2010-2011学年高数(一)复习提要
2011届第一学期高等数学期末复习
dy dy du dx du dx
6 sin x1 2cos x2
cos x' sin x
y ' 0 6 sin 01 2cos 02
dy y ' dx
0 dy y ' dx 6 sin x1 2cos x2 dx
二、函数的导数和微分及其应用
——第5题
设
y
sin x 1 cos x
1）求 f 0；
2）求 lim f x、 lim f x 和 lim f x；
x0
x0
x0
3）判断函数 f x 在 x 0 处是否连续？
一、函数的极限与连续——第11题2
解：1）f 0 1
2）lim f x x0
lim f x
x0
lim f x
x0
lim ex 1 lim 2x lim f x 0
lim 2x2 x0 sin 4x
第5、6题分析：
• 属于重要极限 lim sin x 1或等价无穷小类的极限 x0 x
问题； • 方法一：利用等价无穷小，即x→0时， x~sinx，
x~tanx； • 方法二：根据“0/0”特征，使用洛必达法则。
一、函数的极限与连续——第5题
lim sin 2x x0 tan3x
lim
x0
x x2 1
0
lim1 1 x0 x
lim ex e0 1
x0
1
1
1
lim e x 0 lim e x lim e x 不存在！
x0
x0
x0
lim ln x2
x0
lim sin x x0 1 cos x
lim
x 0
2010届高考数学知识点总结精华版
高中数学第一章-集合考试内容：集合、子集、补集、交集、并集．逻辑联结词．四种命题．充分条件和必要条件． 考试要求：（1）理解集合、子集、补集、交集、并集的概念；了解空集和全集的意义；了解属于、包含、相等关系的意义；掌握有关的术语和符号，并会用它们正确表示一些简单的集合． （2）理解逻辑联结词“或”、“且”、“非”的含义理解四种命题及其相互关系；掌握充分条件、必要条件及充要条件的意义．§01. 集合与简易逻辑 知识要点一、知识结构:本章知识主要分为集合、简单不等式的解法（集合化简）、简易逻辑三部分：二、知识回顾：（一） 集合1. 基本概念：集合、元素；有限集、无限集；空集、全集；符号的使用.2. 集合的表示法：列举法、描述法、图形表示法. 集合元素的特征：确定性、互异性、无序性. 集合的性质：①任何一个集合是它本身的子集，记为A A ⊆； ②空集是任何集合的子集，记为A ⊆φ； ③空集是任何非空集合的真子集； 如果B A ⊆，同时A B ⊆，那么A = B. 如果C A C B B A ⊆⊆⊆，那么，.[注]：①Z = {整数}（√） Z ={全体整数} （×）②已知集合S 中A 的补集是一个有限集，则集合A 也是有限集.（×）（例：S=N ； A=+N ，则C s A= {0}） ③ 空集的补集是全集.④若集合A =集合B ，则C B A = ∅， C A B = ∅ C S （C A B ）= D （ 注 ：C A B = ∅）. 3. ①{（x ，y ）|xy =0，x ∈R ，y ∈R }坐标轴上的点集. ②{（x ，y ）|xy ＜0，x ∈R ，y ∈R}二、四象限的点集.③{（x ，y ）|xy ＞0，x ∈R ，y ∈R } 一、三象限的点集. [注]：①对方程组解的集合应是点集. 例： ⎩⎨⎧=-=+1323y x y x 解的集合{(2，1)}.②点集与数集的交集是φ. （例：A ={(x ，y )| y =x +1} B={y |y =x 2+1} 则A ∩B =∅） 4. ①n 个元素的子集有2n 个. ②n 个元素的真子集有2n －1个. ③n 个元素的非空真子集有2n －2个.5. ⑴①一个命题的否命题为真，它的逆命题一定为真. 否命题⇔逆命题. ②一个命题为真，则它的逆否命题一定为真. 原命题⇔逆否命题. 例：①若325≠≠≠+b a b a 或，则应是真命题.解：逆否：a = 2且 b = 3，则a+b = 5，成立，所以此命题为真. ②且21≠≠y x3≠+y . 解：逆否：x + y =3x = 1或y = 2.21≠≠∴y x 且3≠+y x ,故3≠+y x 是21≠≠y x 且的既不是充分，又不是必要条件.⑵小范围推出大范围；大范围推不出小范围. 3. 例：若255 x x x 或，⇒. 4. 集合运算：交、并、补. 5. 主要性质和运算律 （1） 包含关系：,,,,,;,;,.U A A A A U A U A B B C A C A B A A B B A B A A B B ⊆Φ⊆⊆⊆⊆⊆⇒⊆⊆⊆⊇⊇C（2） 等价关系：U A B A B A A B B AB U ⊆⇔=⇔=⇔=C （3） 集合的运算律：交换律：.;A B B A A B B A ==结合律:)()();()(C B A C B A C B A C B A == 分配律:.)()()();()()(C A B A C B A C A B A C B A == 0-1律：,,,A A A U A A U A U Φ=ΦΦ===等幂律：.,A A A A A A ==求补律：A ∩C U A =φ A ∪C U A =U C U U =φ C U φ=U反演律：C U (A ∩B)= (C U A )∪(C U B ) C U (A ∪B)= (C U A )∩(C U B )6. 有限集的元素个数定义：有限集A 的元素的个数叫做集合A 的基数，记为card( A)规定 card(φ) =0.基本公式：(3) card ( U A )= card(U)- card(A)(二)含绝对值不等式、一元二次不等式的解法及延伸 1.整式不等式的解法 根轴法（零点分段法）①将不等式化为a 0(x-x 1)(x-x 2)…(x-x m )>0(<0)形式，并将各因式x 的系数化“+”；(为了统一方便)②求根，并在数轴上表示出来；③由右上方穿线，经过数轴上表示各根的点（为什么？）；④若不等式（x 的系数化“+”后）是“>0”,则找“线”在x 轴上方的区间；若不等式是“<0”,则找“线”在x 轴下方的区间. （自右向左正负相间）则不等式)0)(0(0022110><>++++--a a x a x a x a n n n n 的解可以根据各区间的符号确定.特例① 一元一次不等式ax>b 解的讨论；22.分式不等式的解法 （1）标准化：移项通分化为)()(x g x f >0(或)()(x g x f <0)；)()(x g x f ≥0(或)()(x g x f ≤0)的形式， （2）转化为整式不等式（组）⎩⎨⎧≠≥⇔≥>⇔>0)(0)()(0)()(;0)()(0)()(x g x g x f x g x f x g x f x g x f3.含绝对值不等式的解法原命题若p 则q 否命题若┐p 则┐q 逆命题若q 则p逆否命题若┐q 则┐p 互为逆否互逆否互为逆否互互逆否互（1）公式法：c b ax <+,与)0(>>+c c b ax 型的不等式的解法.（2）定义法：用“零点分区间法”分类讨论.（3）几何法：根据绝对值的几何意义用数形结合思想方法解题. 4.一元二次方程根的分布一元二次方程ax 2+bx+c=0(a ≠0)（1）根的“零分布”：根据判别式和韦达定理分析列式解之.（2）根的“非零分布”：作二次函数图象，用数形结合思想分析列式解之. （三）简易逻辑1、命题的定义：可以判断真假的语句叫做命题。
高数线代
高数（上册）期末复习要点第一章：1、极限，基本上极限用洛必达法则和两个重要极限去求，实在求不出来可以采用夹逼准则，但是要注意用洛必达和两个重要极限时候的形式，不要套错了。
2、连续，一般是考用定义证明一个函数连续，不会太难，基本上就是习题集上的哪几种类型，关于证明的问题，一般不容易去想，所以必要时候，需要背诵下，考原题可能性很大，还有就是判断间断点类型，这个考的可能性不大，但也算考点第二章：1、导数首先考点还是用定义证明一个函数是否可导，连续不一定可导，可导一定连续2、求导法则求导公式微分公式熟练掌握第三章：1、微分中值定理，还是会考到证明题，有时候形式会变，虽然不是证明题，但是需要证明的过程才能求出答案，基本都是考拉格朗日中值定理的形式比如在题设条件中函数f(x)在[a,b]上连续，在(a,b)内可导，且f(a)=0或f(b)=0或f(a)＝f(b)=0，先用拉格朗日中值定理处理一下再说2、洛必达法则3、泰勒公式4、函数凹凸性、极值这是高中的东西，不要怎么复习，5、曲率公式曲率半径这些考个选择填空的很正常，所以需要牢记公式第四章、第五章：积分、不定积分：这个不需要说太多，重点内容，必考大题，所以，这块内容的复习唯一的办法就是把练习册的题都做了，都学会，其实需要花费的时间并不是很长，先把课本上的例题公式看懂，再看练习册就很简单了。
