( p − p ') 2m 2m
量子力学导论第4章答案参考资料
第四章力学量用算符表达与表象变换1 14.1 ）设A 与B 为厄米算符，则—AB BA 和 AB 一 BA 也是厄米算符。
由此证明，任何一个算符2 2i分解为F =F . • iFF 与F_均为厄米算符，且证：i)1AB BA1 -AB BA 为厄米算符。
1 1 1二—B A - A B 二 丄 BA - AB 二丄 AB - BA -2i 2i 2i二1（AB - BA ）也为厄米算符。
iii ）令 F 二 AB ，则 F 二 AB = B A ；= BA ,由i ） ,ii ）得F . = F , F_ = F_，即卩F 和F_皆为厄米算符。
则由（1）式，不难解得F iF4.2）设F （x, p ）是x, p 的整函数，证明整函数是指F(X, p)可以展开成F(X,p) = v C mn X m p n 。
m,n =0证： (1)先证 p,x m L -mi x m 4, X, p n]二 ni pn/。
p,xm ] =x m4 lp,x 「p, x m4 xi x m4 x m ^ ip,xk p,x m Q x 2 --2i x m4 x m ： b, x 殳2 b,x m ； x 3=-3i x m4 ■ 'p,x m ^x 3 二… =-m -1i 乂心■ b,x m —z x m _ --m -1 i x m4 -i x m J 二 mi x m4同理，F 均可1 ^2i F -F1F =2 F F ,1 11 B A A B BA AB AB BAii)扌 AB 一 BA 且定义F T F「F(1)'p,F:xX, p n .1 - p n二X, p Z- X, p n J Ip=i*p n' + p n~ IX, p】p + X, p n~ 】p2= 2i%n」+ k, p n，】p 2=n卷p n」现在，Ip,F ]= |P, hC mn X”=送C mn b,X m Ip"Q QC mn -mi x mJ p nm,n兰:F 7而-i ——C mn -mi x mJ p n。
《凝聚态物理》第四章_能带理论-II
第四章 能带论－2
一、模型的描述：波包
按量子力学，电子用波来描述。经典粒子性要求确定的 轨道、动量。如何把电子的粒子性与波动性联系和统一 起来呢？
量子——经典类比，用到“波包”的概念
▪ 波包：是分布在空间有限区域的波列，频率也有
一定的分布范围。 粒子空间分布在 r 附近 △r 范围内，动量取值
NC
C
gC
e d C KBT
PV
g V
V
e d V KBT
C
V
T的缓 变函数
E
CB
VB
f (E)
第四章 能带论－2
4、半导体的统计理论
本征半导体：
nC pv
c
v
2
1 2
kBT
ln
Pv Pc
E
CB
C
V
VB
f (E)
4-2 恒定电场、磁场作用下
电子的运动
九、恒定磁场 作用下电子的 准经典运动
例：自由电子，B=(0,0,B)
kz
B
运动轨道为圆－回旋运动
回旋周期：
T d k d k d t
2 k 2 m
kx
evB eB
回旋频率：
c
eB m
k
ky
等能面
等于实空间的 回旋频率
第四章 能带论－2
二、自由电子回旋运动（实空间）
m dv dt ev B
vvxy
eB mvy eB mvx
能带电子？由于晶格的散射，电子不可能被无 限制加速
第四章 能带论－2
二、k－空间运动
▪ 电子的运动保持在同一个能带内，能量周期性 变化，在 K－空间周期性运动。
exercise