诸如两类换元法（变dx/变前面）、分部积分法（注意加C ），最好都自己推导一遍，好记。
反常积分就是一种极限形式，前面的明白了，这里看下就懂了。
还有事积分中值定理，这个注意下，有时候题解不出来可以从这里入手第六章：定积分的应用主要有几类：极坐标、求做功、求面积、求体积、求弧长高数解题技巧。
（高等数学、考研数学通用）第七章：微分方程，各种类型的微分方程求解，基本上前面几节讲的内容，都是根据原理解方程，后面的大多数讲的都是套公式，所以，牢记公式，尤其注意公式的形式，不要套错了去年我们考的是一阶线性非齐次微分方程和二阶常系数非齐次e的x次方型，具体今年考哪个到时候一般老师会告诉重点，根据重点复习，太难的，拿什么去衡量难度，就三方面，问老师、从历年试题里面看、看习题集。
高数第一章复习资料
⾼数第⼀章复习资料第⼀章预备知识⼀、定义域1.已知得定义域为,求得定义域。
答案:2.求得连续区间。
提⽰:任何初等函数在定义域范围内都就是连续得。
答案:⼆、判断两个函数就是否相同？1., 就是否表⽰同⼀函数？答案:否2.下列各题中, 与就是否相同？答案:都不相同三、奇偶性1.判断得奇偶性。
答案:奇函数四、有界性,使,则在上有界。
有界函数既有上界,⼜有下界。
1.在内就是否有界？答案:⽆界2.就是否有界？答案:有界,因为五、周期性1.下列哪个不就是周期函数(C)。
A. B. C. D.注意: 就是周期函数,但它没有最⼩正周期。
六、复合函数1.已知,求例:已知,求解1:解2:令, , ,2.设,求提⽰:3.设,求提⽰:先求出4.设,求提⽰:七、函数图形熟记得函数图形。
第⼆章极限与连续⼋、重要概念1.收敛数列必有界。
2.有界数列不⼀定收敛。
3.⽆界数列必发散。
4.单调有界数列极限⼀定存在。
5.极限存在得充要条件就是左、右极限存在并且相等。
九、⽆穷⼩得⽐较1.时,下列哪个与就是等价⽆穷⼩(A)。
A. B. C. D.⼗、求极限1.⽆穷⼩与有界量得乘积仍就是⽆穷⼩。
, , , ,2.⾃变量趋于⽆穷⼤,分⼦、分母为多项式例如: 提⽰:分⼦、分母同除未知量得最⾼次幂。
3.出现根号,⾸先想到有理化补充练习:(1) (2)(3) (4)(5)4.出现三⾓函数、反三⾓函数,⾸先想到第⼀个重要极限例:作业:P49 7 (1)~(3)5.出现指数函数、对数函数、幂指函数,⾸先想到第⼆个重要极限例:作业:P49 7 (4)~(6)6.、、、、、、,可以使⽤洛必达法则作业:P99 5 (1)~(8)7.分⼦或分母出现变上限函数提⽰:洛必达法则+变上限函数得导数等于被积函数例:补充练习:(1) (2)(3) (4)⼗⼀、连续与间断任何初等函数在其定义域范围内都就是连续得。
分段函数可能得间断点就是区间得分界点。
若,则在处连续,否则间断。
2010年高考数学回眸与2011年高考复习策略
2010年数学高考回眸与2011年高考复习策略本学期，我任教了2011届毕业班的理科数学教学工作，在教学之余，我认真研究了2010年的新考纲和2010年的所有新课标地区的高考试卷，得到了一些体会，现将它们总结如下: 一、2010年高考新大纲的变化与高考试题的特点新大纲对集合模块的要求有所降低，同时突出了集合语言和韦恩图的应用的考查要求；命题趋势一般是命制一道涉及集合关系或运算的容易题考查集合的基本知识；复习时既在加强集合本身的基础知识的强化，又要注意集合知识与其它知识的综合，培养集合语言与集合思想应用的能力，2010年新课标高考卷中，有某某、某某、某某、某某、某某、某某1、某某、某某9、某某、某某2、某某九个省市考察了集合，有点是以简单不等式为载体，有点事单纯集合问题，大都是容易题。
新大纲新增了全称量词与存在量词及其否定，降低了命题的四种形式及逻辑联结词的要求（由理解变为了解），高考命题通常以一道综合型的选择题考查充要条件的判定或全称量词与存在量词的含义或其否定，且试题难度中档偏易，复习时既要注重基础知识的理解与掌握，又要加强推理论证能力的培养．2010年新课标高考卷中，有某某5、某某9、某某5、某某（无）、某某4、某某11、某某3、某某9、某某2九个省市考察了充要条件及命题知识，基本上都是以函数、不等式为载体，特别是某某卷11，老题新掘。
某某、某某、某某、某某、某某、某某、某某、某某、某某、某某、某某。
算法初步系新考纲新增考点，高考中几乎全部新课标的省市都命制了一道中档难度的客观题，主要考查在运用程序框图的过程中有条理的思考与表达的能力及算法思想．而且试题大都涉及有关数列、函数等具体实例．因此培养学生的识图能力和理性思维是重点．某某（无）、某某7、某某13、某某13、某某7、某某4、某某14、某某2某某5、某某6、某某12。
新大纲强化了复数的概念，体现了理性思维在数系扩充中的作用，高考重点考查复数概念的理解和复数代数形式的四则运算的能力，几乎新课标省市每卷均有有关复数的试题，且试题难度为容易题，某某（无）、某某1、某某2、某某2、某某2、某某2、某某1、某某1、某某5、某某（无）、某某2、某某，试题容易。
2011届高三数学毕业班课本知识点整理归纳之14
2010-2011年高三毕业班数学课本知识点整理归纳之十四第十四章 极限与导数一、基础知识 1．极限定义：（1）若数列{u n }满足，对任意给定的正数ε，总存在正数m ，当n>m 且n ∈N 时，恒有|u n -A|<ε成立（A 为常数），则称A 为数列u n 当n 趋向于无穷大时的极限，记为)(lim ),(lim x f x f x x -∞→+∞→，另外)(lim 0x f x x +→=A 表示x 大于x 0且趋向于x 0时f(x)极限为A ，称右极限。
类似地)(lim 0x f x x -→表示x 小于x 0且趋向于x 0时f(x)的左极限。
2．极限的四则运算：如果0lim x x →f(x)=a, 0lim x x →g(x)=b ，那么0lim x x →[f(x)±g(x)]=a ±b,lim x x →[f(x)•g(x)]=ab, 0limx x →).0()()(≠=b bax g x f 3.连续：如果函数f(x)在x=x 0处有定义，且0lim x x →f(x)存在，并且0lim x x →f(x)=f(x 0)，则称f(x)在x=x 0处连续。
4．最大值最小值定理：如果f(x)是闭区间[a,b]上的连续函数，那么f(x)在[a,b]上有最大值和最小值。
5．导数：若函数f(x)在x0附近有定义，当自变量x 在x 0处取得一个增量Δx 时（Δx 充分小），因变量y 也随之取得增量Δy(Δy=f(x 0+Δx)-f(x 0)).若xyx ∆∆→∆0lim存在，则称f(x)在x 0处可导，此极限值称为f(x)在点x 0处的导数（或变化率），记作'f (x 0)或0'x x y =或x dxdy ，即000)()(lim)('0x x x f x f x f x x --=→。
由定义知f(x)在点x 0连续是f(x)在x 0可导的必要条件。
《高数》(上)期中考试复习提纲
《高等数学》期中考试前复习2011.11.1一、函数与极限（一）函数1、函数的定义（1）映射的定义若,X Y 是两个非空的集合，如果存在一个法则f ，使得对X 中的每一个元素x ，按法则f ，在Y 中有唯一确定的元素y 与之对应，则称f 为从X 到Y 的映射，记作:(),,()f f f X Y y f x x X D y R f X Y→↔=∈≡∈≡⊂ ()()()f f y f x x D D y f D f D =∈≡∈≡ 简表之 (){()}f R f X f x x X ==∈其中D —映射f 的定义域，)(D f —映射f 的值域，f —映射的对应法则；x —元素y（在映射f 下）的一个原像，y —元素x （在映射f 下）的像，两者关系：()y f x =值得提醒的是，10 ,fx X x y ∀∈−−→是唯一的；而,f y R y x ∀∈−−→未必唯一； 20 ?,f f R Y R Y ⊂= （2）函数的定义设数集,D R ⊂，则称映射:f D R →为定义在D 上的函数，通常简记为(),,(){(),}f y f xx D R f D y yf x xD=∈↔===∈ 式中x —自变量，y —因变量，D —定义域可见，从实数集（或其子集）X 到实数集Y 的映射通常称为定义在X 上的函数2、函数的表示 （1）公式法；（2）图像法；（3）表格法3、函数的形式（1）显式函数 )(x f y =；（2）隐式函数 0),(=y x F ；（3）参数式函数 )(),(t y y t x x ==4、函数的特性（1）有界性若M x f ≤)(，或M x f m ≤≤)(，则函数具有界性 （2）单调性若↑↑)(,x f x ，则函数)(x f 为单调增函数； 若↓↑)(,x f x ，则函数)(x f 为单调减函数。
注：单调性与区域有关（3）奇偶性若)()(x f x f =-—偶函数； 若)()(x f x f -=-—奇函数 （4）周期性若 )()(x f T x f =+，则函数)(x f 具周期性，周期T 为一最小的正数 注：a) 若)(x f 为周期函数，则()(),f x nT f x n Z +=∈；b) 若,sin x y ω= 则周期ωπ2=T ；c) 奇函数对坐标原点O 对称，其曲线通过坐标原点；偶函数对y 轴对称； d ）奇函数或偶函数，当且仅当函数()y f x =在(,)l l -+或[,]l l -+内（或上） 有定义时才有意义。
高等数学1 复习提纲
高等数学1 复习提纲第一章函数与极限1. 函数的概念及函数奇偶性、单调性、周期性、有界性；复合函数和反函数的概念。
2. 极限的概念（极限存在当且仅当左、右极限相等），极限四则运算法则，会用两个重要极限求极限。
3. 无穷小、无穷大、以及无穷小的阶的概念，无穷小量与有界函数的乘积是无穷小量，会用等价无穷小求极限（等价无穷小量替代求极限只在积、商时成立，加减时不行）。
4. 函数在一点连续和在一个区间上连续的概念（要求会用定义讨论分段函数分段点的连续性，函数在一点连续当且仅当左、右连续，即左极限＝右极限＝函数值）；间断点的概念，并会判别间断点的类型（间断点的疑似点：使函数没有意义的点和分段函数分段点）。
5. 初等函数的连续性和闭区间上连续函数的性质(介值定理，零点定理，最值定理)第二章导数与微分1. 导数（会利用导数的定义判断分段函数分段点处的可导性，函数在一点可导当且仅当左导数＝右导数），理解导数的几何意义及函数的可导性与连续性之间的关系。
会求切线方程、法线方程。
2. 导数的四则运算法则和复合函数的求导法。
3. 初等函数一阶、二阶导数的求法。
4. 隐函数和参数方程所确定的函数的导数。
5. 微分的概念，会求微分dx('=，注意不要缺失d x。
fdy)x可导、连续、可微三者之间的关系可导必可微，可微必可导；可导一定连续，连续不一定可导第三章微分中值定理与导数的应用1. 理解罗尔(Rolle)定理和拉格朗日(Lagrange)定理，会利用这两个定理证明。
2. 用洛必达(L’Hospital)法则求未定式的极限。
3. 函数的极值概念，掌握用导数判断函数的单调性和求极值的方法。
（极值点的疑似点：驻点和一阶不可导点）4. 用导数判断函数图形的凹凸性，会求拐点（拐点的疑似点：二阶导函数为0的点和二阶不可导点）。
5. 会用3和4中的方法讨论函数的性态并描绘函数的图形(列表讨论，并要写出极值点，拐点，水平和铅直渐进线)。
高等数学（乙）1复习要点
高等数学（乙）1复习要点第一篇：高等数学(乙)1复习要点高等数学（乙）1 复习要点（2012.12）第一章函数与极限1．数列与函数极限（左右极限）、两个重要极限、（*极限存在准则）2.函数在点连续性的讨论、间断点的分类3.无穷小阶的比较、性质、等价无穷小4*．连续函数在闭区间上的性质第二章导数与微分1.导数的定义2.熟记求导法则（如函数的积、商、复合、反函数等等）和求导公式（常用函数等）3.由方程确定的隐函数求一阶、二阶导数4.参数方程确定的函数求导、（*二阶导数）5.函数的微分6.曲线的切线方程与法线方程的求法（曲线可能为y f(x)或隐函数方程确定或参数方程确定）7.常用函数的n阶导数第三章微分中值定理及应用1*.三大微分中值定理（罗尔定理、拉格朗日定理、柯西定理）2.函数的单调区间与极值求法3.利用单调性证明不等式、如何证明函数为常数（恒等式的证明）4*.泰勒公式5.函数图形的凹凸区间与拐点求法、渐近线的求法6.如何求未定式的极限（洛必达法则）（各种类型的未定式的极限）7.函数的最大值、最小值求法（含应用题）8*.导数在经济中的应用(如边际、弹性等)第四章不定积分1.原函数、不定积分的概念与性质2.熟记基本的不定积分公式3.计算不定积分方法：凑微分法、变量代换法、分部积分法（掌握变量代换法、分部积分法的被积函数的特点）第五章定积分及其应用1．定积分的性质（了解）2．微积分基本定理（积分上限函数求导公式等、牛顿-莱布尼茨公式）3.会用牛顿-莱布尼茨公式计算定积分（如分段函数、绝对值函数等等）4.定积分的换元法与分部积分法5.会求平面图形的面积、平面图形绕x轴、y轴旋转一周的立体体积6.反常积分注：打*号为难点内容第二篇：高等数学复习要点高等数学复习要点第一章：1.“抓大头”法求函数极限的公式，P15公式(1-3)2.无穷大量、无穷小量的概念；无穷小量的比较(高阶、低阶、等价无穷小的区分)；利用等价无穷小的式子求极限(P23第二行四个表达式);无穷小量乘以有界变量仍是无穷小(P21例1.34)3.利用两类重要极限求极限4.会判断分段函数在分界点处是否有极限(P12例1.20及相应课后习题)5.会求函数的连续区间(类型P31 T6 T7)6.闭区间上连续函数的性质(P29 定理1.8；推论1.3；例1.47)第二章：1.会用基本导数公式求导数2.会求函数在某点的导数(先求导函数再带入点,求该点导数值)3.导数的几何意义(会求曲线的切线法线方程)4.复合函数求导5.利用微分定义求函数的微分(先求导再乘以dx)6.会求高阶导数(例如函数的四阶导数，注意高阶导数的符号表示y(n)n≥4)7.可导与连续的关系(函数在某点可导一定连续，反之连续不一定可导；函数连续是函数函数可导的必要条件)第三章：1.会用洛必达法则求极限(特别∞-∞型，Ｐ82例3.8及习题3-2Ｔ15 T16)2.会用导数判断函数单调性，求极值点、极值(三步走)3.注意函数的极值点与驻点的关系(P85 定理3.8及其下面一段的文字说明)4.利用导数求闭区间上函数的最大最小值(例如P87 例3.16的类型)5.求函数的凹凸区间及拐点(三步走)6.会求曲线的垂直渐近线第四章：1.熟记不定积分的基本公式2.导数与不定积分互为逆运算(P96 第三行至第八行)3.直接积分法(P98)3.凑微分法求函数积分(两类：1:复合函数凑内层函数 2:凑公式)十个解答题考察类型：1.求极限（∞-∞）2求四阶导3.求不定积分（凑微分法）4.求曲线的凹凸与拐点.4.利用第二个重要极限求极限(或者讨论函数的极限是否存在，若存在，极限值是多少.)5.函数的极值.6.证明方程在某区间内至少有一个实根.7.求曲线在某点处的切线方程和法线方程.(曲线在何处的切线平行于已知直线)9.求函数的微分.10.求不定积分（直接积分法）第三篇：高等数学复习要点总结高等数学复习要点总结★高等数学复习要点总结希望有参考作用★ 张宇下面是我给一个朋友写的，大概是今年4月份写的，发给同学们做个参考：我把高数的东西整理了一下，按照这个复习，保证可以串起来，同时别忘了把基本功打好！高等数学1）洛必达法则求极限，最常用，要熟练；2）无穷小代换求极限，在解题中非常有用，几个等价公式要倒背如流；3）求含参数的极限，关键是把握常量变量的关系，求解过程体现你极限计算的基本功； 4）1的∞次方的极限是重点，多练几个题；5）函数连续计算中要会对点进行修改定义、补充定义，看看书上怎么写的，给你说句话你体会一下，“连续的概念是逐点概念”，所以问题就是围绕特殊点展开的，这是数学思想了；6）闭区间连续函数性质四定理非常重要，把它们背下来，然后结合例题搞定；7）记住趋向不同，结果就大不一样的极限；8）两个重要极限、两个基本极限把它们的推倒过程多写写，记住；关键还是刚才的要点，一个是用e的抬头法，一个是注意“趋向不同，结果就大不一样的极限”，还有注意lnx的定义域>0;9）要注意存在与任意的关系，存在就是说只要有一个符合就成立，任意是说只要有一个不符合就不成立，你体会体会。
2010与2011数学一、数二考研大纲及其解析
数学2011年数学考试大纲综述2010年9月3日教育部考试中心发布了2011年全国硕士研究生入学统一考试数学考试大纲，与去年相比考试内容和考试要求上没有变化，这与万学海文数学教研室的名师团队之前的预测是一致的。
具体如下：试卷题型结构为：单项选择题 8小题，每小题4分，共32分;填空题6小题，每小题4分，共24分，解答题(包括证明题)9小题，共94分。
数学一高等数学部分：考试内容和考试要求与2010年全国硕士研究生入学统一考试数学考试大纲完全一样。
线性代数部分：考试内容和考试要求与2010年全国硕士研究生入学统一考试数学考试大纲完全一样。
概率论与数理统计部分：考试内容和考试要求与2010年全国硕士研究生入学统一考试数学考试大纲完全一样。