第四章4-1．解：电子自旋磁矩为：()n B n B s s s u s u g s s u 31−=+−= 在磁场中，当电子自旋与磁场平行时，电子的能量为：eV T T eV B u u u B s 414102.12.1105788.033−−−×−=×⋅××−=−=⋅−=当电子自旋与磁场反平行时，电子的能量为：eV B u u u B s 4102.13−×==⋅−=所以这两种情况下的能量差为：。
eV U 4104.2−×=Δ4-2 求2D 3/2状态的磁矩u 及其投影u Z 的可能值。
（注意方向的说明） 解：处于2D 3/2状态的原子，其自旋、轨道和总角动量量子数分别为S=1/2，L=2，J=3/2 所以对应的g 因子为：g=3/2+1/2{[(S(S+1)-L(L+1))]/[J(J+1)]}=…=4/5 原子磁矩与角动量关系为：()n B J J J u J J g J g u r r r1+−=−=γ 其中n J r代表总角动量J 的单位矢量方向。
把数据代进去得到磁矩 n B n B J u J u u r rr 55.112323545/4−=⎟⎠⎞⎜⎝⎛+−=−=即磁矩大小为1.55u B ，方向与总角动量相反。
因为总角动量的磁量子数为：m J =±3/2，±1/2 所以磁矩的投影值可能值为： u Z =-m J g J u B =（±6/5，±3/5）u B 。
4-3．解：原子状态为6G 3/2时，原子的总自旋角动量量子数、总轨道角动量量子数、总角动量量子数分别为：S=5/2，L=4，J=3/2，所以g 因子为： g J =3/2+1/2{[S(S+1)-L(L+1)]/[J(J+1)]}=0， 总磁矩为：u =u J =-g J [J(J+1)]1/2u B =0。
4-4．解：在该实验中，屏上的原子束偏离x 轴的距离为：2mvdD z B u z z⋅∂∂=， 磁矩的分量u Z =-m j g j u B 。
量子力学4
回顾ห้องสมุดไป่ตู้玻尔的 原子定态假设
玻尔的错误在于用经典轨道概念去描述原子定态， 但是定态具有稳定性及定态对应有确定能量值这二 个观点，却至今保留在近代量子论中。
定态的概念发展为本征态: 各个物理量都有自己的定态或
本征态，所谓某物理量的本征态，是指当微观粒子处在该状 态时，其对应的该物理量具有确定的值。
(1) 玻尔的原子定态与两能级模型
W
dw
d 1
波函数的 归一化条件
1）归一性： 2）连续性: 3）有限性:
在空间各点都有粒子出现的可能。 保证波函数是平方可积。
4）单值性： 波函数可不满足单值性，但波函数的模满足单值
性。一定时刻，在空间某点附近，单位体积内，粒子出现的 几率应有一定的量值。
波函数的归一性 波函数的连续性 波函数的有限性 波函数的标准化条件
线性组合： C11 C2 2
W1 | C1 1 | 处于态1和态2的几率分别为：
双缝同时打开时，电子的几率分布为：
2 1 * 1 2 2 * 2
2
,
* 1
W2 | C2 2 |2
W | 2 |
* 2
W C 1 C 2 C1C 2 ( 2 1 ) W1 W2 C1C 2 ( 2 1 )
(1) 两能级模型 （重点和难点、必须掌握） 量子论: 物理量的本征态 {i} (i=1,2,…n) 能构成一组正交、 归一、完备的基矢，本征态反映量子运动状态的确定性。此 外，微观粒子还可以有一些态，处在这些态时，它们没有确 定的物理量与之对应，我们称这种态为叠加态。
等同任一矢量可按基矢展开一样，叠加态可按本征态展开！
量子力学第 4 章