大纲没有变化对考生来说，是个好消息，可以按照原定的复习计划去备考，此时，同学最好能够根据考试大纲上的知识点再系统的复习一遍，起到巩固提高的作用。
如果对于考点的深度理解和可命题的角度自己不是很有把握，可以结合由高等教育出版社出版的《2011年全国硕士研究生入学统一考试数学考试大纲配套强化指导》这本书进行复习。
达到事半功倍的效果。
2011年与2010年考研数学大纲变化对比表——数一2011年与2010年考研数学大纲变化对比表——数一章节2010年数学考试大纲考试内容和考试要求2011年数学考试大纲考试内容和考试要求变化对比1 / 43高等数学一、函数、极限、连续考试内容函数的概念及表示法函数的有界性、单调性、周期性和奇偶性复合函数、反函数、分段函数和隐函数基本初等函数的性质及其图形初等函数函数关系的建立数列极限与函数极限的定义及其性质函数的左极限和右极限无穷小量和无穷大量的概念及其关系无穷小量的性质及无穷小量的比较极限的四则运算极限存在的两个准则：单调有界准则和夹逼准则两个重要极限:函数连续的概念函数间断点的类型初等函数的连续性闭区间上连续函数的性质考试要求1．理解函数的概念，掌握函数的表示法，会建立应用问题的函数关系.2．了解函数的有界性、单调性、周期性和奇偶性．3．理解复合函数及分段函数的概念，了解反函数及隐函数的概念．4．掌握基本初等函数的性质及其图形，了解初等函数的概念.5．理解极限的概念，理解函数左极限与右极限的概念以及函数极限存在与左极限、右极限之间的关系．6．掌握极限的性质及四则运算法则.7．掌握极限存在的两个准则，并会利用它们求极限，掌握利用两个重要极限求极限的方法．8．理解无穷小量、无穷大量的概念，掌握无穷小量的比较方法，会用等价无穷小量求极限．9．理解函数连续性的概念（含左连续与右连续），会判别函数间断点的类型．10．了解连续函数的性质和初等函数的连续性，理解闭区间上连续函数的性质（有界性、最大值和最小值定理、介值定理），并会应用这些性质．考试内容函数的概念及表示法函数的有界性、单调性、周期性和奇偶性复合函数、反函数、分段函数和隐函数基本初等函数的性质及其图形初等函数函数关系的建立数列极限与函数极限的定义及其性质函数的左极限和右极限无穷小量和无穷大量的概念及其关系无穷小量的性质及无穷小量的比较极限的四则运算极限存在的两个准则：单调有界准则和夹逼准则两个重要极限:函数连续的概念函数间断点的类型初等函数的连续性闭区间上连续函数的性质考试要求1．理解函数的概念，掌握函数的表示法，会建立应用问题的函数关系.2．了解函数的有界性、单调性、周期性和奇偶性．3．理解复合函数及分段函数的概念，了解反函数及隐函数的概念．4．掌握基本初等函数的性质及其图形，了解初等函数的概念.5．理解极限的概念，理解函数左极限与右极限的概念以及函数极限存在与左极限、右极限之间的关系．6．掌握极限的性质及四则运算法则.7．掌握极限存在的两个准则，并会利用它们求极限，掌握利用两个重要极限求极限的方法．8．理解无穷小量、无穷大量的概念，掌握无穷小量的比较方法，会用等价无穷小量求极限．9．理解函数连续性的概念（含左连续与右连续），会判别函数间断点的类型．10．了解连续函数的性质和初等函数的连续性，理解闭区间上连续函数的性质（有界性、最大值和最小值定理、介值定理），并会应用这些性质．对比：无变化本章的重点内容之一是极限，考生不仅要准确的理解极限的概念和极限存在的充要条件，而且还要能正确求出各种极限，由于篇幅所限，有关求极限的各种方法和本章的其它考点，详见由高等教育出版社出版的《2011年全国硕士研究生入学统一考试数学考试大纲配套强化指导》第二部分，第一篇，第一章函数、极限、连续。
2010年自学考试高数一复习指导
2010年自学考试高数一复习指导第一篇：2010年自学考试高数一复习指导2010年自学考试《高等数学(一)》复习指导(1)2010-9-16 10:9 新浪教育【大中小】【我要纠错】本大纲适用于工学理学（生物科学类、地理科学类、环境科学类、心理学类等四个一级学科除外）专业的考生。
总要求考生应按本大纲的要求，了解或理解“高等数学”中函数、极限和连续、一元函数微分学、一元函数积分学、向量代数与空间解析几何、多元函数微积分学、无穷级数、常微分方程的基本概念与基本理论；学会、掌握或熟练掌握上述各部分的基本方法。
应注意各部分知识的结构及知识的内在联系；应具有一定的抽象思维能力、逻辑推理能力、运算能力、空间想象能力；能运用基本概念、基本理论和基本方法正确地推理证明，准确地计算；能综合运用所学知识分析并解决简单的实际问题。
本大纲对内容的要求由低到高，对概念和理论分为“了解”和“理解”两个层次；对方法和运算分为“会”、“掌握”和“熟练掌握”三个层次。
复习考试内容一、函数、极限和连续（一）函数1、知识范围（1）函数的概念函数的定义函数的表示法分段函数隐函数（2）函数的性质单调性奇偶性有界性周期性（3）反函数反函数的定义反函数的图像（4）基本初等函数幂函数指数函数对数函数三角函数反三角函数（5）函数的四则运算与复合运算（6）初等函数2、要求（1）理解函数的概念。
会求函数的表达式、定义域及函数值。
会求分段函数的定义域、函数值，会作出简单的分段函数的图像。
（2）理解函数的单调性、奇偶性、有界性和周期性。
（3）了解函数与其反函数之间的关系（定义域、值域、图像），会求单调函数的反函数。
（4）熟练掌握函数的四则运算与复合运算。
（5）掌握基本初等函数的性质及其图像。
（6）了解初等函数的概念。
（7）会建立简单实际问题的函数关系式。
（二）极限1、知识范围（1）数列极限的概念数列数列极限的定义（2）数列极限的性质唯一性有界性四则运算法则夹逼定理单调有界数列极限存在定理（3）函数极限的概念函数在一点处极限的定义左、右极限及其与极限的关系趋于无穷时函数的极限函数极限的几何意义（4）函数极限的性质唯一性四则运算法则夹通定理（5）无穷小量与无穷大量无穷小量与无穷大量的定义无穷小量与无穷大量的关系无穷小量的性质无穷小量的阶（6）两个重要极限2、要求（1）理解极限的概念（对极限定义中“ ”、“ ”、“ ”等形式的描述不作要求）。
2011高考数学总复习-高考生必读必会
2011高考数学总复习-高考生必读必会2011高考数学总复习（基础知识）-高考生必读必会23复习目标:1．掌握分类讨论必须遵循的原则 2．能够合理，正确地求解有关问题 命题分析:分类讨论是一种重要的逻辑方法，也是一种常用的数学方法，这可以培养学生思维的条理性和概括性，以及认识问题的全面性和深刻性，提高学生分析问题，解决问题的能力.因此分类讨论是历年数学高考的重点与热点.而且也是高考的一个难点.这次的一模考试中，尤其是西城与海淀都设置了解答题来考察学生对分类讨论问题的掌握情况.重点题型分析:例1．解关于x 的不等式:)()(232R a x a a a x ∈+<+解:原不等式可分解因式为:(x-a)(x-a 2)<0 （下面按两个根的大小关系分类）（1）当a>a 2⇒a 2-a<0即 0<a<1时，不等式的解为 x ∈(a 2, a).（2）当a<a 2⇒a 2-a>0即a<0或a>1时，不等式的解为:x ∈(a, a 2)（3）当a=a 2⇒a 2-a=0 即 a=0或 a=1时，不等式为x 2<0或(x-1)2<0不等式的解为 x ∈∅.45④01000440002<⇒⎩⎨⎧><<⇒⎪⎩⎪⎨⎧>-<⇒⎩⎨⎧><a a a a a a a a 或∆时，方程ax 2+2ax+1=0有两根，aa a aa a a x )1(12)1(22,1-±-=-±-=此时，抛物线的开口向下的抛物线，故原不等式的解为:))1(1,)1(1(a a a a a a ----+-.⑤φ∈⇒⎩⎨⎧≤≤<⇒⎪⎩⎪⎨⎧≤-<⇒⎩⎨⎧≤<a a a a a a a 1000440002∆综上:当0≤a<1时，解集为（-∞，+∞）. 当a>1时，解集为),)1(1())1(1,(+∞-+-----∞aa a a a a . 当a=1时，解集为(-∞,-1)∪(-1,+∞).当a<0时，解集为))1(1,)1(1(a a a a a a ----+-. 例3．解关于x 的不等式ax 2-2≥2x-ax(a ∈R)(西城2003’一模 理科）解:原不等式可化为⇔ ax 2+(a-2)x-2≥0, (1)a=0时，x ≤-1，即x ∈(-∞,-1]. (2)a ≠0时，不等式即为(ax-2)(x+1)≥0.① a>0时， 不等式化为0)1)(2(≥+-x ax ， 当⎪⎩⎪⎨⎧->>12aa ，即a>0时，不等式解为),2[]1,(+∞--∞a.6当⎪⎩⎪⎨⎧-≤>120aa ，此时a 不存在.② a<0时，不等式化为0)1)(2(≤+-x a x ，当⎪⎩⎪⎨⎧-<<12a a ，即-2<a<0时，不等式解为]1,2[-a 当⎪⎩⎪⎨⎧-><120a a ，即a<-2时，不等式解为]2,1[a -.当⎪⎩⎪⎨⎧-=<120aa ，即a=-2时，不等式解为x=-1.综上:a=0时，x ∈(-∞,-1).a>0时，x ∈),2[]1,(+∞--∞a .-2<a<0时，x ∈]1,2[-a .a<-2时，x ∈]2,1[a -.a=-2时，x ∈{x|x=-1}.评述:通过上面三个例题的分析与解答，可以概括出分类讨论问题的基本原则为:10:能不分则不分； 20:若不分则无法确定任何一个结果； 30:若分的话，则按谁碍事就分谁.例4．已知函数f(x)=cos 2x+asinx-a 2+2a+5.有最大值2，求实数a 的取值.7解:f(x)=1-sin 2x+asinx-a 2+2a+5.6243)2(sin 22++---=a a a x令sinx=t, t ∈[-1,1].则6243)2()(22++---=a a a t t f (t ∈[-1,1]). (1)当12>a 即a>2时，t=1，2533max=++-=a a y解方程得:22132213-=+=a a 或（舍）.(2)当121≤≤-a 时，即-2≤a ≤2时，2a t =,262432max=++-=a a y,解方程为:34-=a 或a=4（舍）. (3)当12-<a 即a<-2时， t=-1时，y max=-a 2+a+5=2 即 a 2-a-3=0 ∴ 2131±=a , ∵ a<-2, ∴2131±-=a 全都舍去.综上，当342213-=+=a a 或时，能使函数f(x)的最大值为2.例5．设{a n }是由正数组成的等比数列，S n 是其前n 项和，证明:15.025.05.0log 2log log ++>+n n n S S S .证明:（1）当q=1时，S n =na 1从而 0)1()2(2121211212<-=+-+⋅=-⋅++a a n a n na S S S n n n（2）当q ≠1时，qq a S nn--=1)1(1， 从而8.0)1()1()1)(1(2122121221212<-=-----=-⋅++++n n n n n n n q a q q a q q a S S S由（1）（2）得:212++<⋅n n nS S S .∵ 函数xy 5.0log =为单调递减函数.∴ 15.025.05.0log 2log log ++>+n n n S SS . 例6．设一双曲线的两条渐近线方程为2x-y+1=0, 2x+y-5=0，求此双曲线的离心率.分析:由双曲线的渐近线方程，不能确定其焦点位置，所以应分两种情况求解.解:（1）当双曲线的焦点在直线y=3时，双曲线的方程可改为1)3()1(222=---by a x ，一条渐近线的斜率为2=ab， ∴ b=2.∴555222==+==a a a b a c e .（2）当双曲线的焦点在直线x=1时，仿（1）知双曲线的一条渐近线的斜率为2=b a，此时25=e . 综上（1）（2）可知，双曲线的离心率等于255或. 评述:例5，例6，的分类讨论是由公式的限制条件与图形的不确定性所引起的，而例1-4是对于含有参数的问题而对参数的允许值进行的全面讨论.例7．解关于x 的不等式 1512)1(<+--x x a . 解:原不等式 012)1(55<⇔+--x x a90)]2()1)[(2(022)1(012)1(<----⇔<--+-⇔<+--⇔a x a x x a x a x x a⎪⎩⎪⎨⎧>----<-⎪⎩⎪⎨⎧<---->-⎩⎨⎧<--=-⇔0)12)(2(01)3(0)12)(2(01)2(0)21)(2(01)1(a ax x a a a x x a x a 或或由(1) a=1时，x-2>0, 即 x ∈(2,+∞). 由(2)a<1时，012>--a a，下面分为三种情况. ①⎩⎨⎧<<⇒⎪⎩⎪⎨⎧>--<012121a a a a a 即a<1时，解为)12,2(aa--. ②0012121=⇒⎩⎨⎧=<⇒⎪⎩⎪⎨⎧=--<a a a aaa 时，解为∅.③ ⎪⎩⎪⎨⎧<--<2121a a a ⇒ ⎩⎨⎧><01a a 即0<a<1时，原不等式解为:)2,12(aa --.由（3）a>1时，aa --12的符号不确定，也分为3种情况.①⎩⎨⎧≤>⇒⎪⎩⎪⎨⎧≥-->012121a a a aa ⇒ a 不存在.②⇒⎩⎨⎧>>⇒⎪⎩⎪⎨⎧<-->012121a a aa a 当a>1时，原不等式的解为:),2()12,(+∞---∞ aa. 综上:10a=1时，x ∈(2,+∞).a<1时，x ∈)12,2(a a-- a=0时，x ∈∅.0<a<1时，x ∈)2,12(aa-- a>1时，x ∈),2()12,(+∞---∞ aa . 评述:对于分类讨论的解题程序可大致分为以下几个步骤:10:明确讨论的对象，确定对象的全体； 20:确定分类标准，正确分类，不重不漏； 30:逐步进行讨论，获得结段性结记； 40:归纳总结，综合结记. 课后练习:1．解不等式2)385(log 2>+-x x x2．解不等式1|)3(log ||log |3121≤-+x x3．已知关于x 的不等式052<--ax ax 的解集为M. （1）当a=4时，求集合M:（2）若3∈M ，求实数a 的取值范围.4．在x0y 平面上给定曲线y 2=2x, 设点A 坐标为(a,0), a ∈R ，求曲线上点到点A 距离的最小值d ，并写成d=f(a)的函数表达式.参考答案:1. ），（），（∞+235321 2.]4943[， 3. (1) M 为），（），（2452 ∞- (2)),9()35,(+∞-∞∈ a 4. ⎪⎩⎪⎨⎧<≥-==时当时当1||112)(a a a a a f d .2006年高三数学第三轮总复习函数押题针对训练复习重点：函数问题专题，主要帮助学生整理函数基本知识，解决函数问题的基本方法体系，函数问题中的易错点，并提高学生灵活解决综合函数问题的能力。
高等数学(数一)知识重点及复习计划
函数的概念,常见的函数〔有界函数、奇函数与偶函数、单调函数、周期函数〕、复合函数、反函数、初等函数具体概念和形式习题 1－1：4,5,8,9,15,16数列极限的定义,数列极限的性质<惟一性、有界性、保号性习题 1－2：1,4,5,6函数极限的定义与基本性质〔极限的保号性、极限的惟一性、函数极限的函数局部有界性,函数极限与数列极限的关系等〕习题 1－3：1,2,4无穷小与无穷大的定义,它们之间的关系,以与与极限的关系习题 1－4：4,6,7极限的运算法则<6 个定理以与一些推论>习题 1－5：1,2,3,4,5两个重要极限〔要牢记在心,要注意极限成立的条件, 不要混淆,应熟悉等价表达式〕 ,函数极限的存在问题〔夹逼定理、单调有界数列必有极限〕 ,利用函数极限求数列极限,利用夹逼准则求极限,求递归数列的极限.习题 1－6：1,2,4无穷小阶的概念〔同阶无穷小、等价无穷小、高阶无1．理解函数的概念,掌握函数的表示法,会建立应用问题的函数关系.2．了解函数的有界性、单调性、周期性和奇偶性．3．理解复合函数与分段函数的概念,了解反函数与隐函数的概念．4．掌握基本初等函数的性质与其图形,了解初等函数的概念.5．理解极限的概念,理解函数左极限与右极限的概念以与函数极限存在与左、右极限之间的关系．6．掌握极限的性质与四则运算法则.7．掌握极限存在的两个准则,并会利用它们求极限 , 掌握利用两个重要极限求极限的方法．8．理解无穷小量、无穷穷小、 k 阶无穷小〕 ,重要的等价无穷小〔特别重要, 一定要烂熟于心〕以与它们的重要性质和确定方法. 习题 1－7：1,2,3,4函数的连续性,间断点的定义与分类〔第一类间断点与第二类间断点〕 ,判断函数的连续性〔连续性的四则运算法则,复合函数的连续性,反函数的连续性〕和间断点的类型.习题 1－8：2,3,4,5连续函数的运算与初等函数的连续性<包括和,差, 积,商的连续性,反函数与复合函数的连续性,初等函数的连续性>习题 1－9：3,4,5,6理解闭区间上连续函数的性质:有界性与最大值最小值定理,零点定理与介值定理<零点定理对于证明根的存在是非常重要的一种方法习题 1－10：1,2,5总复习题一： 1,2,3,4,5,9,10,11,12导数的定义、几何意义,单侧与双侧可导的关系,可导与连续之间的关系〔非常重要,时常会浮现在选择题中〕 ,函数的可导性,导函数,奇偶函数与周期函数的导数的性质,按照定义求导与其合用的情形,利用导数定义求极限. 会求平面曲线的切线方程和法线方.习题 2－1：6,7,9,11,14,15,16,17,18,19,20复合函数求导法、求初等函数的导数和多层复合函数的导数,由复合函数求导法则导出的微分法则, 〔幂、指数函数求导法,反函数求导法〕 ,分段函数求导法. 