Fmn
δmn
∑
n
Fmn an = bm
(m = 1,2 ⋅⋅⋅)
此联立方程组可写成矩阵方程的形式，
⎛ F11 F12 ····⎞ ⎛a1⎞ ⎛b1⎞ ⎜ ⎟ ⎜a ⎟ = ⎜b ⎟ F F ···· 2 ⎜ 21 22 ⎟ ⎜ 2⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ···············⎟ ⎜ · ⎟ · ⎜ ⎟ · ⎝ ⎠ ⎝· ·⎠ ⎝· ⎠
r ˆ r 在p ˆ 表象中，波函数的自变量是 p 。
2 ↔ | c ( p , t ) | 是 r 的取值概率 是 p 的取值概率。
思考：动量表象的波函数与动量本征函数是一回事吗？ (从物理意义和所满足的方程来看它们的区别) 9
在一般情况下 在 Ô 表象中波函数的自变量是 Ô 的取值 λn (or λ)，
2. 力学量的本征函数在自身表象中的表示 力学量 Ô 的本征函数ϕ 在 Ô 表象的表达形式是什么 样的？ * Ô 本征值分立 cn = ∫ ϕn ϕm dτ = δ mn ,
or
* cλ = ∫ ϕλ ϕλ′ dτ = δ (λ − λ ′),
Ô 本征值连续
当 Ô 表象是分立表象时就有
⎛1 ⎞ ⎜0 ⎟ cϕ1 = ⎜0 ⎟ ⎜· ⎟ · ⎜· ⎟ · ⎝· ·⎠ ⎛0⎞ ⎜1 ⎟ cϕ2 = ⎜0 ⎟ ⎜· ⎟ · ⎜· ⎟ · · ⎝ ·⎠ ⎛ 0⎞ ⎜ 0⎟ n · ϕn ⎜ ···· c = · ⎟ ⎜ 1⎟ ⎜ 0⎟ ⎝· ·⎠
()
()
电子任意的自旋状态，可以表为这两种基本的自旋 状态的线性迭加(本征函数具有完备性),即
0 = a . χ =a 1 + b b 0 1
() () ()
ˆz 表象中，自旋波函数的一般形式。 这就是在 s
量子力学 4-2-三维晶格
第四讲晶格振动与晶体热学性质一维单原子晶格振动维子一维双原子晶格振动三维晶格振动简正坐标与声子晶格振动谱的实验测定晶格振动模式密度晶体宏观热性质：热容、热膨胀和热传导晶体宏观热性质热容热膨胀和热传导1动力学方程设三维晶格中有N 个原胞，每个原胞有J 个原子，原胞中第j 个原子的质量用m j 表示。
这NJ 个原子构成的系统有3NJ 个自由度。
原胞的平衡位置由布拉菲格子的正格矢R l =l 1a 1+l 2a 2+l 3a 3来确定，a 、a 、a 为正格矢的基矢。
为简单起见，用l 来标识它。
定123为格的基为简单起用来标它 三维晶格中原子可以分别沿a 1、a 2、a 3三个方向位移，第l (=1,2N =12J =1232,…N )个原胞的第j (1,2,…J )个原子离开平衡位置沿σ(1,2,3)方向的位移分量记作μlj σ。
三维晶格动力学方程三维晶格动力学方程：)(''''''σσμμβμlj lj m −−=&&''',σσσσj l j j l j l lj j j ∑------3NJ 个耦合方程组。
第第常2βlj σ,l’j’σ’为l 原胞第j 个原子与l’原胞第j’原子之间的作用力常数。
三维晶格格波的解•由于晶格的周期性，我们可以先只考虑任一原胞内的3J 个方程对比维原子链格波结的特征可令格波结表示为下维晶格格波的解程。
对比一维原子链格波结的特征，可以令格波结表示为以下形式：⋅−)(l R k =t i j lj eA ωσσμ 为幅其与原子种类方向分量波矢初始条件A j σ为振幅，其与原子种类、方向分量、波矢k 以及初始条件有关；但不依赖l ，因为对于一个确定的波矢k ，任意原胞的方向的运动具有相同的振幅只不过从个原第j 个原子在σ方向的运动具有相同的振幅，只不过从一个原胞到另一个原胞有相位e ik ⋅R l 的变化。