大量的概念,掌握无穷小量的比较方法,会用等价无穷小量求极限．9．理解函数连续性的概念〔含左连续与右连续〕 ,会判别函数间断点的类型．10．了解连续函数的性质和初等函数的连续性,理解闭区间上连续函数的性质〔有界性、最大值和最小值定理、介值定理〕,并会应用这些性质．1.理解导数和微分的概念, 理解导数与微分的关系,理解导数的几何意义,会求平面曲线的切线方程和法线方程,了解导数的物理意义,会用导数描述一些物理量,理解函数的可导性与连续性之间的关系．2．掌握导数的四则运算法则和复合函数的求导法则,程习题 2－2：2,3,5,7,8,10,11,14高阶导数求法〔归纳法,分解法,用莱布尼兹法则〕习题 2－3：2,3,10,11,12由参数方程确定的函数的求导法,隐函数的求导法, 相关变化率习题 2－4：,1-11函数微分的定义,微分的几何意义,微分运算法则习题 2－5：2,3,4总复习题二： 1,2,3,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14 掌握基本初等函数的导数公式．了解微分的四则运算法则和一阶微分形式的不变性,会求函数的微分．3．了解高阶导数的概念, 会求简单函数的高阶导数．4．会求分段函数的导数, 会求隐函数和由参数方程所确定的函数以与反函数的导.微分中值定理与其应用〔费马定理与其几何意义,罗尔定理与其几何意义,拉格朗日定理与其几何意义、柯西定理与其几何意义〕习题 3－1：5－12洛比达法则与其应用习题 3－2：1－4泰勒中值定理,麦克劳林展开式习题 3－3：1－7,10求函数的单调性、凹凸性区间、极值点、拐点、渐进习题 3－4：1,2,4,5,8,9, 12,13,14,15函数的极值,<一个必要条件,两个充分条件>,最大最小值问题.函数性的最值和应用性的最值问题,与最值问题有关的综合题习题 3-5:1,4,5,6,7简单了解利用导数作函数图形〔普通出选择题与判断1．理解并会用罗尔<Rolle> 定理、拉格朗日 <Lagrange> 中值定理和泰勒 <Taylor>定理,了解并会用柯西<Cauchy> 中值定理．2．掌握用洛必达法则求未定式极限的方法．3．理解函数的极值概念, 掌握用导数判断函数的单调性和求函数极值的方法,掌握函数最大值和最小值的求法与其应用．4．会用导数判断函数图形的凹凸性,会求函数图形的数.图形题〕 ,对其中的渐进线和间断点要熟练掌握.习题 3－6：2,4弧微分,曲率的概念,曲率圆与曲率半径习题 3-7：1-5总复习题三： 1,2,4,6,7,8,10,11,12,20原函数与不定积分的概念与基本性质〔它们各自的定义,之间的关系,求不定积分与求微分或者导数的关系〕 ,基本的积分公式,原函数的存在性习题 4－1：1,7换元积分法习题 4－2 全部分部积分法习题 4－3 全部有理函数的积分习题 4－4 全部积分表的使用总习题四全部定积分的概念与性质<可积累在定理><定积分的7 个性质习题5－1：4,10,13微积分的基本公式积分上限函数与其导数牛顿－莱布尼兹公式习题5－2：1－12定积分的换元法与分部积分法习题5－3：1,2,3,4,6,7反常积分无界函数反常积分与无穷限反常积分拐点以与水平、铅直和斜渐近线,会描绘函数的图形．5．了解曲率、曲率圆与曲率半径的概念,会计算曲率和曲率半径．1．理解原函数的概念 , 理解不定积分和定积分的概念．2．掌握不定积分的基本公式,掌握不定积分和定积分的性质与定积分中值定理,掌握换元积分法与分部积分法．3．会求有理函数、三角函数有理式和简单无理函数的积分．1．理解定积分的概念．2．掌握定积分的基本公式 , 掌握定积分的性质与定积分中值定理,3．理解积分上限的函数,会求它的导数,掌握牛顿－莱布尼茨公式．4．掌握换元积分法与分部积分法．.习题：5－4：1－3反常积分的审敛法总复习题五：1,3,4,5,6,7,10,13定积分元素法定积分的几何应用〔求平面曲线的弧长 ,求平面图形的面积,求旋转体的体积 ,求平行截面为已知的立体体积,求旋转曲面的面积〕习题 6－2：1,2,3,4,5,6,7,8,9,11,12,13,15,16,21,22定积分在物理学上的应用〔变力沿直线所做的功 ,水压力,引力〕习题 6-3：1-12总复习题六： 1－6微分方程的基本概念〔微分方程与其阶、解、通解、初始条件和特解〕习题 7-1：1,2,3,4,5可分离变量的微分方程<可分离变量的微分方程的概念与其解法 >习题 7-2：1,2齐次方程〔一阶齐次微分方程的形式与其解法〕习题 7－3：1,2一阶线性微分方程,伯努利方程习题 7—4：1,2可降阶的高阶微分方程习题1,2高阶线性微分方程〔微分方程的特解、通解〕习题 7-6：1-4常系数齐次线性微分方程〔特征方程,微分方程通解5．了解广义反常积分的概念, 会计算广义反常积分．会用定积分计算平面图形的面积、平面曲线的弧长、旋转体的体积与侧面积、平行截面面积为已知的立体体积、功、引力、压力、质心、形心等1．了解微分方程与其阶、解、通解、初始条件和特解等概念.2．掌握变量可分离的微分方程与一阶线性微分方程的解法．3．会解齐次微分方程、伯努利方程和全微分方程,会用简单的变量代换解某些微分方程．4．会解二阶可降解的微分方程．5．理解线性微分方程解.中对应项〕习题 7-7：1,2常系数非齐次线性微分方程〔会解自由项为多项式、指数函数、正弦函数、余弦函数以与它们的和与积的二阶常系数非齐次线性微分方程〕的性质与解的结构．6．掌握二阶常系数齐次线性微分方程的解法,并会解某些高于二阶的常系数齐次线性微分方程.习题 7-8：1,27．会解自由项为多项式、欧拉方程习题 7-9指数函数、正弦函数、余弦函数以与它们的和与积的二阶常系数非齐次线性微分方程．总复习题七： 3,4,5,7,10 8．会解欧拉方程．9．会用微分方程解决一些简单的应用问题．向量与其线性运算习题 8-1: 1-19数量积、向量积、混合积习题 8-2：1,2,3,6,7,9曲面与其方程习题 8－3：1-11空间曲线与其方程习题 8-41-8平面与其方程习题 8-51-9 1.理解空间直角坐标系,理解向量的概念与其表示.2.掌握向量的运算〔线性运算、数量积、向量积、混合积〕,了解两个向量垂直、平行的条.3.理解单位向量、方向数与方向余弦、向量的坐标表达式, 掌握用坐标表达式进行向量运算的方法.4.掌握平面方程和直线方程与其求法.5．会求平面与平面、平面与件直线、直线与直线之间的夹角,并会利用平面、直线的相空间直线与其方程习题 8-61-15总习题八： 1-21 互关系〔平行、垂直、相交等〕解决有关问题.6．会求点到直线以与点到平面的距离.7.了解曲面方程和空间曲线方程的概念.8.了解常用二次曲面的方程与其图形,会求简单的柱面和旋转曲面的方程.9.了解空间曲线的参数方程和普通方程.了解空间曲线在坐标平面上的投影,并会求该投影曲线的方程.多元函数的基本概念〔二元函数的极限、连续性、有界性与最大值最小值定理、介值定理〕习题 9— 1：5,6,7,8偏导数<偏导数的概念,二阶偏导数的求解 >,习题 9—2：1,2,3,4,6,7,8,9全微分〔全微分的定义,可微分的必要条件和充分条件〕 ,习题 9—3：1,2,3,5多元复合函数的求导法则〔多元复合函数求导,全微分形式的不变性〕习题 9—4：1—12隐函数的求导公式〔隐函数存在的 3 个定理〕习题 9—5：1—101．理解多元函数的概念, 理解二元函数的几何意义.2．了解二元函数的极限与连续的概念以与有界闭区域上连续函数的性质.3．理解多元函数偏导数和全微分的概念 ,会求全微分,了解全微分存在的必要条件和充分条件,了解全微分形式的不变性.4．理解方向导数与梯度多元函数微分学的几何应用〔空间曲线的切线与法平面,曲面的切平面与法线〕习题 9—6：4—12方向导数与梯度习题 9—7：1-8,10多元函数的极值与其求法〔多元函数极值与最值的概念,二元函数极值存在的必要条件和充分条件,会求二元函数的极值,会用拉格朗日乘数法求条件极值〕习题 9—8：1—12总复习题九： 1-18二重积分的概念与性质〔二重积分的定义与 6 个性,习题 10－1：1,4,5二重积分的计算法〔会利用直角坐标计算二重积分, 会利用极坐标计算二重积分〕 ,习题 10－2：1,2, 4,6,7,8,11,12,13,14,15三重积分的概念,三重积分的计算〔会利用直角坐标计算三重积分,会利用柱面坐标计算三重积分,会利用球面坐标计算三重积分〕的概念,并掌握其计算方法.5．掌握多元复合函数一阶、二阶偏导数的求法.6．了解隐函数存在定理, 会求多元隐函数的偏导数.7．了解空间曲线的切线和法平面与曲面的切平面和法线的概念 ,会求它们的方.8．理解多元函数极值和条件极值的概念,掌握多元函数极值存在的必要条件,了解二元函数极值存在的充分条件,会求二元函数的极值 ,会用拉格朗日乘数法求条件极值,会求简单多元函数的最大值和最小值,并会解决一些简单的应用问题.1．理解二重积分、三重积分的概念,了解重积分的性质, 了解二重积分的中值定.2．掌握二重积分的计算方法〔直角坐标、极坐标〕 , 会计算三重积分〔直角坐标、柱面坐标、球面坐标〕 .理程质〕习题 10－3：4-11 3．会用重积分求一些几何量与物理量〔平面图形的面积、重积分的应用〔会计算曲面的面积,质心,转动惯量,体积、曲面面积、弧长、质量、引力〕质心、形心、转动惯量、引力、习题 10－4：1,2,3,4,5,6,9,10,11,12,13,14功等〕 .对弧长的曲线积分〔对弧长的曲线积分的概念与性质,对弧长的曲线积分的计算〕习题 11－1：3对坐标的曲线积分〔对坐标的曲线积分的概念与性质,对坐标的曲线积分的计算,两类曲线积分之间的联系〕习题 11－2：3,4,7,8格林公式与其应用〔格林公式,平面上曲线积分与路径无关的条件,二元函数的全微分求积,全微分方程〕习题 11－3：1-6对面积的曲面积分〔对面积的曲面积分的概念与性质,对面积的曲面积分的计算,〕习题 11－4：4-8 对坐标的曲面积分〔对坐标的曲面积分的概念与性质,对坐标的曲面积分计算,两类曲面积分之间的联系〕习题 11－5：3,4高斯公式〔会用高斯公式,会计算通量与散度〕习题 11－6：1,2,3斯托克斯公式〔会用斯托克斯公式,会计算环流量与旋度〕习题 11－7：2,31．理解两类曲线积分的概念,了解两类曲线积分的性质与两类曲线积分的关系.2．掌握计算两类曲线积分的方法.3．掌握格林公式并会运用平面曲线积分与路径无关的条件,会求二元函数全微分的原函数.4．了解两类曲面积分的概念、性质与两类曲面积分的关系,掌握计算两类曲面积分的方法,掌握用高斯公式计算曲面积分的方法,并会用斯托克斯公式计算曲线积分.5．了解散度与旋度的概念,并会计算.总习题十一： 1-5.常数项级数的概念和性质〔常数项级数的概念,收敛级数的基本性质〕习题 12－1：1-4常数项级数的审敛法〔正项级数与其审敛法,交织级数与其审敛法,绝对收敛与条件收敛〕习题 12－2：1-5幂级数〔幂级数与其收敛性,幂级数的运算〕习题 12－3：1.2.傅里叶级数〔函数展开成傅里叶级数,正弦级数,余弦级数〕习题 12-7:1-6 1．理解常数项级数收敛、发散以与收敛级数的和的概念, 掌握级数的基本性质与收敛的必要条件.2．掌握几何级数与P-级数的收敛与发散的条件.3．掌握正项级数收敛性的比较判别法和比值判别法,会用根值判别法.4．掌握交织级数的莱布尼茨判别法.5. 了解任意项级数绝对收敛与条件收敛的概念以与绝对收敛与收敛的关系.6．了解函数项级数的收敛域与和函数的概念.7．理解幂级数收敛半径的概念、并掌握幂级数的收敛半.普通周期函数的傅里叶级数〔周期为 2L 的周期函数的傅里叶级数〕习题 12-7:1,2总习题十二： 1-12 径、收敛区间与收敛域的求法.8．了解幂级数在其收敛区间内的基本性质〔和函数的连续性、逐项求导和逐项积分〕, 会求一些幂级数在收敛区间内的和函数,并会由此求出某些数项级数的和.9．了解函数展开为泰勒级数的充分必要条件.10．掌握e x ,sin x ,cos x ,ln(1+ x) 与(1+ x)a 的麦克劳林〔Maclaurin〕展开式,会用它们将一些简单函数间接展开成幂级数.11．了解傅里叶级数的概念和狄利克雷收敛定理,会将定义在[一l, l] 上的函数展开为傅里叶级数,会将定义在[0,l] 上的函数展开为正弦级数与余弦级数,会写出傅里叶级数的和函数的表达式.11 / 11。
【新课标人教版】2010-2011年高考数学一轮复习基础知识回顾系列 数列
回归课本整理：卢立臻 第五章 数列一、基础知识定义1 数列，按顺序给出的一列数，例如1，2，3，…，n ，…. 数列分有穷数列和无穷数列两种，数列{a n }的一般形式通常记作a 1, a 2, a 3,…，a n 或a 1, a 2, a 3,…，a n …。
其中a 1叫做数列的首项，a n 是关于n 的具体表达式，称为数列的通项。
定理1 若S n 表示{a n }的前n 项和，则S 1=a 1, 当n >1时，a n =S n -S n -1. 定义2 等差数列，如果对任意的正整数n ，都有a n +1-a n =d （常数），则{a n }称为等差数列，d 叫做公差。
若三个数a , b , c 成等差数列，即2b =a +c ，则称b 为a 和c 的等差中项，若公差为d, 则a =b -d, c =b +d.定理2 等差数列的性质：1）通项公式a n =a 1+(n -1)d ；2）前n 项和公式：S n =d n n na a a n n 2)1(2)(11-+=+；3）a n -a m =(n -m)d ，其中n , m 为正整数；4）若n +m=p +q ，则a n +a m =a p +a q ；5）对任意正整数p , q ，恒有a p -a q =(p -q )(a 2-a 1)；6）若A ，B 至少有一个不为零，则{a n }是等差数列的充要条件是S n =An 2+Bn . 定义3 等比数列，若对任意的正整数n ，都有q a a nn =+1，则{a n }称为等比数列，q 叫做公比。
定理3 等比数列的性质：1）a n =a 1q n -1；2）前n 项和S n ，当q ≠1时，S n =qq a n --1)1(1；当q =1时，S n =na 1；3）如果a , b , c 成等比数列，即b 2=ac (b ≠0)，则b 叫做a , c 的等比中项；4）若m+n =p +q ，则a m a n =a p a q 。
2010高考数学复习资料(知识点)
高考前数学知识点总结一. 备考内容： 知识点总结二. 复习过程：高考临近，对以下问题你是否有清楚的认识？ 1. 对于集合，一定要抓住集合的代表元素，及元素的“确定性、互异性、无序性”。
{}{}{}如：集合，，，、、A x y x B y y x C x y y x A B C ======|lg |lg (,)|lg 中元素各表示什么？2. 进行集合的交、并、补运算时，不要忘记集合本身和空集的特殊情况。
∅ 注重借助于数轴和文氏图解集合问题。
空集是一切集合的子集，是一切非空集合的真子集。
3. 注意下列性质：{}（）集合，，……，的所有子集的个数是；1212a a a n n（）若，；2A B A B A A B B ⊆⇔== （3）德摩根定律：()()()()()()C CC C CCUU U U U UA B A B A B A B==，4. 你会用补集思想解决问题吗？（排除法、间接法）5. 可以判断真假的语句叫做命题，逻辑连接词有“或”，“且”和()()∨∧ “非”().⌝ 若为真，当且仅当、均为真p q p q ∧若为真，当且仅当、至少有一个为真p q p q ∨若为真，当且仅当为假⌝p p6. 命题的四种形式及其相互关系是什么？ （互为逆否关系的命题是等价命题。
）原命题与逆否命题同真、同假；逆命题与否命题同真同假。
7. 对映射的概念了解吗？映射f ：A →B ，是否注意到A 中元素的任意性和B 中与之对应元素的唯一性，哪几种对应能构成映射？ （一对一，多对一，允许B 中有元素无原象。
）8. 函数的三要素是什么？如何比较两个函数是否相同？ （定义域、对应法则、值域）9. 求函数的定义域有哪些常见类型？ 10. 如何求复合函数的定义域？[]如：函数的定义域是，，，则函数的定f x a b b a F(x f x f x ())()()>->=+-0义域是_____________。
高数一期末复习要点
f (t ) t e t C f ( x) x e x C .
期末综合测试A6，A9
3).
奇函数
【解】 原式 =
偶函 数
6 4 2 4 2 16 2( ) . 7 5 3 5 3 105
2.变限积分求导
dy 1 ） y2 e dt 0 1 t dt 0 arcsin t dt , 求 dx . x2 1 dy 2 ）y x arctan arctan t dt 求 0 x dx x 1 1 2 1 x 2 2 x arctan x 解 y arctan x 1 x 1 2 x dy 1 3 1 2 dx x 1 4 2 4 4 2
x ln a
ln | x
x2 a2 a
C
x2 a2
x
x 2 a 2 | C .
t
x2 dx 2 4 x
期末考前综合B4
0
1
a
证明
是以 为周期的函数.
证：
令u t
是以 为周期的周期函数.