高等量子力学 第四章 表象理论
K表象：取几个有物理意义的厄米算符构成对易完备组K，用 表象：取几个有物理意义的厄米算符构成对易完备组 ， 表象 它们的共同本征矢量作为基矢： 它们的共同本征矢量作为基矢：
K i = ki i
完备性关系： 完备性关系：
∑i
i
i =1
一、矢量的矩阵表示
ψ = ∑ i i ψ = ∑ i ψi,
i i
容易看出，表象变换虽然改变矢量与算符的矩阵表示， 容易看出，表象变换虽然改变矢量与算符的矩阵表示，但不 的数值。 改变二矢量内积 ψ ϕ 以及 ψ A ϕ 的数值。
§4-3 若干矩阵运算
1、矩阵的迹 ： trA = 、
∑A
i
ii
(4.20) (4.21)
迹的重要性质是 tr ( AB ) = tr ( BA) 2、矩阵的行列式 、 det A = ∑ ε abc⋯n Aa1 Ab 2 AC 3 ⋯ AnN
bb' nn' a' 1 b' 2
∑ ( ∑ε A A ⋯ A )B = ∑ (ε det A)B B ⋯B = ε ∑∑ ε ′ ′ ′ ′ B ′ ⋯ ′ ⋯ B ′ = det A B
a'b'c'⋯n' abc⋯n aa' a'b'c'⋯n' a'b'c'⋯n' a' 1 b' 2 n' N
B ⋯Bn' N
det( AB) = det A ⋅ det B
证明： 证明： det（AB） =
∑ε
abc⋯n
abc⋯n ⋯
abc⋯n
( AB) a1 ( AB) b 2 ⋯ ( AB) nN
量子力学(第四章)
5
③同一个态可以在不同的表象中表示，表象不 同一个态可以在不同的表象中表示， 波函数的形式也不同，但它们完全等价。 同，波函数的形式也不同，但它们完全等价。 坐标表象：ψ ( x, t ) 坐标表象： 动量表象： Φ ( p, t ) 动量表象：
RETURN
6
§ 4.2
算符的矩阵表示
一、算符在一般表象中的表示 二、算符在自身表象中的表示 三．算符表示矩阵的性质
H mn ˆ ψ dx = E ψ *ψ dx = (n + 1 )hω δ = ∫ψ m H n n∫ m n mn 2
*
1 2 0 ( H mn ) = 0 M
0 3 2 0 M
0 0 L 0 0 L hω 5 0 L 2 M M M
∫u
* m
un dτ = δ mn
3
可知量） 任何一个态ψ （可知量）可按该基矢展开
ψ = ∑ anun
* 展开系数 an (t ) = ∫ψ un dτ 上的投影, 其中 a n 是矢量ψ 在基 un 上的投影,这一 组数 (a1, a2 ,L, an ,L)就是矢量 ψ 在Q表象中的表 示,记为一矩阵形式
† Fmn = Fnm* = Fmn
F† = F
结论：表示厄米算符的矩阵是厄米矩阵。 结论：表示厄米算符的矩阵是厄米矩阵。
12
[例题] 求一维谐振子的坐标 ，动量 及哈密顿 例题] 求一维谐振子的坐标x，动量p及哈密顿 在能量表象中的矩阵表示。 量H在能量表象中的矩阵表示。 在能量表象中的矩阵表示 [解 ] 利用厄米多项式的递推关系 xmn = ∫ψ m* xψ n dx
n
a1 (t ) a 2 (t ) ψ = M a n (t ) M
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4.3-5
∑ (Fmn − λδ mn )an (t ) = 0,
n
m = 1,2,...