1 x 2 , x 0 1 ） . f ( x) x e , x 0
期中考试前知识 1.求极限 （变限函数、幂指函数的极限）
工具：等价无穷小、罗必塔法则 （期末考前A1. ）
1 h 1 ） . lim 3 e ln(1 2 )d 0 h 0 h
2 e hln(1 h2 ) ln( 1 h ) 解 原式 lim lim 2 h 0 h 0 3h 3 h2
解 原式 0
0
xe x 2dx (1 e )
x
0
1 xd 1 ex
2010-2011高数上复习(1)
2010-2011高数上复习(1)或不存在 且 处必有在处连续且取得极大值则在点、函数0)()(0)(0)()(0)()(0)()()()()(10000000='<''='<''='==x f D x f x f C •••x f B x f A •••••x x f x x x f y 最小值 最大值 极小值 极大值 处必有在处在点、函数)()()()()(,0)(,0)()(10000D •••••••••C •••B A •••••x x f x f x x x f y <''='==2、已知当x x 3cos 10-→时，与2tan x a 是等价无穷小，则=a 3、=-+∞→x x x x )1212(lim 3、极限=++-→111)212(lim x x x x 3、设=+=+∞→+-⎰n n n n nn n na dx x xa lim 123101则（D ） A 、1)1(23++eB 、1)1(23-+eC 、1)1(231++-e D 、1)1(231-+-e，求极限 3sin 0lim .4x e e xx x -→ 5、=⎰+→320sin lim xdt t x x------------------------------------------------6.x x x x x sin tan lim 0--→求极限 ??)(00)0(0)(cos )()(.7202为什么的那一种类型的间断点为则处可导且在，其中设x f x x x xdtt x x f x===⋅=⎰ϕϕϕ 8.型．的间断点，并判定其类求xx x f 122)(+=9.的单调区间求函数 2)ln(2x x y-=。
10. 的凹凸区间求曲线xxe y -=及拐点。
11.)(x f 在[0，1]连续，在（0，1）可导，1)(0,0)0(≤'<=x f f证明：⎰⎰≥10321)())((dx x f dx x f证明： ⎰⎰-=xxdt t f dt t f x F 0320)())(()()())()(2()(20x f x f dt t f x F x-='⎰---------------------------------------------13.上任一非负连续函数在]1,0[)(x f y =证明：],0[1,0(00x x ）使∈上以)(0x f 为高的矩形面积等于]1,[0x 上以)(x f y =为曲边的梯形的面积；又x x f x f x f )(2)()1,0()(->'可导，在，证明0x 唯一。
2011年高等数学复习大纲.
2011年数学复习大纲高等数学部分1 、多项式数域，一元多项式，整除的概念，最大公因式，综合除法，因式分解定理，重因式，多项式函数，复系数与实系数多项式，有理数多项式，多元多项式，对称多项式；2、行列式排列，n阶行列式，n阶行列式的性质，行列式的计算，行列式按一行(列)展开，克兰姆( Cramer)法则，拉普拉斯( Laplace)定理；3、线性方程组消元法，n维向量空间，线性相关性，矩阵的秩，线性方程组的有解判别定理，线性方程组解的结构；4、矩阵矩阵的概念，矩阵的运算，矩阵乘机的行列式与秩，矩阵的逆，矩阵的分块，初等矩阵；5、二次型二次型的矩阵表示，标准型，唯一性，正定二次型；6、线性空间集合映射，线性空间的定义和简单性质，维数，基与坐标，基变换与坐标变换，线性子空间，子空间的交与和，子空间的直和，线性空间的同构；7、线形变换线形变换的意义，线形变换的运算，线形变换的矩阵，特征值与特征向量，最小多项式，对角矩阵，线形变换的值域和核，不变子空间；8、欧几里得空间定义与基本性质，标准正交基，同构，正交变换，子空间，对称矩阵的标准型，酉空间介绍；9、代数基本概念介绍群的定义与例子，群的向量性质子群，同构，环与域，子环，子域，同构。
教材：《高等代数》北京大学数学系高等教育出版社（第三版）数学分析部分1、变量与函数初等函数:基本初等函数与其性质，初等函数类。
2、极限与连续3、实数基本定理4、导数与微分5、微分学基本定理及应用中值定理：Fermat定理，Rolle中值定理，Lagrange中值定理，Cauchy 中值定理。
6、不定积分7、定积分8、定积分的应用平面圆形面积：直角坐标，参数方程图形，极坐标图形。
弧长和体积：曲线弧长公式，已知截面积的立体体积，旋转体体积，旋转体侧面积，曲率和曲率半径。
物理应用；质心坐标，压力和功，平均值，静力矩。
定积分的计算；梯形法，抛物线法。
9、数项级数10、广义积分无限区间上的广义积分：收敛性概念，与数值级数的关系，收敛准则，阿贝尔和狄里克雷判别法。
高等数学(1)期末复习提要
高等数学（1）学习辅导（三）第三章 导数与微分导数与微分这一章是我们课程的学习重点之一。
在学习的时候要侧重以下几点： ⒈理解导数的概念；了解导数的几何意义；会求曲线的切线和法线；会用定义计算简单函数的导数；知道可导与连续的关系。
)(x f 在点0x x =处可导是指极限xx f x x f x ∆-∆+→∆)()(lim 000 存在，且该点处的导数就是这个极限的值。
导数的定义式还可写成极限 00)()(lim0x x x f x f x x --→ 函数)(x f 在点0x x =处的导数)(0x f '的几何意义是曲线)(x f y =上点))(,(00x f x 处切线的斜率。
曲线)(x f y =在点))(,(00x f x 处的切线方程为)())((000x f x x x f y +-'=函数)(x f y =在0x 点可导，则在0x 点连续。
反之则不然，函数)(x f y =在0x 点连续，在0x 点不一定可导。
⒉了解微分的概念；知道一阶微分形式不变性。
⒊熟记导数基本公式，熟练掌握下列求导方法（1）导数的四则运算法则（2）复合函数求导法则（3）隐函数求导方法（4）对数求导方法（5）参数表示的函数的求导法正确的采用求导方法有助于我们的导数计算，如一般当函数表达式中有乘除关系或根式时，求导时采用取对数求导法， 例如函数x x y 2)1(-=，求y '。
在求导时直接用导数的除法法则是可以的，但是计算时会麻烦一些，而且容易出错。
如果我们把函数先进行变形，即21212322212)1(-+-=+-=-=x x x x x x xx y 再用导数的加法法则计算其导数，于是有 2321212123----='x x x y 这样计算不但简单而且不易出错。
又例如函数 321-+=x x y ，求y '。
显然直接求导比较麻烦，可采用取对数求导法，将上式两端取对数得)2ln(31)1ln(21ln --+=x x y 两端求导得 )2(31)1(21--+='x x y y 整理后便可得)2(682123---⋅-+='x x x x x y 若函数由参数方程 ⎩⎨⎧==)()(t y t x ϕψ 的形式给出，则有导数公式)()(d d t t x y ϕψ''= 能够熟练地利用导数基本公式和导数的四则运算法则、复合函数的求导法则计算函数的导数，能够利用隐函数求导法，取对数求导法，参数表示的函数的求函数的导数。
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2010 ～ 2011 学年《高等数学》（一）课程复习提要
理论知识要点：
1、闭区间上连续函数的最值存在性。
2、间断点类型。
3、连续、可微、可导、可积之间的关系。
4、拉格朗日定理。
5、单调性、最值与极值的判定，凹向的判定。
6、不定积分与微分关系。
7、定积分性质。
8、定积分几何和物理意义（运动学等）。
9、向量积与数量积的性质。
计算问题典例：
1、 极限计算
1）∞∞,00 例x x x x x 233,023-->-；x
x x 2tan sin 2；x x x x x x 2323,233-+-∞>-;x x x x sin 1;1sin 2)∞1 例432)51(,0+->-x x x
3）涉及变上限积分函数，例212sin ,
1x tdt x x
⎰>-
2、 微分导数计算 1）复合求导。
例32sin ln x y =；)sin 2ln(x x y -=
2）隐函数求导。
例dx
dy y e xy x 求,12=- 3）参数方程求导。
例dx dy t
t x t t y 求,cos 2ln ⎩⎨⎧=-= 4）对数求导法。
例y x x x y '---=求,)
21()3(232
5）高阶导数。
例x y x y x y e y n n x sin ;;;22====
6）极值、最值与凹向计算。
7）切线与法线方程。
例曲线x x y 2ln +=在点)2,1(处的切线方程
例其凹向区间。
的极值与最值，另外求在]2,2[9323-+-=x x x y 3、 不定积分计算
1）换元积分。
例⎰dx x x ln 1；dx xe x ⎰2；xdx x sin cos 3⎰；dx x x ⎰-24
2）分部积分。
例⎰
⎰⎰;sin ;ln ;3cos 232xdx x xdx x xdx e x
4、 定积分计算
1） 换元积分。
例
⎰42ln 1dx x x ；dx x x ⎰π03sin cos 2） 分段积分。
例dx x ⎰-2
021
3） 奇偶函数积分性质。
例253
x
-⎰
4） 定积分求面积及位移（仅在直角坐标系下求面积；已知速度函数求一段时间的位移）。
5、 矢量代数计算
1）数量积。
例.}6,5,4{},3,2,1{的数量积与，求向量b a b a ==
2）向量积。
例.}6,5,4{},3,2,1{的向量积与，求向量b a b a ==
3）单位向量。
例都垂直的单位向量和，求与向量b a b a }6,5,4{},3,2,1{==。
4）向量积几何意义。
附：2010-2011年第一学期《高等数学一》期末考试命题情况
1、命题范围为教材一至六章，考试形式初拟为一页开卷；
2、各章节卷面分值分配：
3、试题形式及各章分值具体分配如下：
一、判断（5题，每题3分，计15分）
一二三四五
二、选择（5题，每题3分，计15分）
一二三四五
三、填空（10题，每题2分，计20分）
一一 二二 三三 四四 五五
四、计算（10题，每题5分，计50分）
一一二 三三四 五五六六。