这个方程组有非零解的条件是系数行列式等于零， 这个方程组有非零解的条件是系数行列式等于零，即
F11 - λ F12 ... F1n ... F21 F22 - λ ... F2 n ... ................................ = 0 4.3-6 Fn1 Fn 2 ... Fnn - λ ... ............................... λ 此式称为久期方程。求解可得到一组解： 1 , λ2 ,...λn ..., 此式称为久期方程。求解可得到一组解： 久期方程
由4.4-3可得 可得 ∗ ∗ ∗ δ αβ = ∫ ϕα ( x )ϕ β ( x )dx = ∑ ∫ ψ m ( x )S mα Snβψ n ( x )dx
∗ ∗ ∗ = ∑ Smα Snβ ∫ ψ m ( x )ψ n ( x )dx = ∑ Smα S nβ δ mn nm
= ∑ ( S + )αm S mβ = (S + S )αβ
α
α
α
α
即
SS † = I
4.4-7
4.4-8 可见 满足此式的矩阵称为幺正矩阵 幺正矩阵， 满足此式的矩阵称为幺正矩阵，由幺正矩阵表示的变 换称为幺正变换 幺正变换。 换称为幺正变换。故由一个表象到另一个表象的变换 是幺正变换。幺正矩阵不是厄密矩阵。 是幺正变换。幺正矩阵不是厄密矩阵。 2、力学量变换 、 ∗ ∗ ∗ ϕα ( x ) = ∑ψ m ( x )Smα 把 ϕ β ( x ) = ∑ S nβψ n ( x )
即
S + km Fmn S nl = λkδ kl ∑
mn
此式两边乘 Smk 并对k求和
∑∑
mmn S nl = ∑ λk S mk δ kl = λl Sml
代入 ˆ ′ Fαβ = ∫ ϕα ( x )Fϕ β ( x )dx 得
∗
S † = S −1
n
m
∗ ∗ ˆ ′ Fαβ = ∑ ∫ ψ m ( x )S mα FS nβψ n ( x )dx nm ∗ ∗ ˆ = ∑ S mα ∫ ψ m ( x )Fψ n ( x )dxS nβ nm ∗ = ∑ S mα Fmn Snβ == ∑ ( S + )αm Fmn Snβ nm nm
∗
ˆ x , ℏ ∂ a (t )u ( x )dx F = ∫ ∑ a (t )u ( x )F n n mn i ∂x ∗ ∗ ˆ x , ℏ ∂ u ( x )dxa (t ) = ∑ am (t )∫ um ( x )F n n i ∂x mn
∗ m ∗ m
4.4-9
简写为 即
′ = S † FS F −1 F ′ = S FS
4.4-10
ˆ 在表象间的变换公式。 — —力学量算符 F 在表象间的变换公式。
3、态矢量变换 、
设
∑ bα (t )ϕ α ( x ) α u ( x , t ) = ∑ a n (t ) n ( x ) ψ
n
u(x , t ) =
n
∗ ∗ ∗ ϕα ( x ) = ∑ψ m ( x )S mα m
4.4-3
展开系数为
∗ Snβ = ∫ψ n ( x)ϕβ ( x)dx
S
∗ mα
= ∫ψ m ( x)ϕα ( x)dx
∗
4.4-4
称为变换矩阵。 以 S nβ 为矩阵元的矩阵 S称为变换矩阵。它通过 4.4 − 3把 A表 象中的基矢 ψ n ( x )变换为 B 表象中的基矢 ϕ β ( x )。
第四章 态和力学量的表象 §4.3 量子力学公式的矩阵表述
1、平均值公式 、
Ψ (x , t ) =
Ψ
∗
∑ a n (t )u n ( x )
n
∗ ∗ ( x , t ) = ∑ a n (t )u n ( x ) n
4.3-1
ˆ x , ℏ ∂ ψ ( x , t )dx F = ∫ψ ( x , t )F i ∂x
4.3-4
F11 - λ F12 ... F1n ... a1 (t ) F21 F22 - λ ... F2 n ... a2 (t ) ................................ ⋮ = 0 Fn1 Fn 2 ... Fnn - λ ... an (t ) ............................... ⋮
∗ F = ∑ am (t )Fmn an (t ) mn
4.3-2
F11 F12 ... F1n ... a1 (t ) F21 F22 ... F2 n ... a2 (t ) ∗ ∗ ∗ F = (a1 (t ), a2 (t ),..., am (t )...) ................................ ⋮ Fm 1 Fm 2 ... Fmn ... an (t ) ............................... ⋮ 简写为
简写为
∂ iℏ Ψ = HΨ ∂t
4.3-8
§4.4 幺正变换
讨论波函数和力学量在不同表象间变换的一般情况 1、基矢变换 、 ˆ ˆ 设算符 A, B的正交归一本征函数系 分别为 ψ 1 ( x ),ψ 2 ( x ),...和
∗ ˆ Fmn = ∫ψ m ( x )Fψ n ( x )dx m , n = 1,2,... ∗ ˆ ′ Fαβ = ∫ ϕα ( x )Fϕ β ( x )dx
式中
H mn
ℏ ∂ = ∫ u ( x )H x , un ( x )dx i ∂x
∗ m
矩阵表达式为
a1 (t ) H 11 H 12 ... H 1n ... a1 (t ) a 2 (t ) H 21 H 22 ... H 2 n ... a 2 (t ) d iℏ ⋮ = ................................ ⋮ dt a m (t ) H m 1 H m 2 ... H mn ... a n (t ) ⋮ ............................... ⋮
4.4-11 4.4-12
则态矢量 u ( x )在 A 、 B 表象中的表示分别为
a1 (t ) a2 (t ) a= ⋮ an (t ) ⋮
∗ bα (t ) = ∫ u( x, t )ϕα ( x)dx
b1 (t ) b2 (t ) b= ⋮ bα (t ) ⋮
ˆ ϕ 1 ( x ),ϕ 2 ( x ),...则算符 F在这两个表象中的矩阵 元分别为
4.4-1 4.4-2
α , β = 1,2,...
用 ψ 1 ( x ),ψ 2 ( x ),... 展开 ϕ 1 ( x ), ϕ 2 ( x ),... 则有
ϕ β ( x ) = ∑ Snβψ n ( x )
即 为 F的 本 征 值 。 把 求 得 的 λi 代 入4.3 − 5就 可 求 得 对 应 的本征矢
( a ( t ) , a ( t ) ..., a ( t ) ...)
i1 i2 in
3、薛定谔方程 、
∗ um ( x )左乘等式两边，积分可 得 左乘等式两边，
∗ m
∂ ˆ x , ℏ ∂ Ψ ( x , t ) iℏ Ψ ( x , t ) = H ∂t i ∂x
α
α
把ψ m ( x′ )按ϕα ( x′ )展开 ψ m ( x′ ) = ∑ cαϕα ( x′ )
cα = ∫ ϕ α ( x ′ ) m ( x ′ )d x ′ ψ
∗
α
4.4-6
α
代入4.4-6得 代入4.4-6得
∗ ∗ Snα ( S + )αm = ∑ ∫ψ n ( x )ϕα ( x )dx ∫ψ m ( x′ )ϕα ( x′ )dx′ ∑ ∗ ∗ = ∑ ∫ψ n ( x )cαϕα ( x )dx = ∫ψ n ( x )∑ cαϕα ( x )dx ∗ = ∫ψ n ( x )ψ m ( x )dx = δ mn
SpF ′ = Sp( S −1 FS ) = Sp( SS −1 F ) = SpF
问题：如何选取使算符矩阵对角化的幺正变换矩阵 ？ 问题：如何选取使算符矩阵对角化的幺正变换矩阵S？
对角化， 要使 F ′对角化，须有
′ λkδ kl = Fkl = ( S −1 FS )kl = ( S + FS )kl
写成矩阵形式为
F = Ψ FΨ
+
4.3-3
2、本征值方程 、
ˆ x , ℏ ∂ Ψ ( x , t ) = λΨ ( x , t ) F i ∂x
FΨ = Φ = λ Ψ
F11 F12 ... F1n ... a1 (t ) a1 (t ) F21 F22 ... F2 n ... a2 (t ) a2 (t ) ................................ ⋮ = λ ⋮ Fn1 Fn 2 ... Fnn ... an (t ) an (t ) ⋮ ............................... ⋮
即 或 b = S †a b = S −1 a